（基础数学专业论文）西罗定理的一个推广.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文讨论s y l o w 定理逆命题：给定素数p ，是否对于任意的非负整数k ，存在一个 有限群恰有印+ 1 个p 阶子群? 本文所证明的就是，在一些特殊情况下定理的逆命题是 成立的。利用群的扩张理论和数论的基础知识本文证明了当p = 2 时定理的逆命题是正 确的，即对于2 后+ 1 ( 后= 0 ，l ，2 。) ，存在群具恰有2 后+ 1 个2 阶子群，这种群就是正 2 k + l ，( 七= o ，1 ，2 ，) 边形的对称群d 2 ；当旦寻= 印+ 1 ( 以为正整数) 时，逆命题是成立 p 一1 的，即存在p ”阶的有限生成a b e l 群，使得它的p 阶元素的个数恰好为( p 一1 ) ( 助+ 1 ) ；当 咖+ 1 ( p 为奇素数) 恰好为素数时，逆命题也成立，即总存在p ( 咖+ 1 ) 阶的群，使得它 恰好有( 幼+ 1 ) 个p 阶子群，且不同子群的p 阶元素不交换。本文也讨论了若一个群恰好 有7 个3 阶子群，其中一个子群的3 阶元素和另外子群的3 阶元素是否交换的问题，但 没有得出明确的结果，只是得出以下结论： 1若存在群恰好有7 个3 阶子群，那么这些不同子群的3 阶元素一定不都交换。 2 若存在群恰好有7 个3 阶子群，有4 个子群的3 阶元素互相交换，但没有另外 的3 阶元素与它们交换，这样的群是不存在的。 关键词：西罗子群；群的扩张；亚循环群；二项同余式 西罗定理的一个推广 t h ef o r m a tc r i t e r i o no fm a s t e r sd e g r e ep a p e ro fd u t a b s t r a c t w ei n v e s t i g a t et h ei n v e r s eo ft h es y l o w st h e o r e m ：g i v e np r i m en u m b e rp ，a n daf i x e d p o s i t i v ei n t e g e rk d o e st h e r ea l w a y se x i s t saf i n i t eg r o u pc o n t a i n se x a c t l yk p + 1s u b g r o u p so f s i z ep ? i nt h ew o r k , w ep r o v eu n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，t h e r ee x i s t ss u c haf i n i t eg r o u p u s i n g g r o u pe x t e n s i o nt h e o r ya n ds o m en u m b e rt h e o r y , w ep r o v e t h a tt h ea n s w e ri sy e sf o rp = 2 t h e d i h e d r a lg r o u p d 2 i + 1 o fo r d e r2 k + lc o n t a i n se x a c t l y2 k + ls u b g r o u p so fs i z e2 a n dw h e n 切+ 1 ：旦兰向，lsis a np o s i t i v ei n t e g e r ) t h ea n s w e ri sa l s oy e s t h ed i r e ；c tp r o d u c to f n 助+ = 旦 0 ， p l c o p i e so fc y c l i cg r o u p so fs i z epi sa l la b e l i a ng r o u po fs i z e p ”，a n dc o n t a i n se x a c t l y k p + l = gs u b g r o u p so fs i z ep w h e n 妒1i sap r i m en u m b e r ，t h ea n s w e r i sa l s oy e s p t h e r ee x i s t sag r o u po fs i z ep ( 助+ 1 ) w h i c ha n dc o n t a i n se x a c t l y 幼+ 1s u b g r o u p so fs i z e p ，t h e r ea r ee x a c t l y ( p - 1 ) ( k p + 