（基础数学专业论文）半导体材料科学中的漂移扩散模型和流体动力学模型分析.pdf

摘要 在所有描述半导体的数学模型中，流体动力学模型和漂移扩散模型是应用最广 泛的模型。 漂移扩散模型自上世纪五十年代初一出现，就得到了人们的广泛关注。但随着 微电子技术的发展，它不能很好的解释半导体中的有些现象，流体动力学模型就应 运而生了。 本论文包括两个方面。 首先，主要研究带p - n 结的隔绝半导体的一维双极的标准漂移扩散模型： l扎 = ( n i + 礼1 e ) z ，0 。 0 ， p ? 2 ( p i p 1 e 1 ) z ，o z o ， ( ) f a 2 磁= n p 一d ，0 o ， ( j j l ln 1 h = 0 ，z ) = a ( 。) ，p 1 ( = o ，) = p a ( 。) ，0 。茎1 。 证明了对一类特殊的初值，这一方程的解收敛到对应拟中性极限方程的解，即： 定理2 2 若( ，p 1 ，e 1 ) 是问题( i ) ( i i ) 的古典解，假设d ( 。) ，d 。扛= 0 ，1 ) = d z 扛= 0 ，1 ) = 0 ，且存在常数m 和a 0 使得对任意的入 0 fr ( n o 一再，砧一声) ( ) j | 刍- ( 1 ) + a 2 i i ( e o = o ) 一) ( ) i i 备，( 【o ，1 ) sm a m “ 。，2 则存在依赖于t 的常数a o ：0 1 ， in = 。r ”：| z | r 1 o ) 证明了该问题的解依指数形式收敛到对应稳态问题的解，这一结果已发表在河南大 学学报( 自然科学版) 2 0 0 3 年第四期上。 关键词：半导体流体动力学模型漂移扩散模型 拟中性极限p - n 结 i i a b s t r a c t t h eh y d r o d y n a m i ca n dt h e ( 1 1i f t d i f f u s i o nm o d e l sa r et h er l i o s tw i d e l yu s e dm o d e l st o d e s c r i b es e n f i e o n d u c t o rd e v i c e st o d a y n os o o n e rt i l ed r i f t d i f f u s i o n e q u a t i o n sw e r es e i f b lt h a n df o r m u l a t e di nt h ee a r l y f i f t i e so fl a s t c e n t u r yt h a nt h e yb e c a m et h em o s tp o p u l a rm o d e lf o rt h es i m u l a t i o no f s e i i l i c o n d u c t o r s w i t ht h en l i i l i a t u r i z a t i o no fs e m i c o n d u c t o r st h ed r i f t d i f f u s i o nm o d e li s b r o u g h ti n t oi t sl i m i to fv a l i d i t ys i n c ee l e c t r o n sa r en ol o n g e ra tt h el a t t i c et e m p e r a t u r e t h e d e v e l o p m e n t so fm i c r o e l e c t r o n i c st e c h n o l o g ym a d ei tn e c e s s a r yt os e a r c hf o rm o r e a c c u r a t ed e s c r i p t i o no fc a r r i e rt r a n s p o r ti ns e m i c o n d u c t o r a so n eo ft h es e v e r a lm o d e l s t oi m p r o v et h ed r i f t d i f f u s i o nm o d e l ，t h eh y d r o d y n a m i cm o d e lp l a y sa r l i n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tr o l ei ns i m u l a t i n gt h eb e h a v i o ro ft h ec h a r g ec a r r i e ri ns u b m i c r o ns e m i c o n d u c t o r d e v i c e sb e c a u s ei tc a ne x h i b i tv e l o c i t yo v e r s h o o ta n db a l l i s t i ce f f e c t sf o rw h i c ha r en o t a c c o u n t e dt h ec l a s s i c a ld r i f t d i f f u s i o nm o d e l t h e r ea r et w om a i nt o p i c si nt h i sd i s s e r t a t i o n a tf i r s t ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h e q u a s i n e u t r a ll i m i to ft h e1 - d i m e n s i o nb i p o l a rs t a n d a j dd r i f t - d i f f u s i o ne q u a t i o n sm o d e l l i n g i n s u l a t e ds e m i c o n d n c t o rd e v i c e sw i t hp - n j u n c t i o n s ，i e ， 砖 p = a 2 磁= e a ： ( 礼i + 几 e ) 。，0 z 0 ， 呼一p a 砂) 棚 z 。，( ，) n 一p 一d ，0 o ，) 8 扣) ，0 z 1 t h e c o n v e r g e s l c eo fs t a n d a t 。