（基础数学专业论文）关于两类完全正则半环的研究.pdf

中文摘要 半环的代数理论是代数学中重要的研究分支本文主要从半群的角度出 发，对加法( 乘法) 半群为正则纯整密群的半环进行了研究，给出了这两类半 环的结构定理和若干性质主要结果如下： 第一章介绍了半环的研究背景和研究现状，对文章中涉及到的相关理论和 知识也做了必要的介绍； 第二章研究了加法半群为正则纯整密群的半环类，从同余的角度给出了这 类半环的次直积分解并进一步讨论了此半环类的一些子类的若干性质和它们 之间的关系，得到了这些子类的h a s s e 图； 第三章研究了乘法半群为正则纯整密群的半环类，给出了半环的加细框架 的定义，同时得到了半环类冗d 召乡中成员是半环类冗9 中一族成员的加细框 架的充分必要条件 关键词 半环，完全正则半环，正则纯整密群，次直积，加细框架 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h es t u d yo ft h et h e o r yo fs e m i r i n g si so n eo ft h ei m p o r t a n tt o p i c si na l g e - b r a i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt w oc l a s s e so fs e m i r i n g sf o rw h i c ht h ea d d i t i v e r e d u c ti sr e g u l a ro r t h o c r y p t o g r o u pa n dt h em u l t i p l i c a t i v er e d u c ti s r e g u l a ro f - t h o c r y p t o g r o u p t h e r ea r et h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r o n e ，t h eb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n ts i t - u a t i o na b o u ts e m i g r o u p sa n ds e m i r i n g sa r ei n t r o d u c e d w h a t 8m o r e ，b a s i cd e f t - n i t i o n sa n dn o t a t i o n sw h i c hw i l lb eu s e di nt h ef o l l o w i n ga l ea l s oi n t r o d u c e d i n c h a p t e rt w o ，t h ec l a s so fs e m i r i n g sf o rw h i c ht h ea d d i t i v er e d u c ti sr e g u l a ro r t h o c r y p t o g r o u pa r es t u d i e d a n di t sd e c o m p o s i t i o no fs u b d i r e c tp r o d u c t sf r o m d i f f e r e n ta n g l e si sg i v e n m o r e o v e r ，t h es u b c l a s so ft h e s es e m i r i n g sa r ec h a r - a c t e r i z e d m e a n w h i l e ，t h er e l a t i o nb e t w e e nt h es u b c l a s so ft h e s es e m i r i n g si s a l s oi n v e s t i g a t e d i nc h a p t e r t h r e e ，t h ec l a s so fs e m i r i n g sf o rw h i c ht h em u l t i p l i c a - t i v er e d u c ti sr e g u l a ro r t h o c r y p t o g r o u pa r es t u d i e d t h ed e f i n i t i o na b o u tr e f i n e d f r a m eo fs e m i r i n g si sa k s og i v e n f u r t h e r ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n a b o u tt h ec l a s so fs e m i r i n g si sg o t k e y w o r d s s e m i r i n g s ，c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i r i n g s ，r e g u l a ro r t h o c r y p t o g r o u p ，s u b d i - r e c tp r o d u c t ，r e f i n e df r a m e 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 、i 、1 学位论文作者签名：盔叁冬地指导教师签名：蕴堑! 