（应用数学专业论文）几类多元小波滤波器的构造.pdf

中文摘要 摘要 除h a r r d , 波外，具有紧支集和对称性的一元二进制标准正交小波不存在， 即具有线性相位和有限冲击响应的一元二通道完全重构滤波器是不存在的。因 此，人们把兴趣转向了一元多通道滤波器、多元滤波器和向量值滤波器的设 计，这些滤波器可分别用于m 进小波、多元小波和多小波的构造。本文主要提 出了利用中心对称矩阵构造具有一致线性相位的一元m 通道滤波器和在预小波 和标准正交小波的情形下通过具有线性相位的低通滤波器构造多元高通滤波器 的方法。内容安排如下： 第一章，对小波分析的研究背景，历史及现状进行概述。 第二章，简单介绍了小波分析的基本思想，阐述了连续小波变换和离散小 波变换的基本理论；介绍了多分辨分析的概念，在此基础上给出了离散小波分 解重构公式( m a l l a t 算法) ，并从信号处理角度给予了分析。 第三章，构造了两类滤波器。第一类是一元多通道滤波器，并利用中心对 称矩阵使构造的滤波器具有线性相位。第二类是多元双正交滤波器。 第四章，给出了当2 2 t , 缩矩阵a 满足id e ta l = 4 以及3x3 伸缩矩阵a 满 足id e ta l = 8 时的多元高通滤波器的构造方法。 最后，在第五章中，分析了前面得到的主要结果，并对未来进一步的研究方向 进行了展望。 关键词：一元多通道滤波器；多元小波滤波器；中心对称矩阵；线性相位；矩 阵扩充 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h e r ed o e sn o te x i s tas y m m e t r i co r t h o n o r m a lw a v e l e tw i t h ac o m p a c ts u p p o r ti nt h eu n i v a r i a t ed y a d i cd i l a t i o nc a s ee x c e p th a a rw a v e l e t ，t h a ti s ， t w o c h a n n e lp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nf i rb a n k sh a v i n gal i n e a rp h a s ea r en o ta v a i l a b l ei n t h eu n i v a r i a t ec a s e s ot h i sl e a d st oa l li n t e n s ei n t e r e s ti i lu n i v a r i a t em u l t i - c h a n n e l ，h i g h - d i m e n s i o n a la n dv e c t o r - v a l u e df i l t e rb a n k sw h i c hc o r r e s p o n dt om - b a n dw a v e l e t s , m u i - t i v a r i a t ew a v e l e t sa n dm u l t i w a v e l e t s r e s p e c t i v e l y t h i st h e s i sf o c u s e so nt h em e t h o do f d e s i g n i n go fu n i v a r i a t em - c h a n n e la n dm u l t i v a r i a t ew a v e l e tf il t e rb a n k s w eo r g a n i z e t h et h e s i sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w ep r e s e maq u i c ko v e r v i e wo fr e s e a r c hb a c k g r o u n d ，h i s t o r ya n d s t a t u sq u oo fw a v e l e ta n a l y s i s i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c et h eb a s i ci d e ao f w a v e l e ta n a l y s i sa n dt h eb a s i ct h e o r y o fc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r ma n dd i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o i m ，t h e nw ei n t r o d u c e m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sa