2023-2024学年高二数学上学期期末复习专题1-3直线与圆的方程20类题型 教师版

专题1-3直线与圆的方程20类题型汇总知识点梳理一、直线的5种方程斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（当时，记为）垂直k1·k2=-1（当时，记为）平行k1=k2且b1≠b2或（当时，记为）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（当时，记为）二、两点关于某直线对称三、其它公式两点距离公式：斜率的2个公式：点到直线距离公式：四、阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点A，B，则所有满足，的动点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆模块一：直线方程【题型1】求直线方程（2023上·广东深圳·高二翠园中学校考期中）过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为【答案】和【分析】根据斜率是否为0，分两种情况，结合直线的截距式方程即可求解.【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意，当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为，将代入得，解得，故直线方程为（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为.【答案】【详解】因为直线与直线和的交点分别为，设，因为点是线段的中点，由中点公式可得，解得，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即（2023上·江苏苏州·高二统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形满足.(1)求直线的方程；(2)求点的坐标.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由图知，则直线的倾斜角为，直线的斜率，点，所以直线的方程为，即.（2）因为，则直线的方程为，而，则直线的倾斜角为，斜率，直线的方程为，由解得，即点，又，则有直线斜率，因此直线的方程为，即，由解得，即点【题型2】由两直线的平行垂直关系求参数（易错）若直线和直线平行，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】由题知两直线平行，直接列出()即可求得【详解】直线和直线平行，可得，得.（多选）已知直线，直线，则下列命题正确的有（

）A．直线恒过点B．直线的方向向量为，则C．若，则D．若，则【答案】BD【分析】根据已知直线方程，逐个验证直线过的定点、方向向量和垂直平行所需的条件.【详解】把代入直线的方程，等式不成立，A选项错误；直线的方向向量为，则直线斜率，得，B选项正确；直线方向向量为，直线的方向向量为，若，则有，解得，当时，与重合，C选项错误；若，则有，即，D选项正确【题型3】三角形的三线问题（2023上·广东广州·高二统考期末）（多选）△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（

）A．边BC与直线平行B．边BC上的高所在的直线的方程为C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)【答案】BD【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BC，求出边中点坐标判断D．【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错；边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确；过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错；过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确【题型4】直线与已知线段相交求斜率范围（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.【详解】过点作，垂足为点，如图所示：设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，此时；当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.综上所述，直线的斜率的取值范围是.已知点，.若直线与线段AB恒相交，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由直线方程，令，解得，故直线过定点，如下图：则直线的斜率，直线的斜率，由图可知：.【题型5】点，直线的对称，光的反射相关问题汇总直线l:x+2y-1=0关于点(1,-1)对称的直线l'的方程为（

A．2x-y-5=0 B．x+2y-3=0 C．x+2y+3=0 D．2x-y-1=0【解题思路】根据直线关于直线外一点(1,-1)的对称直线互相平行可知其斜率，再取l上一点求其关于点(1,-1)的对称点，即可求出l'的方程【解答过程】由题意得l'//l，故设在l上取点A(1,0)，则点A(1,0)关于点(1,-1)的对称点是A'所以1+2×(-2)+c=0，即c=3，故直线l'的方程为x+2y+3=0点P2,0关于直线l:x-y+3=0的对称点Q的坐标为（

A．-3,5 B．-1,-4 C．4,1 D．2,3【解题思路】利用中点和斜率来求得Q点坐标.【解答过程】设点P2,0关于直线l:x-y+3=0的对称点的坐标为a,b则b-0a-2×1=-1a+22-b2直线2x+3y+4=0关于y轴对称的直线方程为（

）A．2x+3y-4=0 B．2x-3y+4=0C．2x-3y-4=0 D．3x+2y-4=0【解题思路】利用对称性质可得原直线上的点关于y轴的对称点，代入对称点，即可得到答案.【解答过程】设点Px,y是所求直线上任意一点，则P关于y轴的对称点为P-x,y，且在直线2x+3y+4=0上，代入可得-2x+3y+4=0，即一条光线从点A2,4射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（A．3x-y+4-23=0 C．3x+y+4-23=0 【解题思路】根据对称关系可求得反射光线斜率和所经过点A'2,-4【解答过程】点A2,4关于x轴的对称点为A又反射光线倾斜角为180∘-60∘=∴反射光线所在直线方程为：y+4=-3x-2，即唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B3,4，若将军从点A-2,0处出发，河岸线所在直线方程为y=x，则“将军饮马”的最短总路程为（

