（基础数学专业论文）与非完整特征和理论相关的一类同余方程解数的上界估计.pdf

摘要 短区间上非完整特征和的上界估计是解析数论领域的一个重要研究课题，它 在d i r i c h l e tl 函数理论、与算术数列有关的数论问题、以及其他一些著名数论问 题( 如最小正剩余、最小正原根等) 中有重要应用 本文所要讨论的与特征和上界估计相关的一类同余方程解数的问题，是基于 b u r g e s s 的。s x n i 一 g 岩”结论b u r g e s s 已先后证明了当，3 时，该结论 成立然而，继续证明，= 4 ，5 时该式成立，是一件十分复杂和困难的事，因而不 得不先完成其中一部分较为重要的工作d o d d 已通过对集合初等变换的方法，完 成了对舾( 4 ) ( 其中，s ( ，) = l m = ( m l ，小2 r ) ：0 x ( n ) 玎而；i 其中，巾) 是模g 的d i r i c h l e t 非主特征( 见定义2 1 8 ) 对短区间上非完整特征和的上界进行估计，是解析数论中一个十分重要的分 支它在d i r i c h l e tl 函数理论，与算术级数有关的数论问题，以及其他一些著名数 论问题( 如最小正剩余、最小正原根等) 中有重要应用但由于特征z ( 刀) 本身的表 达形式较为复杂，很难写出直观且易于计算的表达式，因此，对特征和( g t 其是短 区间上非完整特征和) 的上界估计至今都没有得到令人满意的结果 而正因为该理论在数论中有着极为重要的地位和作用，因此人们便通过各种 各样的方法对特征和进行研究，并获得了各类不同的上界估计 g p 6 1 y a 和1 m v i n o g r a d o v 在1 9 1 8 年分别独立证明了以下的不等式t 定理1 2 11 2 ，3 1 ：对于任意的非主特征z ( m o dg ) ，则 从疗) 6 慨 ( 1 1 ) m n s m + n 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 4 在这个结果的基础上，m o n t g o m e r y 和v a u g h a n 在1 9 7 7 年，进一步证明了， 定理1 2 21 4 1 ：在广义黎曼猜想成立的假设下，对模q 的任意非主特征疋( 以) ， 则有。x ( n ) 、虿锄蛔 h l n s m + n 而对于结论( 1 1 ) ，b u r g e s s 又对其作了进一步改进1 9 6 3 年，b u r g e s s 首先证 明了 成立 定理1 2 3 【5 1 ：当正整数， 0 ， s 功h i 一 g 岩+ | 同时，b u r g e s s 还在该文中，得出了证明s ( 忉h i 一，i g 铲, + - 4 招的一般性方法 ( 该方法对，3 的情形也适用) ，即：设工为未定元，h g 士，对每一个向量 m = ( m l ，m 2 r ) z 2 ，满足0 0 ，则 ；i 互从细扩矿 m 2 ， 其中，彳( g ) = i x ：0s 工 3 时，对于任意的8 0 ，成立 s ( ，四h t 一 g 各+ 8 定理1 2 71 8 1 ：当r = - 3 时，对于任意的s 0 ，成立 s ( n , t o h i 一；g 等竹 定理1 2 81 9 1 ：设q = ，当。，= 4 ，口= 4 ，5 ，8 。或。，= 5 ，口= 5 ”时，对于任意 的 0 ，成立 s ( ，h i 一 g 岩坩 对于，= 4 时情形，刘春雷i l o l 和b u r g e s s 1 l l 1 2 1 分别独立证明了当所l + m 2 + m 3 + m 4 = m s + m 6 + m 7 + m 8 时，( 1 2 ) 式依然成立 此外，为获得关于，= 4 时类似( 1 2 ) 式的结论，作为其中关键的一步，d o d d 在1 1 3 1 中完成了对牺( 4 ) 的上界估计( 其中s ( r ) = l m = 仰l 一，m 2 r ) ：0 3 ，p 是素数) 的素数幂。