（基础数学专业论文）特征函数的性质及其应用.pdf

一 0 t h en a t u r ea n d a p p l i c a t i o no f c h a r a c t e r i s t i c ”j 量iu n c t i o n at h e s i ss u b m i t t e df o r t h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：k a nx i n g l i s u p e r v i s o r ：p r o f t i a nf a n j i h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：f 茸乌毒莉 日期：山。年中月日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本：学校有权保存并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服 务；学校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公丌学位论文的部分或全部内容。( 保 密论文在解密后遵守此规定) 作者签名：牙亩毒罚 指导教师签名：调彳埋 日期：“。押 日期：wi 一， 摘要 概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论和方法在金融、 经济与管理、保险、医学、工农业生产、军事、灾害预报甚至社会科学领域中都 有着非常广泛的应用。随机变量的分布函数完全描述了随机变量的统计规律性， 可是对某些问题如果用分布函数来解决，并不容易。随着概率论的发展，我们把 f o u r i e r 变换引入到概率中，进而产生了特征函数，利用特征函数与分布函数一 一对应的关系，简化了许多随机变量的研究工作。 本文系统总结了随机变量特征函数的性质，研究了各种常见分布的特征函 数，并给出了利用特征函数计算数字特征的方法，并进行了实例计算。另外根据 特征函数的反演公式与唯一性定理，讨论了特征函数在证明辛钦定律及强大数定 律中的应用，同时利用特征函数的性质推出两种常见的重要分布。另外，本文利 用特征函数还巧妙地解决了一些单纯利用分布函数很难解决的一些问题，如研究 几种常见分布的随机变量再生性问题，即相互独立的具有各种类型分布的随机变 量之和的分布类型是否不变。 关键词：随机变量；分布函数；概率密度函数；特征函数；再生性 a b s t r a c t p r o b a b i l i t yt h e o r yi sab r a n c ho fm a t h e m a t i c sd e a l i n gw i t ht h es t a t i s t i c a ll a wo f r a n d o mp h e n o m e n a ，i t st h e o r e m sa n dm e t h o d sh a v eb e e nw i d e l yu s e di nf i n a n c e 、 i n d u s t r y a n d a g r i c u l t u r e ，i n s u r a n c e ，m e d i c i n e ，i n d u s t r i a la n da g r i c u l t u r a l p r o d u c t i o n 、m i l i t a r ya f f a i r s 、d i s a s t e rf o r e c a s te v e ni nt h es o c i a ls c i e n c e t h e d i s t r i b u t i o nf u n c t i o no fr a n d o mv a r i a b l ec o m p l e t e l yd e s c r i b e ds t a t i s t i c a l r e g u l a r i t y o fr a n d o mv a r i a b l e s ，b u tw i t ht h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o nt os o l v es o m ep r o b l e m s ，w e h a v ef o u n dt h a ti ti sn o te a s y w i t ht h ed e v e l o p m e n to fp r o b a b i l i t yt h e o r y ，w eh a v e i n t r o d u c e dt h ef o u r i e rt r a n s f o r mt ot h ep r o b a b i l i t yt h e o r y ，t h e nt h ec h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o nw a s g e n e r a t e d ，w i