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双螺杆挤出机端面曲线设计理论的研究与曲面重建 摘要 本论文主要由两部分内容组成。首先，通过研究异向旋转双螺杆 端面曲线设计原理，得出任意曲线存在共轭曲线的代数条件。并用齿 型法线法和包络原理推导出共轭曲线数学模型。由于包络法比齿型法 线法应用简便，因此我们采用包络法设计了三种新型螺杆元件，并对 其分别进行了流场分析。通过比较这三种螺杆的流量，压力场及平均 剪切速率场的情况，初步归纳出螺杆端面曲线对于流场的影响因素。 这样在实际应用中，就可以根据流场的要求来设计螺杆的端面曲线。 论文的第二部分应用逆向工程原理，在计算机上重建螺杆三维造 型。首先通过三维线激光扫描仪获得原始数据点；并对初始数据点云 进行预处理，通过切片去噪等步骤减少数据量，提高运算效率。然后 对分组处理后的数据点进行角度排序和坐标排序，用b 样条对排序后 的数据点进行拟合。最后，本文对重建曲面进行了误差分析，提出了 一种新的误差度量方法，即中点、重心误差度量法；此方法运算效率 高，并在一定程度上可以衡量曲面重建效果的好坏。因此有很强的实 用性。 关键词：全啮合异向旋转双螺杆，端面曲线设计，流场分析，逆向工 程，曲线曲面重建，c a g d d e s i g no fc r o sss e c t l 0 nf o rc o u n t e r r o t a t i n gt w i n s c r e we l e m 【e n t sa n d s i 瓜f a c er e c o n s t r u c t l 0 n a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s a t 行r s t ，b a s e do nd e s i g nt h e o r y o fc r o s ss e c t i o no fc o u n t e r - r o t a t i n gt 、v i n s c r e w ，a 1 9 e b r a i cc o n d i t i o nf o rt h e e x i s t e n c eo fc o n j u g a t ea l g e b r a i cc u r v e sw a so b t a i n e d m a t h e m a t i cm o d e l s o fc o n j u g a t ec u r v e sw e r ed e d u c e dv i ae n v e l o p i n gt h e o 巧a n dd e m i f o r m n o r m a lm e t h o d b e c a u s eo ft h en e x i b i l i t yo fe n v e l o p i n gm e t h o dt h a n d e n t i f o n i ln o r m a lm e t h o d ，t h r e en e ws c r e w sa r ed e s i g n e db ye n v e l o p i n g m e t h o dw i t hf l o wf i e l da n a l y s i s b yc o n l p a r i n gt h en o w ，p r e s s u r en e l da n d a v e r a g es h e a rs t r e s s ， e f f e c t so fc r o s ss e c t i o no nf l o wa r ec o n c l u d e d p r e l i m i n a r y c o n s e q u e n t l y ， c r o s ss e c t i o n so fs c r e wc a nb e d e s i g n e d a c c o r d i n gt of l o we 仃e c t i v e l y s e c o n d l y ，铆i ns c r e ws u r f a c e sa r er e c o n s t r u c t e db a s e do nr e v e r s e e n g i n e e r i n g ，f i r s t l y i n i t i a l3 dp o i n tc l o u d sa r eo b t a i n e d b ys c a n n i n g t w i n s c r e we l e m e mv i a3 d1 a s e rs c a n n e r b yp r e p m c e s s i n gt h ei n i t i a l p o i n tc l o u d s ，o p e r a t i o ne 伍c i e n c ya r