（基础数学专业论文）具有平衡项的平均曲率流的发展渐近性状.pdf

中文摘要 摘要 曲率流是微分几何与几何分析研究领域的一个重要研究课题，也是一个热点 问题，其研究受到国内外数学家的广泛关注本文就具有平衡项的平均曲率流的 发展渐近性状进行了探讨 第一部分简要介绍曲率流的研究背景以及本文的研究内容 第二部分回顾了平均曲率流的基础知识，包括短时间存在性，发展方程，凸性 估计以及凸超曲面的一些基本事实 第三部分是本文的主要内容，讨论了紧致超曲面的具有平衡项的平均曲率流 的发展渐近性状首先，若平衡项有上界，具有第一类奇异点的平均曲率流是渐近 自相似的其次，若上界足够小，这样的凸平均曲率流和著名平均曲率流有相同的 性质 关键词：曲率流；平衡项；渐近性状；奇异点 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t c u r v a t u r ef l o wi sa ni m p o r t a n ts u b j e c to nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dg e o m e t r i c a n a l y s i s i ti sa l s oah o ti s s u ea n db e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yb ym a t h e m a t i c i a n sa td o m e s t i ca n da b r o a d t h et h e s i si sm a i n l yt os t u d ya s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h em e a n c u r v a t u r ef l o ww i t haf o r c i n gt e r m i nt h ef i r s tp a r t ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fc u r v a t u r ef l o wa n dt h e c o n t e n t so ft h i st i l e s i s i nt h es e c o n dp a r t ，w er e c a l lt h eb a s i ck n o w l e d g eo fm e a nc u r v a t u r ef l o w , w h i c h i n c l u d e st h es h o r tt i m ee x i s t e n c e ，e v o l u t i o ne q u a t i o n s ，c o n v e x i t ye s t i m a t e sa n ds o m e w e l l k n o w nf a c t so fc o n v e xh y p e r s u r f a c e s a s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h em e a nc u r v a t u r ef l o wo fc o m p a c th y p e r s u r f a c e sw i t ha f o r c i n gt e r mi ss t u d i e di nt h et h i r dp a r t i ti ss h o w nt h a tt h ef o r c e dm e a nc u r v a t u r ef l o w o f t y p e is i n g u l a r i t yi ss e l f - s i m i l a ri ft h ef o r c i n gt e r mi sb o u n d e df r o ma b o v e m o r e o v e r , i ft h eu p p e rb o u n do ft h ef o r c i n gt e r mi ss m a l le n o u g h ，w ec a np r o v et h a ts u c hc o n v e x f o r c e dm e a nc u r v a t u r ef l o wh a st h es a m ep r o p e r t ya st h a to ft h ew e l l k n o w nm e a n c u r v a t u r ef l o w k e yw o r d s ： c u r v a t u r ef l o w ；f o r c i n gt e r m ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r ；s i n g u l a r i t y i l 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：闺犬j j f 签名日期：卅年易月b 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 日期：枷年二月b 日 日期：年月日 1 1 曲率流的研究背景 1引言 子流形的曲率流是微分几何与几何分析研究领域的一个重要研究课题，也 是一个热点问题，其研究受到国内外数学家的广泛关注就平均曲率流而言， 它源于b r a k k ek 【3 】在上个世纪七十年代末对曲面的平均曲率流所做的研究 接着h u i s k e ng 1 6 1 7 】对欧氏空问中凸超曲面的平均曲率流做了研究之后，他 又研究了保体积的平均曲率流，与e c k e rk 7 8 1 合作研究了完全图的平均曲率 发展以及超曲面的平均曲率内部估计a n d r e w sb 【2 】于1 9 9 4 年研究了欧氏空间 中凸超曲面的收敛性1 9 9 5 年，h a m i l t o nr 0 5 研究了平均曲率流的h a r n a c k 估 计。1 9 9 9 年，h u i s k e ng 和s i n e s t r a r ic 【2 0 】研究了平均凸曲面的平均曲率流及其 凸性估计2 0 0 0 年，g e r h a r d tc 1 0 l l 】运用曲率流的方法研究了很多类具有给 定w e i n g a r t e n 曲率的类空超曲面的问题2 0 0 1 年，c h o wb 和c h us 5 1 通过定义一 个时空轨道上的退化度量，以及这个退化度量的相容联络，把所研究的发展超 曲面看作是该时空轨道的子流形，则子流形的仿射第二基本形式即为超曲面曲 率流的h a m a c k 量2 0 0 2 年，s m o c z y kk 【2 9 】在一定条件下给出t l a g r a n g i a n 平均曲 率流的极限性质，美国数学会与国际出版社( a m s i p ) 联合出版了z h ux f 3 4 1 题为 ( l e c t u r e so nm e a nc u r v a t u r ef l o w s ) ) 的专著次年，m c c o yj 2 5 , 2 6 1 研究了保面积 的平均曲率流，一年后又研究了保混合体积的平均曲率流同年，g e r h a r d tc 【1 2 ，”】 利用逆平均曲率流研究了从b i gc r u n c h 至l j b i gb a n g 的转移问题，c h e nj 和“j 【4 】 研究t l a g r a n g i a n 平均曲率流的首次奇异时间的切锥性质，s m o c z y kk ，w a n gg 。 和x i ny 【3 0 】等还研究了欧氏空间中非紧子流形的图平均曲率流和b e r s t e i n 问题 2 0 0 5 年，s c h u l z ee 【2 7 】对凸超曲面的幂平均曲率流发展做了研究，x i ny 3 3 1 研究了 欧氏空间或m i n k o w s k i 空间中具有凸的g a u s s 像的子流形的平均曲率流2 0 0 6 年， l ig 【2 3 1 证明了【5 】的结果对于高余维子流形的曲率流仍然成立，而且将上面所说 的具有特殊平衡项的平均曲率流做了推广【矧，研究了平衡项 ( 亡) 是f o ，o o ) 上的非 负常数的情况，得出了平均曲率流随着时间亡发展的三种情形 本文在此基础上主要研究平衡项九( 亡) 是【0 ，o l 。) 上的非负有界光滑函数的平均 曲率流及其发展渐近性状，推广了一类具有平衡项的平均曲率流 湖北大学硕士学位论文 1 2 本文的研究内容和组织结构 设m n 是佗( 竹2 ) 维光滑紧致无边流形，凰：m 竹_ 形+ 1 是m n 到舻+ 1 的光 滑浸入考虑关于方程 毒裳j x ( z ，t ) = 危 ) 一日( z ，亡) ) v ( z ，t ) ，z m n ， ( 1 2 1 ) ix ( ，0 ) = ， 的光滑映射五= x ( ，亡) 其中日是m t = x t ( m 竹) 的平均曲率，v 是其单位外法 向量，允( 亡) 是 0 ，。) 