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摘要 摘要 环的强c l e a n 性及环的分配性 1 9 7 7 年美国代数学家w k n i c h o l s o n 引入了一种新的环类，即所谓的c l e a n 环： 一个环r 被称为c l e a n 环，如果r 中的任意一个元素均可以表示成r 中一个幂等 元和一个单位和的形式。由于c l e a n 环与正则环有着比较紧密的联系，而且其代 数性质又比e x c h a n g e 环类更好，因此倍受国内外代数学研究者们的关注。1 9 9 9 年w k n i c h o l s o n 进一步引入了强c l e a n 环的定义：一个环r 被称为强c l e a n 环，如 果r 中的任意一个元素均可以表示成一个幂等元和一个单位和的形式，并且幂等元和 单位可换。 本文主要研究了半局部环的c l e a n 性，可换局部环上的某些三阶矩阵环的强c l e a n 性，以及分配正则环的c l e a n 性。 本文第二章借助于局部环与半局部环的关系研究了半局部环的c l e a n 性，并且证 明对于一个阿贝尔半局部环r ，如果r r a d r 的幂等元模r a d r 提升，则r 是c l e a n 环。 本文第三章主要研究可换局 r 是可换局部环，t c 驴 b 且b a ，则a = b ( 反对称律) ； ( 7 ，y ) 若a _ b 且b c ，则a c ( 传递律) ， 4 硕士论文环的强c l e a t l 性及环的分配性 则称此关系为半序，x 为定义了半序的集，简称半序集。 定义1 1 对于半序集l 的任意两个元，如果恒存在上确界及下确界，我们就称l 为格。其中l 中元素a ，b 的上确界与下确界分别用a u b 与a n b 来表示，且分别读 作a 与b 的并与交。 定义1 2 对于格l 的任意元素a , b ，c ，如果恒满足扪( b u c ) = ( a n b ) u ( a n c ) ，则称l 为分配格。 定义1 3 一个环冗被称为分配环，如果l a t ( r ) 是分配格，即：对任 何a ，b ，c e l a t ( r ) ，a n ( b u c ) = ( a n b ) u ( a n c ) 定义1 4 一个环r 被称为正则环，如果对于任意z r ，都存在可r ，使 得z = x y x 对于正则环的性质，d d a n d e r s o n 在( 【3 】，定理1 0 ) 中证明了下面的结论： 引理1 1 4 1 可换正则环是d e a n 环，并且是强d e a n 环。 定义1 5 一个正则环兄被称为阿贝尔正则环，如果冗的幂等元都属于冗的中心。 对于阿贝尔正则环，w k n i c h o l s o n 在【2 1 】中给出了阿贝尔正则环的等价定义： 引理1 1 5 1 环冗称为阿贝尔正则环，如果r 中的任意元素a 都要满足一下条件 中的任意一条： ( 1 ) 存在z ，可r ，使得a 2 x = a = y a 2 ( 2 ) 存在b r ，使得a b a = a ，并且a b = b a ( 3 ) 存在u u ( 冗) ，使得a u a = a ，并且a u = u a ( 4 ) 存在e 2 = e r ，u u ( 冗) ，使得a = w e = e u k r g o o d e a r l ( 【1 3 】，定理3 2 ) 中证明了下面的结论： 引理1 1 5 2 对于任意正则环冗，下面的命题等价： 。( 1 ) r 是阿贝尔环。 ( 2 ) 对于r 的任意素理想p ，r p 是除环。 ( 3 ) 月不含有非零幂零元。 5 第一章绪论 硕士论文 6 ( 4 ) 翮拘所有左( 右) 理想都是r 的双边理想。 ( 5 ) 月的任意一个非零理想都含有一个非零中心幂等元。 定义1 6 一个环兄被称为强正则的如果对任意ze r 都存在ye r 使得z 2 y = z 对于强正则环，k r g o o d e a r l ( 【l3 】，定理3 5 ) 证明了下面的结论： 引理1 1 6 1 一个环r 是强正则的充分必要条件是冗是阿贝尔正则环。 