（基础数学专业论文）关于局部紧致动力系统回复点的存在性.pdf

中文摘要 动力系统的核心问题就是点的轨道的渐近性质或拓扑结构，我们也知道只 有那些具有某种回复性的点才是重要的而回复点正是用来描述点的轨道的渐 近性质的一个定义，也就是说回复点集可以间接地刻画动力系统的复杂程度 目前对紧致动力系统来说，由b i r k h o f f 回复点定理可知紧致动力系统一定存在 回复点但要求一个动力系统底空间具有紧致性对于动力系统所施加的限制 是比较严格的，以至于通常最重要的一些拓扑动力系统，如底空间为维欧氏空 间r n 的动力系统等均不能被认为是紧致动力系统在本文中我们取消了对动 力系统底空间紧性的要求，着眼于范围更广的局部紧致动力系统分情况给出 了判断回复点存在与否的条件 论文的具体内容如下： 第一章，我们首先介绍了动力系统的发展史，给出了动力系统中的最基本 的概念和定义然后阐述了动力系统中有关回复性的研究的重要性，并列出了 局部紧致动力系统中回复性研究的现有结果，希望对于局部紧致动力系统的研 究也可以向着这个方向发展最后简单的介绍了一下本文的研究目的及主要结 果 第二章，我们取消了动力系统对底空间紧性的要求，给出了局部紧致动力 系统的定义在预备知识里介绍了连续映射，在无穷远处收敛的定义以及连续 映射，可以扩充的充分必要条件 在给出主要结果前，我就底空间为r 这个特殊的局部紧致动力系统分别给 出了四个简单的例子，由这些例子我们可以知道，不管所给连续映射是否可以 扩充，局部紧致动力系统的回复点存在情况并不确定，因此我们把问题分为更 细的情况考虑是有必要的 第三章，由以上四个例子得到的提示，根据预备知识我们把问题按连续映 射可不可以扩充分两种情况考虑，并给出了一些简单结果在文章的最后，我们 特别的考虑了底空间为酞n 的局部紧致动力系统( r n ，厂) 最后我们总结了这篇论文的主要结果和创新，以及有待进一步展开的研究 关键词 拓扑动力系统，回复点，子系统，扩充 u a b s t r a c t ( 英文摘要) t h ec o r ei s s u eo ft h ed y n a m i c a l s y s t e mi st h ep r o g r e s s i v en a t u r eo rt o p o l o g y o ft h eo r b i to fp o i n t w ea l s ok n o wt h a to n l yt h o s ep o i n t sw i t hr e c u r r e n c ea r e i m p o r t a n t ，w h i l et h er e c u r r e n tp o i n ti sad e f i n i t i o nu s e dt od e s c r i b et h ep r o g r e s - s i v en a t u r eo ft h eo r b i to fp o i n t i no t h e rw o r d s ，as e to fr e c u r r e n tp o i n t sc a n i n d i r e c t l yc h a r a c t e r i z et h ec o m p l e x i t yo ft h ed y n a m i c a ls y s t e m a tp r e s e n t ，a s f o rc o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m ，w ec a nk n o wf r o mb i r k h o f f ：st h e o r e mo fr e c u r - r e n tp o i n tt h a tt h e r ee x i s tr e c u r r e n tp o i n t si nt h ec o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m h o w e v e r ，s t r i c tr e s t r i c t i o n sa r ei m p o s e df o rd y n a m i cs y s t e mw h e nc o m p a c t n e s si s c l a i m e df o ri t sb a s es p a c es ot h a tt h em o s ti m p o r t a n td y n a m i c a ls y s t e mt o p o l - o g y , s u c ha st h o s ew i t hr na st h e i rb a s es p a c ee t c c a n n o tb ec o n s i d e r e da s c o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m s i nt h i sp a p e r ，w ep u ta s i d et h ec o m p a c t n e s so f t h eb a s es p a c