（基础数学专业论文）关于smarandache函数的恒等式和渐近式.pdf

中文摘要 解析数论是数论中以解析方法作为研究工具的一个分支，对一些数论函数 性质的研究一直以来都在数论研究中占有十分重要的位置，许多著名的数论难 题都与之密切相关近来，著名数论专家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授在只有 问题，没有解答! 一书中，提出了1 0 5 个未解决的数学问题及猜想，随着这些 问题的提出，许多学者对此进行了深入的研究，并获得了不少具有重要理论价 值的研究成果本论文基于对上述问题的兴趣，利用初等方法及解析方法研究 了某些s m a r a n d a c h e 函数的性质，从而给出了一些相关的恒等式和渐近公式以 及方程的解数具体来说，本文的主要内容包括以下几方面： 1 关于s m a r a n d a c h e 函数s ( 佗) 的研究一直是很有意义的本文利用初等 方法研究了一个包含s m a r a n d a c h e 函数方程的可解性问题，同时得到了一个更 一般的结论，并提出了一个公开问题 2 s m a r a n d a c h e 函数在初等数论的研究中具有很重要的地位本文定义了 一个新s m a r a n d a c h e 函数g ) ，并研究了它的初等性质，给出了一个精确的计 算公式和一个不等式 3 本文研究了著名的f s m a r a n d a c h el c m 函数s l ( n ) 与除数函数( 凡) 的混合均值，以及著名的伪f s m a r a n d a c h e 无平方因子函数z w ( n ) 和新的 伪s m a r a n d a c h e 函数k ( 佗) 的复合函数的均值问题，并给出一些有趣的恒等式 及渐近公式 关键词 s m a r a n d a c h e 函数，渐近公式，均值，方程，正整数解 a b s t r a c t ( 英文摘要) a n a l y t i cn u m b e rt h e o r yi sac o m p o n e n to fn u m b e rt h e o r y , i t ss t u d y i n gi m - p l e m e n ti sa n a l y t i cm e t h o d s t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so fa n a l y t i cf u n c t i o np l a y a ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fn u m b e rt h e o r y , a n dt h e yr e l a t et om a n yf a - m o l l sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m s 。r e c e n t l y , a m e r i c a n - r o m a n i a nn u m b e rt h e - o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h ep u b l i s h e dab o o kn a m e d “o n l yp r o b l e m s ，n o t s o l u t i o n s ! ”i nt h i sb o o k ，h ep r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n d c o n j e c t u r e sa b o u ta r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s m a n yr e s e a r c h e r ss t u d i e dt h e s es 争 q u e n c e sa n df u n c t i o n sf r o mt h i sb o o k ，a n do b t a i n e ds o m ei m p o r t a n tv a l u e d r e s u l t so nt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eu s ee l e m e n t a r ym e t h o d sa n da n a l y t i c m e t h o d st os t u d ys o m ep r o b l e m sw h i c hw e r eg i v e ni n “o n l yp r o b l e m s ，n o t s o l u t i o n s ! ”，a n dg i v es o m er e l a t e di d e n t i t i e s ，a s y m p t o t i cf o r m u l a ea n dp o s i t i v e i n t e g e rs o l u t i o n so fs o m ee q u a t i o n s