（基础数学专业论文）具混合型耦合内部源抛物方程组解的渐近分析.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究如下半线性抛物方程组，= 。+ e 刖p ，t ) u 口，仇= 茁+ q e 肋，附加 以齐次u m a n n 边值条件得到了解对任意非负初值均在有限时刻b l a 弘u p ，并且同时 b l o w - u p 的结果并进一步研究得出了u ( 1 ，) ，u ( 1 ，t ) 分别具有如下形式的b 1 0 w - u p 速率： t ( 1 ，t ) = o ( ( t 一) 一七- ) ，e ”( 1 ，) = d ( ( t t ) 一知。) ，( 七1 ，尼2 ) 是如下特征代数方程组 ( 口il ；) ( 乏) = ( ；) 的解 第一章简要介绍了与本文研究问题相关的背景和发展现状，第二章列举了与本文相 关的一些抛物型方程( 组) 的基本知识第三章运用算子方法得到了方程组解u ，t ，的不等 式关系，运用构造上下解方法，得出对任意非负初值，u ，t ，在有限时刻b l c w u p ，并且同 时b k 研一u p 第四章将方程组问题简化为单方程问题，多次运用比较原理，得到了方程组 解的b l o w u p 速率估计 关键词：抛物方程组；非线性源；b 炯u p ；b l o w - u p 速率 具混合型耦合内部源抛物方程组解的渐近分析 a s y m p t o t i ca n a l y s i so fs o l u t i o n st op a r a b o l i cs y s t e mc o u p l e d v i am i x e dt y p es o u r c e s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e ra 跎m i - n n e a rp 钌a b o u c 夥s t e m 毗= t 口+ p 即让a ，= 黝+ “9 e 印， i i l 【o ，1 】( o ，z ) ，丽t hh o m o g e n e o 璐n e m a n nb o l m d a r yc o n 妣i 0 璐w e 缸dt h a tt 上( 1 ，t ) ，e ”( 1 。) g o 郫t oi 1 1 丘n i t yl i k e ( z 一) 一h ，( t t ) 一七2r 昭p e c t i v e l y ，w h e r e 忌1 ，七2a r et h es o l u t i o n s0 f ( qi1 ；) ( 笔) = ( ；) i nt h e 缸s te h a p t e r ，w eb r i e 丑yd e s c r i b e st h eb a d 【g r o u n do fo u rr e s e 盯c hq 珊鼬i o n s i n t h e 舱c o n dc h 即t e r ，骶l i s t ss o m eb a s i ck 1 1 0 w l e d g eo fp 缸a b o h ce q u a t i o i l s 船s o c i a t e d 丽t ht l l i s a r t i c l e i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eg e ta 唧a l i i 毋a b o u tt h es o l u t i o n so ft h es y s t e m ，l l s i n go p e r a t o r m e t h o d s b yc o 璐t r u c t i n gu p p e r 趿d l o e rs o l u t i o 璐，w ep r a v et h a tt h es o l u t i o n 8s 妇【m t 孤e 0 1 1 s l y b l 弘u pi n 丘n i t et i n l e ，f b ra n yn o n n e g a t i v ei m t i 舒v a l u e i nt h el 够tc h a p t e r ，w bf u r t h e r8 i m p l i 移 t h ee q