eo ft h ed y n a m i c a ls p a c ea n df o c u so nl o c a l l yc o m p a c td y n a m i c a l s y s t e mw h o s es c a l ei sm u c hl a r g e r i na d d i t i o n ，w eg i v ed i f f e r e n ts i t u a t i o n st o t a l ka b o u tw h e t h e rr e c u r r e n tp o i n t se x i s to rn o tr e s p e c t i v e l y t h es p e c i f i cc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，i dl i k et oi n t r o d u c et h eh i s t o r i c a ld e v e l o p m e n to fd y - n a m i c a ls y s t e ma n ds o m ed e f i n i t i o n sf o rb a s i ci t e m si nt h i sa r e a t h e nt h e i m p o r t a n c eo ft h es t u d yo fr e c o v e r yi nd y n a m i c a ls y s t e mi sd i s c u s s e da n dt h e c u r r e n tr e s u l t so ft h i ss t u d ya r er e l e a s e d a n dih o p et h es t u d yo fl o c a l l yc o m p a c t d y n a m i c a ls y s t e mc a nd e v e l o pi nt h i sd i r e c t i o n f i n a l l y ，t h er e s e a r c hp u r p o s e s a n dm a i nr e s u l t sa r es i m p l yi n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ep u ta s i d et h ec o m p a c t n e s so ft h eb a s es p a c ei nt h e d y n a m i c a ls y s t e ma n dg i v et h ed e f i n i t i o no fl o c a l l yc o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m i nt h ep r e l i m i n a r i e s ，t h ed e f i n i t i o no fc o n t i n u o u sm a pfc o n v e r g ea ti n f i n i t ya n d n l t h ef a c tt h a tc o n t i n u o u sm a p c a nb ee x p e n d e da san e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o na x ei n t r o d u c e dr e s p e c t i v e l y b e f o r et h em a i nr e s u l t sa r er e l e a s e d ，f o u re x a m p l e sa r eg i v e nt oe l a b o r a t et h e s p e c i a ll o c a l l yc o m p a c td y n a m i c a ls y s t e mw i t hr a si t sb a s es p a c e d u et ot h e s e e x a m p l e s ，w ec a nk n o ww h e t h e rt h eg i v e nc o n t i n u o u sm a pc a nb ee x t e n d e d ，t h e e x i s t e n c eo ft h er e c u r r e n tp o i n ti nl o c a l l yc o m p a c td y n a m i c a ls y s t e mi su n c e r t a i n s o ，i ti se s s e n t i a lw ec l a s s i f yt h eq u e s t i o ni n t om o r ed e t a i l e d i nt h el a s tc h a p t e r ，f r o mw h a tw eh a v el e a r n e di nt h ea b o v ee x