上的非负光滑函数曲率流方程( 1 2 1 ) 是严格抛物方程，由文 献【1 9 1 易知其短时间存在性因此，对于某个u 0 ，可以假设在最大时间区 间f 0 ，u ) 上发展方程( 1 2 1 ) 存在光滑解 如果h ( t ) = 0 ，方程( 1 2 1 ) 就是文献 1 6 ，1 8 研究的平均曲率流，它在 有限时间内存在，且其第一类奇异点是渐近自相似的由文献 1 6 1 矢h ， 对于凸初始超曲面，平均曲率流在有限时间内收缩于一点经过法化 后，其重新参数化的解一直存在且一致收敛于球面如果九( 亡) 是舰上平 均曲率的平均值，a p h ( t ) = k 鼠咖t k 批t ，其中毗c 是尬的面积元 由文 献【1 7 1 矢h ( 1 2 1 ) 是保体积的平均曲率流文献 2 5 研究了保面积的平均曲率流， l l t 时h ( t ) = f m t 研d t t t f m th t d # t 如果九( 亡) = k 日取+ 1 饥e k + l d # t ，k = 一1 ，0 ，1 ，n 一1 ，其中岛是关于舰的主曲率的第f 个基本对称函数，由文 献【2 6 矢h ( 1 2 1 ) 是保混合体积的平均曲率流概括起来，后面三个曲率流的共 同特征是，它们一直存在且一致收敛于球面如果h ( t ) = 常数，文献 2 4 】研究了此 平均曲率流，得出了三种可能的结果 为了刻画极限超曲面的形状，本文采用文献【1 6 ，2 4 的法化方法对于任意时 间t ，只要方程( 1 2 1 ) 的解x ( ，亡) 存在，设砂( 亡) 是一个正因子，使得由 x ( x ，t ) = 妒( t ) x ( z ，t ) 给定的超曲面庇= 爱( m n ) 的面积等于的面积l l l 叩 i = 厶帆v 蚓呲) 2 选取新的时间变量7 = 妒2 ( 刁冱后，对于不同的最大时间区间o 7 - 面，毫满足 发展方程 番贾( z ，7 - ) = 无( 丁) 一疗( z ，7 - ) ) ( z ，7 ) + 丢舀又( z ，7 - ) ( 1 2 2 ) ix ( ，0 ) = ， 其中元= 妒一l h ，豆= 矽一1 h ，亏= v ，舀= 矽一2 口且 紫 在文献 2 4 】中，已经证明了存在时间序列_ 正) ，正 o ，u ) ，使得i o o 时， 乃一u ，且相应的序列 他= 妒( 正) ) 满足 2 l ；i m u 矽( t i ) = a 于是得到下面的定理 定理a ( l ig 2 4 1 ) m o 是船+ 1 的光滑紧致严格凸浸入超曲面，则在最大时间区 间 0 ，u ) 上，发展方程( 1 2 1 ) 存在唯一光滑解设平衡项h ( t ) 是非负常数，那么 ( 1 ) 如果a = o o ，则u o o t _ u 时，曲率流( 1 2 1 ) 一致收敛于一点而 且，对于任意时间0 7 - o o ，法化方程( 1 2 2 ) 有解x ( z ，7 - ) ，7 - _ o 。时，超曲 面m ( x ，r ) c 拓扑收敛于面积为i m o l 的球面 ( 2 ) 如果0 a o 。，则u = o o t _ o o 时，方程( 1 2 1 ) 的解一致c o o 拓扑收敛 于球面 ( 3 ) 如果a = 0 ，则u = o o t o o 时，方程( 1 2 1 ) 的解一致发散到o o 而且，如 果法化方程( 1 2 2 ) 的解收敛于光滑超曲面，则极限超曲面必是面积为i u o i 的球面 由定理a 知，如果a = o o ，t u 时，曲率流( 1 2 1 ) 一致收敛于一点而且，当 平衡项h ( t ) f f l j 时，方程( 1 2 1 ) 的解是收缩的 本文在此基础上考虑九( 舌) 是 0 ，o o ) 上的非负有界光滑函数的情况首先，利用 单调公式可以得到曲率流( 1 2 1 ) 的第一类奇异点是自相似的其次，当 ( 亡) 的上界 足够小时，对于紧致凸初始超曲面，平均曲率流( 1 2 1 ) 是收缩的；而且，在整个时 间内，法化曲率流一直存在，且7 _ o o 时，尬一致c o o 拓扑收敛于球面即有下 3 湖北大学硕士学位论文 面的定理 定理bm o 是册+ 1 的光滑紧致浸入超曲面，平衡项 ( 亡) 是【o ，o o ) _ k 的非负有 界光滑函数，则曲率流( 1 2 1 ) 的第一类奇异点是渐近自相似的 定理cm o o r n + 1 的光滑紧致严格凸浸入超曲面，平衡项允( ) 是 o ，) 上的 光滑函数，且满足 0 h ( t ) o n ，也有h f 0 ( 2 ) 对于某个g ( 0 ，丢】，若初始曲率日 o 且日，则t o 时，也 有h i j e h g i j 设x ( ，t ) ：m n 一形+ 1 ，若x ( ，亡) 是嵌入超曲面，且其第二基本形式是正定 的，则称x ( ，右) 是( 严格) 凸超曲面 推论2 2 5 ( 保持凸性) x ( ，) 是平均曲率流的解设初始超曲面x ( ，o ) 是紧 致凸的，则亡 o n ，x ( ，亡) 也是紧致凸超曲面 7 湖北大学硕士学位论文 2 3 凸超曲面的一些基本事实 凸超曲面x ( ，t ) ：m n _ 形+ 1 的第二基本形式是正定的，其单位外法向量定 义g a u s s 映射v ：m n 一舻由于超曲面是紧致凸的，目g a u s s 映射是处处非退化 的，则由g a u s s 映射重新参数化凸超曲面 2 , 2 4 , 3 2 , 3 4 1 x = x ( v _ 1 ( z ) ) ，z s n 。 