t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i s d i s s e r t a t i o na l ea sf o l l o w s ： 1 s t u d y i n gs m a r a n d a c h ef u n c t i o ns ( n ) i sv e r ys i g n i f i c a n t w eu s et h e e l e m e n t a r ym e t h o d st os t u d yt h es o l u t i o n so fa ne q u a t i o ni n v o l v i n gt h es m a r a n - d a c h ef u n c t i o n s ，g e t t i n gm o r eg e n e r a lc o n c l u s i o n a no p e np r o b l e mi sp r e s e n t e d a tt h es a m et i m e 2 t h es m a r a n d a c h ef u n c t i o nh a sv e r yi m p o r t a n tp o s i t i o n si nt h es t u d yo f n u m b e rt h e o r y t h en e ws m a r a n d a c h ef u n c t i o nc ( n ) i sd e f i n e d t h ee l e m e n t a r y p r o p e r t i e so fg ( n ) a r es t u d i e d a ne x a c tc a l c u l a t i n gf o r m u l aa n da ni n e q u a l i t y i n v o l v i n gt h en e ws m a r a n d a c h ef u n c t i o nc ( n ) a r eg i v e n 3 s t u d y i n gs o m em e a nv a l u ep r o b l e m si sv e r ys i g n i f i c a n t w es t u d ya h y b i r dm e a l lv a l u ep r o b l e mi n v o l v i n gt h ef s m a l a n d a c h el c mf u n c t i o na n d t h ed i v i s o rf u n c t i o n ，am e a nv a l u eo fc o m p o s i t ef u n c t i o nw h i c hi n v o l v i n gt h e 1 1 p s e u d o - s m a r a n d a c h ef u n c t i o n si sg i v e n ，a n do b t a i ns o m ei n t e r e s t i n gi d e n t i t i e s a n da s y m p t o t i cf o r m u l a ef o rt h e m k e y w o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，a s y m p t o t i cf o r m u l a ，m e a nv a l u e ，e q u a t i o n ，p o s i t i v e i n t e g e rs o l u t i o n s l u 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者盛名： 殖聋 指导教师签名： 丝基硒叁 2 i ，口尸年月8 日7 矿? 年彳月8 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：利前 2d 口尸年多月孑 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 人类从学会计数开始就一直和整数打交道对于整数可以施行加、减、 乘、除四种运算，叫做四则运算人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步 熟悉了整数的特性比如，整数可分为两大类一奇数和偶数利用整数的一些基 本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸 引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索数论就是- i 3 研究整数性质的 学科，在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题一整除性问 题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出 来应用了后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献， 