a m p l e sa n d t h ep r e l i m i n a r i e s ，i dl i k et og r o u pt h o s eq u e s t i o n si n t os e v e r a lt y p e st od i s c u s s a n dg i v et h e i rr e s u l t s a tl a s ti nt h i sp a p e r ，w ee s p e c i a l l yc o n s i d e rt h el o c a l l y c o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m ( r n ，) f i n a l l y ，w es u mu pt h em a i nr e s u l t s ，i n n o v a t i o n so ft h i sp a p e ra n ds o m e r e s e a r c h e sw h i c ha r et ob es t u d i e di nt h ef u t u r e k e y w o r d s t o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m s ，r e c u r r e n tp o i n t ，s u bd y n a m i c a ls y s t e m s ， e x p a n s i o n 1 v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版。本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数 据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：吕监： 指导教师签名： 1 力l o 年6 月7d 日 归，d 年6 月z d 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：昌、锄厅、 r d 年6 月f6 日 两北大学硕士学位论文 1 1 动力系统 第一章绪论弟一早箱陀 1 1 1 动力系统发展 由于现代科学和技术的发展，传统的学科划分和科学研究的方法发生了改 变曾经以纵向发展为主的基础学科与各种各样的新技术相结合，同时使用解 析、数值和图形并举的手段，开辟了涉及多种学科门类的新兴领域这种发展 的一个重要特征就是出现了以“非”字为首而命名的一系列新的方向和领域 “非线性 一词曾经在数学中是用来区别“线性”问题的专业术语，而现在， 非线性科学逐渐成为跨学科的科学前沿各个传统学科中都有属于自己的非线 性部分，非线性科学却不只是这些部分的总和非线性科学寻找各种非线性现 象的共性，讨论处理它们的普适方法 “非线性科学及复杂性 研究是2 1 世纪世界科学研究和技术发展的主流之 一而动力系统是非线性科学的重要组成部分，也是2 0 世纪最富有成就的一个 数学分支，在不少领域中有重要的应用同时，动力系统不仅仅是非线性科学 研究的对象，更是研究非线性科学“复杂性”的有力工具，其理论和方法已经 广泛渗透与应用到生物学、化学、物理学、天体力学和人口学等众多科学领 域 1 - s j 动力系统的研究源于对天文现象的解释1 5 9 1 年，奥地利格拉茨大学讲师 开普勒( k e p l e r ) 到达布拉格做为天文学家第谷布拉赫( t y c h o ) 的助手， 开普勒依靠第谷的准确观测数据，观察并发现了行星运动的三定律，其中，行星 的运行是沿着以太阳为一个焦点的椭圆轨道而进行的定律成为当时对正统派理 性思潮最为震动的一条由于当时理性思潮的影响，人们普遍认为每个行星绕 太阳旋转的轨道都应该是圆，仅因为圆是最完美的曲线 1 第一章绪论 为什么行星运动的轨道不是“完美 的圆而是椭圆? 半个世纪后 的1 6 8 7 年，牛顿( n e w t o n ) 在其极其著名的自然哲学的数学原理中提出了 众所周知的万有引力定律，然后以数学的形式( 常微分方程) 推导了开普勒定 律，完成了对太阳中心学说的力学解释j 同时也开始了以常微分方程为研究对 象的动力系统的研究下面简单介绍一下行星轨道为椭圆的论述 例1 1 1 设某个行星运动在以太阳为原点0 的复平面内，在t 时刻的位置 其中r = r ( t ) ，口= p ( ) 设行星和太阳的质量分别为p 和m ，g = 6 6 7 2 1 0 1 1 m 3 8 2 k g _ 1 是万有引力常数，于是由万有引力定律，有 p 之= 一丁p m g e 徊， 其中 孑= ( ( f r 百2 ) + i ( r o + 2 矿毋) ) e 徊， 是加速度分离方程的实部和虚部得 一驾：f 一舀2 ，( 1 1 ) 一丁27 一， k 1 1 ， r 痧+ 2 严矽= 0 ( 1 2 ) 由方程( 1 2 ) 得吾丢( r 2 舀) = 。，从而 r ：0 = h ，( 1 3 ) 其中h 是常数，它等同于开普勒第二定律，行星在相等时间内扫过相等面积 联合( 1 1 ) 和( 1 3 ) ，令7 ：三，得 m gd 2 札 h 2 。