（基础数学专业论文）关于幂零lie环的研究.pdf

摘要 关于一个群g ，我们可以得到一个结合l i e 环工( g ) ，l ( e ) 可以反映出g 的 一些幂零特征这样，在幂零群的研究中，l i e ：环方法扮演着重要的角色，具 有基本的重要性本文研究了l i e 环的一些幂零性质，目的是把幂零群中的一 些基本结果t 中心列特征、h a l l 的幂零性准则等推广到l i e 环，同时也给出两 个l i e 环的暴零性准则，由此得到对幂零l i e 环的深入理解， 首先，我们仿照幂零群的处理方式，引进幂零l i e 环的中心列、上中心列、 下中心列，给出l i e 环的幂零类的概念，并对两类最基本的幂零l i e 环给出其 上、下中心列 其次，我们知道在一个l i e 环l 中，若对任意$ 】，。2 ，z 。，。+ l l ，有 h ，现，一，x c + l 】- 0 ，则l 幂零，且幂零类c ，而本文将给出另外两个l i e 环的幂零性准则； 1 工是l i e 环，且l 作为交换群是3 1 群，若对任意轧。2 ，。一1 l ，n 3 有【$ l ，x 2 ，z 。“z i _ 0 ，则三幂零，且幂零类n 一1 2 设l 是一l i e 环，且对任意z 1 ，现，。一l l ，n 3 ，有 则l 幂零，且幂零类n ； 最后，我们把h a l l 的幂零性准则推广到l i e 环上，即设是l i e 环工的 理想，且和工，7 幂零，则l 幂零，并证明此类l i e 环的幂零类的准确上 界是尉+ ( c 一1 ) ( d 一1 ) ，并给出例子 关键词 幂零l i e 环；中心列；上中心列，；下中心列；幂零类 a b s t r a c t f o rag r o u pg ，w ec a ng e taa s s o c i a t el i er i n gl ( g ) t h a tw i l lr e f l e c ts o m e n i l p o t e n tp r o p e r t i e so fg t h e nt h e l i er i n gm e t h o d sp a yg r e a ti m p o r t a n tr o l ei n t h es t u d i e so fn i l p o t e n tg r o u p s i nt h i sp a p e r ，w eh a v ed o n es o m er e s e a r c hi nt h e n i l p o t e n c eo fl i er i n g s a n dm e x t e n ds o m eb a s i cr e s u l t so fn i l p o t e n tg r o u p st ot h e l i er i n g s ，s u c ha sc e n t r a ls e r i e s ，t h en i l p o t e n c er u l eo fh a l la n ds oo n a n dt w o 1 1 i l p o t e n c er u l eo fl i er i n g sh a v eb e e ng i v e ni nt h i sp a p e rt o o f i r s to fa l l 。wg i v et h ed e f i n i t i o no fc e n t r a ls e r i e s ，l o w e rc e n t r a ls e r i e s ，a n d u p p e rc e n t r a ls e r i e sa c c o r d i n gt ot h ew a yw ed e f i n et h er s l p o t e n tg r o u p s a f t e rt h a t w ed e f i n et h en u p o t e n tc l a s so fl i er i n g s ia n dp r e s e n tt h el o w e rc e n t r a ls e r i e sa n d u p p e rc e n t r a ls e r i e so ft w ok i n d so fb a s i cn i l p o t e n tl i er i n g s s e c o n d l y , w eh a v ek n o w nt h a ti ff o ra n y 。