（基础数学专业论文）banach空间中的一类二阶非线性脉冲发展方程.pdf

摘要 为了研究那些不能被传统的初值问题描述的现象，例如：由于突发改变而引起的人口 动力学问题笛，可以川脉冲偏微分方程或脉冲发展方挫等来描述，近年米，在有限维空间年| l 无限维空间中的一阶脉冲发展方科已被研究，在有限维空间中的二阶脉冲发展方程也己有少 蛙的研究。值得注意的是：在无限维系统中关丁非线性_ 二阶脉冲方程的研究到目前为i r 还没 宵看到。二阶方料不同1 ：一阶方程，二阶方程的困难在丁= 若把它化为一阶方程，我们将面对 一个无界算子矩阵。 水论文一l 要考虑了无限维空间中的- 二阶北线性脉冲发展方群，对 jf 列的二阶1 | 线性脉 冲发展方科： f 戈( f ) = b 圣( f ) + a x ( t ) + f ( t ，x ( f ) ，j ( f ) ) jx ( o ) 2 而，掣2 五 ( 1 ) f血( ) = g j ( x ( ) ) l越( f ，) = h 。( i ( f ，) ) 其中d = t ! , t 2 ，t 。 c ( o ，丁) ，0 t l t 2 t ，g j ，q 是非线性算子， x ( ) = x ( t ，+ ) 一x ( 一) = x ( + ) 一x ( ) ，t d c ( t ，) = 圣( + ) 一戈( t 一) = 量( + ) 一量( f ) 。 由- 弹子a 和丑的牲质决定了二阶脉冲方税( i ) 的特性，我们必须采用不同的方法来 埘f 究，闪此本文土要讨论以f ：二类_ 二阶1 f 线性脉冲发展方程： 类型i ：b 在b a n a c h 空间x 上是强连续! f 群的无穷小生成元，a 是x 上的闭线性算 f ，且d ( b ) d ( 4 ) 。主要采_ ；ic o 、l i 群的方法，引进算子矩阵来研究。 类型i i ：b = 0 ，a = e 2 ，e 在b a n a c h 空间x 上是强连续群的无穷小生成元，且 oep ( e ) 。主要采川c 0 群的方法，引进内插算子来研究。 类型i i i ：b = o ，a 在b a n a c h 空间x 上是强连续c o s i n e 算子族的无穷小生成元，且 0 p ( m 。卡婴采川算子c o s j n e 族的方法，引进内插空间米研究。 对t 每一种类型，主要研究了其温和解的存在唯一性审懈对初值的连续依赖性，同时对 第一种类型，引入了受控系统，给出了其最优控制的存在性。最后给出具体的例子米验证我 们的抽象结果。 关键词：脉冲，二阶非线性，、f 群，算子矩阵，温和解，算子c o s i n e 族，最优控制。 中图分类：0 1 7 7 2 9 ，0 t 7 5 1 3 ，0 1 7 5 1 5 a b s tr a c t i no r d e rt os t u d yt h e s ep h e n o m e n at h a tc a nn o tb em o d e l e db yt r a d i t i o n a l i n i t i a lv a l u ep r o b l e m ss u c ha st h ed y n a m i c so fp o p u l a t i o n ss u b j e c t e dt oa b r u p tc h a n g e s u c ha sh a r v e s t i n g ，d i s e a s e s ，e t c t h e ya r ed e s c r i b e db yp a r t i a li m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so ra b s t r a c ti m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n s t oo u rk n o w l e d g et h e r ei sn o w o r ko ns e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s0 i ii n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e si n l i t e r a t m e i ti sw e l l k n o w nt h es e c o n do r d e ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sd i f i e r e n tf r o mt h e f i r s to r d e re q u a t i o n s ，w em u s td i s c u s st h eu n b o u n d e dm a t r i xo fo p e r a t o r s ，i ti sv e r y d i 伍c u l tt od i s c u s s i nt h i st h e s i s ，w ee o n s i d e l t h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n s ： fi ( t ) = b x ( t ) + a x ( t ) + f ( t ，z ( t ) ，t ( t ) ) t ( 0 ，t i d ， a x ( t i i 竺怒云i 1t i 。d i) = g 。( z ( 如) ) 一 【a ( t i ) = h i ( 亩( 动) t l d w h e r ed = t l ：咄，t 。) c ( 0 ，t ) ，0 t 1 t 2 t ，0 三l ，2 ，n ) ， x t i ) = x ( t i + ) 一z ( 赴一) = x ( t i + ) 一z ( 赴) ，a n dz x e ( h ) = ( 屯+ ) 一( 赴一) = 士( 如+ ) 一 2 ( t i ) ，g i ，匝r e p r e s e n tt h ej u m p si nt h es t a t ez a tt i m et i f o rt h ed i f f e r e n taa n db ，t h ee q u a t i o no f ( 1 ) i sa l s od i f f e r e n t ，s ow ed i s c u s st h e s e c o n do r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rt h ef o l l o w i n gt h r e et y p e s t y p ei ：bi s t h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fas t r o n g l yc o n t i n u o u ss e m i g r o u p t ( t ) ，t 0 o nb a n a c hs p a c ex ，a n da i sac l o s e dl i n e a ro p e r a t o ro nxw i t hd ( b ) d ( a ) w eu s et