（基础数学专业论文）非齐型morrey空间中的几种算子的有界性研究.pdf

浙江大学硕士学位论文j # 齐型m o r r e y 空问中的几种算子的有界性研究 本文分醒攀 中文摘要 第一章主要介绍了调和分析中盼经典算子在肼 ( 肛) 空间中的有界性及 其向量值推广，其中不一定是双倍的但满足一定的增长性条件在这部分 我# 】还拓广r 定理1 1 ，4 ( 见文献【l 卅) 的结果，即下面的推论1 12 ，此外还给 出了接论1 1 i ( 见靛【1 4 | ) 的补充诞躔 推论1 1 1 设l q 曼筘 0 0 ，l t 兰s o 。，；高墨，菠；= ；一芸 1 r 曼o 。，则 il i 矗矗ir 2 w ( k ，p ) l l 岛m 郇，n k 洲五 f r n 四( ，p ) 1 1 推论1 1 2 设k 是歪烫| 度鼹s ，除为a 分数棱，没l 冬g p 。， o 班一詈 # ，l r ，捌 i ( 甄五( 。) 一矗二五( f ) ) ir c | 五：a 鳄( z ) 一y f “一； 第二章讨论了非双倍测度下m o v r e y 空间中的s h a r p 擞犬不等式，以及 它在证明交换子有界性及其向量假不等式中的应用在这部分主要是考虑定 理2 1 5 越谶麓( 帮分参见【l 翻) ，我 霆还壤据证露的器要g | 入舞下算子，并盈 证疆了它髓黢a 碧( 国孛懿毒舞穗 定理2 1 5 设a r b m o ( # ) ，1 g p 。0 ， 1 tss i ，0 a n ，n 与弘盼增长性条件中的数一致 定理2 。i 8 ( 1 ) 1 q 曼p 。，m q ，1 ，k 是从m 芋( 芦) 到 碍( p ) 的有界 算子，即 | | m m ，k ，ia 碍( p ) 恪c i f l 嵋( p ) ( 2 ) 0 & 犍， 1 t 茎5 。，0 一i 1 一芸，善= ；，裂m f 是蕊 a 留晤) 蓟 霉( 国静有界算予，鄂 i i m g y la 雩( 肛) 临c l f ，1 蠕( 卢) ( 3 ) 参数与上面一致，则峨，k 是从 叼( ) 到晖( p ) 的有界算予，即 | l l 臻，| m 。s ( 弘) 峰c | | ，l 艇；( 由静 第3 页 浙江大学硕士学位论文非齐型m o r r e y 空问中的几种算子的有界性研究 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft w op a r t s i nf i r s tc h a p t e r ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb o u n d e d n e s so fs o m ec l a s s i c a lo p - e r a t o r si nh a r m o n i ca n a l y s i sa n dt h e i rv e c t o r v a l u e de x t e n s i o ni nm o r r e ys p a c e f o rr a d o ni t l e a s m e sw h i c hm a yb en o n d o u b l i n gh u ts a t i s f yc e r t a i ng r o w t hc o n - d l t i o n w ea l s og i v et h ep r o o fo fc o r o l l a r y1 - 1 2a n da d das u p p l e m e n tt ot h e p r o o fo fc o r o l l a r y1 1 1 ： c o r o l l a r y l 1 1 l e t 1 q 曼p o 。