（基础数学专业论文）三角范畴的recollement.pdf

摘要 代数表示论是近三十多年来代数学的一个新的重要分支目前，代数 表示论发展的特点之一就是与代数几何的交叉和渗透其中，沟通代数表 示论和代数几何的桥梁是三角范畴( 导出范畴) 的理论体系在这一理论体 系中，b e i l i n s o n ，b e r n s t a i n 和d e l i g n e 在上个世纪八十年代初提出的三角范 畴的r e c o u e m e n t 和t 结构起着关键性的作用本学位论文围绕r e c o l l e m e n t 与t 结构展开研究全文共分成四章 在第一章，我们对与论文有关的研究背景起源及发展动态作简要介绍， 并阐述本文的主要工作与已有成果的关系 在第二章，我们考虑在已知三个三角范畴和四个正合函子的情况下， 构造新的r e c o l l e m e n t 在第三章，我们研究了在三角范畴r e c o l l e m e n t 下a r - 三角的保持性问 题，证明了设 ，d ，口”，i 。= t ! ，i i , 负，歹= 歹， ) 是一个r e c o u e m e n t ，若 d 有a r - 三角，则和d ”也有a r - 三角 在第四章，我们主要讨论三角范畴有界t - 结构的心，给出的结论是： 设( 口 o ，d o ) 是三角范畴口的有界t 结构，若对于d 中任意的一个不可 分解对象x ，满足x 口 l ，则此t - 结构的心是遗传的 关键词。三角范畴；r e c o u e m e n t ；a r o 三角；t _ 结构 a b s t r a c t t h et h e o r yo fr e p r e s e n t a t i o n so fa l g e b r a si so n eo ft h em o s ti m p o r - t a n tb r a n c h e so fa l g e b r ad u r i n gt h el a s tt h i r t yy e a r s r e c e n t l y , o n eo ft h e d e v e l o p e m e n tc h a r a c t e r so ft h et h e o r yo fr e p r e s e n t a t i o n so fa l g e b r a si st h e i n t e r s e c t i o na n dp e n e t r a t i o nw i t ht h ea l g e b r a i cg e o m e t r y a n d ，t h eb r i d g e e s t a b l i s h i n gt h er e l a t i o nb e t w e e nt h et h e o r yo fr e p r e s e n t a t i o n so fa l g e b r a s a n dt h ea l g e b r a i cg e o m e t r yi st h et h e o r ys y s t e m so ft r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e s ( d e r i v e dc a t e g o r i e s ) i nt h et h e o r ys y s t e m s ，t h er e c o l l e m e n ta n d t - s t r u c t u r e o ft r i a n g u l a t e dc a t e g o r yp l a yt h em a i nr o l e s ，w h i c hw e r ef i r s ti n t r o d u c e db y b e i l i n s o n ，b e r n s t a i na n dd e l i g n ei nt h ee a r l ye i g h t yo fl a s tc e n t u r y t h i s d e s e r t a t i o nc o n c e n t r a t e st h er e c o l l e m e n t ，w h i c hi n c l u d e sf o u rc h a p t e r sa l t o - g e t h e r i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h eb a c k g r o u n da n d r e c e n td e v e l o p m e n t sa b o u tt h ef i