（基础数学专业论文）置换群（psl（3p）psl（27））的次轨道结构.pdf

摘要 设群g 是有限集合q 上的传递置换群，对任意o n 。令g 0 = 9 g l 舻= d ) 是g 关于点n 的稳定子群我们称g 二在n 上作用的轨道为g 关于。的次轨道， 而次轨道的个数称为g 的秩对任一次轨道，设一e a ，则把o ，1 所在的次轨 道称为与配对的次轨道当二者重合时。称其为自配对的 决定个置换群的次轨道结构是置换群理论的基本问题之一，它在组合结构的 研究中有着重要的应用在文【2 l 】中，作者决定了p s l ( 3 ，p ) 关于极大子群p s l ( 2 ，7 ) 的本原置换表示的次轨道，其中pi1 ( m o d1 6 8 ) ，但未研究其次轨道的配对情况 而在多效情况下，群在组合结构方面的应用要求决定次轨道的配对情况本文将决 定该置换表示的全体非正则自配对的欢轨道 关键词t线性群，次轨道，自配对次轨道，秩 a b s t r a c t l e tgb eat r a n s i t i v ep e r m u t a t i o ng r o u pa c t i n go i laf i n i t es e tn f o ra n yo q ， 瓯竺 g g la a 尝口 i s t h ep o i n ts t a b i l i z e ro f 口t h eo r b i t so f g ao n n a r e c a l l e dt h es u b o r b i t so fgr e l a t i v et o 口t h en u m b e ro fs u b o r b r si sc a l l e dt h er a n k o f g f o re a c hs u b o r h i t i t sp a i r e ds u b e r b i ti sd e 丘n e db ya + = 扩1id f i n a l l y , ai ss a i dt ob es e l f - p a i r e di f = a t h ed e t e r m i n a t i o no ft h es u b o r b i t so f8p e r m u t a t i o ng r o u pi so n eo fb a s i cp r o b - l e m si nt h ep e r m u t a t i o ng r o u pt h e o r y i tp l a y sa l li m p o r t a n tm l ei nt h es t u d yo f c o m b i n a t o r i a ls t r u c t u r e s i n 田| ，t a nd e t e r m i n e dt h es u h e r b i t so ft h ep r i m i t i v e p e r m u t a t i o nr e p r e s e n t a t i o no ft h es i m p l eg r o u p sp s l ( 3 ，p ) r e l a t i v et oi t sm a x i m a l s u b g r o u p sp s l ( 2 ，7 ) f o rpjl ( m o d1 6 8 ) ，b u th ed i dn o td e a lw i t ht h ep a i r e ds u b o r - b i t so ft h e s es u b o r b i t s h o w e v e r ，i nm e e tc a s e 8 ，f o rt h ea p p l i c a t i o no fp e r m u t a t i o n g r o u p so n 如ec o m b i n a t o r i a ls t r n e t n r e s w es h e u mk o n wt h ep a i r e da n dn o n p a i r e d s u b o r b i t so ft h ep e r m u t a t i o ng r o u p s t h e r e f o r e ，i nt h i st h e s i s ，b a s e do rt a n s r e s u l t s w es h a d e t e r m i n et h en o n r e g u l a rs e l f - p a i r e ds u b o r b i t so ft h e s ep r i m i t i v e g r o u p s k e y w o r d s ：l i n e a rg r o u p s ，s u b o r b r s ，s e l f - p a i r e ds u b o r b i t s ，r l k 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名z 涨鹭慧、 i e i 瓤知。