皇 加1 口年形月，口日 p 伽年月矽日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其 它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：赵冬朝 硼年砀月如日 西北大学硕士学位论文 1 1引言 第一章绪论 半环代数理论是一门重要的代数学分支，它的研究始于十九世纪末，n - - 十世纪八十年代末，半环的理论已经十分丰富，在其他学科例如：拓扑学、泛 函分析和欧氏几何等数学分支以及物理学、信息与通信领域乃至自然科学与技 术领域都得到了广泛的应用现如今，半环代数理论的研究仍十分活跃，见文 献【1 1 8 】 设s 是一个非空集合若“ 和“，2 ”是s 上的两个二元运算，则 称( s ，2 ) 为( 2 , 2 ) 型代数 半环( s + ，) 是指非空集合s 上装有两个二元运算“+ 刀和“, l q t 的( 2 , 2 ) 型代数，且满足条件： ( 1 ) ( s + ) 和( s ，) 是半群； ( 2 ) 对任意的a ，b ，c s ，有( a + 6 ) c = n c + b c 和c ( a + b ) = + c b 从代数的观点来看，半环可以看作是用分配律联系着的同一非空集合上的 两个半群这两个半群之间有着十分密切的联系，相互影响，相互制约于是， 我们可以借助半群代数理论中的观点及方法来研究半环 在文献【1 9 】中，作者研究了一类加法半群为正规纯整群的半环，给出了此 类半环的一些性质和次直积分解在文献【2 0 】中，作者研究了一类加法半群为 正则纯整密群的半环，给出了此类半环的一些性质，以及加法半群为纯整群的 半环类的关系注意到，正规纯整群也就是正规纯整密群，当然也是正则纯整密 群，于是我们将文献 1 9 】和文献 2 0 的结果进行了推广，研究了加法半群为正 则纯整密群的半环类，从同余的角度给出了这类半环的次直积分解并进一步 讨论了此半环类的子类，同时得到了这些子类的h a s s e 图 半环的结构一直是半环理论中一个非常重要的研究内容近年来，许多专 家学者对半环的结构和相关理论作了深入细致的研究在文献【1 5 】中，赵宪钟 1 第一章绪论 教授给出了( 2 ，2 ) 型代数的坚固构架的定义，从而为我们研究半环的结构提 供了另一种方法文献【2 1 研究了一类乘法半群为正规纯整群的半环给出了 这类半环的一些性质和它的坚固框架结构于是，我们将文献【2 1 】中的研究对 象( 乘法半群为正规纯整群的半环) 进行了推广，讨论了乘法半群为正则纯整密 群的半环的结构，借助。( 2 ，2 ) 型代数的坚固框架”的定义，给出了半环的加 oo 细框架的定义，同时得到了半环类冗p 召9 中成员是半环类7 踞孚中一族成员的 加细框架的充分必要条件 1 2 预备知识 设s 是半群若存在1 s 使得 ( v s s ) 1 s = s 1 = s ， 则称1 为s 的单位元独异点( m o n o i d ) 是含有单位元的半群容易证明半群 至多有一个单位元若s 不含单位元，则可以在s 中添加元素1 ( 1 不属于s ) ， 同时定义运算如下： ( v s s ) l s = s 1 = s ，1 1 = 1 ， 则su 1 是含有单位元1 的半群 定义1 1 ：1 2 2 】设s 是半群若对任意的a ，b s ，a b = b a ，则称s 为交换半群 若对于任意的a s ，a a = n ，则称s 为带交换的带称为半格 定义1 2 ：【2 2 】设s 是非空集合，p 是s 上的二元关系 ( 1 ) 若对任意的s s ，都有s p s ，则称p 具有反身性； ( 2 ) 若对任意的s ，t ss p t 令t p s ，则称p 具有对称性：若s p t ，t p s 号s = t 则称p 具有反对称性； ( 3 ) 若对任意的s ，t ，札s ，s p t ，t p u 净s p u ，则称p 具有传递性 2 西北大学硕士学位论文 定义1 3 ： 2 2 】设y 是非空集合，p 是y 上的二元关系若p 具有反身性、对 称性和传递性，则称p 是y 上的等价关系若p 具有反身性、反对称性和传 递性，则称p 是y 上的偏序关系设p 是半群s 上的等价关系若对任意 的8 ，t ss p t 净a s