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双圆盘h a r d y 空间上的拟游荡子空间 摘要 这篇硕士论文主要研究双圆盘h a r d y 空间日2 ( t 2 ) 上的拟游荡子 空间的和砌正+ 砌死，着重考虑了在一定条件下，日2 ( t 2 ) 的不 变子空间m 与砌疋+ 砌死的关系，同时也考虑了在一定条件 下，日2 ( t 2 ) 的后移不变子空间与尸霉m + 确m 的关系本文 中使用的主要工具是b e u r l i n g 定理 第一章首先给出了一些基本概念及符号，最后介绍了拟游荡子空 间研究的背景与意义 第二章介绍了单变量h a r d y 空间与b e r g m a n 空间的不变子空间， 游荡子空间及拟游荡子空间，并给出了这三个子空间的相互关系 第三章包含了本文的主要结论，证明了：假设m 是双圆盘 h a r d y 空间日2 的一个非平凡不变子空间，且mon = h 2 ，若0 z ( mnh 2 ( 名) ) 或者0 z ( mnh 2 ( 伽) ) ，则有 砌e + p j v i t 。o n n 2 = m 同时也证明了：若m = q t h 2 + q 2 日2 ，其中q x = q l ( z ) 和q 2 = q 2 ( w ) 是非常数的单变量内函数，则有【砌疋+ 砌瓦】h ：= m 同时举 例说明 第四章证明了在一定条件下，日2 ( t 2 ) 的后移不变子空间可以 由昂贮m + 昂咒m 生成同时举例说明 关键词：双圆盘h a r d y 空间；不变子空间；拟游荡子空间 q u a s l w a n d e r i n gs u b s p a c ei nt h eh a r d y s p a c eo nt h eb i d l s c ab s t r a c t t h i sp a p e rc o n c e r n sw i t hq u a s i w a n d e r i n gs u b s p a c e si nt h eh a r d y s p a c eo nt h eb i d i s c ，a n dw ef o c u so nt h er e l a t i o nb e t w e e ni n v a r i a n ts u b s p a c e sa n dq u a s i w a n d e r i n gs u b s p a c e su n d e rs o m ec o n d i t i o n m o r e o v e r , w ea l s os t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nb a c k w a r ds h i f ti n v a r i a n ts u b s p a c e sa n d p n t ：m + p n t 急m u n d e rs o m ec o n d i t i o n t h ep r i n c i p a lt o o li sb e u r l i n g t h e o r e mi nt h ep a p e r i nc h a p t e r1 ，w eg i v es o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n ds y m b o l s a tl a s t ，w e d i s c u s ss o m er e l a t e dr e s e a r c hg r o u n da n dr e s e a r c hs i g n i f i c a n c e c h a p t e r2i sc o n c e r n e dw i t hi n v a r i a n ts u b s p a c e s ，w a n d e r i n gs u b s p a c e s a n dq u a s i w a n d e r i n gs u b s p a c e si nt h eo n ev a r i a b l eh a r d ys p a c ea n db e r g m a n s p a c e m o r e o v e r , w eg i v et h er e l a t i o na m o n gt h et h r e es u b s p a c e s c h a p t e r3i st h em a i np a r to ft h i sp a p e r i ti sp r o v e dt h a tl e tm b ea n o n t r i v i a li n v a r i a n ts u b s p a c ei nt h eh a r d ys p a c eo nt h eb i d i s c ，a n dmo n = h 2 ，i f 