使数论的基本理论逐步得到完善 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深 入研究整数的性质就必须研究质数的性质因此关于质数性质的有关问题，一 直受到数学家的关注到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散 的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完 全成熟了德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做算术探讨， 1 8 0 0 年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好 在1 8 0 1 年自己发表了这部著作这部书开始了现代数论的新纪元 自我国古代，许多著名的数学著作中都有关于数论内容的论述，比如求最 大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等，中国的数论研究渊远流 长孙子定理，中国剩余定理，秦九韶的不定方程理论，都是享誉世界的名篇 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一从二十世纪三十年代开始，数 学家便逐渐在解析数论，丢番图方程，一致分布等方面都有过重要贡献，出现了 例如杨武之、华罗庚、闵嗣鹤、柯召等一流的数论专家，其中杨武之尤其以华 林问题的工作著称1 9 2 8 年，杨武之在博士论文里证明，每个正整数都可写成9 1 第一章绪论 个棱锥数之和此结果在2 0 余年内没有改进，直至g n 沃森在1 9 5 2 年将“9 个”减为“8 个”到1 9 9 1 年为止，这仍是己证明了的最好结果电子计算机出 现之后许多人曾作过实际验算1 9 9 1 年杨振宁和邓越凡等人进行了更深入的计 算，他们猜想，除这2 4 1 个数之外，表示任何正整数，只要4 个棱锥数就够了 华罗庚是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数论与多复变函数论等 很多方面研究的创始人与开拓者1 9 4 9 年以后，数论的研究的得到了更大的发 展特别是在“筛法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优 秀成绩陈景润在1 9 6 6 年证明“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为 一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”在国际数学引起了强烈的反响， 盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点，四十多年过去了，还 没有人能接受新的挑战 数论，研究数的规律，特别是研究整数性质的数学分支数论与几何学一 样，是数学中最古老的分支，它在现代基础数学研究中占有非常重要而又特殊 的地位，其重要性表现在数论在现代科学技术，特别是通讯领域中的广泛应用 而特殊性则体现在它的高深理论使得不少大数学家敬而远之，不敢涉入，而有 不少业余数学爱好者，从数论问题的叙述简单，容易理解，从而产生了很大的兴 趣，这一点可以说明数论的研究有着广泛的群众基础 很多重要的数论函数的单个取值往往很不规则，然而它们的均值f ( n ) n x 却体现出很好的规律性，因而数论中对数论函数性质的研究经常是在均值意义 下进行的 1 - s 本文主要研究了数论中包含s m a r a n d a c h e 函数的一些著名和 式的均值性质，以及它们与其它一些相关函数之间的联系，内容分布在第二至 第四章具体说来，本文的内容组织如下： 1 关于s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 的研究一直是很有意义的本文利用初等 方法研究了一个包含s m a r a n d a c h e 函数方程的可解性问题，同时得到了一个更 一般的结论，并提出了一个公开问题 2 s m a r a n d a c h e 函数在初等数论的研究中具有很重要的地位本文定义了 一个新s m a r a n d a c h e 函数g ( n ) ，并研究了它的初等性质，给出了个精确的计 2 西北大学硕士学位论文 算公式和一个不等式 3 本文研究了著名的f s m a r a n d a c h el c m 函数s l ( n ) 与除数函数( 礼) 的混合均值，以及著名的伪f s m a r a n d a c h e 无平方因子函数z w ( n ) 和新的 伪s m a r a n d a c h e 函数k ( n ) 的复合函数的均值问题，并给出一些有趣的恒等式 及渐近公式 3 第二章包含s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 的一个方程 第二章包含s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 的一个方程 2 1 引言及结论 对任意正整数珏，著名的f s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 被定义为最小的正整 数仇使得佗整除m ! 