e l d sw es t u d yi nt h ed i s s e r t a t i o n a n dw e l i s ts o m ec o n c e p t sa n dt h e o r e m sw h i c ha r ec l o s e l yr e l a t e dt ot h i sd i s s e r t a - t i o n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ec o n s t r u c tan e wr e c o l l e m e n ti nt h ec a s eo f t h eg i v e nt h r e et r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e sa n df o u re x a c tf u n c t o r sw h i c hs a t i s f y t h ec e r t a i nc o n d i t i o 璐 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d yt h ep r o b l e mo fp r e s e r v a t i o no fa r - t r i a n g l e ru n d e rt h er e c o l l e m e n t a n dw eg e tt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n l e t 口，d ，；i ，蟊= ，奠，广= j ，矗) b ear e c o l l e m e n t ，a n dd h a sa r - t r i a n g l e s t h e n a n dd ”a l s oh a v ea r - t r i a n g l e s i nt h ef o u t hc h a p t e r ，w ed i s c u s st h a tt h eh e a r to fb o u n d e dt - s t r u c t u r e a n dw eg e tt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n l e tp ，上z = t ) l h o m v ( n ，疋) = o ) 第一章绪论 5 下面我们给出三角范畴r e c o u e m e n t 的一些基本性质 引理1 2 5 设 d 7 ，d ，矿；i + ，以，歹i ，j2 ) 是个左r e c o l l e m e n t ，则k e r j = i m i 。， k e r i = i m j l 证明。由办。= 0 ，知i m i 。k e r j 另外，对于任意的x k e r j2 ，存在个 三角t歹! j x x _ i i x j , j x 【1 】因为歹5 x 竺0 ，所以x 垒i i + x i m i 。， 从而k e r j i m i 。所以k e r j2 = i m i 同理，可证k e r i + = i m j t 口 引理1 2 6 设 d ，口，刃”；i ，i 。，i i , 歹l ，广，a 是个r e c o l l e m e n t ，则 ( 1 ) 矿z = 0 当且仅当z i r a j , ； ( 2 ) 歹+ y = 0 ，当且仅当y i m i 。； ( 3 ) i 2 x = 0 ，当且仅当x i m j 。 证明：因为 d 7 ，刃，；i + ，以，j ! ，j + ) 是个左r e c o l l e m e n t ，根据引理1 2 5 ，知 ( 1 ) 和( 2 ) 成立又 d 7 ，口，口”；以，i t , 歹+ ，j 。) 是个右r e c o l l e m e n t ，则 d ”，d ，口； 歹+ ，歹，i ，z 1 ) 是左r e c o l l e m e n t ，再由引理1 2 5 ，知( 3 ) 成立 口 注1 2 7 如果 d ，d ，d ”；i 宰，i 。，i t , 歹j ，歹， ) 是一个r e c o l l e m e n t ，根据文献【3 】， ( i m j l ，i m i 。，i m j 。) 构成三角范畴刃的个t t f 一理论，由此可得 ( i ) ( i m i 。) 上= i m j ，且( i m j , ) 上= i m i 。； ( i i ) i m i 。= 上( i m j 。) ，且i m j ：= 上( i m i 。) 