（基础数学专业论文）一族单位圆周同胚的共形自然扩张.pdf

原创性及使用授权声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：练匆彬 日期：1 砷孑年y 月乡l e l 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其 他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：靴 日期m 啼年f 凰1 日 1 一族单位圆周同胚的共形自然扩张 摘要任给一个单位圆周到自身的同胚，假设它有两个到单位圆盘 的共形自然同胚扩张利用这两个扩张，本文构造了一族共形自然扩 张，证明了它们是局部同胚，并给出了整体同胚成立的一个充分条件 关键词d o u a d y - e a r l e 扩张，调和映照，共形自然扩张 a b s t r a c tg i v e nah e m e o m o r p h i s mo ft h ec i r c l e ，s u p p o s et h e r ea r e t w od i f f b r e n tc o i l f o r m a ln a t u r a le x t e n s i o n st ot h eu n i td i s k i nt h i s p a p e r ，w ec o n s t r u c taf a m i l yo fc o n f o r m a l l yn a t u r a le x t e n s i o n sf r o m t h et w oe x t e n s i o n s w ep r o v et h e ya r el o c a l l yh o m e o m o r p h i s m sa n d g i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rg l o b a lh o m e o m o r p h i s m s k e y w o r d sd o u a d y - e a r l ee x t e n s i o n ，h a r m o n i cm a p ，c o n f o r m a ln a t u r a le x t e n s i o n 2 1 前言 设d = 名c ；例 o ，z r ) 如果一个拟对称函数，存在函数4 t ) ，当t 趋于0 时，( t ) 也趋于0 ，使得 ( 1 + ( t ) ) 一1 凳篆鞘1 + ) ( v t o ，z r ) 那么称该拟对称函数为对称函数也可以定义s - 上的拟对称和对称函数，只需 做一个m 6 b i u s 变换把单位圆盘映为上半平面 对任意的拟对称函数，都存在到p o i n c a r 6 圆盘上的拟共形扩张【1 2 1 由【4 1 1 1 4 1 知道当k 接近于1 时，对拟对称函数h 存在调和扩张日( ) m a r k o v i c 【9 】证明了对任意的对称函数存在唯一的调和扩张 给一个同胚：s 1 一s 1 ，d o u a d y 和e a r l e 【2 】定义扩张e ( ) = 圣：d d ，令 垂( 石) = 砂( z ) ，z s 1 当名d 时，圣( 名) 是唯一的一点d 使得 眦川= 去z 。磐焉雠蚓= o 不难验证以上方程等价于下面： fz0 3 ) = 去z 。錾赫器= o 有时用u ( z ) = 由( z ) 来表示扩张f 由【2 】可知f 在dxd 上是实解析的当：s - 一s t 是拟对称函数时， e ( 曲) ( z ) = 圣( 名) = ( 名) 是d 到自身的拟共形映射d o u a d y - e a r l e 扩张是共形自然 的，i e e ( g0 咖o ) = go e ( 砂) o h ，v g ，h g 映射圣= e ( 加= u ：d d 是一个同胚并且限制在d 是实解析的微分同胚 l i u 和y a o 【8 】8 证明了d o u a d y e a r l e 扩张不总是调和的，并且所有满足d o u a d y - e a r l e 扩张不是调和的s ，上同胚所构成的集合是所有s ，上的同胚所构成集合的 一个稠密开子集利用它以及h a r d t w o l f 4 】，t a m w a n 【1 4 1 和m a r k o v i c 【9 1 的结果， 我们知道了有许多s 1 上的同胚具有这样的性质：对，：s 一s ，可以找到不同的 共形自然扩张 给定一个s t 上的同胚，它到底有多少个不同的共形自然扩张，这是一个很 有意思的问题本文将构造单位圆周同胚的一族连续的共形自然扩张 4 共形自然扩张的性质 假设，是s t 到自身的个同胚，f l ( z ) 和f 2 ( z ) 是，的两个不同的共形自然 扩张现在利用f ，c z ) 和f 1c z ) ，我们构造，的一族共形自然扩张 对任意2 d ，令他为连接f 。