1 ) d e m e n t so fo r d e rp i nt h eg r o u p ，a n dn o nu n i te l e m e n t s f r o md i f f e r e n ts u c hs u b g r o u p sn e v e rc o m m u t e w ea l s oi n v e s t i g a t et h es i t u a t i o nw h e na g r o u pc o n t a i n se x a c t l y7s u b g r o u p so fs i z e3 ，a n dd i s c u s sw h e nd ot h o s ee l e m e n t sc o m m u t e w ec o n c l u d et h a tt h e r ed o e sn o te x i s tag r o u pc o n t a i n se x a c t l y7s u b g r o u p so fs i z e3s u c ht h a t 1 e l e m e n t sf r o md i f f e r e n ts u c hs u b g r o u p sa l w a y sc o m m u t e ，o r 2 t h e r ee x i s t sf o u rs u b g r o u p s ，t h e i rd e m e n t sm u t u a l l yc o m m u t e ，a n dt h e r ea r en oo t h e r e l e 晶e n t so fo r d e r3c o m m u t e k e yw o r d s ：s y l o w ps u b g r o u p ；g r o u pe x t e n s i o n ：m e t a c y c l i cg r o u p ； 2c o n g r u e n c e i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 2 刍堑 导师签名： 盐丞垄氢 导师签名： 盆峦垒竭 大连理工大学硕士学位论文 引言 s y l o w 定理告诉我们在一个有限群中，s y l o w 一子群的个数以及共轭关系。g 为一 有限群，设p 7ji g i ，其中p 为素数，以n ( n ) 表示g 中刀阶子群的个数，则 n ( p 7 ) - l ( m o d p ) 。特别的，如果p 7j i g i ，则g 中至少存在一个p 7 阶子群。但定理只给 出了p 7 阶子群的个数限制，定理允许的个数是不一定存在的。1 9 6 7 年h a l l ，m a r s h a l l ，j r 得出若p 7 ，u ) = 3 p + l ( 这里n ( p ) 是指s y l o w p 子群的个数) 的有限群是不存 在的，这表明定理的逆命题的存在性非常具有研究价值。与此定理相关的问题是有限群 中p 阶元素的个数，定理对此有所帮助，但也不能完全确定。这是群论中比较有意义的 一个问题，例如，一个群中2 阶子群的个数必为奇数，当我们得到两个2 阶元素后，则 必有另外一个2 阶元。本文所探讨的就是在什么情况下定理的逆命题是存在的，即在何 条件下存在有限群使得它恰好具有助+ 1 个p 阶子群。 西罗定理的一个推广 1预备知识 1 1 群扩张理论相关知识 1 1 1 群的扩张 称g 为群被群，的扩张，如果是，的正规子群，并且g n 兰f 。 1 1 2 扩张函数 设群g 是被f 的一个扩张，并取定仃为f 到g n 上的一个同构映射，对于 x f ，令；是x 4 作为n 的左陪集中的任一指定的代表元，但规定取1 ：i 。这时得到g 关 于的陪集分解 ” g = u x u y u u z n ，x ，y ，z f 因为x y ( 砂) 4 = x y n ，故可令 x y = x y f ( x ，y ) ，其中f ( x ，y ) n 。 这确定一个二元函数f ：f xf 专n 。又因为筘，对任意的x f ，映射 口( x ) ：ai - - 4x1 a x ，a n 是的自同构，这又确定一个单值映射口：f a u t ( n ) 。这两个函数厂和口叫做由扩张 g 及陪集代表系 1 ，_ ，歹，刁得到的扩张函数，它满足下列关系：对任意的x ，y , z ，有 f ( x y ，z ) f ( x ，y ) 口! ，= 厂( x ，y z ) f ( y ，z ) ，1 厂( 1 ，1 ) = 1 ， ( 1 1 ) 口( 工) 口( y ) = a ( x y ) f ( x ，y )l 设给定了满足( 1 1 ) 式的函数厂：f xf 一和口：f a u t ( n ) 。