A．5 B．35 C．4 D．【解题思路】求出点A关于直线y=x的对称点A'的坐标，数形结合可得出“将军饮马”的最短总路程为A'【解答过程】点A-2,0关于直线y=x的对称点为A在直线y=x上任取一点M，由对称性可知AM=所以，AM+当且仅当点M为线段A'M与直线故“将军饮马”的最短总路程为35点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（

）A．(-1,-3) B．(-1,-4) C．(4,1) D．(2,3)【解题思路】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【解答过程】设点P(2,0)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为(a,b)，则{b-0a-2×(-1)=-1a+22+求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【解题思路】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.【解答过程】设对称直线方程为x+2y+c=0，1+11+22=c-11+所以所求直线方程为x+2y+3=0.一条沿直线传播的光线经过点P-4,8和Q-3,6，然后被直线y=x-3反射，则反射光线所在的直线方程为（A．x+2y-3=0 B．2x+y-15=0C．x-2y-5=0 D．x+2y+3=0【解题思路】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线y=x-3的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.【解答过程】入射光线所在的直线方程为y-68-6=x-联立方程组x-y-3=0,2x+y=0,解得x=1,y=-2,即入射点的坐标为设P关于直线y=x-3对称的点为P'则a-42-b+82-3=0,因为反射光线所在直线经过入射点和P'点，所以反射光线所在直线的斜率为-7-所以反射光线所在的直线方程为y+2=-12x-1“将军饮马”问题，在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(-2,0)，若将军从山脚下的点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．1453 B．37 C．1353 D【解题思路】先求点B(-2,0)关于直线x+y=4对称的点C(a,b)，再根据两点之间线段最短，即可得解.【解答过程】如图，设B(-2,0)关于直线x+y=4对称的点为C(a,b)，则有a-22+b2=4b依题意可得“将军饮马”的最短总路程为AC，此时AC=已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C，根据方向向量的直线斜率为，结合反射的性质可得，再结合等腰直角三角形的性质列式求解即可.【详解】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C.因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，，则，故，离心率.（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知直线，，且.(1)求与之间的距离；(2)一束光线从出发经反射后平行于轴射出，求入射光线所在的直线方程.【答案】(1)，(2)【详解】（1）由可得：，解得：或当时，，，此时与重合，舍去当时，，，此时，符合题意故与之间的距离为.（2）设关于的对称点为，则解得：，∴联立，解得：，∴入射点为.故入射光线所在的直线方程为，即模块二直线与圆【题型6】求圆的方程矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为.(1)求边所在直线的方程；(2)求经过，，三点的圆的方程.【答案】(1),(2)【详解】（1）由，得，则，因为矩形ABCD两条对角线相交于M，所以C与A关于点M对称，设，所以，得，则，因为边所在直线的方程为，斜率为，与垂直，所以直线的斜率为，则边所在直线的方程为，即；（2）由，解得，故点的坐标为，设所求圆的方程为，且，则，得，则所求圆的方程为：（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线与圆交于、两点.（1）求圆的方程；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）．【详解】（1）设圆的一般方程为，依题意可得，．所以圆的方程为：．（2）联立或，不妨设，，则，∴．故的最小值为（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知，．(1)求线段的垂直平分线的直线方程；(2)若一圆的圆心在直线上，且经过点，求该圆的方程．【答案】(1),(2)【详解】（1）因为，，所以的中点为，斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为，即的直线方程为，化简得.（2）联立解得，，即圆心为，所以圆的半径，所以所求圆的标准方程为（2023上·福建福州·高二校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，.(1)求直线BC的方程；(2)求的外接圆M的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）过点作轴，垂足为，由题意可得：，则，故点，延长交轴于点，由题意可得：，则为等边三角形，可得，即点，则直线的斜率，所以直线BC的方程为，即.（2）由（1）可得：，设的外接圆M的方程为，则，解得，故的外接圆M的方程为，即.（2023上·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心在上，且圆C与x轴相切，直线，．(1)若直线与圆C相切，求a的值；(2)若直线与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为，且，求圆C的方程．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）由题意设圆心，，分析可得，且，进而求解即可；（2）结合题设和圆的性质可得圆心C到的距离d等于圆C半径的倍，进而列出方程可得或，再由可得AB的垂直平分线经过和圆心，进而结合斜率关系列出方程求解即可.【详解】（1）因为圆心C在直线l上，可设圆心，．因为圆C与x轴相切，所以，又因为直线与圆C相切，所以，即，解得.（2）因为A，B把圆C分成的两段弧长之比为，所以弦AB所对劣弧圆心角为，所以圆心C到的距离d等于圆C半径的倍，则，即，解得或，又因为，所以AB的垂直平分线经过和圆心，所以，当时，，圆C方程为；当时，，圆C方程为.综上所述，圆C方程为或.

