（基础数学专业论文）2νκλ对称设计的旗传递自同构群.pdf

摘要 随着旗传递线性空间的分类完成以后，人们开始关注旗传递自同 构群对旗传递自同构群的研究是当今有限群论、代数组合的前沿课 题本文得出了几个关于这方面的创新性结论 t 一设计是一类十分重要的组合设计，e u g e n i a 等人探讨了旗传递 的t 一( v ，k ，兄) ( r = 2 ) 对称设计，并得出当五3 时，非平凡2 一对称设计的 旗传递点本原白同构群g 只能是仿射的或几乎单的e u g e n i a 等人完 成了2 一( v ，k ，2 ) 对称设计上的旗传递点本原自同构群的分类，本文在他 们工作的基础上，进一步考虑了旗传递2 一( v ，k ，a ) ( 旯：3 ，4 ) 对称设计 在第一章中，我们将介绍群论与组合设计( 线性空间) 理论的研究 历史与现状由此，我们可以知道群论和组合设计( 线性空间) 当前的 发展情况以及他们之间存在的联系 在第二章中，我们将介绍一些关于群论的基础知识这些都是本 文所要用到的相关概念和结论，从而我们就建立起了本论文的基本理 论体系和构架 第三章是本文的重点介绍了对称设计的性质和几类几乎单群的 结构及其性质讨论了对称设计上的自同构群是几乎单型的情形，并 且得出了下面的定理： 主要定理( 1 ) 设g 是非平凡2 一( v ，k ，3 ) 对称设计的旗传递点本原 自同构群，则g 的基柱不能是2 e ( 9 2 ) 群，g ：( g ) 群，或3 d 4 ( q ) 群 ( 2 ) 设g 是非平凡2 一( v ，k ，4 ) 对称设计的旗传递点本原自同构群， 则g 只能是仿射的或几乎单的 关键词对称设计，几乎单群，基柱，本原，旗传递 a bs t r a c t a f t e rt h ec l a s s i f i c a t i o no ff l a g t r a n s i t i v el i n e a rs p a c e s ，a t t e n t i o nh a s n o wt u r n e dt ot h ef l a g t r a n s i t i v ea u t o m o r p h i s mg r o u p s t h er e s e a r c ho n f l a g t r a n s i t i v ea u t o m o r p h i s mg r o u p si st h ef o r e f r o n ts u b j e c to f t h ef i n i t e g r o u p st h e o r ya n da l g e b r ac o m b i n a t o r i a lt h e o r y t h i st h e s i sh a sa c q u i r e d s o m en e wc o n c l u s i o n so ni t r d e s i g n s i sav e r yi m p o r t a n tc l a s so fc o m b i n a t o r i a ld e s i g n s e u g e n i aa n dh i ss t u d e n t sh a v ed i s c u s s e dt h ef 一心后，, t x t = 2 ) s y m m e t r i c d e s i g n s t h e yh a v ea c q u i r e dt h ec o n c l u s i o n s t h a tt h ef l a g t r a n s i t i v e ， p r i m i t i v ea u t o m o r p h i s mg r o u p so fa n o n - t r i v i a l2 - ( v ，k ，五) s y m m e t r i c d e s i g n sw i t h 2 _ 0 ，使对所有p v 都有r o = ， ( 2 ) 均匀性：存在常数k 0 ，使对所有b b 都有k = k ( 3 ) ，一平衡性：对给定的正整数，存在常数五 0 ，使对v 的任一f 元子集s 都有k s = a 1 一平衡性即正则性，2 一平衡性通常就叫作平衡性 1 3 对称b lb 设计的关联矩阵 设d 为一个对称b i b 设计s b ( k ，允，) ，彳为其关联矩阵，总假定它满足条件 l k 1 1 4 12 一传递设计 1 9 8 0 年左右，人们完成了有限单群的分类此后，群论中许多悬而未决的问 题得到了解决首先是2 一传递群的分类获得了解决k