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离散广义系统的鲁棒可靠控制 摘要 在工业系统中，各个元件( 主要是执行器和传感器) 往往会随着控制系统 运行时间的不断增加出现损坏或发生失效，从而导致整个系统不稳定或性能变 差。为了让控制系统在某些元件出现失效时仍能具有一定的可靠性，有些学者 提出了可靠控制理论。相对与正常系统，更为广泛的广义系统可靠控制研究有 着重要意义。 本文主要研究了广义系统的可靠控制问题，提出了具有一般性的执行器故 障模型。基于l y a p u n o v 理论，控制器设计转化为线性矩阵不等式的可解性问 题。具体工作如下： 1 考虑不确定离散时滞广义系统的鲁棒比可靠控制，给出了离散广义系统 容许的充分条件，在此基础上给出鲁棒乩控制器的设计方法。 2 考虑不确定离散时滞广义系统的无源化可靠控制问题，得到了相应的使得 系统无源的状态反馈控制器。 3 研究不确定离散时滞广义系统的具有比干扰抑制能力的可靠保成本控 制，在执行器部分失效的情况下，该控制器仍能保证闭环系统容许和有一定的 线性二次型性能指标上界，同时具有比范数下的干扰抑制作用。 本文的所有结论均以l m i s 形式给出。仿真实例验证了所得结论的有效 性。 关键词：离散广义系统容许可靠控制无源性保成本控制鲁 棒稳定如控制线性矩阵不等式 r o b u s tr e l i a b l ec o n t r o l f o rd i sc r e t e t i m es i n g u l a rs y s t e m s a b s t r a c t i nt h ei n d u s t r i a ls y s t e m s ，t h e i rc o m p o n e n t s ( s u c ha ss e n s o r s ，a c t u a t o r s ) a r e o f t e nd a m a g e do rf a i l u r e sa l o n gw i t ht h et i m er u n n i n g t h e s el e a dt os y s t e m s i n s t a b i l i t yo rp e r f o r m a n c ed e t e r i o r a t i o n i no r d e rt os t a b i l i z et h es y s t e m sw i t h c o m p o n e n t sf a i l u r e ，t h et h e o r yo fr e l i a b l ec o n t r o lw a sr a i s e d t h er e l i a b l e c o n t r o lf o rs i n g u l a rs y s t e m sw h i c ha r ep o p u l a rt h a nn o r m a ls y s t e m si so fg r e a t 一 s i g n i t i c a n c e i nt h i st h e s i s ，t h er e l i a b l ec o n t r o lp r o b l e mo fu n c e r t a i nd i s c r e t es i n g u - l a rs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yi sc o n s i d e r e d am o r eg e n e r a lf a i l u r e sm o d e li s a d o p t e df o ra c t u a t o rf a i l u r e s b a s eo nl y a p u n o vf u n c t i o n a lt e c h n i q u e ，t h e s y n t h e s i so fc o n t r o l l e rv i a am e m o r y - l e s ss t a t ef e e d b a c kc a nb et r a n s f o r m e dt o al i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) f e a s i b i l i t yp r o b l e m t h em a i nw o r ko ft h i s t h e s i sl i e si nt h ef o l l o w i n g 1 t h er o b u s th r e l i a b l ec o n t r o lp r o b l e mo fu n c e r t a i nd i s c r e t es i n g u l a r s y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yi