（2023上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）已知圆的圆心坐标为，且圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，点为的中点.(1)求圆的标准方程；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）运用点到直线距离公式求出圆C的半径；（2）求出点P的运动轨迹，再确定的最大值.【详解】（1）由题意知点到直线的距离为，也是圆C的半径，圆的半径为，则圆的标准方程为；（2）依题意作上图，为弦的中点，由垂径定理知：，又过定点A，点的轨迹为以为直径的圆，圆心为A，C的中点，半径为，；

综上，圆的标准方程为，的最大值为已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是．【答案】【分析】设，，根据中点坐标公式可得，代入圆的方程，整理即可得到的轨迹方程.【详解】设，，则由已知可得.又是线段的中点，所以有，所以，所以有，整理可得.所以的轨迹方程是.已知直线与圆交于A，B两点，.(1)求实数a的值；(2)若点P在圆C上运动，O为坐标原点，动点M满足，求动点M的轨迹方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题意得圆心到直线的距离，再列式求解即可.（2）设，，由可得，结合点在圆上，即可得动点的轨迹方程．【详解】（1）圆，即，，则圆心，半径，记为圆心到直线的距离，由，得，而，因此，所以.（2）设，，由，得，解得，由点在圆上，得，于是，所以动点的轨迹方程为.

已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.【答案】(1)，(2)【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解；（2）设点，，由得，代入圆的方程即得解.【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；（2）设，，由，得，所以，又点在圆上，故，所以，化简得的轨迹方程为【题型7】圆的切线性质以及求切线方程（多选）过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（

）A．B．四边形的外接圆方程为C．直线方程为D．三角形的面积为【答案】BCD【详解】对于，由题意可得：，由勾股定理可得，，故选项错误；对于，由题意知，，则为所求圆的直径，所以线段的中点为，半径为，则所求圆的方程为，化为一般方程为，故选项正确；对于，由题意，其中一个切点的坐标为，不妨设为点，则，又，所以，所以直线的方程为，故选项正确；对于，因为，且直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，解得，所以两条直线的交点坐标为，则，，故的面积为，所以的面积为，故选项正确（2023上·高二华中师大一附中期末）（多选）设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（

）A．的取值范围为B．四边形的最大值为C．满足的点有两个D．的面积最大值为【答案】AC【详解】圆心到直线的距离，所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，当时取得等号，所以的取值范围为，A正确；因为，所以四边形的面积等于，四边形的最小值为，故B错误；因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，则有，所以满足条件的点有两个，C正确；因为所以当，即，面积有最大值为，此时四边形为正方形，则，满足要求，故D错误（2023上·江苏连云港·高二统考期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)过点作圆的切线，求该切线的方程.【答案】(1)，(2)或.【详解】（1）由题意，，圆心在线段的垂直平分线，即上.由，解得，即，从而，所以圆的标准方程为.（2）i.当切线的斜率不存在时，即，满足题意；ii.当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，则，解得，所以切线方程为.综上所述，该切线方程为或.【题型8】已知直线方程求弦长和已知弦长求直线方程（2023上·广东深圳·高二校考期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．【答案】(1)，(2)【详解】（1）∵，∴BC边的中点D的坐标为，∴中线AD的斜率为，∴中线AD的直线方程为：，即（2）设△ABC的外接圆O的方程为，∵A、B、C三点在圆上，∴解得：∴外接圆O的方程为，即，其中圆心O为，半径,又圆心O到直线l的距离为,∴被截得的弦长的一半为（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知圆，圆.(1)判断与的位置关系；(2)若过点的直线被、截得的弦长之比为，求直线的方程.【答案】(1)外切，(2)或【分析】（1）计算出，利用几何法可判断两圆的位置关系；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用勾股定理结合点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.【详解】（1）解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.因为，所以圆与圆外切.（2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆相离，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，即，则圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，所以，直线被圆截得的弦长为，直线被圆截得的弦长为，由题意可得，即，解得或，经检验，或均符合题意.所以直线的方程为或（2023上·福建龙岩·高二统考期末）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点．(1)求圆的方程；(2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的斜率．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设出圆的方程，代入已知点，列方程组求解即可；（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率.【详解】（1）由圆的圆心在轴上，设圆的方程为，，解得，所以圆的方程为；（2）由（1）得圆的标准方程为，圆心，半径，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，直线被圆截得的弦长为，则，解得或.【题型9】直线与圆的位置关系（2023上·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）圆上到直线的距离为1的点有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】C【详解】化为，得圆心坐标为，半径为圆心到直线的距离直线与圆相交.注意到，可知圆上有3个点到直线的距离为1.（2023上·广东广州·高二统考期末）（多选）已知点在圆：上，直线，则（