定义支撑函数 s ( z ) = ( z ，x ( v - 1 ( 名) ) ，z s n 守和雪分别表示舻上的协变导数和度量，则超曲面可以表示为 x ( z 1 = s ( z ) z + v s ( z ) 由支撑函数直接计算得伊上的第二基本形式 h i j = 勺固j s + s 酚， 及度量 勤= h i k g 斛。(234hikgh l j3 )2 “ 【) 定义凸超曲面x ( ，亡) 的宽度函数为： w ( z ) = s ( z ) + s ( 一名) ，z s n 下面引用a n d r e w sb 1 2 1 的一个定理来控制凸超曲面的宽度 引理2 3 6m n 是毋+ 1 的光滑紧致凸超曲面对任意z m 他，若存在正数岛， 使得m n 满足逐点p i n c h i n g 估计入m 觚( z ) g 入m i n ( z ) 则估计 伽m a x c o w m i n 成立，其中a m a x ( z ) 和a m i n ( z ) 分别表示m n 在点z 处主曲率的最大值和最小值， 8 2 平均曲率流的基础知识 w m a x = m ：a j x 。w ( z ) ，叫喊2z m 斟i n w ( z ) 由此引理，即可得n s 竹的内半径和外半径的p i n g c h i n g 估计1 2 , 2 4 , 3 4 推论2 3 7m 竹是彤+ 1 的光滑紧致凸超曲面对任意z m n ，若存在正数g ， 使得m n 满足逐点p i n c h i n g 估计入m a x ( z ) g 入m i n ( z ) 则存在正数a 使得 r d l t c ：i n 对于任意凸超曲面，也可以将其表示成单位球面s n 的图 2 , 9 , 2 4 , 3 4 设 巾) = 端：m n _ 舻， 于是，可以将方程( 2 1 1 ) 的每个解x ( ，亡) 写成径向图 x ( x ，t ) = r ( z ，t ) z ：s _ r n + 1 ， ( 2 3 5 ) 其中r ( z ，t ) = i x ( 7 r - 1 ( z ) ，t ) 1 直接计算舰上关于r 的度量得 其逆为 = r 2 勤+ 吼r 吼r ， 夕嵇= r 一2 c 雪巧一；要乏i 彳轿， 舰上关于r 的单位外法向量和第二基本形式分别为 和 v=志(rz曲rvr ) = = = = = = = = = i vj + l v 7 1 2 、 7 = 南( 叫吼吼2 鼢吼m 2 鼢 9 湖北大学硕士学位论文 3 具有平衡项的平均曲率流 3 1 发展方程及凸性估计 设m n 是即+ 1 的光滑浸入超曲面采用文献【1 7 ，2 4 1 的记号，特别地，取 定m n 的一个局部坐标系 z 1 ，扩) ，g = 和a = 分别表示m 竹中的度量 和第二基本形式则平均曲率和第二基本形式的模长平方分别为 h = 夕巧，川2 = 9 0 9 埘h 俯妇 用a i 表示超曲面的第i 个主曲率除非特别说明，本文省略求和符号的求和表示 从指标l 至：u n 的求和 方程( 1 2 1 ) 是严格抛物方程，文献 1 9 】已经讨论了其短时间存在性和文 献 1 7 ，2 4 ，2 6 一样，沿曲率流( 1 2 1 ) 发展，有下列各几何量的发展方程 引理3 1 1 对于方程( 1 2 1 ) 的任意解，下面的发展方程成立 ( 1 ) 瓦o = 2 ( h h ) h t j ， ( 2 ) 番 巧= k h i j + ( h 一2 h ) h i k h k + i a l 2 h i j ， ( 3 ) 岳日= 日一( h h ) i a l 2 ， ( 4 ) 爱i a l 2 = a i a l 2 2 v a 2 + 2 1 a 1 4 2 h t r ( a 3 ) 其中磁= 玩詹g k j 若m o 是凸的，只要曲率流方程( 1 2 1 ) 的解存在，曲率流就保持所有舰的凸 性，于是引理2 2 4 的p i n c h i n g 估计仍然成立，则有下面的凸性结论 1 6 , 2 4 , 2 5 引理3 1 2 对于某个( 0 ，丢 ，若初始曲率h o - 目h i j c h g i ，则 ( 1 ) h t r ( a 3 ) l a l 4 n 9 2 h 2 ( i a l 2 一丢日2 ) ， ( 2 ) i h v t h i j h i i v z h 2 i 1 2 h 2 i v h l 2 j m l 矛u f v l 分别表示m n 的面积和m n 包含区域的体积由引理2 2 4 知，如 果m o 是严格凸的，则方程( 1 2 1 ) 的每个解是紧致凸超曲面因此，i 主l a l e k s a n d r o v f e n c h e l 不等式和散度定理可以得出l m i 与i y l 的关系 2 4 , 2 6 引理3 1 3 m 几是r n + l 的紧致凸浸入超曲面，对于某个( 0 ，去】，满足日 1 n 3 具有平衡项的平均曲率流 o _ r h t i e h g i j 则存在只与n 和e 有关的常数q ，使得 凹1 l m i 簪i y l c 2 i m i 等 3 2 自相似解 这一节将建立单调公式，得出曲率流的第一类奇异点是渐近白相似的，从而 完成定理b 的证明 曲率流方程( 1 2 1 ) 在时间区间 o ，u ) 上有光滑最大解x ( ，亡) ，即指x ( ，亡) 满足 方程( 1 2 1 ) ；并且，或者u o 和任意时间t 【o ，u ) ，设曲率的爆破速度满足下式 麟川2 南 ( 3 2 1 ) 在这种情况下，称曲率流( 1 2 1 ) 是第一类的；否则，称其为第二类的下面的引理 说明，t u 时，任何第一类曲率流一致收敛于奇异点 引理3 2 5t _ u 时，方程( 1 2 1 ) 的解是一致收敛的 湖北大学硕士学位论文 证根据式( 3 2 1 ) ，有 l x ( x ，t ) 一x ( x ，u o ) i ul 尼( 丁) 一日( z ，丁) i d 丁 u ( 州胁+ u 瞰丁舫 u 晶p d t + c ( 九) u 打 a 、乞琢丽+ c ( ) ( u 一亡) ， 其中a 和g ( 九) 是有限正数，于是引理得证 在本文的剩余部分，特别设矽( 亡) = ( 2 ( u 一亡) ) 一 ，则方程( 1 2 2 ) 中丢百= 1 由条 4 e l ( 3 2 1 ) 知皿的曲率是一致有界的，即l a l 2 c 3 斥 h u i s k e ng 1 7 , 1 8 】的结论即 得舷上曲率的所有高阶导数也是有界的 引理3 2 6 对每个m 0 ，存在常数c ( m ) 0 ，由式( 3 3 5 ) 有下面的估计 t g ，岛，( 3 3 6 ) 由推论2 3 7 和式( 3 3 6 ) 得到下面的估计 引理3 3 1 1 廊的内半径的下界和外半径的上界都是一致有界的，即存在常 1 5 湖北大学硕士学位论文 数c 8 0 ，使得 四1 7 一 竹t g 下面的引理说明方程( 1 2 1 ) 的解是收缩的，且曲率流的最大存在时问u 是有 限的 引理3 3 1 2 u a h + n 6 - h 2 警= 耠则) = ( 0 ) o ， 的解将妒看作m n 0 ，u ) 上的函数，有 由极大值原理有 妄( 日一妒) ( 日一妒) + 仃2 一妒2 ) 日妒，v0 t u 另一方面，直接解出妒得 ) = 可躲 因为当亡一( n 6 ) ：( o ) 时，妒_ 。，从而日_ 。o ，因此，u 0 ，在( 名1 ，亡1 ) 处，由式( 3 3 9 ) 得 2 h 2 一h h q h i a l 2 一h ( s a ) i a l 2 0 由于i a l 2 n - h 2 ，s 2 a ，得 因此，对任意z s n ，有 日( z 1 ，亡1 ) i 2 n 垂( z ，) = 器圣( z ，亡，) ， 1 8 3 具有平衡项的平均曲率流 由推论2 3 7 ，存在常数g o 0 ，使得 h ( z ，t o ) 结合引理3 3 11 ，对任意z s n ，有 g o n n ( o ) h ( z ，t o ) q 1 ， 其中伯= 。妒2 ( t ) a t 因为亡o 【o ，u ) 是任意的，则对某个常数岛 0 ，有不等 式膏( z ，丁) 岛 现在可以证明法化曲率流( 1 2 2 ) 的长时间存在性因为贾( ，7 - ) 的内半径和外 半径是有界的，方程( 1 2 2 ) 的发展速度也是有上界的于是存在常数6 0 使得对 任意7 0 0 ，西) ，在时间区间h ，伯+ 司上可以将方程( 1 2 2 ) 的解写成图 x ( x ，7 _ ) = f ( 名，7 _ ) z ，名s 竹 对取定的原点，在s 竹【7 0 ， t o + 卅上满足0 四1 庐( z ，7 - ) g 由于所有发展超 曲面是凸的，则守庐是一致有界的类似于式( 3 3 4 ) ，写出于的发展方程，此方程也是 一致抛物的因此，可由一致抛物方程的标准正则理论得出f 的导数以及所有高阶 导数是有界的 2 , 2 1 , 3 4 1 于是证明了法化曲率流( 1 2 2 ) 的长时间存在性，即有 、 引理3 3 1 4 面= o o ，当7 - _ o o 时，取收敛于光滑超曲面风 下面证明定理c 的第二部分为了说明当丁一o 。