n dm a l l a ta l g o r i t h m i nc h a p t e rt h r e e ，w ef i r s td e s i g naf a m i l yo fu n i v a r i a t em - c h a n n e lf i l t e rb a n k sb y am a t r i xf a c t o r i z a t i o n f o rf i l t e rb a n k so ft h i st y p e ，w es h o wt h a tc e n t r a ls y m m e t r i c o r t h o g o n a lm a t r i c e sp r o v i d ef i l t e rb a n k sh a v i n gl i n e a rp h a s e t h e nw ed e s i g nb i o r t h o g 。 o n a lm u l t i w a v e l e tf i l t e rb a n k sf r o mc e n t r a ls y m m e t r i cm a t r i c e s i nc h a p t e rf o u r , w es t u d ys o m es p e c i a lm a t r i c e sw h i c ha r eu s e f u lf o rt h ec o n s t r u e - t i o no fh i g h - p a s sf i l t e rb a n k s ，t h e np r e s e n tam e t h o do f t h ed e s i g n i n go f h i g h p a s sf i l t e r b a n k sf r o ml o w - p a s sf i l t e rb a n kh a v i n gl i n e a rp h a s ei nb o t ho ft h ep r e w a v e l e ta n do r - t h o n o r m a lc a s e sw i t ht h ed i l a t i o nm a t r i xas a r i s f y i n gd e ta i = 4 a n dd e ta i = 8 i nc h a p t e rf i v e ，w ea n a l y z et h em a i nr e s u l th a v i n gb e e ng o ta b o v ea n dg i v ea n 。 o u t i o o kf o rt h ef u r t h e rr e s e a r c h k e yw o r d s ： u n i v a r i a t em - c h a n n e lf i l t e rb a n k s ；m u l t i v a r i a t ew a v e l e tf i l t e rb a n k s ； c e n t r a ls y m m e t r i cm a t r i c e s ；l i n e a rp h a s e ；m a t r i xc o m p l e t i o n 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 作者签名：询丰 签名e l 期：矽r 年；月砣日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 作者签名： 导师签名： 了萄车 、， f 挺弘参车 1 日期：瑚年j 月2 1 2 扫 日期：h 年朔p 日 第一章引言 1 1 小波分析的发展概述 第一章引言 小波分析是近十多年来迅速发展的新兴学科，它的涉及面之宽广，影响之 深远，发展之迅速都是空前的。它取得的成绩也是令人瞩目的。小波分析是纯 粹数学家和研究数据处理、量子力学、声学、计算机科学、视觉科学等领域的 应用数学家、工程师各自独立发现的。它是继f o u r i e r 变换后，纯粹数学和应 用数学完美结合的又一光辉典范。它体现了数学理论的完美性和数学应用的广 泛性。在数学家们看来，它是泛函分析、f o u r i e r 分析、样条分析、调和分析、 数值分析的最完美结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音分 析、模式识别、量子物理及众多的非线性科学领域，它被认为是近年来在工具 及方法上的重大突破。 世界从本质上来说是非线性的，线性是非线性的特殊情况。单纯的线性化 方法是无法客观、真实、有效的反映世界的，因此研究非线性系统的共同性 质、基本特征和运动规律是人们客观认识世界的首要任务。而当前研究非线性 科学的主要工具有分形理论、人工神经网络、f o u r i e r 分析、小波分析等。 