（基础数学专业论文）内积空间中的mobius变换及mobius群的离散性.pdf

内积空问中的m s b i u s 变换及m 6 b i u s 群的离散性 中文提要 中文提要 m 6 t ，i u s 群与带有双曲结构的流形密切相关，而无穷维流形是流形理论 的重要组成部分，因此把m 6 b i u s 群理论推广到无穷维空间有着重要的意义。 j v 甜s 甜a 在 1 5 l 中所引用的一个反例表明有限维空间中m 6 b i u s 变换的概念并 不适合于一般度量空间。本文第一节成功地将m 6 b i u s 变换的概念建立在内积 空间的框架下，我们的结果( 定理l ，定理2 ) 显示出内积空间中的m 6 b i u s 变 换的几何与有限维空间中的m s b i u s 变换的几何有着很大的相似性。另外，从 其他的一些平行工作( 【6 l 可看出内积空间中的m 6 b i u s 变换与带有双曲结构的 无穷维流形确实也有着密切的关系，从而说盟我们对m s b i u s 变换所进行的推 ，“具有很好的发展前景。在定理的证明中，我们采用的是种纯几何的证明 方法，这种全新的方法不涉及空间的维数，它不同于h h a r u k i 和t mr a s s i a s 8 j 采用的求s c h w a r z 导数的方法，也不同子a f b e a m o n 和d m i n d a 研采用的 数学归纳法，前者仅适用于二维复平面中，后者也仅局限于有限维空间中。 本文第二节提出了一种新的判别二维非初等m s b i u s 群离散的方法，即 将一个固定的抛物元作为检验元来检验扩充复平面上非初等m s b i u s 群的离 散性。文中给出的结果( 定理3 ) 改进了由t j o r g e a s e n 建立的判别法( 定理 d ) 。 关键词：m s b i u s 变换，内积空间，保球映射，m 6 b i u s 群，离散。 作者：殷冬琴 指导教师；陈敏 m 6 b i u st r a n s f o r m a t i o n s a n da b s t r a c t m s b i u st r a n s f o r m a t i o n si ni n n e rp r o d u c ts p a c e s a n dt h ed i s c r e t e n e s so fm 5 b i u s g r o u p s a b s t r a c t m 6 b i u sg r o u p sh a v em a n yc l o s ec o n n e c t i o n sw i t hf i n i t eo ri n f i n i t ed i m e n s i o n a l m a n i f o l d se n d o w e dw i t hh y p e r b o l i cs t r u c t u r e s ，s u c ha sr i e m a n n s u r f a c e ，t e i c h m i i l l e r s p a c e ，c o m p l e xd y n a m i cs y s t e ma n d8 0o i l h o w e v e rs of a r ，i n v e s t i g a t i o n si nt h i s d i i e c t i o n & r er e s t r i c t e dt ot h ef i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e s ac o u n t e le x a m p l ec i t e d 沁 j v i i s g l g l l qi m p l i e dt h a tt h ed e f i n i t i o no f m 6 b i u st r a n s f o r m a t i o n si nf i n i t ed i m e n s i o n a l s p a c e sd i dn o ts u i t f o rg e n e r a lm e t r i cs p a c e s i nt h ef i r s ts e c t i o no ft h i s t h e s i s ，w e e s t a b l i s ht h ed e f i n i t i o no fm 6 b i u st r a n s f o r m a t i o n su n d e rt h ef r a m e w o r ko f i n n e r p r o d u c t s p a c e ss u c c e s s f u l l y , t h em a i t ir e s u l t s ( t h l ，f h 2 ) s h o wt h ed e e pm e a n i n g sa n dt h ew i d