a n t o r 利用这个分类定理 获得了具有2 一传递自同构群的2 一( v ，k ，1 ) 设计( 正则线性空间) 的分类这种设 计我们称之为2 一传递设计 定理1 4 1 11 1 2 , 1 3 】设d = ( q ，b ) 是2 一( v ，k ，1 ) 设计，g 是它的2 一传递的自 同构群( 在点集q 上) ，则下列之一成立： ( a ) d = p g ( d ，q ) ，即g f ( q ) 上的d 一维射影空间，d 2 且 p s l ( d ，g ) g p f l ( d ，g ) ，或者( d ，g ) = ( 3 ，2 ) 且g = 4 ； ( b ) d = a g ( d ，q ) ，即g f ( q ) 上仿射空间，d 2 且g 是x r l ( d ，q ) 的2 一传递 子群； ( c ) d 是h e r m i t i a nu n i t a l ，它是这样的一个设计，点和区分别是g f ( q ) 上 的3 一维空间的9 3 + 1 个迷向l 一维空间和非奇异2 一维空间， 且 p s u ( 3 ，g ) g p f u ( 3 ，g ) ； ( d ) d 是r e eu n i t a l ， r e e ( q ) = 2 g 2 ( g ) g a u t ( r e e ( q ) ) ，这罩g = 多卅1 3 q 是一个q 3 + 1 个点的集合，b 是一个g 中的对合的稳定点的集合； ( e ) d 是两个n o n d e s a r g u e s i o n 仿射平面，且k = 2 7 ( h e r e i n g 平面) 或 4 k = 9 ( n e a r f i e l d 平面) ； ( f ) d 是设计2 一( 3 6 ，3 2 , 1 ) 设计，g = 霉：s l ( 2 ，1 3 ) 1 4 2 旗传递设计 设计d = ( q ，b ) 的一个对( 口，b ) ，这罩口q ，b b 且口b 设计d 称为旗传 递，如果它的自同构群在d 的旗集合上是传递的最有趣的旗传递设计是具有参 数，= 2 和五= l 的情况在这种情形下，h i g m a n 和m c l a u g h li n 在1 9 6 1 年证明了它 的自同构群在q 上是本原的，即d 是点本原的( 本原的定义出现在第二章) 在 ( 9 ，1 ，1 1 6 ) 中，几个人证明了旗传递2 一( ，k ，1 ) 设计( j 下则线性空问) 的自同构 群的基柱( s o c l e ) 是初等交换群或者是一个非交换单群利用这个结果， b u e k e n h o u t 等人分类了这种设计 定理1 4 2 1 1 7 3 8 】设d = ( q ，b ) 是一个2 一( ，k ，1 ) 设计，它的自同构群是旗 传递的则下列之一成立： ( a ) d 是定理1 4 1 1 中之一； ( b ) d 是w i t t b o s e s h r i k h a n d e 空间，即p s l ( 2 ，q ) g p f l ( 2 ，g ) ，这里 q = 2 ”8 ，q 是一个q ( q 一1 ) 2 个点的集合，b 是p s l ( 2 ，q ) 中的对合的稳定点的 集合； ( c ) d 是n o n d e s a r g u e s i o n l u n e b u r g 仿射平面，它的阶是k = 2 2 1 ； ( d ) v 是一个素数方幂，g a f l ( 1 ，v ) 对于情形( d ) ，他们没有给出彻底的分类，但有许多例子，如广义n e t t o 系和 k a n t o r 系 这个定理在有限几何中有重要的应用在有限射影平面中，d e l a n d s h e e r 和 d o y e n 利用这个定理研究了s e m i o v a l s ( 1 9 ) 和极大弧( 2 0 ) 1 。4 3 区传递设计 在区传递设计的这个领域中，关于2 一( v ，k ，a ) 设计，最近有一些新的结果 我们知道，如果t 一设计的自同构群在它的区集合上是传递的，则它是区传递的 ( 2 1 ) 现在旗传递2 一( ，k ，1 ) 设计一定是点本原的( 2 2 ) 但无论如何，区传递 2 一( v ，k ，1 ) 设计不能推出点本原d e l a n d s h e e r 和d o y e h 证明了 定理1 4 3 1 吲设d 是一个区传递，非点本原的2 一( ，后，兄) 设计，则 v ( f 斗1 ) 2 ( i - 1 7 ) 二 r a y c h a u d h u r i 和w i i s o n ( 2 4 ) 证明了一个区传递4 一设计的自同构群是 2 一齐次的，因而是点本原的因此，对于一个区传递，非点本原的t 一设计来说，参 数t 至多为3 在 2 5 中，c a m e r o n 和p r a e g e r 证明了：对于区传递非点本原 3 一( v ，k ，五) 设计，如果a u t ( d ) 保持q 的这样的分划：要么是两个非本原区，要么是 每个非本原区的长都不是2 则一定有 1 ，“( 1 - 1 8 ) l 2 ) 他们利用计算机验证了当尼7 0 时，上述不等式也成立但是对于一般的情形， 这仍然是一个公开问题 猜想1 4 3 2 对于一个区传递，非点本原的3 一( v ，k ，五) 设计来说，一定有 r 七、 v ii + 1 t 2 j ( 卜1 9 ) 当，= 2 时，对于d e l a n d s h e e r d o y e n 的上界，c a m e r o n 和p r a e g e r 证明了下面的： 定理1 4 3 3 【2 5 】设d 是一个2 一( v ，k ，旯) 设计，后3 ，4 ，5 ，8 ，且 v = 聊2 = ( ( 主) 一1 ) 2 , g _ a u t ( d ) 是区传递但非点本原则存在的2 一传递子群正， 疋，使得下面之一成立：。 ( a ) 五疋g a u t ( t , ) a u t ( t 2 ) ： ( 1 2 0 ) ( b ) 正”g a u t ( t i ) w r 最 ( 1 2 1 ) 这里所有出现的设计中的参数旯是很大的设计的数目虽然与s ，中的2 一传 递子群有关，但是，如果次数为m 的2 一传递群只有以和s m ，那么恰好有三个非 同构的设计满足定理的假没对k = 3 ，4 ，5 和8 ，上述分类还没有完成，对这些七的 值而言，m 是素数幂在五= 1 时，分类已经得到( 2 6 3 1 ) 问题1 4 3 4 决定所有区传递非点本原的2 一( ，k ，兄) 设计这里 v = c 毗汹 5 ，s ( 1 _ 2 2 ， 对于区传递非点本原的设计，文献 2 5 ，3 2 - 3 8 中有许多信息我们在此不一 一提及 1 4 4 区本原设计 如果t 一设计的自同构群在它的区集合上是本原的，则它是区本原设计关于 区本原2 一( v ，k ，1 ) 设计，目前有一些结果，k a n t o r 考虑了射影平面这个特别的情形， 得到了 6 定理1 4 4 1 【3 9 】设d 是一个g 阶射影平面，即一个2 一( 9 2 + g + l ，q + l ，1 ) 设计， g a u t ( d ) 是区传递的则下面之一成立： ( a ) d 是d e s a r g u e s i a n ，且p s t ( 3 ，q ) gsp f l ( 3 ，q ) ； ( b ) 1 ，= q 2 + q + l 是一个素数，且g 是v 阶循环或者一个v ( q + 1 ) 阶或者一个 w 阶的f r o b e n i u s 群 d e l a n d t s h e e r 考虑了不是射影平面的情形，他得到了 定理1 4 4 2 【4 0 1 设d 是一个2 一( v ，k ，1 ) 设计，但非射影平面如果g k ，则 b y ( 1 2 9 ) f i s h e r 不等式中等号成立的情形特别有趣味b = ，时的b ( k ，名；v ) 叫对称区 组设计对称区组设计有许多重要而又深刻的性质，将在后面章节中讨论 关于一个b i b 设计与它的补之问的关系，有下述定理 定理1 5 5 1 设d 为一个b ( k ，2 ；v ) ，则d 的补d 是一个 b ( v - k ，b 一2 厂+ 五；1 ，) 关于b i b 设计的研究是从k = 3 的情形开始的我们把一个b o ，五；v ) 叫作v 阶 力重三元系并记作t s ( v ，a ) 力= 1 时的三元系，经m r e is s ( 18 5 9 ) 首创，被叫作 s t e i h e r 三元系1 ，阶s t e i n e r 三元系也记作s t s ( v ) 定义1 5 6 设d = ( v ，b ，) 为一个b ( k ，a ；v ) ，p c b 若v 中每一点都正好与 p 中唯一的一个区组关联，则称尸为一个平行类若b 中全部区组能划分成 ，= 五( v 一1 ) ( k 1 ) 个平行类，则称此b ( k ，a ；v ) 为可分解的并记作r b ( k ，五；1 ，) 可分 解的s t e i n e r 系叫作k i r k m a n 系特别，可分解的s t e i n e r 三元系s t s ( v ) 叫作 k i r