0 z ( m n 日2 ( z ) ) o r0 z ( m nh 2 ( 叫) ) ，t h e n 【p m t z n + 砌死 日2 = m i t i sp r o v e dt h a tl e tm = q l h 2 + 他日2 ，q l = q l ( z ) a n d q 2 = q 2 ( w ) a r eo n ev a r i a b l ei n n e rf u c t i o n s ，t h e n p m 互+ 砌死n h 2 = m m o r e o v e r ，w eg i v es o m ee x a m p l e s i nc h a p t e r4 ，w es h o wt h a tb a c k w a r ds h i f ti n v a r i a n ts u b s p a c enc o u l d b eg e n e r a t e db yp n t ：m + p n t 葛mu n d e rs o m ec o n d i t i o n m o r e o v e hw e g i v es o m ee x a m p l e s k e y w o r d s ：h a r d ys p a c e i nt h eb i d i s c ；i n v a r i a n ts u b s p a c e ；q u a s i w a n d e r i n gs u b s p a c e 淅江师范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担 储躲舷舷啉刁年钿加 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和 借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文同意浙江师范大 学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容 保密的学位论文在解密后遵守此协议 名：够够一名：弋撕似吼脚 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理 条例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成 果、数据、观点等，均己明确注明并详细列出有关文献的名 称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和 版次等内容。论文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ： 指导教师： 、黻膨 乜抄乡 1 1 基本概念及符号 1绪论 记c 为复平面，t ，d 分别为c 中的单位圆周和单位圆盘l 2 ( t ) 表示t 上 的平方可积函数空间，则h a r d y 空间日2 ( t ) 定义为： 矾t ) = ，职巩芴1 孙f ( e i 伽甜_ 0 n _ 1 2 ，一 b e r g m a n 空间三：( d ) 定义为： l ：( d ) = l 2 ( d ) ah ( d ) ， 其中三2 ( d ) 表示d 上依正规化的面积测度d a 平方可积的函数空间，h ( d ) 为 d 上的解析函数全体此时，鹾( d ) 是l 2 ( d ) 的闭子空间 铲表示笛卡尔积：t t ，d m ( z ) 表示单位圆周t 上的正规化的l e b e s g u e 测 度，d m ( z ) d m ( w ) 表示环t 2 上的乘积测度日2 ( 名) 和日2 ( 叫) 分别表示变量为z 和 w 的经典h a r d y 空间l 2 ( t 2 ) 是关于测度d m ( z ) d m ( w ) 平方可积函数所构成的 一般的l e b e s g u e 空间日2 ( 铲) 是由l 2 ( t 2 ) 中的解析函数所组成的闭子空间 下面我们定义单变量h a r d y 空间h 2 ( t ) 上的t o e p l i t z 算子乃，对于 b e r g m a n 空间和双圆盘h a r d y 空间日2 ( t 2 ) 的t o e p l i t z 算子也可以类似定义 对f l 0 0 ( t ) ，即为t 上的本性有界可测函数，定义 乃( u ) = p ( f u ) ，让h 2 ( t ) ， 其中，尸为l 2 ( t ) 到日2 ( 丁) 的正交投影 让t ：h _ 日表示丁是可分的h i l b e r t 空问日上的有界线性算子，m 是 日的闭子空间，如果丁mcm ，则我们称m 为日的关于丁的不变子空间，称 me t m 为m 的游荡子空间，称p m t ( hem ) 为不变子空间m 的拟游荡子 空间其中p m 表示日到m 的正交投影对日的任意子集e ，我们用 司表示 关于丁的包含e 的日的最小不变子空间。