硕士论文环的强c l e a n 性及环的分配性 第二章半局部环的c l e a n 性 根据局部环与半局部环的定义及性质我们知道局部环都是半局部环，并且在可换 的条件下有限个局部环的直积是半局部环。目前局部环的d e a n 性已经被研究的比较 清楚了，即：局部环都是d e a n 环。但是关于半局部环的d e a n 性并没有明确的回答。 我们知道如果半局部环冗可以表示成r = r 1 0 r 2 0 0 r ，其中忍是局部环，则 根据d e a n 环的性质知，满足这种条件的半局部环是d e a n 环。由此我们就想猜测一下 是不是所有的半局部环都满足这个性质呢? 如果满足了这个性质，我们就可以说半局 部环也是d e a n 环。如果不满足这条性质，那么具有什么条件的半局部环才是d e a n 环 呢? 为了研究这些问题，首先让我们来看下面的例子： 例2 1 r 是一个可换环，其中r 具有下面的形式： r = z ( 3 ) n z i ：5 ) = a bia ，b e z ，b o ，并且3 f b ，跏 其中z 是整数环，五3 ) 表示整数环在由3 生成的理想处的局部化由于r 有两个极 大理想，根据可换半局部环的等价定义知冗是半局部环，又因为冗是不可约的，根 据( 【2 】，定理3 ) 知r 不是d e a n 环。 根据上面的例子我们可以得出半局部环不一定是d e a n 环的结论，既然半局部环不 一定是d e a n 环，下面就让我们来讨论一下具有什么性质的半局部环才是d e a n 环。 为了研究的需要，先让我们来探讨一下局部环与半局部环的关系，然后借助于局部环 的d e a n 性来研究半局部环的d e a n 性。在研究局部环与半局部环的关系之前，先让我 们回顾下面的两个引理。 引理2 2 对于任何幂等元e r ，下面的命题等价： ( 1 ) e 是局部幂等元。 ( 2 ) e r 作为右冗模是强不可分解r 模。 ( 3 ) m ：作为左r 模是强不可分解r 模。 ( 4 ) e r e 是局部环。 7 第二章半局部环的c l e a n 性 硕士论文 引理2 3 有限个局部环的直积是c l e a n 环。 命题2 4 设r 是阿贝尔半局部环，若r r a d r 的幂等元可以模r a d r 提升，则r 可以表示成有限个局部环的直积。 证明：因为冗是半局部环，并且r r a d r 的幂等元可以模r a d r 提升，所以 对于1 兄，我们将1 进行如下的分解：1 = e 1 - b e 2 - b + e n ，其中龟为相互正交的局 部幂等元，i = 1 ，2 ，1 1 ，所以r = r i = r ( e 1 - b e 2 - b + e t l ) 再有局部幂等元的 定义知e i 兄岛是局部环，并且根据兄是阿贝尔环与e 为相互正交的局部幂等元 知r e t = r e 2 = e t r e t ，所以r e t 是局部环。即满足上述条件的半局部环可以表示成有限 个局部环的直积。 推论2 5 r 是可换局部环，如果r a d r 是幂零根，则r 可以表示成有限个局部环 的直积。 推论2 6 可换的a r t i n 环均可以表示成有限个局部环的直积。 定理2 7 r 为阿贝尔半局部环，若r r a d r 的幂等元可以模r a d r 提升，则r 是c l e a n 环。 8 硕士论文环的强c l e a n 性及环的分配性 第三章强c l e a n 矩阵环 w k n i c h o l s o n ( 1 0 ，命题1 ) 证明了如果r 是c l e a n 环，则( 冗) 是c l e a n 环。 陈建龙在【1 2 】中给出了r 是强d e a n 环，但( 冗) 却不是强c l e a n 环的例子，下面就 让我们先看几个冗是强d e a n 环，但( 冗) 却不是强d e a n 环的例子。 例子： ( i ) 当r = z o o 时，螈( r ) 不是强c l e a n 矩阵环，其中) 表示整数环在素数p 生成的理想处的局部化。 ( i i ) 当r = s i x p 时，螈( r ) 不是强c l e a n 矩阵环，其中s i x p 表示多项式 环s i x 】在素数p 生成的理想处的局部化，s 是一个特征不等于2 的可换整环。 g b o r o o a h ( 8 ，推论1 0 ) 中证明了可换局部环r 上的上三角矩阵环死( 兄) 是 强c l e a n 矩阵环。即对任意的上三角矩阵ae t ( r ) 都存在ee t a ( r ) ，使得下面的式子 成立： a = e 一u e 2 = e d e t ( u ) u ( n ) u e = e u 其中d e t ( u ) 表示矩阵u 的行列式，v ( n ) 表示r 的所有单位构成的集合。 由于矩阵环是一类重要的环类，其强c l e a n 性在环的c l e a n 性中占有重要的地位， 下面就让我们来探讨一下什么样的环类是强c l e a n 矩阵环。为了研究的需要，首先让我 们回顾一下二阶矩阵环是强d e a n 矩阵环的充分必要条件： 引理3 1 r 是可换环，a = 9 ，e a =u 、 口 6 1 口 c ，i-_ii、 = e， 、lllj， 2 2 1 2 口 q n n 口 0 ，、 第三章强c l e a n 矩阵环 则必( r ) 是强c l e a n 矩阵环的充分必要条件是以下等式成立： 其中s = a 1 1 一a 2 2 6 c = 口一口2 a 2 z b = a 1 2 c s b = a z 2 ( 2 a 1 ) 8 c = a 2 z ( 2 a 一1 ) d e t ( u ) u ( 月) 驰3 2 令而c 胪 a l l a 1 2 a 1 3 咄锄= 构成矩阵环。 证明：设a t o m 3 ( r ) ，b t o m s ( r ) ，则： a - b = a l l a 1 2 a 1 3 b l l b 1 2 bz3) a 1 1 b 1 2 + a t 2 b 2 2a n b z s + a 1 2 b 2 3 + a 1 3 b 3 3 a 2 1 b 1 2 + a 2 2 b 2 2a 2 1 b 1 3 + a 2 2 b 2 3 + a 2 3 b 3 3 0 a 3 3 b 3 s 硕士论文 则死( 冗) 因此，对于任意a ，b ，ce t o m 3 ( r ) ，满足以下性质：a b t o m 3 ( r ) ，a + b t o m s ( r ) ，a ( b + c ) = a b + a c 所以t o m 3 ( r ) 构成一个矩阵环。 下面我们就来讨论t o m 3 ( r ) 的强d e a n 性，其中r 是可换局部环，根据局部 环的性质我们知道，刷拘幂等元只有1 和0 ，并且对于任意的z r ，z u ( r ) 或 者z r a d r 所以我们对t o m 3 ( r ) 中矩阵a 的主对角线上的元素进行分情况讨论。 】n 2 2 6 l p 2 2 1 2 o 0 + + o 1 1 1 1 6 6 l l 1 2 0 0 ，j。一 硕士论文环的强c l e a n 性及环的分配性 则 因此 情形1 n 乱u ( r ) ，i - - - 1 ，2 ，3 此时相应的取e i t = 0 ，i = l ，2 ，3 e 2 = e 甘e = 0 e = e 1 2e133 令a = ( a e ) + e ，则 e 2 = e 甘e = ( 三三三) 1 1 3 3 钆 o 地 o o 0 勉 o ，-。一 = e 第三章强c l e a n 矩阵环 ae=(口1享1口2：afl21 口耋三1 ) 硕士论文 其中( o t t 1 ) e u ( r ) ，i = l ，2 ，3 此时( a e ) e = e ( a e ) ，e 2 = e ，d e t ( a e ) = ( a 3 3 1 ) ( a = 2 - 1 ) ( a l l - 1 ) - - a 1 2 a 2 1 所以当a 1 2 e r a d r 或者a 2 1 er a d r 时， 此当a 1 2 er a d r 或者a 2 l r a d r 时，a 是强c l e a n 矩阵。 