（基础数学专业论文）广义taft代数的drinfeld+double结构及其在纽结不变量上的应用.pdf

t h e s i sf o rm a s t e rd e g r e e ，2 010 u n i vc o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 2 5 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y t h ed r i n f e l ，dd o u b l es t r u c t u r eo f g e n e r a l i z e dt a f ta l g e b r a sa n d t h e i r a p p l i c a t i o nt ok n o ti n v a r i a n t s d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c sd e p a r t m e n t m a jo r：purem a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ：l i e a l g e b r a sa n dq u a n t u mg r o u p s s u p e r v i s o r s ：p r o f e s s o r h u n a i h o n g a u t h o r ：l iy u n n a n m a y2 0 1 0 华东i j i f i 范大学学位论文原创性声明 是在淼糍主蠢窆蕊悠燃燃耋黧滞是在华东师范大学攻读硕企博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究一r u 作者签名：望缯日期：耐d 年钿日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 崩币淌防仡向搿以山c e 缮魏曜葩宠妒髦黝师范大学攻读学位 期间在导师指导下完成的啪博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向 主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的1 7 1 t i l i l 版和电 子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将 学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标 题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文i , l l ， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名本人签名黎 z o 0 年f 月j 日 宰“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过 的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为 有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权) 。 黎允楠硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位 备注 撇裁授笋炳燃 主席 撇教授例袱熬颥 刘路国猁烫鹎修撼 目录 摘要i a b s t r a c t 】口【 弓l 言1 二记号与定义3 三广义t a f t 代数的d r i n f e l ，dd o u b l e 结构8 四有向量子代数介绍1 7 五关联于有向量子代数的纽结不变量1 8 六关联于d r i n f e l ，dd o u b l e 的纽结不变量2 l 七例子2 3 八由d r i n f e i d d o u b l e 的表示诱导的纽结不变量3 5 九附录4 8 参考文献5 8 致谢6 0 摘要 t a f t 代数是一类重要的非交换非余交换h o p f 代数，它由一个群象元和一个斜本 原元生成而胡乃红教授在2 0 0 4 年的文章【h u l 】中给出了a b e l 李代数的量子包络代 数在q 为单位根的情形下，它存在一个有限维的商代数，我们称之为广义t a f t 代数 本文先研究广义t a f t 代数的d r i n f e l dd o u b l e 结构，再参考d a v i d r a d f o r d 近期发表在 j o u r n a lo fa l g e b r a 的一系列文章，给出这个d o u b l e 作为拟三角h o p f 代数在纽结不变 量上的应用 关键字：广义t a f t 代数群象元拟三角h o p f 代数d r i n f e l dd o u b l e 纽结不变量 a b s t r a c t t a f ta l g e b r a sa r ea