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西南大学硕士学位论文摘要 新课程下小学估算教学的现状研究 基础数学专业硕士研究生王鲜凤 指导教师刘静副教授 摘要 随着科学技术的进步，计算工具日益普及，人们的计算方式和观念也发生了很大的变化。 许多原来需要利用纸笔进行的精确计算可以由其他工具代替，因此判断经由计算工具所得答 案是否正确、合理显得尤为重要。我们今天所面临的问题是确定什么时候需要精确答案，什 么时候仅仅估算就可以了，以及如何有效地利用估算来判断心算、笔算及工具计算结果的正 误。估算能力已成为当前国际小学数学教育中比较重视的一种能力，我国2 0 0 1 年7 月颁布的 全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 中增加了估算内容，在具体目标中提出了要求。 由于我国小学数学教学历来只重视精确计算，所以教师缺乏估算教学的经验。新一轮课程改 革已经从实验区开始逐步进入全面实施阶段，研究的重点已由确定课程改革的目的、制定新 的课程标准、编写新的教科书，逐渐转移到新课程的教学实施上。 本文运用课堂观察、问卷调查、访谈等研究方法从教师和学生两个方面对我国小学估算 教学进行了深入的研究，得到了以下一些结论： ( 1 ) 教师对估算有了一定的认识，但有些教师缺乏估算方法和策略的基本知识，对估算的 作用认识不全面； ( 2 ) 教师对估算教学目标认识不足，很多教师认为估算教学的目标是教会学生如何估算， 而不注重培养运用估算进行问题解决的能力： ( 3 ) 教师对估算结果缺乏评判标准，大部分教师认为只要接近精确得数的估计值都算对， 但对“接近”的程度缺乏评判标准； ( 4 ) 学生能够按照要求进行估算，具各了一定的估算能力，但学生的估算能力间存在一定 的差异，特别是四年级学生； ( 5 ) 学生对估算的方法了解不全面，人部分学生会运用“四舍五入法”和“集中数字法”， 但不会运用适合于乘法和除法估算的“相容数字法”； ( 6 ) 很多学生习惯于精确计算，学生运用估算解决问题的能力有待提高。 针对估算教学中存在的问题，提出以f 几点建议：第一，标准应明确提出估算的评分 标准：第二，教材应对估算相关内容进行全面介绍：第三，教师培训中应强调新增内容的学 习；第四，教学中应注重培养学生运t l j 估算进行问题解决的能力。 关键词：估算估算能力估算方法小学估算教学 西南大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t a st h es c i e n c ea n d t e c h n o l o g yp r o g r e s s i n g ，t h e t o o l so f c a l c u l a t i n g a r e p o p u l a r i z i n gd a yb yd a ya n dp e o p l e sc o m p u t a t i o n a lm o d ea n di d e ah a sc h a n g e d s i g n i f i c a n t l y m a n yp r e c i s ec o m p u t a t i o n sw h i c ho r i g i n a l l yn e e dp e n c i la n dp a p e rn o w h a v eb e e nr e p l a c e db yo t h e rc o m p u t a t i o n a lt o o l s t h e r e f o r ei ti se s p e c i a l l yi m p o r t a n tt o j u d g ew h e t h e rt h ea n s w e ro b t a i n e db yc o m p u t a t i o n a lt o o l si sc o r r e c ta n dr e a s o n a b l eo r n o t t o d a yt h eq u e s t i o nw ef a c ei st od e t e r m i n ew h e nt h ep r e c i s ea n s w e ri sn e e d e da n d w h e ne s t i m a t i o ni s e n o u g h ，a sw e l l a st oj u d g ei ft h er e s u l tg o r e nb ym e n t a l c o m p u t a t i o n ，p e n c i la n dp a p e r o rc o m p u t a t i o n a lt o o l si s r i g h t o rw r o n gt h r o u g h c o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n t h ea b i l i t yo fc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o nh a sa l r e