sc o n s i d e r e d ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sp r e s e n t e df o r d i s c r e t es i n g u l a rs y s t e mt ob ea d m i s s i b l e b a s eo nt h i s ，ac o n s t r u c t i o nf o rr o - b u s t 比c o n t r o l l e ri sg i v e n 2 t h er e l i a b l ep a s s i v ec o n t r o lf o ru n c e r t a i nd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m sw i t h t i m e - d e l a yi ss t u d i e d ，as t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e r i v e dt og u a r a n t e et h e s y s t e mp a s s i v e 3 t h er e l i a b l eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lw i t hh d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nf o r u n c e r t a i nd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yi sd i s c u s s e d i nt h ep r e s - e n c eo fp a r t l ya c t u a t o r sf a i l u r e ，t h ec o n t r o l l e rs t i l lg u a r a n t e e st h ea d m i s s i b i l i t y o ft h ec l o s e d - l o o ps y s t e ma n ds a t i s f i e sh d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nl e v e l a l lr e s u l t so ft h i st h e s i sa r ep r e s e n t e di nt h ef o r mo fl m i s n u m e r i c a l e x a m p l e ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ec o n c l u s i o ni nt h i st h e s i s k e yw o r d s ：d i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m ； a d m i s s i b l e ； r e - l i a b l ec o n t r o l ；p a s s i v i t y ； g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ； r o b u s ts t a - b i l i t y ；h c o n t r o l ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y 1 1 1 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含本 人为获得其它学位而使用过的内容对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集体，均 已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 亲东欤 学位论文使用授权说明 咖d 7 年月j 日 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容 请选择发布时间： 口即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名亲茗己 导师签名 如司 年6 月z j 日 j 广西大拳硬士拳位论戈龠散广义系统的鲁棒可靠控制 第一章绪论 1 1 引言 两个多世纪以前，人们就发现了第一个泛函方程从那以后，人们对泛函方程逐渐有 所认识但是真正对时滞微分系统的研究直到二十世纪才蓬勃兴起由于动态系统本身的 形式多样，再加上时滞的作用，使得时滞型动态系统更加难以捉摸。