t h t h eo n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e r e l a t i o n s h i p b e t w e e nc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o na n dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，m a n ys t u d i e so fr a n d o m v a r i a b l e sw a s s i m p l i f i e d t h i s p a p e r s u m m a r i z e st h e p r o p e r t y o ft h ec h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n s y s t e m a t i c a l l y ，s t u d y s t h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o no fav a r i e t yo fc o m m o n d i s t r i b u t i o n ，a n dg i v i n gt h ec a l c u l a t i o no fn u m e r i c a lc h a r a c t e r i s t i cw i t ht h e c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n o t h e r w i s e ， w i t ht h ei n v e r s i o nf o r m u l aa n dt h eu n i q u e n e s s t h e o r e mo ft h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ，id i s c u s s e dt h ea p p l i c a t i o ni n k h i n t c h i n e s l a wa n ds t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s ，a tt h es a n l et i m e ，w i t ht h ec h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n ，ig i v et w oi m p o r t a n tp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n s t h i sp a p e ra l s os o l v e ss o m e d i f f i c u l tq u e s t i o nw i t ht h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ，n o tt h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o ns i m p l y , f o re x a m p l e ，is t u d yt h er e p r o d u c i n gp r o p e r t yo fs o m ec o m m o nd i s t r i b u t i o no f r a n d o mv a r i a b l e s ，t h a ti n d e p e n d e n to f e a c ho t h e rw i t hv a r i o u st y p e so fd i s t r i b u t i o no f r a n d o mv a r i a b l e sa n dt h ed i s t r i b u t i o nt y p ei su n c h a n g e d k e yw o r d s ：r a n d o mv a r i a b l e ；d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ；p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n ； c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ；r e p r o d u c i n gp r o p e r t y i i 目录 第一章绪论1 1 1 研究背景l 1 2 本文的研究方法和主要解决的问题2 第二章预备知识3 2 1 特征函数的概念3 2 2 特征函数的性质4 2 3 特征函数的反演公式及唯一性定理6 第三章特征函数的应用8 3 1 常见随机变量的特征函数。