e p r o s p e c t so ft h er e s e a r c hi nm s b i u st r a n s f o r m a t i o n si ni n n e rp r o d u c ts p a c e s t op r o v e t h er e s u l t s w eu s eap u r e l yg e o m e t r i cm e t h o dw h i c hd o e sn o tm a t t e rt i l ed i m e n s i o n o fa s p a c e i ti st o t a l l yd i f f e r e n tf i o mt h em e t h o do f s e e k i n gs c h w a l z d e r i v a t i v eu s e d b yi t h a r u k i a n dt ，m r a s s i a sa n dt h ei n d u c t i o np r i c i p l eu s e db ya ，fb e a r d o n d dm i n d a d i nt h es e c o n ds e c t i o no ft h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h ep r o b l e mo ft h ed i s c r e t e n e s , so f n o n e l e m e n t a r y2 - d i m e n s i o n a lm s b i u sg t o u p s w ei n t r o d u c ean e wa p p r o a c ht h a to $ 1 e c a i ! u s eap a r a b o l i ce l e m e n ta sat e s te l e n 】c l l tt ot e s tt h e ( 】i ( ie t e n e s so fa n o i i e l e m e n t a _ l y 2 - d i m e n s i o n a lm 6 b i u sg r o u pa n di td o e sn o tm a t t e rw h e t h e ro rn o tt h et e s te l e m n e ti s i i m s b i u st r a n s f o r m a t i o n s a n d a b s t r a c t i nt h eg r o u p o u rr e s u l t ( t h 3 ) i m p r o v e st h ec r i t e r i ae s t a b l i s h e db yt j c r g e n s e n ( t h d ) k e y w o r d s ：m s b i u st r a n s f o r m a t i o n s ，i n n e rp r o d u c ts p a c e ，s p h e r e - p r e s e r v i n gm a p s ， m s b i u sg r o u p s ，d i s c r e t e n e s s i i i w r i t t e nb yy i nd o n g q i n s u p e r v i s e db yp r o f c h e r tm i n 确4 6 0 33 苏州大学学位沦文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教 育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名：盈鲣日期：色龇生， 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：盘叁塾日期：2 2 竖：生。1 7 导师签名：篁勘日期：塑竺：梦 内积空间中的m 6 b i u s 变换及m s b i u s 群的离散性 引言 内积空间中的m s b i u s 变换及m s b i u s 群的离散性 引言 m 6 b i u s 群理论是现今主流数学中一个蓬勃发展的活跃分支，它不仅是数 学中一门非常有价值的理论，而且与周边学科也有着密切的关系，如r i e m a n n 曲面、t e i c h m f i l l e r 空间、位势理论、复动力系统、超弦理论等。历史上有许多 著名数学家都对该理论进行了深刻的研究，如l v a h l f o r s 、a f b e a r d o n 、 f wg e r h i n g 、w pt h u r s t o n 、p t u k i a 等，他们进行的工作成为数学中的闪光 点，但是他们的工作都集中在有限维空间中，特别是在二维复平面上。