这也就是时滞系统的 困难与诱人之处特别是近二十多年来，随着对诸如通信、网络、管理系统，生态系统、 电力系统，工业工程系统等实际系统的建模，设计，分析和应用的深入发展，人们越来越 重视时滞现象，并进行了系统的研究，取得了实际的、全面的进展 随着现代控制理论研究的日趋深入。人们提出了非传统数学模型描述的比正常系统 更为广泛的广义系统广义系统在文献中又被称为奇异系统( s i n g u l a rs y s t e m s ) ，描述系 统( d e s c r i p t o rs y s t e m ) ，隐式系统( i m p l i c i ts y s t e m s ) ，广义状态系统( g e n e r a l i z e ds t a t e s p a c es y s t e m ) ，半状态系统( s e m i s t a t es y s t e m ) 及微分代数系统( d i f f e r e n t i m - a l g e b r a i c s y s t e m ) 等对广义系统的研究始于7 0 年代初期，h h r o s e n b r o e k 1 l 在研究复杂电网络 系统的过程中首先提出广义系统概念，之后，d g l u e n b e r g e r 发现动态投入产出模型也 是典型的广义系统【2 】，并对线性广义系统的解的存在性和唯一性等问题展开了研究，从 此拉开了广义系统理论研究的序幕d a i 于1 9 8 0 年对8 0 年代的成果做了总结，出版了 广义系统理论的第一本专著【3 j 。标志着广义系统基础理论的成熟，广义系统理论研究进 入了一个新的阶段已有的研究表明，对广义系统的研究要涉及到广义函数、矩阵理论、 泛函分析等多种数学工具经过近三十年的发展，广义系统不同于正常系统的本质特性也 得到了越来越深刻的揭示，主要表现在； 1 线性定常广义系统的解中不仅有指数项，而且一般还有脉冲项及脉冲的导数项 2 正常系统有n 个自由度，而广义系统只有r a n k e 个自由度 3 正常系统的传递函数为真有理分式矩阵，而广义系统的传递函数通常包含多项式部分 4 正常系统具有因果性，而广义系统通常具有非因果性。即广义系统的解不仅依赖于过 去与现在的输入，而且还依赖于未来的状态 5 正常系统的齐次初值问题的解存在且唯一，但对于广义系统，齐次初值问题可能是不 1 广西大学硬士学位论丈离散广叉系统的鲁棒可靠控制 相容的即可能不存在解，而且有解也不一定唯一 6 在系统参数任意扰动下，广义系统不再具有结构稳定性 因此，广义系统在结构上变得复杂而富于新颖性，在研究上变得困难而富于挑战性， 吸引了国内外众多学者的极大兴趣和研究。并取得了丰富的研究成果【3 】一 2 2 1 1 2 时滞离散广义系统的研究状况 8 0 年代，s l c a m p b e l l a 2 1 研究了如下连续型时滞广义系统t e 2 ( t ) + 缸0 ) = b x ( t 一1 ) + f ( t ) 其d e z ( t ) j 矿，e ，a ，b 均为n 扎常数矩阵，e 是奇异的。初始时刻t o = 0 ，初始条件 为z 幻= 妒，妒c ( - 1 ，o 】，兄“) 的基本理论，并且获得了无穷次可微解这是研究时滞广义系统的最早工作之后，国内 有许多专家、学者开始对时滞连续广义系统的基本理论周期解、稳定性，镇定，能控性， 能观性以及变结构控制等进行了系统的研究，取得了一些很好的结果，删 一般的离散时滞线性广义系统控制模型： 秒ex：k+夕l。z=。，f乱(，x七k，u七)， e 是奇异的，后z + ，z 舻，x k ( s ) = z + s ) ，s = 一h ，- h + 1 ，一1 ，0 ，h 是某正整 数， g 是z 女，u ，七的向量函数离散系统的特点和困难在于其状态向量是以时间间隔变 化的对应地，离散广义系统与正常离散系统最本质的不同是具有非因果关系，因此，研 究离散广义系统必须考虑其不连续性，同时还有考虑其非因果关系，。因而给研究带来了相 当大的困难对带时滞的离散广义系统，研究就更加困难了因为同时它是建立在复合流 形上，其解空间是无限维，它具有高度的复杂性相比于连续线性广义时滞系统的丰硕成 果，离散线性广义时滞系统的成果较少文【4 5 】用谱分析研究了不确定离散线性广义时滞 系统的鲁棒稳定性问题，文( 4 6 1 用矩阵测度对该问题进行了再次研究文 4 7 1 采用模矩 阵讨论了不确定离散广义时滞系统的d 稳定问题文【4 8 】考虑了更一般的具有范数有界 广西大学硬士学 g t - i e 丈离散广义系统的鲁槔可靠控制 不确定参数的离散线性广义时滞系统的鲁棒镇定问题，利用线性矩阵不等式。给出了对所 有容许不确定性使得闭环系统正则、因果，且鲁棒稳定的状态反馈控制器存在的充分条件 及状态反馈控制器的设计方法，但需要数值迭代来求解状态反馈增益矩阵，且需要分解系 统矩阵文【4 9 】把【5 0 】推广到不确定离散线性广义时滞系统，避免了分解系统矩阵，但 是又同 5 0 l 一样，涉及到半正定矩阵问题文【5 l 】进一步在文【4 9 】的基础上研究了确定 的及不确定的时滞离散广义系统的状态反馈严格耗散控制器设计问题，利用线性矩阵不 等式方法给出系统容许且严格耗散的条件。