8 3 1 1 随机变量服从两点分布8 3 1 2 随机变量服从二项分布8 3 1 3 随机变量服从泊松分布8 3 1 4 随机变量服从均匀分布9 3 1 5 随机变量服从指数分布9 3 1 6 随机变量服从正态分布1 0 3 2 利用特征函数求随机变量的数学期望1 0 3 2 1 随机变量服从两点分布1 0 3 2 2 随机变量服从二项分布1 0 3 2 3 随机变量服从泊松分布ll 3 2 4 随机变量服从均匀分布l l 3 2 5 随机变量服从指数分布1 1 3 2 6 随机变量服从泊松分布1 2 3 3 特征函数在大数定律中的应用1 2 3 3 1 在证明辛钦定律中的应用1 2 3 3 2 在强大数定律中的应用1 3 3 4 利用特征函数推出重要分布1 4 i i l 第四章随机变量的再生性1 7 4 1 相互独立随机变量和的特征函数1 7 4 2 再生性的概念及研究1 8 结论2 0 参考文献2 l 致i 射2 2 i v 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 概率论是研究随机现象统计规律性的- f - i 数学学科，是研究和探索客观世界 中随机现象的科学，其理论和方法在盒融、经济与企业管理、保险、医学、工农 业生产、军事、灾害预报甚至社会科学领域中有着广泛的应用。运用概率论的理 论和方法还形成了许多边缘学科，如信息论、决策理论、生物统计、金融数学以 及精算理论等。现代科学的发展，越来越需要概率论的指导来寻求随机现象的统 计规律性，检验、分析和预测随机现象规律、发展和变化。 我们已经知道，随机变量的分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，以 分布函数为基础，我们可以讨论随机变量的数字特征、运算性质等问题。同时， 我们也发现分布函数或分布密度这些工具，有时使用起来很不方便，如讨论随机 变量和得分布，若毒与己是两个相互独立的随机变量，其概率密度函数分别为 p ，0 ) ，p 2 ) ，则孝= 点4 - 岛的概率密度函数为p ( x ) = p 。( x ) 木p ：( 工) ，如果要求门个 相互独立的随机变量卣，乞，磊的和善= 专的分布密度，那么就要计算n - 1 次 i = 1 卷积，这显然很复杂，但这种问题在概率中是非常常见的，因此，有必要进一步 发展研究随机变量统计规律的工具。在数学分析中，我们知道f o u r i e r 变换能把 卷积运算变成乘法运算，因此，我们将f o u r i e r 变换引入到概率中，进而产生了 特征函数。通过对特征函数的研究，我们发现特征函数与分布函数一一对应，分 布函数唯一决定特征函数，特征函数也唯一决定分布函数，特别地，如果有一分 布函数列和与之相对应的一个特征函数列，则他们在一定收敛意义下的极限值也 是相对应的。其次，用特征函数作随机变量研究工具比用分布函数有许多方便之 处。例如独立随机变量之和的概率分布是各被加项分布的卷积，而独立随机变量 之和的特征函数则是各被加项特征函数的普通乘积等。 湖北大学硕士学位论文 1 2 本文的研究方法和主要解决的问题 本文共分为四章，第一章为绪论，第二章为预备知识，介绍一些与本文相 关的基本概念及相关性质。第三章研究了特征函数的主要应用。首先讨论了各种 常见分布的特征函数，并利用常见分布的特征函数推导出计算常见分布数学期望 的方法，利用这种方法，一般只需要进行微商计算，而避免了复杂的积分计算。 另外，还根据特征函数的反演公式与唯一性定理，进一步讨论了特征函数在证明 辛钦定律和强大数定律中的应用，并利用特征函数推导出两种常见的重要分布。 第四章将前面几章所得到的结论进一步进行推广，得到了利用随机变量分布的特 征函数研究了几种常见分布的随机变量的再生性的方法。 2 第二章 预备知识 第二章预备知识 弟一草坝酋划识 2 1 特征函数的概念 定义2 - 1 ：设孝是定义在概率空间( q ，f ，p ) 上的随机变量，它的分布函数为 f ( x ) ，e j t 的数学期望e ( p ，) 为孝的特征函数，其中= 厅，t r ，并记为 终( ，) = e ( p 心) = e e 肌卵( x ) 这里由于对任意f r ，l g 肚l = 1 ，f ( x ) 单调有界， l i t e ( e j ) 总是存在的，也就 是说对任一个随机变量，其特征函数都是存在的又因为特征函数是一实变量复 值函数，而 e j t r = c o s t x + j s i n t x 所以 ( f ) = e ( p f ) = e p 肌卵( z ) = e c 。