时，重新参数化的超曲 面尬收敛于球面，定义函数 ，= 譬 易知，是重新参数化的不变量，类似于文献【2 4 ，2 6 】，有下面的引理 引理3 3 1 5 厂的发展方程为 导夕= 厶，+ 吾( 亏z ，寺t 雷) 一杀i 豆寺z 碥一h 玎寺z 膏1 2 一雨2 h 【日- 仃( a 3 ) 一i a l 4 ) ( 3 3 1 0 ) 1 9 湖北大学硕士学位论文 证 由文献【2 6 】知，厂= 譬的发展方程为 因此 晏厂= ，+ 吾( v 以v 。日) 一面9 ，i h v z 危巧一忽巧v z h l 2 一面2 h 。( h t r ( a 3 ) 一1 4 1 4 ) 8 ；8 ，o t r = 一r 一 a 丁。a 亡。a 丁 = 厂+ 万2 ( v z 厂，v f 日) 一萨21 日v z 尼巧一九巧v f h l 2 一豢( 日t r ( a 3 ) 一l a l 4 ) ) 矽， 由此得到式( 3 3 1 0 ) 推论3 3 1 6 除非廊是球面，否则函数删狱，是严格递减的 “ 证 由引理3 1 2 ( 1 ) 及引理3 3 1 5 ，有 ( 导一厶) ，和，啪) 由弱极大值原理有 m a xf o 女k 取得，则厂恒等于常数如果 是这种情况，代入式( 3 3 1 0 ) 得 雨2l 豆吼碥一h “巧吼豆1 2 + 西2 h 。( i = t t r ( a 3 ) 一闯4 ) 三。 根据引理3 1 2 ( 1 ) ，由- ) t r ( a 3 ) 一l aj 4 兰。得 a 1 2 一三疗2 三0 ， n 2 0 3 具有平衡项的平均曲率流 即 ( 九一) 2 三0 ， i j 则在5 z r 的任意点，主曲率相等而且，根据引理3 1 2 ( 2 ) ，由j 啻寺z b h i j 寺z 啻j 2 三 。得守膏三0 ，也即有守a 三0 ，所以当丁_ o o 时，舷趋近于球面，当然风的面积仍 为i v 0 1 至此，完成了定理c 的证明 2 1 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【1 】a n d r e w sb ，c o n t r a c t i o no fc o n v e xh y p e r s u r f a c e si ne u c l i d e a ns p a c e s j c a l c v a r p a r t i a l d i f f e r e n t i me q u a t i o n s ，1 9 9 4 ，2 ：1 5 l 一1 7 1 2 】a n d r e w sb ，v o l u m e p r e s e r v i n ga n i s o t r o p i cm e a nc u r v a t u r ef l o w j i n d i a n au n i v m a t h j ， 2 0 0 1 ，5 0 ：7 8 3 - 8 2 7 【3 】b r a k k ek ，t h em o t i o no fas u r f a c eb yi t sm e a nc u r v a t u r e ，m a t h n o t e s m p r i n c e t o n ，n j ：p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 7 8 4 】c h e nj a n dl ij ，s i n g u l a r i t yo fm e a nc u r v a t u r ef l o wo fl a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d s j i n v e n t m a t h ，2 0 0 4 ，15 6 ：2 5 51 【5 】c h o wb a n dc h us ，s p a c e - t i m ef o r m u l a t i o no fh a r n a c ki n e q u a l i t yf o rc u r v a t u r ef l o wo f h y p e r s u r f a c e s j j g e o m a n a l ，2 0 0 1 ，1l ：2 1 9 2 3 1 6 】d e t