，1 t 曼s o o ，= ；，i 1 = ；一罢，l r 兰 0 0 t h e n i lj l 与if r 且冒( 南，肛) i l g 名，“t 而n j | | | il 删吾( 七，p ) c o r o l l a r y1 1 2 l e tk oi saf r a c t i o n a lk e r n e lo fo r d e raw i t hr e g u l a r i t y ，l e t l 曼q 兰p o o ，o n 一詈 e ，1 r o o ，t h e n 0 ( 轰：五( ) 一f f j d y ) ) 1 1 s c j l 五： 叼( 1 r ) z y i s - ； i ns e c o n dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h es h a r pm a x i m a li n e q u a l i t i e so fm o r r e y s p a c eo nn o n h o m o g e n e o u ss p a c e sa n dd i s p l a yt h e i ra p p l i c a t i o n si np r o v i n gt h e b o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r sa n dt h e i rv e c t o r - v a l u e de x t e n t i o n i nt h i sp a r tw e m a i n l yd i s c u s st h ep r o o f o f t h e o r e m2 1 5 ，a l s ow ed e f i n et h ef o n o w i n go p e r a t o r s f o rd e m a n da n dd i s p l a yt h e i rb o u n d e d n e s si n 鳄( 肛) t h e o r e m2 1 5l e t 。r b m o ( i u ) ，1 q 茎p o 。，1 t 茎s 1 ，0 竹，嚣i s c o n d i t i o no f 雎。 t h e o r e m2 1 8 ：野赤二“螂击 t h et h es a m ew i t ht h ep a r a m e t e ri nt h eg r o w t h ( 1 ) 1 qs p ，m q ，l 南，m m ，i sab o u n d e do p e r a t o r f r o m 螂( p ) t o a 雩( 卢) ，t h a ti s 【i m m ，自，ia 碍( p ) 临c4 ，i 鸩u ) ( 2 ) 0 8 1 t 曼s 0 3 ，0 ；1 = i 1 一嚣，；2 ；，t h e n 掰爹i s8h o u n d e d o p e r a t o rf r o m 磊留芦) t o 五鬈( 弘) ，t h a ti s j 1 m f f f l 露( p ) 1 1 茎c i ，ln 碍( 肛) ( 3 1 t h ep a r a m e t e r sa r et h es a m ea s ( 1 ) ，( 2 ) ，t h e n 峨，女i sab o u n d e do p e r a t o r f r o m 肘；( 弘) t o 嬲( 成t h a ti s | | 壤， 歹| a 露( p ) 陛c ，ia 譬( 芦) 乳 第5 页 查垦苎! 兰鳖! 篓燮。 窭墨黧烂! 竺堑塞塑! 壁垒塞燕雯壁壅墨堡墨塞 序言 毒募莲竣上懿经典f o r r e y 室游五p ，3 在1 9 3 8 年壶m o r r e y 绘穗，它与携 圆型傣微分方程裙密切关系。 三“1 ( r 4 ) 一 ，厶己。( r 8 ) ；i i l l 。- 。，盼s u p ；。 去乞引) f 勋j p 由 ； 。 其孛0 文 也可定义为 孵) = ，l 5 。( 肛) ：蚜( r 4 ) i i 0 都成立。 在经典戆c a l d e v d n z y g m u n d 琏涂申，双藩潞度p 燕一个关犍然 丽，近来研究装孵，没有翡双倍籁设，许彩疆论斑熟藏立，觅文漱1 1 艘j ，溺， 而且不仅是9 ( p ) ，其它空问如t r i e b e l l i z a r k i n 空间及b e s w 空间也被 考虑过，见文献( 5 - 本文中且是r 4 申一个正的r a d o n 测度，满足增长性条体： 芦b ( 聋，1 ) 墨 焉护 对所有的z s 晰( m ) 及l 0 都成立，遗麒岛及n ，是固定的常数，o o ，；对e 8 ，固势与鸯嗣，逸 长是越旧) 驰闭方俸。 