l ，0 2 ，- 一，x c , 。c + 1 工，w h e r eli sa l i er i n g ，w eh a v e x l ，。2 ，- ，茁c ，嚣c + 1 】= o , t h e nli sn f l p o t e n t a n dw ew i l lg i v et w o n i l p o t e n c er u l e so fl i er i n g s ： 1 l e tl b eal i er i n gt h a tt ob eaa d d i t i o n a lg r o u pi t i s3 ，a n df o ra n y 士l ，。2 ，一1 z n 一1 工，礼3 ，w eh a v e z l ，z 2 ，一，x n - l ，x 1 1 = o ，t h e nl i sn i l p o t e n tl i e r i n g 稍t hn i l p o t e n tc l a s s n 一1 2 l e tlb eal i er i n g ，a n df o ra n yz l ，x 2 ，- - ，士n 一1 二，n 3 ，w eh a v e 【1 ，x 2 ，。n 一1 ，$ l 】= 0 ，t h e n l i san i l p o t e n tl i er i n g w i t hn i l p o t e n tc l a s s _ 礼 f i n a l l y w ee x t e n dt h en i l p o t e n c er u l e o fh a l lt ol i er i n g s ，t h a ti fn i san i l p o t e n t i d e a lo fbl i er i n glw i t ht h a tl ni sn i l p o t e n t t h e nw i t hae x a m p l ew ep r o v et h a t t h eu p p e rb o u n do fn i l p o t e n tc l a s si se x a c l y 础+ ( c 一1 ) ( d 一1 ) k e yw o r d s n i l p o t e n tl i er i n g ；c e n t r a ls e r i e s ；u p p e rc e n t r a ls e r i e s ；l o w e rc e n t r a ls e r i e s n i l p o t e n tc l a s s 1 l 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名： 榉 签名日期：仞彩年厂月嘶 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖j e 大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版。并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：才汤丰龟 签名日期：2 功6 年j ，为z r - a 导师签名：幸- 恰阂导师签名：7 。rd i 列 签名日期：粕年s 月1 如 、序言 1 1 背景介绍 l i e 环是与l i e 代数相关的一个代数结构实际上一个l i e 环工是个非 结合的环，并且它的乘法是非交换的，满足 以及j a c o b i 恒等式 陆，z 】+ b ，= ，叫+ k ，。】= 0 z ，y ，z l 而且对任何一个结合环r ，只需要把r 中的乘法换成ky 】- x y y x ，就可以 做成一个l i e 环，这里丑口咒 在1 9 世纪，为了把l i e 群简化为线性代数的问题，引入了l i e 代数。