（基础数学专业论文）积分几何中几个问题的研究.pdf

西南大学硕士学位论文摘要 积分几何中几个问题的研究 基础数学专业硕士研究生曾春娜 指导老师周家足教授 摘要 在本文中，我们主要讨论了三个问题首先，d 维欧氏空间尉上凸体的双弦幂 积分；其次，由平坦凸体的平均曲率积分的性质讨论了投影体的外平形体的平均曲 率积分；最后，拓展了陈省身的一个积分公式 本文第二章对凸体的双弦幂积分进行了研究双弦幂积分的概念是在弦幂积 分论基础上建立的一个新的概念，从某个角度看，弦幂积分是双弦幂积分的特殊情 形双弦幂积分所获得的几何信息更丰富本文得到了双弦幂积分的一些重要不等 式，得到了以下结果： 定理2 5 设k 是r d 上的凸体，m ，竹是非负整数，则 如m ，o ( k ) 1 2 n ，o ( k ) 1 m 2 + n 。o ( k ) ( 2 1 6 ) 定理2 6 设k 是r a 上的凸体，m ，礼，p 是非负整数且0 m 仃p ，则 j ：( k ) 鬈i m ( k ) 职五m ( k ) ( 2 1 7 ) 定理2 7 双弦幂积分有下列不等式成立： 焉n ( k ) 2 m ，o ( g ) h n ，o ( k ) ( 2 1 8 ) 特别地， k ，m ( k ) 5 厶m ，o ( k ) ( 2 1 9 ) 当m n ， 焉。( k ) 厶n ，o ( k ) 2 ( m - n ) ，o ( k ) ( 2 2 0 ) 定理2 8 双弦幂积分有下列不等式成立： 焉n ( k ) k 一1 ，n 一1 ( k ) k + 1 ，n + 1 ( k ) ( 2 2 1 ) 定理2 9 双弦幂积分有下列不等式： 西南大学硕士学位论文摘要 当n 是整数时 ( 警) 厶n ，。+ ( 警) 厶n z ，2 + 2 n ) ，z n ( 翟) 如n t ，- + ( 警) 厶n 一3 ，3 + ( 2 0 二1 ) ，2 n t ( 2 2 2 ) 特别地，当n 是偶数时， ( 警) k 。+ ( 锄+ ( n 竺1 ) 一 ( 1 1 2 n - 1 , 1 4 - ( 3 + 互1 ( 书k ( 2 2 3 ) 当n 是奇数时， ( 警) 如n ，。+ 2 2 n 、i z n 一：二+ 互1 ( 蛩) 厶，n ( 1 ) 1 2 - 1 , 1 + w 2 n 、z , 棚一+ ( 佗竺1 ) “ 在本文的第三章，我们讨论了上凸体在l 上正交投影后然后再做外平行 体的平均曲率积分问题这也是一类很有意思的问题，s a n t a l 5 、周家足教授、江德 烁、李泽芳等都进行过研究其中，周家足教授和江德烁研究了在中凸体先做 外平行体再往平面厶上作投影体的平均曲率积分问题，作者受到他们的启示研究 了在r d 中凸体先往平面厶上作投影体再在平面厶上做外平行体的平均曲率积 分问题，这是两个不同的问题，得到的结果也不一样，作者得到了下列定理： 定理3 4 设为d 维欧氏空间e d 中具有俨光滑边界a k 的凸体，膨为 ， 维平面厶c 的投影体，( 膨) 口为在e d 中的外平行体膨叫( a ( 群) ) ( t = o ，1 ，r 一1 ) 是膨作为平坦凸体的平均曲率积分，令州卅( a ( ) ，) ( t = 0 ，l ，d 一 1 ) 是a ( 膨) 口在中的平均曲率积分且o ( k 7 ) 。c 2 因此，我们有 1 ) 当i d r 一1 ，则 蚋蝴) = 喜( d 爿) 错去雄“删一( 3 3 1 ) 其次，设是两过固定0 点的相交线性子空间所夹的夹角，在相交线性子 空间上的积分扮演着非常重要的角色，这属于积分几何中一类重要的问题：用已知 的几何不变量来清楚地表示几何量关于运动的密度的积分在本文的第四章，我们 拓展了陈省身公式( 为上述积分中的一个) ，得到了两相交线性子空间夹角的任意 次幂在相交线性子空间上的积分，即下列定理： 定理4 1 设l 。 o l 是过定点0 的固定的g 维平面，l 。i o 是过d 点活动的p 维 平面设p + g d o , a 是这两个线性子空间的角度，d l ：竺筠呻j 表示扎2 d 一口一p 【0 1 的子空间d l d 一口的密度，则我们有 z g 一，a n 3 ( 2 d - p - 口) = 蓑并， 其中，n 为非负整数，d 是t 维单位球的表面积 关键词：凸体随机直线偶双弦幂积分投影体平均曲率积分均质积分 ( 4 1 ) 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t s e v e r a lp r o b l e m s ss t u d i e si ni n t e g r a lg e o m e t r y m a j o r ：d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y n a m e ：z e n gc h u n n a