（工程力学专业论文）Hamilton体系下弹性梁的热屈曲.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 梁是工程中最基本的结构之一，其屈曲问题在结构稳定理论中占有重要地位。目前 已有大量的研究成果并解决了不少的实际问题，然而，由梁温度引起的一些非线性问题 及梁后屈曲动态发展规律，还有待进一步研究。本文欲寻求一种有效的方法探索梁热屈 曲的一些规律。 本文研究了哈密顿体系下弹性梁由温度引起的前屈曲和后屈曲问题。针对两端固支 不可移弹性梁，温度均匀变化，在几何小变形，轴线不可伸长的假设下，建立了弹性梁 热前屈曲问题的哈密顿体系。在辛几何空间中，将梁的临界屈曲载荷和屈曲模态归结为 辛本征值和本征向量问题。根据哈密顿正则方程及辛空间的特点，利用边界条件，导出 前屈曲的分叉条件，将微分方程的边值问题转化为代数问题。通过求解，得到了辛本征 值和本征解，在完备的辛本征解空间中，屈曲模态均可由辛本征解的组合得到。对于弹 性梁的热后屈曲问题，基于几何大变形理论模型和轴线不可伸长的假设，后屈曲模态以 临界屈曲模态作为初始屈曲模态，以本征解的组合描述整体屈曲模态。由能量方法( 融t z 法) ，将问题转化为非线性代数方程组的求解。数值结果揭示了从热前屈曲到后屈曲整 个过程并得到了一些变化规律。 计算结果表明，后屈曲模态随时间发展，最后稳定为1 阶临界屈曲模态的后屈曲构 型，并且稳定振动。通过分析计算结果可知，梁的热屈曲的临界温度及屈曲模态可以归 结为哈密顿体系下的本征值和本征向量问题，屈曲的生成可以由小变形的前屈曲确定， 在后热屈曲问题中，必须采用几何大变形理论。这种哈密顿体系方法和研究成果对具有 非线性大变形的后屈曲问题的研究是有益的，可以推广到其他的结构屈曲问题中。 关键词：弹性粱；热屈曲；温度；几何非线性；辛体系 h 锄i l t i d n 体系下弹性梁的热屈曲 t h e m a l b u c k l i n go f e l a s t i cb e a m si nh a m i l t o ns y s t e m a b s t r a c t s i n c eb e a mi sb a s i cs t m c t l j r e ，i t sb u c k l i n gp r o b l e mi sp l a y i n ga 1 1i m p o n 锄tr o l ei nt h e t h e o r i e so fs t r u c t u r a ls t a b i l 时t h er e s e a r c ho fs t a b i l i t yh a sa c h i e v e dal o to fr e s u h sa n d s o l v e dm 肌yp r a c t i c a lp r o b l e m s b u ti ti sn e c e s s a r yt od os o m er e s e a r c ho ns o m en o n - l i n e a r p r o b l e m so fb e 锄w h i c ha r ea r o s eb yt h et e m p e r a t u r ea i l dt h er u l e so fp o s t - b u c k l i n g i n “sp a p e r ，t h e m a lp r e - b u c k l i n g a i l dp o s t - b u c k l i n g ， w h i c ha r ea r o s eb yt l l e t e m p e r a t u r e ，o fe l a s t i cb e a m sa r ei n v e s t i g a t e di nh 锄i l t o ns y s t e m o nt h eb a s i so fl i n e a r t h e o n rf o ra x i a l l yn o n e x t e n s i b l eb e 锄， h a i n i l t o ns y s t e mi se s 讪l i s h e df o rt h e m l a l p r e b u c k l i