译斗月2 0 日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向目家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和 纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有 权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本 规蔻 学位论文作者签名：寻长贾蔼、 日期：知0 1 年斗月3 d 日 1 引言 设群g 作用在集合n 上。则对每个口e qc 0 = 扫q 舻= d j 是g 的子群，称 为点口的稳定子群称o p = 舻k g 为包含d 的一条轨道g 。在n 上作用的轨道 q 徽g 的次轨道当g 传递作用在n 上时，g _ 。的次辘遒个数称为g 的获对任一次轨道 ，设卢= 一a ，贝蚶巴= 一一所在的次轨道称为与a 配对前次轨道当二者重 合时，称为自配对的 本文讨论的群以及群作用的集合都是有限的对于群论和置换群的有关术语，请参阅【6 ，1 1 】 秩和狄孰遒长是置抉群的重要不变量，在过去的几十年中，围绕酱这些基本概念，数学家 们已经得到一些非常有意义的绡果，见【2 ，6 ，1 4 ，1 5 ，1 9 】又由于执轨道理论在组合结构中有 着非常广瑟的应用，关于这方面的工作请参阅1 7 ，8 ，9 ，1 2 ，1 3 ，1 6 i ，因此它一直是群与圈领域 研究比较热的对象在置换群理论的整个发展过程中，次轨道结构的确定是其中一项最基本而 且非常重要的问题 1 9 0 1 年，d i c k s o n 在1 3 l 中分类了p s l ( 2 ，矿) 的极大子群，近年来，人们利用这一结 果研究丁p s l ( 2 ，矿) 的本原置换表示的次轨道结构并成功地将其应用于对称圈的研究中，见 1 4 ，5 ，9 ，1 7 ，2 0 】对于p s l ( 3 ，p “) ，其极大子群已经被确定，其中p 是奇数的情况由m i t c h e l l 完成，p = 2 的情况屉早由h a r t l e y 1 0 完成，后率s u z u k i 【1 8 】又给了新的剡画。1 9 6 5 年， b l o o m 1 i 用群表示论的方法对p 是奇数的情况重新给出了结构更山h 简清的刻画 b l o o m 的结果为系统地决定p s l ( 3 ，p ) 关于其极大子群的次轨道结构提供了有利的工具文【2 l l 央 定了p s l ( 3 ，p ) 关于楹大子群p s l ( 2 ，7 ) 的状菪道结构；文f 2 2 j 央定下v s l ( 3 ，p ) 关于极大 子群p s l ( 2 ，9 ) 兰 的次轨道结构；文f 2 3 l 决定了p s l ( 2 ，p ) 关于次极大于群a 5 的次轨 递结祷除1 2 3 l 井。前两硬工作中只魂定了相应置换群的欢轨道但来决定次轨道的配对傍况 本文将在文1 2 l l 的基础上。进一步确定# 次轨道的配对情况由于计算难度比较大，本文未能 确定正则扶轨道的配对情况。希望在以后的工作中将它完成由【1 1 可知，当矿三1 ( r o o d7 ) 时，p s l ( 3 ，p ) 有同构于p s l ( 2 ，7 ) 的极大子群，为了方便，我们只对p 兰l ( m o d1 6 8 ) 的 情况来讨论，萁余情况类似 下面叙述本文的主要定理 定理1 1 设g = p s l ( 3 ，p ) ，其中p 三l ( m o d1 6 8 ) ，p s l ( 2 。7 ) 掣二茎g ，n = f 三可i 9 g ) 考虑g 在n 上的( 奉原) 右乘置换表示，其次轨道结梅由表一给出在下表中， 冠表示次轨道的点稳定子群( 二的子群) i4 表示对应坎轨道舶个数；玑表示对应自配对次 轨道的个数；表示次轨道的长度 咒z z 蛐“ 1 士 ，一7 ( b ) 。1 士、，一7 岳( e ) 4 l 田 10 o 7 2 s ￥ 10o7 3 z 7 ：磊 2208 4 a t 2111 4 5 硝 2l11 4 6 d 8 2 _ 32 1 7历 芝= 墅尘= 型堡 12 4 8仇 _ 12 8 9 o 曙 止z t ! z t z= 业m t 4 2 1 0w = 业芷_ t m ze 墨 4 2 i i 五 2 ：= 唑芝= 塑!