自从法国大数学家f o u r i e r 于1 8 0 7 年为了得到热传导方程的简便解法而首 次提出f o u r i e r 分析理论以来，f o u r i e r 分析成了刻画函数空间、求解微分方程、 进行数值计算与处理信号数据的主要工具之一。f o u r i e r 分析之所以能够有如 此作为，究其原因，从理论角度看主要是在于许多常见运算在f o u r i e r 变换下 性质变得很好( 例如徼商运算变成多项式乘法，卷积变为普通乘积等) ：从 实际应用角度看是因为f o u r i e r 级数展开是每个周期振动都是具有简单频率的 简谐振动的叠加这一物理现象的数学描述。特别是结合1 9 6 5 年在美国b e l l 实验 室的c o l l 和t u k e y 提出的快速f o u r i e r 变换后，f o u r i e r 分析在极短的时间内迅速 渗透到现代科学技术的几乎所有领域，被当作理论研究分析和数值计算中最 基本、有效的、经典的工具。然而正是这些深入的研究和广泛的应用，逐步 暴露了f o u r i e r 分析在研究某些问题时的局限性。用f o u r i e r 分析来反映一个函 数f ( x ) 的局部性质是不可能的，因为f ( x ) 的f o u r i e r 变换是厂( z ) 在整个时间域上 的加权平均，可是局部性质的描述无论是在理论方面还是在实际应用方面都是 十分重要的，例如信号的突变往往是自然界中客观实体的的区别所在。 湖北大学硕士学位论文 小波分析的出现恰恰克服了f o u f i e r 分析不能做局部分析的缺点，它兼 具f o u r i e r 分析( 正交性、震荡性) 和b 样条( 局部性、光滑性) 的优点。小波具 有卓越的时频局部化性能和多分辨率能力，它在时间域和频率域都有良好的性 质，由于对高频成分采用逐步精细的时间域采样，它可以聚焦到对象的任意细 节。从这个意义上它被称为数学上的显微镜。在实际的应用中，它有以下几个 显著的优点： 正交( 双正交) 性：减低了信号的冗余。 紧支集性( 速降性) ：体现了时间域的局部性，同时也减少了计算量。 消失矩( 震荡性) ：用来分析函数的奇异性。数据压缩中，在光滑的地 方产生大量的小的小波系数，消失矩的实际影响是将信号能量相对集中在少数 几个小波系数里。 对称性：信号处理中线性相位的体现，数据压缩中它使得边界处理变得简 单，可以避免边界的失真，降低量化误差，具有美的主观感觉。 小波分析的提出可追溯到1 9 1 0 年，h a a r 提出了最早的小波规范正交基， 这就是最早的小波基：h a r r d 、波基。但当时并没有出现“小波”一词。小波 分析的思想萌芽于1 9 3 0 年3 0 1 9 8 1 年。这一期间主要是一些特殊构造的小波在 某些专业领域孤立的应用，比较典型的有代表性的工作是：1 9 3 6 年，英国数 学家l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分量分组理论：对频率 按2 磕生行划分，从而创造出了可以在频率上进行较精确定位，并且在时间上也 可以进行相对精准定位的信号，这是多尺度分析思想的最初来源。1 9 4 6 年，匈 牙利裔的英国物理学家o a b o r 提出了g a b o r 公式，这个公式和傅立叶变换有着相 似之处，也称为加窗f o u r i e r 变换( 短时f o u r i e r 变换) 。1 9 8 1 年，法国的地质物 理学家j e a nm o r l e t 在分析处理地质数据时，首次提出了“小波分析”的概念， 建立了以他的名字命名的m o r l e t d x 波。s t r o m b e r g 通过对h a a r j e 交基的改进，引 入了s o b o l e v 空间何8 的正交基。著名的计算机视觉专家d m a r r 在他的零交叉理论 中使用可按尺寸大小变化的滤波器，现在称为墨西哥帽的小波也是这个时期的 著名工作之一。这些工作为小波分析的发展奠定了基础。小波分析的真正热潮 开始于1 9 8 6 年，当时m e y e r 仓o 造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数砂，其二 进制伸缩与平移 矽；= 2 一矽( 2 一j t k ) ：j ，k z ) 构成己2 ( 冗) 的规范正交基，这 一成果标志小波分析新时代的到来，在这之前，学术界对具有如此好性质的基 的存在性发生了动摇。继m e y e r 提出了小波变换之后，l e m a r i e $ 1 b a t t l e 义分别独 2 第一章引言 立的给出了具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年，计算机科学家m a l l a t 巧妙地将计 算机视觉领域内多尺度分析思想引入到小波分析，与m e y e r 起提出了多分辨 率分析的概念，成功地统一了之前m e y e r 、l e m a r i e 和b a t t l e 等提出的具体小波函 数的构造方法。