p a t ，s a p t a ，其中口为s 中的任意元素，则称p 是半群s 上 的同余设p 是半环( s + ，) 上的等价关系若p 既是s 的加法半群( s + ) 上的同余，又是s 的乘法半群( s - ) 上的同余，则称p 为半环s 上的同余 下面给出半群上g r e e n 关系的定义 设s 是半群，a ，b s 定义s 上的二元关系如下： ( a ，b ) c 兮s 1 a = s 1 b ， ( a ，b ) 冗营a s l = b s l ， ( d ，b ) 了兮s 1 a s l = s 1 b s l ， 7 - l = ca 冗 d=cv 冗 则称( 冗) 为s 上的g r e e n ( 冗) - 关系；称咒( d ) 为s 上的g r e e n 咒( d ) 一关 系；称歹为s 上的g r e e n ：r - 关系我们用口，心，尻，? - a ，玩分别表示s 上 包含a 的，冗，歹，冗，d 类 半环的乘法半群和加法半群上的g r e e n 关系各不相同，我们这样定义半 环上的g r e e n 关系：设( s + ，) 是半环用之( 壳) 表示半环s 的加法半群上 的g r e e nc ( 冗) - 关系，用c ( 冗) 表示半环s 的乘法半群上的g r e e n ( 冗) 一关 系；同样，用壳( 去) 表示半环s 的加法半群上的g r e e n 咒( 秒) 关系，用a ( 易) 表示s 的乘法半群上的g r e e n 咒( 口) 一关系 我们也知道，在半群代数理论中有如下结论 引理1 1 ：( 2 2 1 ) 若s 是半群，则下列命题成立： ( 1 ) ( a ，b s ) a 1 2 b 营( j z ，可s 1 ) z 口= b ，y b = n ； ( 2 ) ( a ，6 b ) a n b ( j 2 ，可s 1 ) 口z = b ，b y = 口； 3 第章绪论 ( 3 ) ( a ，b s ) a f f b 营( j z ，y ，钍，口s 1 ) x a y = b ，u b v = 口； ( 4 ) 是s 上的右同余，冗是s 上的左同余； ( 5 ) d = o 冗= 冗o = c v 冗 设k 是非空的乒型代数集合若k 具有如下性质： ( 1 ) 如果s 属于k ，t 是s 的子代数，那么t 也属于k ； ( 2 ) 如果s 属于k ，t 是s 的同态像，那么t 也属于k ； ( 3 ) 如果最属于k ，其中i 属于，那么直积兀 & it ，) 也属于k ， 则称为乒型代数簇 半群代数领域的重要研究对象之一是正则半群设半群( s ) 若对任意 的a s ，存在z s 使得 a 。a x a ， 则称a 为s 上的正则元若半群s 的每个元素都是正则的，则称s 为正则半 群 在正则半群中有两类非常重要的半群，它们是完全正则半群和逆半群 在文献 2 4 】中，c l i f f o r da h 在1 9 4 1 年第一次提出了完全正则半群的概念 设s 是半群若s 的每个元素都属于s 的某个极大子群，则称s 为完全正 则半群设( s ) 是半群若对任意的a ，b s ，有( a - 1 ) - 1 = a ，a a _ 1 a = a ， a a l b b 一1 = b b 一1 a a 一，则称s 为逆半群 引理1 2 ：( 2 5 】定理i i 1 4 ) 若s 是半群则下列命题等价： ( 1 ) s 是完全正则半群； ( 2 ) s 的每一个似类是s 的子群； ( 3 ) s 是群并半群； ( 4 ) 对任意的a s ，a a s a 2 ； ( 5 ) s 是完全单半群的半格 有时候我们也称完全正则半群为群并半群，记作：s = u e e ( 鄙他其 中( v e e ( s ) ) 冗。为群 4 西北大学硕士学位论文 引理1 3 ：( 【2 5 】) 若s 是完全正则半群，则d 为s 上最小的半格同余 由文献【2 2 】知，s 的每一个d 类是完全单半群，从而可得到如下引理： 引理1 4 ：( 2 2 】定理4 1 3 ) 完全正则半群是完全单半群的半格 纯整群和密群是完全正则半群中最重要的两类半群下面分别给出这两类 半群的定义设s 是完全正则半群若s 的幂等元集合e ( s ) 是s 的子半群， 则称s 为纯整半群纯整的完全正则半群称为纯整群( o r t h o g r o u p ) 设s 是 纯整群，c 是某个带类若e ( s ) c ，则称s 为c 纯整群设s 为完全正则 半群若s 上的g r e e n 似关系为s 上的同余，则称s 为密群( c r y p t o g r o u p ) 设s 是密群，c 是某个带类若纠7 - c ，则称s 为c 密群 若s 是完全正则半群，对任意的a s ，则用a o 表示包含a 的群( ，) 的恒等元，口- 1 表示群( 咒d ，- ) 中a 的逆元由文献【2 5 】可以得到完全正则半 群的全体形成一个簇用c 冗表示完全正则半群簇，即 c 冗= 【口= a a - 1 口，凸= ( a - 1 ) ，a c t - l = n _ l n 许多学者对完全正则半群簇进行了刻划，例如：【2 6 - 2 9 】等为了方便起见，给 出在本文中用到的一些完全正则半群子簇的记号及它们满足的恒等式，文章中 没有给出的记号可参阅文献【2 5 】： 群簇 左( 右) 群簇 矩形群簇 c l i 助r d 半群簇 左正规纯整群簇 右正规纯整群簇 正规纯整群簇 左拟正规纯整密群簇 右拟正规纯整密群簇 a 0 = b o a = a x o ( 口= z o n ) a 0 = a o x o a 0 a x 0 = x o a a x y o = a y o x y o x a = x y o n a x y o a = a y o x a 口( z 箩) o = 凹o a o y o ( 妒) o a = y o a o 。o 口 5 9 9 ( 冗9 ) 冗9 s g z , n o 删0 0 n 8 9 c q n o b g r 叫0 8 g 第一章绪论 正则纯整密群簇 左正则纯整群簇 右正则纯整群簇 密群簇 纯正群簇 纯正密群簇 q ( z 可) o a = a x o a o y o a a x = a x a 0 z o = a o x a ( a b ) o = ( a o b 0 ) o ( 口0 6 0 ) o = a o b o ( a b ) o = a o b o 冗o b g 冗p 7 已冗p 8 9 p p 召鸟 显然，带也是完全正则半群对带的研究有利于我们更好的研究半群代数 领域，许多作者分别研究了带的结构和分类例如文献【3 0 - 3 1 】等为了方便起 见，给出在本文中常用到的一些带簇的记号及它们满足的恒等式，文章中没有 给出的记号可参阅文献 2 5 - 平凡簇 左( 右) 零带簇 半格簇 矩形带簇 左( 右) 正规带簇 正规带簇 左( 右) 正则带簇 左( 右) 拟正规带簇 正则带簇 带簇 z 2 暑， m y = x ( x y = y ) x y = y x a = a t a a x y = a y x ( y x a = x y a ) a x y a2a y x a a x = a x a ( x a = a x a ) a x y = a x a y ( y x a = y a x a ) a x y a2a x a y a z z = z 7 z z ( u z ) s 冗召 z n b ( n a f s ) n b z ，n b ( t c n b ) q 厂尽( 冗q 厂召) 冗召 8 设y 是任意给定的半群类用痧( y ) 表示加( 乘) 法半群属于y 的半环的 i 全体例如，舢夕表示乘法半群为正规纯整群的半环全体，瓮b 表示加法 半群为矩形带的半环全体若v ，w 是半群类，则用vvw 表示包含y 和w 的最小的半群类 下面给出完全正则半环的定义 6 西北大学硕士学位论文 设( s ，+ ，) 是半环若s 中的加法半群( s ，+ ) 为完全正则半群，则 称( s ，+ ，) 为a 一完全正则半环若s 中的乘法半群( s ，) 为完全正则半群， 则称( s + ，) 为m 一完全正则半环 对半群来说，可以从结构的角度出发，对其进行从“粗糙”到“精确”的 描述：半群的半格_ 半群的加细半格一半群的强半格_ 半群的坚固半格， 半群的加细半格的概念首先是由z h a n gl ，s h u mk p 和z h a n gr h 在【3 2 】 中开始提出的它是半群强半格概念的一个自然推广对于半环，在文献【1 5 】 中，作者将半群理论中的半群的坚固半格和半环理论中的环的分配格进行了推 广，引入了( 2 ，2 ) 型代数的坚固框架的概念和理论 本文未交待的有关半群和泛代数的概念，请参阅文献f 2 2 】，【2 5 】， 3 3 】和【3 4 】 7 第二章加法半群为正则纯整密群的半环 第二章加法半群为正则纯整密群的半环 文献【1 9 1 研究了一类加法半群为正规纯整群的半环注意到，正规纯整群 也就是正规纯整密群，当然也是正则纯整密群于是，我们考虑这样的问题： 把文献【1 9 】中的加法半群换成正则纯整密群的话，结果会怎么样呢? 文献【2 0 】 研究了加法半群为正则纯整密群的半环的一些性质，以及加法半群为纯整群的 半环类的关系本文第二章将文献 1 9 】和文献【2 0 】的结果进行了推广，研究了 加法半群为正则纯整密群的半环类，从同余的角度给出了这类半环的次直积分 解并进一步讨论了此半环类的子类，同时得到了这些子类的h a s s e 图 2 1 加法半群为正则纯整群的半环 设( s + ，) 为半环对任意的a s ，若a + a = a ，则称a 为s 的加法幂 等元若a + a = a ，则称a 为s 的乘法幂等元在本章中，我们用e ( s ) 表示 半环s 中的加法幂等元 若s 的幂等元集合e ( s ) 是s 的子半群，则称s 为纯整半群纯整的完全 正则半群称为纯整群特别地，设s 是纯整群，当e ( s 1 是矩形带时，则称s 为矩形群；当e ( s ) 是正则( 左正则，右正则，左拟正规，右拟正规，正规) 带 时，则称s 为正则( 左正则，右正则，左拟正规，右拟正规，正规) 纯整群 设s 为完全正则半群，若咒为s 上的同余，则称s 为密群特别地，如 果酬何是正则( 左正则，右正则，左拟正规，右拟正规) 带，则称s 为正 则( 左正则，右正则，左拟正规，右拟正规) 密群纯整的密群叫做纯整密群 由文献【3 5 知，若s 为纯整密群，瓦是某个带类，则纠冗是瓦- 带当且仅 当e ( s ) 是忌带于是可以得到，若s 既是忌纯整群又是肛密群，则s 是忌纯整密群 8 西北大学硕士学位论文 设( s ，+ ) 为半群，若对任意的a ，b s ，有a + b = a ( a + b = 6 ) ，则称s 为左( 右) 零半群若正则半群( s + ) 的幂等元集合e ( s ) 是左( 右) 零半 群，则称s 为左( 右) 群对本文中所涉及的半群类，延用文献 2 5 】中的记 法例如，c 冗表示完全正则半群类，c 表示c l i f f o r d 半群类等 设y 为任意给定的半群类，用移( 1 ) 表示加( 乘) 法半群属于y 的半环 的全体。例如：冗d 召g 表示加法半群为正则纯整密群的半环类设s 是任 意给定的半环，用去( 移) 表示s 的加( 乘) 法半群上的g r e e n ：d - 关系对于 其他的g r e e n - 关系，具有类似的记法对本节中未出现的概念及记法参看文 献 3 7 1 下面我们介绍次直积的概念 定义2 1 ： 1 8 】设 & ) 诞j r 是一族指标集为，的同型半环，若半环s 满足下面 的条件： ( 1 ) s 是 s d i 1 的直积兀i e i s 的子半环； ( 2 ) 对于每一个i i ，n i ( s ) = s ，其中n i 表示第i 个坐标的投影映射； 则称s 为半环 & ) i ，的次直积 引理2 1 ：【2 5 】设( s + ，- ) 是半环若加法半群( s + ) 是加法群的并，则( s + ) 就是所有最大加法群的并，且任意两个加法群的乘积必包含在第三个加法群 中 引理2 2 ：( 2 5 】定理i i 8 1 ) 若s c 冗，则下列命题等价： ( 1 ) s 是密群，即s 8 夕； ( 2 ) s 是群带； ( 3 ) ( v a ，b s ) a 2 b s = a b s ，s n 6 2 = s a b ； ( 4 ) s 满足恒等式( 0 6 ) o = ( o o b 0 ) o 引理2 3 ：( 【2 5 】引理i 5 7 ) 设 儿) 口a 是半群s 上的一族同余，且n a ap c , = ( 恒等关系) ，那么s 是半群s o q ( 口a ) 的次直积 9 第二章加法半群为正则纯整密群的半环 下面，我们给出加法半群为正则纯整群的半环类的一些性质首先给 出6 中半环的一些性质 引理2 4 ：【1 9 】设s 6 ，则对任意的口，b s ，下列命题成立； ( 1 ) 元是s 的乘法半群( s - ) 上的同余； ( 2 ) a 。b = a b 。= ( a b ) 。供中a 。表示a 所在爿类中的幂等元少 设s 为半环，a s ，若a + a = a ( a a = 口) ，则称a 是j s 的加( 乘) 法幂 等元需要指出的是，下文出现的e ( s ) 均指半环s 的加法幂等元集合 设( s + ) 为纯整群，在s 上定义二元关系y 为： ( c a ，b s ) a y b 错a = a 。+ b + a 。，b = b 。+ a4 - b o 由文献【2 5 】命题i i 5 6 知，y 是纯整群s 上的最小的c l i f f o r d 半群同余，且 为幂等纯的( 即若a s , e e ( s ) ，且a p e ，则a e ( s ) ) ，同时满足d = 咒y 从而可得： 引理2 5 ：【2 5 若s 古，则y 是半环s 上的最小吉同余，即s y 是加法半 群为c l i f f o r d 半群的半环 设( s + ) 为正则纯整群，我们知道，v a ，b s 可以在s 上定义二元关 系p ，p + 如下： a p b 铮a = a o + b ，b = b o + 口；a p + b 错a = b + n o ，b = n 4 - b o 此时p ( p + ) 是s 上最小的右( 左) 正则纯整群同余，即s p ( s p ) 冗冗p ( l n o ) 并且我们有p = yn ( p 幸= yn 冗) ，其中y 是s 上最大 的幂等纯同余由定义可知，pn 矿= y ncn 冗= y n 冗= ，pn7 l f = e ，以 及矿n 7 - l = 由文献【2 0 】知，若s 冗4 p - ，则p ( 矿) 是s 上最小的死冗4 - 。( 冗4 - d ) 同余 即( s p ，4 - ，) 冗冗d ，( s p + ，4 - ，) c 冗p ，而pnp + ；yn 氕= s 所以得到下 面的引理： 1 0 西北大学硕士学位论文 引理2 6 ：( 【2 0 】定理3 1 8 ) 设s 南，则s 是c 壳。