再得到控制器存在的条件和设计方法 总之，从广义系统的提出到现在几十年的时间里，有关广义系统的研究取得了很大 进展，但与正常系统相比，广义系统的研究在处于初始阶段，仍有大量的理论问题和实际 问题有待解决，所以广义系统的研究前景是非常广阔的 1 3 可靠控制理论的概况 容错就是容许错误，是指设备的一个或多个关键部分发生故障时，能够自动地进行 检测与诊断，并采用相应措施，保证设备维持其规定功能，或用牺牲性能来保证设备在可 接受范围内继续工作 1 9 7 1 年n i e d e r l i n s k i 5 2 】提出的完整性新概念标志着容错控制思想的开始1 9 8 0 年， s i l j a k t 5 3 l 发表了关于可靠镇定的文章是最早开始专门研究容错控制的文章之一国际自动 控制界对容错控制的发展给予了高度的重视1 9 9 3 年，领导容错控制学科发展的i f a c 技术过程的故障诊断与安全性技术委员会成立目前，容错控制成为控制界最热门的几 个方向之一f 叫一1 5 嘲容错控制方法一般可以分成两大类，即被动容错控制和主动容错控 制主动容错概念来源于需要对发生的故障进行主动处理这一事实，是将系统的故障做出 实时检测，对于不同的故障系统将进行重组，使系统达到稳定及满足一定的性能指标被 动容错控制在系统构造思路上是一种与鲁棒控制技术相类似的控制，它采用固定的控制 器来确保闭环系统对特定的故障具有不敏感性也就是说，无论系统是否出现故障都能保 证系统稳定和具有适当的性能指标 可靠控制属于被动容错控制可靠控制的概念是由s n j a k 于1 9 8 0 年最先提出的， 随后一些学者又对其进行了深入研究，一些可靠控制的方法相继提出【卅一可靠控制 3 广西大学硕士学位论文 离散广义系统的鲁棒可靠控制 是指在系统的设计过程中，将系统可能发生的故障考虑在设计过程中这样，一旦系统中 的部件( 传感器或执行器) 发生故障，闭环系统仍能保持稳定，并仍具有较理想的性能指 标在可靠控制的文献里面，对于故障模型，通常有两种假设t 第一种。离散故障假设”，假定系统失误元件的输出作用为零，即硭= 0 ； 第二种t。连续故障假设”，假定输出为任意能量有界限的信号，即 = k t “，屯【o ，0 j ，o 1 而广义系统的可靠控制发展就更晚一些，它是在广义控制系统发展逐步完善的基础 上才发展起来的，目前所得到的结果鲜见于文献【7 1 ，捌从可靠控制的发展来看，广义系 统的可靠控制问题有着广阔的前途正因为如此它吸引着国内外学者的注意 y u e 等嗍研究了不确定时滞广义系统凰。可靠控制器的设计问题，利用l m i 给出 系统执行器出现故障情况下的时滞广义系统丑0 可靠控制器的设计方法，所设计的控制 器使得时滞闭环广义系统容许且满足王k 性能胡刚等【7 4 1 研究了一类不确定广义系统的 鲁棒容错控制问题基于l m i 方法以及矢量不等式方法，提出一种既能使闭环系统在执 行器发生故障时具有完整性，又能对所有容许的不确定性具有鲁棒性的容错反馈设计方 法该方法依赖于相应的l m i 的解，虽然含有多个参数，但无需事先调整参数，能一次 性的方便求解任俊超和胡刚【删运用l m i ，给出一类广义系统基于状态反馈的王k 容 错控制问题得到上k 容错控制器存在的充分条件通过假设失效的执行器的输出信号是 任意的能量有界干扰信号，将广义系统的王k 容错控制问题转化为王k 控制问题，从而 给出该问题可解的充分条件月0 容错控制器可以通过解l m i 给出 1 4 本文结构安排 本文主要研究不确定离散时滞广义系统的可靠控制，其中包括鲁棒王k 控制无源 控制和具有f k 干扰抑制的保成本控制主要概述如下t 第一章简要介绍广义系统产生的背景，可靠控制理论的研究现状及存在的问题， 并给出了本文的预备知识和主要引理 第二章研究了不确定离散时滞广义系统的鲁棒日0 可靠控制问题，首先利用 l y a p u n o v 函数，对不确定离散时滞广义系统的稳定性问题进行了分析，给出了系统零解 4 广西大学硕士学位论文离散广义系统的鲁棒可靠控制 渐进穗定的充分条件。之后给出了能使系统鲁棒上k 稳定的控制器的构造方法，并用数 值例子说明其有效性 第三章研究了不确定离散时滞广义系统的无源化可靠控制问题，用l m i 形式给 出了在执行器故障情况下，状态反馈控制器的构造方法，用数值例子验证其有效 第四章研究了不确定离散时滞广义系统的具有点k 干扰抑制的可靠保成本控制问 题。用l m i 形式给出了在执行器故障情况下，设计出使闭环系统既有点k 范致下干扰抑 制作用，又满足一定的成本函数上界的控制器 1 5 本文中的符号说明及预备知识 若没有特别声明，我们的已知矩阵假设具有适当维数，我们用表示矩阵对称 m ( 2 ， 0 a t p a e t p e + a t p a d ( q 一舒p 山) 一1 钟p a + q 0 ，则 ( a + d f e ) p ( a + d f e ) t a p a t + a p e t ( e i e p 矿) 一1 e p a t + d d t 引理3 【删 ( 1 ) d ，e ，f 为具有适当维数的实矩阵，且矿f i ，则对于任意标量e 0 ，下面的不 等式成立。 