同时，m a l l a t 还简洁地得到了离散小波的数值算法，f i l m a l l a t 分 解与重构算法，并将此算法成功的用于数字图像的分解与重构，这是小波理论 的突破性成果，它使得小波从理论研究走向更宽广的应用研究。1 9 8 8 年，比利 时女数学家d a u b e c h i e s 基于多项式方法构造出紧支集正交小波基，加速了小波 的应用研究。这时小波分析的理论系统初步得到了建立。1 9 9 0 年，c k c h u i 和 中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并讨论了具有最好 局部化性质的尺度函数和小波函数。同年，b e y l k i n ，c o i f m a n 等将小波分析应 用于算子理论。1 9 9 1 年，j a f f a r d 和l a u r e n c o t 将小波应用于偏微分方程数值解。 而w i c k e r h a n s e r 等将m a l l a t 算法进一步深化，得到了小波包算法，并成功的应用 于信号压缩和数据分析。进年来，还出现了向量小波理论，向量小波是由多个 小波的伸缩和平移构成，具有更多的自由度。 从小波分析的发展可以看出，小波分析的诞生是以解决实际应用问题 ( 如m o r l e t 地震数据处理) 为出发点，然后上升到系统理论，辐射到多学科， 在各个领域全面铺开。经历了“应用一理论一应用”的过程。 小波分析已经渗透到微分方程、积分方程数值解、数字信号( 图像) 处理 等诸多领域，成为这些领域中构造数值解法的重要依托工具。 目前一元小波的理论及应用人们已经很熟悉了。但高维小波分 析( 二维及二维以上) 还远远不如一元小波那么成熟。自从1 9 9 2 年以 后，c o h e n 和d a u b e c h i e s r ，j k o v a c e v i c 和m v e t t e r l i l 2 0 等分别进行了非张量积小 波的构造工作。但由于高维小波基的构造比较复杂，对于非张量积的紧支集小 波的构造目前还没有有效的通用方法。人们一般采用张量积的方法，产生的是 变量可分离的小波，对高维小波的应用仍停留在张量积小波的阶段，这种小波 在应用方面具有明显的局限性，因此在复杂与海量数据( 如图像) 处理上，它 并不是最佳的选择。随着科学技术的快速发展，高维散乱数据的处理已经成为 一个新的研究热点，比如生物蛋白质的图象重建、3 d 物体的识别与跟踪等，小 波分析作为数据处理的一个行之有效的工具，人们自然期望能够象一元小波一 样有更多的可供选择的各种性质( 正交性，双正交性，对称性，紧支集性，消 失矩等) 的高维小波基。非张量积小波比通常用的张量积小波具有更多的优越 性，体现在我们可以在更广的范围内选择具有不同性质的小波基：小波具有更 3 一 湖北大学硕士学位论文 多的自由度；能够构造具有线性相位的滤波器。非张量积小波额外的自由度使 得我们构造的小波可以同时具有正交性、对称性、紧支集性，这对标量小波的 张量积情形来说，除了h a a r 的张量积情形外是不可能的。对称性质能够产生线 性相位的滤波器，线性相位性质能够避免在图像压缩中的失真和对于边缘效果 的损耗。另外，有可能构造出对各个方向具有相同的处理效果的小波。而张量 积小波则具有特定的方向性，如二元张量积小波重点强调的是水平方向和垂直 方向的特征。 1 2 论文的研究内容和组织结构 本文具体分为五章，内容和结构如下安排： 第一章对小波分析的研究背景，历史及现状进行概述。并指出本文将要研 究的内容和所做的主要工作。 第二章简单介绍了小波分析的基本思想，阐述了连续小波变换和离散小波 变换的基本理论。引入了多分辨分析的概念，在此基础一l - _ 给出了离散小波分解 重构公式( m a l l a t 算法) ，并从信号处理角度给予了分析。 第三章构造了两类滤波器。第一类是一元多通道滤波器，并利用中心对称 矩阵使构造的滤波器具有线性相位。第二类是多元双正交滤波器。 第四章给出了当2 ，2 伸缩矩阵a 满足i d e t a i = 4 以及3x3 伸缩矩阵a 满 足ld e ta i = 8 时的滤波器的构造方法。 第五章是对论文工作的总结以及展望。 第二章小波分析的基本理论 第二章小波分析的基本理论 小波分析属于时频分析的一种，它是傅立叶分析的发展，但又优于傅立叶 分析。虽然傅立叶分析作为经典的一种方法被广泛应用，但无法表述信号的时 频局域性质，故其身存在缺陷。对于一些非平稳信号，它们的频域特性是随时 间变化的。对这一类信号用傅立叶变换进行分析，仅能知道信号所含有的频率 信息，但不能知道这些频率信息出现在什么时段上，为了研究这些信号的局部 形态，人们对傅立叶分析进行了改进，发展了一系列新的信号分析理论。而短 时傅立叶变换与小波变换就是应传统傅立叶变换不能满足信号处理的要求而产 生的。短时傅立叶变换是通过窗函数在时域上的滑动来得到对信号的时域局部 化分析，但它对不同频率分量，它在时域上都取相同的窗宽。