d o 2 + u 再令v ：u - - 1 m r g ，p = 而h 硒2 ，解得 7 。f 面 西北大学硕士学位论文 其中p = 却是离心率由此可见，点( r ，p ) 的轨道是离心率为p ( o 0 ，存在n 0 使 ，n ( z ) v ( x ，) ， 这里v ( x ，e ) = 可x l d ( x ，y ) 0 ，使 ，n ( y ( z ，) ) nv ( x ，) = 仍， v n 0 则把z 叫做，的游荡点；如果z 不是，的游荡点，即对每一个 0 ，存 在7 1 , 0 ，使 厂n ( y ( z ，) ) n v ( x ，e ) 仍， 则把z 叫做，的非游荡点 从而厂的游荡点集合是的一个开子集，进而，的非游荡点集合是x 的一 个闭子集，叫做，的游荡集，记作q ( ，) 上诉定义中的几种集合间有下面的关系， f ( f ) cp ( f ) ce ( f ) cn ( f ) 而且它们对，都是不变的x 的这个子集合序列构成了，的回复性的几个不 同层次上述包含关系每一个都可以是真包含，且p ( f ) 和r ( f ) 一般不是闭子 集再者，回复点是点本身在迭代作用下回复，而非游荡点则是点的邻域的回 复非游荡性是最弱的回复性限制在非游荡集上的子系统 f i n ( s ) ： f 2 ( f ) 一f 2 ( f ) 是最重要的子系统，在某种意义下，它可以代替原系统而保留全部重要动力性 状 设acx 是对厂不变的闭子集，有以下简单结果 f ( f l a ) = f ( ，) n a ， p ( l ) = e ( f ) n 人， r ( f i a ) = r ( f ) n 人， 但一般的， f 2 ( f l a ) cn ( f ) n a 可以是真包含 6 两北大学硕士学位论文 1 3 本文的主要内容 第一章，我们首先介绍了动力系统的发展史，给出了动力系统中的最基本 的概念和定义然后阐述了动力系统中有关回复性的研究的重要性，并列出了 局部紧致动力系统中回复性研究的现有结果，希望对于局部紧致动力系统的研 究也可以向着这个方向发展最后简单的介绍了一下本文的研究目的及主要结 果 第二章，我们取消了动力系统对底空间紧性的要求，给出了局部紧致动力 系统的定义在预备知识里介绍了连续映射厂在无穷远处收敛的定义以及连续 映射，可以扩充到充分必要条件 在给出主要结果前，我就底空间为r 这个特殊的局部紧致动力系统分别给 出了四个简单的例子，它们分别为： 1 连续映射 可以扩充，且局部紧致动力系统( r ， ) 的每一点均为回复 点 2 连续映射厶可以扩充，且局部紧致动力系统( r ，止) 没有回复点 3 连续映射 不可以扩充，且局部紧致动力系统( r ， ) 有回复点，回复点 集为 z l 一1 z 1 ) 4 连续映射 不可以扩充，且局部紧致动力系统( r ， ) 没有回复点 第三章，由以上四个例子得到的提示，根据预备知识我把问题分成下面的 情况考虑，并给出了一些结果 一局部紧致动力系统( e ，) 中的连续映射，可以扩充 1 如果动力系统( u e ，7 ) 仅有一个回复点，且为u ，则局部紧致动力系 统( e ，) 没有回复点 2 如果动力系统( w e ，7 ) 有回复点a ，且a e ，则局部紧致动力系 统( e ，厂) 必有回复点 二局部紧致动力系统( e ，) 中的连续映射，不可以扩充 1 局部紧致动力系统( e ，厂) 有紧致子系统 7 第一章绪论 此时局部紧致动力系统( e ，) 必有回复点 2 局部紧致动力系统( e ，厂) 没有紧致子系统 此时我们考虑底空间为r 且没有紧致子系统的局部紧致动力系统( 酞n ，) 命题如果对于每一个自然数都有，o ，= fo ，则( r n ，厂) 有回复 点口的充分必要条件是存在一个自然数0 ，使得n 为( o ( o ，瞒+ 1 ) ，( o 删硪习i 而) 的回复点，且l o i 一2 封闭，从而( r ， ) 没有紧致子系统 由上所诉，我们考虑以下两种情况： 1 局部紧致动力系统( e ，) 有紧致子系统 由b i r k h o 行回复点存在性定理，局部紧致动力系统( e ，) 的紧致子动力系 统必有回复点，这也是( e ，) 的回复点，从而此时局部紧致动力系统( e ，) 必 有回复点 2 局部紧致动力系统( e ，厂) 没有紧致子系统 此时我们考虑底空间为乏n 且没有紧致子系统的局部紧致动力系 统( r n ，) 对于任意一个自然数，我们定义映射 瓜) ： z ix 0 ， 不妨设e 0 ，使得，n oa ) v ( a ，) ， 1 6 西北大学硕士学位论文 据映射瓜定义有( 风r i oo ，加( o ) v ( a ，) ，又由瓜of = f of n 可以得 到( 风。厂) 加( o ) v ( a ，) ，从而( ( f n o 。删研而7 丽) n 。( 口) v ( a ，) ，再由回复 点的定义可知，口为( 西瓦丽莉，( y n o 。删硪刁口再万) 的回复点 充分性：对于任意 o ，不妨设 o ，使得( ( 风。