d f e + e t f t d r e d d t + 6 - 1 矿e ( 2 ) 对于任意的矩阵e ，g ，存在适当维数的对称矩阵p 0 ，使得下面不等式成立： e g 十g t e t e p e t + g t p 一1 g 6 广酉太学硕士学位论丈离散广义系筑的鲁棒可靠控剜 第二章不确定离散广义系统的鲁棒比可靠控制 正常系统的风。控制理论在鲁棒控制中担当着重要角色在2 0 多年前，加拿大学 者z a m b i a 提出控制系统内某些信号间的传递函数矩阵的风。范数为优化指标的设计思 想，而如今正常系统的鲁棒王k 控制理论发展已相当成熟 近年来，广义系统的鲁棒王k 控制也建立了许多平行于正常系统的重要概念和性质 1 1 9 ，铊】至此，正常系统鲁棒日o 。控制的有关结论在广义系统中也得到了很好的推广由 于广义系统丰富的实际背景和可靠控制的重要性，本章主要运用矩阵不等式方法，讨论了 具范致有界参数不确定离散时滞广义系统的鲁棒王k 可靠控制问题，给出了在某些执行 器发生故障时，不确定性广义系统仍是鲁棒稳定并满足一定性能要求的鲁棒王k 可靠控 制反馈设计方法，并利用l m i 给出鲁棒王k 可靠控制器存在的参数化形式 考虑下面不确定时滞离散广义系统， ie x ( k4 - 1 ) = ( a4 - a ( 七) ) $ ( 七) 4 - ( a d4 - a d ( 七) ) z ( k d ) 4 - b u ( k ) 十c w ( k ) ， 【z ( 七) = c x ( k ) ( 2 1 1 ) 其中( 七) 曰为状态变量；z ( k ) r p 为被调输出；t ( 七) 足”为控制输入； w ( k ) g o ，o o ) 为外部干扰e ，a ，也，b ，g ，g 是具有合适维数的常矩阵，e ，a j p “ 且r a n k e = r 0 ，有下面 不等式成立 既r 霹b n r b 写，岛冗霹b r b t ，玩一矗冗咙t o b r b 写 ( 2 1 3 ) 对不确定离散时滞广义系统( 2 1 1 ) 作如下的状态反馈 u ( 七) = k z ( 七) ，( 2 1 4 ) 得闭环系统为 酬”= 触动他d ) 偷 ) ， ( 2 l 5 ) 【z ( k )= c x ( k ) 这里a = a + 岛+ a ( 七) ，磊= 山+ a d ( 七) ，。= g 玩】， 西( 七) = 叫t ( 七) ( 七) t ， t ，( 七) 驴是由于对应的执行器失效面产生的干扰输入 本文所考虑的不确定时滞离散广义系统( 2 1 1 ) 的鲁棒风。可靠控制问题是：寻求状 态反馈控制律( 2 1 4 ) 使得闭环系统( 2 1 5 ) 满足 ( a ) 当面( 七) = 0 时，对所有容许的不确定参数a a ( k ) ，a a d ( k ) ，系统( 2 1 5 ) 是容许的 ( b ) 在零初始条件下，对于给定的7 0 ，有l i z ( k ) 1 1 2 刊面( 七) 怯 2 2 主要结论 定理2 1如果存在矩阵p y ，q ，r ，其中p 对称可逆，r 0 ，q 0 ，r 为对角 矩阵，及实数e 0 。满足下面的l m i s ： 矿p e 之0 ( 2 2 1 ) 8 广酉大学硬士学位论丈龠散广叉系统的鲁棒可靠控制 n 1a t p a d + e d t d d a t p ha t p by t0 鹤p h艟p b 00 t铲p h e l 孵p b 00 幸 0 0 一r 0铲p b 0 一i 4 r 0 0 一r 0 ) 将其代入式( 2 2 4 ) ，并利用s c h u r 补，0 0 的充分条件是下面的0 1 0 01= q e t p e + c d t d + a 暑p a ka t , p a d + e d l l d d曝p h = r 1 1 + 三矗蜀。l 1 2 + l 曼霹三1 1 q 2 鼹p h h 1 p h e i “= p a + ；p b 。k 弛p 日 ，= koo r n = i q la t p a d ? + e d t d d 簏a t p h ( 2 2 5 ) 厶t 1 蜀。l 1 2 + l e b 三l 1 1 = l 5 r l l 2 + l 矗蜀。