即s ( n ) = m i n m ：仇n ，nim ! ，其中n 表示所有正 整数集由s ) 的定义，容易看出，若仃= p 芋1 p 尹p 是n 的标准分解式， 则我们有 s ( 诧) 2 燧 s 懈) 】- - 由这个性质可得s ( n ) 的值，显然s ( n ) 的前几个值是s ( 1 ) = l ，s ( 2 ) = 2 ， s ( 3 ) = 3 ，s ( 4 ) = 4 ，s ( 5 ) = 5 ，s ( 6 ) = 3 ，s ( 7 ) = 7 ，s ( 8 ) = 4 ，s ( 9 ) = 6 ， s ( 1 0 ) = 5 ，关于s ( n ) 的算术性质，很多学者已经做过研究，并且获得了 一些有趣的结果。例如，f a r r i sm a r k 和m i t c h e l lp a t r i c k 教授在文献 6 】中研究 了s ( n ) 的界，且得到了s 扩) 的上下界估计他们证明了 一1 ) 口+ 1 s ( 矿) ( p 1 ) q + 1 + l o g pa 】+ 1 徐哲峰i s 利用初等方法研究了著名的s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 的值分 布，并给出了两个渐近公式： 对任意实数z 3 ， ( 跏) _ p ) 2 攀33 + 。( 熹、) n 0 使得每一个奇数n2c 1 一定可表为三个 奇素数之和 这个引理被称为是著名的三素数定理 由引理2 1 可扩展为下面的： 引理2 2 ：存在一个绝对常数c 1 0 使得每一个奇数肌c 1 一定可表 为2 七+ 1 个奇素数之和 6 两北大学硕士学位论文 2 3 定理的证明 下面我们就用两个引理来证明定理2 1 当仇是奇数时，对足够大的素 数p ，由著名的三素数定理，存在岛3 个素数p 1 ，p 2 ，m 使得 期田= p l + p 2 + + p 七 ( 2 2 ) 若p m ，则s ( m p ) = p ，由s ( 礼) 的性质和方程( 2 2 ) ，在方程( 2 1 ) 中 取m i = p i ( i = 1 ，2 ，k ) 我们立即得到 m s ( r a p ) = m p = p l + p 2 + + m = s 0 1 ) + s 溉) + + s o ，k ) ， 即当k 2 和m l 是奇数时，方程成立 如果m 是偶数，七 3 为奇数时，我们有 r a p 一2 3 = p l + p 2 + + p k 一2 满足三素数定理，也就是 r a p = p l + p 2 + + p k 一2 + 2 + 3 ， 在这里我们取m 1 = p l ，7 7 1 221 9 2 ，7 r t k 一2 = p k 一2 ，7 t t k 一1 = 2 ，m 七= 3 ，对足 够大的素数p ，立即得到 m s ( m l + m 2 + + m k ) = m s ( r n p ) = r a p = p l + p 2 + + p 七 = s ( r n l ) + s ( m 2 ) + + s ( m k ) ， 此时方程( 2 1 ) 成立 当m 和后为偶数时，且后 2 ，应用三素数定理我们有 r n p 一3 = p l + p 2 + + p k 一1 7 第二章包含s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 的一个方程 即 m p = p l 十耽+ + p k 一1 + 3 此时取m l = p l ，? l t 2 = p 2 ，m 一2 = p k 一2 ，讥奄一1 = 3 ，可以证明方程( 2 1 ) 是 正确的 当仇为奇数，k 4 为偶数时，则有 即 m p 一2 = p l + p 2 + + p k 一1 m p = p l + t ) 2 + + p k 一1 + 2 使用上述同样的方法我们可以证明2 1 是正确的 这就完成了定理2 1 的证明 2 4 一个公开的问题 如果我们给方程( 2 1 ) 的右边乘以m ，那么方程 s ( m l + f r t 2 + + m 惫) = m ( s ( r n l ) + s ( m 2 ) + i + s ( m k ) )( 2 3 ) 有几个正整数解? 这是个公开的问题 我们猜想方程( 2 3 ) 同样有无穷多组正整数( t 1 ，m 2 ，m 七) 8 西北大学硕士学位论文 第三章一些新s m a r a n d a c h e 函数及其基本性质 3 1 引言及结论 对任意的正整数礼，新s m a r a n d a c h e 函数夕( 馆) 定义为最小的正整数m 使 得n 整除( 佗) m 即 9 ( n ) = m i n m ：m n ，礼f 妒( 扎) m ) ， 显然g ( n ) 的前几个值是g ( 1 ) = 1 ，g ( 2 ) = 2 ，g ( 3 ) = 3 ，g ( 4 ) = 2 ，g ( 5 ) = 5 ， g ( 6 ) = 3 ，g ( t ) = 7 ，g ( 8 ) = 2 ，g ( 9 ) = 3 ，g ( 1 0 ) = 5 ， 从9 ( n ) 的定义我们得到：对于任意的素数p ，g ( p a ) = p 且p ( n ) 夕( 礼) 5 h p ，其中p ( n ) 表示n 的最大素因子，如果n 1 且礼2 q ，那么夕( n ) 一定 p l n 是奇数 刘艳艳在文献 1 5 】中研究了g ( n ) 的性质，并得到了以下两个结论：设惫是 任意给定的正整数，则对任意整数组( m 1 ，m 2 ，m 七) ，有不等式 夕 k 。 