则 所以 情形3 a l l u ( 冗) ，a 2 2 u ( r ) ，a 3 3 r a d r 此时相应的取e 1 1 = e 2 2 = 0 ，e 3 3 = 1 e = 6 1 2eil33) e 2 = e 铮e 1 2 = e 2 1 = 0 所以在e 1 2 = e 2 1 = 0 的情形下我们有 1 2 d e t ( a - e ) u ( r ) - 因 、l 3 3 1 2 e e 一 + 3 3 l e e 2 1 1 2 e e 2l 0 心 o e 12妒 o 0 e ，ji。- = 2 e 、l 站 口 0 明 胞 鹏 o 0 o ，j一 = 、llliillj， 培 船 ： 2 2 毗 娩 0 们 0 ，。一 、ililllii， q 眈 1 0 o 0 0 o 0 ，jj。一 = ae 硕士论文环的强c l e a n 性及环的分配性 由此我们可以得到： a e = e a 营 a l l e l 3j r - a 1 2 e 2 3j ra 1 32e 1 3 a 3 3 从上面的两个式子我们无法求解出满足条件的e 1 3 和e 2 3 由于e 1 3 的大小不影响e 的 幂等性，所以我们不妨设e 1 3 = 0 ，当a 1 2 = 0 时，根据上式我们有a 1 3 = o 。此时a e = e a c 争a 2 2 e 2 a + a 2 3 = e 2 3 a 3 3 下面构造r 上的环同态f 0 2 2 一r 。：x - - - a a 2 2 x x a 3 3 ，x r 因为r 是可换局部环，所以r 是b l e a c h e d 环。又因为a 2 2e u ( r ) ，a 3 3 r a d r ，根 据b l e a c h e d 环的性质知z n 一。是一个满同态，a p x 寸任意的y 冗，存在z r 使 得a 2 2 x x a 3 3 = 可成立。所以对于a 2 3 ，存在e 2 3 使得a 2 2 e 2 3 + a 2 3 = e 2 3 a 3 3 成立。 令a = ( a e ) + e ，则当a l l = n 1 2 = 0 时我们有 a e = ( 毛： 。乏叠3 d e t ( a e ) = a l l a 2 2 ( a 3 3 1 ) ，并且a l l u ( 冗) ，a 2 2 u ( r ) ，a 3 3 r a d r ，所以d e t ( a e ) u ( 冗) 又因为( a e ) e = e ( a e ) ，e 2 = e ，所以当a l l = n 1 2 = 0 时矩阵a 是 强d e a n 矩阵。 情形4 a 1 1 er a d r ，a 2 2 er a d r ，a 3 3 eu ( 冗) 1 3 、liilillj， 3 3 1 2 0 口 + + 3 3 2 2 e e n 船 ：宝 0 口 口 + + n n e e l 2 口 口 0 0 o 0 0 o ，-i1-一 = 、ili， 3 3 吼 眈 1 0 o 0 0 o 0 ，-。一 、lj， 仇 彩 彩 2 2 叽 眈 0 仍 彩 o ，f-ii_-_ii、 = ea 第三章强c l e a n 矩阵环 硕士论文 采用情形3 的讨论方法，我们可以取 e = 1 o o 令a = ( a e ) - t - e ，则当a l l = a 1 2 = 0 时，我们有( a e ) e = e ( a e ) ，e 2 = e ，d e t a e ) u ( 冗) 即此时矩阵a 是强c l e a n 矩阵。 即 则 情形5 a l l eu ( r ) ，a 2 2 er a d r ，a 3 3 u ( r ) 此时相应的取e 1 1 = e 3 3 = 0 ，e 2 2 = 1 e = ( 。e 三1 2 苫e 1 3 ) e 2 = ( e 莩1 眈。葶+ 1 眈。