r 一1 霹l 1 1 三艺r l l 2 + 碥b r 一1 b t l l l( 2 2 6 ) 结合式( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 和s c h u r 补，当下式成立时有o t 0 ， 广西大学硕士学位论丈离散广义系统的鲁棒可蠢控制 0 2 = n l + k i r k 印p + c d l d da 1 p h 注意到k = r y ，且 a t p h 铲p h 一i 奉 a t p b + 毛砰瑶p b 鳃p b 日t 尸b r 0 2 = r 1 2 + l 五鹾l 2 2 + 埸b j 如1 这里如= 【；k ooo 】，l 2 2 - = oo o p b 】， r 1 2 = n t + i t t r ka 1 p a d 七e d d d舒p h癣p b q 2a 吾p 日钟p b h t p h e i 铲p b 一r 0 ，关于系统( 2 1 1 ) ，对于任意允许的不确定性 ( 2 1 2 ) ，若存在可逆对称矩阵p ，矩阵kq ，冗，兄1 ，其中qr ，岛，正定，且r ，r l l l 广西大学硕士学位论丈 寓散广义系统的鲁棒可靠控制 为对角阵，及存在正数p ，满足下面l m i ： 三1 昌1 2a t p la t p h a t p ba t p000 黾码p l硒p h鳃p b a t p000 一3l t p h l w p bl t p 000 i 铲p h 一i 铲p bf f r p0 0 0 幸 0 oo0 0o00 ooo0 000 y t 0 0 o rb t p0 0 b t p b0 t p 一8 l0000 00 8 ip n 00 00 ， 一只l 00 000一r0 000 00 一 冗 0 ( 2 2 1 0 ) 及条件( 2 2 1 ) ，则控制器( 2 2 3 ) 可使得时滞离散广义系统( 2 1 1 ) 在部分执行器失效时仍 能鲁棒王k 稳定 这里兰l = q + c t c 一矿p e + e d t d + a t p a ，三2 = 孵p a d q + $ d t d d ， 仍取 一3 = l t p l 一7 2 1 + r 1 ，三1 2 = a t 尸山+ e d t d d ， 证明易知当定理条件满足时，定理1 结论成立 下面证明在零初始条件下，有i i z ( k ) 1 1 2 7 1 1 面( k ) 1 1 2 ，即 z t ( k ) z ( k ) 7 2 矿( 七) 面( 詹) k = ok = o = 0b n 】 一l y ( 七) ) = x t ( k ) e t p e x ( k ) + x t ( s ) q z ( s ) 6 = k - d 定义指标函数：( t z + ) r 矗= ( z t ( 七) z ( 后) 一f 矿( 后) 面( 南) ) k = 0 t s ( ，( 七) z ( 七) 一矿面t ( 七) 面( 七) + y ( 詹) ) k = o 广西大学硕士学位论文 龠散广又系统的鲁棒可靠控制 = 矿( 七) x t ( k d ) 面t ( 七) e c ( 七) k = o 若e 。( 七) 0 ，能推出j r 0 令t _ + ，有 。 ，( 七) z ( 七) 一f 矿( 七) 西( 七) 0 k - - - - - ok = o 则定理结论成立因此下面要证明 e c ( 七) 0 使 巩互丸 6 + rj + 升i d ：；1 f t ( k ) h t ) p ( h 玩k 升 a + b 。, k a a 0 卜降 蛩 砭 伊 z ( 七) z 一d ) 面( 七) p a 五。 + a t 蕃_ 目三 p h ( s i - - h t p h ) - i h t p a + 岛k 也 ( 2 2 1 1 ) 现 d f 1 j 日 o + d h r 现 g d a r【 ，t rl rl r，l 广西大学硕士学位论丈离散广义系统的鲁棒可靠控制 类似于定理1 的证明过程，我们只需证明下面不等式成立。 + 0 0 0 其中 垂= 圣+ a t 尸+ 卵b t p 螺p g t p 铲p oo p a + p b a , kp 山p gp h o ( 2 2 1 2 ) 兰1a t p 也+ s d t d d a t p o 置2舒p g a t p 日 螺p h 伊p g 一，y 2 ig t p h h t p h 一j 同样类似于定理1 ，当下式成立时有( 2 2 1 2 ) 也满足， = ! x - a t p a + k r r ke d t d d 00 驴霹p b 量2 一a 苫p a d 000 0 7 2 1 00 0 o 0- 10 0 0一萨p b r 上式中r 为任意对角的正定矩阵注意到 + a t 砑 伊 日t n t a 也gh 日 _ s + z 这里j s = aa 。l hb ，t = oono o l = go ，= o 玩】 1 4 p t 0 ，且有 p a t a ： 俨 心 b t t = ( 5 盯+ 2 坩) p ( 5 卢+ 2 盯) t s 仃p s + 5 r r p ( p j 一尸) 一1 p s + e 产t 结合( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ，利用s c h u r 补，( 2 2 1 3 ) 成立的充分条件是： ( 这里记a k = a + j 岛k ) 星1 + j r t r ka t p a d + d t p d p l 写成 这里 fk= rj= 三2 孵p 工 l t p l 一1 2 j 0 a t p 日 