h er e s u l t so fc o s e m i g r o u pt h e o r ya n di n t r o d u c et h em a t r i xo fo p e r a t o r s t od i s c u s si t t y p ei i ：b = 0 ，a = e 2 ，ei sac l o s e dl i n e a ro p e r a t o ro nx ，a n deg e n e r a t e s ac o - g r o u p ( t ) ，t r ) o nx ，0 p ( e ) w eu s et h er e s u l t so fc 0 g r o u pt h e o r ya n d i n t r o d u c ei n t e r p o l a t i o no p e r a t o r st od i s c u s si t t y p ei i i ：b = 0 ，ai st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fac o s i n ef a m i l y g ( t ) ，t r ) a n d0 p ( a ) w eu s et h er e s u l t so ft h ec o s i n ef a m i l yo fo p e r a t o r sa n di n t r o d u c e i n t e r p o l a t i o ns p a c et od i s c u s si t f o re v e r yt y p e ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h em i l ds o l u t i o na r eg i v e n t h ec o n t i n u o u sd e p e n d e n c ew i t hr e s p e c tt ot h ei n i t i a ls t a t ei sa l s og i v e n ，i na d d i t i o n ， f o rt y p ei ，t h ee x i s t e n c eo fo p t i m a lc o n t r o li sg i v e n a tl a s t ，w eg i v ea ne x a m p l et o i i i u s t r a t eo u ra b s t r a c tr e s u l t s k e yw o r d s ：i m p u l s i v e ，n o n l i n e a rs e c o n d0 7 e 7 ，衄m a t r i x o p e r a t o r s ，m i l d s o l u t i o n c o s i n e 血m i l y ，o p t i m a lc o n t t v l 2 0 0 0m a t h e m a t i c ss u b j c l a s s ：3 g 2 0 s k 3 0 。3 5 8 6 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1m o t i v a t i o n i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m sc a nb eu s e dt od e s c r i b em a n yp h e n o m e n ai nt h er e a l w o r l d a si sw e l lk n o w n ，h e a tc o n d u c t i o n ，p r o p e r t i e so fe l a s t i cp l a s t i cm a t e r i a l ，f l u i d d y n a m i c s d i f f u s i o nr e a c t i o np r o c e s s e s ，w a v ec o n d i t i o n sa n ds oo i l ，a i ll i ew i t h i nt h i s a r e a ( s e e 【1 1 ，【2 1 ，【5 ，【1 0 】) s i n c et h ee n do fl a s tc e n t u r y ，t h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nf i n i t ed i m e n - s i o n a ls p a c ea n di n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c eh a v eb e e nd i s c u s s e d ，b e c a u s et h es t r u c t u r e o fi t se m e r g e n c eh a sd e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dr e a l i s t i cm a t h e m a t i c a lm o d e l ，s u c h a st h ed y n a m i c so fp o p u l a t i o n ss u b j e c t e dt oa b r u p tc h a n g e sc a u s e db ye p i d e m i c ，h a t v e s t i n go ri m m i g r a t i o n ，e t c ( s e e 【1 6 1 ，【3 0 ，【3 2 1 ，【3 4 1 ；【s 6 1 ， 3 7 1 ，【3 8 】) t h ef i r s to r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n sa sf o l l o w s ： 1 圣o ) = a x ( t ) + g ( t ，z ( t ) ) t ( 0 ，叫d ， z ( o ) = 。