s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rz h o uj i a z u a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h r e ep r o b l e m s ，o n ei st h a tt h ed o u b l e c h o r d p o w e ri n t e g r a l so fac o n v e xb o d yi nr d s e c o n d l y , b yu s i n gc h a r a c t e r so f t h ef l a t ；t e n e dc o n v e xb o d y sm e a nc u r v a t u r ei n t e g r a l s ，w ed i s c u s sa b o u tt h em e a n c u r v a t u r ei n t e g r a l so ft h eo u t e rp a r a l l e lb o d yo fap r o j e c t e dc o n v e x ti ne d f i n a l l y , w ee x t e n daf o r m u l ao fs s c h e n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h ed o u b l ec h o r d - p o w e ri n t e g r a l so fac o n v e x b o d vi n 兄d t h ec o n c e p to fd o u b l ec h o r d - p o w e ri n t e g r a l si san e wc o n c e p to n t h eb a s eo fc h o r d - p o w e ri n t e g r a l s t h ec h o r d - p o w e ri n t e g r a l si sas p e c i a lc a s eo ft h e d o u b l ec h o r d p o w e ri n t e g r a l s a n dd o u b l ec h o r d - p o w e ri n t e g r a l sg e tm o r eg e o m e t r i c i n f o r m a t i o n i nt h i sp a p e rw eo b t a i nt h ef o l l o w i n gg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s ： t h e o r e m2 5 l e tkb eac o n v e xb o d yi nr d ，m ，na r en o n - n e g a t i v ei n t e g e r ， t h e n 2 m ，o ( k ) 1 2 n ，o ( g ) m 2 + n o ( k ) ( 2 1 6 ) t h e o r e m2 6 l e tkb eac o n v e xb o d yi nr a ，m ，n ，pa r en o n - n e g a t i v ei n t e g e r a n d0 m n p ，t h e n 焉了( k ) 譬- m ( k ) 露五m ( k ) t h e o r e m2 7 t h ed o u b l ec h o r d - p o w e ri n t e g r a l sh a v et h ei n e q u a l i t i e s s p e c i a lc a s e w h e nm n ， 焉。n ( k ) 1 2 m ，o ( k ) 1 2 n ，o ( k ) k ，m ( k ) 1 2 m ，o ( k ) 焉n ( k ) h n ，o ( k ) 1 2 ( m - n ) ，o ( k ) t h e o r e m2 8 t h ed o u b l ec h o r d - p o w e ri n t e g r a l sh a v et h ei n e q u a l i t y 焉n ( k ) k _ l ，一l ( k ) k + 1 ，n + 1 ( k ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 西南大学硕士学位论文a b s t r a c t t h e o r e m2 9 t h ed o u b l ec h o r d - p o w e ri n t e g r a l sh a v et h ei n e q u a l i t i e s ： ( 警) 尼n ，。