dd r i f t d i f f n s i o ne q u a t i o n st oq u a s i n e u t r a lm o d e l si s p r e s e n t e df o iac l a s so f s p e c i a li n i t i a ld a t a i tr e a d sa sf o l l o w s ：t h e o r e m2 2 l e t ( n 1 ，p 1 ，e 1 ) b et i mc l a s s i c a ls o l u t i o n so f t h e p r o b l e m ( 1 ，1 ) 一( 1 4 ) a l s o ，a 8 s n n l et h a td ( x ) c 4 ，d t ( z = 0 ，1 ) = 西z z z ( ：f = 0 ，1 ) = o ，a n dt 1 1 a tt 1 1 e r ee x i s tac o n s t a n tm a n da no os u c ht l l a t f o r 1 1 1 0 | | 吼 砂 江 = 弋 砂 ， x ，呻 0 ” 引 一 协 吣 扎 =吐一 ，、【 a n ya 0 i l ( n a 呃，p a 一声) ( - ) 1 1 ；i t ( 。，1 】) + a 2 i i ( e 1 0 = o ) 一) ( ) i i 刍- ( 【o 1 】) m a “i “，2 1 h e n t h e r ee x i s t s a l la 0 ：0 1 ， n = z r ：2r l 0 ) w e p r o v et h a tt h es o l u t i o no ft h ep r o b l e mc o n v e r g e st oas t a t i o n a r ys o l u t i o nt i m ea s y m p t o t i c a l l ye x p o n e n t i a l l yf a s t t h i sr e s u l tw a sp u b l i s h e di nt h ej o u r n a lo fh e n a n u n i v e r s i t y ( n a t u r a ls c i e n c e ，4 ( 2 0 0 3 ) ) k e y w o r d s ： s e n l i c 0 i l d u c t o r s ：h y d r o d y n a m i cm o d e l ；d r i f t d i f f u s i o nm o d e l q u a s i n e u t r a ll i m i t i v 1 i n t r o d u c t i o n t h em a t h e m a t i c a lm o d e l l i n gc h a r g et r a n s p o r ti ns e m i c o n d u c t o r sh a s b e c o i 口mat h r i v i n g a r e ai na p p l i e dm a t h e m a t i c s a m o n gt h em o d e l s ，h y d r o d y n a n d ca n d d r i f t d i f f u s i o nm o d e l s a r et h em o s tw i d e l yu s e dt od e s c r i b es e m i c o n d u c t o rd e v i c e st o d a y n os o o n e rt h ed r i f t d i f f u s i o ne q u a t i o n sw e r es e tf o r t ha n df o r m u l a t e di nt h ee a r l y f i f t i e so fl a s tc e n t u r yt h a nt h e yb e c a m et h em o s tp o p u l a rm o d e lf o rt h es i m u l a t i o no f s e i i l i c o n d u c t o r s w i t ht h em i n i a t u r i z a t i o no fs e m i c o n d u c t o r s ，t h ed r i f t d i f f u s i o nm o d e li s b r o u g h ti n t oi t sl i m i to fv a l i d i t ys i n c ee l e c t r o n sa r en 0l o n g e ra tt h el a t t i c et e m p e r a t u r e t h ed e v e l o p m e n t so fm i c r o e l e e t r o n i c st e c h n o l o g ym a d ei tn e c e s s a r yt os e a r c hf o rm o r e a c c u r a t ed e s c r i p t i o no fc a r r i e rt r a n s p o r ti ns e m i c o n d u c t o r a so n eo ft h es e v e r a lm o d e l s t oi m p r o v et h ed r i f t d i f f u s i o nm o d e l ，t h eh y d r o d y n a m i cm o d e lp l a y sa ni n c r e a s i n g l yi m - p o r t a n tr o l ei ns i m u l a t i n gt h eb e h a v i o ro ft h ec h a r g ec a r r i e ri ns u b - m i c r o ns e m i c o n d u c t o r d e v i c e sb e c a u s ei tc a ne x h i b i tv e l o c i t yo v e r s h o o ta n db a l l i s t i ce f f e c t sf o rw h i c ha t en o t a c c o u n t e dt h ec l a s s i c a ld r i r d i 肌s i o nm o d e l t h e p r o c e s sf r o mt h ed r i f t d i f f u s i