o ， ( 1 1 ) l & z ( t i ) = 正( z ( t ：) ) 赴d h a sb e e ns t u d i e db yh l i u ，x x i a n g ，w w e i ，e t c ( s e e 【1 4 ，【l s l ，【2 4 1 ，【2 5 】， 2 6 1 ，【2 7 1 ， 【2 8 】【3 0 】 4 0 l ，【4 1 ，【4 2 1 ， 4 3 1 ，【4 4 ，【4 5 1 ) b u tt h e r ea x em a n yp h e n o m e n aw h i c hd e s c r i b e db yt h es e c o n do r d e re v o l u t i o n e q u a t i o n ss u c ha sw a v es y s t e ma n ds oo n i ti sw e l l ，k n o w nt h es e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si sd i f f e r e n tf r o mt h ef i r s to r d e re q u a t i o n s ，i nr e s e n ty e a r s ，t h e r ea x eaf e w p a p e r sc o n c e r n i n gt h es e c o n do r d e ri m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n so nf i n i t ed i m e n s i o n a l s p a c e s ( s e e 【1 3 ，【1 5 】，【1 6 ， 1 7 ，【2 1 】) t oo u rk n o w l e d g et h e r ei s n ow o r ko ns e c o n d o r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e si nl i t e r a t u r e i t i sw e l l k n o w nt h es e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sd i f f e r e n tf r o mt h ef i r s to r d e r e q u a t i o n s i no r d e rt os t u d yt h es e c o n do r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n s ， w ei n t r o d l l ( ：et h em i l ds o l u t i o n s i ti sd i f f e r e n tf r o mt h ef i r s to r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l 1 e q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rs e c o n do r d e rn o n l i n e a ri m p u l - s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n s ： f ( ) = b j z ( t ) + a x ( t ) + f ( t ，z ( t ) ，士0 ) ) t ( o ，t 】d ， a z ( t i i 竺怒i i lt i d 。， i) = g 。( z ( t ：) ) 、 【a i ( t i ) = 凰( 圣( z ：) ) t i d w h e r ed = t l ，t 2 ，一，k ) c ( 0 ，t ) ，0 t l t 2 cp ( a ) a n df o rs u c h ， i i 驴( a ，a ) i t c r ) s 朋( j a i 一) 一“ f o re v e r yn n ow h e r ee ( x 1i st h es e to fb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r s t h e o r e m2 l 3 ( s t o n et h e o r e m ) a no p e r a t o raw i t hd ( a ) a n dr ( a ) i nah i l b e r t s p a c ehi st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro faq - g r o u po fu n i t a r yo p e r a t o r s u ( t ) ，t 科 i n h i f a n do n l y i f i a = ( i a ) + t h e o r e m2 1 4 l e tai st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro f 岛一s e m i g r o u pf 丁( # ) ，t 0 ) o nx t h e n ( 1 lt h e r ee x i s tc o n s t a n t su 0a n dm is u c ht h a t ( 2 ) f o rz x i i t ( t ) l l z c x ) m e 。f o r0 t 0 ，t h e r ei sl ( p ) 0 ，s t 9 ( t ，1 ) 一g ( t ，z 2 ) l l x l ( p ) ( i i x , 一+ 2 1 1 x ) p r o v i d e d 忙1 l i x ，1 1 = 2 1 i x 茎p ( 3 ) t h e r ee x i s t sac o n s t a n tk 0s u c ht h a t i g c t ，z ) i sk ( 1 + i l = l l x ) ，eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h em i l ds o l u t i o no ft h ef i r s to r d e rn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n ( 2 2 ) a st h ef o l l o w i n g d e f i n i t i o n2 2 1 ( m i l ds o l u t i o n ) af u n c t i o nz c ( x ，x ) i ss a i dt ob eam i l ds o l u t i o n o f ( 2 2 ) i f 。i sas o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gi n t e g r a le q u a t i o n ： ，t z ( ) = t ( t ) z o + t 0 一s ) g ( s ，。( s ) ) d s ，x o x d 0 t h e o r e m2 2 1 l e tt h ea s s u m p t i o n sf a x 】，【g l 】h o l d ，t h e nf o re v e r y o x ，t h e p r o b l e m ( 2 2 ) h a sau n i q u em i l ds o l u t i o nz c ( z ，x ) a n d ， z ( t ) = t 0 ) z o + t ( t s ) g ( s ，。( s ) ) d s ，x o x j u n o w ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gf i r s to r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a - t i o n s ： l 圣( t ) = a x ( t ) + 9 ( t ，z ( t ) ) t i i d ， z ( 0 ) = x 0( 2 3 ) ia x ( t i ) = ( 。