u r c kd ，d e f o r m i n gm e t r i c si nd i r e c t i o no ft h e i rr i c c it e n s o r s j j d i f f e r e n t i a lg e o m ， 1 9 8 3 1 8 ：1 5 7 1 6 2 7 】e c k e rk a n dh u i s k e ng ，m e a nc u r v a t u r ee v o l u t i o no fe n t i r eg r a p h s j a n n o fm a t h ，19 8 9 ， 1 3 0 ：4 5 3 4 7l 8 】e c k e rk a n dh u i s k e ng ，i n t e r i o re s t i m a t e sf o rh y p e r s u r f a c e sm o v i n gb ym e a nc u r v a t u r e j i n v e n t m a t h ，19 91 ，13 0 ：5 4 7 5 6 9 【9 】g e r h a r d tc ，f l o wo fn o n c o n v e xh y p e r s u r f a c e si n t os p h e r e s j j d i f f e r e n t i a lg e o m ，1 9 9 0 ， 3 2 ：2 9 9 3 1 4 1 0 】g e r h a r d tc ，h y p e r s u r f a c e so fp r e s c r i b e dm e a nc u r v a t u r ei nl o r e n t z i a nm a n i f o l d s j m a t h z ，2 0 0 0 ，2 3 5 ( 1 ) ：8 3 9 7 11 】g e r h a r d tc ，h y p e r s u r f a c e so f p r e s c r i b e dc u r v a t u r ei nl o r e n t z i a nm a n i f o l d s j i n d i a n au n i v m a t h j ，2 0 0 0 ，4 9 ( 3 ) ：11 2 5 - 11 5 3 【1 2 】g e r h a r d tc ，t h ei n v e r s em e a nc u r v a t u r ef l o wi nc o s m o l o g i c a ls p a c e t i m e s d b o l a r x i v m a t h d g 0 4 0 3 0 9 7 ，2 0 0 4 【1 3 】g e r h a r d tc ，t h ei n v e r s em e a nc u r v a t u r ef l o wi na r ws p a c e s - t r a n s i t i o nf r o mb i gc r u n c ht o b i gb a n g d b o l a r x iv m a t h d g 0 4 0 3 4 8 5 ，2 0 0 4 【1 4 】h a m i l t o nr ，t h r e e m a n i f o l d sw i t hp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e j j d i f f e r e n t i a lg e o m ，1 9 8 2 ， 1 7 ：2 5 5 3 0 6 2 2 参考文献 【1 5 】h a m i l t o nr ，h a m a c ke s t i m a t e sf o rt h em e a nc u r v a t u r ef l o w j j d i f f e r e n t i a lg e o m ，1 9 9 5 ， 4 1 ：2 1 5 2 2 【1 6 】h u i s k e ng ，f l o wb ym e a nc u r v a t u r eo f c o n v e xs u r f a c e si n t os p h e r e s j j d i f f e r e n t i a lg e o m ， 1 9 8 4 ，2 0 ( 1 ) ：2 3 7 2 6 6 【17 】h u i s k e ng ，t h ev o l u m ep r e s e r v i n gm e a nc u r v a t u r ef l o w j j r e i n ea