n go fe l a s t i cb e a mw i t l lf i x e d f i x e de n d s t h ec r i t i c a lb u c k l i n gl o a d i n g a i l db u c “i n g m o d e sa r ed e s c r i b e db ye i g e n v a l u e sa 1 1 de i g e n s o l u t i o n si ns y m p l e c t i cs p a c e t h eb i f u r c a t i o n c o n d i t i o no fp r e b u c k l i n gi so b t a i n e df 如mt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a n dd i f 氨奠e n t i a le q u a t i o n i sc o n v e r t e dt oa l g e b r ae q 啪【t i o n 7 r h ee i g e n v a l u e sa n de i g e n s o l u t i o n sa r eg i v e n o u tt 0d e s c n b e t h ec r i t i c a lb u c k l i n gl o a d sa i l db u c k l i n gm o d e s i nt h ec o m p l e t e ds p a c eo f 。s y i n p l e c t l c e i n e n s o l u t i o n s ，a n yb u c k l i n gm o d ec a nb ee x p r e s s e db yac o m b i n a t i o no fe i g e n s 0 1 u t i o n s f o r t h et h e 肌a lp o s t - b u c k l i n gi nt h en o n l i n e a rg e o m e t r i cl a r g ed e n e c t o n ，t 1 1 ep r e - b u c k l i n gm o d e l s 嬲i n i t i 2 l lm o d ea 1 1 dt h ep o s t - b u c k l i n gm o d ei s d e s c r i b e db yc o m b i n e de i g e n s o l u t l o n s t h e r e f o r e ，t h ep r o b l e mi sr e ( 1 u c e dt os 0 1 v i n gn o n l i n e a ra l g e b r ae q u a t i o n sb yu s m g t h ei u t z m e t h o d t h en u m e r i c a lr e s u l t sr e v e a lt h ew h o l ep r o c e s s 丘。o mp r e - b u c k l i n gt op o s t - b u c k l i n g a n dg i v es o m er u l e s n 啪e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a td e v e l o p i n gw i t ht i m e ，p o s t - b u c k l i n gm o d ep r e s e n t e d a sf i r s t o r d e rc r i t i c a lm o d e s o ，t l l ec r i t i c a lb u c k l i n gl o a d s 锄dc r i t i c a lb u c k l i n gm o d ec a i l b e d e s c r i b e db ye i g e n v a l u e sa i l de i g e n s o l u t i o n si ns y m p l e c t i cs p a c e t h em a t h e m a t i c a lm o d e o f 。 