（基础数学专业论文）backlund变换与平行变换.pdf

摘要 经典b a c k l u n d 变换给出了欧氏空间中从个负常曲率曲面到另个负常 曲率曲面的构作方法，以及从s i n e - g o r d o n 方程个解到另一个解的做法，这 些都是很有意义的结果到2 0 世纪中叶，b a c k l u n d 变换在孤立子理论中起到 了重要的作用本文在经典b a c k l u n d 变换以及以有的平行变换的基础上，主 要研究了三维m i n k o w s l d 空间r 2 ，1 中类空曲面的b a c k l u n d 变换，三维空间的 平行变换以及舻t 1 中k 一2 m h + m 2 = 一f 2 曲面的b a c k l u n d 变换，从而给出了 b a c k l u n d 变换与平行变换的关系 第一部分简要介绍了欧氏空间印和三维m i n k o w s k i 空间舻- 1 的结构和性 质 第二部分在介绍了三维空间的几类b a c l d u n d 变换后，用不同的方法给出 了三维m i n k o w s k i 空间r 2 ，1 中类空曲面的b a c l d u n d 变换 第三部分在介绍了三维空间的几类平行变换后，给出了另外的几类三维 空间的平行变换 第四部分则考虑的是在r 2 t 1 的一2 r o l l + m 2 = 一z 2 曲面中平行变换在 b a c k l u n d 变换中的应用 关键词三维空间；m i n k o w s k i 空间；b a c k l u n d 变换；平行变换 a b s t r a c t t h ec l a s s i c a lb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o np r o d u c e sat w o - p a r a m e t e rf a m i l yo f n ， s t a n tn e g a t i v ec u r v a t u r es u r f a c e si ne u c l i d e ns p a c ef r o mag i v e no n e t h et r a n s - f o r m a t i o nh a sb e e no fp a r t i c u l a ri n t e r e s tb e c a u s eas u r f a c eo fc o n s t a n tn e g a t i v e c u r v a t u r ec o r r e s p o n d st o s o l u t i o no ft h es i n e - g o r d o ne q u a t i o na n dt h eb a c l d u n d t r a n s f o r m a t i o no fs i n e - g o r d o ne q u a t i o n i nt h em i d d l eo fl a s tc e n t u r y , t h eb a c l d u n d t r a n s f o r m a t i o np l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo fs o l i t o n o i lt h eb a s i co ft h e c l a s s i c a lb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n dt h ep a r a l l e lt r a n s f o r m a t i o n t h et h e s i si s m a i n l yt os t u d yt h eb a d d u n dt r a n s f o r m a t i o no fs p a c e - l i k es 1 1 = r f a c e si nm i n k o w s k i 3 - s p a c ej 产”t h ep a r a l l e lt r a n s f o r m a t i o no fs u r f a c e si n3 - d i m e n s i o n a ls p a c e sa n dt h e b a c l d u n dt r a n s f o r m a t i o no fs u r f a c e ss a t i s f y i n gk 一2 m h + m 2 = 一1 2i nr 2 一a t l a s t ，w eg i v et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n dt h ep a r a l l e l t r a n s f o r m a t i o no fs m 血mi nj 