成立，及当任意正整数k 3 时，存在整数组( m l ，m 2 ，m k ) 满足方程 夕( 妻) = 砉9 c 仇t ， 张文鹏教授定义了一个新的s m a r a n d a c h e 函数g ( 船) 为最小的正整数m 使得礼l1 f i 咖( 七) ，即 g ( 佗) = r n i i l 仇：礼ii i ( 尼) ，m ) ， 其中( 几) 是欧拉函数关于这个函数的性质似乎没有人研究过，至少我们我们 没有看到过相关的文章本小节的主要研究了该函数的初等性质，即获得如下 的结论： 第三章一些新s m a r a n d a c h e 函数及其基本性质 定理3 1 ：对任意的素数p ，有 g 0 ) = m i n p 2 ，q ( p ，1 ) ) ； 若g p ，2 ) p 2 ，则a ( p 2 ) = g p ，2 ) ；若g ，1 ) 矿 g p ，2 ) ，则g 0 2 ) = p 若p 2 q ( v ，1 ) 2 p 2 ，则g 0 2 ) = 印2 ， 其中q ( p ，i ) 是算术级数 印+ 1 ) 中第i 个素数 定理3 2 ：g ( 佗) 是s m a r a n d a z h e 可乘函数，且d i r i c h l e t 级数 发散 定理3 3 ：设k 2 是给定的正整数，则对任意整数组( m l ，m 2 ，m 七) ，我 们有不等式 g ( m x m 2 m k ) g ( m 1 ) g ( m 2 ) g ( m k ) 成立 3 2 定理的证明 这一节我们利用初等方法来完成定理的证明 n n 我1 r i i l ! n g n3 1 ，令g p ) = m ，由g ( n ) 的定义可知pi i ( 后) ， 惫= 1 pfi i ( 后) ，0 莩 莩三= i 故d i r i c h l e t 级数主掣发散 最后，我们来证明定理3 3 首先我们证明对任意正整数m l 和m 2 ，不等式g ( m a m 2 ) a ( m 1 ) g ( m 2 ) 成立 设g ( m 1 ) = u ，g ( m 2 ) = u ，根据c ( n ) 定义我们很容易得到 m l i i ，m 2i 荆 1 = 1i = 1 不失一般性，我们假设让v ，则 t 上t ，“t 工“ i i 砂( 后) = ( 后) ( 后) = i i ( 后) ( u + 1 ) 砂( ) ( 2 口) ( 伽) k = lk = lk = u + lk = l 注意到 ( 2 ) i 砂( 2 u ) ，( 3 ) l 咖( 3 秒) ，砂( u ) i ( u u ) ，( 乱+ 1 ) i ( u + 1 ) ，咖( u ) i ( ) ， 这意味着 vu u 0 ( i ) 1 ( 后) ， i = 1 k = u - 4 - 1 】 第三章一些新s m a r a n d a c h e 两数及其基本性质 或者 因此 t 工时 荆 i = i t i t ， m l m 2i i i 妒( 七) k = l 由c ( n ) 的定义我们可知g ( m l m 2 ) u v ，或者 g ( m l m 2 ) g ( m 1 ) g ( m 2 ) 若k 3 ，运用上述结论我们有 g ( m l m 2 m k ) = a ( m l ( m 2 i n k ) 、 a ( m 1 ) a ( m 2 m k ) g ( m 1 ) g ( m 2 ) g ( m 3 m k ) g ( m 1 ) g ( m 2 ) g ( m 七) 于是完成了定理3 3 的证明 1 2 后 删n 柑 汹 西北大学硕士学位论文 第四章关于s m a r a n d a c h e 函数均值问题 4 1 关于s m a r a n d a c h el c m 函数与除数函数仃q m ) 的混合均值 4 1 1 引言及结论 对任意正整数佗，著名的f s m a r a n d a c h el c m 函数s l ( n ) 定义为最小的 正整数k ，使得ni 【l ，2 ，叫，其中 1 ，2 ，k 】表示1 ，2 ，k 的最小 公倍数，由s l ( n ) 的定义我们容易推出如果凡= p ? 