（基础数学专业论文）关于submeso紧空间的映射定理和非紧度量空间上的可扩映射.pdf

关于s u b m e s o 紧空间的映射定理和 中文摘要 摘要 本文由两个部分组成，分别讨论了s u b m e s o 紧空间的映射性质和非紧度 量空间上的可扩映射 在第一部分中，我们证明了在正则空间中闭l i n d e l 6 f 映射保持且逆保持 s u b m e s o 紧性，这改进了林寿关于正则空间中完备映射保持且逆保持s u b m e s o 紧性这一结果，同时我们讨论了原象空间是正规空间时s u b m e s o 紧空间的映 射性质。 本文的第二部分将紧度量空间上映射的可扩性推广到非紧度量空间上， 并证明了在具有性质l 的度量空间上，映射f 可扩，正可扩、非负可扩相应 地等价于，可扩、正可扩、非负可扩。 关键词；s u b r n e s o 紧空阅；团l i n d e l s f 映射；n 口e s o 映射；性质l ； 可扩；弱生成元 作者：沈荣鑫 指导教师：葛英副教授 关于s u b m e s o 紧空问的映射定理和荚文摘要 m a p p i n gt h e o r e m so ns u b m e o c o r n p a c ts p a c e sa n d e x p a n s i v em a p s o i ln o n - c o m p a c tm e t r i c s p a c e s a b s t r a c t 恤t n i sp a p e r w ed i s c u s st h em a p p i n g p r o p e r t yo ns u b m e s o c o m p a c ts p a c e sa n d e x p a n s i v em a p so i ln o n c o m p a c tm e t r i cs p a c e s a tt h ef i r s tp a r t ，w ep r o v et h a tc l o s e dl i n d e l s f m a p p i n g sp r e s e r v ea n di n v e r s e l y p r e s e r v es u b m e s o e o m p a c t n e s so nr e g u l a rs p a c e s ，w h i c hi m p r o v e st h es a m er e s u l to fl i n s h o ua b o u tp e r f e c tm a p p i n g s w ea s od i s c u s st h e m a p p i n gp r o p e r t y 0 1 1s u b m e s o c o m p a c ts p a c e sw i t hn o r m a ld o m a i n s a tt h es e c o n dp a r t ，w ee x t e n dt h ee x p a n s i v em a p so n c o m p a c tm e t r i cs p a c e st o n o n c o m p a c tm e t r i cs p a c e s w es h o wt h a to nm e t r i cs p a c ew i t hp r o p e r t yl ，am a pf 1 s e x p a n s i v e ( p o s i t i v ee x p a n s i v e ，l i o n - n e g a t i v ee x p a n s i v e , r e s p e c t i v e l y ) i fa n do n l yi f ，l se x p a n s i v e 【p o s i t i v ee x p a n s i v e ，n o n n e g a t i v ee x p a n s i v e ，r e s p e c t i v e l y ) 娶e y w o r d s ：d o