+ ( 警) 厶n 一。，2 + ( 2 2 礼n ) 1 0 ，2 住 ( 1 ) 2 , , - 1 , 1 + ( 警) 厶n s ，3 + ( 2 # 二1 ) ，2 n 一 w h e nni si n t e g e r ( 2 2 2 ) ( 警) 厶n ，。+ ( 翟) 屯n z ，2 + ( 钆鼍二1 ) 厶+ - ，n 一 ( h - + ( 警) k 3 + 互1 ( 翟) k e s p e c i a l l y , w h e nni so d d ( 警) 厶n ，。+ ( 警) 如n z ，2 + 三 ( 挈 ( 2 2 3 ) ：) 1 2 n - l , 1 + ( 铀3 + ( n 竺1 ) 4 ( 2 2 4 ) w h e n 竹i se v e n i nt h et h i r dc h a p t e rw ed i s c u s st h em e a nc u r v a t u r ei n t e g r a l so fap r o j e c t e d c o n v e xs e to ft h eo u t e rp a r a l l e lb o d yo fi ne d t h i si sa i n t e r e s t i n gp r o b l e m s a n - t a l 6 ，p r o f e s s o rz h o u ，j i a n gd e s h o u ，l iz e f a n ga n d8 0o ni n v e s t i g a t et h ep r o b l e m ， e s p e c i a l l y , p r o f e s s o rz h o ua n dj i a n gd e s h o us t u d yt h em e a nc u r v a t u r ei n t e g r a l so f t h eo u t e rp a r a l l e lb o d yo fap r o j e c t e dc o n v e x ti ne d a u t h o rs t u d yt h em e a nc u r - v a t u r ei n t e g r a l so fap r o j e c t e dc o n v e xs e to ft h eo u t e rp a r a l l e lb o d yo fi ne d t h i s a r et w od i f f e r e n tp r o b l e m s ，t h er e s u l t sg o t t e ni sd i f f e r e n t ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m ： t h e o r e m3 4 l e tkb eac o n v e xb o d yi ne dw i t hc 2 - s m o o t hb o u n d a r y a k ，k r b ep r o j e c t i o no nt h er - p l a n el rce d ，a n d ( k ) pb et h eo u t e rp a r a l l e lb o d y o fk i nt h ed i s t a n c epi n 岛叫( a ( ) ) ( 江0 ，1 ，r 一1 ) b et h em e a nc u r v a t u r e i n t e g r a l so f 0 ( k 7 ) a sac o n v e xs u r f a c eo fk 7a n dl e t 删哪( a ( k ) p ，) ( t = 0 ，1 ，d - 1 ) b et h em e a nc u r v a t u r ei n t e g r a l so fo ( k ) pa saf l a t t e n e dc o n v e xb o d y0 fe da n d o ( k ) p c 2 t h e nw eh a v e 1 ) i ft d r 一1 ，t h e n d - 1 膨由( a ( ) p ) = 似一i l 、 l t t 夕 d l t = d - r( 。 r l d + r + 1 一1 d + r i l ) ( 3 2 9 ) 0 t d t d + r 。m 。