（基础数学专业论文）与间隙序列相关的高维sierpinski地毯的盒维数.pdf

c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 1 4 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y t h e b o xd i m e n s i o n0 fs i e r p i n s k i c a r p e to fh i g hd i m e n s i o nw i t h g a p s e q u e n c e d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ：p u r e m a t h e m a t i c s s u b j e c t ： f r a c t a lg e o m e t r y sf o u n d a t i o n sa n da p p l i c a t i o n s s u p e r v i s o r ：p r o f w e n x i al i n a m e ： c h a n y u a nc h e n c o m p l e t e di nm a y , 2 0 1 0 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人所呈交的学位论文与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地 毯的盒维数，是在华东师范大学攻读颐生博士( 请勾选) 学位期间，在导师 的指导下进行的研究工作及取得的研究成果除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：罚谘p 獒 日期为降门刁日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数系本人在华东师范大 学攻读学位期间在导师指导下完成的碡左博士( 请勾选) 学位论文，本论文 的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和 使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和”知网”送 交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数 据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建 单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或 者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的内部 或 涉密 学位论文木， 本人签名：哗 眸朋1 日 宰“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位论 文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文”涉密”审批表方为有效) ，未经上述部门审定的 学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权) 陈婵嫒硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 梁金荣教授华东师范大学主席 薛以锋教授华东师范大学 胡善文教授华东师范大学 摘要 本文根据饶辉等在论文“分形集的间隙序列，李普希兹等价和盒维数”中拓广了的间隙序列的 定义来证明了已知的与间隙序列相关的一维紧集的上盒维数的定理然后又通过对高维的s i e r p i n s k i 地毯构造合适的覆盖，使得覆盖的每个连通部分的l e b e s g u e 测度满足一定的条件，从而使得该 s i e r p i n s k i 地毯的上盒维数可用间隙序列来表示 关键词：间隙序列，s i e r p i n s k i 地毯，盒维数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ep r o v e dt h eu p p e rb o xd i m e n s i o no ft h ec o m p a c ts e te o fri sd e t e r m i n e d b yt h eg a ps e q u e n c eo fea c c o r d i n gt ot h eg e n e r a t i o no ft h ed e f i n i t i o no fg a ps e q u e n c eb yh u ir a o e t c t h e nw ec r e a t e dac o v e ro ft h eh i g hd i m e n s i o ns i e r p i n s k ic a r p e t ，o fw h i c ht h el e b e s g u em e a s u r e o ft h ec o n n e c t e dc o m p o n e n t ss a t i s f i e dc e r t a i nc o n d i t i o ns u c ht h a tt h eu p p e rb o xd i m e n s i o