u a t i o i l s 鹄as i n g ke q u a t i o no ft h ep r o b l e mi s s u 笛，l l s i n gt h ec o m p a r i s o np r i n c i p l ef 6 rm a 丑y t 岫u e s ，o b t a i n e dt h eb l a w - u pr a t ee s t i n l a t e so ft h es 0 1 u t i o n b k e y r o r d s ：p a r a b o h c 呵s t e m ；n o n l i 工喊l r u r c e ；b l a w u p ；b l ，_ u pr a t e i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目： 作者签名： ；e 冶丰 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规 定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 学位论文题目：垒! 垒竺兰塑三翌笙垦! 兰竺兰笪壁：堑丝查堑 作者签名： 导师签名： 张珀辜 2 7 日期：迦 年l 月竺一日 日期：丝厶年l 月j l 日 大连理工大学硕士学位论文 1 前言 这一章我们先概述本文所研究问题的实际背景和目前国内外的发展现状，然后简要 介绍本文的主要内容 1 1问题的背景及发展现状 非线性方程的定性理论是p 血c a 硝于1 8 8 0 年左右在其天体力学的工作中奠立的 1 9 0 0 年，l b e r t 在巴黎的国际数学家大会上提出了著名的2 3 个问题，其中第1 9 、2 0 、 2 3 问题均涉及了如何系统地研究偏微分方程的边值问题这就形成了现代偏微分方程理 论的萌芽从那时起，它就成为纯粹数学和应用数学家日益感兴趣的一门学科这一方 面是因为许多物理，化学、生物和生态系统一从而描述他们的微分方程一从一开头就 是非线性的：实际上，只要是涉及自然界中的任何质变现象或者涉及到与时间变化及空 间分布有关的问题的讨论时就必然要与非线性模型，特别是非线性偏微分方程( 组) 打交 道通常的线性化方法只是些近似步骤，它部分的显示出我们承认自己对原来的非线性 问题的束手无策，虽然对许多问题线性化近似是有价值的，但这仍然不能改变这样一个 事实：即在许多其它情况下线性化步骤是不能采取的而另一方面，人们发现对非线性 问题的研究不存在一劳永逸的的统一工具和解决方法：一般来说，对于非线性偏微分方 程通常是不可解的这表明非线性问题是极端复杂的，从而直接反映了大干世界中的自 然现象的复杂性非线性抛物型偏微分方程( 组) 即是类非常典型的非线性方程，其非 线性项可以来自内部反应项( 源或吸收项) 、对流项( c o n v e c t i o n ) 、扩散项( 高阶项) 边 界流项( 丑u ) 【) 以及由他们所形成的各种不同的复杂的耦合关系所有这些非线性项都可 能导致解的奇性的产生，例如：解在有限时刻发生b l o 弘u p ( 爆破) 、e 吼i n c t i o n ( 灭绝) 、 q u e n c h i n 窖( 熄灭) 等，它们都具有明确的物理意义，分别可以用来刻画( 固体燃料) 爆炸、 ( 种群) 灭绝，( 金属) 淬火等现象本文将主要讨论一类具有混合型耦合非线性内部源的 抛物方程组的解的渐近分析 关于抛物方程的b l o w u p 现象的研究由来已久，开创性工作是1 9 6 6 年f i t a 在文献 】 具混合型耦合内部源抛物方程组解的渐近分析 【1 】对半线性抛物型方程 f 地= u + t 工p ， ) r ( o ，+ 。) ， u ( z ，o ) ：u 。( 。) ， z r ， ( 1 1 1 ) 的b 蛔v u p 临界指标的研究，其中p l ，为空间维数随后，包括蹦e d m 眦，l e v i n e ， w b i s s l e r ，g 培a ，g a l a k t i o n o v 在内的一批著名数学家进入这一研究领域他们得到了问题 ( 1 1 1 ) 的临界指标p 。( ) = 1 + 2 ，即当1 p p 。( ) ，则对于大初值解发生b l o 僻 u p ，而对小初值整体存在后来人们称p 。