（基础数学专业论文）lengyelepstein方程与反应扩散迁徙方程.pdf

上海师范大学硕士学位论文 上海师范大学硕士学位论文 摘要 l e n g y e l e p s t e i n 方程的提出来自于对c i m a 反应实验的建模，而反应扩散迁徙模型则 来自于生物数学中对种群竞争的建模。本文主要研究了这两类方程中不同的参数取值对 方程解的稳定性的影响。具体的说，对于l e n g y e l e p s t e i n 方程，本文将给出一个关于a 的 取值范围，使得方程在满足这个条件时，方程的解具有全局渐近稳定性；对于反应一扩 散迁徙模型，本文主要通过对竞争模型的分析，得到了方程中含有的参数在取值不同 时，对模型稳定性的影响。 本论文的内容安排如下：第一章是对l e n g y e l e p s t e i n 方程和反应扩散一迁徙模型做一 个简单的叙述；第二章则介绍了与本论文相关的一些预备知识；第三章讨j 仑l e n g y e l e p s t e i n 方程中注入催化剂的浓度对常数解稳定性的影响，通过构造适当的l y a p u n o v 函 数，证明了当注入催化剂的浓度不是很大时，l e n g y e l e p s t e i n 方程的常数解是全局渐进稳 定的，对任意的初值，方程解最终一致收敛到这个常数解。第四章则主要研究了在空间 资源分布不均匀的环境下。含有两个竞争种群的反应扩散一迁徙模型，竞争结果对模型中 各个参数的依赖性通过对各个参数的扰动分析，得到了一些结果 关键词：l y a p u n o v i 函数，全局渐近稳定性，非平凡稳态解，线性特征方程，扰动分析 a b s t r a c t l e n g y e l e p s t e i ne q u a t i o ni sp r o p o s e d f r o mt h em o d e l i n ge x p e r i m e n t so nt h ec i m ar e a c t i o n ， w h i l et h er e a c t i o n d i f f u s i o n a d v e c f i o nm o d e l i sd e r i v e df r o mb i o - m a t h e m a t i c s t ot h ep o p u l a t i o n c o m p e t i t i v em o d e l t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e r i ss t u d i e st h es t a b i l i t yo ft w ot y p e so fe q u a t i o n s w i t hd i f f e r e n tv a l u e so ft h ep a r a m e t e r s s p e c i f i c a l l y , f o rl e n g y e l - e p s t e i ne q u a t i o n ，w eg e tar a g e o f 吼w h e nns a t i s f yt h ec o n d i t i o n s ，t h es o l u t i o n so ft h el e n g y e l - e p s t e i ne q u a t i o na r ea l lg l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；f o rt h er e a c t i o n d i f f u s i o n a d v e c t i o nm o d e l ，t h r o u g ht h ea n a l y s i so fc o i n - p e t i t i o nm o d e l ，w eg e tt h es t a b i l i t yo ft h em o d e lw h e nt h ep a r a m e t e r sa r e d i f f e r e n t t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：h lt h ef i r s tc h a