而小波变换的窗 宽则是可调的，对高频信号采用小时窗，对低频信号采用大时窗，它在时频两 域都具有表征信号局部特征的能力，被誉为分析信号的显微镜。它具有多分辨 分析的特点。 2 1 连续小波变换 设矽( ) 为平方可积函数，也即妒( t ) l 2 ( 冗) ，若其傅立叶变换移0 ) 满足条 厂丛业山 。，丁r 参数a ，7 - 分别称为尺度因子和位移因子。 - 5 ( 2 1 2 ) 记为讥，r ( t ) ： ( 2 1 3 ) 湖北大学硕士学位论文 设，( t ) 是平方可积函数，巳p f ( t ) l 2 ( 兄) ，则 伽，丁) = ( m ) ，) = 丽1 ) 炽t t - - t ) 班 ( 2 1 4 ) 称为厂( t ) 的小波变换。式( 2 1 4 ) 中不但t 是连续变量，而且a 和7 - 也是连续变量， 因此称为连续的小波变换( c w t ) 。 连续小波变换式一种线性变换，它具有以下几个方面的性质： ( 1 ) 线性性 设f l ( t ) ，五( t ) l 2 ( r ) ，他们的c w t 分别为吼 ( 口，丁) ，w c f 2 ( a ，7 ) ，k 1 ，k 2 为 任意常数，贝u f ( t ) = f l ( t ) + k 2 a ( t ) 的c w t 为 吼，( o ，r ) = k l w c f l ( a ，7 - ) + 如吼，2 ( 口，7 )( 2 1 5 ) ( 2 ) 时移不变性 设，( ) 的c w t 为吼，( 口，7 - ) ，贝, l j f ( t 一) 的c w t 为，( n ，7 - 一t o ) ，即延时后 的信号f ( t 一) 的小波系数可将原始信号，( ) 的小波系数在7 - 轴上进行同样的时 移即可。 ( 3 ) 尺度转换 设，( ) 的c w t 为可，( o ，7 ) ，则，( ) 的c w t 是 瓠肌堠，天t ) ，a o ( 2 1 6 ) ( 4 )内积定理( m o y a l 定理) 设 ( t ) ，厶( t ) l 2 ( r ) ，他们的c w t 分别为肌 ( 口，7 - ) ，吼，2 ( o ，7 - ) ，也即 则有m o y a l 定理： w 妒f i ( a ，丁) = ( ( 亡) ，妒。，( t ) ) w c , f 2 ( a ，7 ) = ( ，2 ( t ) ，讥，r ( t ) ) ( 肌 ( n ，7 ) ，w 妒f 2 ( a ，丁) ) = q ( ( t ) ，丘( t ) ) ( 2 1 7 ) 6 第二章小波分析的基本理论 其中 2 2 离散小波变换 c 巾= l 掣山 由连续小波变换的性质我们知道，在其参数a 和丁连续变换的情况下，小波 基 也，( t ) ) 具有很大的冗余性，所以信号，( ) 连续变换系数w 妒f ( a ，7 ) 的信息量 是冗余的。因此，为了减小小波变换的冗余度，通常将小波基函数饥，( t ) 中的 参数a 和丁离散化。我们这里的离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续的平移 参数7 的，而不是针对时间常数t 的i 鹞】。 通常，对于连续的尺度参数a 和连续的平移参数丁的离散化可以用公式表示 为：a = 靠和7 = k 4 t o ，其中j ，七为整数，a o 为常数且大于1 ，t o 也是常数。这 样，对应的离散化小波矽仙( t ) 就可以写成： 奶，南( 亡) = o 量矽( 磊亡一k r o ) ( 2 2 1 ) 相应的离散化后的小波变换为： 吼加，七) = ( 巾) ，) = m ) 螃觯) 出= 。；竹) 砂+ ( 4 t - - k t o ) 班( 2 2 2 ) 进一步，我们可以得到在实际数值计算时使用的重构公式： 弛) = w j ( j ，忌) 吻，七( 亡) j rk e r 在实际应用中，最常用的离散化是采用二进制离散， 这样我们可以给出相应的离散小波基和小波变换： 和 吻，七( t ) = 2 妒( 2 j t k ) ( 2 2 3 ) 即取a o = 2 ，t o = 1 ， ( 2 2 4 ) w c f ( j ，忌) = 2 邢) 妒+ ( 2 j t - k ) 出 ( 2 2 5 ) 尽管我们已经给出了小波变换的参数离散化及其逆变换公式，但是我们还 一7 湖北大学硕士学位论文 不知道所给出的公式是否成立，也就是说能否从离散化的小波变换系数重建原 函数厂( t ) ，这个问题要用小波框架理论来解决，下面我们就简单介绍一下有关 这方面的理论和概念。 定义2 1 一个基函数矽( t ) 2 ( 冗) 的生成元为【吻，七( t ) ) ，如果对任意的函数，( t ) l 2 ( r ) ，都存在常数a ，b _ e o a b o 。，使得不等式： a l l y ( t ) l l ；s m t ) ，奶删) 1 2 b l l y ( t ) l l ； ( 2 2 6 ) j zk e z 成立，那么就称 奶，七( t ) ) 为一个框架，其中a 和b 分别称为该框架的下边界和上 边界：特别的，当a = b 时，称 仍，七( t ) ) 为紧框架。 