此时我们称 e 1 是由e 所生成的 1 1 绪论 不变子空间用营表示e 在日中的闭包。若对日的任意不变子空间m ，都有 m = m e t m 成立，则称丁在日上的b e u r l i n g 型定理成立对日2 ( t ) ，l ：( d ) 来说，我们考虑的算子丁为符号为z 的解析t o e p l i t z 算子疋对日2 ( t 2 ) 来说， 我们考虑的算子丁为或死同时，我们用r a n t 和k e r t 分别表示算子丁的 值域的闭包和核 在本文中，我们用日2 ( 丁) 来表示单变量的h a r d y 空间，在不至于混淆的情况 下，我们记h 2 = h 2 ( t 2 ) ，l ：= 三：( d ) 注：日2 ( ? ) 或瑶的不变子空间是指相对于t o e p l i t z 算子t 来说的不变子空 间。 1 _ 2 研究背景与研究意义 在上世纪二、三十年代，一般的线性算子理论及它们生成的算子代数有很大 发展，同时伴随着它们在量子物理，动力系统，概率论等学科中的深入应用，算子 理论及代数成为一个非常活跃的研究方向在二十世纪六、七十年代的算子理论 热潮中，t o e p l i t z 算子作为最重要的特殊算子类之一成为了最活跃的研究对象，一 方面，它为一般的算子理论的研究提供了模型同时，它在算子理论，函数论，指标 理论及算子代数方面起着纽带的作用。比如，著名的不变子空间问题可以转化成 b e r g m a n 空间上算子尥不变子空间格的饱和性质的研究 h i l b e r t 空间是人们最为关注的一类空间之一，对h i l b e r t 空间上有界线性算 子的研究，引起了数学家们的极大兴趣，分析中的许多问题都与h i l b e r t 空间上的 某个有界线性算子的不变子空间的分类有密切的联系，著名的不变子空间问题： 无限维可分的h i l b e r t 空间上的每一个有界线性算子是否都存在非平凡的不变子 空间? 为了解决这个问题，人们开始研究经典的解析函数空间的不变子空间的 结构，像h a r d y 空间，d i r i c h l e t 空间，b e r g m a n 空间等从上世纪四、五十年代以 来，对经典的解析函数空间的不变子空间的结构的刻划得到了许多重要的结果 在1 9 4 9 年，b e u r l i n g 2 1 完全刻划了日2 ( t ) 上的不变子空间，即b e u r l i n g 定 理后来，他的理论被l a x ，h e l s o n ，l o w d e n s l a g e r , h a l m o s 等拓展到了其他许多方 面同时b e u r l i n g 的理论对实轴线上的调和分析、预测理论、代数的表示、半 群的表示、函数代数( d i r i c h l e t 代数) 的研究产生了深远的影响b e u r l i n g 的理论 极大的促进了算子理论和函数理论的发展 在1 9 8 5 年，c a p o s t o l ，h b e r c o v i c i ，c f o i a s ，a n dc p e a r c y 6 1 把不变子空间 一2 一 i 绪论 问题转化成了b e r g m a n 空间上算子尬不变子空间格的饱和性质的研究即问 题：若m ，是磋( d ) 的两个不变子空间，且cm ，d i m ( men ) 2 ，是否存 在磋( d ) 的另一个不变子空间j ，使得篓，曼m ? 在论文f 6 】中，也证明了存在 b e r g m a n 空间的不变子空间m ，使得d i m ( mez m ) = 佗( 其中n 为正整数或无穷 大) 在1 9 8 8 年，s r i c h t e r 3 1 1 完全刻划了d i r i c h l e t 空间的不变子空间，即证明 了：若m 是d i r i c h l e t 空间勿的一个非平凡的不变子空间，则有m = me z m ，d i m ( mez m ) = 1 、 由于不变子空间问题，所以引起了人们对b e r g m a n 空间研究的极大兴趣在 h a r d y 空间中，由b e u r l i n g 定理可知：若m 是日2 ( t ) 的一个非平凡不变子空间， 则有m = 【mez m ，且d i m ( mez m ) = 1 。从mez m 的维数可以看出，对不 变子空间的刻化，b e r g m a n 空间比h a r d y 空间要复杂得多至今人们还没有完全 刻化b e r g m a n 空间的不变子空间和零点序列 但在1 9 9 6 年，a a l e m a n ，s r i c h t e r , a n dc s u n d b e r gf l 】证明了：对b e r g m a n 空间的不变子空间m 成立b e u r l i n g 型定理即：m = mez m 为了描述不 变子空间，p r h a l m o s 2 3 1 引进了游荡子空间的概念，最近k i z u c h i 1 7 又引进 了拟游荡子空间的概念，在日2 ( t ) 或者l 2 ( d ) 中，对不变子空间m ，我们用 mez m ，砌正分别表示m 的游荡子空间和拟游荡子空间，到目前为止，我们 已经知道，m 可以由mez m 生成，人们自然会问：m 是否可以由p m t i v 生 成呢? 