和冗壳d 中半环的次直 积 引理2 7 ：( 2 0 1 推论3 1 9 ) 死4 d - ：c 冗4 - 。v 死壳d 下面，我们将给出关于加法半群为正则纯整群的半环类的一个命题 命题2 1 ：设s 7 南，则 ( v a ，b ，c s ) ( a + 6 ) o + ( b + n ) 。+ ( a + 6 ) 。= ( a + 6 ) 。 证明：由假设知( s + ) 是正则纯整群，故由文献 2 9 】知，s 是矩形群& 的半 格于是对任意的a ，b s ，存在理，p y 使得a & ，b 昂，于是a + b ，b + a & + 卢，即( n + 6 ) 去( 6 + 口) 限制在e ( s ) 上，则有( 口+ 6 ) 。去( 6 + 口) 。，而每一 个去一类限制在e ( s ) 上是矩形带，所以( a + 6 ) 。+ ( 6 + n ) 。+ ( 。+ 6 ) 。：( n + 6 ) 。 2 2 加法半群为正则纯整密群的半环 本节研究了加法半群为正则纯整密群的半环类，从同余的角度给出了这类 半环的次直积分解并进一步讨论了这类半环的一些子类，同时得到了这些子 类的h a s s e 图 我们首先讨论加法半群为正则纯整密群的半环类的性质和次直积分解 命题2 2 ：设s 冗南9 ，则去是s 上的玉同余 证明：f h 文献【2 5 命题i i 5 6 知，裔y = 五，由引理2 5 知，y 是s 上的半 环同余，我们又可以得到壳是s 上的硅& 同余，故去也为s 上的半环同 j4 余。又因为s 的加法半群( s + ) 为正则纯整密群，于是五是s 上的g d 同余 _ l 命题2 3 ：设se 冗o b g ，则p ( 矿) 是s 上冗冗p i 召9 一同余( c 冗0 i 召9 一同余) 证明：已知j d ( 矿) 是s 上的冗竟p 一同余( c 竟d - 同余) 只需证 明，p ( 矿) 是半群( s + ) 上的右( 左) , - f 贝u 纯整密群同余即证( s p ，4 - ) 1 1 第二章加法半群为正则纯整密群的半环 n 冗o b g ( ( s p + ，+ ) c o b g ) 根据簇对同态项封闭可得，( s p ，+ ) ( ( 纠矿，+ ) ) 是密群，于是( s p ，+ ) 冗钇d 8 9 ，( s p + ，+ ) c 冗d 层鸟。即p ( p + ) 是s 上冗r d 层9 同余( o b g 同余) 4工+ 命题2 4 ：设s 冗d 召9 ，则p ( p ) 是s 上冗q s o b g n 余( c q 厂o b 夕一同 余) 证明：由命题2 8 知，p ( 矿) 是s 上冗冗o ib 乡一同余( c 冗勿召争同余) 只需 证明p p + ) 是( s + ) 上的右( 左) 拟正规纯整密群同余即证( s p ，+ ) 冗q p 召乡( ( s p + ，+ ) q o b q ) 因为( s p ，+ ) 舰p ( ( s p ，+ ) c 冗p ) ，又因为s 7 已o i 召夕，根据簇对同态项封闭可得，( s p ，+ ) ( ( s p + ，+ ) ) 冗。召乡由文献【2 5 】引理v 5 4 ，要证( s p + ，+ ) c b g ，只需 是( s p + ，+ ) 上的右正规带同余又由文献 2 5 】引理v 3 1 知，c 是( s p ，+ ) 上的半格同余即( v ( a p + ) ，( 幼。) ，( c p ) e ( s p ) ) ( a p + ) + ( 劬+ ) ( b p 。) + ( a p + ) 于是可得( a p 4 ) + ( b p + ) + ( 印+ ) c ( 的+ ) + ( a p ) + ( 矿) 即c 是( s p + ，+ ) 上的右 正规带同余对偶地可证( s p ，+ ) 冗q v d b 乡 定理2 1 ：设s 冗0 i 召夕，则下列命题成立： ( 1 ) ( v a ，b ，c s ) ( n + 6 ) 。+ ( b + 口) 。+ ( a + 6 ) 。= ( n + 6 ) 。； + ( 2 ) s 7 i z 乡os t = s c 冗i ( | pe c o n ( s ) ) 剐p s z ，( 、汔s ) a p 7 2 名9 ) ，称死童乡os z 为雕g 和s 2 的ma _ i c e v 积； ( 3 ) s 是一些子半环的无交并，这些子半环是7 髓乡中成员； ( 4 ) s 是冗乡和亡中半环的次直积： ( 5 ) s 是冗d 召够和7 已冗p b 9 中半环的次直积； 上+ ( 6 ) s 是吖。召乡和冗q v p b 9 中半环的次直积； + ( 7 ) s 是冗冗p 召乡和7 已e b 中半环的次直积； ( 8 ) s 是冗o b q 和冗召中半环的次直积 证明：( 1 ) 由命题2 2 可直接得到； ( 2 ) 由命题2 3 知，刍是s 上的玉同余。