i ：i e 船) e 2 ：e 铮 e 1 2 e 2 120 e 2 1 e 1 3 = 0 e 1 2 e 2 35e 1 3 在不影响矩阵e 的幂等性的基础上令e 1 2 = 0 ，则e 1 3 = 0 所以此时我们有 1 4 、l o 吻 o 0 1 o 、lli， 嚣 嚣 婕 0 o o 叽 眈 o n 殂 0 0 0 ，-i。- l i 、l 3 0 眈 0 0 1 o 0 眈 0 ，-_i-i_-i_-i一 、 n 砧 鹞 n q 0 叽 眈 o 虮 眈 0 ，j-。 = 目a 硕士论文环的强c l e a n 性及环的分配性 则 一o o a l l a a 1 3 ) =(眈。m乏+眈。吻。+吻切。坞+口船+眈。 a e = e a 营 a 1 220 a 1 2 e 2 1 。0 a 1 2 e 2 320 e 2 1 a l l 士a 2 12a 2 2 e 2 1 e 2 1 a 1 3 + e 2 3 a 3 3 + a 2 32a 2 2 e 2 3 由于a 2 1 0 ，所以e 2 l 0 ，由此推出a 1 2 = 0 因此在a 1 2 = 0 的情形下我们有 a e = e a 营i a 2 2 e 2 1 - - e 2 1 a l l - - - - a 2 1 。3 + n 2 3 由于兄是可换局部环，并且a l i eu ( 冗) ，a 2 2 er a d r ，a 3 3 eu ( r ) ，所以构造冗上的满同 态2 口铭一r 口1 1 x h n 2 2 x - - x a l l ，x er ，l 口2 2 一r a 3 3 ：x - - - a a 2 2 x - x a 3 3 ，x e r 所以根据以上两个 满同态我们可以求解出e 2 1 与e 2 3 使得a e = e a 令a = ( a e ) + e ，则在a 1 2 = 0 的情 况下我们有d e t ( a e ) = a l l ( a 2 2 一i ) a 3 3 u ( 冗) ，并且e 2 = e ，( a e ) e = e ( a - e ) 所以当a 1 2 = 0 时，矩阵a 是强c l e a n 矩阵。 情形6 a l l er a d r ，a 2 2 eu ( r ) ，a 3 3 er a d r 1 5 第三章强c l e a n 矩阵环 硕士论文 采用情形5 的方法取 厂 1 l e = ie 2 1 i 0 i 在a 1 2 = 0 时，构造r 上的满同态r 毗一f 0 2 2 ：x h z 口1 1 一0 2 2 z ，x er ，r 口3 3 一l n 2 2 ：x h z 0 3 3 一 a 2 2 x ，x er 根据以上两个满同态求解出e 2 1 与e 2 3 ，使得a = ( a - e ) + e ，其中e 2 = e ， ( a e ) e = e ( a e ) ，d e t ( a e ) = ( a l l 一1 ) a ：2 ( a 3 3 1 ) eu ( 兄) 所以当a 1 2 = o 时， 矩阵a 是强c l e a n 矩阵。 即 则 1 6 情形7 a 1 1eu ( r ) ，a 2 2 qr a d r ，a 3 3 er a d r 此时相应的取e 1 1 = 0 ，e 2 2 = e 3 3 = 1 e = e 1 2e13。) 肚卜1 2 e 2 1 刊 e 2 ：e 铮 e 1 2 e 2 120 e 1 2 e 2 320 e 2 1 e 1 32 - - e 2 3 a e = ( a l l a 1 2 a13o。