（基础数学专业论文）关于自仿射集的若干问题研究.pdf

摘要 摘要 本博士论文大致由两部分组成，第一部分内容研究一类自仿射集的广义多 重分形谱；第二部分内容将白仿s i e r p i n s k i 地毯的几何结构进行了一定程度的推 广，并利用这一推广的几何结构讨论了自仿s i e r p i n s k i 地毯的平移交问题我们将 第一部分内容安排在第二至四章，将第二部分内容安排在第五章 第二章我们研究了一类由组频率诱导的自仿s i e r p i n s k i 地毯的子集 的h a u s 面雠数。其困难在于由于仿射背景导致其自然覆盖不是一个有效 的覆盖以及由于某些点的频率可能不存在导致维数估计的困难。利用密度定 理，我们得到了其h a u s d o r f f 维数谱，并找到了h a u s d o r f f 维数有显式表达的一类 稠密子集；进而研究了其h a u s d o r f f 测度性质，给出了对应的h a u s d o r f f 测度为正 有限的充分必要条件，进一步地，证明了当条件不满足时，其h a u s d o 删4 度为 无穷。 第三章我们研究了一类组频率具有比例关系的自仿s i e r p i n s k i 地毯的子集。 利用测度的h a u s d o r f f 维数，我们证明了：存在一个满维概率测度支撑这一类集 合，从而得到了其h a u s d o r f f 维数谱，这一结果可类比于在自共形情形得到的关 于h a u s d o r f f 维数的变分原理。特别地，给出了其h a u s d o r f f 维数有显式表达的一 个充分条件；得到了对应的h a u s d o r f f 测度为正有限的充分必要条件。 第四章我们研究了一类由“纤维”码诱导的l a l l e y 自仿集利用网测 度技巧，我们建立了此情形下的密度定理，利用它得到了其h a u s d o r f f 维数 和p a c k i n g 维数，证明了它是一个正则集，而l a l l e y 自仿集不是正则集。 第二部分内容安排在第五章，我们将自仿s i e r p i n s k i 地毯的几何结构进行了 一定程度的推广，得到了一个我们称为变尺度的自仿s i e r p i n s k i 地毯，本质上是 统计自仿射集关于自仿s i e r p i n s k i 地毯的随机化有很多方式，l a l l e y 矛l j 用分枝过 程有关技巧研究了一种随机化自仿s i e r p i n s k i 地毯，它要求在自仿s i e r p i n s k i 地毯 的几何构造的每一步随机选择保留下来的长方形，但不同步骤限定的是同一个 压缩，得到了一些高度不平凡的结果；本文对自仿s i e r p i n s k i 地毯的随机化，在 自仿s i e r p i n s k i 地毯的几何构造中不同步骤允许不同的压缩，但同一级的压缩中 各个被保留下来的长方形的位置和个数是相同的。通过引进“混合”测度，在 一定技术条件限制下，我们证明了：存在一个满维不变概率测度支撑变尺度 的自仿s i e r p i n s k i 地毯，从而得到了其h a u s d o r f f 维数，同时得到了其p a c k i n g 维数 和b o x 维数。利用这一结构，借鉴c a n t o r 集的平移交的处理技巧，在一定技术条 摘要 件下我们解决了自仿s i e r p i n s k i 毯的平移交问题。 关键词：自仿s i e r p i n s k i 地毯，h a u s d 0 雠数，h a u s d o 测度，p a c k i n g 维数，自 仿s i e r p i n s k i 地毯的平移交，b o x 维数，测度的维数，自仿射集 一一 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft w op a r t s t h ef i r s tp a r ti sr e l a t e dt ot h eg e n e r a l i z e d m u l t i f r a c t a ls p e c t r u mo nac l a s so fs e l f - a f f i n es e t s ，w h i c hi sa r r a n g e da tt h es e c o n dt ot h e f o u r t hc h a p t e r s a n dt h es e c o n dp a r ti sr e l a t e dt ot h eg e n e r a l i z a t i o no ft h eg e o m e t r i c a l s t r u c t u r eo ft h eg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t s a saa p p l i c a t i o n ，w ed i s c u s st h ei s s u eo nt h e i n t e r s e c t i o no ft h