s e dl i n d e l s fm a p p i n g ；m e s o c o m p a c t m a p p i n g ；s u b m e s o c o m p a c t n e s s r r o p e r t yl j ；e x p a n s l v e ；w e a kg e n e r a t o r i i w r i t t e nb ys h e nr o n g x i n s u p e r v i s e db yg ey i n g 16460 27 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明弓i 用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：型邋 日 期：型! 蝗工= z 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 日 期：丝! 生互：2 日期：丝2 生苎：宰 关于s u b m e s o ，j i 空间的映射定理和一- 引言 一 一引言 1 1 关于s u b m e s o 紧空间上的映射定理 映射是研究空间强有力的工具，研究拓扑空间在各种映射下的象和逆象 的性质是一般拓扑学的重要课题之一1 9 9 1 年，蒋继光f 9 j 引进了s u b m e s o 紧 空间作为m e s o 紧空间的推广，林寿在【1 4 中对这类空间作了深入的探讨 我们知道在m e $ o 紧空间中已有映射定理t 定理1 1 1 “剐设，是正则空间x 到空间y 上的闭l i n d e l s f 映射，y 是 7 n e s o 紧空闻，则x 是编。紧空间。 定理1 1 2 蹦砂，是空间x 到空间y 上的闭的紧覆盖映射 如果x 是m e 8 0 紧空间，则y 也是7 7 ；e 8 0 紧空间 一个自然的问题是：“能否在s u b l y l e s o 紧空间上得到上述同样的结果? ” 目前在这方面较好的结果是林寿1 9 9 5 年在【1 4 】中给出的，他运用j u n n i l a 关 于弘加细空间的技巧构建了s u b m e s o 紧空闭的一系列等价刻画，利用这些 刻画证明了下面这个定理： 定理1 1 3 口卅设，是正则空间x 到正则空间y 上的完备映射，则x 是 s u b m e s o 紧空间当且仅当y 是s u b me | s o 紧空间。 本文改进了林寿的上述结果，证明了在s u b m e s o 紧空间中，添加象空间 的正则性后定理1 ，1 1 可类似地推广进一步地，我们把定理1 1 3 中完备映 射减弱为闭l i n d e l s f 映射，得到同样的结果。 高国士在【4 中还证明了： 定理1 1 4 以，是空间x 到空间y 上的闭映射：如果x 是正规m e s o 紧 空间，则，也是正规m 。紧空间。 这启发了我们在原象空间是正规的并且不要求象空间是正则的情形下 研究s u b m e s o 紧空间在映射下的保持性和逆保持性作为这部分的结束我 们给出了一个定理指出：如果原象空间是正规的，那么闭l i n d e l s f 映射逆保 持s u b m e s o 紧性，闭映射保持s u b m e s o 紧性，这补充了我们前面得到的结果 并且把定理1 1 4 平行地推广到s u b m e s o 紧空间当中 关于8 t l b n l e s o 紧空问的映射定理和 1 2 关于非紧空间上的可扩映射 关于映射可护眭的研究是拓扑动力系统中的一个重要课题，【l 】给出了紧度 量空间上可扩映射的生成元刻画，并得到紧度量空间中可扩映射的一些性 质，即， 定理1 2 1 劲度量空间x 是紧的，映射，：x + x 同胚，下述等价 ( j ) ，可扩； ( 2 ) ，有生成元； ( 3 ) ，有弱生成元。 定理1 2 2 删度量空间x 是紧的，映射，：x x 是同胚映射，n ， 则： ，可扩当且仅当，e 可扩 我们发现上述性质都是在紧度量空间中得到的，那么非紧度量空间中 的可扩影射是否仍然有这些性质? 这是一个很有意义的阈题本文证明了 在具有性质三( 不必紧) 的度量空间中，【i 】中的结果同样成立。