a d yb e e no n e l ( i n do fa b i l i t i e sw h i c ha r ev a l u e di nt h ec u r r e n ti n t e r n a t i o n a le l e m e n t a r ys c h o o l m a t h e m a t i c se d u c a t i o n i nj u l y ，2 0 0 1o u r c o u n t r yp r o m u l g a t e d “m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u ms t a n d a r d sf o rt h ef u l l - t i m e c o m p u l s o r ye d u c a t i o n ( e x p e r i m e n t a l m a n u s c r i p t ) ”i nw h i c ha d d e dt h ec o n t e n to fc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o na n ds e tt h er e q u e s t i nt h ec o n c r e t eg o a l s b e c a u s et h em a t h e m a t i c st e a c h i n gi nt h ee l e m e n t a r ys c h o o l so f o u rc o u n t r ya l w a y so n l yv a l u e dp r e c i s ec a l c u l a t i o n , t h e r e f o r et h et e a c h e r sl a c kt h e e x p e r i e n c eo ft e a c h i n gc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n t h en e wt u r no ft h ec u r r i c u l u m r e f o r m a t i o ns t a r t e df r o mt h ee x p e r i m e n t a lp l o t sh a sa l r e a d ye n t e r e dt h ec o m p r e h e n s i v e i m p l e m e n t a t i o ns t a g eg r a d u a l l y ；t h ek e yp o i n to f t h er e s e a r c hh a dg r a d u a l l ys h i f t e df r o m d e t e r m i n i n gt h eg o a l o ft h ec u r r i c u l u mr e f o r m ，f o r m u l a t i n gt h en e wc u r r i c u l u m s t a n d a r d sa n dc o m p i l i n gt h en e wt e x t b o o k st oi m p l e m e n t i n gt h en e wc u r r i c u l u m t h i sa r t i c l es t u d i e dt h et e a c h i n go fc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o ni nt h ee l e m e n t a r y s c h o o l so fo u rc o u n t r yf r o mt w oa s p e c t so ft e a c h e ra n ds t u d e n tt h r o u g hm a n yr e s e a r c h m e t h o d ss u c ha sc l a s s r o o mo b s e r v a t i o n ，q u e s t i o n n a i r e s u r v e y , t a l k i n ga n ds o o n 0 b t a i n e ds o m ec o n c l u s i o n sa sf o l l o w s ： ( 1 ) t e a c h e r sh a v ec e r t a i nu n d e r s t a n d i n gt ot h ec o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n ，b u ts o m e t e a c h e r sl a c kt h ee l e m e n t a r yk n o w l e d g eo ft h em e t h o da n ds t r a t e g yo fc o m p u t a t i o n a l e s t i m a t i o na n dc a