引理1 2 8 【2 】+ 设 d 7 ，口，d ”；矿，i ，i l ，歹f ，歹，矗 是个r e c o l l e m e n t ，则存在自 然变换叩：五_ 矗，且对于任意的x d ”歹幸( 钕) 是同构 命题1 2 9 设 d ，口，；矿，i 。，i 2 ，历，j ， ) 是个r e c o l l e m e n t ，叩是引理1 2 8 中的自然变换，则下列条件等价 ( 1 ) i 廊= 0 ； ( 2 ) 叩：历_ 丘是自然等价； ( 3 ) i + 五= 0 ； ( 4 ) 三角范畴口可表示成d 的三角满子范畴i m i 。和 m j 。的三角直和的形 式 证明；( 1 ) 兮( 2 ) 设x ，将钕：j i x 一九x 嵌入到d 中的三角，记为 ( ) ：五x 骂五x y 一负x 【l 】，用j + 作用于此三角，根据引理1 2 8 ，j f ( 似) 第一章绪论 6 是同构，知歹。y = 0 ，再由引理1 2 6 ，y i m i 幸如果t 2 歹l = 0 ，用i 作用于三角 ( ) ，由i l j ! x = 0 及i 五x = 0 ，我们得到z ! y = 0 ，根据引理1 。2 6 及注1 2 7 ， y i l 可。ni m i 。= o ) 所以儆是同构因此，7 是自然等价 ( 2 ) 号( 3 ) 对于任意的x d ”，如果r x ：历x 一 x 是同构，则i 。矗x 笺 i * j t x = 0 所以，由x 的任意性，知i + 矗= 0 ( 3 ) 兮( 2 ) 与( 1 ) 兮( 2 ) 的过程类似 ( 2 ) 兮( 4 ) 设刁：j ! 一五是自然等价，则i m j , = i m j 。，由注1 2 7 ，我们有 h o m z ) ( i m i ，i m j ) = h o m z , ( i m j 。，i m i 。) = 0 首先，对于任意的x d ，考虑三角；i 。x 马x 皇j j + xji i 2 x 【1 】，这 里的q ，p 是连接态射由于，y h o m z , ( i m j 。，i m i 。) = 0 ，所以x 竺“xo j j + x ， 即d 中的任意个对象都可以表示成i m i 。和i m j 。中的对象的直和的形式 其次，对于口中的任意一个三角( q ) ：x 二y - - lz 二x 【1 】，由以上分析此 三角可以写成如下形式： 蜀。互。蚝u z i 。而州1 唧x 2 ， 蜀。配一m o 蚝一。而一x l f 】o 【1 】 其中墨，m ，z 1 属于i m i ，x 2 ，砼，z 2 属于i m j 将p 1 ：五_ ，m ，p 2j 恐_ 硷 分别嵌入到i m i 。和i n 琉中的三角，记为( 1 ) ：五鸟k3 置粤x 1 【l 】和 ( 2 ) ：x 2 氅y 2 乌乏笃x 2 t l ，将三角( 1 ) 与( 2 ) 作直和，则有如下交换图 舢且。场啦。邑m ， 噩世姐k 刨之m k ， 则h 是同构，从而( q ) 可表示成i m i 。和i n 坑中的三角的直和的形式 因此，三角范畴口可表示成d 的三角满子范畴i m i 。和i m j 的三角直和的 形式 ( 4 ) 号( 3 ) 若口= i m i 。oi m j ，则h o m z , ( i m j 。，i m i 。) = 0 ，即有i m 矗 第一章绪论 7 上( i m i 。) 根据注1 2 7 ，i m j 。i m j l 从而对于任意的x d ”，存在x 口”，使 得j , x 7 竺j x 所以，i * j 。x 垡i * j ! x = 0 ，a p wi + 且= 0 口 1 3 三角范畴r e c o l l e m e n t 的一些研究成果 s k o e n i g 引入偏倾斜复形的概念，给出了环上的无界导出范畴的r e c o l l e m e n t 存在的判定定理，现在我们称之为k o e n i g 定理事实上，k o e n i g 定理可看作 是导出范畴r i c a r d 定理的推广( 【3 2 1 ) 具体内容如下t k o e n i g 定理【1 6 j 设a 是环，则a 的无界导出范畴d 一( m o d a ) 允许有 一个关于环b ，c 的无界导出范畴d 一( m o d b ) ，d 一( m o d c ) 的r e c o l l e m e n t 4-4- d 一( m o d b ) = d 一( m o d a ) = d 一( m o d c ) 当且仅当存在两个偏倾斜复形m j p ( p r 巧一a ) ，n 。j p ( p a ) 满足 ( 1 ) e n d a ( m ) 竺b ； ( 2 ) e n d a ( n ) 竺c ； ( 3 ) h o m h ( n ，m ) = o ( a ph o m a ( n ，m 。 h i ) = 0 ，对任意n z 成立) ； ( 4 ) ( m 。) 