t h e m a lp r e - b u c k l i n gc a nb ed e s c 曲e db yg e o m e t r i c a l l i n e a rt h e o 巧f o rt l l e t h e m a l p o s t b u c k l i n go ft h eb e 锄，g e o m e t r i c a ll a r g e d e n e c t i o nt h e o r ) rm u s tb ea p p l l e d i h e s y m p l e c t i cm e t h o da 1 1 di t sr e s u l t sa r eu s e 如lf o rp o s t b u c l ( 1 i n gq u e s t i o n st h a ta r en o n - l l n e a r a l l dl a r g e d e f o 肌a t i o n 。t 1 1 i sm e t h o dc a n2 l l s ob ee x t e n d e dt oo m e rf i e l d s k e yw o r d s ： e l 嬲t i cb e 锄；t l l e m a lb u c i n g ； t e m p e r a t u r e ； g e o m “c a ln o i l l i n e a r ； s y m p l e c t i cs y s t e m i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定 ，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 三曼! 虱 、fi 辱i 作者签名： 二苎! 土j 导师签名：途塑丝 力匝年土月上日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1课题的研究背景与意义 随着现代科学和工程技术的发展，薄壁结构在热载荷或热机载荷共同作用下的静 动态响应日益引起人们的重视，特别是轻型合金和复合材料薄壁结构( 梁、板、壳) 在航 天、交通、机械、通讯、核能、热输送、计算机硬件等工程领域的广泛应用，使得对这 类结构的热屈曲和热振动逐渐成为应用热弹性力学的重要新领域。例如，超音速飞行的 火箭和可以重复使用的空间运载工具在发射和运行过程中必然要承受剧烈的空气动力 学和声动力学意义下的热机藕合载荷作用，要经受极低的温度( 固体燃料温度和空间辐 射) 到极高的温度( 空气动力加热、推进部分加热及太阳辐射) 。所有这些因素对结构的动 力响应特性、稳定性及疲劳寿命等都有显著影响。另外，在铁路路轨、水泥路面、核反 应堆结构、光纤传输、热输送管道、太阳能帆板、多场藕合的智能结构等结构( 构件) 的 设计和使用中都应考虑由于升温导致的热屈曲和热振动问题。因此，梁、板( 壳) 热屈曲 和振动研究已成为现代结构分析的一个重要领域m j 。 1 2 梁( 杆) 屈曲的研究进展 1 2 1 梁( 杆) 静、动态屈曲 梁的屈曲可分静态屈曲和动态屈曲。在杆的静态屈曲研究中，自从e u l e r 【i j l 7 4 4 年 解决了最简单的弹性e u l e r 压杆静态屈曲问题并求得e u l e r 临界荷载以来，人们就已开 始了静态的弹性材料和弹塑性材料杆屈曲问题的研究。在这些方面典型的工作主要由 v o nk 蝴a i l ，s h a n k g 等完成的。学者们多年来在这些方面作了许多总结性文章，如 t i m o s h o k o ，h u t c h i m s o n 【2 l ，s e w e l l ，j o n e s ，k l g s h 皿i k o r 【引，b u s l l i l e l l ，b r u h n s ，梁炳文1 4 j ， s i m i t s e s 【5 】，王仁【6 - 7 1 ，杨桂通【8 】等等。这些学术论文有助于今后该领域更深的研究。直杆 在冲击荷载作用下的动态弹性屈曲问题，首先是从b 和k o r i n g 【9 】开始研究的。