下面给出在浏度“下m a r r e y 空间的定义 定义1 - 1 1 令k 1 ，1 q 曼p 1 ，1 1 ，1 p 。，1 g ! o 。，则 i i ( ( 慨矗) 4 ) i 工9 ( 肛) 1 1 1 ，1 口p 1 ，1 口p 。o 及1 r 曼。，则我们得到 地， | i 嵋( k ，p ) 悟d m 咄i l l l 占i 酬嵋( k 肛) 定义1 1 3 ( 参见文【1 】) 对o ，o n ，定义分数次积分算子 l ，( z ) ： 上。 ，( ) z y l 咖( ) 文献 1 1 给出了该算子是工9 ( p ) 到工。( “) 的有界算子， 了它在m o t r e y 空间蝣( ，p ) 上的有界性 定理1 1 3 设1 q 茎p 。，1 t s 1 另外再给出向量值不等式： 推论1 1 1 设1 q 曼p 。， 1 t55 。， = = ；，；= ；1 一署 第8 而 浙江大学硕士学位论文 非齐型m o r r e y 空间中的几种算子的有界性研究 1 rs 。，则 il l l f jl i l l 筇( k ，肛) 临q ， v ，ki ie l 五伊m g ( k ，p ) 定义1 1 4 ( 参见文【1 l 】) ( 1 ) 令o 口 礼，o e 茎1 ，函数k ：r 4 r 。一c 称作是正则度是5 ，阶 为口的分数次核若 k ( 。，) 曼f = 并；一对z y 成立；且 j 。( z ，9 ) 一2 。( z 7 ，口) l sg i j ! 枯 对lz y l 2 l9 7 一z l 成立 ( 2 ) 令1 p 五n ，定义以k 为核的算子： j o ，( z ) ：= k ( z ，) ，( ) 中( ) ( 3 ) 当o o i n e 时，定义修改的分数次积分算子： ，( z ) ：= ( ( 最y ) 一k ( x o ，g ) ) ，白) 中( 9 ) 这里。o r a 是一固定点 ( 4 ) 函数空间工劬( 卢) ，o 卢l ，视为模去常数后的空间，范数由以下给出 p ( z ) i i 一s 嘞u p 带 注 1 ：当o o 一导 5 时， ( 。( z ，y ) 一女。( x o ，) ) ，( ) 咖( 口) 厶一。( | ，| ) 扛) 。 j 冗“ 对卢一n e z 有定义 注 2 ：当e = i 时， k 圳2 万而， 因此我们前面定义的算子l 是该算子的一个特例详细证明参见文1 1 3 至于算子豇，有如下结果： 命题1 1 3 ( 参见文f 1 1 】) 没。是正则度是e 的分数核 是从工9 ( “) 到l i p ( a 一：) 的有界算子即 膏。 z ) 一露。月) 兰c l l 1 1 l ，( 。) z y f “一； 第9 页 浙江大学硕士学位论文 非齐型m o r r e y 空问中的几种算子的有界性研究 y o s h i h k o 将蚝的有界性延拓到m o r r e y 空间 定理1 1 4 令是正则度是的分数核，设1 曼q 曼p o o ，o o 一； e ， 则是从 留( ，p ) 到l i p ( a 一：) 的有界算子即 l k o y ( z ) 一k j ，( ) i c ! l f l m z ( k ，。 lz y i o ； 我们给出如下推论： 推论1 1 2 设k 是正则度是的分数核，1 q p 。，0 一： ， 1 r 。，则 | i ( 五( 。) 一( f ) ) i l f k i c l 五i f | | j w ：( 卢) | | iz y l 。一； 再给出奇异积分算予的有界性 定义1 1 5 ( 参见文【1 】) 设奇异积分算子t 是从l 2 ( 灿) 到l 2 ( p ) 的有界线性 算子，相应地存在( 舻) ( z ，g ) ：。g ) 上的函数k 满足： ( i ) 当z y 时， i k ( 砌) l 曼g f 杀； ( i i ) 当| 。一y i 2 jz z i 且z y 时， l 7 5 1 k ( 。，g ) 一( 2 ，) + i k ( g ，。) 一k ( ，。) 茎g 赫 若，是有界的具有紧支集的p 可测函数，我们有 r t f ( x ) = k ( z ，y ) f ( y ) d p ( y ) ，z 掣s “卿( ，) j r 4 命题1 1 4 ( 见文 4 ) t 是l p ( z ) 上的有界算子，1 p o 。 