k m a n 三元系并记作k t s ( v ) 8 1 6 ，一设计 在本节中，我们要从另一个角度来推广b b 设计的概念下面要研究的是一 类满足正则性、均匀性和，一平衡性条件的有限关联结构 定义1 6 1 设d = ( v ，b ) 为有限关联结构若下列条件满足： ( i ) i v i = v ： ( ii ) 存在常数k ，使对所有b b ，都有k 日= 七： ( iii ) 对给定的正整数t ，存在常数五 0 ，使对y 的任意一个t 元子集s ，都有 冬= 旯 则称d 为一个，- ( v ，k ，a ) 设计，简称，一设计f 一( v ，k ，旯) 常记作岛( f ，k ，v ) 设d = ( v ，b ) 为一个，一( 1 ，k ，兄) 设计如果v 的每个k 元子集都在b 中出现相 同的次数，则称d 为平凡的，一设计例如当1 ，k + t 时，任一f 一( 1 ，k ，五) 设计都是 平凡的 f 一设计的若干特殊类型： ( i ) t = 1 ，l 一设计也叫战术构形或构形 ( i i ) ，= 2 ，2 一设计即熟知的b b 设计 2 一( 1 ，后，兄) 设计通常记作 b ( k ，a ，v ) j ( i ii ) 尼= r ，五= 1 ，卜( 1 ，1 ) 设计也叫完全超图当后= t = 2 时，2 一( 1 ，2 ，1 ) 设 计叫完全图 ( iv ) 名= l ，一( 1 ，k ，1 ) 设计常叫做s t e i n e r 系，并记作s ( t ，尼，1 ，) ( v ) s ( 2 ，3 ，1 ，) 叫三元系，特别地，s ( 2 ，3 ，v ) 叫s t e i n e r 三元系，并记作s t s ( v ) ( v i ) 舅( 3 ，4 ，d 叫四元系，特别地，s ( 3 , 4 , v ) l 口qs t e i n e r 四元系，并记作s q s ( v ) 定理1 6 2 t 1 1 1 设l f 0 使任一点p 的重复度 名2 ， 证：对f = 1 ，由定义可得对f 2 ，由定理1 5 2 与2 一设计的正则性即得结 论 从而一个f 一( v ，k ，彳) 设计有5 个参数v ，b ，厂，k 与允，其中，叫设计的阶，k 叫区 组容量，五叫平衡数，b 叫区组个数，叫重复数，当，= 2 时，2 一平衡数即为平衡 数，t = 1 时，1 一平衡数即重复数 9 推论2 设( v ，b ) 为卜( v ，七，名) 设计，则 吼刊胴 嘲= 删) ( m ( 1 - 3 1 ) ( 1 - 3 2 ) 且当t 2 时， 五( 1 ，一1 ) = 丑( 后一1 ) ( 卜3 3 ) 由于当卜( ，k ，见) 设计存在时，对0 f ， 运算为 ( 口，x ) ( 6 ，y ) = ( a b 口。，x y ) 和f 关于口的半直积g = n x 。f ，也可记为n ：f ，即被f 的可裂扩张 定义2 1 1 9 设g 为有限群，群g 的基柱( s o c l e ) 是指g 的所有极小正规 子群的直积，记为s o t ( g ) 有限群g 称为几乎单群，如果存在非交换单群丁使得 t = s o t ( g ) qg a u t ( t ) 定义2 1 1 1 0g 的导群g 1 是由所有换位子 口。1 b a ba ，b g ) 生成的群 g 1 也是使g k 为交换群的最小正规子群k 我们定义子群列 g = g ( o ) 3 g ( 1 ) g ( 2 ) 3 这罩g 。是g 卜1 的导群，( 汪l ，2 ，3 ，) 称子群列为g 的导群列 设g 为群，称群列 1 = z o ( g ) z l ( g ) 互z 。( g ) ， ( 其中互( g ) 为g 的中心) 为g 的中心群列，如果对任意的n ，乙( g ) 乙一。( g ) 是 g 乙一。( g ) 的中心 如果g 的导群列终止于l ，则称g 是可解的：如果g 的中心群列终止于g ， 则称g 是幂零的 ， 定义2 1 1 1 1 设g 为有限群，称子群日为次正规子群，如果在g 的某个 次正规子群列中出现记作hq 司g 定义2 1 1 12 设g 是群，称g 是拟单的，如果它是完备的( 即g = g ) ，且 g z ( 6 ) 是单群 定义2 1 1 1 3 设g 是群，它的一个拟单的，次正规的子群称为g 的一个分 支 定义2 1 1 14 设g 为有限群，它的阶等于p ”( p 是素数) ，则称g 是一个 p 一群我们知道g 的中心不等于单位 定义2 1 1 15 设p 是素数，z 。