字，1 i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c es o i n ef u n d a m e n t a lt h e o r ya n df o r m u l a so f o f s u r f a c e s i n3 - d l m e n s i o n a le u c l i d e ns p a c ej 护a n dm i n k o w s k is p a c er 2 t - i ns e c t i o n2 w eo b t a i ns e v e r a ls e v e r a lc l a s s e so fb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n so f s p a c e - l i k es u r f a c e si nm i n k o w s k is p a c e 形, 1 , w h i c ha r ed i f f e r e n tf r o me x i s t i n gc a s e s s e c t i o n3i sd e v o t e dt os t u d yp a r r a l l e lt r a n s f o r m a t i o n so fs u r f a c e si n 舻a n d r 2 , 1 , s e v e r a ln e wp a r r a l l e lt r a n s f o r m a t i o na r ep r o v ee x i s t i nl a s ts e c t i o nd i s c u s st h er e l a t i o nr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eb a c l d u n dt r a n s - f o r m a t i o na n dt h ep a r a l l e lt r a n s f o r m a t i o no fs p a c e - l i l s u r f a c e si n 譬1s a t i s f y 一 2 m h + m 2 = _ 1 2 k e yw o r d s3 - s p a c e ；m i n k o w s k is p a c e ；b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ；p a r r a l l e t r a n s f o r m a t i o n 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 黧第孵 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关 部门或机构递交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以采用影印，缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的 前提下，学校可以公布学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守 此规定) 论文作者签名： 新坼互 口 导师签名：别 签名隰垆所f 日 第一章绪论 1 1 序言 第一章绪论 经典微分几何学中出现过很多有意义的偏微分方程，著名的s i n e - g o r d o n 方 程就是首先在微分几何中出现的 1 9 世纪出现了非欧几何学，接着又知道了欧氏空间的负常曲率曲面能够 局部地实现非欧几何，因而对负常曲率曲面的研究很受重视在研究中发现 s i n e - g o r d o n 方程以及b a c k l u n d 变换一个负常曲率曲面对应于s i n e - g o r d o n 方 程的一个非零解，而b a c k l u n d 变换给出了从一个负常曲率曲面到另一个负常曲 率曲面的构作方法。以及从s i n e - g o r d o n 方程的一个解到另一个解的做法，这些 都是很有意义的结果到了本世纪中叶，关于方程解的变换在孤立子理论中起到 了重要作用，人们也逐步认识到了微分几何学在孤立子理论中的意义与作用本 文在简要介绍了欧氏空间r 3 的基本内容，三维m i n k o w s k i 空间路1 的基本内容， 三维空间的几类b a c l d u n d 变换和三维空问的几类平行变换后主要研究了三维 m i n k o w s k i 空间斧，1 中类空曲面的b a d d u n d 变换，三维空间的平行变换以及舻1 中七一2 m h + m 2 = - 1 2 曲面的b a c k l u n d 变换，从而给出了b a c k l u n d 变换与平行 变换的关系 1 2 预备知识 我们用活动标架法叙述欧氏空间曲面论在三维欧氏空问舻，我们用x 来表 示点的位置向量，其长度为卫= =z 而2 + z 2 e 1 ，e 2 是互相正交的单位向 量，( z ，e l ，e 2 ，e 3 ) 构成曲面在x 点的正交标架则曲面的基本方程为： d z = t ，d e 42t 岛，d e 3 。