在日2 ( t ) 中，本文第2 章证明了：砌疋n = mez m 在l 2 ( d ) 中，最近 k i z u c h i 1 7 】也证明了：m 可以由砌正生成对于双圆盘h a r d y 空间日2 ，我们 也研究类似的问题，即m 是否可以由嘞互+ 生成? 为了更好的研究b e r g m a n 空问，人们发现：可以把磋( d ) 看成是双圆盘 h a r d y 空间日2 的一个闭子空间，即日2 竺l ! o z 一训】可参考本文第3 章 在2 0 0 8 年，s s u n ，d z h e n g 【2 8 】通过把磋提升到日2 中，用另一种方法证明 了：对e 的不变子空间m ，有m = f mez m l 成立通过研究双圆盘h a r d y 空间 日2 的结构和性质来解决b e r g m a n 空间中的一些问题，给人们提供了新的思路和 方法，引起了人们的极大兴趣，关于舻的不变子空间和游荡子空间的研究也涌 现出大量的文章，而对日2 的拟游荡子空间的研究在国内外还是很少因此本文 对日2 的拟游荡子空间的研究将有非常重要的意义 一3 一 2 h a r d y 空间与b e r g m a n 空间 本章主要讨论经典的h a r d y _ v _ f b - j 与b e r g m a n 空间的不变子空间，游荡子空间 及拟游荡子空间的相互关系，为后面的研究提供理论基础 2 1 日2 ( t ) 的不变子空间，游荡子空间及拟游荡子空间 h i l b e r t 空间一直是数学家们研究的一类最重要的空间之一由于h i l b e r t 空 间存在标准正交基，使得对它的研究相对于b a n a c h 空间来说要简单，并且h i l b e r t 空间有些很好的性质也是b a n a c h 空间所不具有的，研究一个空间的性质，离不开 对其上面的算子的研究，特别是对有界线性算子的研究，尽管h i l b e r t 空间有标准 正交基，但h i l b e r t 空间毕竟是抽象的空间，为了更好的研究它，人们习惯考虑更 加具体的空间：解析函数空间，像h a r d y 空间与b e r g m a n 空间等众所周知，任一 可分的h i l b e r t 空间都与f 2 等距同构，而2 2 是h a r d y 空间的离散情形，所以研究 h a r d y 空间有非常重要的意义 下面我们来看h a r d y 空间的不变子空问，游荡子空问及拟游荡子空间对 h a r d y 空间上不变子空间的刻化，我们有著名的b e u r l i n g 定理，即定理：若m 是日2 ( t ) 的一个不变子空间，且m o ，则存在日2 ( t ) 的一个内函数妒，使得 m = q o h 2 ( t ) 注：若妒( z ) h 2 ( t ) ，且l 妒( z ) i 在丁上几乎处处等于1 则称妒( z ) 为日2 ( t ) 的一个内函数 若m 是h 2 ( t ) 的一个不变子空间，我们知道：m = q o h 2 ( 丁) 游荡子空间 me z m = 妒昱2 ( t ) ez 妒日2 ( t ) = c 妒显然有 有 m = 【mez m ，d i m me z m = 1 命题2 1 1 对于日2 ( 丁) 的一个非平凡的不变子空间m ，且mon = h 2 ，则 砌正n = mez m 证明：我们先证明：嘞正cmez m 4 2h a r d y 卒间与b e r g m a n 窄问 因为 = = - - 0 ， 显然正cm 所以有 p m t 。ncmez m 又因为d i m me z m = 1 。所以d i m p m t z n = 0 或d i m p m t z n = 1 假设 d i m p m t z n = 0 ，则有z c ，又因为c ，即是俨( t ) 的一个的 约化子空间，从而是平凡的从而，得到矛盾所以d i m p m t z n = 1 从而 n = mez m 证毕 2 2 b e r g m a n 空间上的不变子空间，游荡子空间及拟游荡子空间 人们通过把h a r d y 空间与b e r g m a n 空间作一些比较，发现b e r g m a n 空间比 h a r d y 空间的结构要复杂得多关于h a r d y 空间，我们有b e u r l i n g 定理从而，通 过内函数把它的所有不变子空间都表示出来同时对h a r d y 空间中的零点序列 也做了一个刻化，那就是h a r d y 空间中的任意函数的零点序列1 ) n 1 都满足 b l a s c k 条件，即n o o ：1 ( 1 一i z n l ) 1 可以参考 1 5 k w h 2 是日2 