nn o tu n d e r s t a n dt h ef u n c t i o no ft h e c o m p u t m i o n a le s t i m a t i o n c o m p r e h e n s i v e l y ； ( 2 ) t e a c h e r sc a nn o tu n d e r s t a n dt h eg o a lo ft h et e a c h i n go fc o m p u t a t i o n a l e s t i m a t i o ns u f f i c i e n t l y ；m a n yt e a c h e r st h i n kt h a th o wt oe s t i m a t ei st h eg o a lo ft h e t e a c h i n go fc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n ，t h e yd on o tp a yg r e a ta t t e n t i o nt ot h ea b i l i t yo f l i 西南大学硕士学俯论文 a b s t r a c t p r o b l e ms o l v i n gu s i n gc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n ； ( 3 ) t e a c h e r sl a c kt h ej u d g m e n ts t a n d a r dt ot h ee s t i m a t er e s u l t ，t h em a j o r i t yo f t e a c h e r st h i n kt h ee s t i m a t ev a l u e sw h i c ha p p r o a c ht ot h ep r e c i s ev a l u ea r ea l lc o r r e c t ， b u tl a c k t h ej u d g m e n ts t a n d a r dt ot h ed e g r e eo f ”a p p r o a c h e s ”； ( 4 ) s t u d e n t sc a ne s t i m a t ea c c o r d i n gt ot h er e q u e s ta n dh a sc e r t a i na b i l i t yo f c o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n , b u tt h ea b i l i t yh a ss o m ed i f f e r e n c e ，e s p e c i a l l yf o rt h ef o u r g r a d es t u d e n t s ； ( 5 1s t u d e n t sd on o tk n o wa 1 1t h em e t h o d so fc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n t h e m a j o r i t yo fs t u d e n t sc a nu t i l i z et h em e t h o d so f ”r o u n d i n g ”a n d c l u s t e r i n g ”b u tc a n n o t u t i l i z et h em e t h o do f “c o m p a t i b l en u m b e r s w h i c hs u i t st ot h em u l t i p l i c a t i o na n dt h e d i v i s i o ne s t i m a t e ； ( 6 ) m a n ys t u d e n t sa r ea c c u s t o m e dt ot h ep r e c i s ec o m p u t a t i o n ，s ot h es t u d e n t s a b i l i t yo f u s i n gc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o nt os o l v ep r o b l e m sw a i t st ob ei m p r o v e d i nv i e wo ft h ep r o b l e m sw h i c he x i s ti nt h et e a c h i n go fc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n ， w ep u tf o r w a r dt h ef o l l o w i n gp r o p o s a l s ：f i r s t l y ”t h es t a n d a r d ”s h o u l dp r o p o s et h e g r a d es t a n d a