是p 阶循环群力是一币整数，称 g = z p x z p z 口 、，- j 坩 为p ”阶初等交换p 群，它同构于g f ( p ) 上的胛一维向量空间的加法群 定义2 1 1 16 设f 为一域，是v = ( f ，甩) 上甩维向量空间y 的全体可逆线 性变换对于线性变换的乘积构成一个群，叫做矿上一般线性群取定y 的一组基 h ，屹，屹，则任意线性变换唯一对应一个刀级可逆方阵a 从而也可将g l ( n ，f ) 视为f 上全体非奇异刀刀矩阵乘法构成的群，考虑g l ( n ，f ) 到乘法群f 的映射 gb - d e t ( g ) ，这是一个满同态，记同态核为： s l ( n ，f ) = g g l ( n ，f ) l d e t ( g ) = 1 ， 称为特殊线性群它是一般线性群的正规子群 记e 为f 上刀级单位矩阵，令z = a e a f ) 为g l ( n ，f ) 之中一f i , ，有： p g l ( n ，f ) = g l ( n ，f ) z ， 称为一般射影群它是疗一l 维射影空间p ( n 一1 ，f ) 上的变换群 进一步，记 p s l ( n ，) = s l ( n ，f ) ( s l ( n ，) nz ) ， 称为特殊射影群，其中，s l ( n ，f ) r 、z = a e a f ，矿= 1 ) 定理2 1 1 1f 1 0 】( 第一同构定理) 设nqg ，mqg ，且n m ，则 m nq g | n ，a 奄0 g n ) ( m n 、) 兰g | m 定理2 1 1 。2 1 1 0 1 ( 第二同构定理) 设h g ，kqg ，则( hnk ) qh ，且 有h k k 兰h ( h n k ) 以上关于有限群和置换群的内容可参看文献 1 0 ，7 卜7 7 2 1 2 群在集合上的作用 定义2 1 2 1 设q = 口，) 是一个有限集合，其元素称为点表示q 上的对称群g 在q 上的作用矽指的是g 到& 内的一个同态，即对每个元素 x g ，对应q 上的一个置换 矽( x ) ：口v - - 口。， 并且满足： ( 口。) y = 口砂，x ，y g ，口q 如果r ( 矽) = l ，则称g 忠实地作用在q 上，这时g 看作q 上的置换群如果 k e r ( 矽) = g ，则称g 平凡地作用在q 上 定义2 1 2 2 瓯= x g l 口= 口。) ，则嚷是g 的一个子群，称之为点口的稳 定子群对于任意的y g ，都有q ，= y q y 定义2 1 2 3 设群g 作用在集合q 上，称二元素口，q 为等价的，记作 口，如果存在x g ，使得口。= 易验证“”关系是q 上的等价关系q 对 “”的一个等价类叫做g 在q 上的一个轨道一个轨道所包含的元素的个数叫 做该轨道的长 1 4 对于口q ，令口g = 缸。i x g ) ，则口g 是包含口的轨道 定义2 1 2 4 如果g 在q 上只有一个轨道，即q 本身，则称g 在q 上的作 用是传递的 定义2 1 2 5 群g 传递地作用在q 上令冬q ，如果对于任意的g g ， 都有a s = a 或gna = o ，则称是g 作用在q 上的一个区显然，q ，空集a 以 及单点集缸) 都是g 的区，则称它们是g 的平凡区如果g 仅有平凡区，就称g 作 用在q 上是本原的 定义2 1 2 6q 上的一个置换就是q 到自身的个一一映射如果我们根 据公式口朋= 似p ) 9 来定义q 上置换p ，q 的乘积，那么q 上的全部置换对于上述运 算构成一个群，称之为对称群，记为s q 并且，s q 的子群称为置换群 定义2 1 2 7 设g 和a 是有限群，q 是一个有限集，称三元组( 彳，g ，q ) 是例 外的，如果它满足： ( 1 ) g 是彳的正规子群： ( 2 ) g 和彳是q 上的传递置换群： ( 3 ) 9 2 q 的对角是g 和彳在q q 上的唯一公共轨道 特别地，称( 彳，g ，q ) 是算术例外，如果存在g b a ，满足( b ，g ，q ) 是例外，且 酬g 是循环的 定义2 1 2 8 设g 是q 上的一个置换群，如果对于任意口q ，都有g o = 1 ， 则称g 是半正则的如果g 是传递的，则称g 是正则的 定理2 1 2 11 7 6 l 设群g 作用在有限集合q 上，口q ，则i 口g l = i g ：瓯i 特别 地，轨道口g 的长是i g i 的因子 定理2 1 2 2 1 1 0 】( f r a t t i n i 论断) 设g 作用在q 上，并且g 包含一个子群， 它在q 上的作用是传递的，则 2 1 3s yio w 定理 g = 瓯n ， v a q ( 2 - 1 ) 在抽象代数中，我们有s y l o w 定理，我们把它们总结成以下三个定理： 第一s y lo w 定理【l 0 】若g 是有限群，p 是素数设p ”g i ，即p ”i l g l ，但+ 1 不 整除i g l 则g 中必存在矿阶子群，叫做g 的s y l o wp 一子群 第二s y l o w 定理o jg 的任意两个s y l o wp 一子群皆在g 中共轭 第三s y lo w 定理1 1 0 j g 中s y l o wp 一子群的个数n 。