型 4 2 1 2 磊 = 翌坐立挫 5 6 1 3 磊 = 螳 8 4 注l 一2 在表一中，q 的值由【2 1 l 给出；对应于情形l 士v 仁7 ( 0 ) 3 和1 土v ，二亍仁( 0 ) 3 ， 我们对曼“的值绪出了统一的证明 在下面的第二节中，我们给出一些预备知识；在第三节中，我们完成主要定理的证明 2 2 预备知识 在本节中，简要介绍与本论文有关的基本概念和一些重要的结论 定义2 1 设n = q 卢，m ) 是个非空集合，其元素嚣为点岛2 表示n 上的对稚群 所谓群g 在q 上的千作用妒指的是g 列岛的千同态，即对g 的每个元素z ，对应 n 上的一个变换l p 扛) ：口叶矿，并且满足 ( 矿p = 酽。，z ，e g ，a e n 如果地r 妒= l ，则耜g 忠宴地作用在n 上。此时，可把g 看作q 上的变换群， 定义2 2 设群g 作用在集合q 上，则对每个n n ，( 毛= 曲g 1 一= o ) 是g 的于 群，称为点口的稳定子群并且对任意的e g ，g 。- = 掣_ 。g 。 t 称n 。= 舻1 9 g l 为包含n 的一条轨遵如果g 在n 上只有一十轨道，即n 本身，则称g 在n 上的作用是 传递的 审l l l2 3 设有限群g 作用在有限集合q 上。z ，v ( i n ，芦n ，剐t ( 1 ) 两条轨道萨，萨或者相同或者交为空集，故q 盼所有轨道集合是q 的划分 ( 2 ) i d g l = l g 。g 名i 特别的，如果g 是有限群，轨道o g 的长是1 g i 的因予 定义2 4 设g 作用在集合n 上，g 的稳定子群g 。，n n 在n 上作用的轨道叫做g 的次轨遭当g 传递作用在n 上时，g 0 的次轨道个数称为g 的秩对任一次轨道a ，设 口= 础，则把= n 口_ 1 所在的次轨道+ 称为与a 配对的次轨道当二者重台时， 称其为自配对的 命题2 5 【1 9 ，t h e o r e m l 64 设g 是n 上的传递爱抉群a 是g 的个对于口的擞轨 道令卢a ，则自配对当且仅当存在口g 使得其对凋口和卢 注2 6 在命题2 5 中，必有9 2 g 恤。p l ，g g ( g 峨芦) ) 定义2 7 设群g 传递地作用在集合n 上n 的非空子集称为g 的十块，如果， 。= o r 2 n a l0 垤g 如果g 只有单点的块，则称g 在n 上的作用是本原的；否则，称g 在n 上的作用是非本 原的 3 命嗣2 8 设群g 传递地作用在集合n 上n 中至少有两个元紊则g 是本原群 = 争g 的每个点稳定子群都是g 的极大干群 鸯题2 9 【1 4 】设群g 传递地作用在集合n 上，令一g 。，口n - 若r - f s g ，至少有 十的g 一共轭为h 的子群，进步设包舍在h 中的k 的g - 共轭集合在h 中形成t 千共轭类，其代表为凰， 岛，k ，则k 稳定n 中的点的个数为瑶；l l r 。( 砥) ：f v h ( 甄) 1 下文中，耳妇为素数) 是个p 元域，札是个正整数g l ( n ，p ) 表示昂上所有n 阶 可逆矩阵关于矩阵乘法作成的群，称为f 上的n 级一般线性群；s l ( n ，p ) 表示昂上所有行 列式为1 的霸阶矩阵关于矩阵乘法作成的群，辣为乃上豹霄缓特殊线佳莽；两p g l ( n ，f ) = g l ( n ，p ) z ( g l ( n ，p ) ) 称为般射影线性群p s “”，p ) = s l ( n ，p ) z ( s l ( ，p ) ) 称为特 殊射影线性群 命题2 1 0 【l 】1 设p 是个奇素数，g 是p s l ( 3 ，纠的阶大于1 的子群假设g 段有阶大 于l 的初等交换的正规子群，刚g 同构于下列的群； ( 1 ) p s l ( 2 ，p ) 或者p g l ( 2 ，p ) 当p 23 时； ( 2 ) p s l ( 2 ，5 ) 当p ；4 - 1 ( r o o d1 0 ) 时； ( 3 ) p s l ( 2 ，7 ) 当矿= l ( m o d7 ) 时； ( 4 ) a 6 当p 兰1 ，1 9 ( r o o d3 0 ) 时 进一步的，p s l ( 3 ，p ) 的以上子群在g l ( 3 ，p ) z ( s l ( 3 ，p ) ) 共轭 命题2 1 1 ( 1 l 令p 是一个奇素数，g 是p s l ( 3 ，p ) 的阶太子l 的子群如果g 不满足命 题2 1 0 的条件。勋g 同构于下列的群t ( 1 ) g 有个循环p 一正则正规子群，其指数s3 i ( 2 ) g 有千对角正规子群n 使得a n 同构于岛的子群； ( 3 ) g 有个初等变换p - 子群n ，使得a n 同构于g b ( 2 ，p ) 的于群 ( 4 ) p 兰l ( m o d9 ) 时，g 有一个( 3 ，3 ) 型交换正规于群n ，c n 同构于s l ( 2 ，3 ) 的子 群，且s l ( 2 ，3 ) 曲所有子群都会出现； ( 5 ) p 三l ( m o d3 ) p l ( m o d9 ) 时，g 有一个( 3 ，3 ) 型交换正规子群n ，g i n 同构于 q 8 的子群，且0 8 的所有于群都会出现 4 命题2 1 21 1 1 1 设p 5 是个奇褒散，则p s l ( 2 ，p ) 的极大子群是t ( 1 ) 一类z p ：z h ； ( 2 ) 一类d p 一1 和一类d p + l ； ( 3 ) p 7 1 l 时4 1 是极大子群；p 7 时d 叶l 是极大子群i ( 4 ) 当p 曼土i ( r a o d l 0 ) 时。