考虑下列符号组成 的集合 6 - - 7 汜1 x e ，口 ， 规定g 中的乘法为 x a y b = x y f ( x ，y ) a 口川b 。 大连理工大学硕士学位论文 g n 兰f 则g 对此乘法组成一群。若吧把k 和口等同看待，可看成是g 的子群，它 是正规子群，并且g n 兰f ，g 是被f 的扩张。这样得到的群g 叫做，f 以及函数 f ，口得到的扩张，记作g = e x t ( n ，f ；f a ) ，这是若把x 1 和x 等同对待，则g 有形如 g = u x u y u u z ，x ，y ，z f 的陪集分解，且 1 ，一x ，歹，刁是其陪集代表系。由此陪集代表系按前面的方法得到扩张函 数即为给定的函数厂和口。 1 1 3 群的有限循环扩张 设f 为m 阶的循环群，由s 生成： f - - ( s ) - - 1 ，1 。 设g 为被f 的扩张。假定在同构盯：f 专g n 之下s 的像为_ ，1 s 是陪集- 中 任一选定的代表元，则g 对的陪集分解式可设 g ：n u s n u ；2 n u u ；加1 ， ( 1 2 ) 并有j 册n 。令；”：口，则扩张函数厂有形状 。 f ( s f , 8 j ) = j l a l 1 篡： ( 1 3 ) 壬12 m 又设口( s ) 1 1f a u t ( n ) ，则函数口有形状 a ( s ) = f i ，i = 0 , 1 ，e * 0 9 m - 1 。 ( 1 4 ) 在( 1 1 ) 中代x x = s ，y = s r a - ig = s ，可得到 矿= 口，f 肘= a ( 1 5 ) 反过来，如果给了满足( 1 5 ) 式的口n 和f a u t ( n ) ，则由( 1 3 ) 和( 1 4 ) 规定的 扩张函数f ，口就满足( 1 1 ) 式，于是也就确定一个被m 阶循环群，的扩张。这样我们 得到下面的： 定理设是群，f = ( s ) 是脚阶的循环群。又设口n ，f a u t ( n ) ，口和f 满足 ( 1 5 ) 式。则由( 1 3 ) 和( 1 4 ) 式确定的厂和口满足( 1 1 ) 式，因而可得一被f 西罗定理的一个推广 的扩张g ( 简称的m 次循环扩张) ，记做g = e x t ( n ，m ；o t ，f ) 。并且的所有m 次循 环扩张均可由适当的满足( 1 5 ) 式的口，f 依上法得到。 这个定理给出了解决群的所有循环扩张的办法。但对于不同的口，f 确定的扩张何 时同构的问题并没有回答。 定义：称g 为亚循环群，如果g 由循环正规子群，使商群g n 也是循环群。 即，亚循环群是为循环群被循环群的扩张。下面的定理决定了有限亚循环群的构造。 h o l d e r 定理：设纸朋2 为正整数，g 是刀阶循环群被m 阶循环群f 的扩张，则 g 有如下定义关系： g = ( 扰，v ) ，“”= 1 ，1 ，”= , t1 ，。1 删= “7 ， ( 1 6 ) 其中参数，z ，m ，f ，满足关系式 厂所量l ( m o d n ) ，t ( r - 1 ) 暑o ( m o d n ) ( 1 7 ) 反之，对每组满足( 1 7 ) 式的参数刀，m ，( 1 6 ) 式都确定一个n 阶循环群被m 阶 循环群的扩张。 1 2 二项同余式定理 1 2 1 定理1 令p 为素数，同余方程 f ( x ) = a x ”+ + 口。耋o ( m o d p ) 的解数刀，且重解计算在内。 证明：假定p 不整除，则无解，定理成立。若a 为其一解，则可写 厂( x ) = ( z 一口) 石( x ) + ，i 以a 代入此式显见p i ，i ，故 厂 ) 量o a ) f l ( x ) ( m o dp ) 若a 又为石o ) 兰o ( m o d p ) 的解，则同样可得 大连理工大学硕士学位论文 石 ) 三( x - a ) l ( x ) ( m o d p ) 此时我们称a 为f ( x ) 三o ( m o d p ) 的重解。若 f ( x ) 三( x 一口) 6 9 , ( x ) ( m o d p ) g 。( 口) o ( m o d p ) ，则称口为厂( x ) 寻o ( m o d p ) 的办重解。由我们的证明容易看出g 。( x ) 的次 数是以一h 。 设另有一解6 则 o - f ( b ) 兰( b - a ) 6 9 l ( b ) ( m o d p ) 因为p 不整除b - a ，所以 。 