eg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t sw i t hi t st r a n s l a t i o n s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yac l a s so fs u b s e t so ft h eg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t sw h i c h a r ei n d e x e db yt h eg r o u pf r e q u e n c i e si nt h ec o d i n g s t h e r ea r et w op r o b l e m s ，t h ef i r s t i st h ef a c tt h a ti t sn a t u r a lc o v e r i n gu n d e rt h es e l f - a f f i n et r a n s f o r m a t i o ni sn o tae f f i c i e n t c o v e r i n g ，t h es e c o n di st h ef a c tt h a tt h el i m i t i n gf r e q u e n c y o fs o m ed i g i t sm a yn o te x i s t h o w e v e r , w eo b t a i ni t sh a u s d o r f fd i m e n s i o ns p e c t r u mb yd e n s i t yt h e o r e m e s p e c i a l l y , w ef i n dac l a s so fd e n s es u b s e t sw h i c hh a v et h ee x p l i c i tf o r m u l ao fh a u s d o r f fd i m e n s i o n m e a n w h i l e ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h ec o r r e s p o n d i n gh a u s d o r f fm e a s u r e as u f f i c i e n tc o n d i t i o na n dan e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h eh a u s d o r f fm e a s u r e si nt h e i rd i m e n s i o n st ob ep o s i t i v ea n df i n i t ea r eg i v e n f u r t h e r m o r e ，w ep r o v e t h a tt h eh a u s d o r f f m e a s u r e si nt h e i rd i m e n s i o n sa r ei n f i n i t ei ft h ec o n d i t i o n sf a i lt oh o l d i nc h a p t e r3 ，w es t u d yac l a s so fs u b s e t so ft h eg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t sw h i c h a r ec h a r a c t e r i z e db yi n s i s t i n gt h a tt h ea l l o w e dd i g i t si nt h ee x p a n s i o no c c u rw i t hp r o p o 。 t i o n a lg r o u pf r e q u e n c i e s b yt h em e t h o do fd i m e n s i o no fam e a s u r e ，w ep r o v et h a t m e 他e x i s t sam e a s u r eo ff u l lh a u s d o r f fd i m e n s i o ns u p p o r t e db yt h e s es u b s e t s t h u s w eo b t a i ni t sh a u s d o r f fd i m e n s i o ns p e c t r u m ，w h i c hi ss i m i l a rt ot h ev a r i a t i o np r i n c i p l e o b t a i n e dp r e v i o u s l yi nt h es e t t i n go fs e l f - c o n f o r m e s p e c i a l l y , w eg i v eas u f f i c i e n tc o n 。 