t r ( 一r d + r ( a k ) p d + t - i r + 1 臀去如期缈 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) o t h e r w i s e l e t b et h ea n g l eb e t w e e nt w oi n t e r s e c t e dl i n e a rs u b s p a c e st h r o u g h af i x e dp o i n t0 ，t h ei n t e g r a lo ft h ea n g l eao v e rt h ei n t e r s e c t e ds u b s p a c ep l a y a l li m p o r t a n tr o l ei ni n t e g r a lg e o m e t r y , t h i si n t e g r a li sb a s i cp r o b l e mi ni n t e g r a l g e o m e t r y ：f i n de x p l i c i tf o r m u l a so ft h ei n t e g r a i so fg e o m e t r i cq u a n t i t i e so v e rt h e k i n e m a t i cd e n s i t yi nt e r m so fk n o w ni n t e g r a li n v a r i a n t s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ， w be x t e n da ni n t e g r a lf o r m u l ao fs s c h e nf t h ep r o b l e mi sb e l o n gt ot h ea b o v e i n t e g r a ) a n do b t a i na ni n t e g r a lo fn - p o w e ro ft h ea n g l eo ft w oi n t e r s e c t e dl i n e a r s u b s p a c e s f o l l o w i n g ，w ei n t r o d u c et h et h e o r e m ： t h e o r e m4 1 l e tl q 0 】b eaf i x e dq - p l a n et h r o u g haf i x e dp o i n t0a n dl e t 4 0 1b eam o v i n gp - p l a n et h r o u g h0 a s s u m et h a tp + q d l e t b e t h ea n g l e b e t w e e nt h et w ol i n e a rs u b s p a c e s ，e x p r e s sd l 暑菏鲫b et h ed e n s i t yo fd l d - p o la sa s u b s p a c eo ft h ef i x e dd l 2 d p q 【o 】，t h e nw eh a v e g 一，r y h n r it ( 2 d - p - 口 o n + 2 d p q 一1 o n + d r o n + d q l o n w h e r eni si n t e g e r ，o ii st h es u r f a c ea r e ao ft h ei - d i m e n s i o nu n i ts p h e r e ( 4 1 ) k e y w o r d s ：c o n v e xb o d yp a i r so fr a n d o ml i n e sc h o r d - p o w e ri n t e g r a l sp r o t e s t e d b o d yt h em e a nc u r v a t u r ei n t e g r a lq u e r m a s s i n t e g r a l e ，生p ，一 独创性声明 学位论文题目塑佥且鱼主且仝闽塑鲍盟窒 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者： 7 赘香唧签字日茑l j ：加厂年月i , t 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：莒务唧导师签名：臣k 签字日期： 加b 7 年r 月扣。