no ft h e c o m p a c ts e tec a nb ed e t e r m i n e db yt h eg a ps e q u e n c e k e yw o r d s ：g a ps e q u e n c es i e r p i n s k ic a r p e tb o xd i m e n s i o n n 中文摘要 英文摘要 目录 第一部分引言及预备知识介绍1 l 引言1 2 基础知识介绍3 第二部分间隙序列决定上盒维数的公式的证明7 3 一维间隙序列决定上盒维数的公式的证明7 4 高维s i e r p i n s k i 地毯间隙序列决定上盒维数的公式的证明1 0 参考文献1 3 后记1 6 1 引言 与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数 陈婵嫒 第一章引言及基础知识介绍 在研究欧式空间中的一些紧集的时候，人们习惯用诸如豪斯道夫维数等多种维数来对 其进行刻画，这个由c a r a t h e o d o r y 构造的维数定义是建立在比较容易处理的测度概念的基 础上的，在数学上也比较方便但是在很多情形下用计算的方法很难计算或估计它的值二 十世纪三十年代开始研究的盒维数的数学计算及经验估计相对容易一些，因此它成为除豪 斯道夫维数外应用最广泛的维数之一 另外一个用来刻画欧式空间中的紧集e 的分形性质的概念是间隙序列对于一维的情 况，特别是e 的l e b e s g u e 测度为零的情况，已经有了较深入的研究，如b e s i c o v i t c h 和t a y l o r 的关于豪斯道夫维数的研究，f a l c o n e r 的关于闵科夫斯基测度的研究，t r i c o t 关于分形维 数的十二个定义中的研究等在f a l c o n e r 的分形几何的技巧一书中，提到了剪切集 的概念，并研究了一维情况下剪切集的盒维数，给出了上下盒维数的界，得到了很好的结 论：r n 中的紧集的盒维数存在当且仅当l o ga k l o g 的极限存在这里的剪切集，就是指从 初始集上减去一些集合而得到的分形剪掉的集合就跟我们讨论的间隙的概念很相似后 来，饶辉、阮火军、杨亚民又将一维间隙序列的定义向高维做了推广，并且将其应用到盒维 数，针对在高维情况上盒维数被间隙序列决定的公式不成立的事实，加了一些限制条件，得 出了在高维情况下盒维数由间隙序列决定的条件 1 华东师范大学硕士论文与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数 本文中，我们对高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数与其间隙序列的关系做详细的探讨，根据 高维s i e r p i n s k i 地毯的性质，看其盒维数如何被间隙序列所确定本文共分为三个部分：首先 简单回顾间隙序列，盒维数，s i e r p i n s k i 地毯的概念及性质，然后给出一维情况下盒维数被间 隙序列决定的定理证明的新方法，最后讨论三维的情况下s i e r p i n s k i 地毯与间隙序列的关 系 2 华东师范大学硕士论文 与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数 2 基础知识介绍 2 1 盒维数相关知识 定义2 1 盒维数 对时的一个非空有界子集e ，设n r 0 功是覆盖e 的直径为r 的集合的最少个数e 的下上盒维数的定义分别为： 和 d i m b ( 同= 删l i mi n f 普弩 一d i m s ( e ) = 棚l i ms u p 等等 如果它t f l 相等, 就把这相等的值称为e 的计盒维数或盒维数 d i m 口( e ) = 脚等等 这样，能覆盖e 的直径为甲的集合的最少个数大约是r 叫阶，这里8 = d i m s ( e 、 定义2 2r 一铝域或称r 一平行体e ( r ) 定义如下： 对于任意的r 0 ， e ( r ) = z 瞅：存在y e ，使l x y i 7 ) 定义2 3 盒维数的等价定义一闵可夫斯基维数 那么对e r n d i m b ( e ) = 俨删l i ms u p 掣， 一d i m s ( e ) = 肛删l i mi n f 掣， 且如果下面极限存在。则 d i m b ( e ) = n 一觋警 3 华东师范大学硕士论文与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数 2 2 问隙序列知识 一维情况 定义2 a 对于r 上的紧集e 的间隙的定义是自然的。开区间0 a ，b 、称为e 的间隙，如果 a ，b e ，但( a ，b ) ne = 仍由此可知聃句隙( ，如果存在的话) 是开区问的集合 性质1 1 设a 1 ，a 2 a 是r 上的紧集e 的间隙，f = a d ，则f 为至多可数集 证明：首先，若f 为有限集，则显然满足要求 若f 为无限集，设b i f = a ，且为有理数，则由f 中任意不同的区间ana = 0 知a 与b i 一一对应，故f 为可数集 性质1 2 设e 为r 上的紧集，则e 的间隙序列的长度( 即l a i ) 可以从大n d , 排列 定义2 5 间隙序列的定义? e 为r 上的紧集，a 1 ，a 2 a ，是r 为e 的闽隙，记 a t = a a 把a t 按单调递减的顺序排列为a 1 ，a 2 则称此正实数列( 有限或司数) 为e 的 间隙序列 