下面对f c 蜂( “) 来定义t f ，先给出一个引理，见文 1 4 引理1 1 1 对，哪( “) ，及x r 8 ，且izl m ，有 k ( x ，y ) f ( y ) i 咖( 9 ) sc m ；ifi 肘；( p ) | _ j | 口f 2 m ) 定义1 1 6 对f e 鲴( p ) ，我们定义 州办2 l 晚( t ，m ( 卅厶狮 脚，彬( 州砌) ) 第1 0 页 浙江大学硕士学位论文 非齐型m o r r e y 空间中的几种算子的有界性研究 这里，若l 【 r ，则 r z 1 厶( 。) + 耳( $ ，g ) f ( y ) d , a ( y ) o j 9 i 2 m 与m 无关 ( 2 ) 设kr 。，l g p 。，若，三( p ) n 丑留( ，在口( “) 上定义 的玎与孵( p ) 上定义的玎是一致的， 定理1 1 5t 是螂( p ) 到其自身的有界算子，1 q s p 1 ，1 口曼p o o 及1 r 。，则 | | j | 丁再1 7 a 叼( ，p ) l l sc ；m n n l 五| f r m 3 ( k ，p ) | | 最后我们定义( 修改的) 分数极大算子 卵： 聊黼2 8 “9 赤。i ，id t t x c q e a ( , u ) ， “l k v 厂”j 0 其中，上 。( p ) ，0 凸 t t , ，若= 0 ，且鳄= 且靠 该算子的三( “) 有界性在文献 1 1 中已经给出，它的向量值形式在且叼( p ) 中的有界性由以下给出： 定理1 1 6 ( 参见文 1 4 ) 若1 qsp 0 1 ) ，1 r 。，1 p 詈及 i 1 = i 1 一詈，l t 兰s 。及；= ：，我们有 l 】峨办i 孵( b ，圳曼q 。岫，i 乃i i 噼( k ，圳 1 2 结果的证明 在本部分我们将先给出推论1 12 的证明，同时也将给出推论1 1 1 的补 充证明，主要证明方法参考文【1 4 】i 推论1 1 2 设k a 是正则度是e 的分数核，1 q s p ，o q ：n e ， l r o 。，则 i ( ( 。) 耳n ( g ) ) i2 7j c 川五 ，lj 留( “) l | z g | “一； 第1 1 页 塑至兰查兰塑主兰堡篓塞韭壹垩o r 陀l 空间中的几种算子的有界性研究 证明：令z g ，r = lz y 【，由定义及l l i n k o w s k i 不等式 o o ( i = l 。 s ( i = 1 虼丘( z ) 一玩( ) f ) 。( z ，。) 一k ( 口，。) j 工( 。) j 舡( ? ) ) ) ； s 厶( 耶) 咄( 川妻圳伊咖( 。) 匕， + 厶刎圳( 萝肥 向比) +l。舭)一k(玑z)f(l荆n；咖(z)2 ，o 。 日缸，r ) 。 一。 曼e，幽咖(。)jb ( x , 2 n | 2 一oj 。、7 + a 厂掣址型咖( 。) jb ( u 3 nz yi n a ” +cz 一9 】 j b ( z ，2 r ) 。 =i j i i i i i j 】( 。) l f | | z zj n - o - - v咖( 。) 下面考虑，先给出一个重要公式，对9 r 8 ，z z 。掣r 1 础 一。一 l2 一1 。2 ，。 c l 。一y f n 一。 再应用f u b i n i 定理，h s l d e r 不等式和“的增长性条件有： ( 烘撕) 儿( 2 r ) f 。卜o ”7 5 厶n z ”塑詈脚1 圳i i 比) d j = z 2 ；i 上，。、| l 上( 。) 】f i | f a 一，c 4 z ( z ) d f 茎f ”( ! | 工( 。) f r | l a 如( = ) ) p ( b ( 。，c ) ) 寺2 一l d l 茎上厶k _ | 荆川1 4 如( = ) ) p ( b ( z ，c ) ) 扣一1 d 。 第j 0 贾 厶 浙江大学硕士学位论文非齐型m o r r e y 空间中的几种算干的有界性研竞 同样，注意到，r = l 。一口 ，将有 i i c l 。一y | “一i l 五】1 7 | | | a i ；( p ) j j ； 再考虑i i i ： 拦弹襞蜊 厶r ) cl 。