删两丽) n o ( o ) v ( a ，) ，这 等价于( 风o f ) n o ( o ) v ( a ，) ，再由，o f = f o 风，有( 风) n o o f n oa ) v ( a ，) ， 从而f n o ( a ) v ( a ，) ，即a 为( 乏n ，) 的回复点 由以上命题充分性的证明可得下面的推论 推论如果存在一个自然数o ，有风of = ，o 风，且存在o r n ， i o i n o ，使得a ) o ( 万瓦斫1 j ，( ，0 。删可丽i 丽) 的回复点，则( r n ，j p ) 有回 复点o 3 3 本章小结 由上一章四个例子得到的提示，根据预备知识我把问题分成下面的情况考 虑，并给出了一些结果 一局部紧致动力系统( e ，) 中的连续映射厂可以扩充 1 如果动力系统( u e ，7 ) 仅有一个回复点，且为u ，则局部紧致动力系 统( e ，厂) 没有回复点 2 如果动力系统( u e ，7 ) 有回复点口，且a e ，则局部紧致动力系 统( e ，) 必有回复点 二局部紧致动力系统( e ，f ) 中的连续映射，不可以扩充 1 局部紧致动力系统( e ，) 有紧致子系统 此时局部紧致动力系统( e ，) 必有回复点 2 局部紧致动力系统( e ，) 没有紧致子系统 此时我们考虑底空间为r 且没有紧致子系统的局部紧致动力系统( r n ，) 命题：如果对于每一个自然数都有瓜of = fo 瓜，则( 酞n ，厂) 有回 1 7 第三章关于局部紧致动力系统回复点的存在性 复点口的充分必要条件是存在一个自然数0 ，使得f l , 为( o ( o ，n o + 1 ) ，( f n o o 删可丽丽) 的回复点，且l 口l 0 推论：如果存在一个自然数o ，有，0of = ，o 饥，且存在a r n ， i o l 0 ，使得n 为( 万瓦丽丽，( 风。删研习i 再可) 的回复点，则( r n ，j p ) 有回 复点o 1 8 两北大学硕士学位论文 4 1 论文总结 第四章结束语 点的轨道的渐近性质问题在动力系统的核心地位毋庸置疑，我们也知道只 有那些具有某种回复性的点才是重要的而回复点正是用来描述点的轨道的渐 近性质也就是刻画动力系统的复杂程度的一个定义，目前对紧致动力系统来说， 已有很好的结果，但要求一个动力系统底空间具有紧致性，对于动力系统所施 加的限制是比较严格的，以至于通常最重要的一些拓扑动力系统，如底空间为 维欧氏空间r n 等均不能被认为是紧致动力系统这就激发我们去考虑底空间 涉及范围更广的动力系统本文中我们取消了动力系统对底空间紧性的要求， 给出了局部紧致动力系统的定义并根据连续映射，是否可以扩充把问题分 成了两种主要的情况 在给出主要结果前，我就底空间为r 的这个特殊的局部紧致动力系统分别 给出了四个简单的例子，它们分别为： 1 连续映射 可以扩充，且局部紧致动力系统( r ， ) 的每一点均为回复 点 2 连续映射厶可以扩充，且局部紧致动力系统( r ，尼) 没有回复点 3 连续映射，3 不可以扩充，且局部紧致动力系统( r ，厶) 有回复点，回复点 集为_ ( z i 一1 z 1 ) 4 连续映射 不可以扩充，且局部紧致动力系统( r ， ) 没有回复点 由以上四个例子得到的提示，根据预备知识我把问题分成下面的情况考虑， 并给出了一些结果 一如果局部紧致动力系统( e ，) 中的连续映射，可以扩充 1 如果动力系统( u e ，7 ) 仅有一个回复点，且为，则局部紧致动力系 统( e ，) 没有回复点 2 如果动力系统e ，_ ) 有回复点口，且a e ，则局部紧致动力系 】9 第四章结束语 统( e ，) 必有回复点 二如果局部紧致动力系统( e ，) 中的连续映射，不可以扩充 1 局部紧致动力系统( e ，) 有紧致子系统 此时局部紧致动力系统( e ，) 必有回复点 2 局部紧致动力系统( e ，) 没有紧致子系统 此时我们考虑底空间为r 且没有紧致子系统的局部紧致动力系统( r n ，厂) 并得到一个很好的结论： 如果对于每一个自然数都有ao 厂= ，o 瓜，则( r n ，厂) 有回复 点a 的充分必要条件是存在一个自然数o ，使得a 为( 万瓦面莉，( 风o f ) l o ( o , n o + 1 ) ) 的回复点，且l a l o 由上面的结论我们之间可以得出：如果存在一个自然数o ，有风o ，= ，。氏，且存在o 酞n ，| o l - p l i c a t i o n 色i d t u d ed e ss y s t 爸m e sd y n a m i q u e sd el am d c a n i q u en o n l i n e a i r e j a n nm a t h ，1 9 3 7 ，3 8 ：6 5 1 1 3 【1 1 】文兰动力系统简介 j 】数学进展，2 0 0 2 ，3 l ( 4 ) ：2 9 3 - 2 9 4 2 2 西北大学硕士学位论文 1 2 】陈绥阳，褚价价动力系统基础及其方法 m 】北京：科学出版社，2 0 0 2 1 3 】周作领符号动力系统 m 上海：上海科技教育出版社，1 9 9 7 【1 4 】v e l l e k o o pm ，b e r g l u n dr o ni n t e r v a l s ，t r a n s i t i v i t y = c h a o s j a