( ) 为f u j i t a 型b 1 0 啊一u p 临界指标，简称f u j i t a 指标对于问题( 1 1 1 ) ，w e i s s l e r 在文献 2 】中证明了p = p 。( ) 属于b k i w - u p 的范围； b a n d l e 和w e 趣l e r 分别在文献 3 ，4 】中进一步证明了非整体解的点态b 1 0 i w - u p 性；g i g a 和 k o h n 5 ，6 ，7 讨论了问题( 1 1 1 ) 的b k ) w u p 解的b l a w u p 速率 此后，人们开始研究各种类型的非线性抛物型方程f u j i t a 临界指标。例如对非线性 扩散方程 f u t2 u m + 矿， 1t ( z ，o ) = t o ( z ) ， 有p 。= m + 2 和加= m 在有界域上，人们还发现非线性抛物型方程的临界指标有 p 0 = p 。在文献 8 】中r o 出i g u e z b e m a l 和r a j d i n e 对具有吸收项的半线性方程 ft t = u 一，( u ) ， 1 器= 夕( u ) 的初一边值问题得到解整体存在与不存在的条件2 0 0 0 年之前关于临界指标的研究工作 的综述见文献【9 ，l o 】 从二十世纪八十年代人们开始关注方程组的b l a 肌u p ，以及在此基础上更加细致地 分析了b k ) w - u p 时刻附近解的渐近行为。这包括b 1 0 忡u p 速率、b k ) w u p 集以及p r o m e e s c o b e d o 在【1 1 】中研究了弱耦合方程组 芝三竺： 的初值问题，得到了非负解在有限时刻b 1 0 i w - u p 的条件，给出了f u j i t a 型b k 肼u p 临界指 标g a 址t i c m a v 在 1 2 ，1 3 研究了有界域上的拟线性方程组 ft t = 仳v + 1 + 伊， 【吼2 u p + 1 + t 一， 大连理工大学硕士学位论文 第一初一边值问题的临界指标对于如下方程组 怿麓 爱= 扩z 伊， i 舞= u 舰口们， lt ( z ，o ) = u o ( z ) ， 口( z ，0 ) = u o ( z ) ， d e n g 在【1 4 】中对p 1 = 9 2 = o 的情形做了研究，w a n g 在 1 5 】中推广到p t ，吼o ( i - 1 ，2 ) 的 情形，均得到了方程组的解整体存在与不存在的条件 z h e n g 等在f 1 6 ，1 7 ，1 8 】中对有界 域上 ：三竺：嚣 的齐次d i r i c h l e t 边值问题得到其解的整体存在和整体不存在的条件，以及整体界的整 体有界性，在f 1 9 】中于一定假设条件下表达了u 和秽的同时b k 胁u p 速率为d ( 口一 t ) 一面鸯岳) 和d ( ( t t ) 一面考罢) 后来，w 抽g 进一步改进了上述b 坼邱 速率估计的条件f n a f 2 l 】，l i n 【2 2 】，f u l 2 3 】，w 撕g 等分别研究了幂型源与边界流耦合组的 b l c 舭u p 临界指标和解的b l c 忡u p 速率等问题对于含有混合型非线性项的方程组，f 洒s i 和w b l a n 出【2 5 】讨论了 ，u 产衄+ e 嘞p ， 【仇= t ，+ t 上g e 肋 齐次d i r i c h l e t 问题的解对任意初值整体存在与不存在的条件，进一步地，m u 和s u 将 问题推广到拟线性情形 f 毗= + e 伽t j p ， 【吼= 矿+ u g e 印 得到了相应的结果与本文直接相关的成果是，s o n g 研究的方程组 怿麓 罱茎瓣2 赛= u 口， ( o ，t ) ， i 赛= 沙u 口， t ( o ，r ) ， 【t ( z ，o ) = ( z ) ，t ，( z ，o ) = ( z ) ， z q ， 的b k 啊u p 速率，在 2 7 】中对a = p = o 得到i i 牡( ，圳= d ( p t ) 讨) ，e m ，。) 