例：三分康拖集 设e o = 【0 ，1 】为单位闭区间晶为由e o 删去中间长为1 3 的开区间( 1 3 ，2 3 ) 所得到 的集合，即日为由闭区间【0 ，1 3 】与【2 3 ，1 】组成，分别去掉此两个区间中间的1 3 得到e 2 ， 如此继续下去，得到的c = e 1ne 2n nrn 称为康拖三分集 则上述c 的间隙序列为 1 3 ，1 9 ，1 9 ，1 2 7 ，1 2 7 ，1 2 7 ，1 2 7 ，1 8 1 ，1 8 1 ，1 8 1 ，1 8 1 ，1 8 1 ，1 8 1 ，1 8 1 ，1 8 1 ， 4 华东师范大学硕士论文与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数 高维情况 饶辉、阮火军、杨亚民把间隙序列的概念拓展到了高维首先看一下6 连通的概念 定义2 6r d 中的紧集e 称为6 一连通的，是指对任意的x ，y e ，存在序列弋x l = z ，z 2 ，x n - 1 ，z n = y ) 包含于e ，使得i x i + l 一黝i j ，对任意的1 i n 一1 定义2 76 一连通分支：若f e ，f 是6 一连通的，且对于任意的f 主f 4ce ，f 1 不是 6 连通的。则称f 是e 的一个6 一连通分支 令函数尼( j ) 表利6 一连通分支个数由e 为紧集可知，h ( 5 ) 0 ，3 m ，使得q m + 1 口m ，则h ( 6 ) = ( q m + 1 ) = m + 1 设e 的6 连通分支为马，易，e m + 1 由e 的紧性，及e ：毋u 易u u + 1 ，可知e l ( 1 i m + 1 ) 有界则由有限覆盖 定理知，晟可以被有限个直径为6 的集合覆盖，不妨设为n i 个( 啦sm + 1 ) 取m i = m i n n 1 ，u r n + 1 ) ，坛= m a r x h i ，佗m + 1 ) 设肌为覆盖e 的直径为6 的集合的最少个数，则有m i ( m + 1 ) n 6 坛m + 1 ) 则 从而有 所以有 业- l o gf f 一l o g m 川i ( m + 1 ) ， l o g m i ( r e + 1 ) 一一l o g q ( m + 1 ) 7 。l i 。m 。s u p l o g 。n g6 6 一m l i 。m s u p 笺鼍嬲， 8 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 华东师范大学硕士论文 与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数 一d i m b ( e ) = 躲s u p - k l o 垃9 6 u0 - - 啼 = l i ms u p 布l o m l r n - - * o o 。o 9 华东师范大学硕士论文与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数 4 高维s i e r p i s k y 地毯的上盒维数 定义4 1 令k n m z ，k ，n ，m 皆为芷整数记 r ( n ，m ，k ) = ( ，歹，k ) ：i = 0 ，1 ，n 一1 ；j = 0 ，1 ，m 一1 ；k = 0 ，1 ，k 一1 ) 岛为r ( n ，m ，k ) 的一个子集，且r o 2 对于( t ，j ，k ) r o ， & 七( z ，y ，z ) = ( 斋，嚣，素) + ( 斋，击，妻) ， 其中七的定义域为( 0 ，1 】 o ，1 】 0 ，1 】，则映射勘七是自仿变换令e 为i f s s i i k ( i , j ，k ) e p , o 的不变集e 为m c m u l e e n 集 本文研究的重点就是给出上述m c m u l e e n 集( 记为) 的一类s i e r p i n s k i 地毯的由其间 隙序列表示的盒维数 定理4 2s i e r p i n s k i 地毯e 的句隙序列为_ 乜m ) ，e 满足如下条件： ( 1 ) e 名； 俐s i j k ( e ) nj s ! i l j l k i ( e ) = 仍对任意的( i ，j ，尼) ( i ，歹7 ，七) r o ； 俐ii 1 一i 2l 2 ，x 旷w l i 2 且ij 1 一j 2i 2 ，对坳1 j 2 ， 则存在常数g = ( 圻可可万孺+ 2 ) 3 和序列 以) 岛1 ( 以一o ) ，使得 七l 。i m o o i n fi o g l o _ _ l o 血。k + l = 1 ， 且e ( 以) 的每一个连通部分的l e b e s g u e 测度c 醒 证明： 讨论e 的t 阶近似易， 设p = 群岛，则显然晟含有矿个小立方体对任意的小立方体，沿y 轴平均分成n t 个 相等的小立方体再对任意的上述小立方体，沿z 轴平均分成m t 个相等的小立方体，满足： m 一( + “) 一1 n 一( t + ) 一1 k 一n 一( 件 t ) m 一( + “) 口是往y 轴上映射时，与e 相交的小立方体的个数， 1 0 华东师范大学硕士论文与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数 r 是往z 轴上映射时，与e 相交的小立方体的个数 由于是在这m h ，k 个小立方体中，有矿，r h t 个小立方体含有e 中的点因此一共有 p t 矿t r h t 个体积为k 一n 一( t + t ) m 一( t + l t ) 的小立方体 由1 知，七( o ，1 】 o ，1 】 0 ，1 】) ，( ，歹，k ) 凰投影到x y 平面再投影到z 轴，如下c a t o r 集：把 o ，1 】区间等分份记为0 ，1 ，一1 ，若( t ，歹，k ) r 0 ，则取出对应的区间i ，如此继 续下去 同样的嘞七( o ，1 】f 0 ，1 】 0 ，1 】) ，( t ，j ，k ) 凰投影到z 秒平面再投影到y 轴，为如下 c a t o r 集：把 o ，1 】区间等分m 份记为0 ，1 ，m 一1 ，若( t ，j ，k ) r o ，则取出对应的区间j ， 如此继续下去 7 现设d 州。