ni m p o r t a n tc l a s so fn o n c o m m u t a t i v e ，n o n c o c o m m u t a t i v eh o p fa l - g e b r a s ，g e n e r a t e db yag r o u p l i k ee l e m e n ta l o n gw i t hap r i m i t i v ee l e m e n t i nt h ep a p e r 【h ul 】 p u b l i s h e di n2 0 0 4 ，p r o f e s s o rh un a i h o n gg a v et h eq u a n t i z e du n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r a o fa b e l i a nl i ea l g e b r a f o rt h ec a s ew h e nqi sar o o to fu n i t y , i te x i s t saf i n i t ed i m e n s i o n a l q u o t i e n ta l g e b r a ，c a l l e dt h eg e n e r a l i z e dt a f ta l g e b r a o u rp a p e rw i l lf i r s ts t u d yt h ed r i n f e l dd o u b l es t r u c t u r eo fi t ，a n dt h e ne n d o wi tw i t hs o m ea p p l i c a t i o nt ok n o ti n v a r i a n t sa s q u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a ，r e f e r r i n gt oas e r i e so fd a v i dr a d f o r d sp a p e r sp u b l i s h e di n j o u r n a lo fa l g e b r aj u s tr e c e n ty e a r s k e y w o r d sg e n e r a l i z e dt a f ta l g e b r ag r o u p l i k ee l e m e n tq u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a d r i n f e l dd o u b l e k n o ti n v a r i a n t i i 一引言 研究纽结和3 一流形是低维拓扑学中一个举足轻重的部分而在二十世纪初，基于 代数拓扑学的纽结理论发展迅速。这个学科分支的终极目标就是纽结型的完全分类， 这需要一个完备的纽结不变量所谓纽结不变量。通常是一个从纽结同伦等价类( 简 称纽结型) 集合到某一代数集合的映射如果这个映射是单的，则它就可以区分所有 的纽结了，我们称这样的纽结不变量是完备的然而，因为纽结型是一个几乎不存在 任何递归规律的复杂对象，在理论上证明纽结不变量的完备性是天荒夜谈在实际操 作中，拓扑学家们往往满足于构造一些区分能力强而计算方便的不变量，例如能够通 过计算机程序获取的 早期利用同伦群这一强有力工具，他们构造了许多经典的纽结不变量，例如著名 的a l e x a n d e r 多项式，就是通过计算纽结补空间的无限循环覆叠空间的同伦群而得到 的另外，还有j o n e s 多项式，k a u f f m a n 多项式以及h o m f l y 多项式等通过将纽结 这样的三维拓扑对象投影到二维平面成为纽结图。然后再用组合方法证明纽结型一 一对应于纽结图在相差r e i d e m e i s t e r 移动下的等价类，从而即将拓扑对象转化为组合 对象来研究上述提及的所有经典不变量都是建立在纽结图上的，下文中所使用的不 变量也是如此经典不变量的优点就是存在所谓的s k e i nr e l a t i o n ，通过计算机程序能 够得到所有的纽结型所对应的不变量取值( 当然鉴于计算机的计算能力也是有限的， 这只是理论上的可能) 到了二十世纪八十年代，量子不变量作为低维拓扑与数学物理的交叉应用被发 现在开创性的文献【r t ，【t u 】中，作者通过量子群及其表示巧妙地构造了纽结乃至 3 一流形的不变量这是具有一般性的构造，也是量子不变量的雏形往后随着越来越 多量子群的发现，纽结理论的研究也相继进入了一个崭新的时代关于各种量子不变 量的详细介绍，可以参考文献【o h t 有趣的是，几乎所有的经典不变量均可以通过量 子群的表示构造出来其中，j o n e s 多项式就可以视为最简单的一类量子不变量 而我们正文中所使用的有向正则不变量，具体参考文献【r s ，就是借助于量子群 来构造的，即所谓有向量子代数的概念这种构造方式强烈依赖于量子群中拟三角 h o p f 代数的r 