之后， m e i e r 【1 0 1 ，h o f j f 【1 ，q e r a u r d 和b e c k e r 【1 2 1 ，d a v i d s o n 【1 3 】指出，阶跃荷载下屈曲发生的临界值是 欧拉静态临界荷载，当所加载荷大于该值时，屈曲模态的阶数也增加。李庆明提出了屈 曲相关缺陷的概念，认为被激发导致屈曲的缺陷是与屈曲相关的缺陷，否则为屈曲无关 缺陷。文献【1 4 以5 】所采用的方法要求杆必须具有某种模态的缺陷，才能导致该模态屈曲的 发生。如果杆是理想无初缺陷的，则无论所加荷载有多大，总没有屈曲发生。s e v i n l i 训 进一步考虑了轴向惯性的影响，分析了杆一端给定初速度情形，并比较了h o 一】忽略轴 向惯性的结果，认为当仅关心压杆的整体弹性响应时，可以不考虑轴向惯性。从s e v i n l l 叫 的计算结果来看，由于轴向应力的传播，随着时间的向后推移，杆不再是半正弦波状。 h a m i l t o n 体系下弹性梁的热屈曲 h a v a c h i 和s a n o 【1 7 】假设初始仍具有半正弦波状，通过差分法求解并比较了各种梁理论的 冲击屈曲结果，指出转动惯量，剪切变形以及大挠度效应可以忽略，因而采用 b e m o u l l i e u l e r 梁理论就可以得到足够精度的结果，这一点与h o u s n e r 和t s o 的结论是 一致的。h a y a s l l i 【r 7 】等还指出，当撞击速度较大时，则必须考虑轴向惯量，此时由于应 力波的传播，首先在撞击端发生较高阶模态的屈曲，然后屈曲向整杆扩展，撞击速度越 高，屈曲模态阶数越高。a r i g u r 【1 9 】提出了动态放大因子的概念，将动力临界应变的比 值定义为该因子，并指出初缺陷对冲击临界荷载的影响大于对静力临界荷载的影响。上 述工作全部假定了杆具有初始几何缺陷，然而决定动态屈曲特性是结构本身，而不是初 缺陷是否存在，因此研究无初缺陷压杆对于我们更准确的理解结构的冲击特性具有重要 意义。滕宁钧和苏先樾【2 0 】研究了考虑应力波效应下的半无限长弹性杆受脉冲载荷冲击作 用后的屈曲问题，并明确指出初缺陷和屈曲模态的假设是不必要的。他们给出该问题的 一个分叉准则，也同时提供了解决该类问题的一个很好的方法。与此同时，魏勇，朱兆 样和李永池f 2 l 】也从考虑应力波的传播出发得到了临界屈曲长度，屈曲时间和相应的屈曲 模态。他们也再次证实了弹性的动态屈曲是由结构本质特征所决定。 1 2 2 梁( 杆) 热屈曲 基于轴线不可伸长假设，机械载荷下梁的屈曲问题可见文献f 2 2 粕】；有关可伸长梁 ( 柱) 在机械载荷作用下的过屈曲分析可见s t e m p l e 【2 7 1 、程昌钧、朱正佑【2 羽、a n t m a i l 【2 9 1 、 李世荣和李忠和f i l i p i c h 【3 1 】等人的研究工作。李世荣和李忠【3 0 】通过引入弹性线弧长并 作为独立未知函数之一，基于轴线可伸长杆的精确数学模型，采用打靶法分析和论证了 压杆过屈曲分析中轴线不可伸长假设的合理性。 受约束梁由于湿热膨胀而引起的屈曲，这种屈曲与由于机械载荷受压而引起的屈曲 有很大的差别。热屈曲问题必须考虑梁的可伸长，并且压应力是由于温度的升高而引起。 早期已有一些关于梁的热过屈曲问题的文献。n o w i i l s l 【i i 姐j ，z i e g l e 和r a m m e r s t o 彘r 例， b o l e y 和w e i n e r 【3 4 】基于轴向应变的h i 曲e s t o r d e rn o m i n e a r i t y 表达形式，推导了过屈曲响 应的f i r s t o r d e r 近似，结果表明，初始屈曲发生后，临界屈曲温度下的轴向载荷改变， 而轴力不变。他们是在线性梁理论下研究的。陈健康，王汝鹏1 3 5 j 采用了简化了的几何和 平衡方程推导了两端简支梁的椭圆形式的热膨胀屈曲解，所得结果是不可靠的。 n 鹊c l l i e 【3 6 】在离散系统的g e n e r a lb r 锄c h i n gt h e o 巧下研究了梁的初始过屈曲响应，得到了 在初始过屈曲发生后，轴力会增加的结论。这个结论是不可靠的，因为作了轴向应变和 转角无关的假设。