g l ( b ) 置( m o d p ) 若6 为g l ( b ) 三( r o o d p ) 的七重解，则同样有 厂( x ) 兰( x 一以) 6 ( z 一6 ) 9 2 ( x ) ( m o d p ) 继续进行，可得 f ( x ) 量( x 一口) “( x 一6 ) ( x - - c ) 7 9 ( x ) ( m o d p ) g ( x ) 的次数等于n - h - k - 一z ，且 g ( x ) 暑o ( m o d p ) 不再有解。 1 2 2 定理2 同余式= l ( m o d p ) 之根数等于( 忌，p - 1 ) 。 ( 1 8 ) 证明： ( 1 ) 令d = ( 七，p 一1 ) ，必有整数s 和f 使得 s 七+ t ( p - 1 ) = d ， 如此则一- - ( x ) 5 p _ ) ，凡是同余式- l ( m o d p ) 的根必为 三l ( m o d p ) 的根。反之，显然。 西罗定理的一个推广 ( 2 ) 由( i ) 可知如果能证明上式有d 个根就得到结论。由定理i 可知上式的根不 超过d ，x p - 1 - l ( m o d p ) 的根数为p 一1 ，再由定理1 得知 等娟d ) 争- + x d + 1 - o ( m o d p ) 的根数不超过p 一1 一d ，故一= - l ( m o d p ) 的根数d 。故得定理2 。 1 3 有限生成a b e l 群和群的直积 定义1 设s 为有限集合，表现为 f = p i b a = a b ，v a ，6 s ) 的群叫做以s 为基的有限生成自由a b e l 群( 除了交换性条件以外不再有任何关系) 。由 于元素可交换，所以f 元素均可写成 ， g = 砷砖矿( ，o ，n j z ，吩o ，q s ，1 i ，) 其中口1 ，a 2 ，o r 是s 中不同元素，并且若不考虑前后次序，g 的这个表达方式是唯一的。 定义2 设g l ，q 是群，在集合的直积 g = g l q = ( 蜀，岛) i9 1 q ，1 f 刀 中定义运算 ( g i ，) ( 磊，磊) = ( g i g 。，岛赢) ， 易证g 对此运算成群，叫做群g 1 ，q 的直积，它的幺元素为( 1 g l ，1 g ) ，元素( 蜀，岛) 的逆为( g 1 ，g ：1 ) 。 1 4 换位子群和可解群 换位子群：设盯：g g 为一满同态，且g 交换。队伍任意的口，b g ，有 仃( 口- 1 b 一1 a b ) = o - ( a ) _ 1 仃( 6 ) _ 1c r - ( a ) c r o ) = p 即口一1 b 一1 a b k 呱盯) 。元素口一b _ 1 口6 称为群g 元素口，b 的换位子，简记为 a , b 】。由所有换 位子生成的子群称为g 的换位子群，记为g n ，对于同态 大连理工大学硕士学位论文 仃：g - - - - h g ， 如果o - ( g ) 交换，那么g 1 c k 呱盯) ：如果g 1 c k a f o ) ，则c r ( g ) 一定交换，而且g 1 为 g 的正规子群。 可解群：一般地说，对于任意的一个群g ，它的换位子群g ( 1 是g 的一个非平凡的 正规子群。 一 g g ( n 再作换位子群g 1 的换位子群( g 1 ) n ，记为g 孙。这样继续下去，令 g 。= ( g 。1 ) n 。 我们得到一个递降的群列 g t g ( 1 ) g ( 2 ) g ( g ( 。) 其中每一项g ( 。都是前一项g ( 扣1 的换位子群。因而是正规子群。如果g 是个有限群， 那么这样的群列只有两种可能：一是从，某个正整数k 开始有 g 似) - g 似+ 1 ) - 。 e ) 一是有个正整数七使得g = e 。 定义：设g 是一个群。如果有一正整数七使得g = p ) ，那么称g 为可解群。 定理i ：群g 是可解群的当且仅当存在一递降的子群列 g = g o g l g - - e ， 其中每一个q 是前一个q 一。的正规子群，且商群g f 一。g 交换，待l ，s 。 定理2 ：有限群g 是可解群的充分必要条件是存在一个递降的子群列 g = 凰马p1 - 1 , = p ) ， 其中商群耳只书待1 ，r ，都是素数阶的循环群。 1 5 图形的对称群 设，是平面上的一个图形。令g 。为全体保持f 不变( 从整体上说) 平面正交变换 所成的集合。显然，恒等变换总在q 中，因而嗥是非空的；g f 中任意两个变换的乘积 西罗定理的一个推广 仍在q 中，因而变换的乘法可以认为在锦上定义的一个运算；g p 中变换的逆也在g f 中。这就是说，g 。在变换的乘法下成一个群，它称为图形f 的对称群。 例如f 为一正方形( 如下图) ，显然，保持这个正方形不变的正交变换只有：绕中 心转动9 0 。，1 8 0 。，2 7 0 。