l a 3 e 3 和t 之间有下述关系： d + u 协a w b = 0 ( a ，6 = 1 ，2 ) ，屿 + w i j = 0 ( t ，j = 1 ，2 ，3 ) 湖北大学硕士学位论文 在正交标架下，g a u s s c o d a z z i 方程可化简为下列形式 d w l 2 = i u 3 2 a t ，1 3 ，d 轧+ ”驺a w b a = 0 g a u s s 方程还可以写成 d w l 2 2 k w i a w 2 m i n k o w s k i 空间j 产，1 和三维欧氏空间兄3 一样是平直空间，其中向量z 有三 个坐标f 1 ，如，1 3 ，不同的是两个向量t ( t l ，f 2 ，1 3 ) 和m ( m 1 ，他，m 3 ) 的数量积的定义 是 l m = 1 1 m l 1 2 r n 口1 3 m s 则向量f 的长度平方 j 2 = 瑶+ 1 ；一瑶， 不是正定的根据z 2 的符号，非零向量可以分为三类：z 2 0 ，类空；f 2 0 ，类 时；1 2 = 0 ，类光 在j 产，1 中的曲面可以定义法线向量n ：当n 为类时向量时，曲面的切平面上 的所有向量为类空，血面称为类空的；当t l 为类空向量时，曲面的切平面上的所有 向量为类时，曲面称为类时的；借助于单位正交的标架 z ，e l ，e 2 ，白 可以写出基 本方程： 出= t ，d e = l o b a e b ，d e s2t 1 ) a 3 e 3 相应的可积条件： d w a + 1 1 3 a b a a w b = 0 ，埘缸a = 0 ， 跏曲+ t a t i 曲= 一t a t p 3 b ， 踟孙+ t a ”k = 0 r 2 ，1 中的线汇依直线的方向有类空、类时、类光的区别，可以分四种情形讨 论： ( a ) 线汇类空，二张焦曲面类空： ( b ) 线汇类空，二张焦曲面类时； ( c ) 线汇类时，二张焦曲面类时； 2 第一章绪论 ( d ) 线汇类空，一张焦曲面类空，一张焦曲面类时 现设线汇有二张焦曲面s 和p ，p p 是中的直线，他是s 和9 的 公切线，p s p + 是切点，e 3 和e ；分别是s 和s 在p 和p 的法线，如果 e 3 e ；= k ，p p + = f 当ll 为非零常数时，称此线汇为伪球线汇 3 湖北大学硕士学位论文 2 。1 引言 第二章几类b a c k l u n d 变换 设e 3 和e ；分别是曲面s 在点p 与曲面s i 在点p + 的单位法向量，记8 3 ，噶 的交角为r p p 是s 和的公切线，其距离为亡 即 e 3 = c 0 8 t ，d p p = t 当r ，z 为常数时0 0 ，s b n - r 0 ) ，称此线汇为伪球线汇 在舻对于伪球线汇。有下述定理： b a c l d u n d 定理：设s 和s 为舻中一伪球线汇的两张焦曲面，对应点之间的 距离为常数t 0 o ) ，对应法线之间的交角为常数t ( s i n r 0 ) ，则这两张焦曲面s 和s 有相同的负常数g a s s 曲率定，且= 一s i - n t 2r 一。 在r 2 ，1 对于伪球线汇，有下述定理： 定理2 1 1 4 ：以两张类空正常曲率曲面为焦曲面的类空伪球线汇是存在的 定理2 2 1 4 1 ：以两张类时正常曲率曲面为焦曲面的类空伪球线汇是存在的 定理2 3 【4 】：两个焦曲面分别是类时和类空负常曲率曲面为的类空伪球线汇 是存在的 2 2m i n k o w s k i 空间兄2 ，1 中类空曲面的b a c k l u n d 变换 经典b a c l d u n d 定理主要研究了三维欧氏空间铲4 中常负高斯曲率之间的 一个变换随着孤立子理论的研究和发展，b a c l d u n d 变换已经成为寻求孤立子方 程的一个重要的方法在文献【4 1 ， 5 】中通过建立c h e b y s h c v 坐标来研究了三维 m i a k o w s l d 空间冗2 1 中的b a c l d u n d 变换并将其推广到商维舻- ”1 中文献【6 】- ( 9 】 也通过不同的方法分别讨论了三维m h l k o w s l d 空间兄2 t 1 中的各种b a c l d u a d 变 换的情况在本文中，作者利用r a s h a da a b d e l b a k y 研究三维m i n k o w s i d 空间 b a c l d u n d 变换的方法在文献 4 】给出结论的前提下讨论了三维m h l k o w s k i 空间 r 2 ，1 中类空曲面的b a c l