而每一个长类是硅g 中成 1 2 两北大学硕士学位论文 员，所以s 矗乡。壶； ( 3 ) 因为去是s 上的玉同余，则由结论2 可直接得出； ( 4 ) 因为咒是s 上的死色b 一同余即( s 咒，+ ，) 7 姑8 ，而ynn = e 所 以s 是7 菇召和古中半环的次直积。 ( 5 ) 因为j d ( 矿) 是s 上最小的7 己南召9 ( c 冗为召乡) 一同余 即( s p ，+ ，) 冗冗o b 多，( s p ，4 - ，) b o b o ，而pn 矿= y n 冗= e 所以s 是冗刍召9 和冗7 南b 乡中半环的次直积 ( 6 ) 与结论( 4 ) 类似； ( 7 ) 因为p ( 矿) 是s 上的冗而召g 同余( 冗易召乡同余) ，又由于j d n 壳 ：e ，于是s 是冗而召g 和硅召中半环的次直积； ( 8 ) 由于矿n 壳：，于是s 是c 冗右b 9 和7 菇b 中半环的次直积 + 推论2 1 ：冗0 召9 = c 冗d b gv 冗冗p b 多 证明：由定理2 1 ( 5 ) 知，冗击乡冗刍召9v 冗7 南召9 又由文 献【2 5 】引理v 5 2 知，c 冗o s g z o b q ，于是c 冗o s gc _ 冗o b g ，同 理冗茹召9 s 冗玉9 ，故冗刍召9v 冗南b 9 冬死南夕，从而冗南夕：c 冗6 8 9 + v 冗冗0 b 夕 推论2 2 ：冗南乡：c q ：6 8 乡v 冗q 力p b g 下面我们给出冗玉9 的一些特殊子类q 扔召夕( 冗d d b 9 ) ，c 冗刍召夕 ( 冗茹b q ) ，曲p ( 对p ) ，矗乡的一些性质与特征 首先类似于以上命题的证明，我们给出c q 帕b 乡( 兄甜p 召g ) 中半环 的一蝼特征 命题2 5 ：设s c 甜o s g ( 冗甜p 召9 ) ，则下列命题成立： ( 1 ) 壳为s 上的d v 吕同余( 冗d v & 同余) ； ( 2 ) 去为s 上的茈同余 1 3 第二章加法半群为正则纯整密群的半环 证明：( 1 ) 若se l q z c o s 多( 冗酣o b g ) ，由文献【2 5 】知，血是s 的加 法半群( s + ) 上的同余，从而只需证明裔是乘法半群( s ，) 上的同余对 任意的a ，b s ，设ahb ，即n 。= b o ，又因为o = c b 。，由引理2 4 11 知c a 。= ( ) 。，c b 。= ( 西) 。，则( c o ) 。= ( c 功。，即c a 充c b 同理可证a c 充b c 于 是元是s 上的半环同余又由文献 2 5 】知充是( s + ) 上的左( 右) 拟正规带 j - 牟+ 同余，所以壳是s 上的q 讥酤同余( 冗p _ n s - 同余) ( 2 ) 证明过程类似于命题2 3 引理2 8 ：设s 7 已o b g ，则对任意的a sa e ( s ) # 净a p e ( 纠p ) 证明：必要性对任意的珏e ( s ) ，有n + a = n ，由上文知，p 为s 上的同余， 则n p + a p = ( n + o ) j d = a p ，所以a p e ( 酬p ) 充分性对任意的a p e ( 酬p ) ，有a p + a p = a p ，又由印+ a p = ( 口+ n ) 岛 则( a + 凸) p = a p ，即( a + a ) p a 根据p 的定义及文献【2 5 】中的定理j j 8 5 得， a + a = ( a + 口) 。+ a = a 。+ a 。+ a = a 于是a e ( s ) 命题2 6 ：设s c q 庇召夕，则p ( 矿) 是s 上n 庇9 同余( c 冗刍召乡同余) 证明：首先证明p 为( s + ) 上的舢9 一同余，即( s p ，4 - ) 为正规纯整群由上 文，( s p ，+ ) 为右正则纯整群，即e ( s p ) 是右正则带，( 即x p + a p + x p = 印+ z p ) 则只需证明e ( s p ) 是正规带即( v a p ，x p ，y p 日( 纠p ) ) a p + x p + y p + a p = a p + y p + x p + a p 因为( s ，+ ) 是左拟正规纯整密群，则e ( s ) 是左拟正规带， 即a x y = a x a y 于是，n p + z p + 掣p + a p = a p + ( x p + y p ) + a p = a p + y p + x p + y p + a p( 由e ( s p ) 是右正则带) ； = ( a + ! ，+ z + 可+ n ) p = 【a + y + ( z + 可+ a ) l p = ( a + y + z + y + z + a ) p( 由e ( s ) 是左拟正规带) ： = f a + ! ，+ ( z + 暑，+ x ) + 司p 】4 西北大学硕士学位论文 = ( 口+ 可+ 可+ z + a ) p ( 由引理2 