上n ( ) 上= o ( 这里( m ) 上= y d 一( m o d a ) i h o m a ( m ，y ) = o ) ，称为m 的右垂直范畴) 这里n 叮一a 表示所有投射模构成的范畴，r 表示所有有限生成投射模 构成的范畴，舻( 所叮一a ) 表示p r 叮一a 上的有界复形的同伦范畴，舻( r ) 表示r 上的有界复形的同伦范畴我们说以上的r e c o l l e i n e n t 是对称的，如果 还有h o m a ( m ，n ) = 0 且m k 6 ( r ) 则此时还有r e c o l l e m e n t 4 - - - - - - 一 d 一( m o d c ) d 一( m o d a ) d 一( m o d b ) m i y a c h i 利用偏倾斜复形p 得到了交换环上的投射代数a 的无界导出范畴 d _ ( a ) 允许有个r e c o l l e m e n t 咒p ，d 一( a ) ，d 一( b ) ；i 。，i 。= i t ，五，j = j ，歹) ， ? 其中b = e n d o 一( a ) ( p 。) ，咒p = x d 一( a ) l h o m o 一( a ) ( p ，x 嘲) = o ，v i z ) m i y a c h i 还考虑了由投射代数a 的幂等元e 导出的r e c o l l e m e n t d 一( a a e a ) ， d 一( a ) ，d _ ( e a e ) ) 的等价关系，具体可参见文献【2 1 】 陈清华一林亚南根据k o e m g 定理，对于扩张代数的r e c o l l e m e n t 给出了一些 好的结果： 第一章绪论 8 定理1 3 1 【5 】设a 是有限维髓代数，如果a 的无界导出模范畴d 一( m o d a ) 允许有个关于有限维肛代数b 的无界导出模范畴d 一( m o d b ) 和c 的 无界导出模范畴d 一( m o d c ) 的对称的r e e o l l e m e n t 一一 d 一( m o d b ) d 一( m o d a ) d 一( m o d c ) ， 则( 1 ) a 的重复( r e p e t i t i v e ) 代数a 的无界导出模范畴d 一( m o d 一勾也允许有 如下的对称的r e c o u e m e n t d 一( m o d b ) = d 一( m o d a ) d 一( m o d c ) ( 2 ) a 的扩张代数r 2 的无界导出模范畴d 一( m o d 只z ) 也允许有如下的对称的 r e c o l l e m e n t d 一( m o d 一哪) d 一( m o d 一砑) 暑d 一( m o d 一嬲) 注1 3 2f r a n j o u ，p i r a s h v i l i 将r e c o l l e m e n t 的概念推广到a b e l 范畴上，只 需将定义1 1 1 中( r ，4 ) 去掉，具体可参考文献【1 0 m a c p h e r s o n 和v i l o n e n ( 2 2 ) 给出了a b e l 范畴的r e c o l l e m e n t 的基本构造( 现在称为m v 构造) 林亚南一辛林 发现利用b b - 倾斜模可以确定t t f - 类，从而可以得到a b e l 范畴上的r e e o l l e - m e r i t ( 1 9 ) 1 4 三角范畴乞- 结构与一些相关研究成果 首先，我们回顾三角范畴t - 结构的定义及一些与本学位论文相关的t 结构 的性质 定义1 4 1 【2 1 设d 是三角范畴，口上的t , - 结构是一个加法满子范畴对 p o ，矽o ) ，满足以下三个条件 ( 1 ) 刃o ：d - o d 1 ； ( 2 ) h o m v ( x ，y ) = 0 ，对于任意的x 刃 o i - n ，y n z 第一章绪论9 称d on 勿o 是t - 结构( d o ，d o ) 的5 - ( h e a r t ) 命题1 4 2 【纠设( d o ，口o ) 是三角范畴d 的t 一结构，则对于任意的礼z ， 下列结论成立 ( 1 ) 嵌入函子d n _ d 存在右伴随代n ：d _ d n ； ( 2 ) 嵌入函子d 劲_ 刃存在左伴随伤n ：刃_ d 孤 定理1 4 3 【j 设4 是三角范畴d 的t 结构旧 o r o ：移_ 4 是上同调函子，即对于d 中的任意个三角。 