st x d f ( x ) + e s i n t x d f ( x ) = e ( c o st 孝) + j e ( s i nt ( ) 若孝为离散型随机变量，概率分布为尸( 孝= x i ) = p ，( i = 1 , 2 ) ， 则 班( ，) = e ( e f ) = z ( e 肌咖， 则 若孝为连续型随机变量，概率密度函数为p ( x ) ， ( f ) = e ( p w ) = e e 肛p ) a x 湖北大学硕士学位论文 2 2 特征函数的性质 性质1 ：终( ，) 在r = ( 棚，佃) 上一致连续， 且有 l 终( f ) 卜( o ) = 1 和( 一f ) = 瓦丽 成立，其中瓦丽表示终( ，) 的共轭 证明：设孝为连续型随机变量，其概率密度函数为p ( x ) ，故对任意的，h 和 常数a 0 有 l 妒( hh ) - c p ( 叫= l 亡( p 伽一1 ) ej 髓m ) 出i e 卜咖一1 p ( x ) 出f ：oe j i g _ 1 p ( 工) 出+ 2 l i 却p ( z ) d x 对任给的s 0 ，取口充分大，使有 2 如( 舳 三 成立，故对一切x 【- 口，口】，取办 三， z a 有 k 咖一，i = l p ：x ( e j ；* _ e - j ；。) i = 2 i l s i n 等i 三li 二l 二 因此 恢( h ) 一班( ，) i 占 故( f ) 在尺= - o o ，扣o ) 上一致连续 又 咖) l - if = 咖( 舳i 胙肛p ( x ) d r = e p ( x ) d x = 1 = 妒( o 纷( 一，) 2 ( e - f i x p ( x ) d x = p 雕p ( x ) 出= 伊( f 一 性质2 ：设终( f ) 是随机变量f 的特征函数，则，7 = 口善+ 6 的特征函数为 4 第二章预各知识 e j h t 吁。口( 口，) 即 吼f “( ，) = e j b t ( 口f ) 证明：p 。f + ( f ) = e e 加= e e 扣参+ 埘= 扩e e 扣壹= e j h t ( 口f ) 恒有 性质3 ：纯( f ) 是非负定的，即对任意的一组气r 及复数a ( 七= 1 ，2 ，门) 一 ( f i f ，) 口i 口，0 ( 其中门为任意正整数) k ，i = l i i e 明设孝为连续型随机变量，其概率密度函数为p ( x ) ，则有 艺( 气一，) a k a , = 窆口。虿e p 巾一m p ( x ) 出 k , i = l k d = l = e k 窆d = l 吼不巾一加p ( x ) 出 = e ( 艺k = l 吼p 舭) ( 窆i = 1 不叫。巾( x ) 出 = r l 窆k = l 口。p 一1 2 p c x ，出。 ii 性质4 ：设卣，磊的特征函数分别为缈，( r ) ，缈：( f ) ，又六与彘互相独立，则 孝= 鼻+ f ：的特征函数为 终( ，) = 仍( r ) q ，2 ( t ) 证明：由于石与彘互相独立，故p 拍与e 磊也互相独立，从而 9 = e e 毋6 = e e 虫t 4 1 1 = e e 膏4 一亩毛= e ( e 9 蜀e 9 2 l 、 卣e e 磊= 仍( f ) 缈2 ( ，) 性质5 ：设随机变量f 有，阶矩存在，则孝的特征函数班( ，) 可微分，次，且 对k z ，有 湖北大学硕士学位论文 ( 0 ) - j 骘 证明：设f 为连续型随机变量，其概率密度函数为p ( x ) ，则 又f 的，阶矩存在，即有 纥( ，) = 皿p ( x ) d x纥( ，) 2 上二p 归 口x 陬x ) d x o o 从而e p 肛p ( x ) 出可以在积分号下对r 求导，次，于是对o 七，有 令，= 0 ，即得 终( ，) - e x i e 肌p ( x ) a x = ，e ( 孝k e j t f ) ( 0 ) = j k e ( 善) 2 3 特征函数的反演公式及唯一性定理 定理2 一l ( 反演公式) ：设随机变量孝得分布函数为f ( x ) ，特征函数为终( ，) ， y x 。与x ：为f ( x ) 得任意两个连续点，则有 酬毗) = 嬲去l 竿衍 其中，当，= 0 时，按连续性延拓定义有 e 一弛一e 一如l f 钉z 吖- 证明：设随机变量f 为连续型随机变量，其概率密度函数为p ( x ) ，不妨设 而 x 2 ，则 对v 实数a ，有 以= 去l 竿出 气1 竿蝴 当日巩p t l - ip 出i 胪陪口 6 ( 注) 若孝是离散型随机变量，只须将上述证明中积分符号换为求和符号， 并把概率密度换成分布律即可 定理2 - 2 ( 唯一性定理) ：随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定 证明：对分布函数的每一个连续点x ，令y 沿着分布函数f ( x ) 的连续点趋于 一0 0 ，由反演公式可得 瞰) = 熙舰西1l 气手必) 出 又由于分布函数由其连续点上的值唯一决定，得证 7 湖北大学硕士学位论文 第三章特征函数的应用 3 1 常见随机变量的特征函数 3 1 1 随机变量服从两点分布 若孝b ( 1 ，p ) ，其概率分布为 令q = 1 一p ，则 则 p ( 善= 七) = p ( 1 一p ) 卜k = 0 , 10 p 1 尸( 孝= 七) = p q 1 一( 尼= 0 , 1 ，0 p 1 ) 终( r ) = e ( e f ) = p ”q + e 少”p = q + p e 3 1 2 随机变量服从二项分布 若孝b ( 门，p ) ，其概率分布为 令q = 1 一p ，则 则 p ( 孝= 七) = 畔p ( 1 - p ) ”，k = 0 , i ，2 0 p 1 尸( f = 七) = c ：p q 卜k = 0 , 1 ，2 ，0 p 0 p z 2t o ，z o ( 垆e ( e j t e ) = e p 肛p ( z ) d x = l 。