鳃p h l 1 p h 驴p h - e l o a t p b 码p b l t p b 日t p b 一冗 o a t p a t p 工t p h t p b t p p 一8 1 0 ( 2 2 1 4 ) 0 圣1 + r t , 霹f b + f 暑玩k + r 歹r + 曙f 1 0 ( 2 2 1 5 ) ；k o o o o o o ，如= oo ，oo o o ， r = 砑伊矿矿 o o矿o o o 弓 擎 o 1j 1j 0 t o b o p o o o 0 o 0 o o 0 r_ll ril【 广酉大学硕士学位论丈离散广义系鹱的鲁棒可靠控剜 垂1 = 巨1 + k t r ka t p a d + s d t o d a t p l 渤 a t p l 铲p l 一7 2 1 a t p ha t p ba t p 0 砭p h砭p b p 0 l t p hl t p bl v p0 h t p h - e ih t p bh t p0 一r分p0 p 一8 10 000 一丢， 由引理3 及式( 2 1 ，3 ) 知，对于任意正定对角阵而，有下面不等式t r 乏霹如+ r ：岛ks1 1 乏盯k + 嵋岛r b ：r 口 r t r r + f t b r 一1 b t f 曰， r ，r + r 品r ，f t r l f t + r 嚣r f l f n r t r l f i + r w r i - 1 r 霄 ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 其中= o o o o o o 舻 在( 2 2 1 0 ) 式左端前后乘以d i a g i ，j ，j ，j ， ，j ，n ，结合( 2 2 3 ) ， ( 2 2 a 5 ) 一( 2 2 1 7 ) ，根据s c h u r 补，有( 2 2 1 5 ) 成立，从而9 。( 惫) 0 ，对于系统( 3 1 1 ) ，如果存在矩阵p q 形”，其中 q 0 ，p 对称可逆，使得对于所有允许的不确定性有 矿p e 0 ( 3 1 3 ) 1 8 广西大学硕士学位论文离散广义系统的鲁棒可靠控制 = a t p a l + q 一矿p e钟p 山1卵p g l 一伊 镌p 如一qa t p g l g 耳i p g l 一，y ， 0 ( 3 1 4 ) 成立。则系统( 3 1 1 ) 是容许且无源的 证明根据引理条件易知，当式( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 成立时，系统( 3 1 1 ) 是容许的 令y 扛( 七) ) = x t ( k ) e t p e x ( k ) + x t ( 8 ) q x ( s ) ，显然矿 ( 七) ) 0 ，且有 y ( z + 1 ) ) 一y 扣( 七) ) 一, , w w ( 七) 伽( 后) 一2 硼t ( k ) z ( k ) = v ( x ( k + 1 ) ) 一y 0 ( 七) ) 一 w t ( 七) ( 七) 一2 埘t ( k ) c x ( k ) = 矿( 七) z t ( k - d ) 矿( 七) 卜 矿( 七) 一( k - d ) w t ( 七) t o 因此，对于任意的t z + 。有 r - t w r ( 七) 伽( 七) 一2 w t ( 七) z ( 七) 】 k = o t = 【y ( 七十1 ) ) 一y o ( 七) ) 一7 叫t ( 七) 叫( 七) 一2 w t ( 南) z ( 七) 】一y ( z ( t ) ) k = 0 0 令t 一+ o 。，有定义2 1 满足，所以系统( 3 1 1 ) 是无源的 证毕 口 3 2 无源化可靠控制 考虑如下带控制输入的离散广义系统 ie x ( k + 1 ) = ( a + a a ( k ) ) x ( k ) + ( a d + a a d ( k ) ) x ( k d ) + b u ( k ) + a w ( k ) ， 、 【z ( 詹) = c x ( k ) ( 3 2 1 ) 其中x ( k ) j p 为状态变量；z ( k ) f f 为被调输出；u ( 七) 尼”为控制输入； ( 七) g o ，o 。) 为外部干扰e ，a ，山，b ，g ，g 是具有合适维数的常矩阵，e ，a 舻“ 且r a n k e = r 0 ，关于系统( 3 2 1 ) ，对于任意允许的不确定性( 3 2 2 ) ，若存 在可逆对称矩阵p ，矩阵kq ，r ，r 1 ，其中q ，r ，r 1 ，正定，且r ，兄1 为对角阵，及 正数卢，e 满足下面l m i s ： e t p e 2 0 ( 3 2 4 ) 三l 三1 2a t p l 一伊 a t p ha t p ba t p 000 y t 邑 畦p l艟p h砭p b 蛭p 0000 一3l t p h l t p bl t p0000 l p p h e i 铲p b 铲p 0000 ， 一