a _ b _ c _ a 【l 】，则日o ) _ 日o ( b ) _ 俨( g ) 是4 的正合列 注1 4 4 对于任意的x d ，记h i ( x ) ：= h o ( x 问) ，则对于d 中的任意一 个三角： a j e i _ c _ 以【1 】，则有a 中的正合列： _ 印( c ) _ 似) _ 酽( b ) _ h i ( c ) _ 日件1 ( a ) _ 为了更好地刻画三角范畴的局部化和余局部化， m i y a c h i 在文献【2 0 】中给 出了三角范畴稳定t - 结构的概念，其定义如下 定义1 4 5 2 0 】设“，y 是三角范畴d 的严格满子范畴，称似，y ) 是d 上 的稳定t - 结构，如果 ( 1 ) “，y 对s h i f t 函子，s h i f t 逆函子封闭； ( 2 ) 对于任意的x 4 ，y y ，有h o m v ( x ，y ) = 0 ； ( 3 ) 对于d 中的任意一个对象x ，存在三角a _ x b _ a 【l 】，其中 a “b y 注1 4 6 容易看出，三角范畴的稳定t 结构是特殊的t - 结构，并且实际上 是【3 1 中的遗传挠对( h e r e d i t a r yt o r s i o np a i r s ) 从而稳定t - 结构有如下两个性 质，我们以引理的形式给出 引理1 4 7 【叫设，y ) 是d 上的稳定t - 结构，则y = “上，“= 上y 从而 “，y 都是d 的三角满子范畴 引理1 4 8 【叫设似，v ) 是d 上的稳定乞- 结构，南：“_ 刃，矗：y d 都是三角满嵌入函子，则i ! 存在右伴随函子矿：d _ “，五存在左伴随函子 歹：d y ，使得 “，d ，1 夕；由，i i , 歹，j 。) 构成一个右r e c o l l e m e n t ，且存在三角等价 2 ) u v 第一章绪论 1 0 类似于三角范畴的r e c o l l e m e n t ，事实上，三角范畴的t - 结构也可看做a b e l 范畴的挠理论在三角范畴上的推广( 【1 2 1 ) h a p p e l ，r e i t e n 和s m a l o 考虑了t - 结 构和挠理论的关系( 1 4 1 ) 现在，t - 结构成为研究代数簇上的拟凝聚层的有界导 出范畴的一个重要工具： b r i d g e l a n d 在文献【4 】中建立了导出范畴稳定条件与 有界t 结构的对应关系；a l o n s o 等人给出了可除概型上的拟凝聚层的有界导出 范畴等价于环上模的有界导出范畴的充要条件( 【l 】) ，从而推广了r i c a r d 定理 为了研究一个代数a 的有限生成右模范畴r o o d a 上的有界复形的导出范 畴d b ( m o d a ) 的倾斜理论，k e l l e r 和v o s s i e c k 在文献【17 】中给出了a i s l e 的概 念，并且建立了a i s l e 和t - 结构之间的对应由此，人们认识到为研究三角范 畴t - 结构的存在性，考虑由一些特殊的对象集生成的s u s p e n d e d 或c o s u s p e n d e d 子范畴是十分有帮助的( 如见文献【1 】，【1 5 1 ，【2 t ，【2 8 】等) b e i l i n s o n ，b e r n s t a i n 和d e l i g n e 给出了在r e c o l l e m e n t 下关于t 结构的个 重要结论。设口允许有一个r e c o l l e m e n t 刃，口，口”；i ，以= i ! ，i t , 历，j + = j 2 ，j 。) ， 则刃7 的t 结构( d 7 o ，刃o ) 和口”的t 结构( d ” o ，d ”o ) 可以利用r e c o l l e m e n t 下的正合函子导出d 的个t - 结构( d o ，刃o ) 王忠梅考虑了在r e c o l l e m e n t 下乞- 结构的有界性保持问题，证明了：p 7 0 ，d 邳) 和( 刃” o ，刃”o ) 是有界的 当且仅当导出t - 结构( d o ，d o ) 是有界的( 【3 3 】) 1 5 本学位论文成果简介 在第二章，主要考虑在已知三个三角范畴和四个正合函子的情况下，构造新 的r e c o u e m e n t 我们给出了两个结论第一个结论是( 定理2 2 1 ) ：设若三角范 畴的满嵌入正合函子以：口7 _ d 存在左伴随矿：d _ d ，三角范畴的正合函 子广：d _ 刃”存在满嵌入右伴随 ：一d ，且k e 巧+ = i m i 事，则存在两个 正合函子i 2 ：口一d 和五：d ”_ 刃，使得 口，d ，d ”；矿，钆，i r , 历，歹， 构成一 个r e c o l l e m e n t 第二个结论是( 定理2 3 1 ) ：设 口，d ，；i ，以，五，歹2 ) 是个 左r e c o u e m e n t ，则存在正合函子t 1 ：d 一口及矗：d ”一d ，使得 d 7 ，d ， ；矿，i ，i ! , j r ，j 2 ，五) 构成个r e c o l l e m e n t 当且仅当( i m i 。