ei m p r o v e dw i t hd a t u mr e d u c i n ga n d t h el o o pd a t ap o i n t sa r eg e n e r a t e db yu s i n ga n g l es o r t i n ga n da x i ss o r t i n g e t c t h ec r o s ss e c t i o nc u r v ew i l lb ed r a w nw i t hb s p l i n e f i n a l l y an e w m e t h o do fe r r o r sa n a l y s i s ( m i d p o i n ta n db a r y c e n t r i cm e a s u r em e t h o d ) a r e p r e s e m e d t om e a s u r et h ee r r o r so fs u r f a c er e c o n s t r u c t i o n ， s t r o n g p r a c t i c a b i l i 妙s h o w st h a tt h i se r r o rm e a s u r em e t h o di sf e a s i b l et ot e s t i 黟t h e v a l i d i t yo fs u r f a c er e c o n s t n l c t i o n t h i sw o r ki ss u p p o r t e db ym i n i s t r yo fe d u c a t i o ni nc h i n a k e y w o r d s ：c o u n t e r _ r o t a t i n gt w i n s c r e w ，c r o s ss e c t i o nd e s i g n ，n o w f l e l d a n a l y s i s ， r e v e r s e e n g i n e e r i n g ， c u ea n ds u r f h c er e c o n s t r u c t i o n ， c a g d 北京化工人学硕士研究生学位论文 皿螺杆外圆半径，m m ： 且螺杆根圆半径，m m 符号说明 巴中心距，m ： r 导程，m ； 端面曲线上点( x ，y ) 绕z 轴的旋转角，m d d 。径向问隙，m m ： 矿速度，州s ； p 静压力，p 口； r 剪切应力，p d ； ，剪切速率，帕； 稠度，s ”m 2 ； 幂率指数： “物料粘度，肋一 只。入l j 压力，御； p 出。出口压力，脚； 厅第f 个切割平面 k 界于平面乃，乃+ 之间的微元 g ，离散数据点 g ：投影后的离散数据点 p ，m ，( 玑，g ；) g ，与g ：之间误差 。( “) b 样条基函数 d 控制顶点 北京化工大学硕士研究，书学位论文 b m ( f ) 丑盯栉s f f 抽基函数 “。“向参数值 v 。v 向参数值 瓯，曲酝片 。单位法矢量 z d 误差度量 北京化工大学硕士研究生学位论文 1 1 文献综述 第一章概述 1 1 - l 双螺杆的设计现状与发展情况 作为聚合物主要加工设备的双螺杆挤出机，以其良好的混合性能，高效的熔 融塑化效率在聚合物加工业中得到了广泛的应用。 双螺杆挤出机是在”c 。”字形机筒中并排安装的两根螺杆，通过叫根螺杆之 间的相互作用来增强混合，输送效果的挤出机，从第一代用于塑料挤山的双螺杆挤 出机至今，双螺杆挤出机已经被广泛应用于各种不同的高聚物加_ 上领域，并日产 生了多种多样的类型。从不同角度，双螺杆挤出机的分类有多利r 方法：按两根螺 杆的啮合状态，它可分为啮合和非啮合两种，按螺杆旋转方向可分为同向和异向 两种，按两种螺杆的螺棱顶部、螺槽根部宽度的关系，可分为兆轭和非共轭两种， 按机筒形状还可分为平行双螺杆和锥形般螺杆挤出机。 传统的双螺杆设计方法是基于相对运动学原理的设计方法，自1 9 8 9 年以来， 北京化工大学刘慧”“教授从微分几何学理论出发，对常规和非常规_ 般螺杆几何造 型，端面曲线、法面截线三维立体形状进行了深入的研究并开发了相应的软件。 基于经典儿何学以及微分几何学理论，对机械设计中动态啮合理论的研究，提供 了同向和异向全啮合双头双螺杆挤出机的端面、轴向和法向截线的数学模型，并 建立了双螺杆的三维数学模型。同时刘慧”教授对同向和异向双螺杆挤m 机复杂的 四面体间隙进行了深入的研究，研究了四面体间隙的形状、体积，建立了相应的 数学模型。而且对构成间隙的曲面进行了合理简化，创立了一种新的曲面拟合方 法，为间隙曲面方程的实用性提供了保证。间隙体积与形状模型的建立为进一步 研究挤出过程流场的变化提供了边界条件。同时完成了相应的螺杆设计和动态仿 真的计算机软件开发t 作。 