o nm o d e l t ot h ed i f f u s i o nm o d e li ss o c a l l e dq u a s i n e u t r a ll i m i t b e c a u s eo fal o to fc h a l l e n g ei ni t sm a t h e m a t i c a la n a l y s i s ，i ti sv e r yi n t e r e s t i n g a n di m p o r t a n tt og e tr i g o r o u sr e s u l t s0 2 qt h i sr e l a t i o n t h i sw o r kc o n t a i n st w ot o p i c s f i r s t l yw ec o n s i d e rt h e1 - d i m e n s i o nb i p o l a rd r i f t - d i f f u s i o nm o d e lf o rs e m i c o n d u c t o r s r e a d sa sf o l l o w s ( s e ew n r o o s b r o e c k 1 】) ： 儿 = m i + n a e ) 。，0 z 0 ， p = ( 砖一p 1 e 1 ) 。，o z o ， ( 1 1 ) a 2 砩= 礼1 p 一d ，0 0 ，( 1 2 ) 1 ，、l a n dt l l ei n i t l a ld a t a n 1 ( t = o ，z ) = n ( z ) ，p 1 ( t = o ，z ) = p 8 ( z ) ，0s 。1 ( 1 3 ) t h eu n k n o w n sn 、p e o r 西 a r et i l ee l e c t r o nd e n s i ty t h eh o l ed e n s i t y t h ee l e c t r i cf i e l d o rt h ee l e c t l 。i cp o t e n t i a l ，r e s p e c t i v e l yt h ec h a r a c t e r i s t i cl e n g t ho ft h ed e v i c 、ei ss c a l e dt o b eu n i t t h ep a r a m e t e r i st h es c a l e dd e a y el e n g t h d = d ( x 1i st h eg i v e nf u n c t i o n o fs p a c ea n dm o d e l st h ed o p i n gp r o f i l e ( i e ，t h ep r e c o n c e n t r a t i o no fe l e c t r o n sa n dh o l e s ) ， b e c a u s eo ft h ep h y s i c a lb a c k g r o u n do fr e a l i s t i cp - nj u n c t i o ni ns e m i c o n d u c t o rd e v i c e ，t h e p a y s i c a ld o p i n gp r o f i l ed ( x ) h a st h ep r o p e r t yt h a td ( x ) c h a n g e si t ss i g n ， h e r ean e c e s s a r ys o l v a b i l i t yc o n d i t i o nw en e e di sg l o b a ls p a c ec h a r g en e u t r a l i t y 】 z 1 ( 矿一矿一剐z = 。 s i n c et h et o t a ln u m b e r so fe l e c t r o n sa n dh o l e sa x ec o n s e r v e d ，i ti ss u f f i c i e n tt or e q u i r et h e c o r r e s p o n d i n gc o n d i t i o nf o rt h ei n i t i a ld a t a ： z 1 ( 前一砧一。) 如= 。 ( 1 _ 4 ) u s u a l l ys e m i c o n d u c t o rp a y s i c sa r ec o n c e r n e dw i t hl a r g es c a l e ss t r u c t u r ew i t hr e s p e c t t ot h ed e b y el e n g t ha 睡t a k e ss m a l lv a l u e s ，t y p i c a l l ya 2 1 0 6 ) f o rs u c hs c a l e s ，t h e s e m i c o n d u c t o ri se l e c t r i c a l l yn e u t r a l ，i e ，t h e r ei sn os p a c ec h a r g es e p a r a t i o no re l e c t r i c f i e l d s oi ti s i n t e r e s t i n gt os t u d yt h ep r o b l e ma _ 0 s e t = 0 w ef o r m a l l yg e tt h e f o l l o w i n gq u a s i n e u t r a ld r i f t d i f f u s i o nm o d e l ? t t 2 p = 0= = f o rf u r t h e rf o r m a la s y m p t o t i ca n a l y s i s ，s e e 1 ，2 ，3 ，4 1 g e n e r a l l ys p e a k i n g ，i ts h o u l d b ee x p e c t e d a t l e a s t f o r m a l l y t h a t ( 1 ，矿，e 1 ) ( n ，p ，) a sa - + 0i nt h ei n t e r i o ro fi n t e r v a l 【0 ，1 】w h i l ei t c a nn o tb eap r i o r i l ye x p e c t e dt h a