（基础数学专业论文）算子李代数.pdf

摘要 李代数的抽象理论中很多重要的概念都来源于经典群论，完备李代数便是一个例 子本文想法的直接背景是群论中的算子群理论。如同算子群在群论中的作用一样，算 子李代数的引入将李代数申诸多子概念统一了起来在这篇文章里，我们将李代数理论 中的诸多概念加以推广，并初步地探讨了算子李代数的性质，最后还给出了算子李代数 的一个分解定理，其唯一性也得到了证明 关键词：算子李代数；分解定理；q 一导子；q 一射影； a m s2 0 0 0 ：1 7 8 6 0 1 1 a b s t r a c t m a n yo fl m p o r t a l l tc o n c e p t si nt h et h e o r yo fd b s t r a c tl i ea l g e b r a sc o m ef r o mc l a s - s i c a lt h e o r yo fg r o u p s ，f o re x 枷p l e ，c o m p l e t el i ea l g e b r a si sag e n e r 越i z a t i o no fc o m p l e t e g r o u p s ，t h em o s td i r e c ti d e a so ft h i sp a p e ri st h eo p e r a t o rg r o u pt h e o r yi ng r o u p - t h e o r y r a st h ec o n c e p to fo p e r a t o rg m u p 8 ，o p e r a t o rl i e 缸g e b r a su n i 丘e sm a l l yi d e a s 龇l dc o n c e p t s i nt h i sp a p e rw ei n t r o d u c es o m en e wd e f i n i t i o n s ，t h e ya r et h eg e n e r a l i z a t i o n s o ft h o s ec o n c e p t si nl i et h e o ry ，a n dw ed i s c u s si n i t i 以】yt h ee l e m e n t a r yp r o p e n l e so f o p e r a t o rl i ea l g e b r a s f i n n l y t h ef a m o u sj o r d a n h 6 l d e rt h e o r e ma n dt h eu n i q u e n e s s o fd e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fo p e r a t o rl i ea l g e b r a sa r ep r 钾e d k e y w o r d s ：o p e r a t o rl i e 出g e b r a ；d e c o m p o s i t j o nt h e o r e m ；n d e r i v a t i o n ；n p r o j e c t i o n a m s2 0 0 0 ：1 7 8 6 0 i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： i ：l 望 日期： 坦! ：! ：1 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：j ：缱望l 指导教师签名：j ! 塞i 日 期：沁墨：1 7 日期：丝! ! ：! ：型 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： c h a p t e r l i n t r o d u c t i o n t h et h e o r yo fl i ea l 聆b r a s ，w h j c hw a si n i t i a t e db yt h en o r w e g i a nm a t h e m a t i c i a n m 盯i u ss o p h u sl i e ，o r i g i n 出l ys e r v e da sat o o l i i lt h ea n a l y s i so ft h el o c a ls t r u c t u r e o fc o n t i n u o u sl i eg r o u p s s o ，t h e r ei sc 1 0 8 ec 咖n e c t i o nb e t w e e nl i e “g e b r a st h e o r y a n dg r o u p st h e o r y lt h eb a s i cc o n c 印t sa n di d e a si nt h et h e o r yo fl i ea l g e b r a sh a ea g m u p t h e o r e t i cf l a 阳r t h em o s ti m p o r t a j l ta d 、彻c ei nt h e 矗n i t 争d i m e n s i o n 出c a s e w 船m a d eb yw k i l l i 醒a n de c a r t a na tt h ee n do f t h e1 9 饥c e n t l l r yw h og a wt h e c e l e b r a t e dc l a s s i 矗c a t l o no fs i m p l e 铀i t 争d i m e n s l o n a ll i ea 1 只e b r a s0 v e rt h e 矗e l dco f c o m d l e xn u m b e r s ，t h ei n 6 n i t e - d i m e n s i o n a lc a s ew a ss t u d i e db ye c a r t a j li nas e r i e 8 p a p e r 8w t i t t e ni nt h eb e g 虹i n g t h e2 0 擤c e i l t u r m t h et h e o r yo fg r o u p 8i st h eo l d e 8 tb r a n c ho fm o d e ma l g e b r a i t s0 r i 百n s 盯et o b ef 0 1 1 i l di nt h ew o r ko fj 0 s 印hl o u i sl a g r a g e ，p a u l or u 髓n i ，a n de 、w i s t eg a l i o s o nt h et h e o