有两类a 5 j 5 ) p i 士l ( m o d8 ) 时，有两类毋j ( 6 ) p i3 ，1 3 ，2 7 ，3 7 ( m o d4 0 ) 时有一类a 4 ， 由龠驻2 1 2 我们得到下面关于p s l ( 2 ，7 ) 于群结构的命题 命题2 1 3 设g 是p s i ( 2 ，7 ) 的子群，则g 同构于下列的群： ( 1 ) 两类极好群文，记为甜和蹬i ( 2 ) 一类极大子群易：磊j ( 3 ) 一类子弊d 8 ，类子群d 6 ， ( 4 ) 两类 4 ，记为l 拿和a i ( 5 ) 两类w i ，记为w 2 和w 尹? ( 6 ) 类历，一类互，一龚历，一类磊 注2 1 4 设g = p s l ( 3 ，p ) ，其中p 兰l ( m o d1 6 s ) ，由【1 l 可知g 有极大干群l 掣 p s l ( 2 ，7 ) 为了叙述方便，在下史中我们取l 的所有子群共轭类代表为t 硒竺s ，竺 s ；，k s 望舀：z ，k 4 笔a 。k s 兰a f ；k 8 兰d 酗k 7 兰z 1 k b 掣d b k q 兰w - o 兰? ，k l l 皇z j ，k 1 2 掣z j ，所3 望z ； 命题2 1 51 2 1 】设g ，l ，置如上，则凰( 1 飓在g 中的正规化子 k ( 虬) 由表二给出， g = p s l ( 3 ，p ) 的对角子群 ；s1 3 ) 在c 中的正规化子l ( 风) 和 其中d 表示s l ( 3 ，p ) 的对角子群，百表示 袭二 5 托 帆( n )i v c ( k ) l 嚣簧s ： 2 s 2s 2s 2 3 易：磊z 1 z 3z 3 ( z 7 ：z 3 ) 4 射黝 磊：彤 5 硝s ：z 3 ：s 2 6 d sd s生岩坐：易 7易 z 7 磊 d ：局 8 d 6 d b ( d 6 磊一- 】磊 g w 2s ： d ：品 l o聊 s ； d ：岛 l l 五d 8d ：7 , 2 1 2 磊取d ：岛 1 3 易d 8 g l ( 2 ，p ) 邑 执现在开始，我们假设0 ：= s l ( 3 ，p ) g ：= p s l ( 3 ，p ) ，z 望蜀是e 的中心曲表示 d 到g 的自然同态，对任意口0 和hs 0 ，用可和霄分别表示它们在妒下的象 命癌2 1 6 1 ，l e m m a6 5 1 设g ，0 如上令 ( 0 抄= ( 。10 。) 一= ，一t ，”，一( i ，； 其中2 r 2 + r + 1 兰0 ( r o o dp ) ，则p s l ( 2 ，7 ) = 扛，封) 且映射盯：$ 一，矿一矿是 p s l ( 2 ，7 ) 到0 中的同构嵌入，自然也给出丁p s l ( 2 ，7 ) 到g 中的同构嵌入 命题2 1 7 设r 是p 个元的有限域，剧 ( 1 ) 当p 三1 ( m o d4 ) 时，方程一+ 矿= 七有p i 组解，这里k 鬈 ( 2 ) 当p 三一1 ( r o o d4 ) 时，方程z 2 + 2 = k 有p + 1 组解，这里盘0 6 ， 3 主要定理的证明 我们设g = p s l ( 3 ，p ) ，其中p 兰l ( m o d1 6 8 ) 由1 可知g 有极大子群l 皇 p s l ( 2 ，7 ) 令n = l g ig g ，将n 中元素视为点，我们把点l 记为口考虑g 在n 上的右秉置换表示，由l 的极大性得此作用为本原的点o t 的点稳定子群为子群厶，l 在n 上作用静轨道为g 的次轨遘在本节中，我幻绔出了g 关于子群的自配对次孰道的绪构 为了叙述方便我们固定一些符号取l 所有于群共轭粪的代表为t 虬鲁砑，恐鲁卵， 凰望历：z 3 ，凰竺埘，风鲁删，竺d 8 ，玛皇历，兰风，凰鲁w t ， 虬。皇i 贸，髓l 岂五，虬2 皇历，确3 冬易令l = 焉为以峨为点稳定予群的自 配对孜孰道的长度，剧z 1 = b = 7 ，h18 ，“= 1 5 = 1 4 ，_ 612 l ， 7 = 2 4 ，f b = 2 8 ， 如= f l o 霉l l l = 4 2 ，z 1 2 = 5 6 ，z 1 3 = 8 4 相对于几，我们用表示以厩为点稳定子群 的次轨道中托被对调的所有不动点数用挑表示以墨为点稳定子群的自配对次轨道的个 数注意到i ! 