进一步地， 把上述结果推广至正可扩以及非负可扩相应的情形 2 关干5 1 1 b m e 8 0 紧空问的映射定理和 s l l b i n e s o 蹬空间上的映射定理 二s u b m e s o 紧空间上的映射定理 2 1 主要定义和一些相关的引理 本节所指空间均为冗的，映射均为连续到上的，n 是全体自然数的集合。 对于拓扑空间x 以及x 的子集族“，x x ，a c x ，记： “+ = u u e “u ，- 1 似) = 厂1 ( ：u “) “ a = u n a ：u 口 ( “) = u 甜：u n a 0 ( “k = u “：茹矿) 定义2 1 1 侮j gj 剐甜是空间x 的子集族。 ( ) “称为x 的局部有限集族，如果对v 。x ，j 。在x 中的邻域 4 ，使得( u ) a 是有限的； ( 2 ) “称为x 的点有限集族，如果对比x ，似k 是有限的； ( 3 ) “称为x 的紧有限集族，如果对v 紧集kcx ，( “h 是有限 的； ( 彳) “称为x 的闭包保持集族，如果对v pc “，有面两= u 驴： p 尹) ； ( 5 ) “称为x 的盯一闭包保持集族，如果它是可数个闭包保持集族的 并。 定义2 1 2 ( f 5 9 强，i 8 j ) ( j ) 空间x 称为是m 即。紧空间，如果x 的每个开覆盖有紧有限的开 加细覆盖； ( 2 ) 空间x 的覆盖序列 u 称为覆盖“的0 一加细序列，如果每 个k 是翻的加细且对坛x ，3 n ( x ) n ，使得陬仕) ) ，是有限的。空间 x 称为是0 一加细空间，如果x 的每个开覆盖有开的0 一加细序列。 ( ，) 空间x 的覆盖序列 碥) 称为覆盖纠的紧式0 一加细序列，如 果9 4 是“的加细且对每个紧子集kc x ，3 n ( k ) n ，使得( 碥( 朋) 。 是有限的空间x 称为是s u b m e s o 紧空间，如果x 的每个开覆盖有开的紧 式0 一加细序列； 3 关于文i b f 删s o 紧空闷对跌射定理和 s u b n j e , s o 喾空闽上的映射定理 ( 4 ) 空间x 称为是话。紧空间，如果x 的每个可数紧的闭子集是紧 对于上面定义的这四类空间，我们有如下的蕴含关系t m e s o 紧s u b m e s o 紧口一加细i s o 紧 其中日加细i s o 紧的证明见w o r r e l l - w i c k e 2 0 ，剩下的是显然的 如前所述，林寿在 1 4 j 中运用j u n n i l a 关于口一加细空间的技巧对s u b m e a o 紧空间给出了深刻的刻匦，即； 引理2 1 3 “，j 剐对于正则空间x 下列条件等价； ( 1 ) x 是8 t b m e s o 紧空间； ( 2 ) x 的每一良序开覆盖“有开加细覆盖序列满足：对x 中的 任一紧集k ，h n 使得( k ) m 是有限的； ( 了) x 的每一定向开覆盖“有d r 闭包保持闭加细覆盖v ，v 被x 中所有紧集组成的集族加细； ( # ) 对x 中每一开覆盖“，有伊闭包保持闭集族y ，对x 中任一 紧集厅，3 p y 以及掣) x 的有限子集族蹦满足：k cpc u 正是通过上述刻画林寿证明了定理1 1 4 下面我们接着给出一些映射 的定义： 定义2 1 4 偶巨l e , j 剐，是空间x 副空间y 上的映射 ( j ) ，称为完备映射，如果，是闭的且v y y ，i - 1 ( ! ，) 是x 中的紧 集。 ( 岔) ，称为l i n d e l s f 映射，如果妇y ，i - i ( v ) 是盖中的l i n d d o l 子 集。 ( 3 ) ，称为紧覆盖映射，如果v 紧集kcy ，| x 中紧集a 使得 f a ) = k 。 ( 4 ) ，称为丑一映射，如果对x 中任意满足z 可，( z ) = ，( 掣) 的两点 z 、y ，勤的邻域u ( z ) 以及y 的邻域v c v ) ，使得：聋u ( v ) ，y 隹( z ) 。 ( 5 ) ，称为马一映射。