1 9 8 4 年，芬兰著名数学家j v 新s 甜舭5 】首先考虑将m s b i u s 变换的概念推广到无穷 维空问中，其定义如下： 定义a 设x ，y 是任意的两个度量空间，贾= x u o o ，p = y u o 。) 。 设a 是贾的子集，是a 到p 上的嵌入映射。如果存在【0 ，0 0 ) 到【0 ，0 0 ) 上的 同胚口，使得了o ( - y ) 。则称，是a 上的拟m s b i u s 变换。其中7 = f ，6 ，c ，卅， 嵋b ，c ，d 是a 中任意四点，一= 7 1 l f ( 。l ，( 6 ) ，( c ) ，( 田。 定义a 中当o ( e ) = 7 ，f 保交比时，j v a l s i l a 称，是m s b i u s 变换。但 是对于一般度量空间中的m s b i u s 变换，他只是给出了这个定义并未对其进 行深入的探讨。另外，在文中他还利用一个反例说明即使是球面反射也不一 定是其定义下的m 6 b i u s 变换。这就表示鼹中的m 6 b i u s 变换的概念不适 合于一般的度量空间。 内积空闻中的m s b i u s 变换及m s b i u s 群的离散性 引言 另一方面，m s b i u s 群与带有双曲结构的流形密切相关，无穷维流形是 流形理论的重要组成部分因此，把m 6 b i u s 变换的概念推广到无穷维空间 有着重要的意义。基于3 v g i s i 1 i i l l 5 】的相关讨论，再联系到内积空间与冗墨有 着许多类似的几何特征，我们成功地将m s b i u s 变换的概念建立在内积空间 的框架下。本文第一节就是对内积空间中的m s b i u s 变换的初步探讨。 在有了内积空间中的m 6 b i u s 变换的概念之后，我们讨论了内积空间中 的m s b i u s 变换的几何特征，在此过程中，我们不能不提到大家熟知的保圆映 射原理 1 4 1 ，即在c 。上，m s b i u s 变换与保圆映射等价。对于保圆映射的研究 具有悠久的历史，许多数学家和学者都对其进行了大量工作。如；h h a r u k i 、 t m r a s s j a s ( 参见 7 】，f l o 】) 。随着对保圆映射研究的深入，在1 9 9 6 1 9 9 8 年， h h a r u k i 和t m r a s s i a s 8 ，通过引入一个新的几何对象a p o l l o n i u s 四边 形，给出了e 。上m s b i u s 变换的一个新特征。 定义b设四边形a ，a ：a 。a ；是复乎面e 上的任一四边形，若砸i 甭石= 五甭a 五n a q 成立，则a 。a 。a 3 a 。称为c 上的a p o l l o n i u s 四边形。其中 万河；= j z ，一z 。i ，。分别表示a 。，以：所对应的复数。 性质a 设w = f ( z ) 在复平面c 是亚纯的且在c 的个非空区域月 内单叶解析，四边形a 1 a 2 a 3 厶是r 内的任一a p o l l o n i u s 四边形。若a ：= ( a i ) ( i _ l ，2 ，3 ，4 ) ，则a j 疋a ；a ：是a p o l l o n i u s 四边形。 文( 8 】的主要结果是： 定理au = ，( z ) 满足性质a 的充要条件是，是m s b i u s 换。 内积空间中的m s b i u s 变换及m 6 b i u s 群的离散性 引言 这一结果于1 9 9 8 年发表在美国数学会( a m e r i c a n m a t h e m a t i c a ls o c i e t y ) 杂志上。h h a r u k i 和t m r a s s i a s 主要根据，在复平面上的非空区域r 内的解 析性求出s c h w a z z 导数的思想对定理a 进行证明的。在2 0 0 1 年，a f b e a r d o n 和d m i n d a l 3 1 ，用另一种方法，即将一维和二维中的m s b i u s 变换与函数方程 组的解联系起来，证明了a 的结果，并且他们还说明定理a 中对函数，的解 析性限制是不必要的。随后，他们又将a p o l l o n i u s 四边形的概念推广到磁， 中，提出了具有性质血的映射的概念。 定义c 设r 是r 蝥的一个非空区域，：r 一r 警是映射。若对于r 中不同的点a ，6 ，c ，d ，hb ，c ，d i = 1 ，都有l ，( n ) ，( 6 ) ，( c ) ，( d ) l = l ，则称， 在r 内具有性质a ( ，在r 内保交比值1 ) 。若对于r 内任意一点，都存在 该点的邻域u ，使得，在u 上的限制，l 矿具有性质口，则称，在r 内局部 具有性质a 。 在此基础上，a f b e a r d o n 和d 。m i n d a 3 l 采用数学归纳法将结果推广到 了r 恐中。 文 。】