是| g | 的因子，并且 n p 兰l ( m o d p ) 在群论中的以下两个定理和抽象代数中所学的是一致的 定理2 1 3 ”j 设p 是素数，群g 的阶为p 口门，这里不要求p 和 互素以 n ( p 。) 表示g 中p 口阶子群的个数，则有n ( p 口) 三l ( m o d p ) 特别地有n ( p 口) 1 ，即 g 中存在p 。阶子群 显然，我们可以看出这个定理包含了上面的第一s y l o w 定理和第三s y l o w 定 理为它的特例 定理2 1 3 2 【1 0 1 设g 是有限群，p “1 g i 再设p 是g 的一个p “阶子群，q 是 g 的任一p 一子群，则必存在g g 使q p g 这个定理告诉我们，每个p 一子群都属于一个p “阶子群这就推出g 中的极 人p 一予群必为p 。阶的也就是说，我们以极大p 一子群作为有限群的s y l o wp 一 子群的定义和前面第一s y l o w 定理中叙述的s y l o wp 一子群的定义是一致的另 外，在定理2 1 3 2 中，取q 为另一p 口阶子群，就得到所有s y l o w 子群的共轭性 即第二s y l o w 定理 下面再叙述几个与s y l o w 子群有关的结果，它们在有限群中十分重要 定理2 1 3 3 l l o 】( f r a t t i n i 论断) 设n 司g ，p s y l p ( n ) ，则g = ( ；( 尸) 定理2 1 3 4 【l o 】设p 妙，。( g ) ，h g ( p ) ，则h = 心( h ) 定理2 1 3 5 【1 0 1 设尸是g 的任一p 一子群，n 司g ，且( 1 i ，p ) = 1 则 n g | n o p n | n 、) = n g ( p ) n n 。 2 1 4 传递成分g 定义2 1 4 1 设g 是q 上的一个置换群，简言之：g s q 如果q 的一个子 集满足= g ，我们就说是g 的一个不动区，或者说在g 下不动，这时，每 个g g 诱导出上的一个置换g 由所有g g 诱导出的g 的全体组成的集合 g 称为g 在上的成分g 是上的一个置换群显然，g 专g 是一个同态映 射：gjg 如果这个映射是一个同构映射，即l g i = l g i ，那么成分g 就称为真 实的 显然，g 的两个不动区的交与并还是不动区，对每一个子集r q ，g 的包含 r 的最小的不动区是r g q 上的每个群g 都有平儿不动区西和q 如果g 没有其它不动区，g 称为传 递的否则就成为非传递的当( a ) 是一个极小不动区时，成分g 是传递 的在这种情形，称为g 的一个轨道或传递集 定义2 1 4 2 设g s q ，a5q g 中那些使中每个点都保持各自不动的 置换组成g 的一个子群g 如果只包含一个点口，我们就记g a = 倪 定理2 1 4 1 1 7 6 1 每个点口q 恰属于g 的一个传递集= o f g 两个点口和 属于同一个传递集当且仅当对某个g g ，= 口g 定理2 1 4 2 1 7 6 】如果是g 的一个传递集并且s s n ，那么心是s 一伍的一 1 6 个传递集 定理2 1 4 3 【7 q 对每个g g 和a q ，有g 一1 g g = g 酽特别地，如果g 保 持不动，那么g 铂，g g a 兰g 定理2 1 4 4 m 1 ( 轨道长定理) | c o l f 口6 i = l g f 定理2 1 4 5 【7 6 1 设p 是一个素数，p ”是l 口6 i 的一个因子尸是g 的一个 s y l o wp 一子群那么p ”也是i 口尸l 的一个因子 定理2 1 4 6 【7 6 1 设子群u 瓯具有下述性质：g o 的一个子群v 只要在g 中 与u 共轭，就一定在q 中与它共轭设是u 在g 中的正规化子，如果g 在q 上 是传递的，那么在u 的全部不动点组成的集合上是传递的 定理2 1 4 - 7 6 】在一个传递群g 中，瓯的正规化子在瓯保持不动的点上 是传递的 定理2 1 4 8 7 6 1 在一个传递群g 中，瓯的每一个s y l o w 子群u 的正规化子 在u 保持不动的点上是传递的 2 2 