后 来逐渐发现了一系列l i e 代数和l i e 环在抽象群上的应用，特别是l i e 环方 法在有关p - 群的一些猜想的证明中，起着至关重要的作用这些猜想由cr l e e d h a m - g r e e n 和m fn e w m a n 在1 9 8 4 年提出( 【2 7 】) ，而现在这些猜想都已由 l e e d h a m - g r e e n ( 2 8 ) ，a ，s h 出e v ( 2 9 ) 等人在1 9 9 4 年证明此外y u m e d v e d e v 也得到一些p 一群与l i e 环的相关的结论( 1 1 圳16 j ) 事实上l i e 环方法在一般的群上的研究也起着重要的作用，特别是在群 的幂零性质上，对此，g h i g m a n ( 2 6 3 0 ) 和g ，e w a l l ( j 1 9 ) 也分别做过研究 为了说明l i e 环在群论研究的作用，我们举个简单的l i e 环的例子： 设g 是一个群，它有一个中心列， g = g o g 1 g 2 g 。 所以 f g t ，岛】g i + a i ，j z 因此可做一个l i e 环l l = e g i g i - 1 且三中的乘法定义为 茁g 。，y g j 】= f x ，引g t + j 。，y g 1 2 闯题的提出 既然l i e 环在群的幂零性质上有着特殊重要的作用，那么，研究l i e 环自 身的幂零性也就很重要了我们可以仿照群中幂零性的定义方法，分别给出相 应的l i e 环上的定义，比如中心列、幂零类等有了这些定义之后，我们就能 进行幂零性的研究同样的，l i e 环上也存在着与群相应的幂零性准则，并且 我们可以看到，l i e 环的幂零性与群也有着差异，有的幂零性准则在l i e 环成 立，但在群上就不一定正确，譬如，本文在第三章节所给出的个l i e 环幂零 性准则 1 3 主要结论 本文主要有三个部分 第一部分仿照幂零群的处理方式，引进幂零l i e 环的中心列t 中心列设工为一l i e 环，l = l 1 l 2 l 3 l 。是l 的一个理 想列，且满足阻，l 1 l 州，则称该理想列为l 的一个中心列同理若理想 列o = 工( o ) l w l ( 2 ) sl ( 。) s 满足陋( 1 ) ，翻s 工( + 1 ) ，则也称该理想列 为中心列 并在给出l i e 环上、下中心列定义的基础上定义幂零类； 幂零类幂零l i e 环的上中心列长= 下中。5 - 列长= 二的幂零类 最后给出了幂零l i e 环的基本例子； 例设r 为一环，j 是r 的个幂零指数为m 的幂零子环，z ( r ) 是r 的 中心，设l = ，并且定义五中的乘法t f 。，y ) = x y 一卦。， v o ，y l ， 则上按r 中的加法和定义的乘法构成一个l i e 环 我们证明l 是幂零的并得到它上下中心列的一些特征； m ( 工) j 。，i = 2 ，3 ，一，m( 1 ) 2 c a l ) z ( r ) + “一，j = 1 ，2 ，m ( 2 ) 接着我们举例说明( 1 ) 和( 2 ) 式中的等号都是可以取到的 第二部分给出一个l i e 环的幂零性准则我们已经知道，在一个l i e 环l 中，若对任意x l ，x 2 ，。，$ * 】l ，有渖l ，x 2 ，z 。，。“= 0 ，则l 幂零，且 幂零类c ，而我们将给出另一个l i e 环的一个幂零性准则 首先我们先针对一类特殊的l i e 环扣三作为加法群是3 7 群，给出幂零性 准则： 幂零准则一设l 是l i e 环，且工作为加法群是3 7 群，若对任意x l ，z ”，z 。l 厶n 3 ，有陆1 ，x 2 ，。，l ，x 1 = 0 ，则工幂零，且幂零类n 一1 然后对于般的幂零l i e 环，给予同样的条件，我们也可以得到相应的幂 零准则，只是幂零类的上界不同： 幂零准则二l 是一l i e 环，且对任意z l ，z 2 ，t - ，z 。一1 l ，n 3 ，有 【z 1 ，2 ，。，1 ，x l 】= o ，则l 幂零，且幂零类n 第三部分给出l i e 环的h a l l 幂零性准则相应于群上的h a l l 幂零性准则， 我们很自然的想到要把这一幂零准则推广到l i e 环上，并且仿照s t u a r ta g ，r 的方法给出幂零类的上界 首先我们找出下中一5 - 列的商群和l = l l ，l j 的张量积的关系： l 是个l i e 环，令只= m 工m + 1 五及l = l l ，目，则映射口： 只o l d b _ +最+ 1 ( a + 7 i + a l ) ( g + l 7 ) 一陋，9 + m + 2 l 是同态，其中n m l ，g l 这样就得到下列美系： 只。