d u n d 变换 第二章几类b a c k l u n d 变换 设m 为m i a k o w s k i 空间r 2 ，1 中的类空曲面 e 1 ，e 2 ，e 3 为m 中过点p 的局 部正交标架场，其中8 1 e 2 是m 中过p 点的切向量 则 d z = ，d = 2 印，e = 鼋= 一e ；= 1 a口 在本文中规定1 t ，五k 2 ，1 o t ，p ，1 3 结构方程为 由上可知 批= 蛳 ， 口 d w a a = 邬 1 1 1 1 1 2 2 一t 比l ， w 1 3 2 w 3 l ，= t ，0 = 地= t o i a w l a i 由c a f t a n l e m m a 可知 u i i 3 = 一b 屿，其中b = b 。 j 则g a u s s 方程 d w a 2 = ”1 3 a t 忉。一k 曲1 d z o t a = 蛳 屿3 j 1 具有正离斯曲率的类空曲面的b a e k l t m d 变换 定理2 4 1 4 1 ：如果m i n k o w s k i 空间r 2 1 中的两个类空焦曲面间存在一个类空 的伪球线汇，则曲面m 与 f 具有相同的高斯曲率巫：磐其中t 为m 与m ，中 对应点的距离，口为m 与m 。中法向量的夹角 定理的证明：设 e l ，e 2 ，e 3 ) ，扣：，e ；，岛，分别是过曲面m 与m 中的点p 和 矿= f ( p ) 的局部正交标架场 由 = c a s h 一， = 1 ， 5 湖北大学硕士学位论文 fe ：= c o s ) e l + s i n 7 e 2 e 主：s i n 7 c o s h 阮l + c o s ，y c o s l l p e 2 一曲1 h 弛3 【e ；= s i n 7 s i n h 8 e l + c o s 7 s i n h o e 2 一c o s h 8 e 3 其中8 ，7 均为常数 m 。可以由矿；o + 蜡来给出 如= d x + t d e ：= ( w t + t w 2 1s i n 7 ) e t + ( w 2 + t w t 2c o s 7 ) e 2 + t ( w 1 3 c o s 7 + w z 3s i n 7 ) e 3 由 可得 则 t w l 2 = s i n 7 w l c 一r t 也+ t c o t h 8 ( w 1 3 c 伪，y + 伽龆s i n , , ) 对( 1 1 ) 式作微分 t d w l 2 = s i n 7 d w l c o s 7 d w 2 + t c o t h t ( d w l 3 c o s 7 + d w s i n 们 整理得 乱口i 3a 埘= 埘1 2a s i n y w 2 + c d s v w l + t c o t h o ( c o s 7 w 一s i n 7 w 1 3 ) 】 联立上两式得 t 2 1 3 a t u 2 3z s i n 7 w l c o s y w 2 + t c o t h 8 ( w 1 3c 0 6 7 + 2 3s i n 7 ) 】 a s i n 7 w 2 + c o s t w l + t c o t h o ( w c o s 7 一w 1 3 s i n 7 ) 】 t 2 w 1 3 a w 2 3 2 叫l a7 ) 2 + 铲c o t h 20 w 1 3 a ”嚣 t 2 ( i c o t h 2 ) 叫law 2 - 6 第二章几类b a c k h m d 变换 所以 自= 1 s i n h _ 2 0 由上可知z = 矿+ t ( 一e ：) ，对于曲面m 同理可得k = 穹字 对于r 2 中任一个类空正常曲率的曲面，我们可以取 伽t = c o s d u ，她= 咖詈咖 由d w 。= 呦a 砾4 ：w 1 2 = 一地l = ；( 如+ 咖) 由d 叫硌= t b 嘶3 可得：叫1 3 = s i n 詈如，札切= c o s 詈幽 第一基本形式： ，= c 0 8 2 芸如2 + 如2 导咖2 第二基本形式： ，= 一s i n 芸c 册芸( 如2 一幽2 ) 由g a u s s 方程：d w l 2 = t ，1 3 忱3 可得： 哦m a w = 一s i n a 由上可知对于上面方程中任一个解a 都对应了一个类空的正常曲率曲面， 可设= 1 a i n h r 2 = 1 ，则t = s i n 0 将w l ，地， 1 2 ，埘1 3 ，t ，2 3 代入可得 j 锄= 2 s i n 7 c o s 詈+ 2 t c o t h o c o s v a i n 詈 【t = 一2 嘲7 s i n 詈一2 t c o t h 0s i n 7 c o s 晕 称上述方程为b a c k l u n d 变换 由上式得关于。的可积条件为： 一= 一8 1 n n 定理2 5 ：若研中两类空焦曲面m 与m 存在一类空伪球线汇，则m 与m 7 湖北大学硕士学位论文 具有相同的高斯曲率k = 1 ，角o ，o t + 都为方程的两个解，且a ，o t 。