）A．直线与圆相交 B．直线与圆相离C．点到直线距离最大值为 D．点到直线距离最小值为【答案】BC【详解】解：圆：，即，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，又点在圆上，所以点到直线距离最大值为，点到直线距离最小值为，故正确的有B、C（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线方程.（写出一个正确答案即可）【答案】（答案不唯一）【详解】圆的圆心为，半径为2，若要使圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离应该为1，则直线可以为：，此时由圆得圆心为：，半径为2，则如图所示：由图可知圆上只有点到直线的距离为1，故答案为：（答案不唯一）.（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，且圆上恰有三个不同的点到直线的距离为，则直线被圆所截得的弦长为.【答案】【详解】设圆的半径为，因为圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，则劣弧所对的圆心角为，所以，圆心到直线的距离为，将直线平移，使得平移后的直线与直线之间的距离为，如下图所示：假设平移后的直线为、，则这两条直线一条与圆相切，一条与圆相交，不妨设直线与圆相切，则直线与之间的距离为，可得，所以，直线截圆所得弦长为.（2023·湖南·衡阳市八中高二期末）已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数．【答案】或【详解】圆的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，该圆一定过原点，半径为，又圆心为，故圆的方程为圆心到直线的距离为即，解得或．（2023上·浙江台州·高二期末）从①②这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答该题．①经过点；②圆心C在直线上．已知圆心为C的圆经过两点，且___________．(1)求该圆的标准方程；(2)若过点的直线与该圆有交点，求直线的斜率的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，，(2)【详解】（1）若选①：令圆方程为，则，解得．圆方程为，标准方程为．若选②：圆过，，中点为，则垂直平分线为，即，故圆心在上，又知圆心在直线上，，解得圆心．可得半径为，圆的标准方程为．（2）因为直线l与圆有交点，所以圆心到直线l的距离小于等于半径．当直线l的斜率不存在时，不符合题意，当直线l的斜率存在时，令直线，即．圆心到直线的距离，解得所以直线l的斜率取值范围为．已知圆心为，且经过点的圆.(1)求此圆C的方程；(2)直线与圆相交于、两点.若为等边三角形，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）根据等边三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为圆心为，所以圆的方程设为，该圆过，所以有，所以圆C的方程为；（2）由（1）可知该圆的半径为因为为等边三角形，且边长为，所以该等边三角形的高为，所以圆心到直线的距离为，即，所以直线的方程为或【题型10】圆与圆的位置关系：公切线，公共弦（2023上·浙江台州·高二期末）已知圆，圆，则两圆公共弦所在直线的方程为．【答案】【分析】利用两圆相减即可得出两圆公共弦所在直线的方程.【详解】依题意，①②①②得：，故公共弦方程为：设圆，圆，则圆，的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线（长沙雅礼中学月考）（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（

）A．公共弦AB所在直线方程为B．公共弦AB的长为C．线段AB中垂线方程为D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为【答案】AC【分析】A选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；C选项，线段AB的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；D选项，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.【详解】因为圆：和圆：的交点为A，B，作差得，所以圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为，故A正确；因为圆心，，所在直线斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，即，故C正确；圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以P到直线AB的距离的最大值为，圆与圆的公共弦AB的长为，故B,D错误（2023上·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆，写出满足条件“过点且与圆相外切”的一个圆的标准方程为.【答案】（答案不唯一）【分析】设满足条件的圆的标准方程为（），由点在圆上及外切关系可得方程组，化简取值即可得其中一个符合的结果.【详解】设满足条件的圆的标准方程为（），则有，即，两式相减化简得.不妨取，则，故满足条件的圆的标准方程为【题型11】直线与圆的综合问题（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知圆C：，直线l：，则下列说法正确的是（