1 p 呈2 p q 是礼的标准分 解式，那么 s l ( n ) = m a x 硝1 ，砖2 ，群) ( 4 1 ) 显然s l ( n ) 的前几个值是s l ( z ) = l ，s l ( 2 ) = 2 ，s l ( 3 ) = 3 ，s l ( 4 ) = 4 ， s l ( 5 ) = 5 ，s l ( 6 ) = 3 ，s l ( 7 ) = 7 ，s l ( 8 ) = 8 ，s l ( 9 ) = 9 ，s l ( i o ) = 5 ， s l ( 1 1 ) = 1 1 ，s l ( 1 2 ) = 4 ，s l ( 1 3 ) = 1 3 ，s l ( 1 4 ) = 7 ，s l ( 1 5 ) = 5 ，s l ( 1 6 ) = 1 6 ， 关于s l ( n ) 的初等性质，许多学者进行了研究，获得了一系列有趣的结 果例如文献 1 6 】中证明了如果n 是一个素数，那么s l ( n ) = s ( n ) ，这里s ( n ) 是s m r a n d a c h e 函数，即就是s ( 佗) = m i n m ：nm ! ，m ) ，同时文献 1 6 】中 还提出了下面的问题 s l ( n ) = s ( 礼) ，s ( n ) 胡( 4 2 ) 文献【1 7 】完全解决了这个问题，并证明了下面的结论： 任何满足4 2 式的整数可表示为n = 1 2 或几= 硝1 p ；2 p 笋p 其 中q 1 ，o l 2 ，o l ，是满足p 霹，i = 1 ，2 ，r 的正整数 此外文献【1 8 】研究了s l ( n ) 的均值问题，证明了对任意给定的正整数k 及任意实数z 2 有渐近公式 p = 笔! i n x + 妻熹+ 。( 鑫) ， 第四章关于s m a r a n d a c h e 函数均值问题 色( z = 2 ，3 ，k ) 为可计算的常数 文献【1 9 】中还研究了【s l ( n ) 一s ( n ) 】2 的均值分布问题，证明了渐近公式 三m 叫叫2 可2 未喜惫+ 。( 熹) j 其中 ( s ) 是r i e m e nz e t a 函数龟( i = 2 ，3 ，k ) 是可计算的常数 文献【2 0 】中还研究了k 2 时d ( n ) s l ( n ) 的混合均值分布问题，并证明了 渐近公式 三如例垆笙3 6 ，岳+ 薹k “c i x 2 z + 。( 熹) ， c i ( i = 2 ，3 ，k ) 是可计算的常数 本文的主要的目的是研究一个包含f s m a r a n d a c h el c m 函数s l ( n ) 与除 数函数) 的混合均值( n ) s ( n ) 问题，即对文献 2 0 】进行了推广，具体地 说就是证明了下面的： 定理4 1 ：设老2 为给定的正整数，则对任意实数z 2 ，我们有渐近式 ( 他) s l ( n ) = 掣面x a + 2 + 善k 面c i x a + 2 i ni n + 。( 蔫i n k ) ， =1 一 ，一十i ，l ：一- 2 + o z手! 。z + 1z 7 其中靠( 礼) 为除数函数，即佗的所有正因子的q 次方幂的和，这里o l 1 ， ( n ) = 扩，臼( z = 2 ，3 ，七) 为可计算的常数 4 1 2 定理的证明 在这部分，我们利用初等及解析的方法直接给出定理的证明事实上在和 式( n ) s l ( n ) 中，我们将所有【l ，z 】中的整数分为两个子集合u ，v ，其 n 何的正整数n ；而集合y 包含区间 1 ，z 1 中不属于集合u 的那些正整数我们有 ( 佗) s l ( n ) = ( n ) s l ( n ) + 仃q ( 凡) s l ( n ) n zn un v 1 4 西北大学硕士学位论文 现在我们讨论集合矿的情况如下： ( 佗) s l = n e u ( n ) s l ( n ) n z p l 竹，、元 p 亍( 叩) - s l ( n p ) = ( 1 + 矿) p ( n ) n p z n p ( 佗) n 、历，l p 吾 n p z n p p + p 0 + 1 ) ( n ) p + ( 扎) - 矿“ n 、厣 - p s 吾 n 、历 n p s 景 ( 4 3 ) 设7 f o ) = 1 于是我们利用a b e l 求和公式( 文献【3 】中定理4 2 ) 及素数定 p z 理( 文献 2 l 】中定理3 2 ) 知： k 丌( z ) = i = 1最+ 。( 赢) ， 其中q ( z = 1 ，2 ，七) 为常数且c l = 1 ，我们有 同样的方法可以求出 那么 n p 磊 住 p 罢 p = 署7 r ( 毳) 一n 7 r ( n ) 一 2 n 2 1 1 1 z+ 薹k 面a i x 2 i n i n + 。( r ( y ) d y z 2 n 2 i n 南+ 1z ( 4 4 ) x a + 2 f q + 2 ) n q + 2 l n x+ 薹k 而b i x a + 2 i n i n + 。( x a + 2 n a + 2 i n k + lz ( n ) p + ( n ) p a “ n 、压n p 吾n 、压n p 署 n 西 1 5 ( 4 5 ) + 磊。( 粼) 趔 竽小一垫舻 生 奄僦 嘶 ! h尝 第四章关于s m a x a n d a c h e 函数均值问题 + n 撕本o l 糕i n + (+ 2 ) 死q + 2 z +。(必na+2ink+。x 注意到文献 1 】 及 o 。 n - - - - 1 厂厂 二o 厶一 n 扣i = 2 b i - z a + 2 i n in ( 佗) n a + 2 1 0z 丛n 2 堕= ( ( 2 一a ) 裂= ( ( 2 ) ( ( 口+ 2 ) 于是结合( 4 3 ) ，( 4 4 ) ，( 4 5 ) 及( 4 6 ) 式可得 a a ( n ) s l ( n ) n e u 兰2 蛾2 刊+ 渤- 二a i x 2 i n 山in21n x + 。