c z ) 到f zc z ) 的关于p o i n c a r 6 度量的测地线 先假设0sa 1 ，定义映射毋( 名) ：d d 如下：对z d ，b ( 烈z ) 落在p o i n c a x 6 测地线7 z 上，并满足 d ( f 1 ( 名) ，j 吸( ，) ( 名) ) = a d ( f 1 ( z ) ，f 2 ( 名) ) ，0sa 1 ，( 3 ) 这里d ( ，) 表示单位圆盘d 上的p o i n c a r 6 距离当z s - ，取( ，) ( 名) = ，( z ) 所以 取( ，) ( z ) 和f 1 ( z ) ，f 2 ( z ) 有相同的边界值 接下来把定义推广到一0 0 a + o o ： 当入 1 , e ( f ) c z ) 落在p o i n c a r 6 测地线化上， f 2 ( 名) 在职( ，) ( z ) 和f 1 ( 名) 之间并满足( 3 ) 因为f l ( z ) 和易( z ) 是共形自然的，p o i n c a r 6 度量在m s b i u s 变换群g 作用下不 变，所以有以下性质成立： 性质1 对任意一0 0 a + o o ，扩张e x ( f ) ( z ) 是共形自然的 我们给出映射e x ( f ) ( z ) ( 一0 0 入 + o o ) 的具体表达式如下： 对任意z d ，令m ( e ) = 瑞，以及h z ( ( ) = 盯1 ( ( ) = 粼是g z 的逆映 射啦( f l ( 名) ) = 0 记元( z ) = 啦( 尼( 名) ) = 剖潲，雪( 名) = 啦( 毋( ，) ( 名) ) = 口e x ( 讴y ) ( 隔z ) - - f 1 ( z ) ( 1 ) 当a 0 ，由( 3 ) ，有 l n ! ! 星f 兰m ：入l n ! l ! 垒卫 i e ( 圳= 剁黜崭蒜器 得到 驯加簇 ( 2 ) 当入 0 ，由( 3 ) ，可得 l n 1 + i e ( z ) l ：一a l n ! 坚丛 所以 鳓l = 爿端鲁搿 5 得到 酬硝牡鬻- h z i e ( 取( ，) ( z ) = _ 掣警 _ 百- ( 5 ) 1 一只( z ) 石) l 鹅 由以上表达式，有下面性质： 性质2 对于一 a 0 ，对任意的z d ，取p o i n c a r 6 测地线以和讹正交， 交点为取( 烈z ) 晶0 ) 落在以上，并且位于住的左边( 假设他的方向是从日( 名) 到易( 名) ，晶z ) 到毋( ，) ( z ) 的距离满足 d 【c y ) c z ) ，e 玖( ，) ( 彳) ) = p d ( e l ( z ) ，f 2 ( 孑) ) 记死= e _ i d ( f l ( z ) ，以z ) ) 令 m = i r f l 疆( z ) 而- 而e x 丽( f ) ( z ) ， 以及 = 蓦函 则 剐) = 搿 ( 6 ) ( 2 ) 当叩= a + 弛，p 1 ，定义岛( z ) a j g e ( 寺) 关于单位圆周的反射 这样得到一个映射晶：c c ，它是连续的，在名6c 是局部同胚，并且 l i r a ：一o 。e ”( z ) = 0 0 首先我们断言对任意的u 。6c ，存在z o c 使得岛( z 。) = u 。 若不然，集合晶( c ) 至少有一个边界点u 。0 0 从而存在点列 z 。 ，使得 易( 名。) 一u t ，当n 0 0 如果 z 。 有子列收敛到有界点则由的局部同胚 性， 岛( z ) 把z 。的一个邻域同胚到层，( 2 1 0 ) = u 。的一个邻域这就与u ，为岛( c ) 的边界点的假设矛盾 如果 z 。) 没有有界的极限点，则名。一0 0 ，当n o o 这意味着晶( ) 一o o 这就与u - 0 0 矛盾由此可知，岛( c ) 没有有界的边界点即( c ) = c 对任意o ) 06c ，集合蝣t ) 是有限集否则，簖0 。) 至少有一个极限点 在极限点的一个邻域内，岛( z ) 不可能是一个局部同胚所以岛：c c 是一个 有限覆盖 因此岛：c g 是一个满的局部同胚和有限覆盖映射下面证明它是单层覆 盖 若不然，存在两个点z t 锄( z 。) = 岛( 勿) 令a 是连接z 。到名。的曲线则 p = e n ( q ) 是闭曲线，以z 。为起点提升p 得到o t 但是p 是零伦的由单值化定 理，p 的提升必须有相同的起点和终点这与z ，z 。矛盾口 8 4 主要定理 由以上讨论，对任意同胚f ：s l s t ，如果r ：d d ，江1 ，2 ，是两个不同的 共形自然扩张，我们可以得到一族共形自然扩张晶：d d ，7 7 c 对任意的叩c ，岛连续的满射我们未能证明岛是一个同胚，不知道岛 是否总是一个同胚但在某些情形下，可以证明e 竹是一个同胚叩 记工一( d ) 是由d 上的有界可测函数构成的复b a n a c h 空间，赋予范数 i i p | l 。= e 8 8 s u pl p ( 名) i ，p 工o o ( d ) 2 c ，) 设b ( d ) 1 是l o o ( d ) 中的开球 p 工o o ( d ) l i 。 0 ，使得当t 0 ，使得当t t ( z ，叩) 时，如，( z ) 0 ( 在p ( 2 ) ) 对任意? 7 p ( n ) 成 立这样的开集 p ( z ，7 1 ) = p ( z ) p ( 叩) ，( 名，叼) dxd k ) 构成闭集d d 女的一个开 覆盖 可以选取有限个p ( 忍，仇) ，i = 1 ，2 ，他覆盖d d k 令6 = m 溉 t ( 磊，仇) ，i = 1 ，2 ，礼) 可知当t 6 ，对任意的叩d 和z d ，如。