r do fc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o ne x p l i c i t l y ；s e c o n d l y , t h et e a c h i n gm a t e r i a l s s h o u l di n t r o d u c et h ec o r r e l a t e dc o n t e n t so fc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o nc o m p r e h e n s i v e l y ； t h i r d l y , t h et e a c h e rt r a i n i n gs h o u l de m p h a s i z et h ec o n t e n ta d d e di nt h en e wc u r r i c u l u m ； f o u r t h l y , i nt h ep r o c e s so ft e a c h i n g ，t e a c h e r ss h o u l dp a yg r e a ta t t e n t i o nt or a i s et h e s t u d e n t s a b i l i t yt os o l v i n gp r o b l e m su s i n gc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n k e yw o r d s ：c o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n t h ea b i l i t yo fc o m p u t a t i o n a l e s t i m a t i o nt h em e t h o do fc o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o nt h et e a c h i n go f c o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o ni ne l e m e n t a r ys c h o o l s 独创性声明 学位论文题目：逝堡猩王d ：堂垡簋教堂鲍丑监丑窥 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 ， 学位论文作者：三多j 冠签字日期：即7 年4 月2 多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。? ( 保密的学位论文在解密后适周本授权书，本论文：曲不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：王鲜户l 导师签名： 扫- j 韵， 签字日期：五啊7 年年月l 细签字日期：幻刃年葺月，名日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：出酉太回盘堂电话： 通讯地址：出耍态回太堂熬堂丞邮编： 0 3 7 0 0 9 两南大学硕+ 学伊论文 引言 1 引言 1 1 研究的背景 随着科学技术的进步，计算工具日益普及，例如计算器、计算机，功能齐全而且方便实 用，它们改变着人们的计算方式和观念，许多原来需要利用纸笔进行的精确计算可以由其他 工具代替，因此判断经由计算工具所得答案是否正确、合理显得尤为重要，这是估算技能变得 十分重要的一个重要原因。无论是校内还是校外，都需要一种对数学关系和事实的良好的意 识，否则，学生将无法判断来自计算机的数字结果的合理性我们今天所面临的问题是能够 确定什么时候需要精确答案，什么时候更适合使用估算，以及如何有效地利用估算来判断心 算或工具计算结果的正确性。 二十世纪七十年代起，美国的数学教育工作者开始正视长久以来估算一直在数学课程中 被忽视的现象( c a r p e n t e r , e ta i ，1 9 7 6 ) 。他们在1 9 7 2 1 9 7 3 和1 9 7 7 1 9 7 8 两次全美教育进展评估 刑a e p ，甲发j j i l ，几个学龄段的学生在估算上的表现都相当差l i n d q u i s t 等人( 1 9 8 3 ) 在第三次全 美教育进展评估报告中特别指出，九岁和十三岁的学生在估算课程上的表现比其他计算课程 上的表现著得多。因此，全美数学教师联合会( n c t m ) 在1 9 8 0 年将估算列为课程主题，并在1 9 8 6 年出版了估葬与心算年鉴，鼓励教师和研究人员共同探讨估算的教学与学习问题：他们在 1 9 8 8 年更将估算列为五个重要的教学主题之一。1 9 8 0 年n c t m 在行动的纲领( a n a g e n d af o r a c t i o n ) 中号召，“教师应该经常地有规律地将估计活动结合到数学程序中去，特别地，应鼓 励学生在提出和选择对象以及研究结果的合理性时进行估计练习”，第一次把估计能力作为一 种重要的数学素质。