王下几点： ( 1 ) 若板在次轨道中的一十不动点被对调( 与d 对调) ，刖虬在中的所有不动点被 对调且可以表示为z 其中z b ( k ) ，铲甩，z 萑帆( 心) ( 2 ) 设z l ，功( 甄) ，则l x l = l x 2 甘：r t x i l 肌，( 尬) ( 3 ) 设托 h l ，若m 的某个被对调的不动点l z 属于的次轨道，其中z k ( ，) ，护k ，z 隹l ( k ) ，贝4l z 必属于h 的f l 配对的次轨道 ( 4 ) 没z 为甄的某十镀对谓的不动点，其中n c ( 致) ，矿硒，z 簪n d 琏) ，若 l z 的点稳定于群为h ，则由z 心( ，) ，z 2 l 碍z ( 日) ；反之，若 z 0 ( 日) ，则l 的点稳定于群包含 因此我们可以按以下步骤求以k 为点稳定于群的自配对的次轨道的个数：根据命题2 5 和注 2 6 ，先求出所有符合条件? n o ( 疋) ，矿甄，霉聋 “墨) 的，井利用( 2 ) 确定甄 的艘对调的不动点的个教再利用( 3 ) 和( 4 ) 判断哪些点属于坼所在大群的次轨道，去掉这 些点得到乜最后用赶除以噩在c a d - 白配对次轨道中盼不动点个数就得到了以琏为点稳 定子群的自配对次轨道的个数玑 下面霰们自然地按照k ( 1 i 1 3 ) 的顺序证明本文的定理 3 1 长为7 的自配对次轨道 引理3 1g 有。个长为7 ( 以甜或筲为点稳定子群) 的自配对次轨道，即y i = o ，耽= o 7 证明由命题2 1 5 得 b ( 毋) = 矸厶而子群l 为点口的点稳定子群，所以g ( 砑) 中元紊不能对调d 和礤的其余的不动点。由命题2 5 和注2 g 得g 的l ! l 磷为点稳定子 群的自配对次轨道十数为0 同理得g 的以蹬为点稳定子群的自配对次轨道个数为0 d 3 2 长为8 的自配对次轨道 引理3 2 g 有0 十长为8 ( 以z ；：磊为点稳定子群) 的自配对次轨遣即珈= 琅 证明由命题2 1 5 得 b ( 而：忍) = 毛x ( 舀：局) ，帆( 历：历) = 磊：z 3 由 命题2 5 和注2 6 知。长为8 的次轨道为自配对当且仅当n o ( 舀：蜀) 中有元素z 对 调a 和z 7 ：历含在该次轨道中的个不动点，而且一e 易：局为此。我们考虑 g ( 曷：2 j ) 在历z 3 的不动点集合r 上的作用，由f 2 l i 得i f i = 3 点d 的点稳定子 群为g ( 西：蜀) n l = t ( 舀：五) = 历：磊，这样i 0 ( 历：磊) 1 i 历：磊| - 3 ，该 作用传递又由西：磊司c ( 舀：磊) ，所以( 历：历) ( z 7 ：历) 掣磊忠实正则地 作用在r 上，n o ( 历：历) 中元素不能对调“和西：z 3 的其余的不动点，于是g 的以 2 ；：易为点稳定子群的自配对次轨道个数为0 a 3 3 长为1 4 的自配对次轨道 引理3 3g 有1 个长为1 4 ( 以a 譬为点稳定子群) 的自配对次轨道，即y 4 = 1 证明职a = u 0 砑，其中 啡t 翮，m ，f 可，f 田 由计算得 令 霹= ( 矿) ，扩= c 。( a 2 川( 0 1 潍0 0卜洲刊， ) = ( 1 u 1 ) s ，川= 3 ) ， 0o - l 。 日纠：t ( 言西， 8 劐 g ( j 4 ：) = 毛：管，z l ( a f ) = 田 下面对n c ( a a ) 中元翥进行考察，显然掣 点我们考虑工= 从 ，g ( a ) ，其中h d 和 的其余不动 且h - 1k e 砑 分两种情况来讨论， ( 1 ) 若h k = k h ，剜( h k ) 2 = h k h k = t 2 h 2 ，由s ，得k 2 舒，但胪t 舒，所必 ( h k ) 2 聋a ，由注2 6 得z = 詹不能对调。和a 的其余不动点 2 ) 着h k k h ，由而司( a ) 得 七= k h 一，则h k ) 2 = k h - 1 h l e = k 2 ，4 。取 剐 h = 翮小f 研 f 习，肌网 令z i = h k ，鲍= k h ，则。l z 2 ( 调u 与l x l ，z 2 对调口与l x 2 ，因为。l l x 2 是 的两个被对调的互异不动点 = t f ，所以轧对 n i ( a t ) ，所以l z i 与 动点集合r 上的作用 因为n o ( a t ) i 1l = 帆( a ) = 砑，所以o t 所在轨道长为3 ，从而g ( 硝) 中元至多对调 o t 与a 2 的其余的两个不动点，所以a 2 有两个不动点与o t 对调又a 在自身的母个次轨 道中有两个不动点，所珏g 前以 为点稳定子群的自配对次轨遘个数秀1 口 引理3 4g 有t 个长为1 4 ( 以 宇为点稳定子群) 的白配对次轨道，印拈= 1 证明取 # = f 吁：z 亨其中 眠8 亏t ( i ； ) ，( 虿三导) ，( 言；) ，( 6 虽三) 霹= ( 8 ) ，旷=f 订 9 由计算得 夸 则 c 台t a ；，= e ( i 0 辜毒) ，兰z ；，p 墨，t 。t = s ， 刚耻l 。