怯= d ( ( t t ) 掣) ，在 2 8 】中对osa l ，o p o ，o q o 于q t ，记q 丁= qx ( o ，t ) ，s r = a q ( 0 ，t ) 定义2 1 1 一致抛物如果存在常数口 0 ，使得对任意的 ，t ) q t 和所有的实向量 = ( ( 1 白) 舻，都有 口巧( z ，t ) 白白叫2 ， t ，j = 1 则称算子番+ l 在q t 上是一致抛物的 定义2 1 2 爆破若存在常数t ( o o 范围内的实值函数，夕为连续函数，那么我们在 c 1 空间内对于u ，口 0 ，考虑系统： = u + ，( 仳，秽) ，= u + 9 ，口) 5 具混合型耦合内部源抛物方程组解的渐近分析 若满足厶( 牡，u ) 0 ，且乳( u ，u ) 0 ，则我们称此系统为完全耦合的，反之则称之为完全非 耦合的 2 2 基于最大值原理的比较原理以及上、下解方法 本节我们给出在抛物型方程( 组) 中经常使用的一些基本原理和方法 2 2 1 最大值原理和比较原理 最大值原理和比较原理是抛物方程( 组) 的理论基础，通过这些原理可以引出研究抛 物方程( 组) 解的有效工具一上、下解方法，也可以对解的上下界进行估计由于这些 原理在研究问题时经常使用，故在此我们不加证明的给出最大值原理和比较原理的几种 形式 假定( 2 2 1 ) 中，爱+ l 是一致抛物的，且满足。巧，6 l ，c c ( q r ) ，n 谚= 町l 似j = 1 ，n ) 则有如下极值原理成立 ( 1 ) 弱极值原理 定理2 1 假设让( z ，) c 2 ，1 ( q 丁) nc ( 国t ) ， ( i ) 当c 毫o ，毗+ l t 正o ( o ) 时，有m 嘲tt 上= m a x 勖u ( 血n 国? “= 戚n 两t 正) ( i i ) 当c 0 ，魄+ l 札o ( o ) 时。有m a x 西ru m a x s r 让( l i n 西t 一m a x 研t 上) ( 2 ) 强极值原理 定理2 2 假设t ( z ，t ) c 2 ，1 ( q t ) n c ( 囝t ) ，q 是连通区域， ( i ) 当c 兰o ，地+ 三t o ( 0 ) 且存在( ，o ) q t ，使得让 o ，o ) = m 嘞r t ( 血n 西u ) ，则 u 三c 于q t 0 伍) 当c o ，毗+ l u 0 ( o ) 且存在 o ，o o ) q t ，使得让p o ，o o ) = m 哪t t o ( 血n 西? 牡 0 ) ，则u 三c 于q 幻 有了强极值原理作为基础，我们就可以给出解决实际问题时常常用到的比较原理 ( 1 ) 单个方程的比较原理 考虑如下的方程 p u = t t + l u = ，( z ，t ，u ) ，( ，t ) q t ， b 让= 9 ( 。，t ) ， ，t ) 岛，( 2 2 1 ) t 工( z ，o ) = 咖( z ) ， z q ， 其中l u = 一乙：1a 巧 ，) 仳z 。哟+ 警16 t ，t ) u 。，口巧= 勺t ( i ，j l ，m ) ，l 一致椭圆， ， 关于t t 是c 1 的，关于z ，t 是h 6 1 d e r 连续的 6 大连理工大学硕士学位论文 定理2 3 假设牡， c 2 ，1 ( q 丁) n c ( 亩r ) ，若满足 p u 一， ，t ，u ) p u 一， ，t ，口) ， ，t ) q t ， b u2b 钞， ( z ，t ) 野， u ( z ，o ) 之口( 2 ，0 ) ，z 壳， 则有u ，t ) ，) 于q t 又若札( z ，o ) 可( z ，o ) 于q ，则u ( z ，t ) t j ，) 于q r ( 2 ) 方程组的比较原理 考虑如下方程组 等+ 厶t 正t = p u l ，u 2 ) ， ( z ，t ) q t ， 鼠趾产吼( z ，t ) ，( z ，t ) 鼠， ( 2 2 2 ) 乱t ( z ，0 ) = 毋t ( z ) ， z 矗， 其中厶u = 一z 知：1 锲( z ，) u z 。+ 各1 哆( z ，) u ，厶一致椭圆，鼠= 。t 鬻+ 6 跳， 关于u t ) 是c 1 的，关于。