区组设计知识 2 2 1 设计的定义 参数为f 一( ，k ，五) 的一个设计定义为符合以下条件的一对符号( q ，b ) ： ( 1 ) q 是一个1 ，个点的集合： ( 2 ) b 是q 的一组k 一集合： ( 3 ) q 中任意给定的t 一子集都恰好含于b 的兄个成员中 q 的元素称为点，b 的元素称为区组或区用d 表示，一( v ，k ，兄) 设计，用b 表示d 中区的个数，用，表示包含q 中指定点的区的个数我们也称点一区对 ( 口，三) ) 为d 的旗( 7 3 ) 规定：所有参数都为正整数，并且满足v k ，b 中的元素互不相同 在一些文献中，使用了线性空间的概念，用点和线来对应区组设计中的点和 区组，它们实际上是一致的本文中，由于文献的引用，我们也会交替出现不同的 名词 当b = v 时的设计，也就是线性空间中所指的射影平面 2 2 2 关联矩阵的定义 设( q ，b ) 是一个设计，其中 q = 而，x 2 ，x ，) ，b = 骂，b ，境) 1 7 定义矩阵a = ( ) 啪，其中当x j b j 时口f ，= 1 ，否则等于0 称彳为( q ，b ) 的一个关 联矩阵 2 2 3 设计的基本性质 定理2 2 3 1f 7 3 1 一个卜设计d 也是一个s 一设计( 1 s f ) 如果d 作为卜 设计的参数a t 一( 1 ，k ，a ) ，则它作为s 一设计的参数是s 一( v ，k ，以) ，且 名。：旯! ! 二丛! 二兰= 坠尘! 业 ( 2 2 ) 5 ( 七- s ) ( k - - s - 1 ) ( 七一f + 1 ) 推论记凡= 6 = i b l ，= ，则 ( 1 ) b ：五坐二! l ! ! 二! 业： k ( k 一1 ) ( 后一f + 1 ) ( 2 ) b k = w ： ( 3 ) r ( k - 1 ) = 如( v - 1 ) 特别地，当t = 2 ，五= 1 时，我们有 6 ：v ( v - d ，：盟 k ( k 1 ) k l 而且还有下面几个重要的关于区组设计的定理： 定理2 2 3 2 7 3 1 设g 作用在2 一( v ，k ，1 ) 设计d = ( t a ，b ) 上区传递， 在d 上也是点传递的 定理2 2 3 3 【7 3 】g 是旗传递可推出g 点本原 定理2 2 3 4 1 7 3 1g 区传递且后i v ，则g 旗传递 2 2 4 设计的自同构群 ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 则g 作用 定义2 2 4 1 设计( q ，b ) 的一个自同构是指具有下述性质的的一个置换： 如果b b ，则万( b ) b 显然一个设计的所有自同构组成一个群，称为这个设计 的自同构群，记为a u t ( d ) ，这里d 表示该设计 由 7 3 中引理3 4 2 知，一个f 一设计( q ，b ) ( t 2 ) 的自同构群在b 上作用是 忠实的 以后我们用d 表示一个，一设计( q ，b ) o 2 ) 结合前面传递和本原的定义，我们引入点传递( 本原) 和区传递( 本原) 的定 义 定义2 2 4 2 设g a u t ( d ) ，如果g 作用在q ( b ) 上是传递的，则称g 是点 1 8 ( 区) 传递的：如果g 作用在q ( b ) 上是本原的，则称g 是点( 区) 本原的如果g 作 用在d 的旗集合上是传递的，则称g 是旗传递的这罩旗表示点一区对 ( 口，b ) ( 口q ，b b ) 2 3 本文所用符号 本文所用的符号是标准和规范的： h g h 司g l g i d ( g ) h 兰g s o t ( g ) g ( h ) g ( ) z ( g ) n h n ：h n ：h x 0j 厂 【m 】 乙或m p 7 i f i z p 一或 g f ( q ) f p g ( n ，g ) g f ( n ，g ) f i x ( h ) 缈( 疗) g 最 4 ， 见 日是g 的子群： 日是g 的正规子群： g 的阶： g 的阶： 由元素g 生成的群： 日同构于g ： g 的基柱： 日在g 中的正规化子： 日在g 中的中心化子： g 的中心： 和h 的直积： 和日的半直积： 群被群日的可裂扩张： x 被】，的不可裂扩张： 阶为m 的任意群： 阶为m 的循环群： p 7i 疗，但p ”1 不整除n ： 阶为p ”的初等交换p 一群： g 个元素的有限域： 域，中的非零元： 域g f ( q ) a 2 的刀维射影空间： 域g f ( q ) 上的刀维仿射空间： 日作用在一个集合上稳定的点的集合； 欧拉函数： g 