，k 为上述p t 矿r t 个小立方体组成的集，取5 t = 下k - t ，t 1 ；则e ( s t ) 的每 一个连通部分仅含有一个d h 。的小立方体，且它的直径 ： 、，k-2t+n-2(t+ht)+m-2(t+h)+2以 v k - 2 t + n - 2 ( t + h t ) - 2 + 2 + m - 2 ( t + l t ) + 2 6 k r f 丽虿丽k 一+ 2 民， 且它的l e b e s g u e 测度c 酲，其中 c = ( 以干丽骊+ 2 ) 3 定理4 3s i e r p i n s k i 地毯e 的问隙序叨伪 a m ) ，觥如下条件： ( 1 ) e 磁j 例& j k ( e ) f ) b i k ( e ) = 0 对任意的( t ，j ，k ) ( t ，j 7 ，k 7 ) 风； ( 3 ) e 映射到茁u 平面上后，向z 轴做映射，得到的不能是一个区间，向y 轴做映射，得到 的不能是一个区间 则存在袱c = ( 、r f 亍习乒了弋砸+ 2 ) 3 黍蒯 以 七。( 以_ o ) ，使得 l i m 。i n f 嚣鲁= 1 ， 且e ( 以) 的每一个连通考盼的l e b e s g u e 溅c 醒 i i 华东师范大学硕士论文与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数 证明： 假设对于( t ，j ，k ) r o ，j 可以取到连续的值，把e 映到轴上，则形成的c a t o r 集如下： 把 0 ，1 】分成歹个相等的部分，记为0 ，1 ，歹一1 ，取出满足( ，j ，k ) r o 的区间k ，设此g 个区 间组成8 个连通的部分，每部分分别含佻，l i 8 个区间，取t = m a x n 2 ，n s - 1 ，咒1 + 礼。) 设对于( i ，j ，k ) r o ，i 可以取到连续的值，把e 映到y 轴上，则形成的c a t o r 集如下：把 【0 ，1 】分成i 个相等的部分，记为o ，l ，i 一1 ，取出满足( i ，j ，k ) r o 的第i 个区间设此r 个区间组成w 个连通的部分，分别包含m t ，1 i w 个区间 取v = m a x m 2 ，一1 ，m l + ) ，则由七( e ) ns i , j , k , ( e ) = 0 对任意的( i ，歹，k ) ( t 7 ，歹7 ，k 7 ) r o 可知，d “。，k 中任意的连通部分是体积由k q 一( 件p m 一( t + l t ) ( q zp v ) 的小长方体 令况= t k - - t ，k 1 ，则e ( 以) 的每一个连通部分含有最多t v 个小长方体，且直径 且它的l e b e s g u e 测度c g ，其中 下面得到本文最重要的定理： 定理4 4s i e r p i n s k i 地毯e 的f 司隙厚明旷为 q m ) ，鳓茜足如下条件： ( 1 1e 么； 例s i j k ( e ) s i j k ( e ) = 0 对任意的( i ，j ，七) ( i ，歹，) 凰； ( 3 ) e 映射到x y 平面上后向z 轴做映射，得到的不能是一个区间。向y 轴做映射，得到 的不能是一个区间： 殛l d - - 而m b ( e ) = l 骢s u p 。 证明：由定理4 2 ，4 3 及定理2 1 3 可知，本定理结论成立 1 2 华东师范大学硕士论文 与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数 例4 5 构造二维e 印i 嬲舰地毯e 如 取 0 ，1 】【0 ，1 】，令n = 3 ，m = 2 ( z ，) = ( 虿x 十互yj 十l i z 十互3 ) ，r = ( i ，歹) ； = o ，1 ，n 一1 ；j = 0 ，1 ，m 一1 ) r o = ( o ，o ) ，( 2 ，1 ) e 为迭代系统 ) ( 幻) r o 的不变集，则可知e 满足： 仃j s 易( e ) n 最，f ，( e ) = d ，对v ( i ，j ) ( i j ) 酞o i ( 2 ) e 向y 轴的映射不是一个区间 所以e 满足定理条件。则上盒维数： 由于 盈奄 从丽奄 d i m b ( e ) 52 骢s u p m _ o o o o 1 11 1 11111111 ，出= 爽卫二吠z ：兰三= 2 歹，兰：圣：= 乡一 124 2 n 一1 n l 。i m 。s u p ：转n l 。i m s u p = n l 。i m 。s u p 兰黔， 一l i m 。