签字日期：& 们1 # - - - 月偿日 西南大学硕士学位论文第1 章前言 1前言 积分几何与几何概率渊源于古典几何概率，最早的几何概率问题远在十八 世纪已出现，g e o r g e sl o u sl a c l e r c ，c o m t ed eb u f f o n ( 1 7 0 7 1 7 8 8 ) 于1 7 3 3 年提出 了一份研究报告，其中讨论了如今著名的小针问题，并利用积分学给出了正确的 结果，在十九世纪下半叶的中期，c r o f t o n 作了大量的工作，重点讨论了各种元素 的测度，e c z u b e r ( 1 s 8 4 ) ，h p o i n c a r 6 ( 1 9 1 2 ) 及r d e l t h e i l ( 1 9 2 6 ) 等人的工作则侧重 于概率问题，以上这些工作，在素材和思想方法上为积分几何的出现孕育了条件 g h e r g l o t z1 9 3 3 年讲学的基本思想更促使w b l a s c h k e 学派的积分几何研究趋于 成熟 1 9 3 5 1 9 3 9 年间，w b l a s c h k e 及其学派在h a m b u r g 大学的讨论班上讨论了一 系列问题，他们所处理的问题大都来自古典几何概率，他们研究这些问题的主要目 的在于：探索概率思想能否富于成效地取得一些结果，特别是有关凸体理论和整体 微分几何方面的结果，他们果然做出了很大的成绩，获得了许多令人赞叹的结果， 发表了许多篇论文w b l a s c h k e 学派在发表论文时有一项奇特的约定：每篇文章 不管作者是谁，除该具的标题外，一律都冠以总标题积分几何：积分几何作为 一门独立的学科诞生了 到了1 9 4 0 年后，陈省身( s s c h e n ) 和a w e i l 等人将局部紧群及其上的 不变测度得思想引入积分几何从而形成了齐性空间积分几何，并拥有著名的w b l a s c h k e 基本公式和陈省身严志达n 维欧氏空间的基本运动公式，获得了实质 性的成果，并发现了它与其他数学分支以及应用学科中的应用，l u i s a s a n t a l 6 的 著作 i n t e g r a lg e o m e t r ya n dg e o m e t r i cp r o b a b i l i t y 总结了积分几何截止当时 为止的主要的理论和应用成果，是公认的积分几何领域的权威性著作 前几年，华中科技大学的谢鹏教授利用活动标架法得到了斧和r 中随机相 交线偶的运动不变公式，进而建立了随机相交线偶与与凸体相交的双弦幂积分的 概念，开创了积分几何概率中非常重要的弦幂积分理论新的研究领域双弦幂积分 的概念是在弦幂积分理论基础上建立的一个新的概念，从某个角度看，弦幂积分是 双弦幂积分的特殊情形双弦幂积分所获得的几何信息更丰富本文第二部分对凸 体的双弦幂积分进行了研究，得到了双弦幂积分的一些性质，并解决了一个相应的 概率问题 同时，在积分几何中研究几何不变量的积分是非常重要的问题几何不变量分 为内在不变量和外在变量，像几何体的体积、面积等在相对运动下保持不变的量 我们称之为内在不变量受外界空间、位置等影响的量称为外在不变量，如曲率、 平均曲率积分、均质积分等s a n t a l 6 在文1 1 1 中就研究了平坦凸体与凸体本身的 平均曲率积分之间的关系，李泽芳、周家足教授研究了外平行体正交投影之后的 面积平均值、体积平均值和平均曲率的任意阶积分的平均值( 参见【7 】) 周家足 教授、江德烁研究了剧上的外平行体往。平面正交投影后的平均曲率积分的关 系式，得到了比s a n t a l 6 更一般的结果( 参见 1 7 】) 作者受他们的启发，也对凸 体的平均曲率积分进行了研究，同样也得到了比s a n t a l 6 更一般的结果，这将在本 文的第四章提到 1 西南大学硕士学位论文第2 章凸体的双弦幂积分 2凸体的双弦幂积分 2 1凸体的弦幂积分 凸体理论是数学中一个非常重要的理论，它在微分几何、积分几何、几何不 等式和几何分析等领域有着很重要的应用，m i n k o w s k i ，s a n t a l 6 ，s c h n e i d e r 和其他 数学家对这个理论做出了巨大的贡献，参见( f 8 1 ，f 1 1 ，1 2 1 ) 由b l a s c h k e 提出的凸 体的弦幂积分( c h o r d p o w e ri n t e g r a l so fac o n v e xb o d y ) 是微分几何最重要的理 论之一，它是研究凸体的整体几何性质及几何不变量的非常重要的性质 定义2 1 ( 参见8 1 ) 设k 为欧氏空间e d 上一子集，如果当a k 和b k 时，连接a ，b 两点的线段也属于k ，则称k 为凸集，具有非空内点之凸集称为凸 体凸体k 之边界a k 称为凸曲面 定义2 2 ( 参见【8 】) 在欧氏空间上，设k 为有界凸集，g 为直线，矿为k 被g 截出的弦长考虑积分 厶= 上恻口矿掘， 其中n 为非负整数，厶称为凸集k 的弦幂积分，而序列厶( n = 0 ，1 ，2 ) 称为凸 集k 的弦幂积分序列 在砰上，设l 为凸体k 边界的周长，f 为凸体k 的面积，则我们有积分公 式( 参见【8 】) i o ( k ) = l ， ( 2 1 ) i i ( k ) = f ( 2 2 ) 对于礼= 3 ，我们有著名的c r o f t o n 公式( 见 1 3 】) ： i s ( k ) = a s d g = 3 f 2 ( 2 3 ) 对于他= 4 ，我们有 1 4 ( k ) = a 4 d g = 6 f 2 e ( r ) ， ( 2 4 ) 其中， e ( r ) 2 南厶脒k r d p l 删b 当凸体k 为半径为r 的圆盘时， 郴，= 三瓣紧：耋：凳鬈薯： 由以上对凸体k 的弦幂积分序列厶的前几项的考察，我们可以了解到弦幂积分确 实反映了凸体的一些重要的几何特征关于弦幂积分，b l a s c h k e 曾经提出过一个问 2 西南大学硕士学位论文2 1 凸体的弦幂积分 题：一实数列厶( 佗= 0 ，1 ，2 ) 是凸体的弦幂积分序列的充要条件是什么? 这个 问题至今尚未解决 为了研究厶，常常引进另一积分序列： 厶= r n d p lad p 2 ， ( 2 5 ) ，只。b k 其中r 表示尸1 ，局两点间的距离 我们有两者之间的关系 厶( k ) ：掣厶一3 ( k ) ，n 2 定理2 3 ( 【8 】c a r l e m a n n 定理) 设圆盘b 与凸体k 的周长( 或面积) 一定， 则 厶( k ) j n ( b ) 关于弦幂积分我们有以下重要的不等式组： 2 ( k ) 丽1 6 ( k ) j s ， ( 2 6 ) 厶( k ) 揣2 n + l t r - n ( k ) 半，n _ 4 6 8 ( 2 7 ) 厶( k ) d 2 , * i r - ( n + 1 ) ( k ) 孚，n _ 3 ，5 ，7 ( 2 8 ) 由( 2 1 ) 、 ( 2 2 ) 式，经典的等周不等式可表示为： 露( k ) 4 ( k ) ，( 2 9 ) 可见，研究弦幂积分厶和弦幂积分之间的不等式是非常有意义的不等式( 2 6 ) ( 2 9 ) 的证明出于吴大任先生( 参见【1 3 】) 在廖上，设f 为凸体k 的表面积，y 为凸体k 的体积，则我们有下列积分 公式 _ i o ( k ) = 芸e ( 2 1 0 ) i ( k ) = 2 1 r k( 2 1 1 ) h ( k ) = 6 v 2 ( 2 1 2 ) 吴大任先生得到了著名的弦幂积分完全不等式组( 见【9 】) ( - 字22 n ( k ) ) 3 一( 昙 ( k ) ) 州 3 3 0 1 2 4 5 = = = = 一 n 佗n n n 当当当当当 0 n 0 n 0 一|i一 西南大学硕士学位论文2 2 凸体的双弦幂积分 在剜上，设f 为凸体k 的表面积，v 为凸体k 的体积，则我们有下列积分公式 ( 见 9 】) 懈) d = 蒜只 ( 2 1 3 ) i i ( k ) d = 言o d 一1 v ( 2 1 4 ) 及我们有著名的c r o f t o n 公式： 饥l ( k ) d d ( d 。+ 1 ) v 2 ( 2 1 5 ) 而任德麟教授得到了著名的d 维欧氏空间弦幂积分的统一不等式( 见【9 1 ) r 0 | 三0 乎 o i = 0 【0 2 2凸体的双弦幂积分 当n = 0 当n = 1 当n = 2 ，3 ，d 当n = 4 当n = d + 2 ，d + 3 ， 在2 0 0 4 年的国际微分几何会议上，谢鹏教授报告了随机针偶与凸体相交的 几何概率相关问题的一些成果，受到国内外一些专家的关注，张高勇( p r o f e s s o ro f m a t h e m a t i c s ，p o l y t e c h n i cu n i v e r s i t y ) 提出能否将相交线性空间偶( 特别地为相交 直线偶) 与一凸体相交，建立凸体的双弦幂积分概念，进而开创一新的积分几何理 论的研究领域( 参见 1 5 1 ，【1 6 】) ，为研究凸体的几何性质提供了新的理论工具其中， 双弦幂积分的定义如下： 定义2 4 ( 参见【1 4 1 ) 设k 为剧上一凸体，盯l ，o 2 是两随机直线g l ，g 2 与k 相交的弦长，则称 k ，n = 仃? 醴d g l d g 2 j g l r i g 2 e k 为r d 中凸体k 关于m ，n 的双弦幂积分，其中m ，礼是非负整数 2 3主要结论 定理2 5 设k 是r d 上的凸体，m ，n 是非负整数，则 1 2 m ，o ( k ) 1 2 n ，o ( g ) 焉机o ( k ) ( 2 1 6 ) 证明由s c h w a r z 不等式，我们有 ( z g l n g 2 e k 仃m + n d g l 阳2 ) 2 上。n 岛k 矿m 掘- 掘。上。旧，k 仃2 n 桕d q ， 即 五h ，o ( k ) 1 2 n ，o ( g ) 芝焉机o ( k ) 口 4 西南大学硕士学位论文 2 3 主要结论 即 定理2 6 设k 是r d 上的凸体，m ，n ，p 是非负整数且0 m 仃p ，则 焉( k ) 瑶i m ( k ) 露五m ( k ) ( 2 1 7 ) 证明p ( 篇) + m ( 嚣) = n 和h o l d e r 不等式，我们有 上。