定义2 2 设基函数矽( t ) l 2 ( r ) ，若存在常数a ，b ，其中o a b 0 0 ，使得 不等式： a i 移( 2 ) 1 2 b ( 2 2 7 ) k e z 成立，则称由公式( 2 2 4 ) 定义的小波基函数为二进小波。 上述定义说明了在公式( 2 2 7 ) 成立的情况下公式( 2 2 5 ) 所定义的小波变换的 逆才存在，我们称公式( 2 2 7 ) 为二进小波的稳定性条件；当a = b 时，该公式 称为最稳定条件。 2 3 多分辨分析幂l l m a l l a t 算法 多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sm r a ) 的提出，是小波分析理论的 一大突破，它是建立在函数空间概念上的理论，但其思想的形成来源于工 程。在小波分析发展的早期阶段，构造l 2 ( 月) 中的小波基是非常困难的，从 泛函分析的观点，寻找这样一个具有良好正则性和局域性的函数砂( t ) 并且使 得帆七( ) = 2 1 妒( 2 1 t 一尼) 构成l 2 ( 兄) 中的正交基是一个非常艰巨的任务。很长一 段时问，人们一直怀疑这种函数的存在性，但在二十世纪八十年代这样的函数 被发现了，并且一种构造小波基的标准方法被建立：人们已经证明，几乎所有 的小波基都可以用这种方法来构造，这种方法即是多分辨率分析，他的主要目 的就是寻找一个函数妒( t ) l 2 ( r ) 以确保砂 k ( t ) = 2 矽( 2 j t 一七) 构成l 2 ( r ) 中的正 交基。多分辨率分析是由m a l l a t 和m e y e r 提出的，自那时起，多分辨率分析就成 为了一种在信号处理、图像处理、计算机视觉、模式识别等相关领域中一种重 8 第二章小波分析的基本理论 要的工具。 2 3 1 多分辨率分析 在给出多分辨率分析的定义之前，我们首先声明，多分辨率分析有两种定 义，我们这里给出的定义所对应的尺度空间k 对应于分辨率，其子空间的包 容关系为kc 巧+ 1 ；另外一种定义所对应的尺度空间k 对应于2 一j 分辨率，其子 空间的包容关系为ck 一1 。 令砂( t ) 是一个平方可积的连续函数，a o c ( t ) l 2 ( r ) ，并且咖，k ( t ) = 2 ( 2 j t 一七) 是由( t ) 经过伸缩和平移生成的二维离散序列，我们定义由o ，七( 亡) 生成的闭子空间为： = s p a n c o ， ( t ) ：k 名 ( 2 3 1 ) 通常我们称其为零尺度空间；于此类似，其它的子空间也由咖( 亡) 生成： 巧= 印o n 咖，k ( t ) ：k z ) ( 2 3 2 ) 我们称其为歹尺度空间，它表示巧是由咖，知( 亡) 在每个固定尺度歹上通过平移所张成 的子空间。那么，对于任意函数，( 亡) 巧，由歹尺度空间的定义我们可以知道它 可以由k 中的一组基表示，即： 砟) = 。女咖，七( t ) = 2 。七砂( 2 i t - k ) ( 2 3 3 ) k e zk z 其中妣= ( ，( t ) ，咖，七( t ) ) 。 定义2 3 空间l 2 ( r ) 的多分辨率分析是指构造三2 ( r ) 空间内的一个闭子空间序 列 巧，j z ，并且它具有以下性质： ( 1 ) 单调性 巧ck + 1 ，j z ( 2 ) 逼近性 nk = o ) ，u 巧= 己2 ( r ) j e zj e z 9 湖北大学硕士学位论文 ( 3 ) 伸缩性 ( 4 ) 平移不变性 v j z ，( ) 巧 = 争f ( 2 t ) v j + i f ( t ) v j 铮f ( t k ) 巧 ( 5 ) r i e s z 基存在性 存在函数砂( t ) v o ，使得 ( 亡一后) ，k z ) 构成的一个r i e s z 基。 多分辨率分析又叫多尺度分析，所以我们通常把多分辨率分析的生成函 数o ( t ) n q 做尺度函数，它和小波基函数矽( t ) 相对应。 定理2 1 令v j ( j z ) 是l 2 ( 冗) 空间中的一多分辨率分析空间，则存在一个唯一函 数( ) l 2 ( r ) ，使得 奶，七( ) = 2 1 ( 2 j t 一后) j ，k z( 2 3 4 ) 构成歹尺度子空间k 的一个标准正交基，其中砂( ) 称为尺度函数。 这个定理告诉我们，任何v j 内的正交基都可以由函数( t ) 通过式( 2 3 4 ) 得 到，其具体方法事先将尺度函数( t ) 作伸缩，然后再平移，式中的系数2 是为 了使正交基的l 2 范数等于1 。 由多分辨率分析空问的单调性可知，各个子空间k 相互包含，因此它们之 间不具有正交性，所以k 中的基函数咖，k ( t ) = 2 ( t 一七) 在不同的尺度j 之间也 不具有正交性，所以 咖，七( t ) ：k z ) 不能作为l 2 ( r ) 空间的正交基。 