如果对x 中任意满足z y ，= ，( y ) 的两 点r 、f ，j z 的邻域矿( z ) 以及的邻域e ( v ) ，使得；u ( x ) nc r ( g ) = o 。 ( 6 ) ，称为正则映射，如果对v 。x ，闭集f x ：。f ，s y ( z ) 的 邻域0 以及，_ 1 ( o ) 中开集a 、b ，使得石a ，f n 广t ( d ) b ，a n b = d 4 关干s u b m e s o 紧空间的映射定理和s u b m e s o 紧空间上的映射定理 ( 7 ) y y ，x 中集族“称为是y 局部有限的，如果v z f - ；( ) ， 3 z 约邻域0 。，使得0 ：与( 。有限的，弥为仿紧映射，如果v y y 以 及开集族甜覆盖f - i ( ) ，3 y 的邻域0 。使得“覆盖f - 1 ( o ，) 且u a ，- 1 ( o ，) 在子空间f - 1 ( o 。) 中有y 一局部有限开加细覆盖 ( 8 ) ，称为m d 映射，如果v y y 以及开集族“覆盖f - 1 ( 可) ，3 y 的邻域0 ，使得“覆盖f - l ( 0 0 且) - l ( 0 ，) 在子空间f - i ( o 。) 中有开加细 覆盖v ，v 在子空间7 = 1 而中是紧有限的。 很显然地，完备映射是闭的l i n d e l s f 映射，【3 】证明了完备映射是紧覆盖 映射。高国士和林寿分别在在【4 】和【1 3 】中给出下面两个引理建立了闭映射 以及闭l i n d e l s f 映射与紧覆盖映射之间的关系： 引理2 1 5 丘( | 办，是正规i s o 紧空间x 到空间y 上的闭映射，则，是紧覆盖 映射。 引理2 1 6 仇圳f 是正则空间x 到空间y 上的闭l i n d e l s f 映射，则，是紧 覆盖映射。 容易验证：如果f 是噩一( 死一，正则) 空间x 到空间y 上的映射，则f 是瓦一( 乃一，正则) 映射 2 1 2 给出了五一映射成为乃、仿紧映射的一个充要条件： 引理2 1 7 删，是空间x 到空间y 上的噩映射，则，是t 2 、仿紧映射当 且仅当，是正则的且对v y y 以及x 中开集族甜覆盖广t ( 们，却的邻域 0 。，使得甜覆盖f - l ( o ，) 上t u a f 一1 ( o ，) 在，一( o f ) 中有开加细覆盖y = u 讵u 满足：v i n ，3 y 的邻域o i ( 可) c0 ，且弘在，一1 ( o ( 掣) ) 中离散。 在下一小节中我们将刹用这个弓l 理来建立闭l i n d d s f 映射，仿紧映射以 及m e s o 紧映射之间的联系，从而得到本节的主要定理。 5 关于s u b m e s o 紧空问的映射定理和 s t l b m e s o 紧空间上的映射定理 2 2 主要定理及证明 定理1 1 3 中指出正贝l j 空间中s u b m e s o 紧性是被完备映射保持且逆保持的， 下面我们给出的这个定理改进了定理1 1 3 的结果 定理2 2 1 ，是正则空间x 到正则空间y 上的闭l i n d e l b f 映射，则x 是s u b m e s o 紧空间当且仅当y 是s u b m e s o 紧空间。 理 在本小节中我们将主要致力于定理2 1 1 的证明下面先来证明几个弓 引理2 2 2 ，是空间z 到空间y 上的m e s o 紧映射，如果y 是s u b m e s o 紧空 间，则x 也是s u b m e s o 紧空间。 证明设甜是空间的一个开覆盖，v y y ，“覆盖f - 1 ( ”) ，由f 是m e s o 紧 映射知存在y 的开邻域0 ，使得“覆盖厂1 ( q ) 且甜 f - 1 ( q ) 在，。( o ，) 中 有开加细覆盖u ，u 在了= t 疆丽中是紧有限的所有这样的仉构成y 的 一个开覆盖 q ：y y ) ，由y 是s u b m e s o 紧空间，存在 q ：y y 的开的 紧式加细覆盖序列 w j 。v 他n ，记w ，产 m ：t 瓦) ，对每一t r ， 存在某y ( t ) y ，使得眦c0 。m 。 令磊= ，一1 ( 矾) n v ：v k ( ) 矗= u r 历 则矗是x 的开覆盖且加细甜。