r y0 fa j g e b r a i ce q u a t i o n 8 n e v e r t h e l e s sm a n yo f 地ef u n d a m e b t a li d e a so f g r o u pt h e o r yw e r ei n t r o d u c e db yt h e 8 ee 甜l yw o r k e r 8a n dt h e i r8 u c c e 8 s o r s ，l u d w i g s y l o w ，c m i l l ej o r d a ，f e l 玫k l e i n ，g e o r g en o b e 工1 i 璐，1 8 8 a is h c u r ，m c h a r dd a g e - b e r tb r a u e ra m o n go t h e r s t h em o s ti m p o r t a n ta d v a n c ei nt h et h e o 珂o fg r o u p si s c 1 8 s s 讯c a t i o n0 f6 i l i t es i m p l eg r o u p sw h i c l lw a sc o m p l e t e l yd e t e r m i n e di n1 9 8 1 a s t h eb r a n c ho fm o d e ma l g e b r a ，t h et h e o qo fg r o u p 8b 8 sd o s e dc o n n e c t j o nw i t ht h e t h e o r yo fl i ea l g e b r a s i t h el i et h e o r y s o m ec o n c e p t sc o m ef 如mt h et h e o r yo f g r o u p s ，f o ri n s t a n c e ，c o m p l e t el i e 出g e h a 8i 8ag e n e r a l i z a t i o no fc o m p l e t eg r o u p s i nl a s tt w e n t yy e a r s ，m 缸i yi m p o r t a tr e s u l t so fc o m p l e t el i ea l g e b r a sa l s oh a v e b e e n o b t 如l e db ym e n gd j ia n dh i ss t u d e n t s ( s e e ( 1 3 】- 1 8 ) i nt h et h e o r y g r o u p s ， t h ec o n c e p to fa no p e r a t o rg r o u pu n i 矗e 8m a yp r e v i o u si d e a l s8 n dc o n c 印t s ，f o ri n - s t a n c e ，f u l l y i n 瑚i a n ts u b g r o u p s ，c h a r a c t e r i s t i cs u b g r o u p s ，a n dn o r m a ls u b g r o u p s t h e r ei sa l s oad e f i n i t ea d 伽t a g ei 1 1p r o “n gr e s u l t sf o ro p e r a t o rg r o u p sr a t h e rs i m p l yf o rg r o u p s l e tgb eag r o u p ，ar i g h to 胆m t d r9 m t pi sat r i p k ( g ，q ，口) c o n s i s t i n go fa g r o u pg ，as e tn c a l l e dt h e 叩e m t d rd o m d 概a n daf u n c t i o n o ：g qhg 8 u e ht h a tt h em a p p i n gz 卜a 扛，u ) i sa ne n d o m o r p h i 8 mo fgf o re a c hu q ，w e s h a l lw r l t eu ( z ) f o r ( z ，u ) a n ds p e a ko ft h e 睡9 阳印gl ft h ef u n c t i o ndi su n d e r - s t o o d ( s e e 3 ，p 2 8 】) 1 i nt h i sp a p e rs o m ec o n c e p t so ft h et h e o r yo fg r o u p sw i l lb ei n t r o d u c e da n dw e w i l lc h a r a c t e r i z es o m ep r o p e r t i e so nt h e s ec o n c e p t s ，i np a r t i c u l a r ，o n 睡l i ea l g e b r a s w e1 1 0 ws t a t es o m ec o n c e p t sa n dr e s u l t si nt h e o r yo fl i ea l g e b r a su 8 e di n t h i 8p a p e r d e 矗n i t i o n1 1 a s u b a l g e b r aho fal i ea l g e b r agi ss a i dt ob e 。m f f 一i 凡 。n o 扎ti n gi fa ( h ) h d ra u 口e n d g ，c 危o r 口e 亡e n s t 。ci ngi f 口( h ) shf o ra l lq a u t g ， a n d 佗d m 削i ngi fa ( h ) hf o ra l l 口i n t g n o t i c et h a 七i fhi sc h a r a c t e r i 8 t i ci ng a n da a u t gt h ea ( h ) m u s ta c t u a l l ye q u mhs i n c ea ( h ) sha n d 口一1 ( h ) sh d e 矗n i t i o n1 2as u b a k e b r ano fal i em g e b r agi ss 缸dt ob ec o m c t e 协t i ci d e o o fgi fa ( n ) nf b ra l ln d e r g ，a n di d e do fgi fa ( n ) nf o fa h 瘦a d g d e f i n i t i o n1 3 ( c f 