情 形，由于其证明的复杂程度远超过，= 3 时的情形，因此( 1 2 ) 式是否依然成立，至 今尚不可知 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 6 1 3 本文研究的内容与成果 回顾b u r g e s s 在1 7 l ( 即当仁3 ，q = 矿时，使( 1 2 ) 成立的证明) 中的证明过程，不 难发现，b u r g e s s 通过将彳( g ) 切分为多个不同的子集。并对满足各不同条件的向量 m 的个数进行计数，来完成对( 1 2 ) 式的证明其中极为关键的一步便是估计集合 s ( ，) 的势 j s ( 3 ) ( 其中s ( 力= i m = ( m l ，恸) ：0 m ish ，i = 1 一，2 r , a ( x ) 三f 2 ( x ) ( r o o d 矿) ，口一 争口】2p 【竺二学】+ 1 1 ) 因此，为获得关于，- - = 4 时类似( 1 2 ) 式的结论，d o d d 在1 1 3 1 中完成了对牺( 4 ) 的上界估计。 牺( 4 ) 矿( h ：s 而+ 南+ 南m ( 1 4 ) 而对于凇( 5 ) ，如若继续使用d o d d 在1 1 3 l 中所用的方法，则将可能得到 郴) 以两h l o + 网+ 两h 7 + 两h 6 “) ( 1 5 ) 本文目的在于通过引入数域q p 上p a d i c 指数赋值的方法，得到以下两个 定理，用以改进d o d d 在1 1 3 l 中所得到的结论( 1 4 ) 及沿用d o d d 的方法所可能得到 的关于牺( 5 ) 的结论( 1 5 ) 。 定理i 设p 为大于5 的素数，t 为任意的正整数，1 1 , 1 南+ 两h 7 + 南+ 矿 作为证明，= 4 时，使( 1 2 ) 式成立的一个步骤，与【7 l 中证明# a 3 s 的过程类 似，由于此时，h 、p 满足h p g ，【 幻+ 1 f ( 其中f = 口一【；口】) ，因此，当p 满 足。詈 2 p 一譬 】+ 【；】+ 6 蝴- 或。詈年一号 ；】+ 【；】+ 6 1 0 9 、p 【竺= 归】+ 1 k h p 铲一 【g 】+ ( ；l 。这两个条件中的任何一个时，定理i 的结论比d d 甜在1 1 3 l 中 得到的结论( 1 4 ) 更好( 本文将在3 6 中对该结论予以具体说明) 同样，对于，= 5 时的情形，不难得到t 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 7 定理i i 设p 为：k - t - 5 的素数，为任意的正整数，则 i l l i o办9 8 办6 ，5 坝5 心万褊+ 万丽+ 万瓣+ 两州 作为证明，：5 时，使( 1 2 ) 式成立的个步骤，当h 满足：“h i s p p - 2 咖】_ ；【g 】_ i 】+ 【等】- 或簟8 p ；p 一2 l 翱一；i 】【s 】+ 【g 】 0 ，幢，g ) = 1 ，若不存在0 2 为素数，口1 我们把定义域是全体正整数集 合的函数刀( 疗) ? 加胞 ，= f 喈黧l 称为模q 的d i r i c h l e t 特征，其中m 为任一给定的整数 8 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 9 从特征的定义可以看出，函数x c n ) = g ( n ；q ，研) 依赖于参数m ，是聊的周期 函数，周期为妒( g ) ，亦即，大体说来，存在妒( g ) 个模g 的特征，他们可由m 取值 0 。