（基础数学专业论文）常微分方程多点边值问题的正解.pdf

中文摘要 中文摘要 常微分方程多点边值问题起源于许多不同的应用数学和物理领域，例如。由n 部分不同密度组成的均匀截面的悬链线的振动可以转化为多点边值问题；弹性稳 定性理论的许多问题也可转化为多点边值问题处理对多点边值问题的研究，始 子二十世纪八十年代，由n i n 和m o i s e e v 首次对二阶线性常微分方程进行研究 到二十世纪九十年代，g u p t a 开始讨论二阶非线性常微分方程三点边值问题，此 后，许多作者研究了更般的非线性多点边值问题，并取得了丰富的成果 对常微分方程来说，正解往往是人们注重研究的符合现实意义的一类解，人 们常将研究微分方程正解的存在性问题转化为研究积分算子在锥上的不动点的存 在性问题研究积分算子不动点的存在性常用的理论是非线性泛函分析的度理论 和不动点指数理论。其中最常用的定理是：s c h a u d e r 不动点定理，k r a s n o s d s k i i 不动点定理，l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理和它的般化一五个泛函不动点定 理 尽管很多学者应用上述定理对多点边值问题正解的存在性进行研究，并取得 了丰富的成果但由于使用这些常见的不动点定理需要假设非线性项是连续的， 且g r e e n 函数需满足特定的条件要求，使得这些常用的定理适用范围具有一定的 局限性因此，仍然存在许多未解决的具有挑战性的问题 抽象空问中的积微分方程理论是近三十年发展起来的个重要的分支，现在 已有专著多部对于抽象空间中边值问题的研究始于二十世纪七十年代，但由于 在抽象空问中研究积分算子不动点的存在性具有很大困难，使得这领域的研究 进程非常缓慢目前未涉及到的需要研究的问题有很多针对以上这些问题，本 文分以下五个方面进行研究， 1 对二阶和三阶微分方程边值问题，我们打破常规限制，采用新的方法和技 巧，分别证明非线性项中含有一阶导数且非线性项可在【o ，1 】中任一点具有奇性 以及在定义域内可以具有不连续性的二阶和三阶多点边值问题正解的存在性我 们使用的工具是k r e i n r u t m a n 定理和不动点指数理论该结果扩展了现有的一些 中文摘要 结论 2 我们利用h a m n n 不动点定理，研究非线性项中含有一阶导数，且可在 【0 ，1 】中任意一点具有奇性以及在定义域内具有不连续性的带有p - l a p l a e i a n 算子 的多点边值问题多个正解的存在性这个新的方法和技巧，消除了目前多数结论 必须以非线性项在定义域内连续作为条件的限制 3 对具体空间中( k ，n 一忌) 共轭边值问题的研究已经取得了很多的成果 然而，就我们所知，对抽象空问中的这一问题还未有研究本文通过构造适当的 锥。利用锥上严格集压缩算子不动点定理，研究抽象空问中积分算子a ( t ( t ) ) ：= 詹o ( t ，s ) f ( 8 ，u ( s ) ) 出的个、两个和多个不动点存在性然后，利用这一结论研 究抽象空间中( 七， t 一七) 共轭边值问题的一个、两个和多个正解的存在性，并且 这一结论可用于类抽象空间中的边值问题研究 4 对于高阶多点边值问题，我们做了如下研究。 ( 1 ) 利用五个泛函不动点定理研究非线性项中含有各阶导数的2 礼阶多点边值 问题至少三个正解的存在性； ( 2 ) 利用五个泛函不动点定理研究非线性项中含有各阶导数的n 阶多点边值 问题多个正解的存在性 5 在抽象空问中，我们还研究了以下三种类型的二阶边值问题： ( 1 ) 利用d a r b o 不动点定理，通过构造适当的锥，首先给出个积分算子的不 动点的存在和不存在条件，然后利用该结论研究抽象空间中具有非齐次边界条件 的二阶两点和多点边值问题正解的存在性和不存在性条件； ( 2 ) 利用锥上严格集压缩算子不动点定理，我们研究抽象空间中具有共振的 二阶多点边值问题多个正解的存在性该问题的特点是相应的齐次边值问题具有 非零解，即共振性，从而不能用通常的方法来研究难点在于找出与其等价的一 个非共振边值问题的g r e e n 函数所满足的不等式； ( 3 ) 对于抽象空间中二阶两点边值问题正解的存在性，在锥是正规的条件下 已有研究我们采用新的方法和技巧，去掉这一条件限制，证明了该边值问题正 解的存在性，使得我们所得结论的使用范围更广 关键词：锥正解不动点指数k u r a t o w s k i 非紧性测度严格集压缩映射 不动点定理 英文摘要 英文摘要 a b s t r a c t 1 1 1 t h em u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s e i nav a r i e t yo fd i f f e r e n ta r e a so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s f o re x a m p l e ，t h e v i b r a t i o n so fag u yw i r eo f u n i f o r mc r o s s s e c t i o na n dc o m p o s e do f np a r t so f d i f f e r e n t d e n s i t i e sc a nb es e tu pa sam u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；m a n yp r o b l e m si n t h et h e o r yo fe l a s t i cs t a b i l i t yc a nb eh a n d l e db yt h em e t h o do fm u l t i - p o i n tp r o b l e m s t h es t u d yo fm u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rl i n e a rs e c o n d - o r d e ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw a si n i t i a t e db yi l i na n dm o i s e e vi n19 8 0 s i n19 9 0 s ，g u p t a b e , - g a nd i s c u s s i n gt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so f s e c o n d - o r d e r n o n l i n e a ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s i n c et h e n ，m a n ya u t h o r sh a v es t u d i e dm o r eg e n e r a ln o n l i n e a r m u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n d o b t a i n e dm a n ya c h i e v e m e n t s f o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p o s i t i v es o l u t i o n sa r ea l w a y sa t t a c h e di m p o r - t a n c et oa n da l eak i n do fp r a c t i c a ls o l u t i o n s t h es t u d yo fe x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u o t i o n st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n si so f t e nt r a n s f o r m e di n t oi n v e s t i g a t i n gt h ee x i s t e n c eo f f i x e dp o i n t sf o ri n t e g r a lo p e r a t o r so nac o n e t h et h e o r i e sm o s tu s e df o rt h er e s e a r c h i n t ot h ee x i s t e n c eo ff i x e dp o i n t sf o ri n t e g r a lo p e r a t o r sa r et h a to f t h ed e g r e eo fn o n l i n - e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa n dt h a to ff i x e dp o i n ti n d e x a n dt h et h e o r e m sw i d e l yu s e da r e s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ，l e g g e t t - w i l l i a m s f i x e dp o i n tt h e o r e ma n di t sg e n e r a l i z a t i o n - - - t h ef i v ef u n c t i o n a lf i x e dp o i n t t h e o r e m d e s p i t et h ef a c t t h a tm a n ya u t h o r sh a v es t u d i e d t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s b vt h e s et h e o r e m sa n do b t a i n e dm a n ya c h i e v e m e n t s ，i no r d e rt ou s et h e s e f a m i l i a rf i x e d p o i n tt h e o r e m s ，w en e e dt oa s s u m et h a tt h en o n l i n e a rt e r m sa r ec o n t i n u o u sa n d t h e g r e e n ，sf u n c t i o n sm u s ts a t i s f yg i v e nc o n d i t i o n s ，w h i c hm a k e st h er a n g eo fu s i n gt h e s e t h e o r e m sr e s t r i c t e d ，s ot h e r ea r ey e tm a n yc h a l l e n g i n gq u e s t i o n st ob es o l v e d t h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a l i n t e g r a le q u a t i o n si na b s t r a c ts p a c eh a sb e e na ni m p o r - t a n tb r a n c hi nt h ep a s t3 0y e a r s t h e r ea r es e v e r a lm o n o g r a p h so nt h i st h e o r y t h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si na b s t r a c ts p a c eh a v eb e e nr e s e a r c h e ds i n c e 19 7 0 s b u tt h e 英文摘要 d e v