一矩阵，因为它所满足的辫子关系恰好表征了r e i d e m e i s t e r 第三种移动 下的等价类而h o p f 代数的d r i n f e l dd o u b l e 是由量子群的创始人v l a d i m i rd r i n f e l d 于1 9 8 6 年在b e r k e l e y 的国际数学家大会中提出的一种代数构造至此之后它便作为 获取拟三角h o p f 代数的一种典范构造而被广泛应用 我们文章中所使用的有向量子代数取自一拟三角h o p f 代数，即广义t a f th o p f 代 数的d r i n f e l dd o u b l e 早在7 0 年代，t a f t 代数作为素幂平方维h o p f 代数结构的著名 例子被美国数学家t a f t 发表在美国科学院院刊p n a s 上而在2 0 0 4 年的文章 h u l 】 一 引言 中，胡乃红教授给出了a b e l 李代数的量子包络代数这一新的量子群结构在单位根 情形，它存在一有限维商代数，即广义t a f t 代数鉴于拟三角h o p f 代数具有自然的有 向量子代数结构，正文首先对广义t a f t 代数的d r i n f e l dd o u b l e 结构进行研究，这当中 主要涉及到广义t a f t 代数的对偶代数然后，我们对有向量子代数，以及关联于这一 类代数的纽结不变量作简单的介绍，再利用广义t a f t 代数的d r i n f e l dd o u b l e 的既得结 果计算相应的不变量 2 二记号与定义 根据文献【p w 】中所给定义，域k 上的量子仿射万一空间是指一个二次代数 七【a 驴】= k x l ，而) ( 蔚巧- q x j x f ，i 力 现在令人= oz 日是一个秩，l 自由a b e l 群，其中e i = ( t ，l i ，) 西为k r o n e c k e r 符号于是 f j i ，是a 的一组典范基另外，对a = 缸l ，口n ) ，卢= 够l ，一，风) 人， ，i f n 下记6 。= 以l a 6 岛 在文献【h u 】中，胡乃红教授给出了人上的一个斜双特征标口：a a _ k ，它定 义为 联口，p ) = 矿* p - 8 + “，a ，卢人，q k ， n l 其中1 宰卢= 让特别地， p ( 日，e j ) = ql 1 i = 工 q 一1i ：人人一z 是一个对称双线性型，使得( 日，勺 = 妨一般地，对任意 n 口，p a ，有( 口，卢 = c p f f = l 3 二记号与定义 显然，k ( a ) k ( 3 ) = k 似+ 励= k ( f 1 ) k ( c r ) 。当q = l 时，即有k ( 0 0 = i d 令) 是域k 上的一个结合代数，它由符号k ( f j ) “，x i ( 1 f n ) 生成，并关联 于人上的斜双特征标日定义关系为： ( r 1 ) k ( e f ) k ( 勺) = 联f f + 勺) = k ( 勺) k ( 日) ，k ( e d 士k ( e f ) 千= k ( 0 ) = 1 ， ( r 2 ) k ( f f ) 。= k ( c e d = i ( f = c h a r ( q ) ) ， ( r 3 ) k ( e i ) x j k ( e i ) 一1 = p ( e f ，勺) 一x j ， ( r 4 ) x i x j = p ( i ，e j ) x j x i 其中，c h a “口) = m i n ，z 。iq r = 1 ) 显然，码( ，1 ) 包含量子仿射n 一空间足m 严】作为它 的子代数下面给出h o p f 代数结构( 确( n ) ，a ，s ) ： a ：仍) 。) o 而( ，1 ) ，( k ( e f ) ) = k ( 日) 士p k ( e f ) ，a ( x i ) = x i o1 + k ( 日) o x i ， ：蜗( ，1 ) 一k ，( 敞日) ) = i ，e ( x i ) = 0 ， s ：嵋) 一确( n ) ，5 ( k ( 日) 土) = k ( f f ) 千，占( 力) = 一k ( e f ) 一x 为了下文引用方便，我们还要给出一些与h o p f 代数有关的概念 定义2 1 给定域k 上的一个h o p f 代ef h 称为h 的一个左积分( 1 e f t i n t e g r a l ) , 如果 h f = e ( h ) r y h h 类似地，可以定义日的右积分f r f g h ti n t e g r a l ) 一个熟知的事实是，任意有限维h o p f 代数的左右积分均张成一个一维理想而 且，易知左右积分通过对子s 相互转换有了积分的概念，就可以定义特异群象元了 定义2 2 给定域k 上的一个h o p f 4 馓h ，g h 称为h 的一个群象元( g r o u p l i k ee l e m e n t ) , 如果 g 0 ，( g ) = gog 下文将目的群象元全体生成的群记为g ( 而如果h 是有限维h o p f 代数，已知它 的左积分张成一个一维理想现在给定- - - - 1 1 二零左积分人则易知存在唯一的群象元 口h 。