l ，2 ，9 ( q ) 一l 而得到 现在设g = 2 口，口3 熟知，对任意的奇数刀存在对模q 的指标组帕= y o ( n ) 及7 l = ( ，) ，即存在这样的整数帕及，l ，使得刀暑( - 1 p 5 r ( m o dg ) 因此，除了 可分别相差一个2 及2 口- 2 的倍数外，整数帕及y l 是唯一确定的 定义2 1 4 【1 4 1 设g = 2 口，口1 我们把定义域是全体整数集合，并由下述公 式之一所确定o 函k x ( n ) 称为模g 的d i r i c h l e t 特征t 删：胞2 h ( 啦o o ) ： o 翟2 p 1 【1 著( 刀，2 ) 21 删：砌；4 ) ：胞4 m 0 ) ： o翟4 ) 1 【( - 1 ) j ，i o 抛若( 刀，4 ) 5l ； 其中丹兰( 一l 妒( r o o d4 ) ，m o 是整数 加h 2 个一= k 器筹羔兆 其中m o ，m l 是整数 从特征的该定义可以看出，函数从，) ) = z ( ，；2 口，m o ，m 1 ) 依赖于参数m o 和m l ， 是m o 和m l 的周期函数，周期分别为2 和2 口- 2 ，亦即，大体说来，存在烈g ) = 烈2 个模2 口的特征，他们可由m o 取值0 ，1 及m l 取值0 ，1 ，2 ，2 口2 1 而得到 由于整数的指标( 组) 具有周期性( 周期等于函数的模) ，可加性( 即乘积的指 标或指标组相应地等于每个因子的指标或指标组的和) ，所以我们可得到d i r i c h l e t 特征的如下性质s 1 模g 的特征x ( n ) 是周期函数，周期为g ，且o x ( n ) = z o + g ) ； 2 x ( n ) 是可乘函数，即x ( m n ) = 从小) 陀o ) ，并显然有z ( 1 ) = 1 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 0 定义2 1 5 【1 4 】若q = 矿( p 2 是素数) ，沏，q ) = 1 ，则模g 的非主特征 x ( n ) = z ( 刀；g ，m ) 称为模q 的原特征若q = 2 口 3 ) ，沏i ，2 ) = l ，则模g 的非主特 征z ( 刀) = 疋( 疗；g ，m o ，m 1 ) 称为模q 的原特征模4 的非主特征称为模4 的原特征模 q 的所有其余的非主特征称为模q 的非原特征 该定义的一个直接推论是，对模q = 矿的每一个非原特征，一定相应地有一 个模q l = 够 酌的原特征与它恒等 当然，d i r i c h l e t 特征的最小周期可能小于它的模g 在后文中，起重要作用的 是所谓的原特征。即那些最小周期等于它们的模的特征 然后，我们来定义任意模q 2 的特征、原特征、非主特征概念 定义2 1 61 1 4 1 设q = p ，疗芹，则 r 巾) = 石( 撑；g ) = 兀巾；) ( 2 1 ) i = i 所确定的函数z ( 刀) 称为模q 的特征 定义2 1 71 1 4 1 模q 的非主特征称为原特征，如果在式( 2 1 ) 中，“刀；p 尹) 都是 模的原特征，i = 1 ，t 不然，x ( n ) 就称为非原特征 由该定义可知，对于每一个模q 的非原特征，一定存在一个模q i 的原特征 z l ( 刀) ，使得它们在所有与q 互素的整数上是相等的，而且q t l q 这时，我们就 说tx ( n ) 是由x l ( n ) 导出的特征，而x l ( r t ) 称为是对应于x n ) 的原特征前面对模 q = 矿的特征所获得的结论对任意模g 的特征也成立 定义2 1 81 1 4 1 设从万) 是模g 的某个d 洲曲，p f 特征。