，( i m i 。) 上) 是d 的稳 定t - 结构 a u s l a n d e r ，r e i t e n 在代数的模范畴中引入了几乎可裂序列，现在称之为a r 第一章绪论 序列h a p p e l 把它推广到三角范畴上，引入了a r - 三角的概念( 【1 2 】) 一般三角 范畴甚至是有限维代数的有界导出范畴不一定存在a r 三角h a p p e l 证明了有 限维代数的导出范畴存在a r - 三角当且仅当此代数的总体维数是有限的( 【1 3 】) 最近，r e i t e n 和v a nd e nb e r g h 证明了三角范畴a r - 三角的存在性等价于s e r r e 对偶的存在性，具体参见文献【2 6 】肖杰和朱彬证明了局部有限的三角范畴存在 a r - 三角( 【3 1 】) 本文的第三章我们主要考虑在三角范畴r e c o l l e m e n t 下a r - 三 角的保持性问题，我们的结论是( 注2 2 3 ) ：设 d ，d ，d ”；矿，以，i 5 ，奠，歹，矗) 是一 个r e c o l l e m e n t ，若刃有a r - 三角，则d ，d ”也有a r - 三角，并且d 7 ，刃”的 a r 三角可由d 中的a r - 三角诱导 遗传a b e l 范畴4 的有界导出范畴d 6 ( a ) 具有一个好的结构。d 6 ( a ) = u e z 4 h 其中a 阿是a 的第i 次s h i f t r e i t e n 和v a nd e rb e r g h 证明了具有某 些性质的遗传a b e l 范畴能够刻画光滑投射曲线上的凝聚层范畴( 【2 6 】) 在第四 章，我们讨论了三角范畴有界t 结构的心是遗传a b e l 的一种情况，给出的结论 是( 定理4 2 2 ) ：设 o ，d o ) 是三角范畴口的有界t 结构，若对于d 中任意 的个不可分解对象x ，满足要么x d 1 ，则此t 结构的心是 遗传的 第二章r e c o l l e m e n t 的构造 2 1 三角范畴r e c o l l e m e n t 的两个构造方法 c l i n e ，p a r s h a l l 和s c o t t 先后给出了三角范畴r e c o l l e m e n t 的两种构造方法 定理2 1 1 【6 j 设j ：d _ 刃”是三角范畴的一个正合函子，假设歹有一 个正合右伴随矗：一力和一个正合左伴随五：d ”_ d ，使得 ，歹! 是满嵌 入令d = x d 扩( x ) 皇o 】- 是刃的满三角子范畴， i 。：秒一口是嵌入 函子，则i 。有个正合左伴随i ：d _ 口和个正合右伴随i ：口_ 口使得 口，刃，d ”；i ，i 。，一，五，j ，矗) 构成个r e c o l l e m e n t 定理2 1 2 i ，j 设i 。：口_ d 是一个三角范畴的满嵌入函子，假设i 有 正合左伴随函子i 。和正合右伴随函子i ! 设是d 在i 下的严格象，即 = y d i3 x d ，y 竺k ( x ) ) ，则标准函子歹+ ：d _ d 存在满嵌入 的左伴随歹l 和满嵌入的右伴随且，使得 口，d ，d ”；i + ，i 。， 2 ，历，歹，矗) 构成一个 r e c o l l e m e n t 注2 1 3 对任意给定的k - 代数a ，若存在两个有限维代数和，使得 沙( a ) 允许有一个r e c o l l e m e n t 砂( 彳) d 6 ( a ) d b ( a ”) 我们说砂( a ) 对于商沙( ) 和沙( ) 可分层 进步地，p r o s h a l l 和s c o t t 将上述的构造方法( 定理2 1 2 ) 应用到拟遗传 代数上： 命题2 1 4 设a 是总体维数有限的有限维k - 代数，j 是a 的双边理想，若 ( 1 ) j 是个投射左a 模； ( 2 ) h o m a ( d , a j ) = 0 ( 作为左a 模) 则存在一个幂等元e a ，使得j = a e a ，d 6 ( a ) 允许有个如下形式的r e c o u e - m e n t ： 砂( b ) d 6 ( a ) d b ( e a e ) ， 这里b = a j 1 3 我们注意到，拟遗传代数a 有一个好的性质：它的有界导出范畴d 6 ( a ) 允 许有个由所有单形式胪( ) 后继商的连续分层【3 0 】，即拟遗传代数是可层化的 代数但是，可层化的代数未必是拟遗传代数【5 】 2 2 三角范畴r e c o l l e m e n t 的新的构造方法 设c ，口都是三角范畴，f ：c _ d 是正合函子，如果f 有左( 或右) 伴随 函子g ，则g 也是正合函子( 【1 8 】) 本节的主要结果是。 