ta l l 2 吼以 + 一 p 小 一曲 b o u n d a r ya n di n i t i a lv a l u ec o n d i t i o n sh o l df o rt h el i m i tp r o b l e m b c c a u s eo ft h es i n g u l a r p e r t u r b a t i o nc h a r a c t e ro f t h e p r o b l e m ( t h e p o i s s o n e q u a t i o nb e c o m e s a na l g e b r a i c e q u a t i o n i nt h el i m i t ) h o w e v e r ，b yt i l ec o n s e r v a t i o uf o r mo ft h ec o n t i n u i t ye q u a t i o n st h ep r o p e r t y o fz e r of l u xt h r o u g ht h eb o u n d a r yw i l lp r e v a i li nt h el i m i t ： ( n 。+ n ) ( z = 0 ，1 ) = 0 ，( p 。一p e ) ( x = 0 ，1 ) = 0( 1 6 ) w h i l et h eb o u n d a r yc o n d i t i o nf o rt h ee l e c t r i cf i e l d d o e sn o te x c e p tf o rs o m e s p e c i a lc a s e s s i m i l a r l y ，w ec a n ap r i o r i l ye x p e c tt h a tq u a s i n e u t r a ld r i f t d i f f u s i o nm o d e l s ( 1 5 ) i s s u p p l e m e n t c db yt h ef o l l o w i n gi n i t i a ld a t a ： 0 = 0 ) = n 0 ，p ( t = o ) = p 0( 1 7 ) s a r i s f y i n gl o c a l l yi n i t i a lt i m es p a c ec h a r g en e u t r a l i t y ”o p o d = 0 ( 1 8 ) t h ea i mo fs e c t i o n2i st oj u s t i f yr i g o r o u s l yt h a tt h es o l u t i o no fd r i f t d i f f u s i o n - p o i s s o n e q u a t i o u sa p p r o a c h e st o t h es p e c i a ls o l u t i o na 3a 叶0 f o rt h e s ef o r m a la s y m p t o t i c a n a l y s i s ，s e e 【3 ，4 ，5 】 w em e n t i o nt h a tt h e q u a s i n e u t r a ll i m i ti sap h y s i c a l l yv e r yc o m p l e xm o d e l l i n gp r o b l e m f o rt h e ( b i p o l a r ) f l u i dd y n a m i cm o d e l sa n df o rt h ek i n e t i cm o d e l so fs e m i c o n d u c t o r sa n d p l a s m a s i nb o t hc a s e st h e r ee x i s to n l yp a r t i a lr e s u l t s ( s e e 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 1 ) f o r e x a m p l e ，b r e n i e r 【6 c o n s i d e r e dq u a s i n e u t r a ll i m i to fv l a s o v p o i s s o ns y s t e m m a r k o w i e h 【1 1 a n dc a f f a r e l l ie ta l 1 2 】a n dd o l b e a u l te ta l 【1 3 】s t u d i e dt h es t a t i o n a r ys t a t ec a s eo f d r i f t d i f f u s i o n 。p o i s s o nm o d e l s g a s s e re ta l 3 ，5 a n dh s i a oe ta l 4 】g a v er i g o r o u sc o i l v e r g e n c eo ft i m e - d e p e n d e n td r i f t d i f f u s i o n - p o i s s o nm o d e l st oq u a s i n e u t r a ld r i f t - d i f f u s i o n m o d e l si np a r t i c u l a r ，f o rt h ec a s ew h e r et h ed o p i n gp r o f i l ec a nc h a n g ei t ss i g n ，h s i a oe t a lf 4 g e tt h ef i r s tr i g o r o u sq u a s i u e u t r a l i t yr e s u l tf o rt i m e d e p e n d e n ts e m i c o n d u c t o rm o d e l w i t hp h y s i c a l l yb i p o l a rf i x e dc h a r g eb a c k g r o u n d i ns e c t i o n2w ec o n s i d e rq u a s i n e u t r a ll i m i tp r o b l e mo ft i m e - d e p e n d e n ts t a n d a r dd r i f t d i