北京化工大学江波“”教授、耿孝正“”教授等国内专家对双螺杆挤出机的性 能和流场进行了系统的分析和计算模拟。 能和流场进行了系统的分析和计算模拟。 对双螺杆挤出机的各部件进行了全面的 对双螺杆挤出机的各部件进行了全面的 北京化工大学硕士研究生学位论文 分析和研究。 随着计算机技术的不断发展以及可视化技术的提高，双螺杆设计将逐渐走向 可视化的技术发展。 1 1 2 逆向工程理论，现状及发展 逆向工程又称反向工程”1 ，最早应用于汽车、飞机等制造业，由于其行业产 品的表面多为自由曲面，难以用精确的数学模型描述，所以设计时旨先按照一定 的比例制作模型然后进行设计和分析直至满足各方面的要求，最后测量模型， 依次进行产品的试制。早期由于采用传统的手工测量方法，存在着效率低，拟合 精度差的缺点，在一定程度上制约了逆向工程的发展。从6 0 年代开始，随着计算 机，c a d c a m 技术及高精度的测量仪的发展，测量效率和精度都有了很大提高，使 得逆向工程技术在实践中获得了广泛的应用。“”“。 逆向工程主要包括两方面内容“：数字化技术和曲面重建技术。数字化技术， 即利用测量装置采集实物模型表面数据。曲而重建是根据测量得到的反映几何形 体特征的一些离散数据，在计算机上获得形体曲线曲面方程或直接建立c a d 模型 的过程。 曲面重建是采用逆向工程方法生成c a d 模型的关键步骤。但是产品的表面自 由曲面由于其复杂性难以直接造型，因而更成为逆向工程的研究重点。在逆向工 程中，曲面重建造型具有以下特点m 州“m ： ( 1 ) 面对的测量数据是密集的“点云”数据，数据量极大：曲面测量点数据散 乱，曲面边界和形状非常复杂，难以直接应用常规的曲面构造方法： ( 2 ) 曲面对象往往不足简单地一张曲面构成，而是有多张曲面经过延伸，过渡， 裁减等生成，必须进行分块构造： ( 3 ) 受测量条件的限制，数据采集要进行分块。 一般说来睦面重建需要儿个步骤1 ： ( 1 ) 数据预处理：根据具体采用的测量方法，对数据进行侧头半径补偿，噪声 数据处理、多视拼合等内容。 ( 2 ) 数据分块：实际曲面往往是由多个不同类型的表面共同构成，采用一个曲 面表示是不可能，因此要进行边界检测，先提取曲面特征，据此将曲面分成多片 曲面分别进行拟合，最后再拼接在一起。 ( 3 ) 数据优化：压缩不必要的数据点，确定合适数据的反映曲面拓扑特征的测 北京化工大学硕士研究牛学位论文 约束。孤立地拟合测量点形成曲面片的原型重建方法存在2 个不足：一是没有准 确还原几何特征，二是拟合过程没有考虑特征间的约束关系和模型的整体信息。 由于不能表达零件对象更高层次的结构特征信息，对只要求提供零件的位置信，亩， 的下游应用，如零件数控仿形，直接生成模具等，其数据模型描述是基本合适的， 但涉及到产品改型集成等，特别是自由曲面组成的外形，就存在编辑、修改和表 达的困难。 基于特征及约束的c a d 建模有以下优点”1 ：( 1 ) 能捕捉和还原原设计意图， 使重建模型更接近原型，减少数据兀余；( 2 ) 能准确表述零件的几何关系，易于 实现测量数据和零件的定位和装配；( 3 ) 重建模型实现参数化表达，方便设计的 编辑、修改，达到改进及创新设计；( 4 ) 模型检测简化且准确，基于特征进行探 头路径规划和采样点选择：( 5 ) c a d 模型包含的几何特征信息有利于后续的 c a p p c a m 过程的特征识别。 基于特征的重建技术需要解决的是如何从离散的数据点识别和抽取原有的形 状几何特征信息。现有的研究多集中在应用于数据分割的表面棱线、区域边界和 规则表面( 平面、柱面和等、变半径过渡曲面) 特征的识别上，对自由曲面的重 建，只是从曲面拟合的角度研究了旋转、扫成、放样曲面的重建问题，尚无完整 的特征建模方法，对面向逆向工程的特征定义、分类、特征数据模型定义、基于 特征的模型测量规划等则少有研究涉及。 可以认为，在机械领域，基于特征及约束的3 维模型重建技术是逆向造型追 求的目标和发展方向。目前研究尚处于起步阶段关键技术包括2 个内容【3 4 】：( 1 ) 特征识别和抽取，难点是自由曲面组成的复合曲面特征的处理，一个解决办法是 通过造型的方法去识别和还原特征，这时可以定义自由曲面特征为造型特征，上 述的旋转、扫成等曲面的重建研究便体现了这种思想。( 2 ) 在特征恢复时考虑特 征问的约束关系，即在对测量点拟合的同时增加一个或个以上几何约束，如平 行、垂直、相交、共线、共面等。难点是随着约束数的增加，方程矩阵阶数也增 大，使求解困难。另一个问题是难以识另0 和数学定义自由曲面特征的约束关系。 北京化工人学硕士研究生学位论文 1 2 本研究目的、意义和研究内容 1 2 1 本研究的目的、意义 双螺杆是挤出机的重要组成部分之，由于材料性能及混炼条件的不同，对 双螺杆的外形设计提出了更高的要求，因此在工业中急需寻找一种高效的螺杆设 计方法。在传统的设计理论中，主要以螺杆的相对运动原理为基础，端面曲线由 圆弧或摆线组成。本课题主要研究用任意曲线设计螺杆端面曲线，并推导共轭曲 线存在条件。 