萃专卜z 3 ，p 晖训- 3 ) ， 鳄卅：c ( 言：三) 帕( 卵) = z 3 ：掣，帆( 一) = 磷 以下讨论与 中完全类似，最后得到a 拿的两个被对调的不动点的代表元为 嘲忙冈 又a 乒在自身的每个次轨道中有两个不动点 个数为1 于是g 的以a 宇为点稳定于群囟自配对次轨道 口 3 4 长为2 1 的自配对次轨道 引理3 5g 有3 个长为2 1 ( 以d b 为点稳定子群) 的自配对扶轨道，即驰= 3 证明在共轭意义下取 州( 滁加( 百m 洲刊， 则 其中 c 。( 。) = z 。 = ( ( 。：2 ：0i ) ) p e 哆，妒i = ，一) ( d 8 ) = z 孕2 i ：j ) p 6 哆，妒5 p 一1 ) n g ( d s ) = 学：乞，n l ( d s ) 。= d 8 已= 盯可心= t f 珂 下面我们要找到所有符合条件z n a ( d s ) ，矿d s ，z 芒n l ( d s ) 的z ，并且确定d s 被 对调的不动点的个数 l o ( 1 ) z 2 = 若 若 z 2 z l z i l = 则o l = 一俨0 0扒令一d 5 ，则一乩或 【。等品j 令一6 d 5 则一2 i 或 d 8 ，不符合条件 因为 d 8 ，所l ；孰与现代表相同的不番点进而( 1 ) 中口8 被对调 的不动点个数为l ，代表元为z l ( 2 ) 取z 五，由护d 8 ，t 隹l ( d 8 ) 得善= f ：。01 瑰，所以z l 与z 代表相同的不动点 、0o - t ， ( 3 ) a ) 取 则 夸z 2 若 因为0 1 $ 一1 = 霄再肟习= _ 0 2 =p 闶2 ：r 只一1 o0 萨f ，oo d 2 ， 相同的不动点 着舻= 表相同的不动点 ( i ) 酷黻 尉。= ( j 1ji ) 或( 言 t 三，) ，经计算两者代 伽m 仉的抵代兢为( ；ji ) 与( j 魁) b ) 取 则 夸扩d 8 ，则一= 若= t ，则z = 雨：翮 经计算两者代表相同的不动点 且与z ，代毒塑旦笪丕垫盛： 一= ( ：0 孙一( 0 ：或( 酣一属于 、 ol 、 o l 、o 0 l ， d 8 不符台条件 c )取 刑 夸舻d 若舻 厅再耵圈= 网 石2 =( ? h ) = ( 一营一；。) 表相嗣的不动点 若护 相同的不动点 或( 。o t 。t 00i ) ，经计算两者代 或i o l ，经计算两者代 硅， ( i 越) 或( 小博一表 删郴一删脒捌( 汜) 与( 莒i ) d ) 确定a ) b ) 、c ) 相互之间是否有相同的不动点 经计算 ( 言i ) 与( ；ji ) 代表相同的不动点。 ( 戳) 与( i 汜) 腑洲椭 t 差i l i t ( 3 ) 串上) 8 麓对调的不动赢十数为2 ，代表元为， 一( 言小；= ( j 弛) 综上d 8 共有3 个被对调的不动点，代表元为 = 妒( 言小s = ( i 越) 因为d b 在自身的w i 次轨道中有1 个不动点， 道个数为3 所以g 的以d 8 为点稳定子群的自配对次轨 口 3 5 长为2 4 的自配对次轨道 引理3 6g 有1 个长为2 4 ( 以历为点稳定子群) 的自配对次轨道，即掣7 = 1 证明在共t i e l l 义下取 引(髻j。0)c0晖卅00 0 历= ( i o 萨 1 ) ( 巧，il = 7 ) 、 0 ， 劓 k ( 乃) = 面：蜀， t ( 易) = 西：历 舯磊= t ( ；j 沙下删燃到所有符厶条件。e c 矾“孙z 帆曷) 的，并且确定曷被对调的不动点的个数 ( 1 ) 取o = 8 】若 善l r 可雕= 冈批驯 = i 甄 蕊习一f 田一f 习 b ，着 z 2 = ( ii ；) ， 瓤= ( ；三) ， c ，若拈( 5j ；) ， 一( i 专三) ， 经计算三者代表亘昱盟丕麴盛 一= ( ；j ；) m ：翮， e ，一：孺可 蛐= ( 5 三) ， 经计算手者代表涔孕长 ) 若扯【：品j 蛐= ( ：三) ， 刚 则 则 剥 z “ $ 1 7 = m = ( i 三) ， = ( i 池) = 可田， = ( i 三) 1 4 趵2 z 1 8 f 习- 0 0 i o ! i ， o矿， f 习， = 嘲， = f 习， = 同 经计算三首代表要塞盟丕塾盛： 蝴矿= ( i 小 z 1 9 =网，一网砌= 同 经计算三者代表互异的不动点， 最后经计算得： 。l ，甄，研，。1 0 ，z 1 3 ，。i 6 ，。l 代表相同的不动点， 砘，岛，x l l ，卸，2 m 句d 代表相弼的不动赢， 功，栅，却，z l “乱5 ，0 1 8 ，0 2 i 代表相同的不动点 ( 2 ) 取 或 再翻= 矿一 再嘲= 翮 则一= 网t 西，或，= _ t 历，所取z 不符合条件 综上易共有3 个被对调的不动点，因为z 7 在自身的每个次轨道中有3 十不动点，所以 g 的以z 7 为点稳定子群的白配对次轨道个数为1 口 3 6 长为2 8 的自配对次轨道 引理3 7g 有1 个长为2 8 ( 以d b 为点稳定子群) 的自配对次轨道，即驰= 1 证明在共轭意义下取 。