若对于任意的l 刀 口( 其 中o ，q ) = 1 ) ，满足巾) = l ，则该d i r i c h l e t 特征x ( n ) 称为模q 的主特征，记作 舶( 刀) 不是主特征的d i r i c h l e t 特征称为模g 的非主特征 定义2 1 91 1 9 1 设p 是一个素数，0s 口i p ，则无限级数a o + a t p + a 2 p 2 + 称为p - a d i c 整数所有这样的p a d i c 整数全体记作乙z ，的分式域记作q p 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 定义2 1 1 0 【2 0 l 设p 是一个素数，a 是任意给定的一个整数，且p l a ，则p 的 可整除a 的最大正整数称为a 在q p 上的p a d i c 指数赋值，记作o r d p a ；即t 若 a = 矿口，p ，) = 1 。则d 咖= k 定义2 1 1 1 【1 8 l 设疗是过正整数并趋向无穷( 或x 为一连续变数趋向无穷) ， 并设妒( 刀) ( 或( 妒) ) 是以( 或石) 的正值函数，厂( 疗) ( 或月) 为任一函数若有一 与刀( 或z ) 无关的数彳，使得i f ( n ) i 彳妒) 伽一0 0 ) ( 或叭删s4 妒( d o _ o o ) ) ，则 秣 峄。 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 2 基本命题 1 2 本节我们将给出一些在下文中，被多次使用并且起着重要作用的基本命题和 相关的证明，这些结论本身都具有独立的意义 首先，对同余方程石 ) 兰正( 曲( m o d 矿) ，作替换尬= m i - m l ( 2si l o ) ，y = x + m l ，则石( 曲三正( 功( m o d ) 成立当且仅当以下同余方程组成立 m 2 + m 3 + m 4 + m 5 三m 6 + m 7 + m 8 + m 9 + o( m o d 矿)( 2 2 ) m 2 m 3 + m 2 m 4 + m 2 m 5 + m 3 m 4 + m 3 m 5 + m 4 m 5 兰m 6 m 7 + m 6 m s + m 6 m 9 + m 6 m o + m t m s + m t m 9 + m 7 m l o + m s m 9 + m s m i o + m 9 m o ( r o o d 少) ( 2 3 ) m 2 m 3 m 4 + m 2 m 3 m 5 + m 2 m 4 m 5 + m 3 m 4 m s 兰m 6 m t m 8 + m 6 m t m 9 + m 6 9 t g l o + 9 6 9 s 9 9 + m 6 m s m l o + m 6 m 9 m i o + m t m 8 m 9 + 觚尬o + m 7 m 9 m o + 聪蝎脑o ( r o o d 少)( 2 4 ) 施飓尬飓三坛蝎坛蝎+ 坛蝎m o + 坛膨蝎m o + 坛鸠m o + 膨地蝎m o ( r o o d 少)( 2 5 ) 0 三坛膨地蝎m o ( m o d 矿) 对同余方程( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 。使用代入法消元后可得： 增+ ( 尬+ 尬一下1 ) 蝎+ ( ( 2 6 ) + 厶 磊+ 霉) 一1 t ( m 4 + g s ) + r 2 三0 ( m o d 矿) ( 2 7 ) + ( 尬一下1 ) 硒+ ( 皤一1 1 尬+ f 2 ) 尬+ ( 膨一f - 霉 - - t i 磁+ f 2 尬一f 3 ) 兰0 ( r o o d 矿) ( 2 8 ) + 死 霉一r 3 m 5 + f 4 三0 ( m o d 少) 其中，f l = m 6 + m 7 + 磊+ 南+ m o ， ( 2 9 ) t 2 。