乏竺望墨! ! 旦：竺墨些 t 然后我们利用上面的关系式证明l i e 环的h a l l 幂零性准则 3 l i e 环的h a l l 幂零性准则设是l i e 环l 的理想，且和l ，幂零， 贝0 二幂零 紧接着我们就仿照s t u u r th g r 的方法找出l 的幂零类的上界； 工的幂零类的上界设是l i e 环l 的理想，且的幂零类是c , c n , n 1 的幂零类为d ，则三幂零且幂零类c d + ( c 一1 ) ( d 一1 ) 但是这并不能说明c d + ( c 1 ) 似一1 ) 就是一个准确的上界，因此我们最后 举例说明t 例设是一个自由幂零l i e 环，且生成元是口l ，a 2 ，a 2 d ，再定义个 作用在上的映射，并证明它是一个导子，然后定义工= ( ，z ) ，其中z 由 诱导出最后证明工是l i e 环，且幂零类= c d + ( c 1 ) ( d 1 ) 1 4 符号说明 为方便叙述和证明我们首先对一些符号进行说明： 对任意正整数r , 1 g 1 = g ，【盯+ 1 ) c 1 = 【p g 】，g ；且对任意正整数t 和任意 非负整数q ，有f t a ，o l 】= f t a ，p 4 ，1 l = f t a i ，三】， t a ，q l 】= t a ，0 1 ) l i ，l 1 厶= i l l i 8 ， i z 1 l 是l i e 环，若a l ，r 2 2 ，。n l ，则r ( k ，a j ，a t ) ) = t ， ， 厶 二是l i e 环，贝l 。沪l l ，纠 l 是l i e 环，贝z ( l ) = l 的中心 4 二、幂零l i e 环的上、下中心列的一些性质和例子 2 1 引言 在本章中，我们仿照幂零群的处理方式，引进幂零l i e 环的中心列，给出 这类l i e 环的幂零类的概念，并对两类最基本的幂零l i e 环给出其上、下中心 列 2 1l i e 环的上、下中心列 这一节，我们介绍l i e 环的上、下中心列的定义以及它们的一些相关的性 质 定义2 1 设l 为一l i e 环，l = l l l 2 l 3 k 是l 的一个 理想列，且满足慨，l 】兰厶+ z ，则称该理想列为l 的一个中心列同理若理 想列0 = 工( o ) 工( 1 ) 工( 2 ) 工( 。) 满足 l ( o ，l l ( 计1 ) ，则也称该理想 列为中心列 定义2 2l 为一l i e 环，设7 t ( l ) = l ，加( 三) = i l ，l ，m + 1 ( 五) = h 犯) ，己】，贝称l = 7 1 ( 上) 1 l ) 7 2 ( l ) ( l ) 为l 的下中心 列并且若存在c n 使得仉+ l = 0 ，但是仉0 ，则称该下中心列的长为c ， 基本性质2 3 ( 1 ) 对于i n ，有m ( 工) 是工的理想； ( 2 ) 下中心列是中心列； ( 3 ) 对 ，j n ，若j i ，则对三中重为j 的任意元a ，有a m ( l ) ； ( 4 ) h ( l ) = + 1 2 ，“一1 i n = 0( 2 3 ) ， 9 殴 、 、i了 n 同时 n ( 工) z ( m ) + j “一1 = a0 - 口0 0 o l n ， 0 口，o l n r 取a = ( a l j ) n ( l ) ，b = 鼠。+ l lu = 1 ，2 ，一，n l ，则 = 0 a v + - j 嘞 j = v + l + 玎 j = v + 2 而对于1 i 口，u + 1 3 时，对任意3 7 1 ，3 7 2 ，+ 1 l ，根据定理31 中的( 3 2 ) 式，我们 有 嚣l ，x 2 ，。3 ，x 4 ，- ，z n + 1 = - - 3 7 1 ，z 2 】，x 4 ，5 3 ，一，：t n + 1 ，( 3 8 ) 再结合定理31 中的( 3 3 ) 式和( 3 4 ) 式有 f 5 1 ，3 7 2 ，x 3 ，t 4 ，z n + 1 = 一陋4 ，5 2 ，1 。3 ，x l ，一，x n + l l ，( 3 9 ) 【z 1 ，3 7 2 ，z 3 ，茁4 ，。