的主要结果是： 定理b 设r 是r 芝的一个非空区域，：r - r 是映射且在r 内局 部具有性质q ，则，是m s b i u s 变换在r 上的限制。 定理c 设r 是冗毛的一个非空区域，：月：斗r 娶是局部保球映射， 则，是m 6 b b j s 变换在r 上的限制。 定理b , c 给出了r = 中m s b i u s 变换的一个新特征，即将m 6 b i u s 变换、 保交比值l 的映射、保球映射这三者等同起来，使得m s b i u s 变换具有了很直 内积空间中的m 6 b i u s 变换及m 6 b i u s 群的离散性 引言 观的几何特征。但是，a f b e a r d o n 和d m i n d a 主要采用的是数学归纳法，此 方法仅适用于有限维空间。因此他们的方法在内积空间中已经不再适用 在本文中，我们采用了一种纯几何的证明方法，这种方法不涉及空阃的 维数。我们的工作显示出内积空间中的m 6 b i u s 变换的几何与有限维空间中 的m s b i u s 变换的几何有着很大的相似性。另外，从其他的一些平行工作【”】 可看出内积空间中的m s b i u s 变换与带有双曲结构的无穷维流形确实也有着 密切的关系，从而说明我们对m 6 b i u s 变换所进行的推广具有很好的发展前 景。 设e 为实内积空间。 下述的定义是 8 1 中a p o l l o n i u s 四边形在e 中的一个延拓。 定义1 设r 是e 的一个非空区域，f ：冗- 豆是映射。若对于矗中不 同的点。一，c ，d ，j 。，b ，c ，d l = 1 ，都有l ，( o ) ，( 6 ) ，( c ) ，( d ) l = 1 ，则称，在r 内具有性质声。若对于兄内任意一点，都存在该点的邻域u ，使得， 盯具 有性质_ 臼，则称，在r 内局部具有性质卢。 本节的主要结果如下： 定理l ( 整体特征) 设，：虏一豆是连续双射。则下面三个条件等价： ( 1 ) f 是m s b i u s 变换； ( 2 ) f 在豆内具有性质卢； ( 3 ) f 在宙内保球面。 推论l ( i ) 若，是m 6 b i a s 变换，则f 将球面的对称点映为球面的对称点。 ( i i ) 设f ，9 是m s b i u s 变换若存在开集u ，使得f l 矿= 口l u ，则f = 9 。 4 内积空间中的m 6 b i u s 变换及m 6 b i u s 群的离散性引言 定义2 设r 是e 的一个非空区域，f ：r - 豆是映射。若对于r 中任 意一球面s ，f s 是s 到球面l ( s ) 的双射。贝称，在r 内保球面。若对于 r 内任意一点，都存在该点的邻域u ，使得对于u 内任一球面s ，b 是 s 到球面i ( s ) 的双射，则称，在r 内局部保球面。 定理2 ( 局部特征) 设r 是e 的一个非空区域，f ：兄豆是连续双 射。则下面三个条件等价： ( 1 ) ，是m s b i u s 变换在兄上的限制； ( 2 ) f 在r 内局部具有性质届； ( 3 ) f 在r 内局部保球面。 由定理1 及定理2 我们内积空间中的m 6 b i u s 变换的特征如下： 推论2 没，：雷j 序是连续双射。贝下列条件等价： ( 1 ) ，是m 5 b i u s 变换； ( 2 ) f 在豆内具有性质卢； ( 3 ) f 在豆内局部具有性质卢； ( 4 ) f 在豆内保球面； ( 5 ) ，在雷内局部保球面。 m s b h ，s 群理论中一个基本的问题就是关于二维非初等m s b i u s 群的离散 性的判别。早在1 9 7 6 年著名数学家t j c r g e n s e n 2 1 ，【1 就建立了如下的判别法 则： 定理d 设g 是二维m s b i u s 群肘( 2 ) 中的非初等子群。则g 是离散的 当f l 仅当对于任意的f ，g g ，( f ，g ) 是离散的。 5 内积空间中的m 6 b i u s 变换及m s b m s 群的离散性 引言 定理d 表明一个m ( 2 ) 中的非初等子群的离散性完全依赖于它的所有二 元生成子群的离散性。后来又有众多入从事这方面的研究，如：a f ，b e 缸d o n 、 a n f a n g 、& g i l m a n 、b n a j 等等( 参见f 2 】，【5 ，1 6 】，【1 2 ) 。本文第二 节中提出一种新的判别方法，即将一个固定的抛物型元素作为检验元素来 检验c k 上非初等m s b i u s 群g 的离散性。这种方法的特点在于选取的检验 元素并不一定要在g 内，这就大大改进了由t ，如r g e n s e n 建立的判别法则。 本节的主要结果如下： 定理3 设g 是m ( 2 ) 中的非初等子群，卯是一个抛物元。如果对于任 意的9 g ，( g ，9 0 ) 是离散的，那么g 是离散的。 推论3 设g 是m ( 2 ) 中的非初等子群，9 0 是g 中的一个抛物元，9 是 g 中任一元素。则g 是离散的当且仅当( 卯，9 ) 是离散的。 