，是h 6 l d e r 连续的，t ，j = 1 ，2 定理2 4 假设，t 关于u i ) 拟单调增，且满足 豢地牡t 一舯，t 仳，钍2 ) 豢地旷饰 蚴：) 鼠最，( o ，t ) 踯， u i ( z ，0 ) 之耽( z ，o ) ， z q ， 则有t 上i ( z ，t ) 耽( z ，t ) 于q t 又若u l ( z ，o ) 吼 ，o ) 于q ，则u l ( z ，t ) p ，t ) 于q t 为 拟单调减的情况类似可得，t ，歹= 1 ，2 注：以上所讨论的极大值原理和比较原理都是在方程一致抛物假设的基础土，然而对于带 有齐次d i c 胁边界条件的抛物方程( 组) ，上述正性引理的一致抛物条件可以替换为 乙：1 白白o ，结论仍然成立 2 2 2 上、下解方法 下面我们引入上、下解的基本概念和解决问题常用的方法 ( 1 ) 单个方程情况 定义2 2 1 假设五( z ，t ) ，竺( z ，t ) c 2 ，1 ( q t ) n c ( 国r ) ，若满足 p 豇一，p ，t ，面) o 也一，( z ，竺) ， ，t ) q t ， b 豇一夕 ，t ) b 塑一9 p ，t ) ，p ，t ) 岛， 霞( z ，0 ) 一u o ( z ) 0 竺( z ，0 ) 一t o ( z ) ， z q ， 7 具混合型耦合内部源抛物方程组解的渐近分析 则称面( z ，t ) ，型( z ，t ) 分别为( 2 2 1 ) 的上解和下解 根据最大值原理和比较原理，我们容易得到如下定理： 定理2 5 设面( 。，t ) ，丝( z ，t ) 分别是( 2 2 1 ) 的上、下解，且，关于u 是c 1 的，关于z ， 是h i ；l d e r 连续的，则( 2 2 1 ) 存在唯一的解( z ，) ，且满足五 ，t ) u ( z ，t ) 丝( z ，t ) 于q r ( 2 ) 方程组情况 定义2 2 2 假设面( z ，t ) = ( 面1 ( z ，t ) ，五2 ( z ，t ) ) ，丝( z ，t ) = ( 望l ( 。，t ) ，生( z ，t ) ) ，若 关于 0 t ) 拟单调增，且满足 等+ 工l 嘞一五p ，面l ，豇2 ) o 号笋+ l l 鲺一 ，t ，堡1 ，勘) ， ，t ) q t ， b 面t 一9 t ( z ，t ) 0 最弛一吼( z ，t ) ，( z ，) 踯， 面t ( z ，0 ) 一i ( z ) 0 型i ( z ，0 ) 一西i ( z ) ， z 矗， 则称面，型分别为( 2 2 1 ) 的上解和下解 为拟单调减的情况类似，t ，歹= 1 ，2 根据比较原理，我们容易得到如下定理： 定理2 6 设 ，2 在旯牟五 是拟单调增的， 关于u t ) 是c 1 的，又设 面( z ，t ) = ( 面1 ( z ，) ，奶( z ，t ) ) ，竺( z ，t ) = ( 堑1 ( z ，t ) ，勒( z ，t ) ) 分别是( 2 2 1 ) 的非负上、下解，则 ( 2 2 1 ) 存在唯一正解u ( z ，) = l p ，) ，“2 ( z ，t ) ) ，满足啦( z ，t ) “i p ，) 丝( z ，) 于q t ( 以歹= 1 ，2 ) 在局部古典解存在时，解的最大存在时间是有限的还是无限的( 即解是在有限时刻 b l o w u p 还是整体存在) ，在最大存在时间t o ，0 q 一 一嚣。 具混合型耦合内部源抛物方程组解的渐近分析 3 2 b l o w u p 在以下部分中，我们将逐一证明定理的内容首先运用算子方法得出了一个关于u 和勘的不等式，然后利用构造爆破的下解的方法证明解在有限时刻b l a w - u p ，最后再次运 用构造上下解的方法证明了解的同时b l o w u p 性质 定理3 1 设( “，秽) 是( 3 1 1 ) 的解，则“，t ，均在有限时刻b 1 删一u p ，且同时b l a w u p 记q t = 【0 ，1 】( o ，t ) 在证明定理之前，先给出几个相关的定义与引理： 定义3 1 若位，西c ( 国t ) n c l ，2 ( q t ) 且满足 r 砚z + e 即( z ，t ) 霞o ( z ，t ) ， l 晚仍+ 雹2 ( z ，) e ，) ， 1 ( o ，t ) o ，( 1 ) o ， 1 ( o ，) o ，屯( 1 ，t ) o ， l 面( z ，0 ) u o ( z ) ，面( z ，0 ) t j o ( z ) ， ( z ，t ) q