s u p 氆拳= 溉s u p 篑毋= 罐， 面b ( e ) = 器 例4 6 糕维s i e r p i n s k i 地毯e 如t 令k = 4 ，n = 3 ，m = 2 r = ( z ，j ，七) ；江0 ，1 ，n 一1 ；歹= 0 ，1 m - 1 ；k = 0 ，1 k - l ，c o = ( o ，0 ，o ) ，( ；，考，暑) ) 对于( t ，j ，忌) r o ， s t j k ( x ，y ，z ) = ( 考+ 蓦+ i ) + ( ；+ ；+ 冬) 1 3 华东师范大学硕士论文与间隙序列相关的高维s i e r p i n s k i 地毯的盒维数 s q k ( t ，j ，七) r 的定义域为 o ，1 】 o ，1 】 o ，1 】，e 为其不变集，则易知勖七( z ，y ，z ) 满足定理 彳彳条件，_ s i j k ( i ，j ，七) r o 是强分离的，映射到平面上再投影到z ，y 轴都不是区问，所以 d i m b ( e ) = 们r l t i - - m - + o os u p 鼍 v o 515151515 151515 西，一3 西，i 一1 2 ，驴一1 2 ，虿砭一一，一一，万西”：3 n 1 2 3 n1 2 、一、- y - - - s 、- - ，。o 12 由于 且有 队而有 42 n n l 。i m s u p = 面韵弋 n l 。i m 。s u p 1 o ，gm 一。r n l 。i m s u p = 溉， 竹l i m 。s u p 忑韵2n l 。i m 。s u p 端5 鬻， 一d i m b ( e ) = 器 1 4 参考文献 【1 】b e s i c o v i t c ha sa n dt a y l o rsj ，o nt h ec o m p l e m e n t a r yi n t e r v a l so fal i n e a rc l o s e ds e to fz e r o l e b e s g u em e a s u r ej l o n d m a t h s o c 2 94 4 9 5 9 ，1 9 9 5 【2 】f a l c o n e rkj ，o nt h em i n s o w s k im e a s u r a b i l i t yo ff r a c t a l sp r o c a m m a t h s o c 1 2 31 1 1 5 2 4 ， 1 9 9 5 【3 】f a l c o n e rkj ，t e c h n i q u e si nf r a c t a lg e o m e t r y ( c h i c h e s t e r ：w i l e y ) ，1 9 9 7 【4 】d a v i dga n ds e m m e ss ，f r a c t u r e df r a c t a l sa n db r o k e nd r e a m s ：s e l f - s i m i l a rg e o m e t r y t h r o u g hm e t r i ca n dm e a s u r e ( n e wy o r k ：o x f o r du n i v e r s i t y ) ，1 9 9 7 【5 】f a l c o n e rk ja n dm a r s hdt ，c l a s s i f i c a t i o no fq u a s i c i r c l e sb yh a n s d o r f fd i m e n s i o nn o n l i n - e a r i t y2 ，4 8 9 9 3 ，1 9 8 9 【6 】f a l c o n e rk ja n dm a r s hdt ，o nt h el i p s c h i t ze q u i v a l e n c eo fc a n t o rs e t sm a t h e m a t i k a3 9 ， 2 2 3 3 3 ，1 9 9 2 【7 】l a p i d u s m la n dm a i e r h ，t h ep d e m a n nh y p o t h e s i sa n di n v e r s es p e c t r a lp r o b l e m sf o rf r a c t a l s t r i n g sj l o n d m a t h s o c 5 21 5 3 4 ，1 9 9 5 【8 】8l a p i d u s m l a n d p o m e r a n c e c ，t h e r i e m a n nz e t a - f u n c t i o na n dt h eo n e - d i m e n s i o n a l w e y l b e r r yc o n j e c t u r ef o rf r a c t a ld r u m sp r o c l o n d m a t h s o c 6 6 ，4 1 6 9 ，1 9 9 3 m c m u u e nc ，t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no fg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t s sn a g o y am a t h j 9 6 ， 1 9 ，1 9 8 4 【1 0 r a oh ，r u a nh ja n dx ilf ，l i p s c h i t ze q u i v a l e n c eo