使得 f h = a ( h ) r v h 鼠 口即称为日的特异群象元r d i s t i n g u i s h e dg r o u p l i k ee l e m e n t ) 4 二记号与定义 由于有限维h o p f 代数的对偶空间有自然的h o p f 代数结构，我们又有h 的左右积分的概念但不同的是，我们关联于它的非零右积分a ，给出h 的特异群象 元g ，即 p = p ( g ) a ，y p h 接着要提及的，是拟三角h o p f 代数这一重要概念对于拟三角h o p f 代数的具体 性质可以参考文献【k a 】或者【m o n 定义2 3 在域k 上的一个几乎余交换删代数是指一个二元对( e 尺) ，其中 日是域k 上的一个h o p f 4 x 数，r hph 是一可逆元，使得对任意的h h ，有 1 ( ( ) ) = r a ( h ) r 一 其中，f 是e 仃d ( h o h ) 中的换位映射 另外，如果冗进一步满足? ( q t1 )( o l d ) r = r 1 3 r 2 3 ， ( q t2 1 ( i d o a ) r = r 1 3 r 1 2 其中，记r = f a f o b i ，而r 1 2 = f a i o b i ol ，r 2 3 = f1o a i o b i ，r 1 3 = f a i o1o b i 那么，称( e 尺) 是一个拟三角h o p f 4 城，r 为h 的广义r 一矩阵 容易验证，如果( 尺) 是拟三角h o p f 代数，那么尺满足以下量子y a n g b a x t e r 方程： r 1 2 r 1 3 r 2 3 ：r 2 3 r 1 3 r 1 2 定义2 4 给定拟三角h o p f 代 ( e 尺) ，我们说v h 是一个拟r i b b o n 元，如果 它满足以下条件? ( r 1 ) 伊= u s ( u ) ， ( r 2 ) s ( v ) = y ， ( r 3 ) ( ，) = l ， ( r 4 ) a ( v ) = ( r 2 1 尺) - 1 ( ，9v ) 其中，r 2 1 = r ( 尺) ，而“为d r i n f e l d 元 当 ，落在的中心时，则称它为r i b b o n 元并称( 且尺，力是一个r i b b o nh o p f 代 数 注记2 5r i b b o n 删代数在纽结理论上的应用主要体现为构造加m 耐l i n k 的 不变量，或者由它的表示构造算子不变量( o p e r a t o ri n v a r i a n t ) , 这是构造环绕合痕不变 5 二记号与定义 量( a m b i e n ti s o t o p yi n v a r i a n t ) 的有力手段详细论述可参考文献 o h t ，c h 4 根据文献 k a u 中的解释，一个加m 鲥结可以看成是一条嵌入到三维球面s 3 中的缎带j f s 1 ， 而缎带的扭( t w i s t ) 的符号和是它的一个重要的拓扑特征，称为它的f r a m h z g r i b b o n 吲代数的取名主要就是缘于它的这一有趣应用 接着要介绍有限维h o p f 代数h 的d r i n f e l dd o u b l ed ( 日) 下文对d ( 聊的描述将 采用文献 m o n ，1 0 3 中的记号d ( 忉是一个拟三角h o p f 代数，底空间为h 。o 日，而 我们一般记 d ( 研= ( h + ) 唧hh 它的乘法定义是 仞。 ) ( q 。七) = p ( ( 1 ) 一q s 一1 ( j i l ( 3 ) ) ) 。厅( 2 ) 足，v j i z ，k h , p ，q h 而余乘定义与( 日+ ) c o poh 一致另外，d ( ) 的广义r 一矩阵为 欠= ( o h i ) o ( 彤o1 ) 其中 i ，以l 是日的一组k 一基， j i l l ，矿 是日+ 中的一组对偶基，而r = d i m h 在上述定义中，我们采用了标准的s w e e d l e r 符号：( ) = h o ) oj l l ( 2 ) ，y h h 下文 将会一直沿用这种记号另外，我们也采用了e i n s t e i n 求和约定，将求和号略去例如 有 h i ( a ) h f _ a ，va h 为了方便下文考虑d r i n f e l dd o u b l e 的表示，还要给出h o p f 代数的y e t t e r - d r i n f e l d 模的定义 定义2 6 对任意域k 上的h o p f 代 h 七一向量空间m 称为一y e t t e r - d r i n f e l d 日模，如果m 有左h 模结构( m ) ，以及右h 一余模结构( 尬p ) ，并满足以下兼容性条 件 | i l ( 1 ) m ( o ) o h ( 2 ) m ( d = ( j i l ( 2 ) m ) ( o ) 固( | l l ( 2 ) m ) o ) h o ) ，v j