s = t ( j 0 ：o 童。) ，：c ( 苫；1 ) ，c u e 弓，扣l = s ， 耻【。0 。) ) ：【：。j ) “驯小3 ) ， 岛( d 6 ) 。嗨。( 。( d 。) = 学 1 5 徊露，蚓= p 一1 ) 由命题2 5 和注2 6 知，长为2 8 的次轨道为自配对当且仅当g ( 工b ) 中有元索z 对调和 d b 舍在该次轨道中的十不动点，而且p d 6 为此，我们考虑( 上k ) 在d 6 的不动 点集合r 上的作用，由 2 1 l 得i r l = 2 因为 ，g ( d 6 ) n l = 航( ) d ) = 仇，所以该作 用的点稳定子为d 6 ，这样l g ( d 6 ) l l 口6 i = 咛，该作用传递，又由d 6q g ( d 6 ) ，所以 b ( 风) d 6 曼磊摹忠窦正剥地作用在r 上由循环群的性质，z 4 中有且仅有个对 台对调n 与j ) 6 其余的个不动点因此，d b 杖对请的不动点个数为1 ，我们取z z ；l 中对 ， ， 1 0o 台10 1 o i 为不动点代表元邵, - 1 - 又h 在自身的每个次轨道中有1 个不动点，所 、0 o 一1 以g 的以i h 为点稳定子群的自配对欢孰遗十数为l 口 3 7 长为4 2 的自配对次轨道 引理3 8g 有譬个长为4 z ( 以吁为点稳定子群) 的自配对次轨道，即妇! 宁 证明取 。 则 其中 昨t 丽蕊习，f 蕊m ( 4 ) = 面：岛，肌( “) = 岛4 = “。s 3 ， 蚓( ：1 ：0 ( 0 0 i 1 - 10 1 ) 岛= ( i o 1 ) ：( i l 、00 ，、 0 下面我们要拽到所有符合条件ze g ( 1 眠4 ) ，一w ，$ 聋l ( w “) 的z ，并且确定 w 被对调瞳丕垫盛盟墼 一( ”* 一= ：2 = i ( 4 一瑚；) 夸z 2 w ，得 ( 三) ，( 言 ) ，( 富! 三) 1 6 若护= t ，则 选三 若 蕊可丽f 两 条件 0 ，t = 4 ，剐 同网，蕊m 四者代表相同的不动点只取礼= ( 言；) 为不动点代表元即可 若 z 2 =( i l 导 ，网，翮 经计算四者代表相同的不动点。只取z z = ( 言；) 为不葫点代表元即可 若一= f 田，则 丽网硐，翮 经脚者僦晰抵a = ( 百；) 撇一 ( 2 ) a ) 取 霄曩盯可= 丽 1 7 台争 猕、二、 | o o 以学_ 。 属一o o 均一，i 嗽扯 则 令z 2 时得一 矿= 若护= - 剐z = 夸 m n - l = 丽= 网 不是l ( - 吁) 中元。得n 0 ，士1 取 f 蕊n = f 两 f 鞠丁_ = 丽e 毋 得曲“= 士l ，即口= 士6 ，所以对固定的m ，有且只有两个7 , 与m 代表的不动点相同 l t 若 n 由z 不是 ，i ( w ) 中元，得 式为( j 一曼。；) 的代表元 代表相同的不动点集合，我们只考虑其中一种即可 这样a ) 中计7 被对调的不动点的个数为譬，代表元为。= 口0 ，士1 b ) 取， 则 丁了可 i ：。0 一，；j 霄曩网= 丽 ，=啊= f 圈 1 8 其中 令 m n l = z 不是肌( i 吁) 中元。得b 0 ，士1 取 嘲一丽 再蒋翮= 嘲叫 得曲一1 = 土l ，即n = 士6 ，所以对固定的m ，有且只有两个n 与m 代表的不动点相同 w 2 若 6 由卫不是，v l ( 矸f ) 中元，得 形式为 元代表相同的不动点集合，我们只考虑其中一种即可 这样b ) 中i 砑被对调的不动点的个数为e = 兰2 ，代表元为 6 0 ，士l c 1取 则 ( 三? 0 0 1 ) 的黻 一6 ( 三虽一莒1 ) ( 。一堋i 三) = oa - l ：b - i o1 0 0o 【。；：m 。三户 ： p = 嘲：万两 令$ 2 附，得一= t 或 1 9 其中 匿：； | 啦 毗 乩 若一= t ，剐0 = 夸 由z 不是l ( 吁) 中元，得d 0 ，士l 取 蕊可，n = 丽可 焉蕊可= 翮e 田 碍西一1 = 4 - t ，置p8 = 圭玩所以对固定的m ，有且只有两个n 与m 代表约不动点相同， h f 被对调 若护= n 0 ，4 - 1 不是_ l ( w ) 中元，得 (：一喜0001 ) 元 l 口i 的代表元 、 o 代篡：嚣= 枷：蕊0 可0 舯 这样c ) 中- 吁被对调的不动点前十数为字，代表元为z = !。 ，其中 0 ，士1 ， d ) 确定a ) 、 取a ) 中的t h = 则 不动点 ( 三寻计肌c 时， f 研丽，蕊可硪可 于是得到a ) 中的 过计算它们与c ) 动点 2 0 经 中的 的不 一沙梆了。撇 一化卫一一 z j 0 0 学舭_ 一 为一、一，i塑n 噬弋 盟：。沩 的一o o o 缄掣苫僦 型一 的 i _ 墨 硅 b 塑也。一 l o o o 阱，。