( 如) ) t i d w h e r ed = t l ，t 2 ，j k c ( o ，t ) ，0 t l t 2 0 ，s u c ht h a t 恻f g l ( ，x ) p r o o f ( 3 3 ) h a s u n i q u em i l ds o l u t i o na sf o l l o w s ： z ( ) = n ( ) z 。+ t 2 ( ) ( x l - b x o ) + o 。t 2 ( t r ) ，( r ，。( r ) ，士( r ) ) d r 1 2 f r o mt h ep r o p o s i t i o n3 21 土0 ) = ( 孔( t ) + b 五0 ) ) 。o + t d t ) ( z 】一b x o ) + ， 上t l ( 一7 ) m ，。( r ) ，( 7 ) ) 8 r = t 3 ( t ) z 。+ t l ( t ) 。t + 上孔( t r ) ，( r ，。( r ) ，士( r ) ) d r 帕= n l a x s u p i i t 3 ( t ) l l t c x ) ，s u p 蚝川孔( 圳i ( x ”s u p ，1 i t 2 ( t ) l l t ( x ) ) t e l c j w eh a v e i x ( ) 慨+ 愀) 队s m + + 2 m l 上k ( 1 十黼) 肚+ 慨t ) l j x ) 8 7 ， u s i n gg r o n w a l ll e m m a ，o n ec a nv e r i f yt h a tt h e r ee x i s t sap o s i t i v ec s u c ht h a t ： 1 i x l l c - ( ，x ) sc t h e o r e m3 2 a t h ea s s u m p t i o n sf b 】，f f ja x eh e l d ，t h e nf o re v e r yx 0 d ( 占) ，x l x t h ee q u a t i o n ( 3 3 ) h a sau n i q u em i l ds o l u t i o n p r o o f ( 1 ) l o c a le x i s t e n c e ： t h e r ee x i s t sac o n s t a n tr 0s u c ht h a tt h ee q u a t i o n ( 3 3 ) h a sau n i q u em i l d s o l u t i o no nt i m ei n t e r v a l 0 r 】 c o n s i d e rt h eb a l lg i v e nb y 宜( 。o ，x l ，1 ) = ( c 1 ( 【o ，r ，x ) ：j k ( t ) 一s 0 0 x + i i ( t ) 一x lj j xs1 ) w h e r etw o u l db ec h o s e n b ( x o ，x l ，1 ) c 1 ( 0 ，t 】，x ) ) i sc l o s e dc o n v e xs u b s e t d e f i n et h en o n l i n e a ro p e r a t o rf o n 雪( z o ，。1 ，1 ) g i v e nb y ( f ( ) ( ) = 丑( f ) z 。+ t 2 ( t ) p - 一日z 。) 十f i t 2 ( 一r ) ，( r ，( r ) ，( r ) ) 打 p r o mp l 0 1 ) o s i t i o n3 2 2 ，w eh a v e ： ( f ( ) ( ) = t 3 ( t ) x o + t l ( t ) z l + 噩( t r ) f ( r ，( ( r ) ，( t ) ) d 7 ，【 j 0 1 3 x z+ x +lk 0 ，s u c ht h a tf o r t 【0 ，7 - 1 ， ( f o ( t ) 一z o l l x + l l ( f ( ) ( ) 一z 1 1 1 xs1 t h a t l s： f ( b ( x o ，2 ；1 ，1 ) ) cb ( x o ，x l ，1 ) f o r 。，y ( z 0 ，z l ，1 ) ，f r o ma s s u m p t i o n 【f ，w ec a np r o v et h ef o l l o w i n g i n - e q u “i t y 。 j i ( f x ) ( t ) 一( f y ) ( t ) i l x 4 - i ic f x ) c t ) 一( f y ) ( t ) 1 x 2 v 与t l ( p ) ( u x 9 8 x + l k 一口i i x ) s e t w eh a v e 功= 面丽1 ，r = m i n n ，n ) 2 m , l ( p ) t l t h a ti sf i sac o n t t 。a c t i o nm a p p i n go nb ( x o ，x 1 1 ) h e n c e ： j p t = 孔( ) z o + t 2 ( ) ( 。l b 。) + 0t 2 ( 一7 ) m ，( ( 7 ) ) 打 f r o mp r o p o s i t i o n3 2 2 ，e g ( o ，丁】，d ( b ) ) ，e c 1 ( 【0 ，r 】，x ) f r o md e f i n i t i o n3 2 1 ， t h e nci st h eu n i q u em i l ds o l u t i o no n 0 ，7 】 ( 2 ) g l o b a le x i s t e n c e ： w eu s el e m m a3 2 1 ，t h e nf o rt 【o ，t 】，t h es y s t e m ( 3 3 ) h a sau n i q u em i l d s o l u t i o n t h ep r o o fi sc o m p l e t e 1 4 3 3t h es e c o n do r d e ri m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n s t h i ss e c t i o ni sc o n c e r n e dw i t ht h eo r d i n a r yt h e o r yo fs e c o n do r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i v ee q u a t i o n sa st h ef o l l o w i n g ： f ( t ) = b x ( t ) + a x ( t ) 4 - 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