e l o p m e n to ft h es t u d yi nt h i sf i e l di sv e r ys l o wb e c a u s et h es t u d yo fe x i s t e n c eo f f i x e dp o i n tf o ri n t e g r a lo p e r a t o r si na b s t r a c ts p a c ei sv e r yd i f f i c u l t a tp r e s e n t ，t h e r ea r e m a n yp r o b l e m sw h i c h h a v en o tb e e nd e a l tw i t hb u tn e e dt ob es t u d i e d a i m i n ga tt h e s e p r o b l e m s ，i nt h ef o l l o w i n g ，w ew i l ls t u d yt h e mi nf i v ea s p e c t s 1 b yu s i n gn e wm e t h o d sa n ds k i l l s ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s t os e c o n d - o r d e ra n dt h r e e - o r d e rm u l t i - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sd e p e n d i n go nt h e f i r s t - o r d e rd e r i v a t i v e ，r e s p e c t i v e l y , i nw h i c ht h en o n l i n e a rt e r mm a yb es i n g u l a ra ta n y p o i n to f o ，1 】a n dn o n - c o n t i n u o u si ni t sd o m a i n t h em a i nt o o l su s e da r ek r e i n - r u t m a n t h e o r e ma n df i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y t h i sr e s u l te x t e n d ss o m eo f t h ee x i s t i n gr e s u l t s 2 b yu s i n gh a r e n af i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o - l u t i o n st om u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hp - l a p l a c i a ni sd i s c u s s e d i nt h e p r o b l e m ，t h en o n l i n e a rt e r mc o n t a i n st h ef i r s t - o r d e rd e r i v a t i v e ，w h i c hm a yb es i n g u l a r a ta n yp o i n to f 【0 ，l 】a n dm a yb en o n - c o n t i n u o u si ni t sd o m a i n a tp r e s e n t ，i nm o s t r e s u l t s ，t h en o n l i n e a rt e r m sm u s tb ec o n t i n u o u si ni t sd o m a i n t h i sn e wm e t h o da n d s k i l le l i m i n a t et h i sr e s t r i c t i o n 3 i nc o n c r e t es p a c e s ，t h es t u d yo n ( k ，几一k ) c o n j u g a t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s h a so b t a i n e dm a n ya c h i e v e m e n t s b u t ，a sf a ra sw e k n o w , t h es t u d yf o rt h e s ep r o b l e m s i na b s t r a c ts p a c e sh a s n tb e e nd o n e b yc o n s t r u c t i n gs u i t a b l ec o n e ，w er e s e a r c ht h e e x i s t e n c eo fo n e ，t w oa n dm u l t i p l ef i x e dp o i n t sf o rt h ei n t e g r a lo p e r a t o ra ( 乱( t ) ) ：= 片g ( t ，s ) f ( s ，u ( s ) ) 如i na b s t r a c ts p a c eb yu s i n gf i x e dp o i n tt h e o r e m i nac o n ef o rs t r i c t s e tc o n t r a c t i o n o p e r a t o r s t h e n ，u s i n gt h eo b t a i n e dr e s u l t ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c e o fo n e ，t w oa n dm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st