、 一p-3+咝+型一42 2 2 ( 3 ) 取 。= 曩耵习= 翮， 则一= ( 并_ 趼咖舭 z = 再曩盯习= 闻， ，o 0 6 - 1 、 则护= 【一。0 一，：) 隹岈，即所取善不满足条件 ( 5 ) 判断( 1 ) ，( 2 ) 相互之间是否有相同的不动点： z t = ( i l ；) 与c 。，中( 言三；) 代表相同的不动点 z ：= ( i ：；) 与t 。，中( ；百三) 代表相同的不动点， z a = ( 喜! ) 与c z ，中( 三1 ) 代表相同的不动点 综上w r 梭对调的不点个数为 ，字3 4 = 下3 p - 1 7 6 )因为吁 ，d s ，所以还要看h 学的j 2 笋个被对调的不动点中是否有 0 ，d s 的 不动点 p 吁 2 的情况： 因鸯a 在自身的每个轨道中有2 争不动点，呀在a 于的每十孰道中有2 个不动点， 所以叼含于个硝中我们已知 。被对调的不动点代表元为n - = ( i 童。；) ， k = 附 这两个代表元包含在( 2 ) a ) 中，要减掉 因为d 8 在自身的每个轨道中有1 个不动点，w ，在d s 的每个轨道中有3 个不动点 所以呀舍于3 十d s 中，这3 个d b 分别为： d s c ( 5 三i ) ) ：1 ( 1 1 ；0 ：1 )1 一l ：三。_ ) ) ：i ：。j 渤酬( i 沙t ( i 导三) ，( 2 ) 仇2 l ? ：p ：( ：_ i 三j t对酬(三0。1：)：t(j-。1三000100 ) ) ( 3 ) d 8 = ( 1 1 o o i ) ：( 1 o 1 ) 、，一1 ， 经计算得 ( 2 ) n ) 中 ( 2 ) b ) 中 ( 2 ) c ) 中 正规化第个f ) 8 正规化第二个d 8 正规化第三个d 8 综e ，四的i 2 产个被对调的不动点中，有2 个属于长为1 4 的自配对次轨道，有3 个属于长为 2 1 的自配对次轨道因为仰? 在自身盼每个次轨道中有6 个不动点，所以g 的 以w f 为点稳定子群的自配对次轨道十敷为 ；( 掣一。_ 3 ) = 。1 ( 、3 p - 。2 7 ，、= 字 口 引理3 9g 有2 个长为4 2 ( 以w f 为点稳定子群) 的自配对次轨道，印掣1 0 = 宇 证明取 昨t 确，f 研，m 蕊可 、li-，一、i， o t ol o o 以：f下j一1。 d o oo o一一o o o 我们可咀找到l 吁到w 尹的 g ( 附) o ，阮( n 孕) = 霹 共轭元( i ；j ，使得c 附，一岈，剐t 畔，= 下面用与p 呼完全类似的方法进行讨论。得i ! ，晔为点稳定 子群的自配对次轨遒个数为p - 4 9 口 引理3 1 0g 有孕个长为4 2 ( 以z 4 为点稳定子群) 的自配对次轨道，即玑。= 咛 证明在共轭意义下取 驯啊冲刚h x 则c 五，= 面：易，肌c 五，= 风= 五：磊，其中易= c ( ：0 ；：) ) 下面我们要找到所有符合条件z g ( 五) ，z 2 ez 4 ，z 聋n l ( z 4 ) 的$ ，并且确定五被对 一= i 若一= t ，剥 心= 翮0 0 俄姗尉= f 2o 1 令五，得 、0 铲， 蕊可，蕊孺习 ( 言：三) ，( 言导；) 这两十元素代袁相同的不动点，只取o l = 若铲=f ：三。01 ，则 0 0 t 为代表元即可 z = ( 芎i ) ，( j 蔓；) ，( o ei ) ，( ；蔓；) 经计算 2 3 若 一= 3 。01 与f 0 拉 与 蔓。) 代表相同的不动点 ( 虿：；) ( 言三) 经觯枞一；= f 冈动点 若 一= 经计算 这样 ( 2 )取 则 fj ：0 。1 ，则 o o ， 三。) 号z e 代表相同的不动点 ( 6 专ti ) 与勋代表相同的不动点 被对调的不动点，代表元为0 1 ，现，z 3 再曩肟习= 丽 矿=丽= 翮 。靠。 4 o o o 0 0 ，iii 息 愎 动 针 利 般 蚜 _ ；呈 莲! 怀 瞩 为 翱一， 代一o o 扛卜一：。 、，一0 o 毋 0 o 0 毋0潞。l ， = 现取只 、l， 0 o t 0 0 0 o 0 o ，、ll-， 0 o 毋 0 t 0 l o o ，j、ll l - o d 1 o 0 ，f 0 0 00 ， 和 和 个 、l3 ，有0。q玩 0 d 0 中 o 0 o ，l 每p z 4 若护= 夸 m n - ! = z 不是 ，l ( z 4 ) 中元。得d o ，士l ，士取 f 弱，n ，丁_ ( 弹：) ( j6 。1 0 00 扎0 ( 0 ：嗤1a - ：l b ) e 瑰、o n 一1 、 6 1 o ， 。 得a b - 1 = 士1 ，士t ，即d = 士6 ，士m 所以对固定的m ，有且只有4 个n 与其代表的不动点 相同，这样z 2 = t 时，五被对调的不动点的个数为咝4 若z ：= m ，则z = 嘲以。，显然z z 肌c 五，取 令 m n 一1 。