螺杆当中各间隙在不同的螺杆转速和压力梯度条件下不仅有各自的规律，而 且相互影响，相互渗透，便漏流更复杂 3 5 1 。所以对各种间隙的研究就显得尤为重 要。对于常规螺杆的四个间隙前人已经做了深入细致的探究，甚至对于其中最 复杂的四面体间隙也已经给山了精确的数学模型。但对于非常规螺杆，由于端而 曲线相对复杂，导致了四面体间隙的数学模型相对较难，因此传统的根据数学模 型建立间隙的方法就比较困难，本课题试图通过逆向工程中的方法对螺杆进行三 维重建以便生成四面体间隙。首先从常规螺杆入手，寻找种大规模数据点的优 化方法，然后用样条对其进行拟合，生成螺杆三维造型。如果此方法精度满足j 二 业需求，那么对于任何双螺杆的四面体问隙都可以通过逆向工程的方法进行重建， 而不在涉及端面曲线的复杂性问题。此方法应用广泛，准确高效，有助于工业生 产研究。 1 2 2 研究的主要内容 对双螺杆挤出机常规螺杆元件几何学的研究，多年来常用的方法是通过分析 两根螺杆的相对运动来推导螺杆端面曲线方程，称之为传统方法【3 6 】。此方法设计 出的双螺杆限制颇多。t 要由以下几个量如中心距、螺纹头数、机筒外径、导程、 螺纹升角来决定螺杆的外形，这五个量相瓦影响，因此限制了螺杆外形的多样性。 齿型法线法是根据齿轮的啮合原理设计螺杆端面曲线，新型螺杆在外形上可以相 当丰富，对此方法我们将在论文中给予大致的介绍，但是此方法设计步骤繁琐， 应用上较难。包络法是根据数学中的包络原理来设计螺杆端面曲线。对于任意一 条满足共轭曲线存在条件的益线，我们都可以应用包络原理得到它的共轭曲线， 北京化工大学碾士研究生学位论文 的因素会影响共轭曲线的存在。例如在工业上对机筒大讲4 壤哩聋型 煎器岩藩普罾j 墓犁掣 慨雾差k 掣孽著最蛰售螋冀浚j 一协蕊州宙f 簧毵磊受堡： 活7 巍馥野篷v 卵嚣蓍眇高爹 酽薹囿i ：盈誉裂善芦孚薹谤嗡岩理。 鐾算华靠兹声耋巷滴竖螺翥鹫强i 】? 委l = 月湖稍：端面群；囊i 兹赢e 澎赢荔睡。蓠 融耕鞋张豁纠委排练鲁 的情 况下，如果可以事先排除此类不存在共轭的曲线，将给工业设计带来极大便利。 本文就主要研究了共轭曲线的存在条件。 用包络法设计出的新型螺杆元件可用g a m b i t 生成三维螺杆造型，然后划分网 格导入p 0 1 yf l o w 【3 7 】1 3 8 】【3 明软件中即可进行流场分析。我们分别研究了几个新型螺杆 元件的流场隋况，并可以根据不同的流场分析结果将他们应用到合适的领域。 对于一个已经成形的双螺杆，如果要在计算机中重建它的三维螺杆造型，在 端面曲线方程复杂的情况下将是一件困难的事情。但是如果有三维坐标扫捕仪的 帮助我们就可以应用逆向工程的方法来进行重建工作。 首先进行曲面分片，然后分别对每一片进行去噪处理，事先排除不必要的噪 声点不但可以提高运算效率，而且保证了曲线的光滑度。整个过程采用分段去噪 的方法。经过去噪处理后，散乱点不但个数减少，而且相对集中，提高了b 样条 北京化上火学硕士研究生学位论文 x = z ( f ，口) y = y ( f ，口) 垦生一生塑：o 氆80 cac ca i 如果存在。条这样的曲线，使得过，上的任一点总有 巴) 中的一条 | 线与，在 这点相切，而且 巴) 中不同的曲线与，有不同的切点，这条曲线，就叫做曲线族c 。 的包络线。当判别曲线c 满足以下条件( 2 1 3 ) 时，判别曲线就是曲线族c 。的包 络线。 ，其。= l 主：汁。眨抖 ，。， l x ，口y ，。ll o 。y d a l 在平面上建立如下坐标系，设坐标系0 1 一工e 与圆盘爿固联，坐标系 0 ：一工：疋与圆盘口固联，d l ，0 2 分别为圆盘爿，日的圆心。爿，曰分别以0 1 ，d ：为圆心 做异向旋转。c 是爿盘上任意一条曲线。根据相对运动原理，假设圆盘口不动 圆盘爿的圆心o 将绕圆心o ：转动( 如图2 - 5 ) ，在爿盘上的曲线c ，相对于。2 做摆线 运动，例如圆盘a 上一点p 将转到p 点。这样在0 2 一x ：匕坐标系下形成曲线族c 。 ( 如图2 6 ) ，口是时间参数，不同时刻生成族中不同的曲线。根据包络原理我们 可以得到坐标系d 2 一z ：y 2 下曲线族c 。的判别曲线c 2 ，如果判别曲线c 2 也是曲线 族c 。的包络线，并且在圆盘b 内，那么曲线c ：就是曲线c 。的共轭曲线，可以保证 g 、c 2 分别绕圆心0 l 、d 2 运动时足时刻保持相切的。如果将c 。、c 2 分别作为两 个螺杆端面曲线的一部分，再用同样方法设计其它部分，就可以得到两条完整的 端面曲线。 o 盆厶 儿生_ ，o【 北京化上大学硕士研究，上学位论文 图2 5 相对运动 c 墨 r j 、 m 厂 兮 、础： 。- 。l 。1 0 、c 2 图2 6 包络原理示意罔 2 3 共轭曲线存在条件 由以上论述可知，虽然任何曲线c 形成的曲线族c 。都存在判别曲线c ：，但儿 有当c 2 是c 。的包络线且在圆盘口内时，c l 与才是一对共轭曲线。