ot h e ( 七，佗k ) c o n j u g a t eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m si na b s t r a c ts p a c e a n dt h i sr e s u l tc a nb eu s e dt os t u d yak i n do fb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m si na b s t r a c ts p a c e 4 f o rh i g h o r d e rm u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，w es t u d yt h e ma sf o l l o w s ： ( 1 ) u s i n gt h ef i v ef u n c t i o n a lf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fa t l e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n st o2 n o r d e rm u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t ha l l d e r i v a t i v e s ( 2 ) u s i n gt h ef i v ef u n c t i o n a lf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st on - o r d e rm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t ha l ld e r i v a t i v e s 英文摘要 v 5 i na b s t r a c ts p a c e s ，w ea l s od i s c u s st h ef o l l o w i n gt h r e ek i n d so fs e c o n d - o r d e r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( 1 ) u t i l i z i n gd a r b of i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ef i r s t l yg i v et h ec o n d i t i o n so f e x i s t e n c e a n dn o n - e x i s t e n c eo ff i x e dp o 硫f o ra ni n t e g r a lo p e r a t o rb yc o n s t r u c t i n gs u i t a b l ec o n e t h e n ，a p p l y i n gt h eo b t a i n e dr e s u l t s ，w es t u d yt h ec o n d i t i o n so fe x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c ef o rs e c o n d - o r d e rt w o - p o i n ta n dm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i m n o n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n si na b s t r a c ts p a c e ，r e s p e c t i v e l y ( 2 ) u s i n gf i x e dp o i n tt h e o r e mi nac o n ef o rs t r i c ts e tc o n t r a c t i o no p e r a t o r s ，w e 净 s e a r c ht h ee x i s t e n c eo f m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rs e c o n d - o r d e rm u l t i - p o i n tb o u n d - a r yv a l u ep r o b l e ma tr e s o n a n c ei na b s t r a c ts p a c e t h ec h a r a c t e r i s t i co ft h i sp r o b l e mi s t h a tt h ec o r r e s p o n d i n gh o m o g e n e o u sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m p o s s e s s e sn o n z e r os o l u - t i o n s ，i e ，r e s o n a n c e s o ，i tc a n tb es t u d i e db yu s i n gg e n e r a lm e t h o d s t h ed i f f i c u l t y l i e si nf i n d i n go ft h ei n e q u a l i t ys a t i s f i e db yt h eg r e e n sf u n c t i o no fan o n - r e s o n a n c e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw h i c hi se q u a lt ot