6 内积空间中的m 6 b i u s 变换及m f b i u s 群的离散性内积空间中的m s b i u s 变换 1 内积空间中的m s b i u s 变换 本节设( e ，( ，) ) 为一实内积空间，以下简记为e 。 1 1 预备知识 我们先对e 中有关内容作简单的说明。 定义1 1 1 【7 设豆= e u o 。) ，o 。隹e 。若a 是e 的有界子集，则称 豆一a 是0 0 点的一个邻域。于是就在雷内定义了一个h a u s d o r f f 拓扑。 在雷中，如下定义度量：设2 7 是e 中任意一点，z 的模长定义为恻i = ( z ，z ) ；i = + 。o 当且仅当z = o ( 3 。在此基础上，类似于欧氏空间，就可 以定义廖中两点间的距离，四点的交比，真球面，超平面等。如： ( 1 ) z ，y 的距离定义为忙一可9 ，v x ，y 宙 ( 2 ) n ，6 ，c ，d 的交比定义为h 6 ) c ，d l = 雌三糊， v a , 6 ，c ，d 豆。 规定： n ，6c j 。o = 恬三甜，v a , 玩c 豆 ( 3 ) 点集s ( o ，r ) = 茁雷：陋一j | = r ) ，这里口届一 ) ，r 0 ，称 s ( o ，r ) 为雷内的真球面。 ( 4 ) 点集p ( a ，t ) = z e ：( z ，a ) = t ) u o 。) ，这里ae 窗一 o 。，o ，t 为 实数，称p ( a ，t ) 为亩内的超平面 以后统称超平面和真球面为球面。另外还可以给出廖中的角，角的平 分线，三角形及三角形相似的概念等。 定义1 1 2 记圣t ，西。分别为啻中关于真球面的反射和超平面的反射。 7 内积空间中的m 5 b i u s 变换及m s b i u s 群的离散性内积空阿中的m s b i u s 变换 西l ，西2 如下定义： 圣- ( z ) = 。+ ( 南) 2 x - - a ) ，比雷 其中西l ( n ) = 。，壬l ( o 。) = a 。 西2 ( z ) = g 一2 ( z ，n ) 一f 矿， v z e 其中。+ 2 涤，中：( o 。) 2 o 。- 下面再给出两个有用的引理。 引理1 1 1 圣。，屯保交比。 证明：以西。为例。 任取雪中四个不同的点。幽w ，z 。因为 l l 中- ( 茁) 一西t ( ) 1 1 2 = i l a + 爪f 三可) 22 ：- - a ) 一一歹兰可) 。( g n ) | | 2 = ( 禹”旷南旷咄南卜圹南旷训 计算整理得， | i 西t ( 茁) 一圣- ( y ) l l5 j ：f 二i j i ! 硼l | z 一可i l 所以， i圣，(z，壬-c可，西，c，西-cz，l=喜要；三_|罟罢3耋j渊 ：监二业也二绷 l i x z 1 1 - 1 1 伽一引1 引理1 1 2 ( i ) 设a ，b 是曰内的两定点。对于庄内的任一点p ，若雨p a 是常数，则p 的轨迹是一个球面，且以a ，b 为对称点。( i i ) 若a ，口是啻上 固定球面的一对对称点，则对此定球面上任一点p ，都有铬是常数。 内积空同中的m s b i u s 变换及m s b i u s 群的离散性 内积空间中的m s b i u s 变换 证明：( i ) 设器= 七， o 的常数。由丽= k - p - b 知忙p 一可 i l = 1 i 嚣p z 日i l ，即( z p z ，$ p 一士a ) 一k 2 ( p z 日，z p z b ) = 0 ，其中z p ，x a ，z r 分男为点p ，a ，b 所对应的坐标表示若k 1 ，则经过计算得 i x p - - x a - l - - - 瑙k 2 x b 胪i 禹j j x a - z 月l l j l 。一訾1 1 j l 工8 一訾】i = f r = ；百乒1 l z 一一z 口l j 所以p 的轨迹是一个真球面，且以a ，b 为对称点。若= 1 ，则忙r z 一| l = 1 1 石p z 口忆p 的轨迹是池b 1 的垂直平分面，为超平面。故p 的轨迹是一 个以a ，日对称点的球面。 ( i j ) 若a ，b 为超平面的对称点，则是= 1 。若4 ，b 为真球面的对称 点，设该球面的球心为q ，半径为r 。由假设a ，b 是此球面的对称点知 蕊西= r ：= 丽2 。又角p q a = 角b q p ，故p q a 与日( ? p 相似。从而 嚣= 器= 学，因为q a 是定点，r 是定值，所以丽p a 是常数。 1 2 概念及性质 定义1 2 。1 设，：豆_ 豆是满射。若，在豆内保交比，则称，是m s b i u s 变换。 说明。( 1 ) 因为是在雷上的自同胚族中建立m 6 h i u s 变换的概念，所以定 义中给出满射的限制是合理的否则，我们很容易找到从啻到其真子空间 的映射，使得映射是保交比但非豆上的自同胚。如：，( e n ) = e 。n ，( e n ) 忍， 为豆的组完备的标准正交基。 ( 2 ) 由定义1 2 i 及弓f 理1 11 可知，r 中的m 6 b i u s 变换一定是本文定 义下的m 6 b i u s 变换，这就说明我们的推广是合理的， 内积空间中的m s b i u s 变换及m s b i u s 群的离散性 内积空间中m s b i u s 变换 定义1 2 2 设r 是e 的一个非空区域，f ：r - 豆是映射。若存在 m 6 b i u s 变换，使得f r = f ，则称，是m 6 b i u s 变换在r 上的限制 性质1 2 1 任意有限个m 6 n u s 变换的复合仍是m s b i u s 变换。 证明：由定义1 2 1 立得。 性质1 2 2 若，是m s b i u s 变换，则，是连续的单射。 证明：先证，是单的。任取x - ，z ：豆，x z 。假设，( z ，) = f ( x 。) 。 总存在。3 ，x 4 豆，使得陬，现，x 3 ，甄降0 ，因为，是m 6 n u s 变换，所以 j ，( z ，) ，f ( x 。) ，( ) ，f ( x 4 ) j 0 ，矛盾。 再证，是连续的。因为球面反射是m 6 b i u s 变换且是连续的，我们只需 证，在。点的连续性。由性质1 2 1 及球面反射是m s b i u s 变换，可以不妨假 设，( o ) = o ，( 。) = 。任取点。，y 豆一f 。，o ) ，z y ，因为，是m s b i u s 变换，所以k o ，可，。1 = i f ( 士) ，o j ，( ) ，。1 ，即i i ，( ) 1 | = 铲蚓l ，从而f 在 0 点连续。 1 3 整体特征 下面先给出f 8 j 中a p o 】0 n i u s 四边形在内积空闯中的个延拓定义。 定义1 3 设r 是e 的个非空区域，f ：_ r 叶豆是映射。若对于r 中 不同的点n ，b ，c ，d ，i n ，b ，c ，d i = 1 ，都有l ，( ，( 6 ) ，( c ) ，( 驯= 1 ，则称，在r 内具有性质p 。若对于r 内任意一点，都存在该点的邻域u ，使得，i 。具 有性质卢，则称，在r 内局部具有性质p 在后面的论证过程，我们将用到下面五个引理。 引理1 3 1 设r ，r ，是圩的两个非空区域，f ：r _ 爿是满射。若，在 1 0 内积空间中的m s b i u s 变换及m 5 b i u s 群的离散性 内积空间中m s b i u s 变换 r 内具有性质卢则( i ) f 是单射；( i i ) f 在r 内保球面。 证明：( i ) 任取钆z 。r ，茁，z 。假设f ( x x ) = f ( x 2 ) 。在r 内总存在 z l x 29 3 2 2 z 】z 4x 3 x 4 即l x ，g n l = 1 。因，在r 内具有性质卢，故i ，( z - ) ，f ( x z ) ，f ( x 。) ，( z t ) l = 1 ， 矛盾。 ( i i ) 设s = 如：临甜= 七 是丑内的一球面，则由引理i 1 2 知a ，6 为s 的 对称点。对于任意的。，y s ，有k a ，y ，b i = 1 。再由假设知l ，( z ) ，( “) ，( y ) ，( 6 ) 1 = ，即恬= 愕，记此比值为。记 名：= 蝴= s ，则s 是以f ( a ) ，( 6 ) 为对称点的球面， ，( z ) ( 孑：蒯= 南) ，由z 的任意性知f ( s ) s 。由上面的证明知，将球面的对称点映到球面的对称 点且，是双射，故s ef ( s ) 。从而f ( s ) = s ，在r 内保球面。 在下边的四个引理中我们假设，：豆斗亩是保球连续单射，f ( o ) = o ，汹) - o 。于是，在豆内，将真球面映为真球面，超平面映为超平 面。 引理1 3 2 ，将球心映为球心。 证明：设s 是以b 。，z 。】为直径的真球面，珏是与s 相切于孤的超平 面( i = 1 ，2 ) ，则h tn 凰= o 。其中p - ，z ：】是以t 。，x 。为端点的线段。因 为，是单的，所以h ；n 噬= 。，s 是以k ：，z 匀为直径的真球面，其中 s 7 = ，( s ) ，h ：= ，( 风) ，z ，( 孔) 。记s 的球心为o ，( o ) = o 。作以ho 为直径的真球面( i = 1 ，2 ) ，易知s ，相切于o 。由上面证明知s ；是以 内积空间中的m 6 b i u s 变换及m 6 b i u s 群的离散性 内积空间中m 6 b i u s 变换 阮0 ，】0 = 1 ，2 ) 为直径的真球面。又，是单的，所以墨，g 相切于d ，。于是 o 瞄，z ：】。由于b ，z 。】是真球面的任一直径且，是单的，敌是s 的球 心 引理1 3 3f 将线段映为线段( 保线段) ，从而将k 维平面映为k 维平 面( k l 为自然数) 。 证明：设k y 】是官内任一线段，s 是以【x ，引为直径的真球面。对于 任意n k 鲥，作以。为球，l - 与s 相切于z 的真球面s ，。容易验证有下 面的结论：若两个真球面相切于。，则它们的球心和z 共线。