在工业生产 中，全啮合双螺杆挤出机端【i i i 曲线必须是共轭曲线，那么是否任意曲线c 都可以 作为双螺杆的端面曲线呢? 答案是否定的。例如图2 - 7 所给的曲线c 与c 2 ，当分 别绕各自圆心异向旋转时，就不能时刻保持切触。由于g 没有与之共轭的曲线，凶 此不能作为全啮合双螺杆的端面曲线。在取螺杆轴，机筒半径与转速固定的情况 下，如果可以事先排除此类曲线，将给工业设计带来极大便利。下面我们就来研 究什么样的曲线在相对运动条件下形成的曲线族没有包络。 ( 1 ) t = 0 s ( 2 ) t ；1 0 s 图2 7 非共轭的曲线各时刻位置图 北京化上大学硕士研究生学位论文 定理l ：两条共轭曲线分别绕着轴d i ，d 2 转动，圆心距为巴，如果转速比为常数， 那么它们各时刻的切触点处的公法线通过此刻的瞬心点尸，p 在连心线0 1 0 2 卜， 并且q 尸：0 2 p = f ，这就是转动比为常数时的齿轮啮合的基本定理。 瞬心线是瞬心点| p 在旋转坐标平面卜的运动轨迹，根据定理l 得到 q p ：d 2 p = f ，所以瞬心线是两个分别以d l ，0 2 为圆心，半径为鲁，鲁的圆。 定理2 ：两个圆盘爿，b 分别绕着圆心0 i ，q 异向转动，且转速比为常数“如果同盘 爿上的任意一条曲线c ：y = 正( z ) 在圆心距c l 固定的条件下在圆盘b 上存在共 轭曲线c ：y = ( x ) ，那么c l 上各点的法线与圆盘爿上的瞬心线的交点所对应的 圆心角呈单调数列。 证明：以。l 为圆心建立固定坐标系d 。一彤( 如图2 _ 8 所示) ，设两圆盘在转动过 程中的瞬心点为尸，根据圆心距巴和转速比f 得：。p = _ = 簧寻。 对于c 。上的任意一点m 。( x 。，) ，它的法线| v 。不一定通过p 点，设点的切 线和0 i j 轴的夹角是y ，则法线。的方程为 y 一一去( 一) ( 2 j 4 ) 。和d 。轴的夹角是y 一三，当圆盘绕。l 转过口角时，m 。变到m - ，法线。变 为，这时通过尸点，所以m 就是这时的切触点。m ，的坐标为 _ 2 ：口蜘”：? ，又因为尸点的坐标为( 1 ，o ) ，所以 【y l = 一x os l n 口+ 蜘c o s 口 尸 f l = ( x oc o s 口+ y os i n 口一1 ，一x os i n 口+ y oc o s 口) 。是0 绕d i 顺时针旋转口角得到的，所以它和p 。x 轴的夹角为，一罢一甜 m 尸就是的方向，则有： 北京化工大学硕士研究生学位论文 辔c ，一詈一a ，2 专芝卷竿篇 整理后得到 c o s 一y ) ：型竺生竖坚兰 ( 2 1 5 ) 根据公式( 2 - 1 5 ) 得出任意一点m 。所对应的转角g ，即当两圃盘转过口角度 时，m 。成为新的切触点。这时我们做m 圆盘4 的瞬心线占为 e 黑： ( ：蛳 【，= s j n 目 、。， 由( 2 一1 4 ) 、( 2 一1 6 ) 得到： c o s ( 口一，) ：型墼竺业坐 易知与g 的交点所对应的圆心角疗即满足公式( 2 1 5 ) ，所以此圆心角目即 为转角口。 下面应用反证法证明c 上各点的法线与瞬心线的交点所对应的圆心角呈甲 调数列。设圆盘彳绕q 顺时针转动，任取两点m ，鸠( 如图2 9 所示) ，分别对应 圆心角鼠，岛( o 鼠 a ： o ，说明切触 点先过鸠，然后是m 。，但是g 存在共轭曲线且顺时针旋转，当b 岛时，切触 点顺序应为m 。，吖：，与以上假设所得出的结论相反。所以假设不成立。应有a d ： ( 当取等时说明两点同时成为切触点) 。 综上所述对于z ( x ) 上任意两点m ，鸩，如果q o = l ，2 ，m 孑，= l m a x 0 ，) 一m i n ，) l ( _ ，y ，) 一t o ，= l ，2 ， d ：上y ! f d + 0 ) 2 ( 2 ) = 1 0 0 图4 5 曲线宽度定义 ( 4 3 ) ( 3 ) h = 1 0 0 0 i 广 r ，习r 1 + “一 1 k i 釜2 乏i 匕二甜童 ( 1 ) 1 0 h 1 0 0( 2 ) 8 0 行 2 0 0( 3 ) l o o ” l 0 0 0 图4 6c p u 的运算时间 当”取不同数值时，曲线的宽度变化如图4 5 ，c p u 的运算时问变化如图4 6 所示。经过比较，c p u 的运算时间在”= 1 5 0 左右时最少，但此时曲线宽度较大 拟合难度较高。当”= 1 0 0 0 时曲线宽度最为理想，这时我们从图4 6 ( 3 ) 中发现 ”= 1 0 0 0 时c p u 的运算时间是1 6 秒，这个运算速度是可以接受的，所以最终我们 选取h = l o o o 作为最优切片个数。 4 3 数据点角度排序 北京化工大学硕士研究生学位论文 任取个切面上的数据点，为了对它进行曲线拟合，首先要进行角度排序和 去噪处理。排序原理如下： 设位于吲一平面上的数据点为g 。