中一类非常重要的不变子空间，我们令 = h 2 e z w h 2 ， 则 z i v ci v ，瓦i vc i v 令 0 7 1 型型窨土竺h 2 , 1 1 佗 0 了= 亍i 一t 佗u 显然 盯n ) n o 是的一组标准正交基，可参考【2 4 令和& 分别表示e 和死在上的压缩算子，即 容易计算： = p 正k ，鼠= 助死k = = 耀 1 - 盯叶- ，n o ，、7 0 二 7， 3 双圆盘h a r d y 窄问h 2 ( t 2 ) 也有 c r o = 印扎= 咒= - 斋舵l 显然我们有： s z f = s w l v f n 对的一个子集e ，我们用 e 】来表示包含关于的包含e 的的最小 的不变子空间 定义： 矽：l ：一， 痧( e n ) = t t n ，v n 0 显然西是一个酉算子，我们也有 s z 牵= s w 西= 审b = 咒= 1 3 + 从上述可以看出，& k 酉等价于层l l i 因此，在酉等价的意义下，我们可以 把鹾( d ) 看成是日2 ( t 2 ) 的一个闭子空间 3 2 h 2 ( t 2 ) 的不变子空间与拟游荡子空间 在日2 中，我们考虑的有界线性算子主要是单侧移位算子咒和死其中e 和死分别表示日2 上的符号为z 和w 的解析t o e p l i t z 算子 日2 的闭子空间m 称为是不变子空间，如果 t ；mcm 。t m mc m 。 日2 的闭予空间称为是后移不变子空间，如果 z n cn ，瓦ncn 一8 一 3 双圆盘h a r d y 空间h 2 ( t 2 ) 令砌和p 分别表示日2 到m 和的正交投影，我们称me z m 或 me w m 为不变子空间m 的游荡子空间称p m 或嘞死为不变子空间 m 的拟游荡子空间用旧已和 明分别表示关于和咒的包含e 的日2 的 最小的不变子空间f e 】日。表示铲的包含e 的最小的不变子空间用e 表示e 在h 2 中的闭包有关日2 的不变子空间的详细内容可见 3 6 ，【4 0 】 本章的主要目的是研究在双圆盘h a r d y 空间日2 中，日2 的不变子空间m 与 拟游荡子空间嘞疋，砌死的关系 下面是主要定理 定理3 2 1 假设m 是双圆盘h a r d y 空间日2 的一个非平凡不变子空间，且 mo n = h 2 ，若0 z ( mnh 2 ( 名) ) 或者o z ( mnh 2 ( 叫) ) ，则有 则有 【砌+ p m t w n h 2 = m 注：若e 是双圆盘h a r d y 空间日2 的一个子集，我们用z ( e ) 表示： z ( e ) = 芒d ：f ( t ) = o v f e ) 在证明定理3 2 1 之前，我们先给出三个引理 引理3 2 2 1 6 l k 盯尸e p m = ，m ：咒厂m on ， k e r p n t ：p m = 厂m ：t ；y m ) on 引理3 2 3 【1 6 1 若m 是双圆盘h a r d y 空间h 2 的一个不变子空间，且 m0n = h 2 ，a = p m t z p u ， r a n a = ( me z m ) e ( 日2 ( 叫) n m ) 一9 一 3 双恻盘h a r d y 窄问日2 ( t 2 ) 证明：因为r a n a = h 2ek e r a + ，又由引理3 2 。2 可知： k e r a + = k e r p n t ：p m = ，m ：t * f m ) o n 下面我们来计算 ，m ：，m ) 因为 = ， v m ，h 2ez n = ( h 2ez h 2 ) oz ( h 2e ) ， 从而。 厂m ：7 ；f m ) = mn 日2ez n = m n ( h 2 ( 叫) oz m ) = ( m nh 2 ( 加) ) oz m 所以， r a n a = h 2e 【( ，m ：t ：f m ) on ) = ( mez m ) e ( mnh 2 ( 叫) ) 证毕 引理3 2 4 【3 3 】若m 是双圆盘h a r d y 空间日2 的一个不变子空问，则 。oo o m = 。巧( me 名m ) = t ：w ( mg w m ) n = 0n = 0 下面我们给出定理3 2 1 的证明 定理3 2 1 的证明：因为m 是日2 的一个非平凡不变子空间，显然有 【p m 正+ 砌死】日。