c o n 伍n ，b l o o m l 3 7 j 考虑了轴向应变和转角之间的关系，并且假设应 变和温度改变之间的线性关系，用椭圆积分法成功地分析了两端不可移简支弹性柱的湿 大连理工大学硕士学位论文 热过屈曲问题，用数值积分法给出了过屈曲平衡路径。j e k o t l 3 8 】研究了由物理非线性热弹 性材料组成梁的热过屈曲行为，没有考虑梁的中性轴曲率的几何非线性，只采用了轴向 应变的几何非线性的简单模型。研究结果表明轴向载荷在屈曲发生后保持不变。李世荣， 程昌钧【3 9 】基于轴线可伸长的过屈曲变形几何理论，建立了两端轴线不可移的均匀加热直 杆热过屈曲行为的精确数学模型。采用打靶法和解析延拓法直接数值求解非线性边值问 题，分别获得了两端横向简支和夹紧杆的热过屈曲状态解，给出了具有不同细长比的热 过屈曲平衡路径。李世荣，周又和和郑晓静1 4 0 l 基于轴线可伸长的过屈曲变形几何理论， 建立了两端轴线不可移的均匀加热直杆热过屈曲行为的精确数学模型，采用打靶法和解 析延拓法直接数值求解非线性边值问题，得到了一端简支一端固支杆的热过屈曲状态 解，给出了具有不同细长比的热过屈曲平衡路径。，酬u 【4 l j 提出了一种简单的i n t u i t i v e m e t h o d ，求解梁柱在不同边界条件下的热过屈曲行为。c i s t e m 鹊，h o l m e s 哗j 在可伸长杆 理论中考虑热膨胀效应，研究了在力边界和位移边界条件下的平衡方程的分叉问题，找 到了音叉分叉的次临界和超临界值。v a z ，s o l a l l o 【4 3 j 研究了线弹性材料细长梁的热过屈 曲响应问题，考虑应变和温度改变之间的非线性关系，温度沿梁均匀分布，梁两端简支 不可移，建立了变形梁的控制方程，求解得到了u 1 1 c o u p l e de l l i p t i ci n t e g r a l s 形式的解。 y u ，y p ，l i m ，c w ，w u b s i 删研究了大变形，几何非线性的后屈曲线弹性湿热梁。 梁两端简支不可移，在突然较大的变形下，得到了解析近似解。考虑了几何非线性的应 变，没有考虑任何物理非线性，采用c o n m n ，b l o o m f 3 7 】推导的控制方程。利用牛顿法 ( n e 叭o n ，sm e t h o d ) 和谐波平衡法( h a m o n i cb a l a i l c e ) 【4 孓4 。7 j 建立了问题的解析近似解。 与经典的谐波平衡法不同的是，文献中首先对控制方程线性化，再利用谐波平衡法。这 样可以得到一组线性代数方程。计算结果与李世荣1 3 9 j 用打靶法计算的结果相同。 以上文献大都考虑弹性杆在均匀变温下的热过屈曲，然而在许多实际工程问题中， 存在着升温沿横向非均匀变化的情况。由于沿横向变化的变温会在梁内产生热弯矩，从 而导致梁的弯曲变形，并与屈曲变形相耦合。李世荣，程昌钧和周又和【4 8 j 研究在轴向均 匀，横向非均匀变化的升温场作用下两端不可移简支梁的过屈曲行为，采用打靶法，给 出相应的过屈曲平衡路径。 以上的研究都是e u l e 卜b e m o u l l i 梁理论下展开的，剪切柔度( s h e a rf l e x i c i 够) 对变 形的影响没有考虑。考虑剪切柔度( s h e a rn e x i c 毋) ，在t i m o s h e i l l ( o 梁理论下，关于梁 的热屈曲问题也有文献报导。李世荣，周又和【4 9 l ，李世荣1 5 0 j 考虑轴线可伸长，横向剪切， 几何大变形的t i m o s h e l l l c o 梁在两端固支和简支的边界条件下，讨论了在温度均匀和非 均匀情况下的屈曲响应，定量给出了剪切变形对梁的弯曲和屈曲的影响。结果表明当细 h 锄i l t o n 体系下弹性梁的热屈曲 长比( s l e n d e m e s s ) 减小，剪切柔度( s h e a rn e x i b i l i t ) ，) 、剪切变形对屈曲响应的影响很明 显。 1 3 哈密顿体系简介 1 3 1 哈密顿体系基础 一切守恒的真实物理过程都能表述成适当的哈密顿体系，它们的共同数学基础是辛 几何空间【5 1 。5 3 1 。辛几何空间与研究长度等度量性质的欧几里得几何空间不同，它是研究 面积或是研究做功的。 