p t w em a k eas i m p l ei n t r o d u c t i o n t o “l e n g y e l e p s t e i ne q u a t i o n a n d “r e a c t i o n d i f f u s i o n a d v e c t i o nm o d e l ”s o m e n o t a t i o b s a n dp r e l i m i n a r i e sr e l a t et ot h ep a p e ra l ed e s c r i b e di nt h es e c o n dc h a p t e r w ec o n s i d e rm ei n f l u e n c eo ft h ef e e dc o n c e n t r a t i o no fa c t i v a t o ri nt h el e n g y e l e p s t e i nr e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m b yc o n s t r u c t i n gap r o p e rl y a p u n o vf u n c t i o n ，w es h o wt h a tw h e nt h ef e e dc o n c e n t r a t i o ni ss m a l l e n o u g h ，t h ec o n s t a n te q u i l i b r i u r ns o l u t i o no ft h el e n g y e l e p s t e i nr e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e mi s g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e w ea l s os h o wt h a ta l ls o l u t i o n sc o n v e r g eu n i f o r m l yt ot h ec o n s t a n te q u i l i b r i u ms o l u t i o n f i n a l l y i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w es t u d yac o m p e t i n gs p e c i e sm o d e lf o r t o wo r g a n i s m sw i t hd i f f e r e n tf e e di n h a b i t i n gas p a t i a l l yh e t e r o g e n e o u se n v i r o n m e n t b yu s i n gt h e p e r t u r b a t i o na n a l y s i s ，w eg e t s o m er e s u l t s k e yw o r d s ：l y a p u n o vf u n c t i o n ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y , n o n t r i v i a ls t e a d y - s t a t es o l u t i o n ， l i n e a rc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n ，p e r t u r b a t i o na n a l y s i s 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名： 日期：碰! 