【3 ，p 6 4 】)l e tab eap 小i a l l yo r d e r e ds e t w bs a yt h a tas a t i s f i e s t h e s c 8 n 击礼9c 矗o i 竹c d 竹威抚o ni ft h e r ed o e sn o te x i 8 ta ni n 丘n i t ep r o p e r l ya s c e n d i n g d l a i na 1 a 2 i na i n 如c tt h i sp r o p e r t ya n d s a t i s 母i n gt h em a 越m a lc o n d i t i o n a r ei d e n t i c a l _ i na ne n t i r e l ya j l “o g o u sw a yt h ed e s c e n 威础c n 汛c 0 礼出t i o 他i 8d e f i n e d a n di ti si d e n t i c a lw i t h t h em i n i m a lc o d 出t i o n ” d e 丑n i t i o n l 4l e tg b ea l i ea l g e b r a ，h 1 ，h 2 ，- 一，ka r es u b a l g e b r 8 so fg ，t h e n g i sc 越l e dt h e 威僦t 删mo fh 1 ，h 2 ，i h 8i ft h ef o h o w i n gc o n d i t i o n sa s a t i s 丑e d ： ( 1 )茁= 。1 + 勋+ + ，f o ra l lz g ，甄h t ，i = 1 ，一，s ； ( 2 ) e v e r yzi ng c a b e1 m i q u e l yw r i t t e ni nt h ef o r ma si n ( 1 ) ； ( 3 ) k ，巧】= o ，l h ，i j 1 ，s ) r e 瑚_ a r ki ti sc u s t o m a r yt ow r i t eg = h 1o h 2o - 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疗n ea d z 札虎i c 6 e 如礼茸雷t og l ( g ) 0 5 ，d f 抽叫s ： o d z ( ! ，) = k ，引，坳g 确em 印硇姆a d ：茁_ 口缸妇nr 印他s e 竹t 娩。扎d ，g 吼dk e r ( a d ) = c ( g ) p r o p o s i t i o n巧g 妇口l 钯。幻e 6 r 口d w e r 口正e 材f ，t e 扎 ( 1 )血脚一伽廿州n 埘删6 8 幻e 6 代培口他c 危口m c t e 临龋c 彻dc 矗。他c 把“s 托c8 u 6 幻e 6 m s 凸，笆礼d ? m n 己 ( 2 )托f 蚺t 竹可口州n 扎t ，c n 他c t e n s 以c 口n dn d ”n 口f 口他t r 珏礼s t t i e 他k t i d 船f i s 曲 n 。打e 如ri d e 口括) ( 3 ) c n m c t e n “ci d sn 他 d e n b ( 4 ) i d bn 7 n d n o z ，加 e 仃c h a r f = 0 p r o o f ( 1 ) ( 3 ) 8 r ec l e a ra n d ( 2 ) f 0 1 1 0 w sf r o mt h ef a c tt h a tt h er e s t r i c t i o no f e n d o m o r p h i s m ，a u t o m o r p l l i 锄a n di i l n e ra u t o m o m h i s mt oaf u l l y _ i n 、，a r i a n t ，c h a r a c t e r i s t i ca n dn o r m ms u b a l g e b r ai 8a ne n d o m o r p h i s m ，a u t o m o r p h i s ma n di n n e r a u t o m o r p h i s mr e s p e c t v e l y ( 4 ) f o u a w sb yl e m m a l 1 口 3 c h a p t e r 2 b a s i cc o n c e p t s i ng r o u pt h e o r yag r o u p1 ，i t has e to fo p e r a t o r sw h i c l la c to nt h eg r o u p1 i k ee n d o - m o r p h i s m si sc a l l e do p e r a t o rf o u p b ya n a l o 日w e s h a l l 百v ean e wd e f i n i t i o n ，t h a t i sc “l e do p e r a t o rl i e 出g e b r a 2 1 d e f i n i t i o n sa i l de l e m e n t a r yp r o p e r t i e s i nt h i ss e c t i o nw ei n t r o d u c eav e r yu s e f u lg e n e r a u z a t i o n0 ft h ec o n c e p to fal i e a l g e b r a i ti sr e l a t e dt ol i ea 1 r e b r a sa s “0 p e r 眦o rg r o u p l r e l a t e dt og r o u p s d e i i n i t i o n2 1 1ar i g 皿o p e m t o r 己i e 口幻e 6 7 u i sat r i p l e ( g ，q ，o ) c o n s i s t i n go fa l i ea l g e b r ag ，a8 e tqc a u e dt h eo 卵他t 。rd o 仇。