e j np b ) d x + f e j np b ) d x = r e 似；知d x = r ( c 。s ( 红) + ，s i n ( 反) 咕d x = f c 。s t x 知墙d x + j r s i n t x 2 e 墙d x国 由 = 兄r c 。s t x p 墙出+ 弘r s i n l x e - ；o , d xm 。 d “南+ 弦南。力j r ；7 + ，九。丽 9 湖北大学硕士学位论文 则 则 故 则 = 糌邓一争 = r - = f l 一二_ l 。 刀+ f 2 、 五7 3 1 6 随机变量服从正态分布 若孝n ( p ，盯2 ) ，其概率密度函数 ( j 一1 1 ) 2 p ( x ) 2 丽1 e2 r o o f ( x ) ( 注) 这里f ( x ) 是r l 兰c 的分布函数，也就是退化分布 雕) ；p 一 【o ，x c 引理3 2 ：分布函数列 c ) ) 弱收敛于分布函数f ( x ) 的充要条件是相应的 特征函数列 仇( f ) ) 收敛于f ( x ) 的特征函数终( ，) 【i 】魏宗舒等概率论与数理统计教程【m 】北京高等教育出版社1 9 8 3 ：1 9 8 2 0 6 1 2 则 辛钦大数定律即：若石，乞是独立同分布随机变量序列，且 e 喜= a ( i = 1 , 2 ) 去善n 六一p 口，刀一o o 证明：已知参，邑是独立同分布随机变量序列，因此鼻，磊也有相同的特 征函数，用终( f ) 来表示这个特征函数 3 l e f , = 口存在，因此特征函数欧( f ) 有展开式： 伊f o ) = 终( o ) + 终( 0 ) ( ，) + o ( ，) = i + j a f + o ( t ) 再由卣，磊独立同分布可知寺善孝，的特征函数为 【伊f ( 三) 】一： 1 + j a r + d ( 三) 】一 对任意取定的t 有 l i m 【伊f ( 三) 一：i i 理 1 + 和三+ d ( 三) 】”：p 刖 已知p 脚是退化分布的特征函数，相应的分布函数为 由引理3 2 知去喜喜的分布函数弱收敛于f ( x ) ，又由引理1 知 得证 1 ，p i 缶亏，枷 3 3 2 在强大数定律中的应用 定义3 - 1 ：设孝= 溉，i l 为随机变量序列，s 。= 鼻，若存在常数序列 口 口 一h 吣 ，f，【 = 、， xf 湖北大学硕士学位论文 p 。) 6 。) ，使s - r 一一o ，口，s 称善满足强大数定律 钆 疋埋3 - 2 ：饭向，亏2 是一糸狸互i 司分币的随机焚重，且e 磊= 0 ，圪，氧= 1 ， 则 阜弱收敛于标准正态分布乜1 n 证明：因为氧的二阶导数函数存在且有界，所以有连续的二阶导函数， 将在d 点进行泰勒展开，有 伊南( ，) = 伊卣( o ) + 伊三( o ) f + 死( o ) f 2 2 + r ( t ) 当忡时，掣专。 故 矽磊o ) = 1 一孚+ r ( ，) = 伊跏( 去) = 【( 去矿- 【1 一荔t 2 + 尺( 击) 】2 又当，z 一时；一0 、n 从而由特征函数的唯一性定理可知已i 弱收敛于标准正态分布 3 4 利用特征函数推出重要分布 定理3 - 3 ：设磊，岛，己为相互独立的随机变量，并且均服从参数为1 的z 2 一 分布，则随机变量7 7 = 专服从参数为甩的z 2 分布 ，t l 证明：由于六( f = 1 , 2 ，) 服从参数为1 的z 2 分布，则点的概率密度函数为 【2 】绕贤清、马t i ：m 特征函数与强大数定律【j 】上饶师范学院学报，2 0 0 1 年第2 1 卷第3 期，3 1 4 第三章特征函数的应用 由此可得 有 因此 于是利用复变积分可得 驴挚五删， ( f ) = ( 1 - 2 j t ) - 2 , ( i = 1 ，2 ，) ( ，) = ( 1 - 2 j t ) 刮2 ， 蹦加妻e e 川( 1 2 j 矿小衍 蹦加屯删， 即随机变量刁= 孝，服从参数为门的z 2 分布。 定理3 - 4 ：设孝服从参数为a ，的r 分布，则7 7 ：华当口。o o 时的极限 、口 分布为标准正态分布 证明： 由于孝服从参数为口，的r 分布，则孝的概率密度函数 有 又 则 p 小) = 广分肛。， 终= ( 1 一万i t ) 一口 刁：华：阜孝一石 qaa 删妒痂纵砉r ) _ e j - l = a t ( 1 一静吨 将上式两边同时取对数，有 湖北大学硕士学位论文 于是 l n 啪) - - 届圳老h 瓦j 2 “。( 和 ：一一1 , 2 + 口【一1 , 2 0 )= 一一+ 口( _ 一l 2、口7 。l i ，m 。i n ( f ) = l i m ( 一了t 2 g g - - i , o o + 口。( 鲁) 口1 w j，y 又令刁的概率密度函数为p ，( x ) ，则 p 扣) = 去p g 一手田：等 即7 7 ：筚当口一时的极限分布为标准正态分布，得证 口 1 6 第四章随机变量的再生性 第四章随机变量的再生性 概率论的分布函数中有不少有其相应的特征函数，这些特征函数不仅能完全 决定分布函数，而且又具有良好的分析性质。