d i t i o nw h i c hh a u s d o r f f d i m e n s i o ni sae x p l i c i tf o r m u l a f i n a l l y , as u f f i c i e n tc o n d i t i o n a n dan e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h eh a u s d o r f fm e a s u r e si nt h e i rd i m e n s i o n st ob ep o s i t i v e a n df i n i t ea r eg i v e n i nc h a p t e r4 ，w es t u d yac l a s so fs u b s e t so fl a l l e yt y p es e l f - a f f i n es e tw h i c ha r e m o d i f i e db yi n s i s t i n gt h a tt h ea l l o w e dd i g i t si nt h ee x p a n s i o n sa r ed i v i d e di n t oh o r i z o n - t a lf i b r e sa n do c c u rw i t hp r e s c r i b e dg r o u pf r e q u e n c i e s w ep r o v eav e r s i o no fd e n s i t y t h e o r e mb yt h et e c h n i q u eo fn e tm e a s u r e ，a n dt h e nc a l c u l a t et h eh a u s d o r f fa n dp a c k i n g d i m e n s i o n so ft h i sk i n do fm o d i f i e df r a c t a l sa n ds h o wt h a tm e y a r er e g u l a rs e ti nt h e s e n s eo ft r i c o tw h e r e a sl a l l e yt y p es e l f - a f f i n es e ti se v e nn o tar e g u l a rs e t 一一 i nt h es e c o n dp a r t ，w h i c hi sa r r a n g e di nc h a p t e r5 。w ee x t e n dt h eg e o m e t r i c a ls t r u c t u r eo ft h eg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t st ot h es oc a l l e dt h em u l t i s c a l es i e r p i n s k ic a r p e t s ， w h i c hi se s s e n t i a l l ya s t a t i s t i c a l l ys e l f - a f f i n es e t s t h e r ea lem a n yw a y st om a k er a n d o m l yt h eg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t s b yt h em e t h o do f b r a n c h i n gp r o c e s s ，l a l l e ys t u d y av e r s i o no fs t a t i s t i c a ls i e r p i n s k ic a r p e t s ，w h i c hc h o o s e r a n d o m l yr e c t a n g l e st os u r v i v e a te v e r ys t e pi nt h eg e o m e t r i c a ls t r u c t u r eo ft h eg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t s ，h o w e v e r , m u s tk e e pt h es a m ec o n t r a c t i v er a t i oa ta l ls t e p s i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c ea n o t h e r v e r s i o no fs t a t i s t i c a ls i e r p i n s k ic a r p e t s ，w h i c hp e r m i td i f f e r e n tc o n t r a c t i v er a t i oa td i f - f e r e n