为此，我们定义尺度为歹的小波空间为k 在k + 1 中的正交补空间，也就是 它满足条件： y j + l = y j w j ( 2 3 5 ) 和 上k( 2 3 6 ) 由多分辨率分析的定义和尺度子空间k 的性质，我们可以得到小波空 间的一些性质： ( 1 )正交性：对于任意的两个不同的整数j ，七，小波空间嵋和帆之间是互 1 0 第二章小波分析的基本理论 相正交的，即： 上 ( 2 3 7 ) ( 2 ) 平方可积空问l 2 ( r ) 可以分解为小波子空间的正交直和，即： l 2 ( r ) = o = 肌，0 w oo 鹏 ( 2 3 8 ) j z 如果用劬w j 表示，( t ) 在嵋上的投影，则每个，( t ) l 2 ( 兄) 可以唯一分解为 f ( t ) = + 夕一1 ) + g o ( t ) + g l ( t ) + ( 2 3 9 ) ( 3 ) 对任意的歹z ，若厂( t ) w j ，那么我们都可以得至u f ( 2 t ) 嵋+ 1 。 我们由小波空间的性质( 2 ) 可知，要想找到空间l 2 ( r ) 中的一组正交基， 只要找到每个小波子窄间嵋的正交基就可以了；再由性质( 3 ) ，我们只需找 到子空间的一组正交基就可以了。 假设矽( 亡) 为小波基函数，那么它经过平移 ，七( t ) = 妒 一后) ：k z ) 可 以构成巩的一组正交基。所以，它的伸缩和平移 妒，詹( t ) = 2 t 矽( 2 j t k ) ：k z ) 可以构成子空间的一组正交基，所以，对所有的j ，k z ，奶，奄( t ) 就构 成l 2 ( r ) 空间的一组正交基。 公式( 2 3 5 ) 表明厂( t ) 在两相邻分辨率上的近似乃和乃+ l 之间相差的细节信息 是包含在空间比里的，即是仍。由( 2 3 5 ) 可以递推得到 v j + 产o 一z 0 嵋一- 0 嵋 ( 2 3 1 0 ) 由式( 2 3 5 ) 和( 2 3 9 ) ，我们可以用小波子空间0 = 1 ，2 ，) 及尺度空 f c v j ( j = 1 ，2 ，) 的正交直和来逼近空间l 2 ( r ) ，即： l 2 ( 冗) = 0 o + o ( 2 3 1 1 ) 式中0 = 1 ，2 ，) 称为细节部分，即逼近误差；称为粗糙像。 若乃巧代表了函数厂在分辨率矽上的近似( t g , q 模糊信号或粗糙信号) ， 那么仍就代表了逼近的误差( 细节信号) ，则式( 2 3 5 ) 和( 2 3 1 0 ) 就意味 湖北大学硕士学位论文 着： 和 f j + l = 乃- t - 乃 j z( 2 3 1 2 ) ，= a + g n + g n + 1 + = a + 鲫“z ( 2 3 1 3 ) 上式表明，任何细节函数f ( t ) l 2 ( r ) 都可以根据它在分辨率2 9 上的粗糙信号 和它在分辨率2 n + i ( i 0 ) 上的细节信号“完全重构”，这就是m a l l a t 算法的基本 思想。 2 3 2m a l l a t 算法 设( t ) 和妒( t ) 分别是尺度函数和小波函数，那么由于( t ) v o ，砂( t ) w o n n f v l ，而且是由基函数l ，k ( t ) = v 2 砂( 2 t 一七) 生成的，所以存在平方可 和序列空间z 2 中的两个序列 九1 ( n ) ) 和 夕l ( 礼) ) 使 ( t ) = 讵e h l ( 七) 妒( 2 t 一七) ( 2 3 1 4 ) k e z 妒( t ) = 扼9 1 ( 七) ( 2 亡一尼) ( 2 3 1 5 ) 七z 成立。公式( 2 3 1 4 ) 和( 2 3 1 5 ) 称为尺度函数和小波的“两尺度关系”。另一方面 由于k = v o o w o ，则也可以由，k = ( t 一后) 和讥，知= 矽( t k ) 共同生成。 因此对l l 也存在平方可和序列空间2 中的两个序列 ( n ) ) 和 卯( n ) ) 使 v 2 妒( 2 t 一? ) = ( 2 k 一愀一七) + g o ( 2 k f ) 妒( t k ) l ( 2 3 1 6 ) k e z 成立。于两尺度关系对应，( 2 3 1 6 ) 称为尺度函数和小波的“分解关系”。对于 一个小波砂和与它对应的尺度函数砂，两尺度关系和分解关系是唯一确定的。 在介绍m a l l a t 算法之前，首先为了书写的方便，把( 2 3 1 2 ) 改写为 i = | - 1 j rg 卜1 j z 1 2 第二章小波分析的基本理论 由于乃k ，乃一1 y j 一1 ，和乃二1 嵋一1 ，且奶，七，咖一l ，和奶一1 ，七，k z 分别是巧，v j 一1 和一l 的基函数，所以有 o o f j ( t ) = 勺，七咖，七 七= 一。o 乃一1 0 ) = 勺一1 ，m 奶一1 ，m j ，k ，m z ( 2 3 1 7 ) k = - o o o o 卯一l ( t ) ；d j 一1 ，仇奶一1 ，m 根据公式( 2 3 1 4 ) 一( 2 3 1 7 ) ，可以推出 勺，七) ， c j 一1 ，m 】和 嘞- 1 m ) 的分解关系式 和重构关系式 o o 勺一1 ，m = h o ( 2 m 一后) 勺，知 知焉。