t ， ( z ，t ) q t ， t ( 0 ，t ) ， ( 3 2 1 ) t ( 0 ，t ) ， z 【0 ，1 】， 则称( 豇，移) 为( 3 1 1 ) 的一个上解同理可定义下解 下面我们再给出严格上下解的定义： 定义3 2 若冠，移为( 3 1 1 ) 的一个上解，并且( 3 2 1 ) 中第二个不等式是严格的，则称百，雷 为( 3 1 1 ) 的一个严格上解同理可定义严格下解 我们知道单个方程解的非负性及比较原理是正确的，同样可得出方程组( 3 1 1 ) 的非 负性和比较原理 引理3 1 假设( u ，t ) ， ( z ，t ) ) 是( 3 1 1 ) 的解，那么 1 ) 当t o 时，u ( z ，t ) 0 ，t ，( z ，t ) o 于q 丁； 2 ) u 。( z ，t ) 之0 ，( 。，t ) 0 于q t ； 3 ) u t ( z ，t ) o ，魄( z ，t ) o ，( z ，t ) q r ；并且对于任意( 0 ，t ) ，都存在常数c ( 乃) o ，使 得 u ( z ，t ) c ( 死) ， t ( z ，t ) c ( ) ， ，t ) o ，l 】p l o ，t ) 证明：其证明类似于文献f 2 9 】的第六部分，在此省略 口 引理3 2 设面，雷，竺，旦分别是( 3 1 1 ) 的上、下解，则面雷t j ，丝u ，竺t ，于国r 口 】0 大连理工大学硕士学位论文 下面的定理给出了方程( 3 1 1 ) 解的b 1 佣u p 以及同时b l o w u p 的结论及其证明 引理3 3 对于任意死( 0 ，t ) ，都存在充分小的常数 o ，使得( 3 1 1 ) 的解u ， 于区域 【0 ，1 】m ，t ) 满足如下不等式 似口+ 1 一口25 e ( p p 如 证明：令乃( o ，t ) ，j ( z ，t ) = u g + 1 一口( z ，) 一e 沪口) ”( 王，扪，通过简单的计算可以得出： ( 3 2 2 ) 也一，+ ( q a ) u 一1 v 钍+ 鱼掣v u 】v j 一【p p ) ( g q ) u l v u ，v 叫， = k 叫一e 卅矿卅筹e 一v 汗 0 ， 其中充分小 五( z ，o ) = 厶( 霸1 ) = 0 ， j ( z ，) = 钍q + 1 一q ( z ，孔) 一e ( p 一刚正，剐 由于u ，死) ，口( z ，蜀) 都有界，因此要使，( z ，) o ，只要存在6 o ，使得h ( z ，) 6 ，否 则存在z o 0 ，1 】，乱( z o ，晶) = o ，但是由引理3 2 得到， o ，) o ，t ( o ，】，矛盾因 此，( z ，) 0 由比较原理知，( z ，t ) o ，z 0 ，1 ( ，t ) 即证 口 定理3 1 的证明：由于 因此存在七， 得到 p ，口 0 t ，u20 ，e 卢”1 ， 幻 - q 等， 1 l 具混合型耦合内部源抛物方程组解的渐近分析 f + 学， t ) 乏盂麓9 “脚， 是乞嚣 2 渤 1t b ( o ，t ) o ，( 1 ，t ) o ， ( o ，t ) ， 一一”7 i ( o ，) 2o ，( 1 ，t ) o ， t ( o ，t ) ， i t 正( z ，o ) t o ( z ) ，”( z ，o ) t j o ( z ) ，z 0 ，l 】， ，竺) ( u ，移) 因此u ，u 都在有限时刻b 1 0 w u p 下面证明t ，t ，同时b 1 0 w u p 若t b l o w - u p ，由不等式( 3 2 2 ) 可知，u 也b l o w - u p 反之，若ub l o 册u p ，而u 有界，则有 瑟懑鬻舻 ( 3 2 4 ) 大连理工大学硕士学位论文 4 解的b 1 0 w u p 速率估计 本章将得出问题( 3 1 1 ) 的解的b l a w 一印速率估计由于( 3 2 2 ) 式反方向的不等式不 容易得出，以及方程组的局部源是指数型与幂形式耦合的特点，给本文应用s c a j i n g 方法 以及算子方法时均遇到一些困难 最后我们考虑到可以利用不等式( 3 2 2 ) ，将方程组问题简化为单方程问题首先阐述 为如下定理，然后分四部分对其进行证明 定理4 。