cm 成立 因此我们只需证明： 下面分二种情况讨论： m c j ! v + 嘞死】月= 一l o 3 双圆盘h a r d y 守间日2 ( 严) ( 1 ) 如果m n h 2 ( 伽) = o ) ，由引理3 2 3 可知 因为 mez m t , = m ，从而 因此 m = 【正】死c 嘞正+ p m t , , , n h 2 【p m 正+ 砌死】h 2 = 胍 如果m n 日2 ( z ) = 0 ，同理可知，结论成立 ( 2 ) 如果mnh a ( w ) 0 ，mnh 2 ( 暑) 0 ，记 尬= mez m ，m 2 = mew m ， 若mn 日2 ( 叫) = h 2 ( 加) ，则 日2 ( 叫) cm ，m = h 2 矛盾因此m f l h 2 ( w ) 是日2 ( 叫) 的关于死的一个非平凡不变子空间由 b e u r l i n g 定理可知：存在非常数内函数9 2 ( 伽) ，使得mn 日2 ( 伽) = q 2 ( w ) h 2 ( 伽) 同理，存在非常数内函数q l f z ) ，使得 由引理3 2 3 可知， m n 2 ( z ) = q l ( z ) h 2 ( z ) 瓦丽= 尬e ( m n h 2 ( 叫) ) = 尬 q 2 ( w ) h 2 ( 叫) ， p m t w n = m 2e ( m n h 2 ( z ) ) = m 2eq l ( z ) h 2 ( z ) 3 双啁盘h a r d y f n jh 2 ( t 2 ) 所以， p m t z n + p m n 日：= 尬eq 2 ( w ) h 2 ( 叫) - 4 - eq l ( z ) 日2 ( z ) 】。( 1 ) 先来看 尬eq 2 ( w ) h 2 ( 叫) 】正， 因为 m = f e t z m 1 ， j ：一 n = o 又因为 尬eq 2 ( w ) h 2 ( 叫) 已是由z n ( 舰eq 2 ( w ) h 2 ( 伽) ) ，n 0 所张成的闭子空 间，而对不同的礼， z n ( 尬eq 2 ( 伽) 日2 ( 叫) ) 显然是两两正交的所以， 从而有， m 1eq 2 ( w ) h 2 ( 叫) 】死= meq 2 ( w ) h 2 】疋 m 10 q 2 ( w ) h 2w ) + 尬o q l ( z ) 日2 ( z ) 】片z = m q 2 ( w ) h 2 + m e q l ( z ) 日2 】日z ( 2 ) 由( 1 ) ，( 2 ) 两式可知，所以我们只需证明 m c meq 2 ( 如) 日2 + me9 1 ( 名) 日2 】嚣2 。 又因为q 2 ( w ) h 2nq l ( z ) h 2 = 口1 ( z ) 9 2 ( 加) 日2 ， 因此我们只需证明： q l ( z ) q 2 ( w ) h 2c meq 2 ( 叫) 日2 - 4 - meq l ( z ) h 2 日2 若0 z ( mnh 2 ( 镏) ) ，则q 2 ( o ) = 0 ，所以， = 0 兰翌婴堂堂窒塑丝：堡：2 显然q l ( z ) m ， 因此， 口1 ( z ) meq 2 ( w ) h 2 ， 从而， 所以。 成立即 q l ( z ) q 2 ( w ) h 2cq l ( z ) h 2 = 【9 1 ( z ) j 日：cf me9 2 ( 叫) 日2 】日。 q l ( z ) q 2 ( w ) h 2c meq 2 ( w ) h 2 + meq l ( 名) 日2 日2 m c meq 2 ( w ) h 2 + meq l ( z ) h 2 】日2 成立 若0 z ( m n h 2 ( z ) ) 同理可知，结论成立证毕 例l ：若m = z h 2 + w h 2 , n = c ，则 从而有， 翰n = p m ( c z ) = c z ， 砌瓦n = p m ( c w ) = c w 【鼢正+ 鼢死】日：= m 例1 中的不变子空间m 满足定理1 中的条件因为m g l h 2z ) = z h 2 ( z ) ， 从而，0 z ( m n 日2 ( z ) ) 例2 ：若m = z w h 2 , n = h 2 ( z ) + h 2 ( 训) ，则 因此， p m t ：n = p m ( z h 2z ) + z h 2 ( 伽) ) = z w h 2 ( 叫) p m t z n 日2 = z w h 2 一1 3 一 显然有 嘞足+ 砌死】日。= m 例2 中的不变子空间m 满足定理1 中的条件，因为 m n 月2 ( z ) = m n 日2 ( 叫) = o ) ， 注：条件0 z ( m n h 2 ( z ) ) 或者0 z ( m n h 2 ( 伽) ) 不是 p m t z n + p m l h ：= m 成立的必要条件 我们有下面的定理： 定理3 。2 5 若m = q l h 2 + q 2 h 2 ，其中q 1 = q l ( 名) 和q 2 = q 2 ( w ) 是非常数的 单变量内函数，则有 【嘞+ 嘞死n h 2 = m 证明：因为q l h 2n q 2 h 2 = q l q 2 h 2 我们有 从而， m = q l h 2 + q 2 h 2 = ( 口l h 2eq l q 2 h 2 ) 0q 2 h 2 ， j v = ( 日2 ( 2 ) eq l h 2 ( z ) ) o ( h 2 ( 训) eq 2 h 2 ( 叫) ) ， t 。n = ( z h 2 ( 名) ez q l 日2 ( z ) ) 圆( h 2 ( 删) eq ：h 2 ( 叫) ) 为了计算p m t 。