这样我们得到材的开加细覆盖序列 矗) ，下证 矗) 是紧式加细序列任取x 中紧集k ，f ( k ) 是y 中紧集， 9 n n 使得( ，) ，( 研是有限的，则k 与- 1 ( ) 中仅有限个元相交。面对 于任意t e 咒，k n 7 = 琢j 五丽作为7 = 琢j 五万中紧集与u ( 。) 中仅有限个元相 交，从而k n ，- 1 ( 坼) 与u o ) 中仅有限个元相交，故( 矗) 有限，这说明 品) 是紧式加细序列。所以x 是s u b m e s o 紧空间 引理2 2 3 ，是正则空间x 到空间y 上的闭l i n d e l s 映射，则，是仿紧映射。 证明由空间x 的正则性我们立刻得到f 是乃的、正则的。坳y 及x 中 开集族“覆盖f - 1 ( 掣) ，f 是闭l i n d e l s f 映射，因此存在“的可数子覆盖y 覆 盖t - 1 ( ! ，) ，于是存在y 的邻域0 ，满足：广( ) c - l ( q ) c 矿。容易验证“ 覆盖厂1 ( o ，) 且b a i - 1 ( q ) 在，_ ( o ，) 中有可数子覆盖v a f 一- ( d ，) ，由引理 2 1 7 知f 是仿紧映射 6 关于s l l b l r l e s o 紧空间的映射定理和s u b l n e s o 紧空问上的映射定理 引理2 2 4 ，是空间x 到正则空间y 上的仿紧映射，则，是m e s o 紧映射。 证明v y y 及x 中开集族“覆盖i - 1 ( 掣) ，3 y 的开邻域0 ，使得“覆盖 i - 1 ( d 。) 且u af - 1 ( 吼) 在子空间i - 1 ( d ，) 中有y 一局部有限开加细覆盖y ， 即f - l ( 掣) ，存在x 的开邻域仉与y 中仅有限个元相交( 这里不妨设 晚c ，_ 1 ( o ，) ) ，则f - i ( y ) u ，- t ( 们仉我们知道仿紧映射是闭映射，于 是存在开集0 ；co v 满足z，一( ，) c ，- 1 ( 瓯) cu 吲- j ( ，) 仉c 广1 ( o f ) ，显 然y 0 ：这样我们就证明了v y y 及x 中开集族“覆盖，叫( ) ，却的邻 域噶使得“覆盖，_ 1 ( 或) 且“a ，_ 1 ( 瓯) 在子空间，q ( 瓯) 中有开加细覆盖 v ，_ 1 ( 瓯) 满足：v z ，- 1 ( 瓯) ，存在某个魄作为z 的开邻域与y ，一( o ：) 中仅有限个元相交。 进一步我们由y 的正则性知存在y 的开邻域0 ：使得y 0 ：c 瓦c 瓯，于是我们有厂1 ( y ) c ，_ 1 ( 喏) c7 = 1 t 砀c - l ( 砑c 厂t ( 瓯) 。下面我 们来证明v ，- 1 ( o ，n ) 在7 二可葡中是紧有限的设k 是7 = 可丽中紧集， v z kc i - l ( o ：) ，3 z 的开邻域与v a 厂1 ( o ：) 中仅有限个元相交，k 是紧 的所以 r 1 ( 瓯) ) 耳是有限的，则 广- ( o ：) ) 耳有限这说明f 是m e s o 紧 映射。 下面这个弓f 理的证明属于林寿： 引理2 2 5 似别，是空间x 到空间y 上的紧覆盖闭映射，如果x 是s b m e s 。 紧空间，则y 也是s u b m e s o 紧空间。 证明设“是y 的一个定向开覆盖，则，一- ( 甜) 是x 的一个定向开覆盖，根 据引理2 1 3 ，存在，一1 ) 的闭包保持闭加细尹，p 被x 中所有紧集组成 的集族加细容易验证，( p ) 是“的一个闭包保持闭加细且被y 中所有紧集 组成的集族加细，再由引理2 1 3 知y 是s u b m e s o 紧空间。 定理2 2 1 的证明： ( 充分性) 根据引理2 2 3 和引理2 2 4 我们得到f 是m e , s o 紧映射，再由 引理2 2 2 知x 是s u b m e s o 紧的 ( 必要性) 结合引理2 1 6 和引理2 2 5 得证 7 关于, s u b m e s o 紧空间的映射定理和 s u b l n e s o 紧空间上的映射定理 下面我们引用葛英在 6 】中给出的一个反例，说明定理2 2 ，1 中原象空间 的正则性不能被减弱。 