n + l 】= 一 3 7 1 ，3 7 4 ，t 3 7 2 ，一，z n + 1 】( 3 1 0 ) 接下来我们证明 3 7 1 ，x 2 ，3 7 3 ，$ 4 ，3 7 n + 1 = 0 运用( 3 3 ) 式、( 3 4 ) 式、( 3 8 ) 式、( 3 ，9 ) 式、( 3 1 0 ) 式以及j a c o b i 恒等式，我们可以得到 陋l ，3 7 2 ，3 7 3 ，x 4 ，一，士n + l 】= 一f 。4 ，3 7 3 ，b l ，x 2 ，$ n + 1 ，x n + l 】 。n + 1 】+ k 3 ，3 7 4 j 5 1 ，z 2 ，- ，。n + l 1 5 = k 3 ，x 4 ，。2 ，。l ， ，x n + 1 + 2 1 ，。2 ，x 3 ，z 4 ，一，z n + l 所以 【x 3 ，x 4 ，z 2 ，。l ，一，石n + l 】= o ， 即 扣1 ，x 2 ，如，x 4 ，z n + l 】= o忱1 ，勋，2 n + l l 因此l 幂零，且幂零类定理证毕 1 6 4 1 引言 四、l i e 环的h a l l 幂零性准则 p h a l l 曾经证明： 令是群g 的一个正规子群，且n 的幂零类为c ，商群a f n , n 】幂零类 为d ，则g 的幂零类( c t ) d ( d + 1 ) 2 + d 在这一章里，我们将把这一幂零性准则推广到l i e 环上，证明幂零类的准 确上界是c d + ( c 一1 ) ( d 一1 ) ，并给出例子 4 2 预备知识 引理4 1 若a ，b ，c 是l i e 环上的理想，则： ( 1 ) a ，引= 【b ，卅； ( 2 ) a ，b ，c 】 b ，c ，a 】+ 【c ，a ，b ； ( 3 )【a + b ，q f a ，c 】+ b ，g 】； ( 4 )噼以1 ，b 州1 【0 + j ) 州， ，j 是正整数 证明【a b 】：+ ( 【口，耐，o a ，6 b ) = + ( 一i b ，回，。a ，b b ) = f b ，捌 i a ，b ，q = + 【。，b ，c 】，a a ，b b ，c c ) = + ( 6 ，a ，c 】+ a ，c ，6 ，o a ，b b ，c c ) s 【b ，c ，a 1 + 【c ，a ，b a + b ，q = + ( f 。+ b ，c 1 ，n a ，b b ，c c ) = + ( 陋+ c 1 + ( n ，c ，口a ，b b ，c c ) 1 7 s a ，c 】+ 【b ，c 【p a 】，口a 】) = + ( 陋l ，- - ，啦) ，【a + l ，a i + j 。 = + ( ，m 出口h a ) 【0 + j ) a 】 引理4 2 令是l i e 环工的个理想，则 这里s k = 【，删，【n ，扣一t ) 硎，i 厶j 为正整数 证明对s 进行归纳 当8 = 1 时。 【2 n ，三j = f n ，n ，目 si n ，l ， + 【l ，n ，n 】 n ，l ，n j = i i n ，上1 ， n ，o 驯 设当8 1 时，命题也成立，即 t 2 n ，( s 一1 ) 上4 孔 这里t k = 【i n , i l l ，( ，0 一i 一1 ) 工 ，i i ( s 一1 ) 而 则$ 时 2 n ，s l l _ 【2 n , ( 8 1 ) 三，l r s 【死，工4 k = l r ( t k ，l 1 k = l 【死，l 】= f 【，i l ， n ，( 8 1 一i ) l 】，纠 s 【( ，( s 一1 一i ) 三1 ，l ，【n ，t 五1 + 【l ，( n ，i l 】， n ，( s 一 一1 ) 叫】 1 8 瓯 ，脚 l2 2 d 一1 d = 1 且l v x , + 1 也是工一模，则称是三一多重平凡的这里i 豇一l 定理4 5 设是l i e 环l 的理想，且和l 7 幂零，则l 幂零 证明l 7 幂零，则存在l ，的个中心列 l i n 7 l i l n 7 l d 。n 7 l d n = 0 ，( 4 1 ) 由( 1 ) 我们构造耽6 = 7 的一个列 ( l n n ) n 7 ( l in n ) n 7 - ( 工d ln n ) m ( l n n ) n = 0 ，( 4 2 ) 因为( 4 1 ) 是l ，的中心列，则对任意i 厶一l 有 ( 工 7 ) ( l 件l 7 ) e ( l n 7 l l + l n ) l d l i + l e ( l l 1 ) 所以，l l 工件1 ，再由n 是理想可知 ( 厶n ，叫兰t + l n 所以( 厶n n ) ( l 件，n n ) 是l 模，苒由( 4 2 ) 式可知心b 是l 一多重平凡 又由引理4 3 知，对任意i j 。