给出了b a c l d u n d 交换 2 具有负高斯曲率的类空曲面的b a c k l t m d 变换 定理2 6 ：如果m i n k o w s k i 空间r 2 中的类空曲面m 和类时曲面m + 之间存 在一个类空伪求线汇，则m 与m 具有相同的高斯曲率k = 一g 尝至，其中t 为 m 与m 。对应点的距离0 为m 与 扩中的法向量的夹角 定理2 6 的证明：设 e 1 ，e 2 ，e 3 ) ，( e ：，e ；) 分别是过曲面m 与 矿中的点p 和p = ，p ) 的局部正交标架场 由 = 一1 ， = s i n h 0 巨墨量：j 竺：= 髦 如= d x + t d e ：= ( w z + t w z t s i n 7 ) e t + ( w 2 + t w l 2 c o s 7 ) e z + t ( w 1 3 c o s 7 + w z 3s i n t ) e s 由 可得 一t w l 2 = 一s i n l l + c o s 7 她一t t a n h o ( w t s c o s 7 + s i a 7 ) 对上式作微分 一t d w l 2 = 一s m # d w l + c o e t d w 2 一t t a n h o ( d w t 3c o s 7 + d w z 3 s i n - y ) 整理得： 一t w a 3a 1 t 9 , 3 2 2 j 1 2a 【一s i n 7 w 2 一c o s 7 w t t t a n h o ( c o s 7 w 一s i n 7 w t s ) 】 - 8 - 第二章几类b a c k l u n d 变换 则 联立上两式得 矿 1 3 a 叫嚣= 【- s i n 7 w l + c 0 8 7 t 也一t t a n h 0 ( w 1 3 c o s 7 - i - w z 3s i n 7 ) 】 a 【- - s i n 7 w 2 一c o s 7 w i t t a n h 0 ( w z 3c o s 3 一w l ss i n 3 ) 】 一t 2 k w l a w 2 2 t ，1 a 她一t 2 k t a n h 2 0 w l a w 2 所以 c 册h 2 p k 2 一i 卜 由上可知茁= 矿+ ( 一e ：) 对于曲面胪同理可得扩= 一掣磐 对于形- 1 中任一个负常曲率的类空曲面，我们可以取 叫l = c o s - 。i d u ，她= 咖尹o t 由如。= 即a t 恤可褥： n = 一撕1 = ；( 一蛳乩+ q 。d v ) 由血船= “协a w j 3 可得：t t ，1 3 = g m h 暑孔，t l j 2 3 = c o s h 2 d v 第一基本形式： ，= c 0 8 h 2 i a 一2 t 2 i o t 咖2 第二基本形式： = 一舢詈砌詈( 如2 + 咖2 由g a u s s 方程：d w l 2 = ”1 3a7 u 2 3 可碍 + = 8 i n h q 由上可知对于上面方程中任一个解a 都对应了一个类空的负常曲率瞳面 可设k = 一婴告尘= 一1 ，则t = c o s h o 将w 1 ，地，埘1 2 ， 1 3 ，代入可得 9 湖北大学硕士学位论文 j = 一2s i n 7 c o s h 譬一2 t t a n h o c o s y s i n h lt = 2 c o s t s i n h 譬一2 t t a n h 0s i n 7 c o s h 号 称上述方程为b a c l d u n d 变换 对于常曲率为负的类时曲面，我们可取 埘t = c h 等乩，奶= s i n h 等幽 由妣= t 口a 礁4 ：w n = t j 2 1 = ( 一机+ a ；d v ) 由= 蛳a w # s 礁4 ：w l s = s i n h 譬如，锄= c o s h 譬如 第一基本形式： = c o s h 2 。- - - 2d u 2 - s i n h 2 - 等- d v 2 ， 第二基本形式 i i = - s i n , h 2 。o s h a - - - 2 ( d u 2 + 如2 1 由g a u s s 方程：d w l 2 = w 1 3 a 她3 可得 吒+ 峨= s i n h a 。 上可知对于上面方程中任一个解q 都对应了一个类时的负常曲率曲面 对于方程组( 2 4 ) 关于口的可积条件为： 关于矿的可积条件为 由上可知 口+ q w = s i n h a 。+ 吒= s i n h 口 1 0 第二章几类b a c l d u n d 变换 定理2 7 ：若舻，1 中类空焦曲面m 与类时焦曲面m + 存在一类空伪球线汇， 则m 与m 具有相同的高斯曲率k = - - 1 ，角o l ，都为方程的两个解，且n ，q 给出了b a c l d u n d 变换 综上所述，我得到了r 2 1 中类空曲面的b a c k l u n d 变换 湖北大学硕士学位论文 3 1 引言 第三章几类平行变换 欧氏空间曲面s 的每一点沿法线方向移动同一距离f 就得到另一曲面。