i leh , m m 当h o p 存在对子s 时，此条件等价于 p ( h m ) = ( 2 ) ，咒( o ) oj i l ( 3 ) ，竹( 1 ) s ( ( i ) ) ，y h e m m 在上述定义中采用的，仍是s w e e d l e r 符号：p ( m ) = m ( o ) p m ( 1 ) m 圆h 关于h o p f 4 - 懒 的余模的叙述详见文献【m o n 6 二记号与定义 下面记y e t t e r - d r i n f e l dh 一模范畴为h d ，当中的态射由既是左h 一模映射，又 是右日余模映射的映射构成根据s m a j i d 的一个重要结果，我们可知对于任意有限 维h o p f 代数日，它的d r i n f e l dd o u b l ed ( 忉的左模范畴可以等同于模范畴月舻这 主要是因为此时膨有右弘余模结构( m p ) 当且仅当它有左日+ 模结构( m ) ，而此左 日一模结构定义为 p m = p ( m ( 1 ) ) m ( o ) ，v p 日，m m 对于m h y z ，它的左d ( 印一模结构则定义为 ( p oh ) m = p ( h m ) = p ( ，l ( 3 ) ，行( 1 ) s ( ( 1 ) ) ) j i l ( 2 ) 朋( o ) ，y h e p h ，m m 此左d ( 忉一模结构的合理性由上述兼容性条件保证 另外，若任取如上所述的有限维左d ( h ) 一表示( m 丌) ，我们可得如下y a n g b a x t e r 方程的解： r m = 丁0o r 9 丌) ( 欠) e n d ( m 圆m ) 其中，丁是e n d ( mo 加中的换位映射这是因为r m 满足y a n g b a x t e r 方程： ( 尺肘o i d m ) ( i d m o r m ) ( r m o i d m ) = ( i d m 圆r m ) ( r m p i d m ) ( i d m r m ) 具体展开可知，对任意m ，l m ，有 r m ( m 圆以) = ( h o1 ) ，zo ( 圆h i ) m = | l l ( n ( i ) ) 凡( o ) h i m ( 2 2 ) = ，l ( o ) o n ( 1 ) m 7 三广义t a f t 代数的d r i n f e l dd o u b l e 结构 当9 为f 次本原单位根，t i pf = c h a r ( q ) o ， 注意到( m ) 口! o ，o m f ，而沏) 91 = o ，m f 当o m f 时，又可定义 ( 打尚 下面约定魄- 0 ，m ：，o ( a ，矿+ r 1 ) q ( 口旷+ 叩) 妒k ( a + 励 j 口 = ，+ 玎y p ( 口，矿+ 玎) g 0 ( 0 2 ，y ) q ( r , o 2 ) x y k ( o ：) = q 2 ( y , 矿2 ，k 缸) = q - l y l x r k ( o ：) = ，( ，k ( a ) ) 那么由文献 k - r h ，定理l 可知，d ( 初有唯一的r i b b o n 元 ，= “体( ( + 1 ) 2 ) 一1 。k ( o - 2 ) 一1 ) = “( 贾( 旷2 ) 圆k ( ( h1 ) 2 ) ) ， 其中蹦为d ( 奶的d r i n f e l d 元 1 6 四有向量子代数介绍 下面我们要将r a d f o r d 在文献限s 】中关于有向量子代数( o r i e n t e dq u a n t u m a l g e b r a ) 的结果应用到广义t a f t 代数的d r i n f e l dd o u b l e 上，试图具体算出一些纽结 不变量 定义4 1 定义在域k 上的一个有向量子代数是一组四元对( a ，p ，d ，u ) 其中a 是域k 上的一个代数，p ao a 是一可逆元，而d ，u 是a 的两个可交换的代数自同 构。满足 ( q a 1 ) ( i d aou ) p ) 和( d o i d a ) ( p = 1 ) 在ao a o e 中可逆， ( q a 2 ) p = ( d o d ) p ) = ( u ou ) l o ) ， ( q a 3 ) pj 2 pj 3 p 2 3 = p 2 3 p 1 3 p 1 2 ， 其中，记p = 罗口f 。6 f ，而 。一i p 1 2 = a i 。帕p3 = a i 。1 。b i ，0 2 3 = l 。a i 。