6 ) = q i pj 广譬p + p + a p 于是e ( s p ) 是正规带，即p 为( s ，+ ) 上的p 厂b 9 一同余 下面证明p + 为( s + ) 上的? c o b g 一同余，即( s p ，+ ) 为左正则纯整密群 因为( s + ) 也是正则纯整密群，由命题2 4 的证明可知( s i p + ，+ ) 死d 召9 ，又 由上文知( s p + ，+ ) i z 0 所以由文献【2 5 1 知，( s p 4 ，十) 冗o b g n o = r 冗o b g 于是矿为( s + ) 上的冗o b g - 同余又由上文知，p ( p 奉) 是s 上 的半环同余，综上所述，p ( 矿) 是s 上c w 8 夕- 同余( c 冗移召9 - 同余) 类似地，可得， 命题2 7 ：设s 冗q 扔b 9 ，则j d ( 矿) 是s 上冗而b 夕同余( 。庇9 同余) 于是，类似于定理2 1 的证明，我们有下面的定理， 定理2 2 ：设s c 旦d b 9 ( 冗盆时p b 9 ) ，则下列命题成立： ( 1 ) s 是c 冗易召9 ( 冗南召夕) 和n 如9 中半环的次直积； ( 2 ) s 是c 如( 冗已施) 和古中半环的次直积； ( 3 ) s 是耐8 9 ( 冗而b 9 ) 和c d 枷( 冗d 施) 中半环的次直积； ( 4 ) s 是c 冗右召乡( d 庇9 ) 和d 枷( 冗d 眦) 中半环的次直积 推论2 3 ：q a 扔召9 ：c 冗右召夕vp _ 冶9 推论2 4 ：冗甜。b g ：尼南b gv 。召9 下面我们给出c 冗p t 召9 ( 冗冗匆b g ) 中半环的一些性质与特征 命题2 8 ：设s c 冗6 8 乡( 冗冗匆召9 ) ，则下列命题成立： ( 1 ) 壳为s 上的c 壳b 同余( 冗秃b 同余) ； ( 2 ) 五为s 上的g 乒同余 命题2 9 ：设s c 冗o i - 召9 ( 冗冗t d 8 9 ) ，则p 是s 上最小的右正则纯整群同 余，矿是s 上最小的左正则纯整群同余，即s p 冗冗p ( 冗p ) ，s p * 舰p ( c 冗p ) 1 5 第二章加法半群为正则纯整密群的半环 定理2 3 ：设s c 冗p 尽9 ( 冗冗移召9 ) ，则下列命题成立： ( 1 ) s 是c 冗b ( 冗冗召) 和亡中半环的次直积； ( 2 ) s 是7 己冗。和c 冗b ( 冗冗层) 中半环的次直积； ( 3 ) s 是c 冗d 和冗召( 冗冗唇) 中半环的次直积 证明：( 1 ) 若s 冗p 4 - 召9 ( 冗南召乡) ，则壳是s 上的c 壳& 同余( 冗茏胁同 余) ，而yn 壳= 所以s 是壳召( 冗秃召) 和古中半环的次直积； ( 2 ) 因为p ( 矿) 是s 上最小的右( 左) 正则纯整群同余，而p n 咒- i - = ，于 是s 是冗壳p 和c 壳8 ( 冗壳召) 中半环的次直积； ( 3 ) 因为矿n 壳：e ，于是s 是c 志p 和c 壳召( 冗壳b ) 中半环的次直积 利用本文的结论仍然可以得到类似于文献【1 9 】中关于c i 尽9 中半环的一 些性质与特征从而推广了文献【1 9 】中的相关结论 命题2 1 0 ：f 1 9 】设se o x r b q ，则下列命题成立： ( 1 ) 充为s 上的人协周余； ( 2 ) 方为s 上的g 肛同余 设( s + ) 为正规纯整群若s 是矩形群& 的坚固半格，可在s 上定义 二元关系入如下： ( v a ，b s ) a a b 甘a o + b o = 6 0 + 扩 则由文【2 5 】知，a 是s 上的矩形带同余，且and = 咒 命题2 i i ：【1 9 】设se o n b g ，则下列命题成立： ( 1 ) p ( 矿) 为s 上曲d 同余( 蔚p 同余) ( 2 ) 若s 的加法半群为矩形群的坚固半格，则a 为s 上的志肛同余 下面给出咖9 中半环的次直积分解 定理2 4 ：【1 9 】设s o x r b g ，则下列命题成立： ( 1 ) ( v a ，b ，c s ) ( a + 6 ) 。+ ( b + 口) 。+ ( a + 6 ) 。= ( n + 6 ) 。； 】6 西北大学硕士学位论文 ( 2 ) s 是一些子半环的无交并，这些子半环为7 菇乡中成员； ( 3 ) s z 老9 。壶：【s c 冗i ( 习pe c 。n ( s ) ) s p 壶，( v n s ) 口p 乏9 ，称7 菇g 。壶为矗9 和壶的m a l c e v 积； ( 4 ) s 是庇和古中半环的次直积； ( 5 ) s 是曲。和曲。中半环的次直积； ( 6 ) s 是砌，冗j 治和古中半环的次直积； ( 7 ) 若s 的加法半群是矩形群的坚固半格，则s 是玉，壶和古中半环 的次直积 下面给出西p ( 冗扔) 中半环的一些性质与特征 命题2 1 2 ：设s 西p ( 曲d ) ，则下列命题成立： ( 1 ) 壳为s 上的矗b 同余( 冗琵艮同余)