这就 是s 的平行曲面 对于欧氏空间r 3 有以下结论： 定理3 1 4 j ：非球面的正常曲率曲面( k ；丢) 的两侧，各有一张距离为t 的常 平均曲率( 日。= 士击) 的平行曲面，非球面非圆柱面的常平均曲率( 日= 去) 有一 张距离为t 的平行曲面，为正常曲率曲面( k + = 击) 对于m i n k o w s k i 空间舒1 的情形有以下结论： 定理3 2 1 4 ：对每一个g a u s s 曲率为一丢的类空曲面，与它距离为士t 的两张 平行曲面为常平均曲率，日= 士击每一平均曲率为一去的类空曲面如非常曲率 曲面，则必有一张和它距离为t 的负常曲率曲面，箕g a u s s 曲率为一击 定理3 3 n ：类时正常益率曲面( k = 万1 ) 的两侧距离为t 的平行曲面是平均 曲率为士击的常平均曲面在类时常平均曲率日= 去曲面的- - 9 y 有一张正常曲 率曲面的平行曲面，距离为，g a u s s 曲率为击 3 2 三维空间的平行变换 经典b a c k l u n d 定理主要研究了三维欧氏空间斧中常负高斯曲率之间的 一个变换马辉【1 q 利用曲面的平行交换研究了斧，1 中w e i n g a r t e n 曲面之间的 b a c k l u n d 变换可见利用平行变换也是研究b a c k l u n d 定理的一个重要的途径同 时胡和生f 4 】给出了舻，群，1 中常g a u s s 曲率曲面的平行变换，文献 1 s j 中给出了 斧中满足条件k 一2 m h + m 2 = - 1 2 曲面的平行变换： 定理3 4 1 1 s 1 设卫：s 一印为斧中常负g a u s s 曲率k = 一z 2 ，则其平行衄面 z = z + t e 3 ：否一r s ，0 ) 为满足条件霄一2 两万+ _ 2 + 铲= 0 的曲面，其中 一 ，2 ：， 伉2 一i 芊蕾芦，2t ；扣i ， 反之。若z ：琴一r 3 为满足条件且秽 r 的蛆面，则其平行瞳面。= 1 2 第三章几类平行变换 z + 鼎酉：s 一帮为常负g 肌s s 曲率彤= 一正等竺的曲面 本文在这些基础上研究了三维舻中满足条件k 一2 m h + m 2 = 1 2 ( k ，h 分 别为s 的g a u s s 曲率和平均曲率，0 m 1 ) w e i n g a r t e n 曲面的平行变换，三维 r 2 - 1 空间中类时具有常g a u s s 曲率且主曲率，恕为虚值的曲面平行变换以及 k l = 如曲面的平行变换 1 舻中w e i n g a r t e n 曲面的平行变换 设曲面s 满足条件k 一2 m h + m 2 = 1 2 ( k ，h 分别为s 的g a u s s 曲率和平均 曲率，0 s 竹l z ) 令k l = m + l t a n h 詈，舷= m + z c o t h 詈( k l ，k 2 为曲面s 的主曲率) 取坐标( t ，口) 使 i = 刁零1 孬。o s h - 。互d u ，忱= 刁孳1 甭8 i n h “d v 则 1 2 = 一地l = 互1 ( 一锄如+ 咖) ， 如一撕z = 触字旭呦一w 3 2 = c o s h 芋d v 其基本形式 j = 矗斋( c 0 8 h 2 罢砒2 + s 址2 詈面2 ) ， 肚了丽1 ( c 0 8 h 詈蛐半机2 + s i h 詈谳罕如2 ) g a u s s 方程 q w + 口w = 一s i r l h ( a 一咖) 其中 c o s h y “= c o s h t 劢南酬n h t “= 示象砺已萧町2 丽已萧 用口+ o t 0 代替a ，= 南( c o s h 2 半也2 + s i n h 2 半们， 湖北大学硕士学位论文 ，= 劢于i 1 翥( s t i l l l 詈c 。出鼍产咖2 + c o s h 2 s t n h 竺咖2 ) o k + a 伽= 一s i n h 口 则参数( t ，口) 称为s 上的t s c h e b y s h e f f 坐标，o 称为t s c h e b y s h e f f 角 当i f , = 0 时，曲面s 为常正g a u s s 曲率k = z 2 的曲面 则 ，= 击( c o s h 2 ；也2 + 蛐2 詈幽2 ) ， = 8 i n h 詈c 。s h 2 ( d u 2 + 幽2 ) ， 出。+ 出。= 一s i n h q 定理3 5 设z ：s 一舻为常正g a u s s 曲率k = 2 的曲面，则其平行曲面 z = z + t e s ：琴一r s ，( t ，0sm 0 ) 其中h 为曲面s 的平均曲率，k 为g a u s s 曲率，则存在s 上的局部单位正交标 架场 z ；e l ，e 2 ，e 3 ) 使日= 一镌= 鼋= 1 令i l = t f t + i t a n h 詈，= m l c o t h - g ( k l ，为曲面s 的主曲率) 取局部坐标( t ，口) 使得 1 q 1 口， 伽12 了i 丽嘲i 抛，2 也2 了事霸锄i 曲 则 埘- 。