fs e l f - s i m i l a rs e t sc r a c a d s c i p a r i s ， s e r i3 4 2 ，1 9 1 6 ，2 0 0 6 【1 1 】t r i c o tc ，d o u z ed e f i n i t i o n sd el ad e n s i t 7 el o g a r i t h m i q u ec r a c a d s c i p a r i s ，s e r i2 9 3 ， 5 4 9 5 2 ，1 9 8 1 【1 2 w e nz ya n dx ilf ，r e l a t i o n sa m o n gw h i t n e ys e t s ，s e l f - s i m i l a ra r c sa n dq u a s i - a r c si s r a e lj m a t h 1 3 6 ，2 51 6 7 ，2 0 0 3 【l3 】x ilf ，l i p s c h i t ze q u i v a l e n c eo fs e l f - c o n f o r m a ls e t sj l o n d m a t h s o c 7 0 ，3 6 9 8 2 ，2 0 0 4 【14 】文志英，分形几何的数学基础，1 9 9 8 【1 5 h u ir a o ，h u o - j u nr u a na n dy a - m i ny a n g ，g a ps e q u e n c e ，l i p s c h i t ze q u i v a l e n c ea n db o x d i m e n s i o no ff r a c t a ls e t s n o n l i n e a r i t y2 1 ( 2 0 0 8 ) 1 3 3 9 1 3 4 7 ，2 0 0 7 【1 6 m c m u l l e nc t h eh a n s d o r f i x o no fg e n e r a ls i e r p i n s k ic ，一p e t s j 】n a g o y am a t h j ，9 6 ：1 - 4 ， 1 9 8 4 【17 】李文侠；肖冬梅，d i m e n s i o n so fm e a s u r eo ng e n e r a l s i e r p i n s k ic a r p e t ，数 学物理学报( 英文版) ，编辑部邮箱1 9 9 9 年0 1 期 【1 8 】李文侠，肖冬梅i n t e r s e c t i o no ft r a n s l a t o n so fc a n t o rt r i a d i cs e t j a c t am a t h e m a t i c as c i e n t i a ，1 9 9 9 ，( 0 2 ) 【1 9 c m c m u l l e n ，t h eh a u s d o rd i m e n s i o no fg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t s ，n a g o y am a t h j 9 6 ，1 9 ，1 9 8 4 【2 0 】k 。j f a l c o n e r ，t h ed i m e n s i o no fs e l f - a f f i n ef r a c t a l si i ，m a t h p r o c c a m b p h i l s o c i i i ，1 6 9 - 1 7 9 ，1 9 9 2 【2 1 】t b e d f o r d ，t h eb o xd i m e n s i o no fs e l f - a f f i n eg r 印l l sa n dr e p e l l e r s ，n o n l i n e a r i t y2 ，5 3 - 7 1 ，1 9 8 9 a f 2 2 】t b e d f o r d ，o nw e i e r s t r a s s - l i k ef u n c t i o n sa n dr a n d o mr e c u r r e n ts e t s ，m a t h p r o c c a m b p h i l s o c 1 0 6 ，3 2 5 - 3 4 2 ，1 9 8 9 b 【2 3 】华苏，饶辉，文志英，吴军o nt h es t r u c t u r e sa n dd i m e n s i o n so fm o r a ns e t s j s c i e n c ei nc h i n a ， s e r a ，2 0 0 0 ，( 0 8 ) 【2 4 】周作领一个s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r f f 测度f j 】中国科学a 辑，2 9 ( 2 ) ：1 3 9 - - 1 4 5 ，1 9 9 9 【2 5 】吴炯圻一类s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r 醐g 度的初等证明i j 】纯粹数学与应用数学，( 0 3 ) 桂咏新 关于自仿射集的若干问题研究学位论文，2 0 0 8 6 ，2 0 0 3 【2 6 】y o n g x i ng u i ，w e n x i al i ，h a u s d o r