定理2 2 1 ( 1 ) 设若三角范畴的满嵌入正合函子i 。：口7 一刃存在左伴随 i ：d _ d 7 ，三角范畴的正合函子歹+ ：口_ d ”存在满嵌入右伴随矗：口”一d ， 且k e r j = i m i 。，则存在两个正合函子i ：刃_ d 7 和历：口”一刃，使得 d ，7 9 ，d ”；i ，i 。，i i , 历，j + ， 】构成一个r e c o u e m e n t ( 2 ) 设若三角范畴的满嵌入正合函子i 。：d _ d 存在左右伴随i 2 ：d d 7 ，三角范畴的正合函子歹+ ：d 一口”存在满嵌入左伴随j ! ：口”_ d ，且 k e r j = i m i + ，则存在两个正合函子i ：口_ d 7 和丘：刃”一刃，使得 口，d ，d ”；i ，i 。，矿，j ! ，歹， ) 构成一个r e c o l l e m e n t 我们只证定理2 2 1 中的结果( 1 ) ，结果( 2 ) 可类似证明在这之前，我们需 要以下几个引理； 引理2 2 2 i t 若三角范畴的满嵌入正合函子i 。：d _ d 存在左伴随i ： 7 9 _ ，则有左r e c o l l e m e n t d 7 ，d ，7 9 i m i 。；矿，以，五，于】- ，其中于：d _ d i m i 。 是标准函子 引理2 2 3 俐若三角范畴的正合函子广：d 叶存在满嵌入右伴随矗： 7 9 ”一d ，则有右r e c o l l e m e n t k e r j * , d ，d ”；磊，歹，矗 ，其中石：k e r j _ 刃是 嵌入函子 引理2 2 4 2 0 】若三角范畴的正合函子f ：c _ 刃存在满嵌入右( 或左) 伴随g ：d c ，则存在三角等价h ：c k e r fjd ，且f = 日q ，其中 q ：c _ c k e r f 是标准函子 定理2 2 1 ( 1 ) 的证明t 由引理2 2 2 ，引理2 2 3 及k e r j + = i m i 。，存在个 1 4 左r e c o l l e m e n t 口，口，d i m i 。；i ，以囊，j i ) 和一个右r e c o u e m e n t i m i 。，d ，d ”；南 ，i j ) 这里j ：d 一7 ) i m i 。是标准函子，i ! ：i m i 。_ d 是嵌入函子 一方面，由于i 。：口_ 口是满嵌入正合函子，则存在正合函子妒：i m i 。_ 秒，使得以妒垡i d i m “，伽是i d z # 令i 1 = 伽2 ，则对于任意x d ，y 刃， 有h o m 秒( x ，i l y ) = h o m z ) ，( x ，叫2 y ) 垒h o m i m i ( 以x ，i ! y ) 竺h o m v ( i l i 。x ，y ) = h o m d ( i 。x ，y ) 所以i 是i 。的右伴随又由于 i m i 。，d ，d ”；磊，l ! ，j + ，矗 是一 个右r e c o l l e m e n t ，对于任意x d ，存在三角i t i ! x x _ 歹。歹+ x _ x 【1 】 而由i l = 何2 ，知i t 型i , i ! ，所以涮竺 血i ! = i , i l 从而对于任意x 口，存在口 中个三角f i i 1 x 警x 警j , j x 一列x 1 】，其中f 是前连接态射，卢又是后 连接态射所以， 刃，d ，口”；i 。，t ! ，j ，矗) 是一个右r e c o l l e m e n t 另一方面， 五是j 的满嵌入正合函子，由引理2 2 4 ，知存在三角等价函 子o r ：d i m i 。_ ，且j + = 叮2 令五= j ! r ，这里7 ：_ d i m i 。，是矿 的等价逆则对任意的x 刃”，y 勿，有h o m v ( j ! x ，y ) = h o m v ( j l r x ，y ) 竺 h o m z , i m “( 以，歹2 y ) 竺h o m d ，( x ，力2 y ) = h o m d , , ( x ， j + y ) ，且歹+ 力= 力2 j , r 竺 i d 矿，所以舅是j + 的满嵌入左伴随由于 d ，d ，z ) i m i 。；i 。，缸，五，j 2 ) 是一个左 r e c o l l e m e n t ，对于任意的x d ，存在三角歹! 歹2 x x _ i i + x _ j ! 歹5 x 【1 】而 j + = 力5 ，叠= j , r ，所以j , j2 垡j ! a r j + 笺j , j + 从而对于任意的x d ，存在三角 j ! 