1 9 9 0 年，n c t m 颁布的美国中小学数学课程标准，其中把估计作为“数 学的合法部分”( al e g i t i m a t ep a r to f m a t h e m a t i c s ) ，将估计能力作为一条重要的标准。 日本国立教育研究院科学教育研究中心于1 9 8 9 年根据日本教育部所修订的课程标准编辑 出版了日本中小学数学课程，此课程规划从1 9 9 0 年入学的幼儿园学生，1 9 9 2 年入学的小 学生、1 9 9 3 年入学的中学生，到1 9 9 4 年高中新生开始逐年实施。该课程规划中有用概数( 近 似数) 来估计四则运算结果的要求，强调小学五年级之后，教师必需提供适当的学习情景， 以利于学生使用估算来求解结果和检验结果的合理性。 英国教育部1 9 9 1 年出版了部颁课程标准，该课程标准将数学课程目标分为十个水平，在 “目标2 ：数”中，从水平3 一水平6 都有有关运用估计检验计算的要求。在5 到1 6 岁学龄段 学生应学的数学课程中，第2 个教学目标指出：关于“数”的部分，特别强调学生应能了解 并运用数字，包括估算和近似值，并且能解释其结果。 此外，在德国有对各种物体的长度进行估计的要求，在解决问题的过程中估计结果的要 求( 卢江1 9 9 8 ) ：荷兰则在1 9 9 8 2 0 0 3 年数学课程目标中规定，小学阶段数学课程的具体目标 有6 个部分。其中在“一般能力”目标中就有这样的要求：“学生应能做估算，包括与小数和 l 西南大学硕十学伊论文引言 分数有关的估算，并能对估算结果的正确性做出丈体上的判断。”在中学阶段数学课程的具体 目标中则明确地将估算同算术和测量列在一起。规定了“学生应能根据参考资料估计一个计 算或测量的结果，并能通过检验来判断这个结果是否在允许的范围内”( 孙晓天，2 0 0 0 ) 。加 拿大安大略省教育部在其一到九年级的数学课程标准的“数字识别与计算”目标中就规定，“到 六年级末，学生应当能运用所有的整数、小数和分数，通过选择恰当的运算方法( 包括心算、 估算、计算器、纸笔算法) 解决问题”( 沈兰。2 0 0 0 ) 估算能力已是当前国际小学数学教育中比较重视的一种能力，在国际上数学教育改革发 展中，数与计算的教学内容方面，变化与发展主要表现在( 卢江，1 9 9 8 ) ：( 1 ) 强调数意识；( 2 ) 重视口算和估算；( 3 ) 笔算教学强调理解算理和合理地运用计算方法。计算能力已不仅仅是指 笔算、口算的能力，计算得正确与迅速，它有着更为丰富的内涵，至少它还包含对口算、笔 算、珠算、估算等多种计算形式的理解和掌握，以及根据具体情况采用合适的计算形式，它 还包括计算方法的合理、灵活、简便等。 在我国小学数学课程中历来只重视精确计算，估算一直没有受到重视，1 9 9 2 年的小学数 学教学大纲首次将估算作为课程的内容，不过仅作为选学内容，没有真正落实到具体目标上， 直到2 0 0 0 年我国教育部颁布的九年义务教育全日制小学数学教学大纲( 试用修订版) 中 才增加了这样的教学要求，要使学生“具有估算意识和初步的估算能力”，并指出，“估算在 日常生活中有广泛的应用，在各年级应适当加强估算”，同时提出，“要重视培养学生估算的 习惯和能力”，但还是没有落实在具体的目标上，估算只作为选学内容。2 0 0 1 年7 月国家教育 部颁布的 全曰制义务教育数学课程标准( 实验稿) ( 以下简称 标准) 中提出了要加强估 算。要求第一学段的学生。能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”教学建议中指出： “教师要不失时机地培养学生的估算意识和估算技能”；在第二学段提出“在解决具体问题的 过程中，能选择合适的估算方法。养成估算的习惯”的要求 虽然根据标准的要求各个版本的小学数学新教材均增加了有关估算的内容，但其所 占篇幅不多，所占比例很小，估算并没有受剑足够的重视，而且教材编写者缺乏有关估算教 学内容编排的经验。而且由于我国的计算教学一直以来重视精确计算，强调计算结果的唯一 性，教师缺乏估算教学的经验，课程的要求能否得以落实，关键在于教师的教学，正如美国 学者塞勒( j g s a y l o re ta 1 ) 所说：“课稃足一幢建筑的设计图纸，教学则是具体的施工；课 程是一场球赛教学则是球赛进行的过程：课程是一个乐谱。教学则是作品的演奏所以改 革的成败应该看教学。”新一轮课程改革已经从实验区开始逐步进入全面实施阶段，研究的重 点已由确定课程改革的目的、制定新课程的标准、编写新的教科书，逐渐转移到新课程的教 学实施上。在实施小学数学新课程的第一批国家级实验区对估算教学的现状进行深入研究， 全面了解教师对估算及估算教学的态度、教师的估算经验和实际的估算教学，了解小学生估 算的准确程度、学生所运用的估算方法、学生住估算中易犯的错误类犁和学生运用估算进行 问题解决的能力是十分必要的，对标准的修订、教材的编写特别是教师的教学都有重要 2 西南大学硕十学位论文引言 的意义。 1 2 相关文献综述 1 2 1 有关估算意义和作用的研究 估算是估计( e s t i m a t i o n ) 的一种，最常见的估计包括：估计运算的结果( 即估算) 、 估计数的大小( 即估数) 和估量，本文研究的内容是估算，估算也是国际上研究最多的一种 估计。一般认为。