, 3 6 0 。以及对于直线1 ，2 ，3 ，4 的镜面反射。这8 个正交变换就构 成了正方形的对称群g 。如果我们用丁表示绕中心转9 0 。，s 表示对于直线1 的镜面反 射，那么不难看出，g 中的8 个元素就是 q = r ，t 2 , t 3 , t ns t ，s t 2 , s t 3 , s t 4 ， 其中t 4 = ，s 2 = ，s t = t s 类似的，如果，是平面上正刀边形，那么f 的对称群g ，是由2 刀个元素组成。令丁为 绕中心转望，s 为对于某一个对称轴的镜面反射，于是有 甩 g f = 丁，丁2 ，”，s t ，盯2 ，s t ” ， 其中t ”= ，s 2 = ，s t = t s 。这类群通常成为二面体群，用符号见表示。 图： ：了稍 l l l 1 | jj 夕 大连理工大学硕士学位论文 2当z ；= 印+ 1 时的情况 p 一1 我们来看p = 3 时的情况，设 g l = 蜀，薪，p ) ，g 2 = ，爵，g ， g = g l 6 2 ，它是有限生成a b e l 群。 g 的3 阶元素有8 个： ( g l ，e ) ，( 薪，e ) ，( e ，9 2 ) ，0 ，g ；) ，( 蜀，) ，( 薪，g ：) ，( g i ! ，爵) ，( g 。，g ；) 。 同理设 g l = ，薪，p ，g 2 = g ：，g ；，p ) ，6 3 = 9 3 ，爵，p g = g 6 2 g 时，g 的3 阶元素恰好有2 6 个。 即当p = 3 时，存在群恰好有4 ( 1 3 ) 个3 阶子群。 依此类推，也就是因为( z ，) 拧中有望 个p 阶元，当型寻：k p + 1 时，( z p ) ”恰好 p lp 一1 有助+ 1 个p 阶子群。且由于 ( o l ，6 l ，c 1 ) ( 口2 ，6 2 ，e 2 ) = ( a 2 ，如，c 2 x a l ，6 l ，c 1 ) 则在有限生成a b e l 群中不同子群中的p 阶元素是交换的。 西罗定理的一个推广 3 当p = 2 的情况 根据h o l d e r 定理，在( 1 6 ) 式中， 当n = 2 k + 1 ，k = o ，1 ，2 ，m = 2 ，f = ，z ，= 一1 时， - 1 2 = 1 兰l ( m o d 2 k + 1 ) ， 2 k + l x ( - 1 - 1 ) 罩o ( m o d 2 k + 1 ) ， 满足( 1 7 ) 式。 i 面f 1 v 卅2 1 , = ，扩张构成的群g 不是交换群。事实上，这种群就是正2 七+ 1 ，( 七= o ，1 ，2 ，) 边形的对称群d 2 州。 得到结论：总存在4 k + 2 阶群，使得它恰好具有2 k + 1 个2 阶子群( 七= o ，1 ，2 ，) 。 大连理工大学硕士学位论文 4当p 为奇素数，且印+ 1 为素数的情况 4 1p ( 印+ 1 ) 阶群的构造 运用h o l d e r 定理，令 玎= k p + 1 ，m = p ，f = k p + 1 由于f = n ，所以 t ( r - 1 ) 三o ( m o d n ) 成立。则命题就划归到二项同余式 ，pm l ( m o d 幼+ 1 ) ， 的可解性上来，利用二项同余式定理，它的根个数为 ( p ，印) = p ， 由于1 ， 助+ 1 ，则非1 解的个数为p - 1 个。 则当k p + l ( k = 0 ，1 ，) 为素数的时候，存在p ( 印+ 1 ) 阶的群，使得p 阶子群的个数恰 好为印+ 1 个。 4 2 p 阶元素的交换性 当用群扩张理论来构造p ( 矽+ 1 ) ( k p + l 是素数) 时，我们来讨论不同子群里p 阶 元素的交换性： 其中 根据h o l d e r 定理，我们设 g = ( 口，6 ) ，口= p ，b = p ，a b a = 6 这时，我们先来证明 - l ( m o d i ) ，j l t = 0 ，i , j 皆为素数。 是互不相等的个i 阶元素。 利用a b a = b ，推出 口，b 1 口6 一，b 7 1 a b l 一j 口：矿a b 一”j a b ”a 一= b ” 西罗定理的一个推广 b ”( 。一1 ) = e 。 则推出 n ( k - 1 ) 兰o ( m o d ，) 由于 是素数，而且刀 ，k ，则这是矛盾的。 假设b ”a b 一= 6 “a b 一，推出 b ”- a b ”一卅= a 则有着和上式同样的证明，即这，个f 阶元素是互不相等的( 当然包括它们的逆) 。 