因为s 是以 b ，y 为直径的真球面，所以存在以y 为球心且与s 相切于z 的真球面岛。 记s7 = f ( s ) ，= & ，“= l ，2 ) ，o 为s 的球心。由引理1 3 2 ，。= ， y = y ( y ) ，0 1 = ，( d ) 分别为s ；，韪，s 的球心。又，是连续单的，所以与s 7 相切于z = ，( 。) 0 = 1 ，2 ) 由上面的结论知，“，o ，茁共线，y ，o ，x7 共线。 于是a x 7 ，y 】，再由，的连续性知r 将线段 x ，y 】映为线段 x ，y 】。从而， 将直线映为直线，将k 维平面映为k 维平面 引理1 3 4 ，将角的平分线映为角的平分线。 证明：设窗内任意的一角a b d ，在角a b d 的平分线上任取一点p ， 以p 为球心，作与线段a b ，b d 分别相切的真球面s 。记s 7 = ，( s ) ，a = ，( a ) ，b7 = ，陋) ，d = f ( d ) 。因为，是连续的单射，且将球心映为球心， 所以，将s 的内部映s 的内部，将s 的外部映为s 的外部。于是b 在s 的外部，从而s 必是与线段爿b ，b d 分别相切的真球面。再由引理1 3 2 知，为s 的球心，其中p = f ( p ) 。所以p 在角a 7 b d 的平分线上，再由 内积空间中的m 6 b i u s 变换及m s b i u s 群的离散性 内积空间中m s b i u s 变换 引理1 3 3 可知，将角的平分线映为角的平分线。 引理1 3 5 ，保持角的大小。 证明：设豆内任意的一角m q g ，以q 为球心作真球面s 分别交m o ，q 于a ，a 2 。记s = ，( s ) ，q = ，( 0 ) 。由引理1 3 2 知q 为s 的球心。用 a 。q ，a t q 所在的2 维平面去截s 得以q 为圆心，a ，q 为半径的圆周，记 为k 。由引理1 3 3 知k 7 = f ( k ) 是以q 为圆心，a q 7 为半径的圆周。 在k 和k 上，分别设角4 t 锄。= p ，角a t o a ：= 仃。先假设p = 鲁胁为自 然数) 在k 上取一点a 3 ，使得a 2 q 为角a ，q a 。的平分线，则角a t o a 3 - 2 p 。 由引理1 3 4 知，鸽q 角a i q a ：的平分线，故角a i q a ：= 2 一。在k 上再 取一点a d ，使得a 。q 为角a 2 q a a 的平分线，贝a t q a n = 3 p 。同理可证 a ：q 玛= 3 a 。如此继续上述过程，当作了( n 一1 ) 次时，点a ，与a 。+ ，重合， 由，是单的知点4 与以0 。重合，于是有礼p = 2 ”，n - 仃= 2 丌故p = 一若 p = r 2 ”p 为有理数) ，则可令r = g ，其中q 为整数，p 为自然数，且p ，q 互质。分别以g ，孑代替岛口，由上述证明得，g = 孑即p = 盯。若p = 2 2 ”( 为无理数) ，因为有理数在实数中是稠密的，所以存在有理数列使得 土骢2 t 因为对每个m ，r 。2 丌在，下保持大小不变，所以p 在，下保持大小不变。 故，保持角的大小。其中a 辛f ( a t ) 0 = 1 ，2 ，n + 1 ) 。 下面，我们给出内积空间m s b i u s 变换的整体特征： 定理1 3 设，：啻一直是连续双射。则下面三个条件等价： ( 1 ) ，是m s b i u s 变换； 1 3 内积空间中的m 6 b i u s 变换及m s b i u s 群的离散性 内积空间中m s b i u s 变换 ( 2 ) f 在廖内具有性质卢； ( 3 ) f 在露内保球面 证明：( 1 ) 辛( 2 ) 显然。 ( 2 ) 令( 3 ) 在引理1 3 1 即得。 下面证( 3 ) 辛( 1 ) 。 由引理1 3 3 ，1 3 5 知，在豆内保线段且保持角的大小。对于雷内任意 四点o ，b c i d ，记o = ，( a ) ，6 ，= ，( 皖，c j = ，( c ) ，= ，( a 。以。，颤d 为顶 点的三角形与以，一为顶点的三角形相似。则 i i o 一6 ，| | 一l l a 一 一d ，1 | 一1 1 ( f r 一1 1 j l “一酬lj i n dj ll i d 一6 l l 同理， tlb-?lllib-cll崆=剑 6 一d | l1 1 6 一c | li | c d l l 于是，c ，d = f a ，b ，c ，d f 。 由定理1 3 我们可以得到下面有用的推论。 推论1 3 ( i ) 设，是m s b i u s 变换，s 是e 内的任一球面，z ，y 是s 的任 意一对对称点，则，( z ) ，f ( y ) 是球面f ( s ) 的对称点，( i i ) 设f ，9 是m s b i u s 变 换。若存在开集矿，使得，f u = g l , v ，则，= g 证明：( i ) 由定理1 3 知，在豆内具有性质声再由引理1 3 1 ( i i ) 的证明 可得。 ( i i ) 因为u 是开集，所以存在啻内闭球廖cu 。由假设，i u = 口j u 知 ，f r = 口f 目。记雷的内部和边界分别为口，含雷。对于西外的任意点z ，作关 于a 詹的反射e l , ，则西( z ) b ，故，( 圣( 茁) ) = 口( 圣( z ) ) 。又z ，圣( z ) 关于拍 内积空间中的m 6 b i u s 变换及m s b i u s 群的离散性内积空间中m 6 b i u s 变换 对称，由( i ) ，( z ) ， ( 茁) ) 关于，( 8 豆) 对称，9 ( z ) ，g ( 西( 茁) ) 关于9 ( o b ) 对称。又 ，f a 丘= 9 ，所以f ( x ) = g ( $ ) 。从而地詹，都有f ( x ) = g ( 。) 1 4 局部特征 在讨论了内积空间中的m s b i u s 变换的整体特征的基础上，我们又进一 步得到了内积空间中的m s b i u s 变换的局部特征。 首先给出局部保球映射的概念。 定义1 4 设r 是e 的一个非空区域，f ：r - 豆是映射。若对于r 中 任意一球面s ，1 s 是s 到球面f ( s ) 的双射。则称，在r 内保球面。若对 于r 内任意一点，都存在该点的邻域u ，使得对于u 内任一球面s ，| s 是s 到球面f ( s ) 的双射，则称，在r 内局部保球面。 下面给出内积空间中m 5 b i u s 变换的局部特征。 定理1 4 设r ，r 是e 的两个非空区域，f ：r _ r 是连续双射。则下 面三个条件等价： ( 1 ) f 是m s b i u s 变换在r 上的限制； ( 2 ) f 在兄内局部具有性质声； ( 3 ) f 在r 内局部保球面。 证明t 根据定理1 3 ，只需证( 3 ) 号( 1 ) 。 由推论1 3 ( i i ) 及球面反射是m s b i u s 变换，我们只要证明下面的结论。 若，是h + 内保球面的连续双射，f ( 0 ) = 0 ，( 。) = 。o ，则，是m 6 b i u s 变换在日+ 上的限制。 这里h 是一个过原点的超平面且f ( h ) = h ，h + 和h 是被h 所分成 15 内积空间中的m s b i u s 变换及m s b i u s 群的离散性 内积空间中m s b i u s 变换 的两个半空间。 由假设知，在日+ 内，将超平面映为超平面，将真球面映为真球面。 下面分六个步骤进行证明 步骤l ：设s 是h + 内任一真球面，o 为s 的球心，防，q 1 为s 的垂直于 日的直径。由引理1 3 2 知s 是以b ，q 】为直径的真球面且o 民q 。其中 s = ，( 观p = ，) ，q = ，( q ) ，0 ，= f ( o ) 设f a ，b 】是s 的垂直于p ，q j 的直 径，记【n ，功所在超平面为，贝4 n 日= o o ，= ，( ) 是超平面。因为，是 单的，所以0 n 且n n h = o 。设5 t ，s e 分别为以i a ，o ， o ，纠为直径的真 球面。记s l = ，( s ) o = 1 ，2 ) ，s l 的球心为o ：( 归1 ，2 ) ，s 的球心为o ”。下证 。，= d ，反之假设o ”。由岛，的作法知，冀，s 2 分别切s 于。，b ，s 。，岛 相切于o 。因为，是单的，所以s ：，式分别切s7 于。，s ：，式相切于。 则0 17 ，0 。1 ，共线，d ，咤，共线，0 7 ，0 1 ，0 ：共线。其中= ，( 。) ，= f ( b ) 。记 “。”，b o ”所确定的二维平面为m ，贝0 o ：e 肘，从而0 7 m ，。”m 。 因为，口，d ，共面于m ，所以db ，d ，口，要么平行，要么相交。若如，dd ，7 平 行，则。分n h t o 。) d ，又0 6 ，n 7 ，与日n n = o o 矛盾。因此，o b ，d 7 。“ 相交。又因为o 0n n = 07 ，a b en ，所以n 6 ，nd o ”= 0 7 ，从而0 “b 。 由假设。知0 ”掣a b 。又0 “，墨，共线，。“，如，共线，所以o i # a j b ， 咤隹a b ，而0 1 a b f ，与。，。0 0 ：共线矛盾所以，将h + 内的球心映为球 心。 步骤2 ：设【a ，翻是h + 内任一线段，将 a ，翻分成若干段，不妨设为礼 段，记为陬，魄 0 = l ，2 ，礼) ，。i = q k = b 。使得巩 与 啦十i 】b j 相邻， b i ) 与陬+ 1 ) b 】有公共的一段( i = 1 ，2 ，n 一1 ) 且以k 以 0 = 1 ，2 ，n ) 为 16 内积空间中的m 6 b i u s 变换及m s b i u s 群的离散性 内积空间中m s b i u s 变换 直径的真球面在日+ 内由引理1 3 3 ，每个 a l ，i = l ，2 ，讥) 在，下的象 为线段。h ，明与嘛仙6 l + - j 有公共的一段，所以在陋，6 j 下的象为线段，进 而