m # m 7 + m 疗m s + m 6 m g + m 6 m o + g t m s + 9 7 9 9 + 9 7 m o + m 8 m 9 + m s m o + m 9 m o ， 乃= m 6 m 7 m 8 + m 6 m 7 m 9 + m 6 m 7 m o - i - m 6 m 8 m 9 + m 6 m s m o + m 6 m 9 m o + 蝎觚+ 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 3 g t m s m j o4 - m t m s g l o + g s 9 9 m o ， 1 4 = 坛m 7 胍蝎+ 坛m 7 m s g , o + m s m t m 9 m i o + m s m g m 9 9 t o + 肠m s 9 9 m t o ， 对忱，7 1 0 可作如下定义。必= k i p s ，其中( 岛，p ) = l ，由( 2 6 ) 不难发现。 + 竹+ 帕+ 帕+ y i o p 这时不妨设为：住帕讹帕0 ，7 帕之t 9 钠o 0 ，并设向量 m = ( 尬，尬，坛，飓，坛，蝎，m s ，蝎，m o ) 记a l = i m = 伽l ，m 2 ，m 3 ，m 4 ，m 5 ，m 6 ，肌7 ，肌8 ，m 9 ，m l o ) ：0 l 必i h ( 2 fs1 0 ) ，( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ，a ：= l m ：0si 必i h ( 2sf 1 0 ) ，( 2 2 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) l ，则 彳l = a ；，粘( 5 ) = 糊l = 拟， 由于以上消元求解过程关于m o = 2 ，3 ，4 ，5 ) 对称，于是不难得出比( 9 x 1 0 ) ( 11 ) 更一般的同余方程组， 磁+ ( + 地一f 1 ) m 。+ ( 磋+ 坞坞+ 磋) 一1 - l ( 心+ 蚝) + f 2 暑o ( m o d p u ) ( 2 1 0 ) 磋+ ( 坞一f 1 ) 磋+ ( 磁一下l 抱+ 钇) 心+ ( 噬- - 1 1 磋+ r 2 尥一f 3 ) 三o ( m o d p p ) ( 2 11 ) 磁- - 1 - 1 磁+ n 磋一乃坞+ 下4 三0 ( r o o d ) ( 2 1 2 ) 其中，f l ，2 ，i s 可取 2 ，3 ，4 ，5 l 中的任意三个数因此，即得命题2 2 i 命题2 2 1 设群= m ：0 i 必i h ( 2si 1 0 ) ，( 2 2 ) ( 2 6 ) ( 2 1 0 ) ( 2 11 ) ( 2 1 2 ) ，且 i i , i 2 ，i s 1 2 ，3 ，4 ，5 1 1 ，更l ia i = a ：= 4 ，凇( 5 ) = 材， 命题2 2 2 【1 1 ( b u r g e s s ) 设八曲z 明( p 是奇素数) 且八曲模p 不恒为零，d 是正整数，则拌 工( r o o dp _ ：f t f ( x ) ，pt ，由( 枷d e g f ( x ) ( 其中y = 口一【等明) 此外，在本硕士论文第三章证明过程中，我们总是默认以下事实成立 命题2 2 3 【1 8 1 令厂( 曲= n a s x “ 1 + + 2 a 2 x + a l ，若八功暑0 ，厂( 曲言0 ( m o d 力 无公共解，则八功三0 ( m o d ) 的解数等于似) 三0 ( m o dp ) 的解数( 其中，f 1 ) 第三章主要结论的证明 由于定理i 、i i 的证明过程基本相似，且定理i i 的证明较定理i 更具一般性， 因此本文以定理i i 为例，作详细的展开证明；而对于定理i 。