例2 2 6 侧设x 、q 、j 分别表示实数集，有理数集和无理数集，定义 x 匕的基嚣= ( z ) ：每j ) u g ( 茹，n ) ：。q ，n ) ，这里g ( 卫，n ) = ! j ： 一1 n c ，此时称c 是，是可扩系数。 定义3 1 2 似jx 是度量空间，连续满映射，：x x 称为正( 非负) 可扩 的，如果存在度量d 和常数c o 满足：任给石、琚x ，茹封，存在行z + ( z z 一) ，使得a ( s “( z ) ，“( ! ，) ) c ，此时称c 是，是正( 非负) 可扩系数。 定义3 1 3f 聊集族。是度量空间x 的一个开覆盖，映射，：x x ， 如果对中元素组成的序列f a 。 ， n ez ( z + ， z z 一) ，n 。g ，“( 瓦) ( n 。+ ，“( 硼，n 。z z - ，_ n ( j 日) 至多是单点集，则称为关于映射，的 生成元( 正生成元，非负生成元) ；如果对口中元素组成的序列 ) ，n ez ( z 十，z z 一) ，n z s 一“( a 。) ( n 。z + ，一“( a 。) ，n 。g 肠一，一“( a 。) ) 至多是 单点集，则称q 为关于映射，的弱生成元( 弱正生成元，弱非负生成元) 。 定义3 1 4 剐集族a 是度量空间x 的一个开覆盖，a 0 ，若对x 的任 一直径小于a 的子集且，总存在u 口，使a c u ，则称a 是o l 的l e b e a g u e 数。 定义3 1 5 如果度量空间x 的每一开覆盖都有l e b e s g u e 数，则称空间x 具有 性质五。 关于s u b m e s o 紧空间的映射定理和非紧度量空间上的可扩映射 紧性蕴含性质l ( 【1 8 ，第六章，定理5 3 ) ，反之不成立，见下例 例3 1 6 空间x 是无限离散空间，定义度量d ：比，y x ，当z = y 时， d ( x ，y ) = 0 ；当洋时，d ( x ，y ) = 1 。则x 显然不是紧空间，但具有性质工。 证明对空间x 的任意开覆盖o l ，我们取a = 1 2 ，由度量d 的定义，每个 直径小于a 的子集都是单点集，显然包含于的某个元素中，这说明a 是 。的l e b e s g u e 数，从而空间具有性质三。 关于s u b m e s o 肾空间的映射定理和 非紧度量空问上的可扩映射 3 2 主要定理及证明 定理3 2 1 度量空间具有性质占，映射，：x x 同胚，下述等价 ( ) ，可扩； ( 2 ) ，有生成元； ( 3 ) ，有弱生成元。 证明( 1 ) ；辛( 2 ) 设6 0 是f 的可扩系数，令a = b ( z ，5 2 ) ：z x ) ，其中 b ( z ，6 2 ) 表示以x 为球心，6 2 为半径的开球。显然血是x 的一个开覆盖。任 取q 中元素组成的序列 a 。：n z ) ，若有x 中两点z ，y n 。+ 一o o 。，“( j 四， 则v nez ，尸( z ) ，p ( 可) j ，从而d ( s “( z ) ，n ( ! ，) ) 6 ，由f 可扩的定义 知道x = y ，这说明n ：兰。，“( 瓦) 至多是单点集，故“是f 的生成元； ( 2 ) 寻( 3 ) 显然； ( 3 ) 号( 1 ) 设血是f 的弱生成元，a 是口的l e b a s g u e 数，下证a 是f 的可扩系数设x ，y ex 满足v n ez ，d ( ，n ( z ) ，n ( ) ) 0 ，对任一 x x ，| 疋 0 使得：v $ b ( 。，以) ，d ( ，( 。) ，f ( x ) ) c 。f 是单的，故，( 口) s ( y ) ，从而 3 n z z 一，满足d ( s ( ，( g ) ) ，( ，( s ，) ) ) c ，也即是说3 m = + 1 z + ，满 足d ( f “( z ) ，m ( ) ) c ，所以f 正可扩。 定理3 2 6 度量空间具有性质l ，映射，：x + x ，k z + ，则 ，非负可扩当且仅当，非负可扩 证明充分性显然。下证必要性，设c 0 是f 的可扩系数，由引理3 2 4 ，f 是 一致连续的，从而对v r = 0 ，1 ， 1 ，r 是一致连续的，于是m 0 ，使 得对x 中任意距离不大于6 的两点x ，y ，有d ( y ( z ) ，( ) ) c 。