璧：丕g 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：阻导师签名：善篆李益二一日期：上纠划 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 第一章前言 本章的主要内容是分别引入l 肋g y e l 一e p s t e i n 方程和反应- 扩散一迁徙模型研究背景，并对 论文的结果做了简单介绍 1 1 l e n g y e l - e p s t e i n 方程 在大自然中含有着许多色彩斑斓，形态各异的图案在这些形形色色的图形里面，有一 类图形的色彩并不是均匀，而是在某些部位颜色突然变得很深，周围部位的颜色却突然变 的很浅，数学家们习惯称之为斑点许多这样的斑点聚在一起，最后形成图形就被称为斑图 人们在欣赏这些美丽的斑图之余，总是试图解释这些斑图的成因，但事实上，对于斑图的理 论研究却非常的困难直到1 9 5 2 年，a t u r i n g 首次指出：两种不同的化学物质以不同的反应 和扩散速率进行化学实验时可以形成斑图【l 】 i 慵n g 提出的这个思想的为以后的研究奠 定了理论基础尽管如此，真正用化学实验的方法来证实这个猜想却非易事直至u 1 9 9 0 ( 大 约4 0 年之后) ，牛津大学的d ek e p p e r j i y i ：带领的研究小组才第一次通过化学实验( c m 队实 验) 实现t t u r i n g 斑图对于生物系统中的t u r i n g 斑图，直到1 9 9 5 年才f l ：l k o n d o 和a s a i 在刺蝶 鱼的皮肤图案中得到证实【2 】 k n g y e l 和e p s t e i n 【3 】对这个著名的c i m a 实验做了模型简化，抽象成2 v 2 的系统，最终建 l 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 立t l e n g y e l e p s t e i n 模型： 鲁= a u + 口一u 一看器 容= c r c a v + b ( u 一嚣) 】 妻= 豢= 0 口l ，卵 u ( x ，0 ) = 坳( z ) 0 ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) 0 z q ，t 0 z q t 0 ( 1 1 1 ) z a q ，t 0 1 2 反应一扩散一迁徙模型 一直以来，数学家们对生物数学中种群竞争模型有着浓厚的兴趣，多年来，在不同研究 方向也都得出了许多结果而对于其中的含有两类生物种群竞争的模型，吸引着许多数学 家去研究分析例如其中之一的反应模型( r e a c t i o nm o d e l ) ，许多数学从常微分方程的研究角 度出发，给出了简单的竞争模型： ( 1 2 2 ) 经证明了在时间参数t _ 时，( 让( t ) ，t ，( t ) ) = ( 1 1 坐- b 堂e ，旦1 吐- b e ! ) 象-象：=ytta移u+uu。(mm一-沈u-一b钞y，) c l 2 3 ， 嘉= 嘉= 0(12lrg l t l 4 ) a口 、l，、， 埘 一。 铲 饥 m m 咖 咖 = l i 缸一出 如一_ 毽 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 这里南表示沿外法线方向上的偏导数，肛和分别表示种群u 和u 的扩散速度在满足初值 满足u ( z ，0 ) 0 ，v ( z ，0 ) o 时，我们已经有这样结果：在l ( q ) 空间内，当时间z o o 时， 有( 乱( z ，) ，v ( z ，t ) ) = ( 黜，坐1 - 型b e ) 我们注意到在方程( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 中，表示物种竞争的资源大小的量7 2 是常数m 兰c 当资源m 不是常数而依赖于空间q ，边界条件满足n e u m a n n 边界条件时，有下面的方程 甓= z a u + “( m ( z ) 一仳一如) z q ( o ，) 鲤8 t 。