重复同样的方法可得 到相应结论 本章共分两部分第一部分为3 1 一3 4 ，在该部分中，我们通过对集合彳l 进 行拆分的方法( 其中a l 的定义与2 2 中相同) ，证明了定理i i 的结论其中，第一节 估计了群 m a i ：帕+ 帕+ y i o l 的上界；第二节估计了# 1 m a l ：帕+ 秒+ 7 t o p 且7 + 帕+ 帕+ y l o p l 的上界；第三节估计了# 1 m as ：7 7 + y s4 - y 9 + y 1 0 p 且 怕+ 竹+ 帕+ 帕+ y t o 之乒l 的上界；第四节利用前三节中已得到的引理，获得定理 的证明 第二部分分成两节，在3 5 、3 6 节中，我们分别对定理、定理i 的应用及 对前人结果的改进情况作了具体说明 设p 为素数，以d ，略( ) 表示敦域q p 上的p a d i c 指数赋值( 具体意义见定义 2 1 1 0 ) 本章通过比较d 坝必) ( 膨= 慨一m l ，2si51 0 ) 的方法以得到定理 同时，在证明定理i i 的过程中，不难发现，在任何情况下，当取定必= m j m , ( 1 0 i 2 ) 时，朋l 的解数总是j i i ；而对尬，由( 2 2 ) ，当飓、尬、瞄、坛、 蝎、m 。给定时，总有尬解数h p u + 1 此外，可设丁= 函h 而l o+ 南+ 南+ 南+ 南埘 3 17 8 + 帕+ 7 l o 情形 在本节中，我们通过分别求出# 1 m a l ：y i o p l 、# 1 m a i ：y t o p 且 y l o + y 9 p 、# 1 m a t ：y l o p ，y i o + 帕 t t o + 帕 4 - y s 乒l 的上界，来完成对 # 1 m a t ：帕+ y 9 + y i o 之p 的上界估计 弓i 理3 1 1 设彳2 = i m a i ：7 i o 之p ，则榭2 t 1 4 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 5 证明：这时，设r ( 曲= p + ( m 4 + m 5 一r 1 ) x + ( 磁+ 尬尬+ 鹏) 一r f f m 4 + 尬) + t 2 由( 2 7 ) 式，不难得出矿l r ( 蝎) 且ptr ”( 尬) ，根据命题2 2 2 ，所以给定 尬、飓、坛、蝎、m 9 、m i o 后尬解数：办矿一嘲+ 1 ，对于尬、尬，由 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 式，同理可得t 给定尬、坛、膨、尬、蝎、m o 后，尬解数t 办一+ 1 ， 给定坛、尬、蝎、m o 后，尬解数：j i l 矿一咖1 + 1 同时，由于7 6 即帕帕y l o p ，所以坛、蝎、鸠、m o 的解数 为l h p + 1 于是，削z j i i ( 刍+ i x 南+ 1 ) ( 高+ 1 ) ( 拓+ 1 ) ( 刍+ 1 ) ( 参+ 1 ) ( 刍+ 1 ) ( 寺+ 1 ) ( 告+ 1 ) t 口 引理3 1 2 设彳3 = i m a l ：7 1 0 卢且y l o + 7 9 l ，则拟3 t 证明：这时，对于m 3 、m 4 、m 5 ，与引理3 1 1 的证法类似：固定m 4 、m s 、m 6 、m 7 、m s 、 蝎、脑o ，则尬解数，j i i 少一嘲+ l ；固定尬、地、瞄、蝎、鸠、m o ，则尬解 数t h p 一咖+ l ；固定坛、瞄、腿、硒、m o ，则尬解数，h p - 【柚+ 1 而由于y 6 竹帕帕g ，所以坛、蝎、她的解数：j i i 仞+ l ；另外，显 然有tm 9 解数，h p + 1 ，m i o 解数厅1 0 + 1 而由于帕+ 7 1 0 p ，不难得 到 榭3 h ( h p + l x h p - 【1 + 1 x h p 一i ；脚+ 1 ) ( h p p t i l l + o ( h p 呈+ o ( h p + o ( h p g + o ( h p + 1 ) ( h p y o + 1 ) t 口 引理3 1 3 设a 4 = m a i ：y l o ，y l o + 帕 p 且 y i o + 帕+ 帕p ，则 糊4 t 证明：这时，对于鸠、尬、尬，与引理3 1 1 的证法类似：固定尬、尬、坛、肼、觚、 蝎、m o ，则飓解数。