一。r “。” 一乞小z 。半l a - l - e i i f , ( 圳懈) d f = z _ ；i 上，。| | 五( z ) l z ”| ll a - e - 1 d “( z ) 棚 s z - 刍( 五，。1 1 五( z ) l 2 7i va u ( = ) ) j p ( b ( z ，1 ) ) 寺f 一1 d 2 s 。( ，五( 。) 【rf 。d u ( 。) ) i 1 1 1 l 1 p ( b 扛，1 ) ) 争f 一，d l s ( 五( 。) 【7f 。z ) ) i p ( b ( z ，1 ) ) 争f 一1 j 2 rj 疗( z ，z ) = c 产一；1 五扩 增( 灿) 0 = c iz y l ”；。| l i i 五 r 曙( p ) m 故i i i 茎cz 一口! 一；t 1 1 1 五垆1 1 1 嵋( p ) l j 证毕 下面在给出推论1 1 1 的补充证明，我们在这里叙述如下： 推论1 1 1 设1 qsp 0 ( 3 ， l t s 。， ；= ；，= i 1 一詈 1 r 。，则 j ii 厶五| ，i i 埘( ，肛) l | 兰c ；，叫，s k | j i i i1 川 镭( ，“) 证明： i l 五( z ) | s 厶( f 五i ) 渖) = g 上。( ：。骂型p 引删蛐) = g z 。i ；上。，。13 d “z 。1 d f 第2 3 页 “ “ 哪i 哪 川曲 ，留， i 珊 i 号 ， 五 ! p i o a p 一 o p 旧 厂，儿西 g 一 一 = 浙江大学硕士学馈诧囊 非齐照m o r r e y 空蠲中的几种嚣乎的有莽牲研究 对不等式两边取f r 范数，利用m i n k o s k i 不等式，有 l 矗点( ) r l l 兰g 施那，僚# ) i d a ( 别引| t 8 - i d l = e ( z + z 。川1 击五五( ”) 咖( 们j j 1 1 7 “) d l = i 七i i 先考虑，盎予测囊苷满足增长性条 譬 再i i j g | 1 如五( z ) i ， ，5 f “一1 d l = g 1 且而五( 茁) f r8s 。 0 g 上( i 击上n i a ( y ) 如( f ) l ，i i 。”1 ) 撒 ! g 曩击l ，懒j d , ( 别“蹿 ， s c ( 1 五( ) 圹1 | 4d ( 目) ) j p ( b ( $ ，z ) ) 争j 。“一1 d l = f s 一 j 五 孵( ) 我靛褒在臻 则有 吲掣拶净一( i。、| | 捣五( 。) ll i 。8 i i 毛五( z ) l ， i c b ”；。； 霉列是| 蘧1 1 。2 ，蔽 l 可襻臻 p ( 2 q ) 一1f ql ir a a ( ) jrt 1 。d p 茎c b 肛( 2 0 ) 一1 9 中 j 0 gl i t 五雕啷国) 旷 证睾。 第j 珂 浙江大学硕士学位论文非齐型m o r r e y 空间中的几种算干的有界性研究 第二章m ? ( 卢) 空间的s h a r p 极大不等式及其应用 2 1 引言，一些辅助结果与定理 这部分是关于非双倍测度下的m c ，r r e y 空间的s h a r p 极大不等式及交 换子的有界性，除了特别指出外，记号同第一章一致 记m 为h a r d y l i t t l e w o o d 极大算予，m e 是s h a r p 极大算子，则s h a r p 极大不等式有一种如下形式： m f j 工9 ( r 。) j 1 冬c0 且直4 ， l 9 ( _ r 4 ) 1 1 ，1 p 1 ( 2 ) 称0 是双倍方体，若p ( 2 q ) 2 d + 1 卢( 0 ) 记a ( u ，2 ) = 0 a ( p ) l0 是 双倍方体 ( 3 ) 对q a ( 卢) ，定义q + = 2 j o q ，其中j o = m i n j o i2 j q a ( 肛，2 ) ) ( 4 ) 称，工 o 。( p ) 是r b m o ( f f ) 中元素，若满足： 心s u p 莉1 五m ) 咖t ( ，脚+ 唧，器m 捌地铲1 。 记这个值为l | f l l t ，其中m 。( ，) = i 南，。，中 浙江大学硕士学位诧变 焘黧i 塑苎! 