h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma tr e s o n a n c e ( 3 ) w h e nt h ec o n ei sn o r m a l ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st os e c o n d - o r d e r t w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si na b s t r a c ts p a c eh a sb e e nr e s e a r c h e d e l i m i n a t i n g t h i sr e s t r i c t i o n ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st ot h i sp r o b l e mb yu s i n g n e wm e t h o d sa n ds k i l l s ，w h i c hm a k e st h er a n g eo fu s i n go u rr e s u l tw i d e r k e yw o r d s ：c o n ep o s i t i v es o l u t i o nf i x e dp o i n ti n d e xt h ek h r a t o w s k im e a s u r e o fn o n c o m p a c t n e s ss t r i c ts e tc o n t r a c t i o no p e r a t o r sf i x e dp o i n tt h e o r e m 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文常微分方程多点边值问题的正解，是在导师的指导下。 独立进行研究t 作所墩得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者：江卫算 即t 7 每) 具蜘 指导教师： 1 嘶| 日 珲 田咱泌瞄 耗哆 倒年 刘9 ， 论 彤 第一章绪论帚一早殖w 1 1 研究背景综述 常微分方程已有3 0 0 多年的历史，它几乎是在微积分建立的同时就产生了 1 6 世纪末和1 7 世纪初创立对数表时，j o h nn a p i e r 等数学家第一次遇到了属于微 分方程论这个名词的实际问题，并用微分方程给出了计算对数表的方法导致微 分方程问题出现在数学研究领域中的动因足1 7 世纪诸多重要的实际问题，例如 重物在无阻力介质中的落下问题以及”切线的反问题”的解决在l7 世纪至l8 世纪，微分方程论不仅为阐释牛顿力学发挥了重要作用，而且也成长为研究微分 几何和变分法等数学科学和自然科学的重要工具在微分方程发展的进程中，为 寻求方程的解析解，许多著名数学家，例如b e r n o u l l i ( 家族) ，e u l e r , g a u s s ，l a g r a n g e 和l a p l a c e 等都做出了卓越的贡献特别是在1 9 世纪早期，伴随着微积分理论严 格性的成功，c a u c h y 为微分方程理论奠定了坚实的基础一解的存在性和唯性 定理这是常微分方程理论发展史中具有里程碑的、划时代的成果常微分方程 理论的形成与发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学和技术的发展密切 相关并彼此促进的数学的其他分支，如代数、函数论、李群、拓扑学等学科的新 发展都给常微分方程的发展以深刻的影响常微分方程所具有的极其广泛的应用 特性不仅为其他数学学科和自然科学的发展起到了推动作用，而且也丰富和拓展 了自身的内涵1 9 世纪中叶，由于热传导和弦振动等方程的定解问题，出现了由 s t u r m 和l i o u v i l l e 开创的常微分方程边值问题与特征值问题的研究领域1 9 世 纪末期，p o i n c a r e 和l y a p u n o v 分别创立了常微分方程定性理论和稳定性理论 2 0 世纪初由b i r k h o f f 创立的拓扑动力系统和遍历理论，把常微分方程的研究提高 到一个崭新的水平近5 0 年来，常微分方程定性理论发展到现代微分动力系统 的理论，对研究一些奇怪的非线性现象作出了贡献当今，由于其他数学学科和 计算机科学的发展，为微分方程理论和应用的发展提供了很重要的条件，同时也 把微分方程理论和应用的研究提到了一个更高的水平 常微分方程的边值问题足理论研究和应用中的一类重要的定解问题，也足常 微分方程理论的一个重要分支边值问题的提出和发展是与流体力学、材料力学 2 第一章绪论 等密切相关，并且在现代控制理论等学科中有重要应用由于可得到解析解的常 微分方程是极其少的，边值问题的解析解又更难得到，因此，对于边值问题不得 不寻求近似解这样，一个首要的问题就出现了。边值问题的解是否存在? 若存 在，是否唯一? 这些就成为边值问题的基本论题目前，边值问题的研究涵盖了 常微分方程、抽象空间中微分方程、泛函微分方程、脉冲微分方程和带有拉普拉斯 算子的微分方程等迄今为止，有关边值问题的研究虽然有大量的成果涌现，但仍 有许多问题的理论研究还有待完善和解决因此，对该问题给出进一步的探讨， 在理论和应用两方面都有重要意义本文就试图在常微分方程和抽象空间中微分 方程的边值问题这一研究课题中作进一步的努力 常微分方程的边值问题起源于十九世纪三十年代，由s t u r m 和l i o u v i l l e 最早 开始研究，到二十世纪由h i l b e r t 等人奠定了这一问题的理论基础在此期间，边 值问题无论在深度、广度以及研究方法上都得到了很大发展近三十多年来，微 分方程边值问题发展非常迅猛，方程的类型及研究方法层出不穷，吸引了众多的 专家学者投入到这一领域的研究中来，相关的研究成果不胜枚举，有关的学术专 著已由国际著名出版社出版多部 多点边值问题起源于许多不同的应用数学和物理领域，例如；在利用分离变 