垛k 删g - 蜗 n ， ( z g l n g 2 e ku p 砑d g - 掘z ) 2 z g i n g 2 e k u 2 n 以n d g l d g 2 z 。旧。k 一一n ) 掘- 桕z ， 从( 3 4 ) 我们能很简单地得到( 3 5 ) t h e n 定理2 8 双弦幂积分有下列不等式： 焉n ( k ) 证明由s c h w a r z 不等式， 厶n 一1 ，n l ( k ) k + l ，n + l ( k ) 口 ( 2 2 1 ) ( 上。n 岛k 盯r 砑d g l d g 2 ) 2 上。佑。kd g t 招：上，懈：k 砖m 谚n d g 蝇， 焉n ( k ) o ，o ( k ) j 1 2 m ，2 n ( k ) ( 上。懈：k 口r 醴d g l d g 2 ) 2 上。旧：k 盯r 以砑。1 犯- 掘2 上。旧。k 卵+ 1 醴+ 1 桕- 桕z ， 因此我们得到 焉n ( k ) 厶n 一1 ，m l ( k ) 厶n + 1 ，n + l ( k ) 趸埋2 9 双5 乏弗积分碉卜夕u ：4 - 亏氏? 当n 是整数时， ( 警) 枷+ ( 2 2 ) 1 2 n - - 2 , 2 4 - ( 跏加 ( 罕) 厶n 一，+ ( 警) k 一3 ，3 + ( 2 0 二1 ) ，z n 一- ， 特别地，当n 是偶数时， ( ( 警) k 2 + ( n 竺1 ) 一 ( f ) 1 2 n - i , 1 一- 俐2 n 、, 。棚一+ 互1 ( 哿) 厶- 当n 是奇数时， ( 留) 厶n ，。+ ( 警) 如n 一2 ，2 + 互1 ( 翟) 厶一 ( 1 11 2 - 1 , 1 + ( 警) 厶n a ，3 + ( n 三二1 ) 厶+ - ，n 一- 6 口 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 西南大学硕士学位论文 2 3 主要结论 证明由下列不等式 0 一 ( 盯1 一a r 2 ) 2 n d g l d g 2 j g l f l g , 2 e k 上。n g 。k ( ( 警) 仃；n 一( 警) 盯；铲l 叻+ ( 耋0 砖n ) d g t d 岛 ( 哿) 上m 。k 一把t 招：一( z 。n 劬k 印。眈掘- 蚴+ ( i ：) 上。n g ：k 以n d g - d g z ( 玄) 如n ，。一( 警) 厶n 一，- + ( 耋0 如，：n 因此，我们得到( 3 7 ) 当礼是偶数时，( 3 7 ) 可表示为 2 ( 2 ( 翟) 如n - 2 , 2 - - + 2 ( n 竺1 ) 一 2 ( 翟) h - + 2 ( h 3 + ( ：) ， 因此我们得到( 3 8 ) 当n 是奇数时，我们很简单的得到( 3 9 ) 7 口 3 投影体的外平行体的平均曲率积分 3 1凸曲面的平均曲率积分的基本知识 设k 为中的凸体，0 为定点l d 一，i 0 1 表示过0 点的任一( d r ) 维平面， 过k 的每点作垂直于l d 一，【d 】的r 维平面，。这些r 维平面与l d 一，【d 】的交点构成凸 集磁一，j 码一，叫做k 到l - d 二，1 0 l 的正交投影磁一r 的d r 维体积记为y ( 蟛一r ) 因为过走翩所有( d r ) 维平面l d 一，1 0 l 构成g r a s s m a n n 流形g d - r ，r ，因此，投影 体积y ( 蟛一，) 的平均值为 即( 如) ) = 丽i t ( 习k ) = 糕i r ( k ) ，- - 1 ，2 d 乩( 3 1 ) 其中，m g d _ r r 为g r a s s m a n n 流形的体积，有下式成立 m(ad-r,)=m(gr，d_r)=上织【dl=丽od-1od-rllr-i i v o ，r - 1 2 - 1 ( 3 2 ) ，g r d r 设 厶( k ) = v ( n d 一，) d 厶i 一， o i = y ( 磁一，) d 厶 o l ，7 = 1 ，2 ，d 一1 ( 3 3 ) 补充定义 i o ( k ) = v ( k ) ( k e ed ) ( 3 4 ) 其中，o m 是m 维单位球的面积，且 = 而2 7 r ( m 再+ 辆1 ) 2 ( 3 5 ) r 为g a m m a 函数 m i n k o w s k i 均质积分是由m i n k o w s k i 引进的，规定如下： r e ( k ) = 装糌i t ( k ) 产1 1 2 d _ 1 ( 3 6 ) 和 w o ( k ) = 而( 尼) = y ( k ) ，w d ( g ) = o d 一, d ( 3 7 ) 我们得到k 的平均宽度为： e ( y ( 琏) ) = ( 2 d o d 一1 ) w d l ( k ) ( 3 8 ) 因此，我们有k u b o t a 公式( 6 】，【1 1 1 ) ： 职( k ) = 丽2 0 a 磊- x 么嘞一。