望窒塑主壁垒登燕熏塑查墨堡望查 对，l b 。( “) ，定义下面两个极大辫子令0 a n ，s h a r p 极大算 子定义为： 然= 附s u p 雨i 五l 内冲“驯酶) 上黜心s u 蹦p 溉型肇詈剑； n 可定义夤： m ) - 哪s u ( p 胪) 赢厶 刖“ 关于这两个辫子，有： ( 1 ) 设，互( 弘) ，剥对芦一8 ，8 $ 舻，舂l ，( ) | 曼n f ( z ) 2 ) 设f 王1 薛) ，若u ( r ) 。，令蠡f d # 一0 ，对1 p o ( 与，无关) 满足： j | ，l 。酽( p ) 1 1 曼a | i m 9 ，il 9 ( 扯) l i 下面贫绍m o r r e # 空闻时 ( m 上鲍旃8 糟摄大不等式的燎主要结果 诺鲴霹参冕文【l 鳟 定理2 1 。1 设1 0 ，满足 f n y i 螂( f 。) 峪c ( 1 l 纠，i 哪( 刚+ ，1 懈( 刚) 注踟：该不等式只耍求，毛。( 越) ，磷媛蚕必考虑u ( n 8 ) 注凌：事实上，蒺予该定理，不等式嚣逾魏蘸个蓬鼗是等徐静。我艇只说孵 右边可谈左边控澍： 蒯，曼g 尬，毋| | m “，i 聊( 圳董钏慨，i m 3 0 0 临g ir ，i 螂( 而由h 6 1 d e r 不等式，显然有 也有如下不等式参见文【1 8 1 定理2 1 2 设宥阿心双倍方体q 1 ，现印b a ( p ，2 ) ，满足 炎 熙志z ，m ) 如( z ) = 。，锈l ，i 孵( ， 蝣) 1 1 一i t m 4 ，| 蝣( 川| 浙江大学硕士学位论文 非齐型m o r r e y 空间中的几种算干的有界性研究 作为定理2 1 1 的推论，有 定理2 1 3 若“( 剧) 0 ，n 茎卢( 2 j q ) 曼c a ，j = o 1 j 则有畅，2 ，q 兰1 + e 函g ，这里g ：= 各2 一一 引理2 1 1 设1 q 兰p 。 ( 2 ) 对所有r ，1 r 名i 咖) _ m 母小) r 圳n 唧心s u 嘶p 埘血与塞划 引理2 1 1 ( 2 ) 的证明：应用p 的增长性条件，f u b i n i 定理及h o l d e r 不等 式， 牿州们 兰厶。、器 一 一k s ( 。掣) | 。yr 。”7 = c ( ，。，。、厂。掣f 。一1 d fij ，( ) fd “( 9 ) r “b ( 2 ，掣) o 2 “ “”7 = g zr ”1 k 叭聊黜i m ) j 咖( ) 栅 s g 心l a - “- i k u m ) j 。舡) j 邶( 删扎j 茎g 丘严一”孔厶f j “们i q d 讲d 2 g i i7 i 哪( 圳乓严。1 峙谢 = a ( q ) 一；f fm ；( “) i i 蹿 厶 浙江大学硕士学位论文 非齐型m o r r e y 空间中的几种算于的有界性研究 命题2 1 1 ( 参见文 3 】) 设a r b m o ( u ) ，l p o o ，t 是带核k 的奇 异积分算子，则 n ，t ，( 办= ：觋丘刊，。( 。( z ) 一。( 州( 。，( 口) 咖( g ) 定义了从l 9 ( p ) 到l p ( p ) 的有界算子 命题2 1 2 ( 参见文献 1 2 j ) 设a r b m o ( “) ，0 o n ，1 p qso o ；1 = i 1 一：则 h - 一叫l i r af 。i ，；拦鸯掣m 川，) 定义了一个从口( p ) 到工4 ( p ) 的有界算y - 下面介绍这些算子在嵋( 卢) 上的结果： 定理2 1 4 设。r b m o ( # ) ，1 q 茎p c o ，t 是带核k 的奇异积分 算子，则 ，扣) 一璺协( 巾) ( 蝴聊，9 ) 舳) 讹) 定义了从 留( p ) 到螂( 肛) 的有界算子 定理2 1 5 设o n b m o ( z ) ，1 q 茎p 0 0 ，1 t s o 。，j 一；一詈 及；= ；，则 h ( 办= 璺l ，。笔等掣m 眦) 定义了一个从m ( p ) 到聊( p ) 的有界算子即 a ，1 0 i l l 埘( “) 临c | i ，i 鳄( “) | | _ 下面我们将给出由l i p 函数与奇异积分算子t 及分数次积分算子l 生 成的交换子在m ? ( p ) 中的有界性结果 定理2 1 6 设参数满足1 口茎p 。