f f u s i o n p o i s s o nm o d e l sf o rac l a s so fs p e c i a li n i t i a ld a t aa n df o rt h ee a s ew h e r et h e d o p i n g 3 p r o f l l e c a nc h a n g es i g n ，a n dp r o v et h ec o n v e r g e n c eo ft i m e d e p e n d e n t s t a n d a r dd r i f t _ d i f f u s i o n p o l s s o nm o d e l s ( 1 1 ) ( 1 4 ) f o rs e m i c o n d u c t o r s t o8s p e e i ms t a t i o n a r ys o l u t i o no f c o r r e s p o n d i n gq u a s i n e u t r a lm o d e l s u s u a l l vi ti sd i f f i c u l tt oo b t a i nt h eu n i f o r m e s t i m a t e so nt h ee l e c t r i cf i e l dw i t hr e s p e c t t ot h ed e b y el e n g t h h e r ew ec a ne s t a b l i s hu n i f o r me s t i m a t e sw i t hr e s p e c t t ot h e s c m e dd e b y el e n g t hd u ct oo u rs p e c i mi n i t i a ld a t a i no r d e rt oo b t a i no u rg o a l ，w el l s et h e t e c h n i q u e so ff u n c t i o nt r a n s f o r m a t i o na n da w e i g h t e dn o r m f i n a l l y ，w es h o u l dm e n t i o n t h a tf o rt h er e l a t e dc l a s s i c a ld r i f t d i f f u s i o n - p o i s s o nm o d e l s t h e r eh a v eb e e n m a n y r e s u l t sa b o u te x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，l a r g et i m ea s y m p t o t i cb e h a v i o r s ， s t a b i l i t yo fs t a t i o n a r ys t a t ea n dr e g u l a r i t i e so fw e a ks o l u t i o n se t c ，f o re x a l n p l e ，s e e ，【2 ， 1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 卜 s e c t i o n2i so r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2 。1w eg i v et h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r ， s e c t i o n2 2i sd e v o t e dt ot h ep r o o f so ft h em a i nt h e o r e m so fs e c t i o n2 s e c o n d l y , w ec o n s i d e rt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r o fs m o o t hs o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n g m u l t i d i m e n s i o n a lh y d r o d y n a m i cm o d e lf o rs e m i c o n d u c t o r s ( s e e ，e g ， 2 ，1 8 ，1 9 ) 巨墨切一警 ( 19 ) f o r ( 嚣，t ) q i o ，+ 。) ，a n dq = z r ： 嚣 r l o ，w h i c h i ss u p p l e m e n t e dw i t ht h e b o u n d a r yc o n d i t i o n s a n dt i l ei n i t i a ld a t a h 。a n = 0 ，e l 。o n = 0 ，( 1 1 0 ) 礼( 卫，0 ) = n 0 ( 岳) ，u ( 。0 ) = u o ( z ) ， 。豆 ( 1 1 1 ) w h e r end e n o t e st h ee l e c t r o nd e n s i t y l t h e ( a v e r a g e ) p a r t i c l ev e l o c i t yv e c t o r ，et h e ( n e g - a t i v e ) e l e c t r i cf i e l dv e c t o r ，w h i c hi sg e n e r a t e db yt h ec o u l o m b f o r c eo ft h ep a l t i e l e s ，a n d r0t h em o m e n t u mr e l a x a t i o nt i m e w es e tj = n uf o rt h ec u r r e n td e n s i t yv e c t o r 4 t h ef u n c t i o nb ( z ) s t a n d sf o rt h ed e n s i t yo ff i x e d ，p o s i t i v e l yc h a r g e db a c k g r o u n di o n s ，a n d t h ep r e s s u r e d e n s i t yf u n c t i o np = p ( 礼) h a st