饥a n daf u n c t i o n 口：g q h g s u c ht h a tt h em a p i 矗n gz 卜斗n ( z ，u ) i 8a nl i ee n d o m o r p h i s mo fgf b re a c hu q ， w es h a u 、 r r i t e u ( z ) 五d r n ( z ，u ) a n ds p e a k0 f t h e q 一三妇口匆e 厶mg i f t h e f u n c “0 n 口i s u n d e r s t o o d t h u s 蛐o p e r 8 t o rl i ea l g e b r ai sal i ea l g e b r aw i t ha8 e to fo d e r a t o r s w h i c ha c to nt h el i e8 l 星舄b r al i k ee n d o m o r p h 主锄s b l n c ea n yl l ea 上g e b r ac a nb er e g a r d e da sa n0 p e r a t o rl i ea l g e b r aw i t he m p t y o p e r a t o rd o m 山，a no p e r a t o rl i ea l g e b r ai sag e n e r a l i z a t i o n0 fal i e “聆b r a t h e c o n c e p to faf 矾d p e m t d r 三i e 口函e 6 mi 8d e 矗n e di nt h eo b v i o u s w i ti sp o s s i b l et og e n e r a l i z et oo p e r a t o rl i e a l g e b r a si n a n yo ft h ec o c e p t sw h i c h h a ea i r e a d yb e e nd e 矗e df o rl i ed g e b r a s d e 6 n i t i o n2 1 2i fgi sa nn l i ea l g e b r a ，a nq s 让6 口匆e b mo fgi sas u b a j g e b r a hw h i c hi sq 口d m 协i 6 如，t h a ti s ，s u c ht h a t “( z ) hw h e n e v e rz ha n du q c l e a r l ye v e r yn s u b “g e b r ai si t s e l fa n d 阽l i ea l 船b r a t h ei n t e r s e c t i o no fa8 e to f 【2 一a l g e b r a si sa nq l i e “g e b r a t h j sp e h n i t su st od e 6 n et h eq s 让6 a 冶e 6 m 口e 他e m t e d 切口加札e 竹妒扫s “6 s e tx8 st h e 主n t e r s e c t i o no fa 1 1t h eq s u b a l g e b r a sc o n t a i n i n gx t h i sm a yb ew r i t t e n 础 t h en o t a t i o nn 司5 。gs i g n i 6 e st h a tni 8g i d e 8 lo fg t h 8 ti s ，a ni d e a ln g i sc a l l e dq 一 d e a fi fni sn a d m i s s i b l e i fni sa nq i d e a l ，t h eq u o t i e h ta l g e b r ag n b e c o m e sa n52 一口“d 托e 佗to 匆e 6 mi fw ed e f i n eu ( n + x ) = n + u ( x 1 d e n n i t i o n2 1 3a n q 一九o m d m 。印 拈m ：g 。_ + hi sah o m o m o r p h i s mb e 钾呜e nq l i e 4 a l g e b r aga n dq l i ea l g e b r ahs u c ht h a t a ( z ) ) = u ( 乜( 。) ) f o r 甜lx ga n du q t h es e to fd lq - h o m o i n o r p l l i s mf r o mgt ohi sw r i t t e n h o m n ( g ，h ) w bc a n 出8 0s p e a ko fq e 礼d d m o 叩 诂m s ( = n - h o m o m o r p h i s m s 行o ma q l i ea l g e b r at oi t s d f ) a n dq 吨珏o m o 仕h 妇m s ( = b 萄e c t i v ef e n d o m o r p h i s m s ) t h e s e f o r ms e t se n d n ga n da u t n g ；c l e a r l ye n d n g 互e n d ga n da u t n g 兰a u t g t h e s ”n b o l 竺nm e a n s “n i s o m o r p h i s m ” w i t ht h e s ed e f i n i t i o n si ti sp o s s i b kt oc 盯r yo v e rt oq l i ea k e b r a st h et h 争 o r yo fh o m o m o r p l l i s m 8a n dq u o t i e n t a j g e b r a sd e s c r i b e di nb a s i c “et h e o r y ( 【s e e 1 ，p 7 ；2 ，p ，l3 ) t h u s t h e o r e m2 1 1 ( f i r s ti s o m o r p h i s mt h e o r e m ) ( 1 )可口：gh h 妇nq 一九d m o m o 印 妇仇。，f 2 l eo 幻e 6 m s ，t 砘m 唧巾i 哪 曰：k e r o + zh o ( z ) 妇口nq 一诂d m o 印 诂mj 如mg k e r ( q ) 幻i m a ( 2 )f n 拈g nq i d 2d ，鲫皿工诧。西e 6 mg ，t em 唧i 唧7 r ：zh n + z 妇 a nf l 印t m o 印 妇m ，而mgt og n 叫t 地盘e r 礼e ln ，( 她诂丌i sc n f 把dt 地礼n 执m fo r c n o 扎i z o m o m o 印胁5 m ) p r o o f ( 1 ) l fz k 啪，t h e n 一( z ) k e r as i n c e ，( 石) ) = c 。( ，( 。) ) = ob y d e 矗n i t i o n 2 1 2 ，t h e r e f o r e ，k e r nq n g n o r w 口i sw e l l - 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