）A．当时，直线的倾斜角为B．当时，直线与圆相交所得弦长为C．圆与圆：相外切D．当，时，过直线上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则弦长度的最小值为【答案】ACD【详解】因为圆：，化为标准方程：.对于，当时，直线l：可化为，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故选项正确；对于，当时，直线的方程为：，圆心到直线的距离，由垂径定理可得：弦长为，故选项错误；对于，圆与圆的圆心距，因为，所以两圆相外切，故选项正确；对于，当，时，直线的方程为：，设直线上任意一点，过圆外一点引圆的切线，设切点坐标为，因为，所以切点的轨迹是以的中点为圆心，以为直径的圆上，因为，，所以切点的轨迹方程为：，也即，又因为圆：，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，，则圆心到直线的距离，由垂径定理可知：，要使弦长度最小，则最大，当时，取最大值，此时弦长，故选项正确（2023上·江苏连云港·高二统考期末）（多选）设为实数，若方程表示圆，则（

）A．B．该圆必过定点C．若直线被该圆截得的弦长为2，则或D．当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为【答案】BCD【详解】对A，，由方程表示圆，则有，A错；对B，将代入方程，符合，B对；对C，圆心为，则圆心到直线的距离为，故直线被该圆截得的弦长为或，C对；对D，，则圆半径为1，圆心到直线的距离为，故该圆上的点到直线的距离的最小值为，D对在平面直角坐标系中，已知圆，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，已知直线关于直线对称，则（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先根据题目意思画出图像，结合图像和条件关于直线对称得到，再求出，最后根据二倍角公式求解即可.【详解】如图所示，，设直线分别交轴于点，连接，因为是圆的两条切线，所以≌，所以，又因为直线关于直线对称，所以，所以，即，所以为点到直线的距离，即，又且，所以，所以，所以【题型12】与基本不等式结合，乘“1”法求最值（2023上·广东深圳·高二统考期末）若直线（，）平分圆，则的最小值是（

）A．2 B．5 C． D．【答案】C【分析】直线平分圆，得到a,b关系，再根据基本不等式，即可求解.【详解】解：直线平分圆，则直线过圆心，即，所以(当且仅当时，取等号)若直线（，）平分圆，则的最小值是________【答案】2【详解】由题意可知，直线过圆过圆心，即，所以，即a=2b时，等号成立，的最小值是2．【题型13】阿波罗尼斯圆（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知，，为平面内的一个动点，且满足，求点的轨迹方程.【答案】(1),(2)【分析】(1)首先设点，利用两点间距离表示，化简求轨迹方程；【详解】（1）由题意可设点的坐标为，由及两点间的距离公式可得，整理得.（2023上·广东广州·高二统考期末）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，动点满足，点的轨迹围成区域的面积为，面积的最大值为.【答案】【分析】设出，利用两点间距离公式列出方程，求出的轨迹方程，从而得到的轨迹为以为圆心，半径为的圆，求出点的轨迹围成区域的面积，数形结合得到点到轴的距离的最大值，从而求出面积的最大值.【详解】设，则，，化简得：，的轨迹为以为圆心，半径为的圆，故点的轨迹围成区域的面积为；设点到轴的距离为，则，故面积的最大值为.两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长．【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，