，q ：，取定这些数据点内部一点 。( o 。，o 。) 为原点建立坐标系，定义此。点为这些数据点的几何中心，由( 4 4 ) 计 算得到： 口：竺竺! ! ! ! ! 堡! ! ：! ! ! 竺也! ! l ：丝二j ! 2 x y 坐标轴的建立如图4 - 7 所示。 ， ， ， 0 1 、一， 图4 7位于同一平面上的数据点效果图 对于任意数据点吼，d 吼与o 呵的夹角为只，角度排序法是q 。，q ：，按照 o g 。，d q ：，0 与甜所成的夹角q ，岛，吒的大小顺序进行排序。 4 4 数据点去噪 经过排序处理后的数据点虽然具有角度的规律性，然而数据量过多，且存在 噪声点，因此还需要进行数据点去噪工作。这里的噪声点也可以称为孤立点。即 在这些噪声点的占邻域范围内不存在其它数据点，这样的点才被称为噪声点。噪声 点作如此苛刻的规定，目的在于去除这些点时不会影响到曲线拟合精度。去噪后 数据点个数减少，使拟合速度更快。本文将采用分段直线拟合去噪法。首先，将 北京化上大学硕士研究牛学位论文 伪程序代码如下 图4 1 0 去除噪声点 0 n 。 北京化工大学硕士研究生学位论文 域共包含胛一女+ 1 个节点区间，其节点值的选取应反映数据点参数值谚的分布情 况，可按如下决定： 设c 是一个正实数，江i n t ( c ) 表示了f c 的最大整数。令 历+ 1 c = 蚪一是+ l 则定义域的内节点为： f _ i n t ( 弦) ，口= 弦一f 材 + ，= ( 1 一口) 瓦一】+ 口砭，：l ，2 ，一，h 一七 按如上决定的内节点值保证了定义域每个节点区间包含至少一个玩。 这样生成的逼近曲线，数据点q ，( f = l ，2 ，一1 ) 一般不完全落在上面，且p ( 孑，) 不是在曲线上与玑的最近点。设 = 吼一g o | o ，l ( 珥) 一q 。( 玩) ，f = i ，2 ，一1 将参数值玩及上式一起代入，则有 一l m 一】 h l = 阳，一p ( 玩) 】2 = k 一d ，( 瓦) 2 j = l滓lt = i 应用标准的线性最小二乘拟合技术，欲使得目标函数，最小，应使它关于”1 个控制顶点t ( ，= l ，2 ，”一1 ) 的导数等于零。它的第，个导数为： 毒= 删讲z 州 j ) 善d 儿( 训 这意味着 于是 肛l一l 一1 m ，。( 砭) + d ，( 砭) ( 蟊) = o j - lj = ij = i ”一lmi，”一l ( v 似( f ) 泔( 1 ) ) d ，= f ，。( f ) ，= lj - lj = 1 这给出了一个以控制顶点d 。，d ：，d 。为未ji 董 ；曼j 北京化上大学硕士研究生学位论文 ，= 1 ，2 ，一l ，则得到含”一1 个该未知量的 一1 个方程的方程组 ( 1 ) d = r ( 5 4 ) l ，t ( 1 ) | v “，t ( 玩) l 肚l 0 ：仉麓。) jl t t ( 瓦一，) | v 州( 瓦一一) j 月忙 ：冀裂。悭 月= f ； ； ； jd = lji l “，i ( 玩) _ + + 。，l ( 瓦一。) 一。jl d j ! r 堂叵 i g u 一厂r r 竺叵叵 匦二 r 藏r 图5 - l 拟合效果图 从图中我们可以很明显的看到，有两个地方拟合出现尖点，这说明在这两个 区域拟合精度很差。解决的方法曾经是二次拟台法，即在此拟合直线的基础上再 选取一系列的数据点，对这些二次选出的数据点用同样的方法进行第一二次拟合。 北京化上大学硕士研究生学位论文 二次拟合法可以有效的避免此类尖点的出现，但是也存在它的弊端。首先重新选 点的过程需要人为干预，不能由计算机直接完成，其次重复作二次拟合使c p u 运 算时间加倍，导致拟合效率降低。本文将提出一种新的处理此类问题的方法，即 局部坐标排序法。下面首先介绍坐标排序的概念。 5 3 散乱点坐标排序 角度排序是根据各数据点与几何中心的连线与x 轴夹角大小，对散乱点进行排 序。我们将排序之后的点按照前后顺序用直线连接。在某些区域，如螺槽部分， 我们发现连线震荡剧烈，显然不能如实反映各散乱点的位置关系。如图5 2 所示， 为角度排序后的结果。由于b 样条中的参数是用积累弦长法决定的，所以准确地 计算出各点之间的弦长是提高拟合精度的关键。显然用这种排序法计算出的弦长 参数很不准确，所以造成了拟合曲线出现尖点的结果。 ! e 叵 竺丘二臣二 世叵叵 匦塑鱼匿至 图5 2 角度排序 为了解决以上问题，我们采用了一种新的排序方法，即坐标排序法。针对角 排序震荡剧烈的区域，分别按照此区域散乱点的x 坐标或y 坐标的大小进行重新 排序。如图5 3 所示，为坐标排序处理后的效果图。 北京化工大学硕士研究生学位论文 ! 厂r 堂广f & * 月l 竺簟二臣二 f n f 几r 瞬韩黼蕊i _ ! 巳二嫩叵 & # i ( 1 ) 上螺棱部分 ( 2 ) 左螺棱部分 图5 3 坐标排序效果图 图5 3 中分别使用y 轴坐标排序。