假设，e 不 非负可扩，则对上述6 ，j 黝y o 满足：v i z z 一，d ( s k ( z o ) ，- ，( 珈) ) s6 。 关于s u b l n e 8 0 肾空间的映射定理和非紧度量空问上的可扩映射 v n z z 一，存在i z z 一及r 0 ，l ，k 1 ) ，使得札= k i + r ，则 d ( f “( 。o ) ，“( 蜘) ) = d ( f ( ，倒( z o ) ) ，7 ( ，艇) ) ) c ，这与c 是f 的非负可扩系 数矛盾，说明假设不成立，即是非负可扩的 综合引理3 , 2 5 和定理3 2 6 ，我们有： 定理3 2 7 度量空间具有性质三，映射，：x x ，k z + ，则 ，正可扩当且仅当，。正可扩。 1 4 关于s u b m e s o 紧空间的映射定理和 结论 结论 本文给出了两个结论： 一我们证明了在正则空间中闭l i n d e l s f 映射保持且逆保持s u b m e s o 紧 性，这改进了林寿关于正则空阎中完备映射保持且逆保持s u b m e s o 紧性这一 结果，同时我们讨论了原象空间是正规空间时s u b m e s o 紧空间的映射性质。 二本文将紧度量空间上映射的可扩性推广到非紧度量空间上，并证明 了在具有性质l 的度量空间上，映射f 可扩、正可扩、非负可扩相应地等价 于，可扩、正可扩、非负可扩。 关于s u b m e 8 。紧空间的映射定理和- ：兰耋兰竺 一一 r e f e ! r e n c e s 1 1 a o k in t o p o l o g i c a ld y n a m i c s ，t o p i c i ng e n e r a lt o p o l o g y , n o r t h 也0 1 l 姐d ，1 9 8 9 , 6 2 6 7 4 0 f 2 1d a v i db u h a g i a ra n d t a k u om i w a ，c o v e r i n gp r o p e r t i e s o i lm a p s ，q a i “g 8 “。8 1 t o p o l o g y , 1 9 9 8 ，1 6 ，5 3 6 6 3 】f s i w i e ca n dv j m a n c u s o ，r e l a t i o n sa m o n g c e 。t a i nm p p i n g s 龃d 。o 。o n 9 8 f o rt h e i re q u i v a l e n c e ，t o p o l o g ya p p l ，1 9 7 1 ，i ，3 3 - 4 1 【4 】g a og u o - s h i a n dw u l i - - s h e n g ，m a p p i n gt h e o r e m 8 o i lm 豁o m p 8 。8 p 鹤，p 。o 。 a m e r m a t h s o c ，1 9 8 3 ，8 9 ( 2 ) ，3 5 5 3 5 8 5 1 高国士，拓扑空间论，科学出版社，2 0 0 0 6 1g ey i n g ，s u b p a r a c o m p a c ti n v e r s ei m a g e so f2 - s u b p a x a c o m p a c ts p a c e s ，p u b l i _ c a t i o n sd el i n s t i t u tm a t h d m a t i q u e ，n o u v e l l es d r i e ，2 0 0 3 ，8 7 ( 7 z ) ，1 1 5 1 2 0 f7 葛英，关于弱百一加细空间的闭l 原象，数学研究与评论，1 9 9 4 ，1 4 ， 4 2 6 4 2 8 i 8 1h r ，b e n n e t ta n dd j l u t z e r ，an o t e o nw e a ko - r e f i i l a b i l i t y ，g e n ，t