另外，利用特征函数还能很巧妙地 解决一些单纯利用分布函数很难解决的一些问题。下面利用特征函数这一重要工 具，研究几种常见的分布的随机变量再生性问题，即相互独立的具有各种类型分 布的随机变量之和的分布类型是否不变。 4 1 相互独立随机变量和的特征函数 定理4 - 1 ：若氧，岛，己为n 个相互独立的随机变量，令，7 = 色，则 ( r ) = 兀( f ) 其中( f ) 为7 7 的特征函数，( f ) 为夤的特征函数( i = l ，2 ，门) 证明：利用数学归纳法证明 当n = 1 时，结论显然成立 当聆= 2 时，( f ) = e e “南+ 岛= e e 怕e e 2 e ( c o s t 孝i + i s i n t 曹：1 ) ( c o s t f 2 + i s i n t 孝2 ) = e ( c o s t d j , c o s t ( 2 ) + i e ( s i n t 孝l c o s t f 2 ) + i e ( e o s t f i s i n t b x 2 ) 一e ( s i n t 孝i c o s t 孝2 ) 又六，磊相互独立，卣，岛的一元波雷尔可测函数也相互独立，因此c o s t # 。与 c o s t # 2 ，s i n f 石与s i n t 孝2 ，c o s t 磊与s i n t 乡z ，c o s t 孝2 与s i n t ( 1 也都是相互独立的 又由随机变量的独立性性质可知 ( ，) = e c o s t ( 1 e c o s t 孝2 + i e s i n t g ：i e e o s t 孝z + i e c o s t e r e s i n t 专1 一e s i n t 苣l e c o s i 毒， 一o ，i， 【3 】黄梦莉刘颖亮随机变量的再生性【j 】江西广播电视大学学报，2 0 0 4 年l 期1 1 7 湖北大学硕士学位论文 。( e c o s t # l + 遢s i n ，氧) ( e c o s f 彘+ i e s i n t f 2 ) = e e e e = ( f ) ( f ) 七 设丹= 尼时成立，即当刁。= 当时，( ，) = ( f ) ( f ) ( f ) k + l 当，z = k + ll 对，7 = 六= 六+ 氕+ ，有 七七七+ i ( ，) = 驴六( f ) 蝻+ 。( f ) = 兀鸱( f ) 砖+ ( f ) = 兀鸱( f ) ( ，) 得证 f - li = 1，- l 4 2 再生性的概念及研究 定义4 - 1 ：若随机变量孝具有以下性质：玎个独立的具有相同分布的f 之和 的分布类型不变，则称随机变量善具有“可加性”，或“再生性”。 定理4 2 ：二项分布b ( n ，p ) 关于参数门有再生性 证明：设有s 个相互独立的随机变量百，彘，六，它们分别服从b ( n ，p ) ， b ( n ：，p ) ，b ( n ，p ) ，由二项分布的特征函数知，它们的特征函数分别为： ( p e “+ g ) 肌，( p e 打+ g ) “，( p e 打+ g ) 当j = 2 时，即7 7 = 石+ 岛，( ，) = ( p p 打+ g ) 和厶( ，) = ( p e 打+ g ) ”2 有 ( f ) = ( t ) p ) ， 故 c , o 玎( f ) = ( p e “+ g ) 凡( p e “+ g ) ”2 = ( p e “+ g ) + ”z 又由于分布函数由特征函数唯一决定，也就是说不可能有两个不同的分布函数有 相同的特征函数，由于r l 的特征函数是( 打+ g ) 肌，则一定有，7 b ( n 。+ 门：，p ) 七 如果当，z = 七时成立，即若7 7 = 六，则刁服从b ( ，2 l + 疗2 + + 心，p ) 的二项 1 = 1 分布，当月= 后+ l 时， +彘 + 7 = 六 m 鲥 = 刁 数门有具再生性，得证 定理4 3 - 若磊与磊相互独立且分别服从( “，q 2 ) ( 扛1 ，2 ) ，则氧+ 乞服从 正态分布( 一+ 鸬，o 1 2 + 霹) 证明：由随机变量服从正态分布的特征函数为终( f ) = p 一下，则可知卣+ 岛 的特征函数为 ，：删删：e ( j l t - 譬) e ( j p 2 t - 譬) 【( 1 1 + z ) f - 鲢笔拦， 由此我们可以看到磊+ 乞服从正态分布( “+ p 2 ，o 1 2 + z ) ，得证即正态分 布关于参数，盯2 也具有再生性 1 9 结论二日匕 通过研究可知特征函数在概率中有着非常重要的作用。我们可以利用特征函 数与分布函数之间的关系，研究计算数字特征较为简便的方法，同时我们也可以 利用常见分布的特征函数去推导各种常见的重要分布。另外，我们也可以利用特 征函数这一重要工具，研究几种常见的分布的随机变量再生性问题，即相互独立 的具有各种类型分布的随机变量之和的分布类型是否不便。研究这一问题，对掌 握常见分布的随机变量的分布函数、特征函数、特征函数的性质、分布函数和特 征函数的相互关系等都有着十分重要的意义。 参考文献