歹+ x 警x 骂i , i x j , j x 【1 1 ，其中q 羔是前连接态射，以是后连接态射 所以， d ，口，口”； ，以j ! j + ) 是一个左r e c o l l e m e n t 因此， d ，d ，d ”；i ，i 。，i i , 歹! ，歹，矗 是个r e c o l l e m e n t 口 2 3 三角范畴的r e c o l l e m e n t 与稳定t - 结构 本节的主要结果是。 定理2 3 1 设【d ，口，d ”；i 。，以，五，j 2 ) 是一个左r e c o l l e m e n t ，则存在正合函 子i 2 ：d _ 口7 及矗：d ”_ 口，使得 口，d ，d ”；矿，i 。，i 1 囊，歹2 ，五) 构成个 r e c o l l e m e n t 当且仅当( i m i 。，( i m i 。) 上) 是刃的稳定t 结构 引理2 3 2 1 2 1 1 ( 1 ) 设 口，d ，d ”；矿，i 。，历，歹2 ) 是一个左r e c o l l e m e n t ，则( i i 可! ， i m i ) 是稳定t 结构 ( 2 ) 设 d ，d ，；i ! ，i ，j ， 是一个右r e c o u e m e n t ，则( i m i ! ，i m j , ) 是稳定 t - 结构 1 5 定理2 3 1 的证明。必要性若 ，口，刃”；i 。，i 。，i 2 ，歹! ，歹+ ，a ) 是一 个r e c o l l e m e n t ，由引理2 3 2 ( 2 ) ，知( i m i 。，i m j 。) 是口的稳定t 结构再由引理 1 4 6 ，有i r a j , = ( i m i 。) 上所以( i m i 。，( i m i 。) 上) 是口的稳定t - 结构必要性得 证 充分性若( i m i 。，( i m i 。) 上) 是d 的稳定乞- 结构，则根据引理1 4 7 ，知存 在一个右r e c o l l e m e n t i m i ! ，d ，( i m i 。) 上；i l ，i ! ，歹，矗) ，其中i v ：i m i ! _ d ， ： ( i m i 。) 上_ 刃都是嵌入函子 首先，我们证明i 。存在右伴随i 由于i 是满嵌入函子，则存在三角等价 口7 垒i r a 。，即有正合函子i p ：i m i 。_ d ，使得讧妒竺i d i m u 印竺i d 秒令 i ! = 伽2 ，则对于任意x d ，y d ，有h o m d , ( x ，i ! y ) = h o m z , , ( x ，彬2 y ) 星 h o r n i m i ( 以x ，i 2 y ) 竺h o m v ( i v i 。x ，y ) = h o m v ( i 。x ，y ) 所以i 2 是i + 的右伴随 其次，我们证明j 存在右伴随 由已知 d ，口，口“；i + ，以，歹! ，j ) 是一个 左r e c o l l e m e r i t ，则k e r j l = i m i 。，并且五是歹2 的满嵌入左伴随由引理2 2 4 ， 知存在三角等价盯：2 ) i m i 。_ 口，且歹5 = 盯7 r ，其中7 r ：d d i m i 。是 标准函子同样，由 i m i , ，口，( i m i 。) 上；i ! ，矿，歹，五) 是一个r e c o l l e m e n t ，k e r j = i m i ! = i m i 。，并且五是于的满嵌入右伴随，由引理2 2 4 ，知存在三角等价 7 ：1 ) i m i 。_ ( i m i 。) 上，且歹= w t r 设p ，丁分别是仃，叼的等价逆，即有 a o 竺i d v , , ，o a 竺i d v i m i ，聊垡i d d i m “，叩7 - 垒i d ( i m i ) 上从而巧垒丌，所以 仃矛竺口7 r = 歹1 令矗= 五矽，对任意的a d ，b ，有h o m v ( a ，a b ) = h o m v ( a ，j , r l o b ) 笺h o r n ( i m “) 上0 + a ，r l o b ) 竺h o r n v i m k ( 巧a ，o b ) = h o m 矿 ( 口矛a ，b ) 竺h o r n 2 ) ( j a ，b ) 所以矗是歹1 的右伴随函子又j 。 型i d ( i m “) 上， r j * 兰7 r ，仃p 笺i d l y , ，则五叩笺移五，7 竺i d v i m i 。j 2 j = a 7 r f , r o 笺”，所以j 。 是满嵌入函子 最后，由于 i m i ! ，矽，( i m i 。) 上；t ! ，i i , 歹+ ，j 。) 是个右r e c o l l e m e n t ，则对于任 意的x d