( 二 ( 2 一口) + 山+ d ( ( ( q + 2 ) ( ( 2 ) z 口+ 2 q + 21 1 1 z 。 ( q + 2 ) ( 2 ) 茗q + 2 q + 2l n z 其中o 1 ，c i 为可计算的常数 5 k b i x a 罢+ 2 i n i + d 鲁 i n 。z 一 譬1 1 + 。( 1 。z l n 知+ l z z q + 2 l 再可 x a + 2 i n k + 1 x ( 4 6 ) ( 4 7 ) 现在我们讨论集合y 中的情况，由( 4 3 ) 式及集合y 的定义知对 任意佗v ，当佗的标准分解式为他= 硝1 p 呈2 p 笋r 时我们有两种情 况s l ( n ) = p r 何或者 s l ( n ) 2 1 m 锯a x z f p 9 ) 2p 8 ， s 2 ，于是由此分析我们可以得到 a a ( n ) s l ( n ) n e v n p 0 鲁( z 叫( 死) ) 一7 是发散的 z h a n gy o n g f e n g 矧中研究了函数k ( n ) 的性质，给出了以下结论，对任意 实数s 1 数薹南是收黼并得出 耋南一i n2 3 + 曼6 ； r l ：兰+ 旦 鲁k ( 凡) 薹南= 丽1 1 以掣 对于z w ( n ) 与k ( n ) 的复合函数的研究似乎没有人做过，至少我们没有看 到过这方面的论文本文的主要目的就是利用初等及解析的方法研究复合函 z w ( ) 一丛) 的均值问题，并给出了以下： 定理4 2 ：对于任意的实数x 1 我们有渐近公式 晌z w = 萎z 叫( 脚卜掣、) n z o 一 = 品z 2 9 ( 1 一寿) 删疹a 其中h p 表示对所有素数求积，表示任意给定的正数 脚，： 攀嚣釜 西北大学硕士学位论文 证明：见文献【2 4 】 引理4 2 ：对于任意正整数q 0 及。1 ，有 狮，= 揣器耳 ，一 特别，当口= 1 时，我们有 ez 伽( n ) ：了x 2 钆 z 其中兀p 表示对所有素数求积 证明：见文献 2 5 】 p 矿+ 1 ) 十o ( x q + 机) 1 一志卜伊a 引理4 3 ：对于任意正整数z 1 ，有 z 叫( 2 佗) = 礼 z 詈z 2 耳 1 一厕1 卜；+ e ) 0 0 i 正q l ：对任意的复数s ，设，( s ) = 的定义有 m ，2 珥薹警=p l = u n = l 0 0 糍掣2 u 1 一p 熹4 - p ( ( 2 s 一) h 【 8 j 2 e ( s ) ( ( s 一1 i ( 2 s 一2 ) em 妻= o 等) ( n 等掣) r z 叫( 印m ) p m 3 馕掣 1 9 删 筹 z 一 脚 p 第四章关于s m a r a n d a e h e 函数均值问题 其中( ( s ) 为r i e m a n nz e t a 函数 因为 雠删蚴，耋掣似( 其中盯 2 为s 的实部，则由p e r r o n 公式，当z 为半奇数时，取n = z l 2 ， z l i = i x n i 在上式取口( 佗) = z 伽( 2 礼) ，s o = 0 ，b = 3 ，t = z ；，日( z ) = 2 x ，b ( o ) = 2 ( ( 口一1 ) ，则有 饰+ s 0 弓d s + 0z b b ( b + , t o ) - ) + 。2 7 1 - - a o h 陋胁( - ，字) ) + 9 ( z 咄删n ( ，赢) ) 将积分线从3 ：t ：i t 移到24 - i t ，此时函数 e ( s ) e ( s 一1 ) ( 2 s 一2 ) 在s = 2 处有一个一阶极点，留数为亏8 2 2 筹珥 1 一志 等 9 1 一寿卜 熹( e + 坍f 3 2 ，+ i t 广+ i t 汀+ z 习锩等等 8 。 2 ：z a l 熹滢+ z + 牛3 - ；t i t ) z ；托 所以 羡驯2 啦8几气z 这样便证明了引理3 。 4 2 3 定理的证明 p 1 伊+ p 糍等2 筹2 s1 耳 1 一南p 悟 ( ( 2 s 一) +上上l 矿+ is 一赤 州声q 现在我们利用这几个引理来给出定理的证明由引理3 我们得到 驯2 n ) = 鲁z 2 f 1 一 n x dl p 加+ 1 ) + 0 ；+ e ) 1 一万一2 = n 一鼬 “一珏 哝 西北大学硕士学位论文 由 结合引理1 和引理2 有 七= 脚) _ 掣， 三驯垆z 镏( m ，一掣) n x几 z 、 = 杀z 2 粤 1 一而1 + d ( 痔可 于是完成了定理的证明， nuz 笨 + 、， n 一2 ，一， 叫z 每 = n 2叫z 嚼 一 一= ：、 z 疃 + 凡 叫z 嗡 = 总结与展望 总结与展望 在只有问题，没有解答一书中，罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n d a c h e 教授提出了许多有待解决的数论问题：而另一位加拿大数论专家r k g u y 所 著的初等数论中未解决的问题一书中的诸多问题也引起了数论爱好者的研 究兴趣本论文主要研究了其中的一些特殊数列及函数的均值，并用初等方法 及解析方法给出了一些相关的恒等式和渐近公式以及方程的解数，然而该书中 还有许多问题期待我们去解决，需要我们进一步研究的问题有： 1 方程 s