e三12e：133) 、 3 0 眈 l 0 o o 硕士论文环的强c l e a n 性及环的分配性 则 0 1 2 + g l l e l 2 6 1 2 2 + 1 1 2 1 e 1 2 0 = 卜： a e = e a 营 g 1 2 e 2 12e 1 2 0 2 1 口1 2 + 口l l e l 22e 1 2 g 2 2 e 2 1 1 l l + 0 , 2 12 口2 2 e 2 1 g 1 2 e 2 3 + 1 l l e l 3 + g 1 32e 1 2 z 2 3 + e 1 3 a 3 3 0 2 2 e 2 3 + n 2 1 e 1 3 + n 2 32e 2 1 6 1 3 + g 2 3 + e 2 3 0 3 3 我们无法确定满足上述条件的幂等矩阵e ，在不影响e 的幂等性的基础上我们 令e 1 2 = e 1 3 = 0 ，又因为e 为幂等矩阵一次推出e 2 3 = 0 则此时我们有 a e = e a 兮 g 1 220 0 1 3 = 0 g 1 2 e 2 1 = 0 e 2 1 a l l + g 2 1 。g 2 2 e 2 1 1 7 、lij， 3 3 1 2 0 d + + 3 3 e e 1 1 3 1 2 3 口 0 0 + + 3 3 2 2 e e 2 2 1 2 0 0 俎 殂 o 0 0 ，f-。 l i 、l、 n 绉 0 0 0 2 2 吼 眈 0 以 卯 o ，j，-。i一 、lliliil，一 吼 眈 1 2眈 1 o 0 眈 0 ，。一 = ae 、l 站 0 船 d e 3 印 + + 咄 3吆 + 2 3 e 0 2 e 第三章强c l e a n 矩阵环 硕士论文 当0 1 2 = 0 1 3 = 0 时，令a = ( a e ) + e ，构造冗上的满同态2 口2 2 一r a a l ：x h a 2 2 x x a l l ，x e r 则根据此满同态能够求解出e 2 1 ，使得( a e ) e = e ( a e ) ，e 2 = e 成 立，并且d e t ( a e ) = a l l ( a 2 2 1 ) ( 0 3 3 1 ) eu ( 冗) 所以当q 1 2 = a 1 3 = 0 时，矩阵a 是 强c l e a n 矩阵。 e = ) 通过以从种情形的毒论删溉矩阵环耽c 胪 a l l a 1 2 a13i r ，i ，j ：1 ，2 ，3 并不是强d e a n 矩阵环，但是通过对矩阵a 中的元素。1 2 与。1 3 加以 定理3 3 月是可换局部环，令丁c 固= ( 毛：曼) l r 歹= 啪，3 卜丁地c 冗，是强妣死矩阵环。 1 8 硕士论文环的强c l e a n 性及环的分配性 推论3 4 冗是可换局部环，令丁蟛c 捌= l 1 三三三j l 冗 歹= l ，2 ，3 ，则t 瞒( 冗) 是强c ：e 口n 矩阵环。 1 9 第四章环的分配性与c l e a n 性之间的关系 硕士论文 第四章环的分配性与c l e a n 性之间的关系 环r 被称为分配环如果l a t ( r ) 是分配格，即：对于任何a ，b ，c l o t ( r ) ，都有 an ( b + c ) = ( anb ) + ( anc ) 为建立环的分配性与c l e a n 性之间的关系，我们首先 给出分配环的一个刻画。 命题4 1 对于任何环r ，下面的结论等价： i r 是分配环 i i r 具有r i e s e 分解性，即对任何a ，b ，c l a t ( r ) ，如果a b + c ，则存 在b 7 b ，c 7 c ，使得a = b 7 + c 7 i i i r 的任意理想j 都是传递的( t r a n s i t i v e ) ，即如果x + y ej ，则存在z er ，使 得z + z x rni ，y z y rni 证明：i = 争i i 设a b c l a t ( r ) ，并且a b + c ，由于兄是分配环，根据l a t ( r ) 的分配性我们有a = an ( b + c ) = ( anb ) + ( anc ) 令b 7 = anb ，c 7 = a nc ， 则b 7 b ，c 7 c ，并且使得a = b 7 + c 7 所以r 具有r i e s e 分解性。 