n ，我们首先证明疋在口2 日2 中的投影为0 ，即 其中， = 0 v a ( z ) 9 1 ( w ) 疋，9 2 ，2 ( 名) 眈( 叫) q 2 h 2 ， ( z ) z h 2 ( z ) ez q l h 2 ( z ) ) ， g l ( w ) ( h 2 ( 似) eq 2 h 2 ( 叫) ) ， 五( z ) 仍( 硼) h 2 一1 4 一 ! 翌堕垒坚璺里兰窒塑丝：坚：! 由于 - - - - = 0 ， 从而疋在q 2 h 2 中的投影为o ，然后我们再考虑：在( q l h 2eq l q 2 h 2 ) 中的投影由于 正= ( z h 2 ( z ) ez q l h 2 ( z ) ) ( h 2 ( 叫) eq 2 h 2 ( 伽) ) ， ( 口1 h 2eq l q 2 h 2 ) = q x h 2 ( z ) o ( h 2 ( 叫) eq 2 h 2 ( 伽) ) 我们只要考虑( z 日2 ( z ) ez q l h 2 ( z ) ) 在( q l h 2 ( z ) ) 中的投影，因为在单变量的 h a r d y 空间中，我们有 砌正n = c 妒， 其中妒是非常数的内函数所以( z h 2 ( z ) ez q l h 2 ( z ) ) 在( q l h 2 ( z ) ) 中的投影为 c q l 从而，在( q l h 2eq l q 2 h 2 ) 中的投影为q a ( h 2 ( 叫) eq 2 h 2 ( 叫) ) 所以， 我们有 所以， 同理可得： 从而， p m t z n 二q t ( 日2 ( 叫) eq 2 h 2 ( 叫) ) p m t z n t w = q l h 2 ( 叫) 【p m t z n 日2 = q l h 2 砌死】h z = q 2 h 2 m = q l h 2 + q 2 h 2 = 尸m e 】h ：+ 砌咒】日：【p m t 。n + 死】圩。 3 双瞳】盘h a r d y 窄问日2 ( t 2 ) 显然m 是不变y w _ f - ，有 p m t z n + p m t , 。n 日：m 所以， 砌e + 砌死 日。= m 证毕 注：当定理3 2 5 中的q l ( o ) 0 , q 2 ( 0 ) 0 的时候，显然m 不满足定理3 2 1 中的条件0 z ( mf h 2 ( z ) ) 或者0 z ( m n h 2 ( 伽) ) ，但结论 沁m t ；n + p m t w n h 2 = m 依然成立 在定理3 2 1 ，定理3 2 5 的基础上，我们有下面的问题： 问题1 假设m 是双圆盘h a r d y 空间日2 的一个非平凡不变子空间，且 m0 n = h 2 ，则有 r f + 砌死n h 2 = m ? 一1 6 一 4 日2 ( t 2 ) 的后移不变子空间 在第3 章( 2 ) ，我们考虑了在某种条件下，不变子空间m 可以由拟游荡子空 间的和p m 瓦+ 砌死生成在本章中，对于后移不变子空间，我们也考虑 类似的一些问题 4 1 日2 ( 丁2 ) 的后移不变子空间的相关结论 在研究后移不变子空间与p m + m 咒m 的关系以前，我们先介绍一 些符号记 尬= mez m ，m 2 = mew m ， 1 = 2 尬，2 = 死m 2 ， 吁= n ，n ：z ， ， n = l o 。 孵= n ，n ：咒， n = l 对于日2 的任意子集e ，我们用s p a n e 表示由e 巾的元素所张成的闭子空 间用【司霉和 捌死分别表示关于疋和死的包含e 的h 2 的最小的后移不变 子空间，用【e 】+ 表示包含e 的日2 的最小的后移不变子空间 在证明本章主要定理之前，先给出一个引理 引理4 1 1 3 3 】若m 是双圆盘h a r d y 空间日2 的一个不变子空间，mo n = 日2 则 n = s p a n t ：n l ：7 2 o ) o 盱= 印。礼 咒n 2 ：n o ) o 孵 下面是本章的主要定理 定理4 1 2 若m 是双圆盘h a r d y 空间日2 的一个非平凡的不变子空间，且 mon = 日2 。如果 n 芋nn 菪= 0 ， 1 7 4 h 2 ( t 2 ) 的后移不变子空间 则 证明：显然我们有： 所以我们只需要证明： 因为 又因为 所以， n = p u t ：m + p n 咒m 卜 防贮m + p n 蜀m rcn nc 眵z m + p n 咒m 卜 p u t ；m 2 = s p a n t * ”g t ：r t o ，= ne 盱， 眵咒m = 印n 孔 丁1 ：仃o ) - = nen y 吁n 孵= ( o ， = 趸可研c 汤m 】2 + p n t w m i t ：, c 加霉m + p u 丁w m 卜 所以， 证毕， 4 2 一些例子 n = 囟v z m + p n 瓦m r 本节中主要是举了一些例子，通过这些例子，使我们对上节的定理理解更加 深刻 例l ：若m = z h 2 + w h 2 , n = c ，则 p z m = p n ( h 2 ) = ， 一1 8 一 孵= 叼= o ) ， fn 孵= o ) 显然n = p n m + p j c t ；m 卜 例2 ：若m = z 酽，n = h 2 ( ) ，则 p z m = h 2 ( 伽) ， p 瓦m = o ) ， 吁= o ) ， 孵= h 2 ( 叫) ， 孵n 孵= o ) 显然n = 【p n m + r 咒m + 例3 ：若m = q l h 2 + q 2 h 2 ，其中q 1 = q i ( z ) 和q 2 = q 2 ( w ) 是非常数的单变量 内函数，则 n = ( h 2 ( z ) eq l h 2 ( z ) ) 圆( h 2 ( 伽) eq 2 h 2 ( 叫) ) 容易计算： 显然， 瓦碗面= t ；q i ( h 2 ( 叫) eq 2 h 2 ( 训) ) ， 再丽= 瓦q 2 ( 日2 ( 名) eq l h 2 ( z ) ) ， f = 孵= ( o ) ， 孵n 孵= o 】 n = p n t ；m + p n 咒m 卜 例4 ：若m = z w h 2 ，n = h 2 ( 伽) + h 2 ( z ) p m = w h 2 ( 叫) ， 一1 9 4 h 2 ( t 2 ) 的后移不变予窄问 显然， 尸咒m = 班f 2 ( z ) ， f = 日2 ( z ) ， 吩= h 2 ( 伽) n = 【昂7 - ：m + p , v 咒m 卜 但是， n 詈nn 蔷= c 注：从例4 可以看出：条件叼n 孵= o ) 不是 n = 眵霉m + m 咒m r 成立的必要条件 在定理4 1 2 的基础上，我们有下面的问题： 问题2 ：假设m 是双圆盘h a r d y 空问日2 的一个非平凡不变子空间，且 1 矿on = 日2 则有 n = p 巧m + r 咒m 】+ ? 一2 0 参考文献 【1 】a a l e m a n ，s r i c h t e r , a n dc s u n d b e r g b e u r l i n g st h e o r e mf o rt h eb e r g m a n s p a c e j a c t am a t h ，11 7 ( 1 9 9 6 ) ：2 7 5 3 1 0 【2 】a b e u r l i n g o nt w op r o b l e m sc o n c e r n i n gl i n e a r t r a n s f o r m a t i o n si nh i l b e r t s p a c e j a c t am a t h ，8 1 ( 1 9 4 9 ) ：2 3 9 2 5 5 【3 】a b r o w n ，pr h a l m o s a l g e b r a i cp r o p e r t i e so ft o e p l i t zo p e r a t o r s j r e i n e a n g e w m a t h ，1 9 6 3 ，2 1 3 ：8 9 - 1 0 2 【4 】a o l o f s s o n w a n d e r i n gs u b s p a c et h e o r e m s j i n t e g r a le q u a t i o n so p e r a t o rt h e o r y , 51 ( 2 0 0 5 ) ：3 9 5 4 0 9 【5 】c o n w a yj b ac o u r s ei nf u n c t i o n a la n a l y s i s m n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ， 1 9 8 5 【6 】c a p o s t o l ，h b e r c o v i c i ，c f o i a s ，a n dc p e a r c y i n v a r i a n ts u b s p a c e s ，d i l a t i o n t h e o r y , a n dt h es t r u c t u r eo ft h ep r e d u a lo fad u a la l g e b r ai j 】j f u n c t a n a l ， 6 3 ( 1 9 8 5 ) ：3 6 9 4 0 4 【7 】c h o r o w i t z z e r o so ff u n c t i o n si n t h eb e r g m a ns p a c e j d u k em a t h j ， 4 1 ( 1 9 7 4 ) ：6 9 3 - 7 1 0 【8 】h h e d e n m m a l m a ni n v a r i a n ts u b s p a c eo ft h eb e r g m a ns p