h ep r o p c r t yt h a tn 2 p 7 ( 礼) i ss t r i c t l yi n c r e a s i n g f o n c t i o nf r o m1 0 ，十o 。) o n t o 【0 ，+ 。) au s u a lh y p o t h e s i si s p ( 忆) = a 2 n 1 ， n 0 ，n 0 ，1 1 ( 1 1 2 ) t h em o d e l ( 1 9 ) ( 11 2 ) i sas i m p l i f i e dm u l t i d i m e n s i o n a lh y d r o d y n a m i cm o d e lw h i c hi s s t u d i e dm a t h e m a t i c a l l yi nd e g o n da n dm a r k o w i c h 1 8 f o rt h ef i r s tt i m e i ti si n t e r e s t i n g t os t u d yt h ep r o b l e mo f ( 19 ) i nt h em u l t i d i m e n s i o n a lc a s e ，b u ti ti sq u i t ed i f f i c u l tt o i n v e s t i g a t et h eg l o b a le x i s t e n c eo fw e a ko rs m o o t hs o l u t i o n s ，s e e 2 0 b e s i d e s t h el o c a l c l a s s i c a ls o l u t i o n so b t a i n e di n 2 1 ，o n l yt h es t e a d ys t a t es o l u t i o n si nt h es u b s o n i cc a s ew e r e s t u d i e di n 【1 8 t op r o v i d es o m ei n s i g h t si n t om u l t i d i m e n s i o n a le v o l u t i o n a r yp r o b l e m ，w e e s t a b l i s h e dt h eg l o b a le x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es p h e r i c a l l ys y m m e t r i c a l s o l u t i o no f ( 1 9 ) w i t h ，y = 1a n dn = 石r ：0 o ；( 1 1 4 ) a n dt h e r ee x i s t saf i m c t i o n b ( r ) c 2 ( j r l ，+ 。) ) s u c ht h a t b ( r ) 0 ，r r 1 ，+ 。o ) ， 研( r 1 ) = o ，卅l i m 。酬2 b + m f 1 1 5 ) b ( r ) 一b ( r ) h 1 ( 【r l ，+ o 。) ) ， r 学b ，( r ) ，r 2 学b ，p ) ，r 盟产( 6 ( r ) 一b ( r ) ) l 2 ( r 1 ，+ o 。) ) a l s o ，a s s u m et h a tn o ( x ) = ”o ( r ) ，u o ( x ) = ；o ( r ) ，w h e r en oa n du 0a r eg i v e ns c a l a r f u n a t i o n , s 5 w el o o kf o rs p h e r i c a l l ys y n l m e t r i cs o l u t i o n st o ( 1 9 ) - ( 1 - 1 2 ) o ft h ef o r m n ( 。， ) = m o ，u = 知r ，t ) ，e = ；e ( _ t ) - ( 1 1 6 ) l e tj ：? z ud e n o t et h ec u r r e n td e n s i t y t h e nt h ep r o b l e m ( 19 ) 一( 11 2 ) i sr e d u c e dt ot h e f o l l o w i n gp r o b l e mf o r ( n ( z ，t ) ，j o ，t ) ，e ( r ，) ) n + ：南( r 一1 j ) r = 0 ， j + 刁士了( 与# ) ，+ p ( ) ，= n e 一号， ( t ) 冗l ，+ 。) ( o ，+ o 。) ， 日+ i 掣e = n 一6 ( r ) ， ( 11 7 ) j k ：r 。= 0 ，曰 ，：r l = 0 ， n ( r ，0 ) = n 0 ( r ) ，j ( r ，0 ) = n o ( r ) “o ( r ) w es h a l li n v e s t i g a t et h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 7 ) w i t h7 i ns e c t i o n3 1w es h a l ls t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n p r o b l e mo f ( 1 - 1 7 ) ： l 南( r n - i j ) r = 0 ， l 习岛( 芷嘉卫) ，+ p ( ) ，= a f 一亍j ， r 【_ r l ，+ o o ) ， i 、+ 盟 = 一b ( r ) ， ij f ，：r 。，+ o 。= 0 ， ，= r 。，+ 。= 0 1i ns e c t i o n3 t ot h es t a t i o n a r y ( 1 1 8 ) w i t ht h ec o n d i t i o n 厂 o ，一b ( r ) 日1 ( 陋l ，+ 。o ) ) i ns e c t i o n3 2w es h a l le s t a b l i s ht h eg l o b a le x i s t e n c ea a da s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h e s n l o o t hs o l u t i o n st op r o b l e m ( 1 1 7 ) w em e n t i o nt