经过华标排序后各点之间的位置关系得到 修正，然后在用这些散乱点进行拟台，尖点的问题便得到了解决，见图5 4 为三 次b 样条拟合曲线图。此坐标排序过程几乎不占用c p u 的时间，可在瞬间完成， 拟合运算只需一次，所以整体的运算效率远远高于二次拟合法。 毒e 刚亟 二 # 一 蕊一 一百一 一一 一 一 一一 些 些 r 一 北京化工大学硕士研究生学位论文 图5 4 坐标排序后的拟合效果 5 4 曲线拟合程序设计 以上过程适用于散乱点曲线宽度合适的前提下任意形状的曲线拟合。为了 方便的处理类似问题，我们用m a t l a b 设计了一个小软件( 如图5 4 ) 。用户交互界 面的右侧为图形显示窗口，用来显示散乱点或排序、拟合后的效果图。左侧为控 件区域，从上至下分别是角度排序，坐标排序，b 样条拟合，c p u 运算时间。 处理过程如下： ( 1 ) 角度排序：首先用户要输入角度排序的范罔，即起始角度与终止角度。按“角 度排序”控件，程序会根据用户指定的区域对散乱点进行角度排序。如螺杆端面 曲线散乱点拟合，一般选取0 。一3 6 0 0 进行角度排序。 ( 2 ) 坐标排序：观察角度排序后的效果图，将角度排序不当的区域定义为一个矩 形，输入此矩形区域的对角顶点举标，然后选择x 坐标排序或y 坐标排序。 ( 3 ) 散乱点拟合：选择拟合b 样条的次数，进行散乱点拟合。 ( 4 ) 显示运算时间：选择是否需要显示c p u 的运算时间。 经过上述步骤，基本可以完成对于散乱点的拟合问题，通过观察拟合效果图 和c p u 的运算时间，可以决定最优的拟合b 样条次数。这里关于螺杆端面曲线的 拟合，二次，三次，及四次b 样条拟合c p u 时间分别为2 1 5 5 9 s ，4 5 6 3 7 s ，9 5 9 2 8 s 。 拟合效果二次最差，三次与四次没有太大差异，但是由于三次b 样条的拟合时间 要远远少于四次b 样条。所以，用三次b 样条拟合最优。 北京化工大学硕士研究生学位论文 6 1 曲面重建 第六章曲面重建与误差分析 通过以_ 卜的工作，得到端面曲线的模型以后，重建螺杆三维造型可以有两种 途径进行，下面分别给予介绍： ( 1 ) 鉴于螺杆自身的特点，通过端面睦线的旋转可以非常容易的重建螺杆三维造 型。但是此种方法的缺点在于，对散乱数据点利用率太低。整个螺杆的造型 完全取决于由少数几个点重建的端面曲线，而火部分的扫描点没有得到充分 利用，显然这种重建方式很难保证结果的准确性。但它的优点在于运算效率 极高，所以在精度要求不高的前提下，可以采用旋转的方法。 ( 2 ) 将散乱点分片后，对每一切片重建螺杆端面曲线。然后在端面曲线上进行选点， 用b e z i e r 曲面蒙面法重建螺杆三维造型。 本文将采用第( 2 ) 种方法。下面对b e z i e r 曲面重建法作简要介绍。 6 1 1 b e z i e r 曲面定义 b e z i e r 曲面的定义1 4 6 】： 假定运动的曲线是以“为参数的m 次b e z i e r 曲线： p = 6 f e ，。 ) o “l f = o 定义它的m + 1 个控制顶点分别沿着在空间的m + 1 条曲线运动。又假设这m + l 条曲线又都同是以v 为参数的”次b e z i e r 曲线，即 6 i = 6 j ，q ，。( v ) o v l j = 0 组合这两个方程，就得到张量积b e z i e r 曲面，。 p = p ( ) = 4 ，e ，。( “) q 。( v ) o 1 ( 6 1 ) 给定呈拓扑矩形阵列的数据点阵只，( f = 0 ，1 ，r ；j = o ，1 ，5 ) ，欲构造一m n 次b e z i e r 曲面片 北京化工大学硕士研究牛学位论文 p ( “，v ) = 包，b ，( “) b ，( v ) ，= i 厂 f = o ，i ，2 ，3 ，肌 其它 使得在最小二乘意义上拟合这些数据点。这里分别有m r ，”s 。实际应用 上，常取和 为3 ，4 ，5 。上式中b e z i e r 控制顶点6 。( f = o ，l ，m = o ，1 ，”) 待 定。 ( 1 ) 数据点的参数化 要构造曲面首先的问题是如何对数据点实行参数化? 作为整体拟合，数据点 的参数值4 i 受参数平面上构成矩形网格划分的限制，可以采用双向规范积累弦长 参数化。 f of = 0 。2 汹圳昏一圳，2 ， l t = 0， t = 0 f oj = o _ ，2 1 黔叫护t 叫川，2 ，s l i = o， = o 其中 舭p f 一p ：| 【岔 1 p 。，= p ，+ 1 一p ， 如图6 1 所示，型值点a ，的参数值“u 与v 。分别与该点在型值点阵中所在第f 行与第j 列型值点有关。 p l o 图6 1 双向舰范积累弦长参数化示意图 ( 2 ) 口p z i p r 曲面生成 北京化工大学硕士研究生学位论文 生成。过型值点只，的曲面片鼠，方程为 ( “，v ) = t “) e ，。( “) q ，。