，1 t 茎s o o ， 罟= ；， j = i 1 一旦茅，0 a n ，0 711 连续函数b 满足 b ( z ) 一b ( ) l cz y n 则 6 ，l 是从a 留( p ) 到m ? ( m 的有界算子 定理2 1 7 设参数满足1 qsp o g ，l t s 。， ：= ； 浙江大学硕士学位论文 非齐型m o r r e y 空间中的几种算于的有界性研究 i 1 = i 1 一i ，0 1 到 鳄( p ) 的有界算子 注f l j ：对于定理2 1 6 ， 连续函数b 与定理21 6 同，则h 卅是从 叼( p ) 由于f l i p ( 1 ) ，显然有 | b ，k 】，( z ) j 曼c l + ，lf ( x ) i 而我们知道 | i l + 。，ln 霏( p ) is c | i ，l 雩( p ) | | ， 从而 i i b ，l ，i 冒( p ) | | c | | ，l 懈( p ) | | 注【2 对于定理2 1 7 ，由于f l i p ( ，及i 霄( 。，) i 西与f ，显然有 【b ，厶】，( z ) j 茎g lf ( x ) j ， 由的有界性知 b ，q 是从a 留( 肛) 到肘 ( 肛) 的有界算子 我们为了证明定理2 1 5 ( 部分参见 1 8 】) ，需给出下面相关定义及引理 定义2 1 2 ( 见文 6 ) 设0 d 1 ，0 。 n ，n 与p 的增长性条件中的数一致 定理2 1 8 第2 0 页 浙江大学硕士学位论文非齐型m o t * m y 空问中的几种算子的有界性研究 ( 1 ) 1 g p 。，m 尊，1 七，k 是从哪( p ) 到且鳄( p ) 的有界 算子，即 i 叫m ，k ，l 啷( p ) 忙c ( 2 ) 0 a 竹， 1 tss o c ，0 i 1 写( “) 到m ；( p ) 的有界算子- ，l 甥( p ) ；= ，则蝶是从 ( 3 ) 参数与上面( 1 ) ，( 2 ) 一致，则呜是从m ；( p ) 到n 卵( “) 的有界算子， 即 i l 坞，* ，【晖( p ) 临钏，l 嶝( “) 在该部分的最后，我们将给出分数次积分算子，奇异积分算子分别与l i p 函数生成的交换子的向量值不等式 命题2 1 3 设参数满足1 窜曼p o o ，1 s 。，i 1 = i 1 一半及 = i ，0 n ，0 0 ，则我们有 i i b ，l 乃： 冒( 1 7 ) | c 兰g | i 厅： 霉( 1 7 ) 1 i 给出其简单证明：由 l 陋，厶】，( 。) i g l + ，| ，( z ) l ， 从而 l b ，l ：孵( 2 ) l | 兰e1 【厶+ ，i ，j | ： 露( ，) l se ，j | ：m ；( ，) 命题2 1 4 设参数满足1 目p o c ， 1 t s 。，= 五1 一杀及 ；= ：，0 7 茎1 ，设函数b 同定理2 1 6 中函数，则 b ，t ，： 嚣( ? ”) 临gi | 如：m 孑( ，) 2 2 一些结果的证明 下面我们将先给出定理2 18 的证明，然后简单介绍定理21 5 的证明 先证定理2 1 8 ( 1 ) ： 浙江大学硕士学位论文非齐型m o v r e y 空间中的几种算子的有界性研究 证：取定q 。a ( p ) ，令l = 掣，f l = x l ! ；罕，及丘：= ，一f 1 ，则 对9 q o ，我们有 呱。f ( v ) 茎m k ，。，1 ( ) + 慨，。，2 ( g ) 再田朋k m 硼疋义，相 慨砌知) 删s ( 。) u p ，昌 志厶l ， ”哪击 q ， ( o ) 三 等p 、“vjj o 假设y q o ，g q a ( 卢) 及2 ( q ) 等，经简单计算可得q oc2 笋印， 这样 虮m ，2 ( 扪毗s u p q 南。l ，| ”中挣， 则由算子，自在空间三，( p ) 上的有界性( 参见文 3 】) 和以上两式及h 6 l d e r 不等式，我们有 p ( 笔墨挈q 0 ) ；( 龙。( 舻j 茎卢( 笔墨竿。0 ) ( 上。( f 1 ) 嘶n 删 ；( 厅甜埘 洲等驴j ( 上。( 肿n 眦s u p 州# 箭( q o 奶) ；, f f ! ”d , u ) 击 曼g “( 筹矿j ( 名”： 。