口+ t ，( m ( z ) 一傩一t ，) z q ( 0 , o o ) ( 1 2 5 ) 暑= 暑熹= 0 z a q ( o ，c o ) u ( x ，0 ) 0 ，v ( z ，o ) 0 z a q j d o e k e r y , vh u t s o n ，k m i s c h a i k o w 与m p e r n a r o w s k i 在文献【13 】已经证明了，在竞争强度系 数b ，c 满足b = c = l 时，方程解得稳定性与扩散系数p ，大小有关，在生物学中的意义上，可 以理解为：扩散系数大的种群在竞争中处于弱势地位，而扩散系数小的种群则处于竞争的 优势地位即：当p 时，种群口处于竞争的优势地位，方程存在一个全局渐近稳定解( o ，_ ) ： 而当p 0 容= 仃 c a v + b ( 札一抬) 】 z q ，t 刈 ( 1 3 8 ) 赛= 舞= 0 z o f t ，t 0 u ( x ，0 ) = 咖( z ) 0 ，口( z ，0 ) = 伽( z ) 0 其中q 是舻中具有光滑边界的有界集，札= u ( x ，) 和口= v ( x ，) 分别代表c i m a 实验中的 催化剂( r ) 和抑制剂( c l 0 2 ) 和6 分别表示和札( z ，) 和口( z ，) 注入浓度相关的参数，c 表 示口( z ，) 与u ( z ，) 的扩散系数比率。另外假定u o ，v o c 2 ( a ) n 伊( a q ) ，a ，b ，挪盯均是正 值 关于l e n g y e l e p s t e i n 方程，已经取得了一些成果( 【4 】，【5 】，【6 和【7 】等) 与已有的研 究成果不同，我们构造了一个适当的l y a p u n o v 函数，证明了当注入催化剂a 的浓度满 足o 0 ，v ( x ，0 ) = 铷( z ) 0 其中q 是舻中具有光滑边界的有界集， z f l ，t 0 z q t 0 ( 3 1 1 ) z a q ，t 0 t ：u ( x ，t ) 暑n v = v ( z ，) 分别代表c m 忪实验中的 催化剂( r ) 和抑制剂( c l 簖) 口和6 分别表示和仳( z ，t ) 和口( z ，t ) 注入浓度相关的参数，c 表 示 ( z ，) 与t ( z ，) 的扩散系数比率。另外假定咖，伽俨( n ) n c 。c o n ) ，口，6 ，c 和口均是正 值 在文【4 】中，n i 和t 锄g 证明了注入浓度。很小时，l - e 方程( 3 1 1 ) 稳态解( 矿，矿) 只能是常 数解( ，1 + 筹) 在文【6 】中，等人证明了当注入浓度n 在满足o 0 ，b 0 ，显然 d e t j ( u 4 ，矿) = 3 a 2 1 2 52 0 a 莓忑f 一孕干磊 2 a b5 a a b 召_ 干磊一孕干磊 3 a z 1 2 55 a b a2 0 a2 a 2 b a 2 一_ 了巧f 孑哂+ a 24 - 2 5 a 2 + 2 5 ：2 5 a a b 0 2 a 2 + 2 5 0 a b - t r a c e j ( u * , 钉) 0 ，付刁3 a 2 耳- 万1 2 5 一万5 a 蕊a b 0 ，于是n 2 1 2 5 r + 5 a a b 因此，在o 0 2 型学业时， ( 钆+ ，u ) 是方程( 3 2 1 ) 的稳定解口 当考虑方程( 3 1 1 ) 时，由【4 】，引理5 1 】，有下面的稳定性结论： l o 上海师范大学硕士学位论文第三章l e n g y e l e p s t e i n 方程的渐近稳定性 引理3 2 2 令学 口2 丁1 2 5 + 5 a a b ，当入1 帮或私1 萼等且o c o i 当z - f 纠丢y = d r a d v ，0 ，当z _ ，其中z ( ) 是( 3 3 1 ) 的轨缘则宝是稳定触 l c ) 若函数v 还满足秘 0 同时又：4 ( v 一仇) 2 0 这时只需证明 r ( u ) ：= ( i , 2 一( u ) 2 ) ( 西( u ) 一圣( u 4 ) ) 0 ， 即可，并且只有当( u ，口) = ( u ，矿) 时，掣= 0 下证：当0 a 2 t 1 2 5 时，( 3 3 3 ) 成立 r ( u ) = ( u 2 一( u + ) 2 ) ( 垂( u ) 一西( u + ) ) ( 舻一( u 。) 