( v ) o “，v 1 ( 6 4 ) 泞o ，= 0 其中女= l ，2 ， ；f - 1 ，2 ，也，( 足，) 表示由型值点只，反算出来的b e z i e r 曲面片& ，的控制网格顶点。最后由控制顶点生成螺杆三维造型，如图6 3 ( 2 ) 。 船， 酣 ( 1 ) 整个曲面( 2 ) 单个曲面片 图6 2曲面与曲面片型值点排列示意图 ( 1 ) 端面曲线 6 2 误差分析 6 2 1 点到曲线误差度量 图6 3曲面重建效果图 ( 2 ) 重建后的螺杆三维造型 北京化上大学硕士研究，芏学位论文 曲面重建中会产生。定的误差，误差主要来自曲线、曲面拟合，因此有必要 对拟合过程中产生的误差进行一定的分析。 以往度量点到曲线误差有多种方式，常用的有以下两种4 。如图6 4 所示 p d 误差计算p 。，。= 妒也) 一五n t d 误差计算e 。：i p 以) 一以) 7 。 2 。 其中以为曲线p ( f ) 在点p ( ) 处的单位法向量。 x i 图6 4p d 与t d 误差 p d 误差和t d 误差的度量方法，本质上都是计算每个数据点到拟合曲线的 最短距离。两者都需要求解点到曲线上投影点的对应参数值“，也就是在拟合曲线 上寻找与数据点距离最近的点所对应的参数值，显然这要使用循环搜索的算法， 运算效率不高。本文要采用另外一种误差度量方法。主要思想如下： 将散乱点按照角度、坐标排序后，按顺序连接相邻的数据点。形成多条线 段，如图6 5 所示。定义每条线段中点噩与它在益线上的投影点j d ( f 。) 之问的距离 为点到曲线的误差，称为坳误差t 这里的投影点| d ( f 。) 是以点的中垂线与曲线 p ( f ) 的交点。 北京化工大学硕士研究生学位论文 图6 5 误差定义 m d 误差计算 ，。= l | p ( ) 一圭( 五 由于各线段中点对应的投影点参数值可以通过中垂线与曲线的交点得到 所以投影点是唯一确定的。设计算法时只要通过解方程而不需要循环搜寻便可得 到，因此节省了运算时间，提高了运算效率。图6 6 是端面曲线上部分散乱点的 误差分析图。 6 2 2 点到曲面误差度量 图6 6 端面曲线误差分析 将散乱点投影到一系列同轴圆柱面上，应用柱面上的v o r o n o i 图连接各散乱点 形成三角平面如图6 7 所示。 北京化工大学硕士研究生学位论文 、：，7 ：、， l 一 、 一下 图6 7 柱面的v o m n o i 幽 ， 引理6 1 ：柱面上任意的两点p q 的中垂线是连接它们相对母线上的特殊两点 的最短测地线。 引理6 2 ：令m 。，m ：是不在同一母线上的两点。则一定存在两点p ，q 满足p q 的中垂线是连接肘，m ，两点的两条最短测地线的并。 从以上引理我们注意到柱面上的中垂线与平面上的中垂线有相同及不同之 处。相同之处在于中垂线都可以由两点确定，而不同之处在于平面上的中垂线可 由中垂线上的任意两点确定，而柱面上的中垂线只能由两个特定的点确定。 另一方面，在柱面上被中垂线分出的两个区域并不是凸的，所以与平面不同， 柱面上的v o r o n o i 区域不是凸多边形，但是我们很容易发现每个v o r o n o i 区域是一 个星型多边形。与此区域相关联的点是此多边形的核。连接相邻区域多边行的核， 就形成了我们所要的散乱点的空间三角网格，从而进行误差分析。 常规方法计算点到曲面的误差如图6 8 所示。即在拟合曲面上寻找与数据点距 离最近的点，将此点定义为投影点。然后计算数据点与其投影点之间的距离。 图6 - 8 常规法计算点到曲面误筹 与传统的点到曲线的误差度量法一样，这种在曲面上搜寻投影点的过程相当的 耗费时间，致使算法效率极低。所以本文采用另一种方法，如图6 9 所示。空间 5 6 八、，丫， lilj卜玎illi_扣l，f 北京化t 女举旆军卉群芷毒再臻罂 藿冀蠢耋；| i i舞刁缉采萎朝圣 r 冀穗苫行售耀掣云：裂耽掣拳p 搿蚓比平i 葡 ；毒藉睦! 囊! 薹；l 彗；薹毒：i ，羹琴；耋至 ；l i瞎准j 品篇艘。掣誓西? 晕薹灯善再誊譬鼎w 骘驯 跹缩刊旮 i i 喜善墓l = 影 笋甜。! l l ；凌i i ! g ；爵! ? ；：s 目 l l ；犁i 私辎彰秸浆管窭峨道焉速q 珥表岬墓￥鲫私醒型叫驯二强蒿偿萼j ；要；? 耋；羞；? 萋i = 誊? ? 交：雩巨强一、圭垂 ? ? ；寿o ! 型= 薹簟川鬈囊耩娄茴误差齄鞔；舁嚣直口下：i ￥，；案；! ? s j j 鬟g = i ； l 筝 l k ；r ；烈穑；嚣了翔型肾爱划玉三氡扭鋈敞兰一雨豫；：l l ! ；鎏j 。k i 磬i ? ：； 霪；? 季圭 ；i ；贰豢拶= 驯娟：静静j 簪燕挈委淘曩墉私爱嚅鉴煺隋! ! i 魉缈鼯 算转x j 凄善斧毫；! ：要i i ? i j ；髻i ，；￥ o ， a = z p a i x u l ( a ，x 1 y l ，x 2 ，y 2 ) ；， d e l e t e ( h ) ， h = p l o t ( a ( ：