ts t e p ，h o w e v e r , t h ep o s i t i o na n dn u m b e r so f s u r v i v i n gr e c t a n g l e si nt h es a m es t e p a l ei d e n t i c a l b yi n t r o d u c i n g m i x e d m e a s u r e ，w ep r o v eu n d e rs o m ec o n d i t i o nt h a t t h e r ee x i s t sam e a s u r eo ff u l lh a u s d o r f fd i m e n s i o n s u p p o r t e db vt h em u l t i s c a l es i e r p i n s k ic a r p e t s ，a n dt h u sw eo b t a i ni t sh a u s d o r f f d i m e n s i o n p a c k i n ga n db o xd i m e n s i o n a l ea l s od e t e r m i n e d a sa a p p l i c a t i o n ，w ed i s c u s st h ep r o b l e mo ft h ei n t e r s e c t i o no ft h e g e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t sw i t hi t st r a n s l a t i o n s ，h o w e v e r , t h ei d e ac o m e sf r o mt h a to f t h ei n t e r s e c t i o no fc a n t o rs e t sw i t hi t st r a n s l a t i o n s k e yw o r d s ：t h eg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t s ，h a u s d o r f fd i m e n s i o n ，h a u s d o r f fm e a s u r e ， p a c k i n gd i m e n s i o n ，i n t e r s e c t i o no ft h eg e n e r a ls i e r p i n s k ic a r p e t sw i t hi t st r a n s l a t i o n s ， b o xd i m e n s i o n ，d i m e n s i o no fa m e a s u r e ，s e l f - a f f i n es e t s 一一 主要符号对照表 主要符号对照表 n 自然数集合 r 实数集 z整数集 孝a 有限集合a 的基数 d i m 日f集合f 的h a u s d o r f f 维数 d i m pf集合f 的p a c k i n g 维数 d i m bf集合f 的b o x 维数 于矿( f ) 集合f 的，y 维h a u s d o r f f 澳0 度 少7 ( f )集合f 的，y 维p a c k i n g 测度 d i m hp钡0 度肛的h a u s d o r f f 维数 m a g ( n , m ) 矩阵( 苫m 0 ) d i a m ( a ) 集合a 的直径 l o g自然对数 一v 一 学位论文使用授权说明 本人完全了解华东师范大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印 刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的 部分或全部内容 作者签名：日期： 学位论文独创性说明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研 究成果不包含任何他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献 的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明 作者签名：蓝墨璺导师签 日 第一章绪论 1 1 关于h a u s d o r f f 维数 第一章绪论 分形几何中测度和维数是最基本的概念，在已经提出的多种维数的定 义中，如h a u s d o r f f 维数、p a c k i n g 维数、上盒维数和下盒维数等，主要用于 数学理论研究的是h a u s d o r f f 维数和p a c k i n g 维数为方便说明，我们先介绍 一下h a u s d o r f f 澳0 度和h a u s d o r f f 维数。