，( z ) 0 由定理1 ，可知 聊是一个同胚 这就证明了定理口 1 0 5 径向连续性 下面是考虑复平面上保向同胚映射的径向连续性 利用r e n g e l 不等式，我们证明了在一定模条件下，复平面到自身的保向同 胚映射在几乎所有的径向上是绝对连续的( 除去原点) 设dcc 是一个区域，又设r = ：q a ) 是一个曲线族，其中每条曲线 落入d 的内部，并且假定是局部可求长的 下面定义曲线族r 的极值长度入( r ) 记d 上全体非负b o r e l 可测函数集为p 对于任意一个p p ，可以将其视作 一个度量密度在这个度量之下，d 的p 面积为 m p ( d ) 2 上矿出匆， 而每条曲线1 r 的p 长度是 p ( 俨z p l d z l 考虑p 的一个子集 p 0 = p p ：0 m p ( d ) o o ， 给出曲线族r 极值长度如下的定义： x c r ) 2 p s u p o p 1 i n f 。；( ，y ) m p ( i ) ) 在拓扑四边形q ( z 。，锄z 3 ，z 4 ) 中，把边界弧z t z z 与z 3 2 4 称作第一组对边，而 另一组称作第二组对边r ；，i = 1 ，2 ，表示连接第i 组对边并落在拓扑四边形 q ( z ，渤，z 3 ，z 4 ) 的曲线族则根据拓扑四边形共形模的定义，有 m o d q ( z l , z 27 2 37 2 4 ) 2 赢“( r 2 ) 如果p = 1 ，那么l p 是，y 的欧氏长度，记为z ( ，r ) 称 也= v m e f 。， 为拓扑四边形q ( 钆z 2 , 幻，铂) 第i 组对边的距离，i = 1 ，2 r e ( q ) 表示q 的欧氏面 积得到r e n g e l 不等式，它在本文中将起着重要的作用 引理3 r e n g e l 不等肉 拓扑四边形q ( z - ，z 2 瑚，铂) 的共形模满足不等式 志 0 ，f 在 z = r e 徊：r a ) 绝对连续 证明：令a = z = r e 硼l r l r r 2 ，0 口2 丌) 是复平面的环假设 q ( x ) = m ( f ( a 。) ) ， 这里a 。= 名= r e i 9 l o t 。o ，0 p 茹) ，而m ( f ( a 。) ) 是f ( a 。) 的欧氏面积 显然，q ( x ) 是z 【0 ，2 7 r 】的单调递增函数，因此几乎处处有有限导数口( z ) 设q ( z 。) 存在并且有限，下面证明f ( r e i x o ) 在r a 上绝对连续 首先，选择一个正数6 使得z o + 6 2 7 r 设( ，r ：) ，k = 1 ，2 ，n ，是a r o 。 的任意有限个互不重叠的小区间 定义 g 2 = z = r e 。l 仡 r 噍，x 0 口 卢1 时，j d 夕詈 o t p 不妨设o r l 耽 r k a 1 ，k = 1 ，2 ，n 从而，t o g r 要 ：l 噍一i ，n = 1 ，2 ，竹 所以有 ( i ，( 仇e 缸。) 一，( e 缸。) i ) 2 k q ( z o ) z d g 凳 绝对连续口 在上面的定理中并没有证明在z = 0 附近的径向上是绝对连续的，那么它是 否一定是绝对连续到名= 0 呢? 回答是不一定的 反例如下：设 ，( 名) = t i e 馆，名= r e 诏， 这里l k 且l 1 显然它是复平面到自身的保向同胚，而且对于任意的0 r ， r 2 ，0 0 ， 0 ，在 2 = r e i 0 ：nsrs1 ) 绝对 连续 证：令a = 名= r e 埘i r l r r 2 ，0 0 2 7 r ) 是单位圆的环假设 g ( z ) = m ( f ( a 。) ) ， 这里a 。= 名= r e 钳i o r 1 ，0 0 茁) ，而m ( f ( a 。) ) 是c a 。) 的欧氏面积 显然，口( z ) 是z 【0 ，2 7 r 】的单调递增函数，因此几乎处处有有限导数q ( z ) 设口7 ( z o ) 存在并且有限，下面我们证明( r e t x o ) 在a r 1 上绝对连续 首先，选择一个正数6 使得z o + 6 2 7 r 设( ，r ：) ，k = 1 ，2 ，n ，是o r 1 的 任意有限个互不重叠的小区间 下面完全相同于上定理的证明，马上可以得到结论 1 4 r e f e r e n c e s 参考文献 【1 】b e u r l i n g ，s l a n da h l f o r s ，l v ，1 9 5 6 ，t h eb o u n d a r yc o r r e s p o n d e n c ef o r q u a s i c o n f o r m mm a p p i n g a e t am a t h ，9 6 ，1 2 5 - 1 4 2 【2 】d o u a d y , a a n de a r l e ，c j ，1 9 8 6 ，c o n f o r m a l l yn a t u r a le x t e n s i o no fh o m e o - m o r p h i s mo ft h ec i r c l e a c t am a t h ，1 5 7 ，2 3 - 4 8 【3 】3e a r l e ，c j ，1 9 8 9 ，a n g u l a rd e r i v a t i v e so ft h eb a r y c e n t r i ce x t e n s i o n c o m p l e z v a r i a b l e s ，1 1 ，1 8 9 - 1 9 5 【4 】h a r d t ，r a n dw o l f , m ，1 9 9 7 ，h a r m o n i ce x t e n s i o n so fq u a s i c o n f o r m a lm a p s t oh y p e r b o l i cs p a c e i n d i a n au n i v e r s i t yj ，4 6 ，1 5 5 - 1 6 3 【5 】5l i ，p a n dt a m ，l 一f ，1 9 9 1 ，t h eh e a te q u a t i o na n dh a r m o n i cm a p so fc o m p l e t e m a n i f o l d s i n v e n m a t h ，1 0 5 ，1 - 4 6 【6 】l i ，p a n dt a m ，l 一f ，1 9 9 3 ，u n i q u e n e s sa n dr e g u l a r i t yo fp r o p e rh a r m o n i c m a p s a n n o fm a t h ，1 3 7 ，1 6 7 - 2 0 1 【7 】l i p ta n dt a m ，l f ，1 9 9 3 ，u n i q u e n e s sa n dr e g u l a r i t yo fp r o p e rh a r m o n i c m a p si i i n d i a n au n i v e r s i t ym a t h 3 ，4 2 ，5 9 1 6 3 5 【8 】8l i u ，l a n dy a o ，h t h ed o u a d y - e a r l ee x t e n s i o ni sn o ta l w a y sh a r l n o n i c p r e p r i n t f 9 】m a r k o v i c ，v ，2 0 0 2 ，h a r m o n i cd i f f e o m o r p h i s m so fn o n c o m p a c tr i e m a n ns u r - f a c e sa n dt e i c h m u l l e rs p a c e s j l o n d o nm a t h s o c ，6 5 ，n o 1 ，1 0 3 - 1 1 4 【1 0 】m c m u l l e n ，c t ，1 9 9 6 ，r e n o r m a l i z a t i o na n d3 - m a n i f o l d sw h i c hf i b e ro v e rt h e c i r c l e a n n a l so fm a t h e m a t i c ss t u d i e s ，1 4 2 ，p r i n c e t o n ，n e wj e r s e yp r i n c e t o n u n i v e r s i t yp r e s s ， 【1 1 】s c h o e n ，r m ，1 9 9 3 ，t h er o l eo fh a r m o n i cm a p p i n g si nr i g i d i t ya n dd e f o r m a - t i o np r o b l e m s c o m p l e xg e o m e t r y ，( o s a k a ，1 9 9 0 ) ，l e c t u r en o t e si np u r ea n d a p p l m a t h ，d e k k e r ，n e wy o r k ，1 4 3 ，1 7 9 - 2 0 0 【1 2 】s c h e o n ，r a n dy a us t ，1 9 7 8 ，o nu n i v a l e n th a r m o n i cm a p sb e t w e e ns u r f a c e s i n v e n t m a t h , 4 4 ，2 6 5 - 2 7 8 【1 3 】s l o d k o w s k i ，z ，1 9 9 7 ，n a t u r a le x t e n s i o n so fh o l o m o r p h i cm o t i o n s j o u r n a lo y g e o m e t r i ca n a l y s i s ，4 ，n o 4 ，6 3 7 - 6 5 1 【1 4 】t a m ，l 一f a n dw a n ，t y 一h ，1 9 9 5 ，q u a s i c o n