j i i 一嘞+ l l 固定尬、坛、蝎、瞄、瞒、驰o ，则尬解 数t h p 一【细+ l ；固定m 6 、m 7 、m s 、m 9 、m o ，则尬解数。h p 一i 枷+ 1 而 由于7 6 7 帕，m 6 、m 7 的解数t j i i p ；+ 1 而其他过程与引理3 1 2 类似， 由于帕+ 7 9 + y l o p ，同理可得。 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 劓4 ( 以严+ 1 ) ( 矿一【皇1 + 1 ) ( 矿【；川+ 1 ) ( h f 叫i 川+ 1 ) ( 厅p g + 1 ) ( h p s + 1 ) ( h p 竹+ 1 ) ( h p 帕+ 1 ) ( h p 7 1 0 + 1 ) r 口 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 7 3 29 1 0 + 7 9 + 柏 且y l o + 7 9 + 7 s + 即z 情形 此时，设a 5 = m a i ：7 1 0 + 7 9 - 4 - 7 s 7 4 = 帕l ，则材7 t 证明：对集合彳7 中的元素，可分以下两类讨论； 若尬尬( m o dp r l , + 1 ) ，根据命题2 2 1 ，可取i i = 5 ，i 2 = 4 ，i 3 = 3 对于 ( 2 1 0 ) ，有同余方程 蝎2 + ( 瞒+ 磁一t ) 磁+ ( 瞒2 + 蝎蝎+ 蝎2 ) 一( 蝎+ 磁) + t ：兰0 ( r o o d 矿一打- 。) 其中，m = 尬m ，= r l p r m ，吒= t 2 胪- 。 设八鸩) = 弼2 + ( 鸠+ 蝎一) 必+ ( 鸠2 + 够蝎+ 心2 ) 一( 坞+ 蝎) + ， 则厂( 蝎) 三2 坞+ 鸠+ 心一( r o o d 力由( 2 2 ) ， 够+ 蝎+ 磁+ 嵋三一( r o o d 少吖m ) 而集合彳7 中元素满足讫帕 帕= 帕= y l o ，所以必有厂( 嵋) 兰2 坞+ 嵫一 兰蝎0 ( r o o dp ) ，因此，同余方程八嵋) 兰0 ( m o d 矿一砌o ) 和八坞) 兰0 ( r o o dp ) 的解数一样多而八坞) 是模p 不恒为零的整系数多项式。于是给定 瞒、尬、坛、蝎、蝎、尬。后，膨的解数。h p - 2 y o + 1 ，所以，尬的解 数t j i i 少嘲o + 1 同样，对于尬，由( 2 1 1 ) 有同余方程 瞄3 + ( 蝎一) 蝎2 + ( 蝎2 一f i g + g ) g + ( 膨3 3 - f i 蝎2 + 吒蝎一) 三0 ( r o o d 少一打t 。) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 8 同理t 由于此时鸠+ 够+ 嵫+ 够三吒( m o df - , t o ) ，7 2 竹 扮= 竹且尬事m s ( m o dp , n o + 1 ) ，w y 2 h ( 膨4 ) = 心3 + ( 鸠一一) 心2 + ( 鸠2 一一够+ t ) 心+ ( 鸠3 一鸠2 + 馅一吒) ，则( 心) 兰3 嵫2 + 2 ( 蝎一) 嵋+ 鸠2 一一鸩+ t 善0 ( r o o dp ) 因此，由 命题2 2 3 。同余方程| j i ( 心) 兰0 ( m o dp ) 和厅( 心) 兰0 ( r o o d 嘶。) 的解数同样多 所以，对于给定的蝎、坛、蝎、瞒、m 9 、m l o ，则尬的解数为s 办矿一2 7 1 0 + 1 而对于蝎，由( 2 1 2 ) 有同余方程s 霉一t i 霉+ r 2 霉一t 3 m 3 + f 4 兰0 ( m o d 矿) 设e ( m 3 ) = 鹏一1 t 嘲+ 丁2 蟛一r 3 m 3 + 7 4 ，由于i 故尬) g pt ( 尬) ，根据命题 2 2 2 ，给定的坛、蝎、坛、m 9 、m l o ，则尬的解数为h p 一咖1 + 1 于是， 撑彳7 厅( 厅j 矿+ i x h l p p ；- 。