“有 这里c 是n 的幂零类，所以易知r 也是l - 多重平凡的为方便起见我们令 m = 饥( ) ，则设置有l 一模列； 胍l + l m 1 胍+ 1 兰盹吣1 似+ l 1 h 胍+ l = 0 z + 则存在一个列 n = 1 n 1 ，三1 k 。= 2 2 。2 虹 = n 3 ( c 1 ) l2 ( c 一1 ) f 。一n = c = 0 ， 其中 i ，m ( ( 工m j t l ) ， j i k i _ l 结合( 4 1 ) 式可知，l 存在一个中心列； l l 1 l d = n 2 c l 兰c = 0 ， 即三幂零，命题得证 接下来我们找出满足定理4 4 的l i e 环的幂零类的准确上界 定理4 6 设是l i e 环工的理想，且的幂零类是c , a l n , n 】的幂零 类为d ，则l 幂零且幂零类c d + ( c 一1 ) ( d 一1 ) 证明对c 进行归纳 当c = l 时，( ，n ；o , l 的幂零类为d ，命题成立 设当c = t 一1 时，命题也成立， 则当c = t 时，对任意r 厶，尬= n i ( p + 1 ) 】是研= l ( r + 1 ) s v l 的理 想，且易知这里坼的幂零类为r ，h , 2 m 】的幂零类为d ，根据假设得 ( 2 r d r d + 2 ) l 】茎i p + t ) n 1r 矗一1 再根据引理4 1 i ( 2 t d t d - 4 - 2 ) l s 2 n ，( 2 t d 一2 d 一+ 1 ) l 口 s k = 1 这里鼠= ( ，工】， n ，( 2 c d 一2 d c + l t ) l 】 ，i 丑2 。d 一2 d 一。+ 1 ) 2 1 对于任意的 五。d 一2 d 一。+ l 总可以找到j 厶，使得 2 ( j 一1 ) d d 一( j 一1 ) + 1 t 2 j d d j + 1 所以 最= 【i n , i l ，【，( 2 c d 一2 d c + 1 一i ) l ” 【0 + 1 ) l ，【( 2 。d 一2 d c + 2 一t ) l 】 【( 幻d d j + 2 ) 工1 ，f ( 2 0 d 一2 d c + 2 一t ) l 1 1 sd v ， ( 2 d ( c i ) 一d 一( c j ) + 2 + 2 d j d j 一 ) 捌j d ，f ( 2 d ( c j ) 一d 一( c j ) + 2 ) 引j d ， 【c j + 1 ) 州】 【( c + 1 ) 】 = 0 所以 f ( 2 c d c d + 2 ) 工4 鼠= 0 ， k = l 即l 的幂零类2 c d c d + 1 命题证毕 下面我们将举例说明这是一个准确的上界 4 4 例子 例4 7 设是一个自由幂零l i e 环，且生成元是o l ，a 2 ，一，u 2 d ，则作 为个加法群的生成元是a 1 u a 2 u u a 。，这里a = ( 重为i 的生成元) ，其 中i 厶， a 1 = 。1 ，a 2 ，一，a 2 d ； 4 2 = f 0 1 ，a 2 ，【a l ，0 3 】，慨，a 2 d ， 陋2 ，0 3 j ，【a 2 ，。2 d 】， f 0 2 d 一1 ，口2 d 】) ； a 3 = k l ，a 2 ，0 1 】，( n 1 ，。2 ，0 2 】，一， n 1 ，a 2 ，a 2 d 。1 ，a 2 d ，a 1 ，( a l ，n 2 d ，a 2 】 a 2 ，a 3 ，。2 ，【。2 ，a 3 ，口3 j 【n 2 ，4 ，口2 】，【0 2 ，口4 ，0 3 】 眈，a 2 d ，0 2 j ，【a 2 ，a 2 d ，0 3 】，【a 2 ，a 2 d ，n 2 d 胁d “q 2 d ，a 2 d l 】，【a 2 d 一1 ，a 2 d ，a 2 d 】l a i = 【口0 1 ) j ，。】i 。“一1 ) j a i 一1 ，r ( o ( t 一1 ) j ) = tj 1 2 d 一1 ，t j ) a c = 【8 ( c a )