估算就是对运算结果的估计，“估算”可以说是“得到一个计算题的粗略 答案的一种过程”，是一种猜出合理的近似值的技能。我国学者司继伟( 2 0 0 2 ) 从心理学的角 度研究了估算，并提出。估算( c o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n ) ，是指个体懂得什么情况下无 法或不必作准确计算，并应用相关知识和策略给出近似答案的能力”，强调了估算意识的重 要性。 z a l m a n u s i s k i n ( 1 9 8 6 ，p p 1 - 1 5 ) “估算与心算”年鉴中说明学估计的四个理由：第一， 在受限制的情况下只好估计：第二，为了使情况更清楚而估计；第三，当以整数来计算显然 比较方便的时候；第四，源自统计的规则的一致性的考虑而作的要求。 r e y s 等( 1 9 8 7 ) 认为估算有下列作用：第一，估算让我们可以判断答案的正确性，尤其 目前电脑及电子计算机的使用愈来愈普及，更需要“估算”的技巧；第二，在纸笔计算很繁 难且不方便时，估算可以快速地得到答案：第二，一般人往往只需要估计的数值来做决策。 o n s l o w ( 2 0 0 2 ) 认为，“估计有利于数意识的发展，这种技能是通过实践和反思而形成 和发展的。做得估计越多、对为什么估计思考的越多，越能做出好的估计。孩子们为了成功， 需要很多练习估算和从先前经验中学习的机会。” 郑毓信( 2 0 0 4 ) 认为。定的估算能力是真l e 做剑对于现代技术自觉应用的一个重要保 证，虽然计算机和计算器能够完成各种复杂的计算，但不能因此而使人们变成数盲，检 查答案的正确性是估算的用途之一”；还指出估算学习的另外两个重要意义：第一，十分有 利于学生思维的训练，特别有益于增强思维的灵活性和创造性；第二，也有益丁：学生对于相 应数学概念与知识的理解；而且指出估算的学习还有利于培养数感。 我国研究者张丽华( 2 0 0 5 ) 等认为：第一，“估算”可以培养学生善观察，会思考的能 力；第一二，“估算”可以提高学生的生活能力：第二，“估算”是提高学生计算正确率的基 础；第四，“估算”有助于提高学生学习数学的兴趣。兰恭生( 2 0 0 4 ) 认为：可以利用估算 培养学生思维的正确性、灵活性、敏捷性和独创性。 1 2 2 有关估算教学方法和作用的研究 f a u l k ( 1 9 6 2 ) 调查五种不同版本的教科f 5 的二、四、五年级有关估算部分的教材之后， 他建议在加、减、乘、除、平均及测量之前麻该先加以估计，对于一位数学教师如何能够胜 西南大学硕十学付论文引言 任教学，他提出二条途径：第一是了解学生的需要及兴趣：第二是随着数学的晟新发展前进， 不落伍；第三是经由在职训练加强教学方法。他认为教师应该要了解到数学的趋势是教学生 们思考、探讨、发现：而这些能力特别在心算及估算的课程上能够发展。f a u l k 在对5 2 名五 年级学生测试估计能力之后，得出结论：小学教师要协助学生跟得上数学的发展，而答案的 估计就是达到这种目的的一种方法。n e l s o n ( 1 9 6 7 ) 对1 2 个四年级班和1 2 个六年级班进行了 四舍五入程序的教学，教学使得估算测试成绩显著提高。 h a l l 在1 9 7 7 年的研究中发现估算教学可以提升估算能力；s u t h c r l i n ( 1 9 7 7 ) 对“使用计算机 是否有助丁五、六年级估算能力提高”做了调查研究，结果显示使用计算机和用纸笔计算的 两组并无明显筹异。b e s t g e n ( 1 9 8 0 ) 等将1 8 7 名职前小学数学教师分成两组，对其中一组进 行每周5 分钟的估算教学并每周施于测试，每次测试后对适合于运用该周所学估算策略的四 个测试题进行讨论；另一组则每周只进行一次估算测试。两个实验组比控制组均有所提高， 但两个实验组并无显著差异。此研究表明经常练习同样有助于形成好的估算技能。j a r r e t t ( 1 9 8 0 ) 对五、六年级的学生做不同程度的计算机辅助教学。发现在做加法及乘法的估算时，接受估 算教学的表现明显优于没有接受教学者，反复练习的教学方法与有意义的估算教学没有什么 区别。s c h o e n ( 1 9 8 1 ) 等对四、五、六年级使用不同的教学方式，结果显示每一种方法均有效， s c h o c n 认为整数的估算可以在短时间内达到教学的目标，而且估算的能力最少可以保持三周 以上。 随着n c t m 在1 9 8 0 年的号召，美国的中学数学界开始注意对估计的教学和研究，提出了 一些值得思考和借鉴的观点：估计反映了数学的另一面，一些术语如“大约”、。接近”、“附 近”、“之间”、“比略小”等说明了数学不仅仅是精确的，其对数量关系和空间形式的估计 有助于概念和过程的理解及推理合理性的自觉意识，能提高学生处理实际问题的能力；教学 的重点是发展学生的估计观( a ne s t i m a t i o nm i n d - s e t ) ：必须让学生理解估计的意义，什么情 况下估计是合适的，估计结果和理想结果的接近程度等；如果我们鼓励学生去估计，他们就 会把估计作为数学的有机成分；培养估计能力是一个不问断的工作，重要的是让学生掌握估 计的策略：确的估计同样需要推理、判断、决策等。 