+ 1 x h f 一2 7 - o + 1 ) ( h t f 一【 川+ 1 ) ( p y + 1 ) ( h i p r 7 + o ( h p 、 n j i l 9j i l 8j 1 7 6 “凇p + 1 ) ( h i p 7 m + 1 卜两n v + 南+ 南+ 南+ 南 + 三r 矿一啪l 若尬三飓( m o dp v n o + 1 ) ，则同理可得，给定、尬、坛、蝎、蝎，m o 后，则尬的解数：h f 嘲o + l 而对于尬，由于尬兰瞄( r o o dp r 0 + 1 ) ，所以( 尥) 兰0 ( r o o dp ) ( 够、定义 同上文) ，但( 嵋) 三6 心+ 2 ( 鸠一) 兰6 嵋+ 2 ( 心+ 够) 善0 ( r o o dp ) 根据命题 2 2 2 ，给定蝎、坛、蝎、m s 、m 9 、脑。后，则磁的解数。h f 一升- 。- 牛1 + l = j i ，矿- 2 ，o 【半1 + l ，所以，给定尬、坛、蝎、瞒、硒、脑。后，则尬的解数 为。h f 一，。- 【半l + 1 而对坛，与中的过程相同，根据命题2 2 2 ，不难得到，给定坛、硒、坛、蝎、o ， 则蝎解数t h f l 湖+ 1 此时。 削7 i l ，( 厅矿+ l x h f y l 。+ 1 ) ( h f - v m 【尹1 + 1 ) ( j i i 矿一【i 加+ x h f + l x h p v + 1 ) ( 矗多n + 1 x h p w + 1 x h p v i o + 1 ) t 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 9 所以，总有拟7 t 口 引理3 2 2 设a s = m a 6 ：忱 7 3 = 竹= y 5 ，则鲥8 t 证明：对集合彳8 中的元素，可分以下两类讨论t 若了f ，1 3 ，4 ，5 1 ，使尬垂岣( m o d 矿+ 1 ) 。不妨设i = 4 、j = 5 ，则与引理3 2 1 情形中的过程类似，取i l = 5 ，2 = 4 ，i 3 = 3 ，给定m 3 、m 4 、膨、m 7 、蜗、m 9 、尬。 后，则尬的解数t m r - ，一o + l ；给定蝎、坛、瞄、硒、m o 后，则尬的解 数s 办缈一2 3 q o + 1 ；给定坛、坼、尬、m o 后，则蝎的解数为s 一【湖+ 1 此时， 撑彳8 h ( h f + 1 ) ( h f - t o + o ( h f 一2 y t o + 1 ) ( h t f - i | j j + 1 ) ( h p 7 s + 1 ) ( h p r + 1 ) ( h p 竹 + 1 ) ( h p + 1 x h p 7 m + 1 ) t 若m 3 兰尬兰m 5 ( m o d 矿“) ，则可回到命题2 2 1 中，对同余方程石o ) 暑 正( 功( m o d 矿) ，重新选取y = x + m 5 ，则石( 力三正( r o o d 矿) 等价于y ( y + 毛) ( y + m 3 ) ( y + 尬) ( y + 尬) 兰( y + m 6 ) ( y + g t ) ( r + m d ( 7 + m 9 ) ( r + m o ) ( r o o d 矿) ，其 中，尬，m o 分别取为l 呐一所5 批一m 5 ，m l - m 5 ，m 2 一鹏，m l o - m 5 ，m 9 - m 5 ，m 8 一 m 5 ，m 7 一m 5 ，m 6 一m 5 ( 不妨假设o r 4 , ( m 3 一m 5 ) o r a p ( m 4 一m s ) 、o r , t a g l o m 5 ) o r