( 2 3 1 8 )、 ， d j 一1 ，仇= g o ( 2 m 一七) 勺，七 k = - e o c j ，七= h l ( k 一2 m ) c j _ 1 m + g l ( k 一2 m ) 奶“m ( 2 - 3 1 39 ) k = - o ok = - o o ( 2 3 1 8 ) 和( 2 3 1 9 ) 就是离散小波变换的分解和重构算法，即著名的m a l l a t 算 法。从信号处理的角度看，分解关系式( 2 3 1 8 ) p - - i 看成 c n 分别于分解滤波 器和g o 离散卷积后再抽样，就得到了模糊信号系数 c j - l , m ) 和细节信号系 数 奶一1 ，m ) ；而重构关系式( 2 3 1 9 ) 可看成 勺一1 ，m ) 和【吗一1 ，m ) 各经补零后分别与 重构滤波器h 1 和夕1 卷积再求和，就恢复了分辨率掣上的模糊信号系数 c 仙) 。 本章简单介绍了小波分析的基本思想。阐述了连续小波变换和离散小波变 换的基本理论。引入了多分辨分析的概念，在此基础上给出了离散小波分解重 构公式( m a l l a t 算法) ，并从信号处理角度给予了分析。 1 3 湖北大学硕士学位论文 第三章基于矩阵分解的滤波器 滤波器的设计与小波基的构造有密切的联系。根据小波分析的m r a ( 多尺 度分析) 理论，尺度函数和小波的构造分别取决于低通滤波器和高通滤波器的 设计。h e r r m a n 1 2 】设计了具有有限冲击响应的最大平滑滤波器。d a u b e c h i e s 1 0 】构 造出具有有限冲击响应的一元二通道完全重构滤波器，并用它们得到了有紧支 集和消失距的一元标准正交小波。但是在一元二进制伸缩情形下，除h a a r 、波 外并不存在一个有紧支集的一元标准正交对称小波，也就是说具有线性相位和 有限冲击响应的一元二通道完全重构滤波器是不存在的。因此，这就引出了对 于一元多通道、多元和向量值滤波器的研究。许多研究人员在研究l 2 ( ) 中不 可分小波【7 】【1 5 】【2 0 】f 2 6 】和多小波及其相对应的向量值滤波器 3 1 1 9 2 3 1 2 5 取得了进展。 构造一元多通道和多元滤波器非常困难，目前还没有一般的方法可用。在这一 章里，我们利用一些特殊的矩阵构造出了一元m 通道滤波器和多元双正交滤波 器。 3 1 一元m 通道滤波器 3 1 1 有矩阵分解的一元m 通道滤波器 对于尺度函数( z ) = ec k ( m x 一七) ，m z + ，z r 我们利用一些特殊 七z 矩阵可以构造出具有紧支集和线性相位的一元m 通道滤波器。 设m o ) = eg e 一嗽，k 定义它的多相位因子如下： k e z m 。，f ( ) = c m k + f e 砘， f r ，l = 0 1 一，m 一1( 3 1 1 ) k z m o ( f ) 可以通过下面的公式由m o ，z ( ) 表示： m 一1 m o ( f ) = m o ，l ( m ) e 弋 r( 3 1 2 ) 1 = 0 用m r a 构造紧支撑正交小波就是要构造正交f i r 和c m f 滤波器，这就引 出了下面两个问题： - 1 4 - 第j 章基于矩阵分解的滤波器 ( a ) 构造低通滤波器m o ( ) ，使之满足正交条件： ( b ) 构造m 一1 个高通滤波器m 1 ( ) ，m 2 ( 车) ，f f z m 一1 ( ) ，使得 m o ( + 籍) m 1 ( + 丽2 7 r ) m m 一- ( + 舞) ( 3 1 3 ) 为酉矩阵。 我们用( ) ，歹= 0 ，1 ，m 一1 的多相位因子来刻划上面两个条件： ( a ) 构造低通滤波器m o ( f ) ，使它的多相位因子m o ，f ( ) ，z = 0 ，1 ，m 一1 满足： 1 ( ) w ( f ) 2 玄 ( 3 l 4 ) 其中 ( ) = ( m o , o ( ) ，t o o , 1 ( 趴一，m o ，m 一，( ) ) ( b ) 构造高通滤波器m 。( f ) ，m 。( f ) ，m m 一1 ( ) ，使得何彤( ) 为酉矩 阵， ( ) = ( m ，z ( ) ，j = o ，1 ，m 一1 ；1 = 0 ，1 ，m 一1 ) 其中，f ( ) 为( ) 的多相位因子。 问题( a ) 和( b ) ( 等价于( a ) 和( b ) ) 都是非线性问题，我们下面通过一些特殊 矩阵给出这个问题的一种解法。 定n 3 1 设咖( ) 具有如下形式 毗) = 去球) ( n 删蚓) v f r ( 3 ”) 其中n 为任意正整数，x ( ) = ( 1 ，e 一坫，e - 2 1 f ，e - ( m - 1 ) 1 ) ，仉为任意m 1 5 = 型m + m 脚 攀；伴 “ 0 1