1 设( t ，钉) 是问题( 3 1 、1 ) 的解，如果p ，g 0 ，o q 1 ，o p o ，使得 也( 1 ，t ) q ( t t ) 一萧南， 对t m ，t ) 成立 证明：设r ( z ，t ) 为热方程的基本解： r ( 删2 面而e 千，z 则 o 1一，2 1 3 ( 4 1 1 ) 具混合型耦合内部源抛物方程组解的渐近分析 则根据g r 鲫，恒等式和跳跃关系可得 丢u ( 1 一= z 1r ( 1 一可，t 一2 ) 仳( 剪，z ) 咖+ 2z 1 e p t ，( 弘r ) 扩( ，丁) r ( 1 一矽，一r ) 咖打 ，t 一u ( 可，7 - ) r y ( 卜，t 一7 - ) 瞄打 对o z t 0 ，使得 扣雌印卅+ c 。胪驴( 1 ，州丁+ c 。拦d r ( 4 1 2 ) 由不等式( 3 2 2 ) 知，可将( 4 1 2 ) 式改写成 对于o s2 t 成立由于t 为u 的b l o w - u p 时间，因此可以选择t o ，成立 缸( z ，) 6 e p ”t 上口，u ( 2 ，t ) 占u q e 伽 对( 。，t ) 0 ，1 】阢，t ) 成立 证明：令妒( z ，t ) = 毗一葩仳q ，妒( z ，t ) = 仇一6 俨e 肋，6 待定 妒t 一妒z = 如一砂= p e p 口牡口( t j t 一6 u 口e 芦 ) + a e p 口俨一1 ( t 正t 一6 e p 口t a ) + 占e u 。一2 扣2 u 2 u ：+ 劫a 心乱z + 口( q 一1 ) u ：】 g 乱口一1 e 口”( 一6 e 删牡。) + 卢t 正口e 励p 一6 u g e 卢”) + 6 e 印u 口一2 汐2 t 上2 + 2 9 p t 上u 。u + 口( g 一1 ) u ：】 由于u 之0 ，o ，因此 妒t 一妒船一q e 即u n 一1 妒一p e 舢札a 妒0 妒一妒一卢让。e 却妒一g t 正口一1 e 卢”妒0 显然有 妒z ( o ，t ) = 妒霉( 1 ，t ) = o ， 也( 0 ，t ) = 也( 1 ，t ) = o 对给定的而( o ，t ) ，存在c ( 而) o ，使得 t ( z ，t ) c ( 而) ，( z ，o ) c ( ) ，( z ，t ) 0 ，1 】口0 ，? ) 因此，只要6 充分小，就有 妒( z ，死) = u t ( z ，) 一j e ( 矗如) u 。 ，) 0 ， 妒( z ，) 吨p ，) 一阮g ( z ，死) e 印( z ，硒) 0 1 5 ( 4 2 1 ) 具混合型耦合内部源抛物方程组解的渐近分析 成立 由比较原理，得 即 妒( z ，) o ，妒( z ，t ) o ，( 。，) 0 ，1 】 乃，丁) 魄6 e 刖t 正a ，仇艿e 胁， ，t ) 0 ，l 】阢jt ) e ”( ，t q ( t t ) 一箫岛， ( ，t 岛( t t ) 一着精， 荔菇。，蒜1 ) x ( 0 卵 卜2 + c 南，) ( o 1 0 ， 1 如( o ，t ) = 面z ( 1 ，t ) = o ， t ( o ，t ) ， 【。( z ，o ) = 西o ( z ) o ， z 0 ，1 1 ( 4 2 2 ) ( 4 3 1 ) ( 4 3 2 ) ( 4 3 3 ) 大连理工大学硕士学位论文 下面将证明，存在充分小的c ，面o ( z ) ，使得 。( z ，t ) l ( t ) 一辞，p ，t ) 【0 ，1 】【0 ，t )( 4 3 4 ) 令z = 口一) 一1 似一，其中k = 鲁 1 ，容易验证z 为如下问题 r 魂= z + z ， ，t ) ( o ，1 ) x ( o ，t ) ， ( o ，) = 气( 1 ，t ) = o ， t ( o ，r ) ，( 4 3 5 ) 【z ( z ，o ) = 匈( z ) = t 一1 一，z 【0 ，l 】 的一个b 1 0 w _ u p 解 可以看出，只要使得国o 2 0 ，( 4 3 3 ) 中的c ( z o ) 盂霉( 4 3 8 ) 由于( 名一面) 0 ，t ( 0 ，o o ) ，因此( z 一面) t ( z o ，o o ) o 下面分两种情况进行讨论 若z o ( o ，1 ) ，因为( z 一函) ( z ，t o ) ，z 【0 ，l 】在。