2 ) ( a + o 铲一钍一矿 牡钉 l + t 正2 a + a ( u + ) 2 一u + 一( u ) 3 t t + = ( 铲小甲) 坚型塑坐孚塑必 = 一警( 钍“) ( 儿州a - a u u * + u u * ( uw ) ) o ( u + u 4 ) ( u 一乱+ ) 2 “t + o ( 缸+ 矿) ( 牡一t ) 2 卫上t t ( 1 - i a u + 丽a u + i u 2 ) ( 1 - 等+ i , i 2 ) ( 吖= 罟) ) ) ( 3 3 3 ) 记9 ( u ) ：= 百u 2 一等+ 1 则只要求对任意乱( o ，d ) ，都有夕( u ) o 即可满足r ( t ) 0 因为夕7 ( t t ) = 警一象= o 在让= 警处成立所以9 ( u ) 在u = 警处取得极小值：m i n g ( u ) = 1 一篙令m i n g ( u ) 0 ，得到o n 2 警因此当o o 髓( 4 1 1 3 ) 的第主特征值的符号 大于d 相似的，当方程( 4 1 1 5 ) ；涝足条件厶m ( z ) e ”( z ) 鲁如 o 融( 4 1 1 5 ) 的第一主特征值的 符号大于d 弓i 理的证明参阅【1 0 】 在本篇论文中，我们总是假设： 厶m ) 如 0 ( 4 l 1 6 ) 而在q 与的取值在0 的j 邻域时，( 4 1 1 6 ) 式也满足( 4 1 2 ) 的条件，因此在满足条件( 4 1 1 6 ) 时， 方程( 4 1 5 ) 和( 4 1 6 ) 分别有唯一一个正的全局稳定解在这里，我们分别记为胡姐一 接下来，我们就要考虑方程( 4 1 1 ) 的两个半平凡稳态解( 石，o ) 和( o ，功在方程( 4 1 1 ) 中 的稳定性这也是本文的模型建立的重要组成部分因为如果说( 4 1 1 ) 的半平凡稳态 解( 石，0 ) 是稳定的，那么方程( 4 1 1 ) 对任意的初值条件在( 石，0 ) 时，方程的解最终都趋近 于( 石，o ) ，这就意味着u 所代表的种群在较少数量下是不能侵入的；相反，如果( o ) 在是不稳 1 8 上海师范大学硕士学位论文 第四章反应一扩散一迁徙模型解的稳定性 二：三i m ( z ) 】+ ( m ( z ) 一c 菘) 咖12 盯1 二三三c 4 7 ， p v 鬻 # v 一西2 a - 乱嘉a c 2 ：v 。m ( z ) 】+ ( m ( z ) 一新乃如= f 也三三二c 4 - 8 ， 对( 4 1 1 7 ) 式，我们做变换矽：咖1 e 一宅掣，得到 姜：= = p v 妒v 仇( z ) + ( m ( z ) 一c 矗) 矽= 却三三二 c 4 t t 9 ， 第四章反应扩散一迁徙模型解的稳定性上海师范大学硕士学位论文 g j ( 4 1 1 8 ) 式，我们做变换妒：咖e - 警，得到 竺! 二q v 妒v m ( z ) + ( 仇( z ) 一撕乃妒2 r 妒二茎：q c 4 2 。， 4 2 模型的求解 为了研究种群竞争中扩散系数p ，和迁徙速率口，p 和竞争强度系数6 ，c 对竞争结果 的影响，我们先要找出环境中只含有单一种群时的一组稳态解程和 当p = l ，= k 并 且q = 口= 0 时，单一种群的稳态解石和 满足面= 万= 口，其中p 是方程 ；o o 二仇( z ) 一p ) 口= 。二三兰q 的唯一正解( 参阅文献f l1 】) 我们定义参数胁l ，o t ，p 6 和c 是关于t 的光滑函数： ( 4 2 1 ) u ( t ) = k + 脚t + o ( t )v ( t ) = k + u o t + o ( t ) a ( t ) a o t + o ( t )f l c t ) = 届谚+ d ( ) ( 4 2 2 ) b ( t ) = l + 6 0 t + d ( )c ( t ) = 1 + c o t + o ( t ) 引理4 2 1 当t = 0 融特征方程( 4 1 1 9 ) 的主特缸伊( ) = 0 j 特征方程( 4 1 2 0 ) 的主特征予( t ) = o 2 n 上海师范大学硕士学位论文 第四章反应一扩散迁徙模型解的稳定性 证明： 当t = o + t ，我们z 。，1 0 p ( 0 ) = z ( o ) = k ，q ( 0 ) = p ( 0 ) = o 和6 ( o ) = c ( o ) = 1 取妒= p o ，此时( 4 1 1 9 ) 可以化简为 p k p + ( m e ) p e = 0 ( 4 2 3 ) k 口+ ( m o ) o = 0 由( 4 2 1 ) 式可知( 4 2 3 ) 式成立此时我们将矽看作特征方程( 4 1 1 9 ) 的特征函数，口：o 看作 是卵的特征值因为对于n e u m a n n 边界条件，只有主特征值所对应的特征函数是正的所 以( 4 。