形- l ( 蟛一d 蚴山 ( 3 9 ) 8 西南大学硕士学位论文 3 1 凸曲面的平均曲率积分的基本知识 其中，d u d 一1 是中心在d 的单位球一1 的体积元 以k 的每点为球心、以常数p 为半径作闭球体，这些球体的并集构成了k 的 外平行体巧，a 边界称为o k 的距离为p 的平行曲面对于平行凸集，我们有 下列s t e i n e r 公式 d j 、 y ( 坼) = w i ( k ) p ( 3 i o ) 对于e d 中m 维子流形m ，我们在p 点的切空间耳( m ) 中取互不相关的切向量 u u 对于每一个单位向量叫= , k u + 删，存在唯一的一条以p 为起点且以w 为切向 量的测地线，当w 在由u u 构成的平面上成单位球时所有的测地线由在p 点的高 斯曲率等于u u 构成的平面的截面曲率即k n = k 【让， 】的平面构成 设e l ，e m 为p 点切空间耳( m ) 的正交基，则 s = 2 k e i ，勺】 ( 3 1 2 ) l j m 与基的选取无关，称为p 点的曲率 对于r d 中的超曲面令e l ，e d 一1 是p 点的主曲率方向因此，这个数量 曲率可以表示为 s = 2 白 ( 3 1 3 ) l i j d l 考虑高斯映射 g ：p 一( p )( 3 1 4 ) 微分得到 d g p ：z 他) 一，( 亡) ，( x ( o ) = p ) 满足r o d r i g u e s 方程 d g p ( e i ) = - k i e i ，i = 1 ，d 一1 我们有中曲率 11 日2 南( 七l + + 一1 ) = 一南讹c e ( d g p ) 且g a u s s - k r o n e c k e r 曲率 k = 七1 乜一l = ( _ 1 ) d - 1 d e t ( d g p ) j 阶中曲率为主曲率的j 阶初等对称函数，我们记为马我们有 9 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 孓 n = ， 反l q = k h 瞰 、- 、 一j d i， 一d “伽 = 砗岷 论推有 还 肝i我 毋 伽 = b + 0 “触 西南大学硕士学位论文3 1凸曲面的平均曲率积分的基本知识 因此，h 1 = h 即平均曲率，凰一1 称为g a u s s - k r o n e c k e r 曲率 歹阶平均曲率积分坞( ) 定义为： ft m j ( s ) = 马打= ，觑，) 如，j = 1 ，d 1 ( 3 2 0 ) ，e，e 其中， k i 。，k i ，) 表示主曲率的歹阶初等对称函数补充定义：( ) = f 即 的面积如果中的凸体k 的曲面是g 2 的，我们有平均曲率积分和均质积分 之间的关系式( 【8 】，【1 1 ，【1 2 ) 坞( ) = 仇w j + i ( k ) ，歹= 0 ，1 ，d 一1 ( 3 2 1 ) 注意m i n k o w s l 【i 均质积分对任意的凸体都有定义，而m j ( o k ) 只有在o k 是 萨时才有定义 设k 是玩中具有俨光滑边界o k 的凸体，令k r 是在，维平面厶ce d 中 的凸体且删叫( o k 7 ) ( 口= 0 ，1 ，r 1 ) 是作为厶中凸曲面o k r 的平均曲率积 分，设删哪( o k 7 ) ( g = 0 ，1 ，r 1 ) 为o k 7 作为e d 中的平坦凸体的平均曲率积 分，我们有 弓、理3 1 ( 参见 1 0 1 1 1 1 1 ) 1 ) 当q d r ，有 砌删= 错矗叫知删 2 ) 当g = d r 一1 ，则 础2 - 1 ( a f ) = ( d 兰：二1 ) - 1 。一。w ( ) ， ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 其中，k ( k 7 ) 记为k 7 的， 维体积 3 ) 当g d r 一1 ，则 删回( a f ) = 0 ( 3 2 4 ) 周家足教授、江德烁证明了以下关于俨光滑凸曲面a k 的平均曲率积分的 关系式( 参见 1 7 1 ) ： 定理3 2 设k 为e d 中具有c 2 光滑边界o k 的凸体，是k 在r 维平面 l ，ce d 中的正交投影，( ) p 是群在玩中的外平形体，心叶p ( 坼) ：) ( 口= 0 ，1 ，r 一1 ) 是( 群) ：作为l ，中凸体的平均曲率积分，埘回( a ( 坼) ：，) ( g = 0 ，1 ，d 一1 ) 是( 坼) ：- 作为e d 中平坦凸