则，设点，由，得，化简并整理得：，于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为，所以M点的轨迹长为.已知平面内两定点，，点满足，则动点的轨迹方程为；若平面内两动点，（）满足，则的最大值为.【答案】【分析】设，用两点间距离公式表示，化简可得动点的轨迹方程；使用向量垂直表示，由几何意义求解的最大值即可.【详解】设动点，则，，∵点满足，∴，化简，整理得.∴动点的轨迹方程为.若平面内两动点，（）满足，则，∴，，∴，∴，∵，∴，∴的几何意义为点到原点的距离，∵动点的轨迹为圆心为，半径为的圆，∴如图，当点位于处时，到原点距离最大值为，即的最大值为.故答案为：，.（2023上·河北邢台·高二统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线上的动点，抛物线C的焦点为F，则的最小值为．【答案】2【分析】设点坐标，根据题意写出关于与的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知等于Q到抛物线准线的距离，进而转化为点到准线的距离，即可求得.【详解】设，则，即，化简得．②抛物线的准线为，因为等于Q到抛物线准线的距离，所以的最小值转化为点到准线的距离，又P是阿氏圆上的任一点，所以点到准线的距离的最小，最小值为2．即的最小值为2.故答案为：①；②2故直线过定点，点到直线的距离最大值为，D正确.已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为．【答案】【分析】根据题意画出示意图，由图中几何关系取线段中点，中点，连接，可证得所以，即，可得，即可将转化为，然后根据当、、三点不共线时，，当、、三点共线时，，将问题转化为的最小值即为的最小值，再根据两点间距离公式求出的最小值即可.【详解】根据题意可得抛物线与圆都关于轴对称，且圆的圆心坐标为，半径为.因为，圆下方与轴交点坐标为，取线段中点，中点，可得，连接，画出示意图如上图所示.因为、分别为和的中点，所以，，所以，又因为，，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当、、三点共线时取到等号，此时点为线段与圆的交点.所以的最小值即为的最小值.因为N为抛物线上的任意一点，设，，因为，则，当时，，即的最小值为【题型14】直线与圆的双切线模型已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线，切点分别为，则的最大值为（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由题意可知，当点到圆心的距离最小时，最大.利用点到直线距离公式.【详解】由题意可知，当点到圆心的距离最小时，最大.圆心原点到直线的距离为.所以点到圆心的距离最小值为.所以，的最大值为.（2023四川外国语附属学校月考）已知是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根据跟定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.【详解】

连接，由切圆于A，B知，，因为直线AB与l平行，则，，而圆半径为1，于是，由四边形面积，得，所以.过直线上的点P作圆的两条切线，，当直线，关于直线对称时，两切点间的距离为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】由两条切线关于直线对称，可确定与直线互相垂直，即可求得得长，再结合直角三角函数和垂径定理，即可求解.【详解】依题意，设两切点分别为、，并连接交于点，作出示意图：

当直线，关于直线对称时，则两条直线，与直线的夹角相等，且与直线互相垂直，的长为圆心到直线的距离，即，又圆的半径，在中，，故，结合垂径定理得，即两切点间的距离为（多选）已知圆，过直线上一点P作圆O的两条切线，切点分别为，则（

）A．若点，则直线AB的方程为B．面积的最小值为C．直线AB过定点D．以线段AB为直径的圆可能不经过点O【答案】ABCD【分析】根据直线与圆的位置关系、圆的几何性质、三角形的面积、直线过定点、圆的方程等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若，则直线的方程为，，以为圆心，为半径的圆的方程为，即，由，两式相减得，所以A选项正确.

B选项，到直线的距离为，而，所以的最小值为，所以三角形面积的最小值为，所以B选项正确.

C选项，设，，线段的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，，由，两式相减得，由，解得，所以直线过定点，C选项正确.D选项，由A选项，由，解得或，即，，即此时以线段为直径的圆可能不经过点，D选项正确.故选：ABCD21．（2023上·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶段练习）（多选）已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（

）A．若点，则直线的方程为B．面积的最小值为C．直线过定点D．以线段为直径的圆可能不经过点【答案】BCD【分析】对A：计算出过、、三点的圆的方程，再两圆方程相减即可得到；对B：当最小时，的面积会有最小值；对C：设出点坐标，再计算出直线的方程，求定点即可得到；对D：可寻找特殊点，如A选项中，计算发现不经过点即可得到.【详解】A选项，若，则直线的方程为，，以P为圆心，4为半径的圆的方程为，即，

由，两式相减得，，故A错误；B选项，到直线：的距离为，而，所以的最小值为，所以面积的最小值为，故B正确；C选项，设，，线段的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，化简得：，由，两式相减得，即，由，解得，所以直线过定点，故C正确；D选项，由A选项，由，解得或,即，，，即此时以线段为直径的圆不经过点，故D正确．22．（2023上·河南·高二漯河高中校联考阶段练习）（多选）已知圆O：，过点M作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且直线恒过定点，则（

）A．点M的轨迹方程为B．的最小值为C．圆O上的点到直线AB的距离的最大值为D．【答案】CD【分析】设，以OM为直径的圆的方程，结合已知圆的方程求直线的方程，进而确定M的轨迹方程，由直线所过定点、圆的性质求最短弦长、圆上点到直线距离的最大值，讨论M的位置，结合圆的切线性质研究角的范围.【详解】设，以OM为直径的圆的方程为，化简得，与联立，两式相减得：直线的方程为．直线恒过定点，所以M的轨迹方程为，即，A错误．因为，即时弦长最小，所以，B错误．因为直线恒过定点，所以圆O上点到直线距离的最大值为，C正确．如图，圆心O到直线的距离为，记l：，当M运动到时，，，则．当M位于直线l其他位置时，，，，则．综上，，D正确．