1 3 1 1 辛几何空间简介 定义1 1 设矿是实数域尺上的一个以维线性空间，矿为其对应的，z 维线性空间， 定义 缈= y y = ( 二) ig y ，p y ) c ， 则称线性空间形为由y 与矿组成的域r 上的2 ，z 维相空间。 定义1 2 设形是实数域r 上的一个2 以维相空间，对形中的任意两个向量口，卢依 一定法则对应着一个实数，这个数称为辛内积，记作 ，并且辛内积 运 算满足下列四个条件： ( 1 ) = 一 ； ( 2 ) _ 七 ，七为任意实数； ( 3 ) = + ，是矽中任意向量； ( 4 ) 若向量口对形中任意向量卢均有 = 0 ，则口= 口； 称定义有这样辛内积的相空间为辛几何空间。 对一个相空间，可以有各种不同的辛内积定义，因而也就有各种不同形式的辛几何 空间。 定义1 3 若向量口，夕的辛内积 = 0 ，则说口与卢辛正交；否则，则说口与 辛共轭。 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 1 3 1 2 哈密顿矩阵及其本征问题 定义1 4 设形是2 ，z 维辛几何空间，如果线性算子日对中的任意向量口，卢满足 _ ( 1 2 ) 则称线性变换h 为辛几何空间的哈密顿算子。 定义1 5 如果2 ，z 2 聆矩阵日对任意2 ，z 维向量x ，j ，满足 - ( 1 3 ) 则称矩阵日为哈密顿矩阵。 不难证明哈密顿矩阵的定义1 5 与下面的定义是等价的 ( 用) 7 = 胆，或删y = 日7 ( 1 4 ) 式中，称为单位辛矩阵。 小( 兰l 予) 5 ， 定理1 1如是哈密顿矩阵日的本征值，重数为所，则一也一定是其本征值， 重数也为肌；如哈密顿矩阵日存在非零本征值，则其重数一定为偶数。 称的两个本征值为哈密顿矩阵互为辛共轭本征值。通常将哈密顿矩阵的非零本 征值分成两组： ( 口) 朋，r e ( 鸬) 0 或r e ( “) 2 0 i m ( 以) r ，方程( 2 2 0 ) 可简写为： 妒一日妒 ( 2 2 6 ) 令妒( x ) = 孝( x 渺，善( x ) 是x 的函数，与向量妒中任一个分量无关；妒是一个与x 无关的 向量。代入式( 2 2 6 ) 可得： h 啼= 呻 孝( x ) = e 雕 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 这里和妒分别是本征值和本征解。 2 3 1 零本征值本征解 讨论零本征值本征解问题时= 0 ，考虑其方程却= o 。求解该方程可直接得到基 本问题的解 ( 2 2 9 ) 讨论其约当型解，即讨论方程妒1 = 妒们，得到： 妒1 = o ，一1 ，一，0 ) 7 1( 2 3 0 ) 该解不是原问题的解，问题的解应该是砷o + 吵。记妒：口= 妒叭，妒f = ( 砷o + 妒1 ) a ， 其中正交因子a = 。可以看出这两个本征解的物理意义就是刚体平动和刚体转动。 2 3 2 非零本征值本征解 在非零本征值本征解问题中0 ，本征解满足特征方程脚= 妒，而本征值满足 方程 i ，一日i = o ( 2 3 1 ) h a m i l t o n 体系下弹性梁的热屈曲 即 2 + d = o ( 2 3 2 ) 可直接得到本征值= f 撕开面暑f 7 。对应的本征解分别为： 妒 = e 帆 l z ， 0 n ；牡等 1 z ， 0 n ( 2 3 3 ) 其中正交因子如= 2 f d 。 2 3 3 辛共轭正交关系 定义泛函 - 妒i ，缈：出，其中缈，和妒：为两个本征解，为单位旋转矩阵 ( 辛单位矩阵) 。可以证明存在辛共轭正交归一关系 = d ； = 一6 脚； = = o ( 2 3 4 ) 以及本征解组成的本征向量空间是完备的。任意状态向量沙总可由本征函数向量组线性 组合表示： 妒( x ) = 啪扎，x ) + 啪默，x ) 】 ( 2 3 5 ) 2 4 临界载荷与屈曲模态 由章节2 3 1 ，2 3 2 ，2 3 3 可知，哈密顿体系下系统的任意状态向量可以表示为： 妒( x ) = 钟f 4 + 帅f p + 卿 + 啪护= 眇f ”一秽】 qa 26 l 玎 le 似 。一i y d 崔 00 qn e x xf 1 7 x 一1 i y f 哪 一o qn t