f fd i m e n s i o no fs u b s e t sw i t hp r o p o r t i o n a lf i b r ef r e q u e n c i e s o ft h eg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t ，n o n l i n e a r i t y , 2 0 ：2 3 5 3 - 2 3 6 4 ，2 0 0 7 【2 7 y o n g x i ng u i ，w e n x i al i ，h a u s d o r f fd i m e n s i o no ff i b e r - c o d i n gs u b - s i e r p i n s k ic a r p e t s z m a t h a n a la p p l ，1 ( 3 3 1 ) ：6 2 6 8 ，2 0 0 7 2 8 】lb a r r e i r aa n dj s c h m e l i n g s e t so fn o n - t y p i c a lp o i n t sh a v ef u l lt o p o l o g i c a le n t r o p ya n df u l l h a u s d o r f fd i m e n s i o n i s r a e lm a t h ，11 6 ：2 9 - 7 0 ，2 0 0 0 1 2 9 】lb a r r e i r aa n dc s i l v a l y a p u n o ve x p o n e n t sf o rc o n t i n u o u st r a n s f o r m a t i o n sa n dd i m e n s i o n t h e o r y d i s c r e t ec o n t i n ls y s t ，1 3 ：4 6 9 4 9 0 ，2 0 0 5 ( 3 0 1 m b m a n dc m s h e t t y n o n l i n e a rp r o g r a m m i n g ，t h e o r ya n da l g o r i t h m s j o h nw i l e y ， 1 9 7 9 3 1 】t b e d f o r d m a r k o vp a r t i t i o n sa n db o xd i m e n s i o ni ns e l f - s i m i l s rs e t s p h - dt h e s i s ，u n i v e r - s i t yo w a r w i c k 1 9 8 4 f 3 2 1k j f a l c o n e r t h c d i m e n s i o n o f s e l f - a f f i n e f r a c t a l s i i m a t h p r o c c a mp h i ls o c ，i i l ：1 6 9 1 7 9 1 9 9 2 f 3 3 1k j f a l c o n e r t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no fs e i f - a f f i n ef r a c t a l s m a t h p r o c c a ms o c ， 1 0 3 ：3 3 3 5 0 1 9 9 8 【3 4 】d j f e n ga n dy w a n g ac l a s so fs e l f - a f f i n es e t sa n ds e l f - a f f i n em e a s u r e s zf o u r i e r a n a l a p p l ，11 ：1 0 7 - 1 2 4 ，2 0 0 5 【3 5 d g a t z o u r a sa n ds p l a u e y h a u s d o r f fa n db o xd i m e n s i o n so fc e r t a i ns e l f - a l t i n ef f a c - t a l s i n d i a n au n i v e r s i t ym a t h 4 1 ：5 3 3 - 5 6 8 ，1 9 9 2 【3 6 】d g a t z o u r a sa n ds pl a l l e y s t a t i s t i c a l l ys e l f - a f l i n es e t s ：h a u s d o r f fa n db o xd i m e n - s i o n s zt h e o r e t p r o b a b ，7 ：4 3 ，1 9 9 4 【3 7 jw e n x i al ia n df m d e k k i n g h a u s d o r f fd i m e n s i o no fs u b s e t so fm o r a nf r a c t a l sw i t hp r e - s c r i b e dg r o u pf r e q u e n c yo ft h e i rc o d i n g s n o n f i n e a r i t y , 1 6 - 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