的导群： 门个元素上的对称群： 刀个元素上的交错群： 刀阶二面体群： 1 9 瓯 缉 f i x n ( k ) f p ( g ) 么，干b ( f = 1 ，2 ，朋 ) 2 4 本章小结 点口的稳定子群： 线的稳定子群； 子集k 的不动点集合： 群中的对合，即二阶元： g 中的对合的个数： 么与b 的圈积 本章介绍了群论和组合设计的基本概念和相关定理让读者对子群、同构、 同念、j 下规子群、传递成分、s y l o w 定理、群在集合上作用及其性质有初步的了 解，并讨论了一些特殊群的构造而对于设计，我们给出了其点本原、点传递、 区本原、区传递等相关结论，这些知识是本论文的理论基础 2 0 硕士学位论文 第三章2 - ( v ，k ，允) 对称设计的旗传递点本原自同构群 第三章2 一( v ，七，五) 对称设计的旗传递点本原自同构群 3 1 引言 在这一章里， 我们讨论旗传递的2 一( 1 ，k ，3 ) 对称设计e u g e n i a 等讨论了旗 传递的2 一( v ，k ，2 ) 对称设计，并得到了两个主要定理( 6 8 ，7 0 ) ： 定理3 1 11 6 剐g 是参数为2 一( ，k ，允) 的非平凡对称设计d 的旗传递点本原 自同构群，当五3 时，g 只能是仿射的或几乎单的 定理3 1 2 1 7 u j 双平面的旗传递，点本原自同构群只能是仿射的或几乎单的 而在几乎单群中，基柱不能为例外l i e 型群 e u g e n i a 主要考虑了五= 2 的对称设计，在这一章里，我们设g 是几乎单的 本原群，且t 睁g a u t ( t ) 及丁是非交换单群考虑了g 旗传递作用在非平凡 2 - ( v ，k ，3 ) 对称设计上时，丁为李型单群2 只( 9 2 ) ，g ：( g ) 群和3 q ( 9 ) 群的情形，并 且也考虑了g 旗传递作用在非平凡2 一( v ，k ，4 ) 对称设计上的约化证明即下面的 定理： 主要定理 ( 1 ) 设g 是非平凡2 一( v ，k ，3 ) 对称设计的旗传递点本原自同构群， 则g 的基柱不能为2 只( 9 2 ) 群，g ：( g ) 群和3 b ( g ) 群 ( 2 ) 设g 是非平凡2 一( ，k ，4 ) 对称设计的旗传递点本原自同构群，则g 只 能是仿射的或几乎单的 在第二节中，我们给出李型单群2 ( 9 2 ) 群，g ：( g ) 群和3 d 4 ( g ) 群的基本结构， 性质和结论以及本原群的相关引理在第三节中我们对主要定理进行证明 3 2 预备知识 在这一节，我们将提供李型单群2 只( 9 2 ) ( 9 2 = 2 2 肘1 ，船1 ) ，g 2 ( g ) 群 ( g = p 7 ，f 1 为素数方幂) 以及3 d 4 ( g ) 群( g = p f , f 1 为素数方幂) 的关于阶，子 群和极大子群的一些信息和结论，并给出了本原群的相关引理知识，所有这些信 息都是非常重要的，它们是定理证明的主要依据一切论证工作都是依照它们而 进行的 3 2 1 例外的定义和结论 设g 和a 是有限群q 是一个有限集合一个三元系( 么，g ，q ) 称为是例外的 2 l 硕士学位论文 第三章2 - ( v ，k ，五) 对称设计的旗传递点本原自同构群 ( e x c e p t i o n a l ) 如果它们满足以下条件： ( 1 ) g 是a 的正规子群： ( 2 ) a 和g 都是q 上的传递置换群： ( 3 ) a 和g 在q f 2 上的相同轨道只有q q 中的对角，即 ( 口，口) i 口f 2 我们称三元系( 彳，g ，q ) 是算术例外的，如果a 的一个子群b 包含g ，使得 ( b ，g ，q ) 是例外的，并有纠g 是循环群当彳是一个几乎单的本原置换群 时，g u r a l n i c k 等( 7 0 ) 获得它们的分类特别地，当s o c ( 彳) 有l i e 秩不小于2 时，有下面的引理： 引理3 2 1 1 【7 8 】设g 是一个几乎单的本原群，并且l 司a a u t ( l ) ，这旱三 是非阿贝尔( 交换) 单群假定存在a 的子群b 和g ，使得( b ，g ) 是例外的，其中 g 在彳中是正规的，b g 循环的令m 是a 的一个稳定子群假定三的李秩2 ， 且l s p 4 ( 2 ) 7 兰雕己：( 9 ) 那么mr 、三是一个子域群，即一个阶为奇素数，的域自同 构群在上中的中心化子并且 ( i ) ，p ( 这里p 是域的特征) ： ( i i ) 如果，= 3 ，那么三是s p 4 ( q ) 型群且g 为偶数： ( i i i ) 不存在a u t ( l ) 稳定