= 一t 1 2 - = ；( 一锄血+ o d v ) ， w132-l031：与导，锄：1032w13 8 1 1 1d u 1 0 3 2 ：c 嘴兰导咖 2 2 百一，锄2 2 c 嘴百一删 其基本形式 k 矗斋( c o s 22 d u 2 - - 8 舒詈舻) ， 盯= 而杀詈如与旦掰+ s i n 詈c o s 半舻) g a u s s 方程 + n w = s i n ( a 一彻) 1 9 湖北大学硕士学位论文 其中 用o + o t o 代替o t c o s 挚= 熹； 锄 一m 咖- f 2 丽辛萧 z = 南( c o s 2 半如2 一如2 半硒， ，= 勿毒丽( 8 t n 詈c o s 掣笋如2 + c o s 詈如鼍产如2 ) g a u s s 方程 u + = s i n 口 则参数( e ，”) 称为s 上的t s c h c b y s h e f f 坐标，8 称为t s e h e b y s h e f f 角 当m = 0 时，曲面s 为常负g a u s s 曲率k = 一f 2 的曲面 则 ，= 刍( c 2 善砒2 一s i n 2 d r 2 ) ， i i = ；s i n 詈c i o t ( 如2 + 幽2 ) ， 。+ 出。= s i n 定理4 1 设z ：s r 2 1 为斧1 常负g a u s s 曲率k = 一f 2 的类时曲面，则 其平行曲面虿= $ + t e 3 ：可一芹一，( t ) 为满足条件k 一2 刺+ 酽+ r = 0 的类时w e i n g a r t e n 曲面，其中雨= 一番，7 = d 甲 反之，若z ：否一形，1 为满足上述条件的类时曲面。则其平行曲面z = z + 焉百：琴一r 2 ，1 的常负g a u s s 曲率k = 一芷警鲢的类时曲面 定理4 1 的证明设( u ， ) 为曲面的坐标， z ，e l ，e 2 ，e 3 为s 的局部单位正交 标架场 则 t c ，- = ；c o s - ；_ d u ，地= 了1s i n 詈咖= s i n i 。d u 1 0 1 3，呦= c 詈幽 凹1 z2 ，地2 了8 “百咖 2 ，”蛤。o i 咖 对于曲面蕊虿= o + t e 3 d 奎= ( l + 抛，3 1 ) e l + 2 + t w s 2 ) e 2 2 0 所以 - l = ”- 一加n = ( c 詈一绷a 。，d 缸，= w 2 + 溉= ( 如詈+ t c o s 詈) 如 由此可知 引 勺基本形式 一= =sin芸如，面23=呦=cos-“idvtl)13 w 1 3 2。 i 缸叫2 w 5 f = 瞎+ 产) ( 淄2 半如2 一群半面2 ) ，= 乒1 - 2 洫詈湖笔导甜+ 嘲詈咖半舻) 其中 嘲詈= z 序印i n 詈= 一丽t 则( t ，口) 也是i 上的t s c h e b y s h e f f 坐标，d 称为t s c h e b y s h e f f 角 反之，证明类似 2 b a c k l u n d 变换 定义4 1 设最s + 是斧1 类时和类空曲面，若有微分同胚：s ，s 使 ( i ) j fp 矿4 为常数( 设为a ) o ，= ( n ) 印为s ，s 的公共类空切向量。 ( i i i ) s 和s 。在对应点p ，p 的单位法向量e 3 ，内积为常数，即e 3 = s i n h o 则称为反d e s i t t c r 线汇 关于反d e s i t t e r 线汇，文献【4 】有重要的定理 定理4 2 设e 是类时曲面s 和类空曲面s 的反d e s i t t e r 线汇。则s 和p 都 是负常g a u s s 曲率k = 一2 9 当华的曲面 定理4 3 设s 为常负g a u s s 衄率k = 一号孛的类时曲面( 口，a 为常数) 则 r 2 1 中存在局部类空曲面扩及是反d c s i t t m 线汇：s ，s 。使得= e ( s ) 设：s 一p 反d e s i t t e r 线汇由定理2 1 可知：s 和p 都是负常g a u s s 曲率 七= 一c o 矿s h 20 = 一1 2 2 1 湖北大学硕士学位论文 取 f = c 。s n 等e - + s t n h 等e 。，r j - = s ；n h 等e - + c o s h 等e ： 则耿s 局部正交标架场 矿；广，r ，e ；) 矿= z + a f f = 一r 7 - 上= s i n h 0 1 - 上+ c o s h o e s ， e ；= c o s h o r j - + s i n h o e a 如= 陋- + 冲t 血等等+ 越血等她1 ) 】e z + 州伽h 等警+ c o s h 。