令r n 为佗维空间，e 为r n 中任一非空子 集，e 的直径定义为 d i a m ( e ) = s u p i x y i ：x e ，y 耐， 如果 阢) 为可数个直径不超过6 的集构成的覆盖e 的集类( 即e u 阢，且o 0 ，令 弼( f ) = i n f d i a m ( u i ) 8 ：fcu u i ，0 d i a m ( u i ) 毋， ii - - - - i 作为6 的函数，7 - ；( f ) 是单调非减的，故下面的极限存在： 咒3 ( f ) = 。l i m 咒；( f ) ， o - - 4 0 0 称7 l f 8 ( f ) 为集合f 的s 维h a u s d o r f f 测度。 定义1 2 ：定义集合fcr n 的h a u s d o r f f 维数d i m 日f 为 d i m hf = i n f s ：咒5 ( f ) = o ) = s u p s ：冗3 ( f ) = o o h a u s d o 御0 度精确值的计算是非常困难的一件工作，目前仅对极少数简单分 形能够给出其h a u s d o r f f 测度精确值，可能因为现代数学的工具很难有效的使用 上的缘故，也许可以说还未能找到合适的数学工具；相比较而言，h a u s d o r f f 维 数的确定要显得简单，尤其是动力系统中一些工具在分形中得到广泛运 一l 一 第一章绪论 用。尽管如此，h a u s d o r f f 维数的确定依然是很困难的事情。由于分形的复 杂性，h a u s d o r f f 维数的确定很多时候是靠专家们的经验，这促使人们期望 找到一个程序来确定h a u s d o r f f 维数，至少是某种原理或原则来指导人们来计 算h a u s d o r f f 维数。h a u s d o r f f 维数有许多优良的性质，这些性质对计算一个分形 集合的h a u s d o r f f 维数有相当的帮助，其中最引入注目的一个性质是h a u s d o r f f 维 数的可数平稳性，即， d i m ；l ：j ，f = s s u 。3 p d i m 日用 在一定意义上，这意味着一个分形集合的h a u s d o r f f 维数由其最复杂的子集所决 定。这一思想与许多有重要意义的想法密切有关，如动力系统研究中非常重要 的熵的变分原理，拓扑压的变分原理等【6 8 】。值得指出的是对于不可数情形该 性质不再成立。在h a u s d o 雠数的计算中，上述性质的一个改进，也许是最重 要的一个思想是这样一个命题：任意一个紧的不变集支撑一个不变的满维概率 测度。准确地，是以下的一个命题【2 8 】： 设，：u _ m 是一个光滑扩张映射，其中ucm 是开集，m 是黎曼流形 设kcu 是一个紧的，一不变集，在什么条件下k 支撑一个满h a u s d o 雠数 的，一不变概率测度。 尽管该命题依然是公开问题，但在已经研究得比较充分的自相似集，或更一 般地，自共形集，这一命题得到了完全证实1 2 9 】。已知的几个漂亮维数公式， 如h u t c h i n s o n 3 6 关于自相似集的维数公式，m a u d l i n 4 4 】关于图递归集的维数公 式，文志英 6 9 1 关于m o r a n 集的维数公式，尽管使用的技巧各不相同，但本质上 都是使用上述的思想。注意到这些维数公式都不是直接的显式表达式，也许这 多少反映了分形的复杂性。 主要由于重分形研究中所涉及的集合一般是非紧的，这促使学者们研究上 述原理在此情形的对应版本，目前已取得相当的进展。由于分形几何与动力系 统之间有着深刻的联系，很多动力系统的工具广泛应用在分形几何的研究中， 如【2 4 】，尤其一些特征量，如熵，l y a p u n o v 指数，拓扑压等，随着非紧集的这 些局部特征量的成功定义，越来越多的结果揭示着它们与h a u s d o r f f 维数之间的 本质的联系，这样在重分形的研究中，除了经典的多重分形谱，人们也越来越 多的研究其它的多重分形谱，以期得到更多的关于分形或动力系统的局部信息 一2 一 第一章绪论 和描述【1 2 】， 6 1 ，【2 4 】，【5 9 】，【6 5 】l b a r r e i r a ，b s a u s s o l ，j s c h m e l i n g 在动力系统的研究 中【9 ，8 ，1 0 ，1 1 ，6 ，3 ，1 2 ，7 ，5 】，在共形情形下得到了熵谱，l y a p u n o v 指数谱以及 它们的混合谱，建立了条件变分原理，并利用它们来研究一些数论问题；范爱 华，丰德军，吴军等i 2 3 ，2 5 】同时期进行了类似的研究；更早时候，在m o r a n 分 形集的研究中，李文侠 4 2 ，4 1 1 研究了一类由位置码决定的m o r a n 集的( 非紧) 子 集，确定了其h a u s d o 雠数，讨论了其测度性质，本质上建立了h a u s d o r f f 维数 的变分原理；近期o l s e n 在一系列文章中 5 0 ，4 9 ，5 5 ，5 4 ，5 3 ，5 2 ，5 1 ，4 8 】引进了经 验测度的畸变的概念，提出一个广义多重分形框架，对上述问题进行了一个统 一处理，在自共形图递归情形建立了h a u s d o 雠数的变分原理。