i i = 争i i i 假设z + y i ，其中z ，y r ，那么则存在u i ，使得w = x + y ，所以我们 有u r = ( x + y ) r x r + y r 由于r 具有r i e s e 分解性，所以存在b 7 x r 和c 7 y r 使得u 冗= b 7 + c 也就是说存在x e b ，矿c 7 使得u = + 矿令z = ：r - x ，则z r ， 并且 z = z 一z = ( u y 7 ) 一z = ( u z ) 一可7 = y 一秒7 所以z + z = z 7 b 7 x rni ，可一z = 可7 c 7 y rni i i i = 争i 设a ，b ，g 是r 的任意三个理想，显然我们有a n ( b + c ) ( a o b ) + ( a n c ) ， 为了证明r 是可分配环，我们只需验证a n ( b + g ) ( a ab ) + ( aac ) 令a e a n ( b + c ) ，则存在b b ，c c 使得b + c = a a 由于a 是冗的可传递理想，所以存 在z r 使得b + z b r na ，c z c rna 因此我们有 a = b + c = ( b + z ) + ( c z ) ( b r na ) + ( c rna ) ( bna ) + ( cn a ) 硕士论文 环的强c l e a n 性及环的分配性 有a 的任意性知ar g ( b + c ) ( a r 7 b ) + ( a n c ) ，所以a n ( b + c ) = ( a n b ) + ( a n c ) ， 即冗是分配环。 为了从环矧拘理想j 及商环r i i 得到更多r 的性质，我们借助于上面的命题得到 了环r 的分配性的扩展性定理。 命题4 2 环冗是分配环当且仅当冗存在一个可传递( t r a n s t i v e ) 理想，使得， 及r i i 都是分配环。 证明：令因为兄是分配环，根据命题4 1 我们知道r 的任意理想都是传递的。如 果r 是单环，结论显然成立。否则设，是冗的一个理想，并且i l a t ( r ) ，则j 是传 递的，并且j 是分配环。下面考虑r i s 的分配性，设a i ，b s ，c s l a t ( r l i ) ，并 且a s b + c i 又因为b i + c i = ( b + c ) i ，所以a b + c 根据命题4 1 ，存 在b 7 b ，c 7 c ，并且使得a = b 7 + c 7 又因为( b 7 + s ) z = b i + i i b s ，( c 7 + s ) s = c 1 + s c i ，同时我们还有a i = ( b + c 7 ) i s = ( b 7j r s ) s - i - - ( - i - s ) s 所以有a i i 的r i e s e 分解性知r i 是分配环。 设，是r 的一个具有传递性的理想，并且j 与a i i 都是分配环。则对任 何a ，b ，c l a t ( r ) ，我们有4n ( 日+ c ) 2 ( a nb ) + ( anc ) 下面让我们来证 明an ( b + c ) ( anb ) + ( anc ) 设a an ( b j rc ) ，则存在b b ，c c 使 得b + c = 口a ( i ) 如果a i ，也就是b + c j ，根据，的传递性我们可以假设b i ，c i ，因 此o r ，6 r ，c r l a t ( i ) 又因为a r = ( b + c ) r b r + c r ，所以 a r = a r n ( b r + c r ) = ( a r nb r ) + ( a rnc r ) ( anb ) - t - ( a1 7c ) 所以a ( anb ) + ( anc ) ，由a 的任意性知an ( b + c ) ( a nb ) + ( anc ) ，所 以an ( b + c ) = ( a1 7b ) + ( anc ) 。 ( i i ) 如果a 不是中的元素，根据等式o = b + c 我们可以得到等式石= 占+ 苞， 其中- g ，云，己是q ，b ，c 在自然同态rhr i i 下的像。