r e y s ( 1 9 8 4 ) 等为六、七、八年级一般水平的学生设计了估算教学材料。教学不仅包括 四舍五入法年i l 首位法，而且还包括在早期研究中发现的优秀估算者所运用的相容数和平均法 材料在2 4 个实验班及2 4 个对照班进行了预测，教学单元是由l o 整节课和一些短期课程( 5 一l o 分钟) 所构成的，贯穿于整个学年。虽然实验班和对照班前测与后测差异不是很显著，单个 题目分析显示前测与后测有显著差异，特别是在有些题目上；对各年级1 2 人的深度访谈表明， 实验班学生能够理解估算是对近似数而不是对精确数的计算，而且他们对数的概念有更深入 的理解。 1 9 9 0 年n c t m 颁布的美国中小学数学课程标准，提出了一些较为细致的教学要求： 如学会探索再种估计策略；懂得估计在什么情况f 是恰当的；能够估计结果的合理性；在测 4 西南大学硕十学伊论文 引言 量、运算和问题解决中合理使用估计等。德国教材无论在计算、应用题、量的计龉等方面的 教学中部十分重视估算。例如，在计算教学中常出现以下类型的试题：题目，估算，精确计 算，验算，德国教材给出的应用题的解题步骤是：( 1 ) 仔细地读题；( 2 ) 在重要的词后面的数f 面划线：( 3 ) 画出草图；( 4 ) 写出解题计划；( 5 ) 估算；( 6 ) 精确计算；( 7 ) 比较估算和精确计算的结 果；( 8 ) 再读一遍题目的问题，做出答案( 朱乐平，2 0 0 4 ) 。 我国实施新课程后，则涌现出了大量的估算教学设计、教学案例、课堂实录及分析( 赵 光平等，2 0 0 2 ；手培燕，2 0 0 4 ；卢华杰，2 0 0 5 ：卢德凤，2 0 0 5 ；) 。我国研究者田小勤( 2 0 0 5 ) 探讨了估算教学的策略，提出：第一，估算要与问题解决相结合，感悟估算的意义。他指出 培养学生估算能力的主要目的是让学生用于解决生活中的一些问题，单纯地用算式进行一种 机械训练，难以提高学生的估算能力；第二，提倡估算方法多样化，形成估算技能。指出要 掌握估算的一般策略，鼓励估算方法多样化，重视交流、解释估算过程，并且采取有效合理 的估算评价策略；第三，将估算浸润于整个教学过程，逐步内化为算法策略。他指出要把估 算目标融入计算教学，利用估算提高精算质量，形成自我监控的学习品质，并精心设计估算 练习，让学生自主选择计算策略。左惠文( 2 0 0 5 ) 通过自己的教学实践经验指出在估算意识 和估算技能的培养过程中应根据不同的内容，分成若干层次，采用不同的策略提出：( 1 ) 在 口算教学中，让学生感受到估算的作用；( 2 ) 在笔算教学中，让学生估计积、商可能是儿位数； ( 3 ) 在应用题教学中，让学生根据题意对解答结果进行估算；( 4 ) 在几何知识教学中，增强学生 的估算意识。范新林( 2 0 0 5 ) 通过观察加减法估算的实际课堂教学，发现教学结果反映在： 绝大部分学生自始至终感受不到估算的意义和作用，对估算意识的唤起有较人的障僻：有许 多学生到学习结束是仍然相信精确计算。乐意并追求精确计算；学生把估算作为口算或简便 计算使用；且针对观察到的教学情况对学过加减法估算的学生进行了访谈，访谈发现：( 1 ) 大 部分学生理解了“大约”这个概念，知道有些时候可以用“大约”数来做加减法：( 2 ) 大部分 学生不清楚什么时候可以估算或什么时候需要估算；( 3 ) 有近一半的学生在要求估算时是先口 算出结果，再取个“大约”的数，有近四分之一的学生仍分不清估算与口算有什么区别。 1 2 3 有关估算能力的研究 r e y s 与n o h d a 等人( 1 9 9 1 ) 研究了2 7 9 名日本五年级学生和1 8 7 名八年级学生的估算表现， 并同美国同年龄层次的学生进行了比较。他们指出，大部分学生必须提高估算技能的水平。 同时指出日本虽然在小学四年级教过三种类型的近似数，但在以后的教学中却很少将此类近 似数进行整合，以帮助学生形成估算技能。 台湾学者支毅君( 1 9 8 6 ) 通过研究提出估算能力的六个层次：了解“估算”的意义及名 词：知道何时可以使用估算来解题；能够得到合理的估算值；能用适当的方法；能够视数值 的特色使用不同的估算方法；能判断何者是最好的估算方法。 我国学嚣田继伟( 2 0 0 2 ) 撰写的博士论文：“小学儿童估算能力研究”从心理学的角度对 5 西南大学硕十学伊论文 引言 我m d , 学儿童的估算能力的现状和发展进行了深入全面的研究。季丽清( 2 0 0 5 ) 研究发现： 学生不需要估算；学生的估算能力差异很大；学生的估算意识淡薄。 1 2 4 有关估算方法的研究 r e y s ，r y b o l t ，b e s t g e n , 和w y a u ( 1 9 8 0 ，1 9 8 2 ) 识别并描述了在校生和成人估算过程的特征。他 们首先用由5 5 道估算测试题构成的试卷对1 2 0 0 名7 到1 2 年级的好班的学生和挑选的成年人 进行了测试，为了确认他们在解决估算问题所用的方法对每个年龄组得分在前1 0 的被试进 行了访谈。通过5 9 次访谈，研究者确认了优秀估算者运用的三个关键的过程。