沿着这条研究 路线，我的导师李文侠教授建议我在自仿射集中进一步开展研究，并拟定了一 个详细研究计划指导我作这方面的工作，对一个懵懂无知的博士生来说，这也 许是进行学习和开展研究的有效方法。 1 2 关于自仿射集的研究状况 设 & ) l g m 是p 上的闭子集d 上一族压缩映射，即 l & ( z ) 一& ( 可) l c l z 一引，0 c l ，z ，y d ， 则存在唯一的非空的紧集e 满足e = u 銎1 & ( e ) 【3 6 】，称e 为压缩族 & h 曼还m 的 不变集或吸引子。 若& 是相似压缩映射，则称e 为自相似集； 若& 是仿射压缩映射，则称e 为自仿射集。 对由压缩相似映射族生成的自相似集，或更一般地，由压缩共形映射族所生成 的分形集，在某些分离条件下，借助于动力系统中的一些工具，它们的分形维 数得到了确定。然而，对由仿射压缩映射族所生成的分形集其分形维数结果所 知甚少且相当困难。对于非常一般的自仿射集，k j f a l c o n e r ( 1 9 8 8 ) 【2 2 】给出了 下列重要的结果： 定理1 1 ：( f a l c o n e r ( 1 9 8 8 ) 定理) 设 乃 ：l 为r d 中的线性映射，f ，1 歹 l 为平移向量。若s u p l g li i t j l i ，则对l e b e s g u e 几乎所有的( 口l ，a 2 ，a t ) 舻，由岛( z ) = 乃 ) + 叼，1 歹l 所确定的e 有 d i m h e = d i m b e ， 一3 一 第一章绪论 这个维数值可以借助于线性映射乃的复合的奇异值来表达( 特别地，它不依赖 于a l ，a 2 ，a l 的选择) 。 虽然f a l c o n e r ( 1 9 8 8 ) 定理表明对l e b e s g u e 几乎所有的( n l ，a 2 ，n f ) 舻有公 式( 1 1 ) 成立，然而它并未明确提出对那些平移向量( 口1 ，a , 2 ，0 1 ) r 出公式( 1 1 ) 成立，因此，在具体的实际问题中无法直接使用f a l c o n e r ( 1 9 8 8 ) 定理。鉴 于此，围绕着探寻使得公式( 1 1 ) 成立的平移向量( 口l ，眈，a 1 ) r 础的研究及 对 乃) 5 ：1 的约束的改进得到了展开，如k j f a l c o n e r ( 1 9 9 2 ) 【2 0 ，i h u e t e r ，s e l a l l e y ( 1 9 9 5 ) 【3 5 ，g a e d g a r ( 1 9 9 2 ) 【1 8 ，b s o l o m y a k ( 1 9 9 8 ) 【6 3 1 ，k s i m o n ( 1 9 9 3 ) 【6 2 1 ，【2 ，6 0 ，6 4 等。然而至今为止仅仅对非常特别的情形得到了一些结果，关于 自仿射集研究的第一个实质性结果是c m c m u l l e n ( 1 9 8 4 ) 【4 5 】和t b e d f o r d ( 1 9 8 4 ) 【1 4 各自独立得到的。他们研究了一类最简单的自仿射集( 在文献 4 5 1 被称为广 义s i e r p i n s k i 地毯) ，我们有时宁愿简称为m c m u u e n 集或自仿s i e r p i n s k i 地毯，如文 志英教授在其专著【1 1 那样。由于这类集合在一般情形下具有不同的h a u s d o r f f 维数与b o x 维数( 亦称为m i n k o w s k i 维数) ，明显属于f a l c o n e r ( 1 9 8 8 ) 定理的例 外情形。另一方面，这类集合在某环面扩张自同态映射下不变，故可将对它的 研究与动力系统理论联系起来。近十几年来，有大量的学术论文围绕着对自 仿s i e r p i n s k i 地毯的研究，同时仍然存在着大量问题有待于进一步加以解决( 见 参考文献【5 8 】) 。下面我们将简述围绕着对自仿s i e r p i n s k i 地毯的一些研究情况。 m c m u l l e n ( 1 9 8 4 ) 与b e d f o r d ( 1 9 8 4 ) 研究了一类特殊的自仿射集一自 仿s i e r p i n s k i 毯。固定正整数m 孔及”数字集”dc o ，l ，礼一1 ) 0 ，1 ，m 1 ) 。紧集 k c z 。，= 妻k = l ( n 0 一m 0 一，) 七毗：也。f 研m - 七1 ) ， 在环面扩张自同态t 型( ：三) 下不变。易于看出这是一个自仿射集，因为 配卟盥( 石1m 0 一。) 他+ k c 正? ， 我们称集合k ( zd ) 为自仿s i e r p i n s k i 毯或简称为m c m u l l e n 集。m c m u l l e n 4 第一章绪论 和b e d f o r d 得到了其h a u s d o r f f 维数和b o x 维数，证明了：除了相当特别的情 形，一般地，自仿s i e r p i n s k i 毯的h a u s d o r f f 维数严格小于b o x 维数，与自相 似集有本质差异。