l 。1 9 ) 的主特征值口= 0 同理可证丁= 0 是( 4 1 2 0 ) 的主特征值 口 利用引理( 4 2 1 ) ，我们选取合适的p 并分别取主特征值口( ) 和丁( z ) 所对应的的单位特征函 数为矽( ) 和妒( ) 这样利用【l l 】中的引理3 1 ，我们记： 石= 0 + u o t + o ( t )万= 0 + v o t + o ( t ) 矽( ) = p o + c o t + o ( t )妒 ) = p o + 妒o + o ( t ) ( 4 2 4 ) o ( t ) = a o t + o ( t )7 - ( ) = r o t + o ( t ) 将( 4 2 2 ) 和( 4 2 4 ) 式代入( 4 1 1 ) ，利用( 4 2 3 ) 式，化简得： 蜘9 + k u o v ( a 0 0 v m ) + ( m 一2 0 ) u o = 0z q ( 4 2 5 ) 和 v o a o + t c a v o v ( & 0 v m ) + ( m 2 0 ) v o = 0z q ( 4 2 6 ) 把( 4 2 2 ) 和( 4 2 4 ) 代入( 4 i 1 9 ) 和( 4 1 2 0 ) 式，化简得： v o p a o + k 讥+ p 岛v m v o + ( m 目) 一p o u o p c 0 0 2 = p a 0 8z a q ( 4 2 7 ) 和 胁d p 口+ k 妒o + p a o v m v o + ( 仇一p ) 咿。一p o v o p b 0 0 2 = p r 0 0z a q ( 4 2 8 ) 并且方程式( 4 1 1 ) 中的边界条件经过变换得 器之舞= 舞= 瓣= o z 讹 ( 4 2 9 ) 磅参一o o 秒舞= 0k 嚣一岛口嘉= 0 z o f t 2 l 第四章反应一扩散一迁徙模型解的稳定性 上海师范大学硕士学位论文 接下来，我们化简( 4 2 7 ) 式，等式两边同时乘以以 ( 4 2 ) 8 v o p a 8 + o k a 曲o + o p 届o v m v o + 秽( m p ) 一p 0 2 t t o p c 0 0 3 = p 印日2 ( 4 - 2 l o ) 利用散度定理： f no a d x = f a 妒o a o d x ， f ao a o d x = 一厶i v o l 2 d x ， ( 4 2 11 ) 对式两边同时在q 上积分，化简得 一峋矗i v o l 2 d x + 1 3 0f no v o v m d x f au 0 0 2 d x c o 止口3 d x = of a 0 2 d x ( 4 2 1 2 ) 化简( 4 2 5 ) 式：两边同时乘以以并在q 上积分利用散度定理化简得 p 舞出一肋如i v o l 2 d x + a of ao v o v m d x - q 0 0 2 嘉d s = 厶咖秽2 d x ( 4 2 1 3 ) 利用( 4 2 9 ) 式，可将上式化简为 一肋厶i v 0 1 2 如+ a of ao v o v m d x = 厶咖p 2 d x ( 4 - 2 1 4 ) 联立( 4 2 1 2 ) 式和( 4 2 1 4 ) 式得 c r o = 垃业趔等等业盥坠一诒譬 ( 4 2 ) 利用同样的方法化简( 4 2 8 ) 和( 4 2 6 ) 式，可以得到： = 逝蚍趔专鼯必也坠一等 ( 4 2 1 6 ) 因此c r 0 和而满足关系： 而= 一a r 0 一与赫譬( 4 2 1 7 ) 引理4 2 2 如果q 舻是凸集或者qc _ q 蹰是一个区间那么积分厶口v p v m 如 o f 弓理的 证明参阅文献f l1 1 1 利用前面的引理，通过比较a o 和丁。