m e r m a t h m o n ，1 9 9 4 ，1 0 1 ( 4 ) ：3 5 3 - 3 3 5 1 5 】r o m a n - f l o r e sh an o t eo nt r a n s i t i v i t yi ns e t v a l u e dd i s c r e t es y s t e m s j c h a o ss o l i t o n sa n df r a c t a l s ，2 0 0 3 ，1 7 ( 1 ) ：9 9 1 0 4 【1 6 】廖公夫，王立冬，张玉成一类集值映射的传递混合性与混沌 j 】中国科学， 2 0 0 5 3 5 ( 1 0 a ) ：l 一7 1 7 】杨润生链传递映射 j 】，数学杂志，1 9 9 3 ，3 ：3 7 5 3 8 0 1 8 】w e i s sb t o p o l o g i c a lt r a n s i t i v i t ya n de r g o d i cm e a s u r e s j m a t hs y s t e m t h e o r y , 1 9 7 9 ，1 ：7 1 7 5 1 9 】b e s s am 盎r i o ag e n e r i ci n c o m p r e s s i b l ef l o wi st o p o l o g i c a lm i x i n g j c r a c a d s c i p a r i s ，s e r 2 0 0 8 ，3 4 6 ( 1 ) ：1 1 6 0 - 1 1 7 4 【2 0 】x i o n gj c ，y a n gz g c h a o sc a u s e db yat o p o l o g i c a l l ym i x i n gm a p s a i nd y n a m i c a ls y s t e ma n dr e l a t e dt o p i c s c s i n g a p o r e ：w o r l ds c i e n t i f i c p r e s s ，1 9 9 2 ，5 5 0 - 5 7 2 2 1 】j o s es ，c a n o v s ap e n a ，c a b r i e ls o l e rl 6 p e z t o p o l o g i c a le n t r o p y f o ri n d u c e d h y p e r s p a c e m a p s j c h a o ss o l i t o n sa n df r a c t a l s ，2 0 0 6 ：2 8 ( 4 ) ：9 7 9 - 8 2 2 2 】a d l e rr l ，k o n h e i ma g ，m c a n d r e wm h t o p o l o g i c a le n t r o p i y j t r a n sa m e rm a t hs o c ，1 9 6 511 4 ：3 0 9 3 1 9 【2 3 】周作领紊动与拓扑熵 j 】数学学报，1 9 8 8 ，3 1 ( 1 ) ：8 3 8 7 2 4 】b l a n c h a r df ad i s j o i n t n e s st h o e r e m i nv o l v i n gt o p o l o g i c a le n t r o p y j b u l l s o c m a t h ，1 9 9 3 ：1 2 1 ( 4 ) ：4 6 5 4 7 8 2 3 参考文献 2 5 】r o b i n s o nc d y n a m i c a ls y s t e m ：s t a b i l i t y , s y m b o l i cd y n a m i c sa n dc h a o s m 2 n de d b o c ar a t o n ，f l ：c r cp r e s si n c 19 9 9 2 6 】l it y ，y o r k ej a p e r i o dt h r e ei m p l i e sc h a o s j a m e r m a t h m o n ， 1 9 7 5 ，8 3 ：9 8 5 - 9 9 2 2 7 】c h e ng r ，t i a nc j ，s h iy m s t a i l i t ya n dc h a o si n2 一dd i s c r e t es y s - t e r n s j c h a o ss o l i t o n sa n df r a c t a l s ，2 0 0 5 ，2 5 ：6 3 7 6 4 7 ( 2 8 】b o r o d i c hf m s o m ef r a c t a lm o d e l so ff r a c t u r e j m e c h p h y s s o l i d s ， 1 9 9 7 ，4 5 ( 2 ) ：2 3 9 2 5 9 2 9 】f r a n k l i nj m d e t e r m i n i s t i cs i