“ 定义在域k 上的一个带扭有向量子代数r t w i s to r i e n t e dq u a n t u ma l g e b r a j 是 一组五元对似，p ，d ，ug ) ，其中进一步要求g a 可逆，且对于任意x a ，有 ( dou ) ( 力= g x g 现在假设( 见p ) 是域k 上的一个拟三角h o p f 代数，并记p = fa iob i d r i n f e l d 元u = fs ( b i ) a i 是可逆的，u 一1 = f b i s 2 ( 口f ) ，且对任意的x h ，有s 2 ( x ) = u x u 命题4 2 日是域k 上的一个拟三角h o p f 代数，那么( m p ，i d h ，r 2 ，“一1 ) 是一个 带扭有向量子代数 证明：直接验证定义4 1 由于h o p f 代数的d r i n f e l dd o u b l e 就是为了得到拟三角h o p f 代数的一种标准构 造，可知d ( 衫) 是域k 上的一个带扭有向量子代数，即有五元组 ( d ( 奶，欠，i d o ( d ) ，s 2 固s - 2 “q ) ， 其中 欠兰y i r l ( o h i ) o ( o1 ) ， u = z i r l s - i ( j i z ) o h i = 名lh os - i ( 锄) ， 而 l ，h ， 是仰) 的一组k 一基， j i l l ，h 7 是碣( ，1 ) + 中的一组对偶基，其中 ，= d i m q ( n 1 = e 2 ” 1 7 五关联于有向量子代数的纽结不变量 下面简单介绍一下在文献 r s 】中构造的关联于有向量子代数的正则合痕不变量 ( r e g u l a ri s o t o p yi n v a r i a n t ) 关于纽结理论的基本知识，可参考文献 k a u l 而关于这个 i e 贝j 不变量的详细论述，可参考文献【l 艰】给定一个带扭有向量子代数似，p ，d ，以g ) ， 首先构造的是一个有向l l 线团( t a n g l e ) 平面图的正则合痕不变量， i n v a ：t a n g a 其中，t a n g 是由所有有向1 1 线团平面图所构成的集合下面是一个简单的有向l l 线团的例子： 图 1 为了得到i n v ，文献中先是构造一个形式乘积( f o r m a lp r o d u c t ) w a ( t ) ，t t a n g ， 然后特殊化为w a ( t ) a ，最后令i n v a ( t ) = w a ( t ) 形式乘积w a ( t ) 是采用“滑珠式标签”的方法来定义的具体说来，对于t t a n g ， 若它没有交叉点，那么令w a ( t ) = 1 若它有m 1 个交叉点，则顺着它的定向，依次 对交叉线标签为x l , 耽，娩埘例如下面就是一个完成标签的有向1 1 线团图： 一 一一图2 另外，任意一个有向线团平面图还有以下组成单元，即四种有向局部极点 ( o r i e n t e dl o c a le x t r e m a ) ： 1 8 五关联于有向量子代数的纽结不变量 厂、厂、 ( u 一)( u + )( d + )( d 一) 对于1 i 2 m ，令l l d ( d 为珠子从第i 条交叉线滑到线团t 的终点期间所遇到的 ( d + ) 型极点数目与( d 一) 型极点数目之差类似定义( d ，那么记 w a ( t ) = y , d 1 ) ou 籼( 1 ) ( 工1 ) d “d ( 2 r ) ou “u ( 锄) ( 砣脚) 当用a 对w a ( t ) 特殊化时，交叉点作如下标签： l l ( 5 1 ) 其中，简记p 一1 = e o e 7 ，p = e 圆e 7 鉴于要求i n v a 是一正则不变量。其余定向的交叉 点可通过局部极点转化为上述两种标准情形进行标签，相当于作一次滑珠处理，例如： e d ( e 7 待将w a ( t ) 特殊化得到有向线团不变量l n v a ( t ) 后，即可适当转化为有向链图( 1 i n k d i a g r a m ) 的不变量 任意一个有向纽结图( k n o td i a g r a m ) 可以看成是一个有向l l 线团首尾相接所成 的平面图而有向链图( 1 i n kd i a g r a m ) 则由一个或多个有向纽结图构成，它们称为这个 有向链图的分支例如将图1 中的线团首尾相接，即为一左手系的t r e f o i l 结 根据【k r l ，定理3 ，由有向线团不变量过渡到有向链不变量，除了要用到扭元g 外，还需选取a 上的一个迹函数( t r a c e 1 i k ef u n c t i o n ) t r ，满足t rod = t r = t r ou 其中 f a 是一迹函数当且仅当，( a b ) = f ( b a ) ，y a ，b a 这是因为纽结( 或链) 由一条( 或 若干条) 拓扑上的闭曲线构成，必须对每个分支各选取一个基点来计算而通过用g 作调整取取迹函数则可保证不变量与基点选取无关 现记l i n k 为由所有有向链图构成的集合令l l i n k 有分支l l l ，下面类 似定义形式乘积w ( l f ) 当k 不含有交叉线时，w ( l e ) = 1 否则，由于拓扑上的原因可以在k 的一竖直 线上选取基点n 珠子从n 出发，顺着k 的定向滑动，返回r 后停止途中所遇交 叉线依次标记为( ，：1 ) ，( f ：m r ) 对于l f m t ，类似定义( f ：f ) ，和( f ：d 差 1 9 五关联于有向量子代数的纽结不变量 别仅在于，现在涉及的是由交叉线( f ：f ) 沿定