t 2 w 2 ，) 】e ： + a ( 砌等w l s + s i n h - 矿- f w 2 s ) e s e ；= c o s h 口s i n h 等e - + c o s h 口c 0 8 h 等e 2 + s i n l l e ；为矿的法向量，则e ；d x 。= 0 得： 由上可得： fc o s h d 华= s i n h 譬c o s 詈+ s i n h o c o s h 譬8 i n 詈 【c o s h p 篮笋= 一c 伽h 譬如詈+ s i n h o s i n h 譬c o s 詈 如= 了1 ( 一c 0 8 h 等c 0 8 “- i d u + s 讪虿o r * 蛐i o g 面) 7 + 了i ( c o s h t ”s i n i o t 乩+ s i n h 筹c o s = ；- d v ，_ ) r + i 蜗= ( 一s i n h - ”f c 。s d u + c h 等血詈幽) r + ( s i n h 等s i n 詈砒+ c 0 8 h 虿o r * c 0 8i o t 幽) 7 - + 1 令 e _ 一c o s 詈r m 虿o t 一艺= s i n 哥+ s 秒1 所以 如+ = 诚等如e + 袖等幽e 刍 2 2 第四章d a r b o u x 线汇 则基本形式： 蜗= 8 i n h 丁o z * 以e ；+ c o s h 等咖e ； r = 如+ 如+ = 刍( c 础2 等托2 + 触2 等咖2 ) ，r = 一d e ；如= 一刍c o a h 2 虿o l s 讪2 等( 毗2 + 咖2 ) g a u s s 方程为： 吒+ 吒= s i n h - “6 - 沁v ) 是s 的t s c h c b y s h c f f 角，也是上面g a u s s 方程的角有文献f l 】可知q 与矿 是通过b a c k l u n d 变换相联系的 3 d a f o o u x 线汇 定义4 2 设只分别是舻1 中的类时、类空曲面，若有微分同胚：s + 9 使 ( i ) 0 ，矿i i 为常数( 设为a ) 矿= e ( 计 伍疡；：与曲面s 扩的成等角即可取得s , s 。的单位法向量e 3 , 喀使得r e 3 = c o s 7 1 ，r e ；= s i a h 忱， 7 1 ，他为常数，且( a i n h o + 1 ) c o s 7 1 = ( 1 一1 6 _ n h o ) s i n h , , 2 ( i i i ) s 和s 在对应点p p 的单位法向量e 3 ，内积为常数，即e s e ；= s i n h 0 则称这样的线汇e 为反d c s i t t c r - 伪球d a l j o o u x 线汇 定理4 4 设e 是类时曲面s 和类空曲面9 的反d c s i t t c r 线汇，则s 和在 t 处的平行曲面君和歹的对应关系给出了一个反d i t t c r - 伪球d a r b o u x 线汇 反之，任何一个反d c s i t t c r - 伪球- d a r b o u x 线汇可由此方式生成七= 一璺 学的曲 面 定理4 4 的证明：若是类时曲面s 和类空曲面s 的反d e s i t t c r 线汇 则矿= $ + a r ，e a e ；= s i a h 0 ，其中a ，0 为常数，r 是线汇的单位方向向量 令 一 弘娩膏- 蜗，2 南 则给出了s 和矿的一个线汇 2 3 湖北大学硕士学位论文 因为 i i 一- 歹j i ：忖+ t ( e ；一e 。) l l ：再耳可可乏矛：、傈= 萨丽丽：c o n s t = x x * t ( s i n h 0 1 ) 亍8 3 5 j l 万7 j 1 8 32 、；a 2 2 - 2 2 2 t 2 2 s 2 i n 兰h 2 8 20 0 ”酣。0 8 7 1 j 夺函e ；= 丽t ( - s i g h 9 - 1 ) 一s 括s i 1 1 讹 ( s i n h 口+ 1 ) c o s 7 1 = ( 1 一s i n h 目) s i n h l 2 所以为反d c s i t t c r - 伪球d a r b o u x 线汇， 反之，若为类时曲面s 和类空曲面s + 的反d e s i t t e r - 伪球d a l _ b o u x 线汇 则 歹= z + 一a r ，丽= s i n h e 且 两= c o s 彳i , 砺= s i n l l 瓦 其中- 百，可- 两均为常数 令 。= 虿一珂，矿= 歹一疮； 则当t = 量s i n h 皿o - 1 或t = o s i n 虫h 8 冱+ 1 时 盂z 西= z o = 0 且 著0 2 刮舸一豁露一硼2 = a 2 ( 1 + 2 ( 。c i o n h s 币目 s i n l h ) 2 ，o ) =