因为r i s 是分配环，并 2 1 第四章环的分配性与c l e a n 性之间的关系硕士论文 且- 6 r 石r + 石兄，因此我们有 瓦r = 础n ( 石r + 石r ) = ( 石冗n 石冗) + ( - 冗n 苞r ) ( 一an 两+ ( 一an _ ) y , n y g ( 一an b ) + ( 一a n c ) = 【( anb ) + ( a nc ) i ，因此存在d 【( 才n 百) + ( 页n 虿) 】使 得口一d j 根据上面的结果我们可以得到d ，【( a nb ) + ( an c ) 】使得口一d = d i ，因 此o = d + 【( a n b ) + ( a n t ) ，由n 的任意性知a n ( b + c ) ( a n b ) + ( a n c ) 故 结论成立。 定理4 3 r 是分配的正则环，则冗是强d e a n 环。 证明：设e f e 础( r ) ，并且e 2 = e ，2 = ，则e r = e rn 【，r + ( 1 一，) 捌因 为冗是分配环，所以e rn1 f l 孓+ ( 1 一，) 周= ( e rn ，冗) + e rn ( 1 一f ) r 1 ，所以分别 用，作用于上式的两边我们就会得到 , f e l = t n 【，冗+ ( 1 一，) 捌) = f ( e r l 3 ，冗) + 【e 冗n ( 1 一，) 嗣) 因为e rn 厂r f r ，所以i ( e l 宅nf r ) = e rn ，r 又因为e rn ( 1 一，) r ( 1 一y ) r ， 所以f e ri 1 ( 1 一，) 捌= 0 所以j e r = e rn ，冗e r ，所以i e = e y e 同理我们有 ( 1 一e ) r = ( 1 一e ) rn 【，r + ( 1 一f ) r 】= 【( 1 一e ) rny r + 【( 1 一e ) rn ( 1 一，) 捌 用厂对上式两边进行作用可以得到y ( 1 - e ) r ( 1 一e ) r ，所以f ( 1 一e ) = ( 1 - e ) y ( x e ) ， 即e y ( 1 一e ) = 0 ，因此e f = e y e 所以y e = e y e = 批再设r e n d ( r ) ，= e 一( 1 一e ) r e ，其中e 2 = e ，则，2 = ，根据上面所证有e ，= ，e 由于e r = e ，e = ，= e 一( 1 一e ) r e ，所以r e = e t e 同理令，= e e r ( 1 一e ) ，则，2 = ， e f = y e ，由于e f = ，r e = e ，所以e r = e t e 因此e t = e t e = r e , ，即e n c l ( r ) 是 阿贝尔环。由于e n d ( r ) 兰r ，所以r 是阿贝尔正则环。因此对任意口r ，都 有o = e t , u = u e 7 ，其中e 7 i d ( r ) ，u v ( r ) 又因为o j = e 7 u = e l u 一( 1 一e 7 ) + ( 1 一e ，) ， 令t ，= e 7 u 一( 1 一e i ) ，f t = 1 一e 7 ，则, o - 1 = e 7 u 一1 ( 1 一e ) ，厂彪= ，并且 ，7 = 1 一e 7 = 厂u ， 所以。是强d e a n 的，由于n 的任意性，则r 是强d e a n 环。 2 2 硕士论文环的强c l e a n 性及环的分配性 总结 c l e a n 环都是e x c h a n g e 环，e x c h a n g e 环在代数肝理论中起着非常重要的作用， 因此关于环的c l e a n 性的研究是十分有意义的。 本文第二章主要研究了半局部环的d e a n 性，得到了具有某些条件的半局部环 是c l e a n 环，但关于一般半局部环的d e a n 性并没有得出相关结论。 第三章主要证明了r 是可换局部环，令r c 胪 即扣，3 卜t c 兄，是强妣n 矩阵环。并相应的推出一结论，比如： r 蟛c 硒= ( 1 三三耋3 a i j er , i , j = 1 , 2 , 3 ) 的强d e 口n 性。