已知直线l：x+y-6=0，过直线上一点P作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为，此时四边形PAOB外接圆的方程为．【答案】2（x-）2+（y-）2=【分析】求出O到直线l的最短距离即可得出四边形的最小面积，求出此时P的坐标，得出OP的中点坐标，从而得出外接圆方程．【详解】圆x2+y2=4的半径为2，圆心为（0，0），由切线性质可知OA⊥AP，，又△OAP的面积，∴当OP取得最小值时，△OAP的面积取得最小值，又OP的最小值为O到直线l的距离d=3．∴四边形PAOB面积的最小值为：．此时，四边形PAOB外接圆直径为d=3．∵OP⊥直线l，∴直线OP的方程为x-y=0．联立方程组，解得P（3，3），∴OP的中点为，∴四边形PAOB外接圆的方程为（x-）2+（y-）2=．故答案为，（x-）2+（y-）2=．41．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知直线l：与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，则直线CD恒过定点坐标为；记M是CD的中点，则的最小值为.【答案】【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理.【详解】由题意设点，，，因为，是圆的切线，所以，，所以在以为直径的圆上，其圆的方程为:，又在圆上，将两个圆的方程作差得直线的方程为：，即，所以直线恒过定点，又因为，，，，四点共线，所以，即在以为直径的圆上，其圆心为，半径为，如图所示:所以，所以的最小值为.模块三：直线与圆的最值问题【题型15】定点到含参直线距离最短问题点到直线距离的最大值为A．1 B． C． D．2【解答】解：方法一：因为点到直线距离；要求距离的最大值，故需；，当且仅当时等号成立，可得，当时等号成立．方法二：由可知，直线过定点，记，则点到直线距离．点M2,1到直线l:2λ+1x+A．355 B．5 C．3 D【解题思路】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案.【解答过程】由直线l:2λ+1x+1-λ令2x-y=0x+y+3=0，解得x=-1点M2,1到直线l距离的最大值为点M2,1到定点-1,-2的距离，则【题型16】过定点的弦长最短（2023上·广东惠州·高二统考期末）直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线方程，求所过定点，探究弦在垂直时取的最短，结合垂直直线斜率乘积为，由点斜式方程，可得答案.【详解】由，，则令，解得，故直线过定点，由，则圆心，半径，当时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，故直线为，则若直线与圆分别交于M、N两点.则弦MN长的最小值为.【答案】4【详解】由圆可得圆心，半径为3，直线，即，直线过定点P，又因为，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时，此时已知直线：和圆C：.(1)直线恒过一定点M，求出点M坐标；(2)当m为何值时，直线被圆C所截得的弦长最短，求出弦长.【答案】(1)(2)当时，直线被圆C所截得的弦长最短，弦长为【分析】（1）将直线化为，联立，即可求解定点坐标；（2）根据圆的性质知时，直线l被圆C所截得的弦长最短，利用几何法求解弦长即可.【详解】（1）由得，因为，所以有，解得，所以直线l恒过一定点，即；（2）由得，所以，半径，当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，所以有即，解得，化为，所以，所以，此时直线l的方程为即，所以点到直线l的距离，因此直线l被圆所截得的弦长最短为.直线被圆截得的最短弦长为.【答案】【分析】求出直线过定点，当时直线被圆截得的最短弦长，从而求出最短弦长.【详解】直线，即，令，解得，所以直线恒过点，又圆的圆心为，半径，因为，当时直线被圆截得的最短弦长，最短弦长为.

【题型17】点圆型最值设是圆上任意一点，则的最大值为A．6 B．25 C．26 D．36【答案】D【解答】解：表示圆上的点到点的距离的平方，圆的圆心，半径为1，圆心到点的距离为，的最大值是．若直线：，：（）相交于点，过作圆的切线，切点为，则的最大值为．【答案】7【分析】根据已知确定的轨迹为，再由圆切线性质将问题转化为求的最大值，结合圆与圆的位置关系求其最大值，即可确定的最大值.【详解】由题设，，即，又、分别恒过、，故交点在以线段为直径的圆上，圆心为，半