的符号，我们就得到了 定理4 2 1假设方程( 4 1 1 ) 的定义域q 是定义在瓣上的一个区f 句或者是定义在咿上的一 2 2 上海师范大学硕士学位论文 第四章反应一扩散一迁徙模型解的稳定性 个凸集将方程h 1 1 ) 中的各个参耋饥o l , 6 和c 表示成关氕的光滑函耋磐 p ( ) = 圪4 - p o t + o ( t )z ，( t ) = k + u o t + o ( t ) q ( ) = q o t + o ( t )p ( t ) = 岛t + o ( t ) ( 4 2 1 8 ) b ( t ) = 1 + b o t + o ( t )c ( t ) = 1 + c o t + d ( ) 在t 充分小时就会有： ( 1 l 在满足= 蜘时若 e l i o 阮 c o 0 b o ( 4 - 2 1 9 ) 则得印 0 罚； 若 q o f l oc o 旬 1 2 ) 在满足= v o 时若不比较吣与8 0 的大小关系而是要求e o 和b o 满足下面的关 系： 者 c o 地铲刈 1 ) b o 垃错秽 o 则得叻 0 v o ； 若 c o o 则得a o 0 t o ( 3 ) 在满足b o ；c o = q 时，若 伽 确f l o 伽 ( 4 2 2 3 ) 则得o r 0 r o 伽 蜘岛 q o ( 4 2 2 4 ) 例在满足6 0 = c o = o 髓若不比较与峋的取值而要求q o 和阮满足下面的关系? 者 则得o o 伯 f 5 j 在满足q o = 风= 0 融 若 财得印 肋 0 6 d 肋 的c o 0 6 0 ( 4 2 2 5 ) ( 4 2 2 6 ) ( 4 2 2 7 ) ( 4 2 2 8 ) t 6 l 在满足q o = g q = o 时若不比较c o s b o 的大小关系雨要求和蜘满足下面的 者 则得a o 0 7 0 # o - v o p ，即满足条件( 4 2 2 3 ) 时，种群 l 在达到稳态时，种群v 不能侵入；相 反，如果种群u 的扩散速率p 大于种群u 的扩散速率u 并且沿着资源梯度运动的速度口，p 满 足o t p ，即满足条件( 4 2 2 4 ) 时，种群u 在达到稳态时，种群u 不能侵入 定理( 4 2 1 ) 的情况( 4 ) 所表示的生物意义是：在两个种群u 和仃对资源的利用率b 和c 满 足b = c = 1 条件时，尽管种群u 的扩散速率弘大于种群v 的扩散速率，但如果沿着资源梯度 运动的速度o t ，p 选取合适的值，即满足条件( 4 2 2 5 ) 时，种群u 在达到稳态时，种群u 仍不能侵 入；相反，如果种群u 的扩散速率p 小于种群 的扩散速率，但沿着资源梯度运动的速度o t ， p 选取合适的值，即满足条件( 4 2 2 5 ) 时，种群口在达到稳态时，种群u 也不能侵入 情况( i i i ) ：不比较两个种群沿着资源梯度运动的速度q ，p ，而只研究种群扩散速率弘， 和种群对资源的利用率b ，c 取值对竞争的影响即定理( 4 2 1 ) 中的( 5 ) 和( 6 ) 部分 定理( 4 2 1 ) 的情况( 5 ) 所表示的生物意义是：在两个种群沿着资源梯度运动的速 度a 和p 满足a = p = 0 时，如果种群u 的扩散速率芦小于种群u 的扩散速率，种群仳对资源的 利用率c 与 对资源的利用率c 满足条件b c 即满足条件( 4 2 2 8 ) 时，种群v 在达到稳态 时，种群u 不能侵入 定理( 4 2 1 ) 的情况( 5 ) 所表示的生物意义是：在两个种群沿着资源梯度运动的速 度o t 和卢满足q = p = 0 时，尽管种群u 对资源的利用率c 与种群u 对资源的利用率c 取值不满 足条件b c ，但如果种群u 的扩散速率“与种群u 的扩 散速率, t 取值适当，例如满足条件( 4 2 3 0 ) 时，种群，u 在达到稳态时，种群也不能侵入 2 6 上海师范大学硕士学位论文 第四章反应一扩散一迁徙模型解的稳定性 4 4 结论 本文主要讨论了反应扩散迁徙模型在空间资源分布不均匀的的情况下，模型中各参 数的取值大小对解的影响d o c k e r y 等人曾在【1 3 】中证明了两个竞争种群在没有沿资源梯 度运动，并且对资源的利用率相同时，即模型( 4 1 1 ) 中的o t = p = 0 ，b = c = le v i ，扩散速度 慢的种群有更大的竞争优势。r s c a n t r e l l ，c c o s n e r 与yl o u 在【1 1 】证明了在两个种群有 相同的资源利用率，但其中一个种群仳有除了有自由扩散外，还有沿资源梯度运动的能力； 而另一种群u 只有自由扩散时，虽然u 的自由扩散速度“大于 的自由扩散速度，但只要种 群沿资源梯度运动的速度a 取值合适时，种群u 仍然比u 更有竞争优势通过定理( 4 2 1 ) ， 我们得到了更一般的结论，包括t d o c k e r y 等人在【1 3 】的结论