器肛( 等谚气二i ”蛳 因此我们有 l i 砜j 哪( 筹 1 。p l h j 4j 0 这里如是待定的函数，则 7 2 。( 嚣9 。“k q ) u ( k q )面南。i ，| 中)0 a ( p ) ，且。 p l 月qjj 0 茎面m k f ( z ) 一| | ，【m g ( u ) 俨：( 帆m ) ) ： 其中 再考虑j ， 从而 恐= ( 酱) ， 赢。l ，l 中 赤( 龙i f i q d “) 知( q ) 1 。 r tp l “v ， ” q 这里r 。是待定的函数，则 k 删叫此s u 州p 0 ，应用定理2 ，1 1 ，i a 的有界性 及定理2 1 8 ，我们只需证： 从而归结为证明 a ，i o f i 甜( p ) 怪c ，| 留( 肛) _ | 【。，厶 ，l 竣( “) 怪c | | ，l 啷( “) f i 注：由参数之间的关系知s t 我们证之：对某0 a ( p ) 我们分解，a 留( ，z ) ，令，1 = ) 2 。， ，2 = x ( 2 q ) c ，下面将估计式子 p ( 4 q ) j 一! om ，厶】，( z ) l ”舢( z ) ) ； 依上面函数分解，只要分别估计下面两式即可 及 p ( 4 0 ) j j ( 】h i o a ( z ) f “蛳( ) ) j 0 对于前式的估计，我们应用交换子陋，l 】是空间f 到l “的有界算子 “( 4 q ) 一丢( jf 。，l 】 ( z ) l “d 灿( ) ) 丢 j q p ( 4 0 ) 一j ( n ，厶 ，1 ( z ) | “中( 。) ) j r 4 玉g p ( 4 0 ) ；一；( i ，j 4d p ( z ) ) ； 曼cf if 孵( 肛) 下面估计后式：对。0 l a ，l ，2 ( z ) j 上“。1 1 1 i ：；：。；j f ；! 1 1 叫a “( ，) g ( 上n 。1 2 7 i ；：；! ! i ；! ! ；1 山一“( 。) + 上“。尘! j ；：i ；- 5 ；：! ；丛a “( ，) ) 浙江大学硕士学位论文 非齐型m o r r e y 空间中的几种算于的有界性研完 这里加是q 的中心，上式是因为 z yi zj 。oyi 再由测度卢的增 长性条件和引理211 ( 2 ) 及引理2 1 2 ( 2 ) ，我们有 舭q ) l 气j 乞( j r a 2 q 世岽柴yi 掣 0l “曰一 。一 ( a 卵1 五( 。) - - ? f t q * 洲) t 。矗坚浩圳 sc | o i ，l 鳄( p ) 此时我们证得 l 【h l 】，la 醒悟c j | ，ln 碍( p ) | | - 再由定理2 1 1 以及| i ( 陋，吲，) lm 2 ( u ) l f = i 陋，l ，in 卵( p ) i l ，从而 a ，厶j ， n 零( p ) 怪c _ | ，a 镭( p ) 定理2 1 5 证毕 浙江大学硕士学位论文非齐型m o v r e y 空间中的几种算子的有界性研究 参考文献 1 】n a z a r o v ，f ，t r e i ls ，v o l b e r g ，a ：w e a kt y p ee s t i m a t e sa n dc o t l a xi n e q u a l i t i e s f o rc a l d e r s n z y g m u n do p e r a t o r so nn o n h o m o g e n e o u ss p a c e s ，i n t e r n a t m a t hr e s n o t i c e s ，( 1 9 9 8 ) ，4 6 3 4 8 7 2 】t o l s a ，x ：l i t t l e w o o d p a l e yt h e o r ya n dt h et ( 1 ) t h e o r e mw i t ht o f l d o u b l i n g r f l e a n l r e n a d vm a t h ，1 6 4 ( 2 0 m ) ，5 7 - 1 1 6 3 1t o l s a ，x ：b m o ，h 1 ，a n dc a l d e r d n - z y g m u n do p e