第一个过程称 为“重新表述”( r e f o r m u l a t i o n ) ，即“在保持原问题结构不变的情况下，更改数据以产生一个 容易心算的形式的过程”舍入( r o u n d i n g ) 、截取( t r u n c a t i n g ) 、替代( s u b s t i t u t i n g ) 更兼容 的数字 例如，把( 6 x 3 4 7 ) + 4 3 变为( 6 x 3 5 0 ) 4 2 或者使用数字的相等( 或几乎相等) 的形 式( 例如，把3 0 变为t 3 ) 都是重新表述的例子。第二个过程称为“转换”( t r a n s l a t i o n ) ，即“将问 题的数学结构变为易于心算的形式”，铆如，把8 9 4 6 + 7 2 1 2 + 7 8 4 1 变为8 0 0 0 x 3 ；把( 3 4 7 x 6 ) + 4 3 变为3 4 7 x ( 6 + 4 3 ) 然后变为3 5 0 + 7 这些优秀估算者都使用的第三个过程是“补偿” ( c o m p e n s a t i o n ) 即“调整在对问题进行转换和重新表述时所进行的数字变化。这些调整是做出 回答所允许时间的函数，但是也受数据可操作性、问题情境及个体对错误的容忍等因素影响” 例如，要求估计$ 2 1 ，3 1 9 , 9 0 8 + 2 6 ，发现2 6 , 0 0 0 ，0 0 0 被2 6 除等于1 , 0 0 0 ，0 0 0 ，就运用补偿得到 $ 8 5 0 0 0 0 。 研究者还注意剑，优秀估算者在这三个关键过程中运用了多种多样的方法。或许最有用 的方法是聚焦到最左边的一个或几个数位的数字，就是通常所说的“最左数字法”。这种方法 有四种形式：用相同数位的四舍五入所得到的数字进行运算( 3 ，8 5 2 4 4 ，0 0 0 ) ；抽取四舍五入 所得数字的部分进行运算( 3 , 8 5 2 4 ) ：截取并在后面的数位添零( 3 ，8 5 2 3 , 0 0 0 ) ：单独截取 ( 3 8 5 2 3 ) 。英国学者d o w k c r ( 1 9 9 2 ) 以4 4 位大学数学教授为研究对象，探讨了估算能力高的 数学教授们所用的估算方法。司继伟( 2 0 0 2 ) 研究发现小学儿童在估算中大致使用了十三种 方法，分为一般策略、整数策略、小数策略和分数策略四类，各种策略的有效性和执行方式 均存在着较大的差异。 估算方法在估算学习中占有举足轻重的地位，正如不存在一种问题解决的万能方法一样， 也不存在一种对所有估算题都适用的方法。不同的研究者从不同的角度介绍不同的估算方法， 综合有关估算方法的研究，可以把估算的方1 月结为以下七种：四舍五入法( r o u n d i n g ) ，最左 数字法( f r o n t - e n ds t r a t e g y ) 、相容数字法( c o m p a t i b l en u m b e r s ) 、集中数字法( c l u s t e r i n g ) 、转 移数字法( t r a n s l a t i o n ) 、补偿数字法( c o m p e n s a t i o n ) 、特殊数字法( s p e c i a ln u m b e r s ) ，每种方法 并非彼此独立，而是相互渗透的。 6 两南大学硕十学位论文引言 1 3 研究的问题 在数学课程改革中，强调学习估算的必要性，认为估算应该加入到数学课程内容中，但 并未明确提出如何加入。每个人都说估算是重要的，但我们似乎仍然只重视精确结果。那么 到底改变了什么昵? 在新课程在小学实施完成一轮的今天，估算教学的效果如何，取得了哪 些成绩，存在哪些问题都是值得研究的问题，本论文研究了以下两个方面的问题： ( 1 ) 小学数学教师是如何教估算的? 包括如何认识估算及估算教学的重要性，如何进行估 算教学。教给学生哪些估算的方法，对估算结果如何认识和评价； ( 2 ) 小学生估算学得如何? 包括如何认识估算，估算的准确程度如何，都运用哪些估算的 方法，在估算中存在哪些错误，是否会运用估算解决实际的问题。 7 两南大学硕士学衍论文研究设计及过程 2 研究设计及过程 2 1 研究目的及思路 本研究的目的是全面了解我国小学估算教学的现状，了解教师对估算及估算教学的态度、 估算经验和实际的估算教学，了解小学生估算的准确程度、学生所运用的估算方法、学生在 估算中易犯的错误类型和学生运用估算解决问题的能力 本研究从教师的“教”和学生的“学”两个方面来反映新课程实施以来我国小学估算教 学的现状，通过对教师施以“小学数学估算教学调查问卷”来了解教师的估算观念、估算知 识储备和估算教学行为的基本情况；通过实际的课堂教学观察了解估算教学的过程，特别关 注教学过程中估算意识的培养和估算策略的教学；通过对小学三到六年级学生施以“小学生 估算能力测试卷”了解小学生估算学习的情况，发现学生学习估算中存在的问题并分析其中 的原因。 2 2 样本的选取 由于估算是新一轮数学课程改革才予以重视的内容，本研究对象的总体就是我国第一批 基础教育课程改革试验区，重庆市北碚区是第一批课改实验区之一，而且北碚区是一个城乡 结合区，既有条件好的城市小学、也有条件较差的农村小学，有一定的代表性，故本研究选 取了重庆市北碚区的城、乡两类学校作为本研究的样本。 课堂观察是在比较偏远的d 校( 农村小学) 和城区的b 校和e 校进行的，在三所小学的 三、四，五年级共听了数十节数学课，教学内容包括口算、估算和近似计算等。