o 处取得最小值，因此0 一o ) 站( $ o ，o o ) o ， 这与( 4 3 8 ) 式矛盾 若z o = o ，或z o = 1 ，即( z 一面) 在抛物边界取得最大值，根据h o p f 引理得到，笔 o ， 与( 4 3 6 ) 式矛盾 这就证明了 o ( z ，t ) o ，使得 e t ，( 1 ，t ) q ( t t ) 一蠹南 三岛， 对 ，t ) 成立 证明：由( 4 1 2 ) 式，用类似定理4 2 的过程可得到 e 口( 1 ，t ) c u 孚( 1 ，t ) ( t t ) 一； 1 8 ( 4 3 1 1 ) ( 4 4 。1 ) 大连理工大学硕士学位论文 对t 阢，t ) 成立利用( 4 1 1 ) 式，得到 e t ，( 1 ，t ) q ( 丁一t ) 一暑耥 即证口 综合定理2 1 一定理2 4 ，即证明了定理2 1 9 大连理工大学硕士学位论文 结论 本文研究了如下具有混合型耦合内部源的抛物方程组 rt = t l 。z + e 舢( z ，t ) u 口( z ，t ) ， ( z ，t ) f o ，1 】x ( o ，t ) ， l 仇= 砘。+ u g ，t ) e 却 ，t ) ， ，t ) 0 ，l 】( o ，t ) ， 札z ( o ，t ) = ( 1 ，z ) = o ， ( o ，t ) ， i ( o ，t ) = ( 1 ，t ) = o ， ( o ，r ) ， lt i ( 。，o ) = t 0 ( z ) ，勘( z ，o ) = 移o ( z ) ， z 【0 ，l 】， 的初边值问题，先证明了解在有限时刻同时b l o 弘u p 的结论，然后进一步深入研究了解 的一致b l o w u p 速率 其中p ，g o ，o a l ，o p ；u o ( z ) ，口o ( z ) 是非零非负连续函数，并且满足相 容性条件，以及；( z ) o ，瑶 ) o ， f 札：；+ e 姗u 子o ， z 【o ，1 】 【移：+ u 3 e 口”o o ， z f o ，l 】 成立 结论l 设( u ，u ) 是( 3 1 1 ) 的解，则乱， 均在有限时刻b l o - u p ，且同时b l d w - u p 结论2 设t 为b 1 0 w - u p 时间，则对任意常数而 o ，使得 口一芦p p q ( t t ) 一；毳母碲t ( 1 ，t ) q ( t t ) 一面幸i 鄢， 岛( t 一) 一毒妫e ”( 1 ，t ) 瓯( t 一) 一蔷赫，岛( t 一) 一罱；卿e ”【l ，”瓯( t 一) 一高干聊， 对阢，t ) 成立 可见方程组中的耦合源关于u 是非对称的，这导致了u ，u 的b l o w - u p 速率也是非 对称的对于本文所研究的方程组，可以考虑其d i r c h l e t 问题的解的b l o w 。u p 指标及其渐 近分析 2 1 具混合型耦合内部源抛物方程组解的渐近分析 参考文献 【l 】f i t ah o nt h eb l a w i n gu po fs o l u t i o n 8o ft h ec a u c h yp r o b l e mf o rt 上t = u + 乱1 + 口，j e 氆c s c i u n i v 脚s e c t i 1 9 6 6 ，1 3 ：1 0 9 - 1 2 4 2 】w 如8 l e rfb e x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c eo f 百o b a l ls o l u t i o n sf o ra 跎血l i n e a rh e a te q u a t i o n ， i s r a e lj m a t h 1 9 8 1 ，3 8 ( 1 2 ) ：2 9 4 0 3 】b a n d l ec ，l e v i n eha o nt h ee 妃s t e n c ea n dn o n e ) d s t e n c e0 fg l o b a ls o l u t i o n so fr e a c t i o n - d j 母】s i o ne q u a t i o n si ns e c t o