量法解线性偏微分方程的经典问题中，人们遇到了含有几个参数满足几个点边值 条件的微分方程；由n 部分不同密度组成的均匀截面的悬链线的振动可以转化 为多点边值问题；弹性稳定性理论的许多问题也可转化为多点边值问题处理对 多点边值问题的研究，始于二十世纪八十年代，由i l i n 和m o i s e e v 首次对二阶 线性常微分方程进行研究【7 7 】【7 8 】，到二十世纪九十年代，g u p t a 开始讨论二阶非 线性常微分方程三点边值问题( 6 9 1 7 1 1 ，此后，许多作者研究了更一般的非线性多 点边值问题，并取得了丰富的成果，参见文献【2 3 】【6 5 】【6 6 】【6 7 】【8 6 】【8 7 】【8 8 】【8 9 】【9 8 】 【l1l 】【l1 2 11 3 11 4 】【1 2 0 】【1 2 7 】 1 3 4 】【1 38 】 对常微分方程来说，正解往往是人们注重研究的符合现实意义的一类解人们 常将研究方程正解的存在性问题转化为研究积分算子在锥k = “c o ，1 】：仳 o ) 上的不动点的存在性问题1 9 8 4 年，g u 0 1 6 4 ) 使用了一个更小的锥k o = 乱 k ： r a i nu ( t ) c l l u l i ，这一创造性的发明为人们研究多个正解的存在性提供 | 口，训 了一个很好的工具直到现在，许多复杂的边值问题多个正解的存在性的研究还 是在这样的锥上考虑研究积分算子不动点的存在性常用的理论足非线性泛函分 析的度理论和不动点指数理论，其中最常用的定理足。s c h a u d e r 不动点定理， j j 研究背景综述3 k n t s n o s e l s k i i 不动点定理嗍，l e g g e u w i l l i a m s 不动点定理1 9 4 】和它的一般化一 五个泛函不动点定理0 8 1 1 9 9 9 年，马如云 1 il l 利用锥上的k r a s n o s e i s k i i 不动点 定理证明了二阶三点边值问题 t ”( t ) + a c t ) a ( u ) = 0 ，0 t 1 ， 牡( o ) = 0 ，u ( 1 ) = a u ( t ! ) 的正解存在性，之后，很多学者应用上述诸定理对多点边值问题进行研究，并取 得了丰富的成果在对多点边值问题的研究中，如果非线性项中含有一阶导数， 通常会加大研究问题的难度，并且利用这些常见的不动点定理需要假设非线性项 是连续的，且g r e e n 函数需满足特定的不等式，这使得这些常用的定理所能研究 的问题具有一定的局限性郭彦平、葛渭高【6 5 】将k r a s n o s e l s k i i 不动点定理进行 推广，首次研究了非线性项中含有一阶导数的二阶三点边值问题 z ”( t ) + ( t ，z ，z ) = 0 ，0 t l ， 名( o ) = 0 ，z ( 1 ) = a z ( o ) 的正解存在性，但是需要以非线性项连续为前提条件 w e b b 和l a n b 8 】利用不 动点指数理论【4 2 1 和k r e i n r u t m a n 定理【1 2 1 1 ，借助线性算子 ，1 l u ( t ) = k c t ，s ) g ( s ) u ( s ) d s ，0 的特征值理论研究积分算子 ，i l a u ( t ) = k ( t ，s ) g ( s ) f ( s ，u ( s ) ) a s ，0 的不动点存在性，进而研究二阶局部和非局部边值问题 u “( ) + 9 ( ) ，( t ，“( ) ) = 0 ，a e t 【0 ，1 】 多个正解的存在性，其中g 己1 【o ，1 】，f 只需满足c a r a t h e o d o r y 条件这一方法为 研究具有不连续非线性项以及非线性项可在任一点具有奇性的边值问题提供了新 的途径 在对多点边值问题的研究中，具有非齐次边值条件的多点边值问题也受到广 泛的关注2 0 0 1 年，马如云【2 1 利用s c h a u d e r 不动点定理研究了具有非齐次边 界条件的二阶三点边值问题 秕”( t ) = o ( t ) ，( 饥) ，0 t 1 ， 4 第一章绪论 u c o ) = 0 ，u ( 1 ) 一q 仳( 7 7 ) = b 证明了在适当的条件下存在扩，当0 6 b 时无正解此后，利用s c h a u d e r 不动点定理，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理， 上下解方法和度理论等，许多学者对具体空间中非齐次多点边值问题正解的存在 性进行了研究，并取得了些成果，参见文献【6 6 8 4 8 5 1 0 4 11 7 1 3 1 1 5 6 特 别需要指出的足，2 0 0 7 年k o n g 等【8 5 】利用上下解方法和l e a r y - s c h a u d e r 度理论 研究了二阶多点边值问题 u ”( t ) + f ( t ，t ，) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， mm ( o ) 一a i u ( t i ) = 入l ，u c l ) 一b a , c t 3 = 入2 i = 1i = 1 他们证明了在适当的条件下，q 1 ，a 2 ) 所在的平面可被曲线r 分为两个不相交的 区域人e ，a ，当q l ，a 2 ) r 时该问题至少有个解；当( 入l ，入2 ) a e r 时， 该问题至少有两个解；当( a l ，入2 ) 人时，该问题无解，且找出了人e 中使得上 述问题至少有两个解和两个正解的清晰的范围而对抽象空间中非齐次边值问题 的研究未见报道 三阶微分方程产生于许多不同的应用数学和应用物理的领域近年来，许多 专家学者对三阶边值问题的研究产生了极大的兴趣，并取得了丰富的成果，参见文 献【1 2 1 3 1 4 】 1 5 1 6 1 【1 9 3 5 3 6 【3 8 】【3 9 】 4 0 7 5 9 5 】【l1 5 1 2 5 1 3 2 1 4 4 1 4 5 在现有成果中多数情况下要求非线性项是连续的例如，2 0 0 6 年，g u o 4 0 】利用