它显然属于f a l c o n e r ( 1 9 8 8 ) 定理的例外情形，注意到自 仿s i e r p i n s k i 毯在自仿射集类中几乎是最简单的，竟与f a l c o n e r ( 1 9 8 8 ) 定理 的精神相悖，这说明对一类具体的自仿射集的维数的研究仍然具有特别 重要的意义。所以学者们进一步在自仿s i e r p i n s k i 毯中提出了很多问题， 也许是由于能够严格计算出h a u s d o r f f 维数的自仿射集实在是太少! 将自 仿s i e r p i n s k i 毯( zd ) 的h a u s d o r f f 维数简记为，y ，那么当h a u s d o r f f 维数严格 小于b o x 维数时，g a t z o u r a s 与l a l l e y ( 1 9 9 2 ) i 正明了 ( k ( 正d ) ) 必须为零或正无 穷。此后，p e r e s ( 1 9 9 4 b ) 【5 7 得到了必须为正无穷，进一步地，对任一维数函 数妒，冗妒( k ( 正d ) ) 的值为多少? p e r e s ( 1 9 9 4 b ) 【5 7 证明了：当 ) = 唧 _ c 揣) 且c 足够小时，咒妒( k ( t ，d ) ) = o o 且非盯一有限；当 ) = 叫一揣) 且0 0 ， 晒( q ( s ，t ，p ) ) 的h a u s d o r f f 维数是p 的函数，在一定意义下属于一种多重分形 谱在自相似情形的对应问题，b a r r e i r a ，s a u s s o l ，o l s e n 等有过一些详细研 一7 一 第一章绪论 究，得到了一些非平凡的结果。我们的设置是在一种特殊的自仿集一 s i e r p i n s k i 地毯中研究这一问题。由于自仿射变换的缘故，他们所使用 的方法在仿射背景下不再适用，在第三章中我们利用1 1 中介绍的思想 进行了一些猜测，利用r o g e r s t a y l o r 密度定理证明了：存在一个满维不 变概率测度支撑k t ( q ( s ，t ，p ) ) ，从而得到了其h a u s d o r f f 维数谱。具体地， 令= p = ( p d ) d e o ：p d 【0 ，1 1 ，d e d p d = 1 ，d r 。p a = p d n 黝) ， v p = p d ) d d e ，以雄表示由p 诱导的坼( q ( s ，t ，p ) ) 上的b o r e l 概率测度， 贝l j d i m h 婚( q ( s ，t ，p ) ) = m a x p ed i m h 砧特别地，找到了一个非平凡的集类， 其h a u s d o r f f 维数有显式表达式；同时得到：r g r ( f l ( s ，t ，p ) ) 的对应的h a u s d o 删9 度为正有限的充分必要条件。 问题三：针对上述问题的解决，我们期望进一步在更大一类的自仿集中 进行讨论，我们将目标限定在l a l l e y 自仿集中讨论如问题一类似的问题。事实 上，到目前为止，除了极特别的情形，l a l l e y 自仿集( 自仿s i e r p i n s k i 地毯是其特 例) 是仅有的其h a u s d o r f f 维数能够严格被计算出来的自仿射集类。在第四章中 我们研究了由“纤维码在自然投影映射下诱导的l a i l e y 自仿集冗，( q ( 歹，p ) ) ( 其 定义见( 4 9 ) ) 。其困难在于如何利用前面的思想建立对应的密度定理。我们利用 网测度技巧得到了r f ( q ( 歹，p ) ) 的h a u s d o r f r 维数，p a c k i n g 维数，实际计算表明它 是l a u e y 自仿集一个正则子集；同时证明t l a l l e y 自仿集本身不是正则集。 第二部分内容将自仿s i e r p i n s k i 毯的几何结构按照m o r a n 分形构造的思想作 了适当推广，得到了一个我们称为变尺度的自仿s i e r p i n s k i 地毯，本质上是一种 统计自仿射集。关于自仿s i e r p i n s k i 地毯的随机化有很多方式，l a l l e y 2 7 禾l j 用分枝过程有关技巧研究了一种随机化自仿s i e r p i n s k i 地毯，它要求在自 仿s i e r p i n s k i j 也毯的几何构造的每步随机选择保留下来的长方形，但不同步骤 限定的是同一个压缩，得到了一些高度不平凡的结果；本文对自仿s i e r p i n s k i 地 毯的随机化，在自仿s i e r p i n s k i 地毯的几何构造中不同步骤允许不同压缩，但每 一步被保留下来的长方形位置和个数是相同的。通过引进“混合”测度，在 一定技术条件限制下，我们证明了：存在一个满维不变概率测度支撑变尺度 的自仿s i e r p i n s k i 地毯，从而得到了其h a u s d o r f f 维数。同时得到了其p a c k i n g 维数 和b o x 维数。利用这一结构，借鉴c a n t o r 集的平移交的处理技巧 4 0 l ，我们部分 解决了自仿s i e r p i n s k