接下来我们来证明这，个f 阶元素任意两个是不交换的： 若口6 ”a b 一”= 6 ”a b 一”a ，贝i j 推出 口6 ”a b 一”a = b ”a b - = ，a b ”( 1 2 ) 口= 6 ”a b 一”口一1 jb k t l 一) = b b 一破 jb , , k t l - k ) = 6 加- k ) 由于是素数，_ r n 歹，则等式是不成立的，矛盾。 若6 ”a b 一”b ”a b 一”= 6 ”a b 一”b ”a b - n ，设b ”a b 一”= 口贝l j 推出 a b ”一”a b ”叫= b ”一“a b ”一”a 。 由于 口6 ( 口) = b ”a b 叫b b ”a 1 b ” = av 6 ( 口r ) = b ”a b a 一1 b 一” = a 1w 6 ( 口) 一1 = 6 ”b b 一”= b 。 则有化为上面的形式，得出假设不成立。 即得出当用群扩张理论构造p ( 幼+ 1 ) ( k p + 1 恰好为素数) 阶群时，不同子群的p 阶元 素是不交换的。 大连理工大学硕士学位论文 5 交换性的讨论 以上讨论用群扩张理论构成的群，它们的不同的p 阶子群的p 阶元素是不交换的。 那么假如一个群恰好有助+ 1 ( 为素数) 个p 阶子群，这些不同的子群的p 阶元素是否 都是不交换的呢? 当垒；印+ 1 ( 玎为正整数) 时，我们来看一个例子：假如一个群恰好 p l 有7 个3 阶子群。 假设有不同子群的3 阶元素交换的情况，设为口和b 交换，则口，b ，a b ，a 2 b 是 在不同子群的3 阶元素，则必须有第5 个7 t i ：i 这_ 4 个不相等且不在同一子群的3 阶元素c 的 存在。 5 1c $ da ，b ，a b ，a 2 b 都不交换的情况 口ci：，6：，口6：，笔i皇，cc：，cc一-1ac：c，cc一-1bc：c，三一-l。a口b：cb a 2 b i a i bb ：c ，三- 1 三器三 5 1 ) 口2 2 2 口6 2 c 2 c 一 2 c c 一2 c c 一1 口22 c c 一1 口6 2 c 、u 。工7 是9 组3 阶子群的3 阶元素，前5 组互不相同，后5 组也互不相同。我们比较前后的元 素是否有机会相等。 先考虑口和后5 组的关系： 口c - l a c ；若口= c - l a 2 c j c - l a c = c 口2 c ，贝0 a - c 一1 a 2 c = c a c 一 则a ：c - l a c ，同样推出a 和c 交换，矛盾，则a c - l a 2 c 。 若口：c 一k ，即c a = b c 的情况，则( 5 1 ) 中有2 组是相等的，我们来观察剩下这8 组的比较关系。 口2 ，6 2 ，口b 2，辔，c2，cc一-ac2c，cc-l口-1ab2c2c，cc-1a如2bca ba 2 b c i a b ( 5 - 2 ) 2 2 2 口6 2 2 ，c 一2 c c 一1 口22 c c 一1 口6 2 c w 代入条件c a = b c ，b = c - 1 a cjc a b = b c b ， ， j c - 1 a b c = a b ，矛盾。 当b = c - l a 2 cjc b c = a 2 c 2 ，代入条件c a = b c ， 11 j c a = a c ja ：c a 2 c 一，由上面的证明得到矛盾。 西罗定理的一个推广 b = c - l a b b 或b = c - l a 2 b c 以及它俩的逆时，能成立，不矛盾。 ( 1 ) 若b 和此两组不相等时，讨论a b ，a 2 b 和后3 组的关系： 若口6 = c - 1 a c ，代入c a = b c ，ja b = c b c 。1 c - l a b c = b ，矛盾， 若口6 = c - 1 口2 c ，代入c 口= b c ，j a 2 b 2 = c - m a c j c a 2 b 2 c = a = c - 1 b c j c - i c l 2 b 2 c = 6 ，矛盾。 若a b = c - l a 2 b c ，代入c a = b c ，a b = c - l a 2 c a b = c 一1 口2 c ，矛盾， 若口b ：c - 1 口b 2 c ，代入c a ：b c ，a 2 b 2 = c - l a 2 b cj a 2 b 2 - c 一1 a 2 c aja b 2 = c 一1 a 2 c = b 2 ， 矛盾。 若a 2 b = c - t a c ，代入c a = b c ，ja 2 b = c b c 一c - l a 2 b c = b ，矛盾。 若a 2 b = c - l a 2 c a b 2 = c - l a 2 c ，代入c a = b c ，同理矛盾。 可以看到由于动和a 2 b 地位一样，所以证明类似，我们在后来的证明中也可以利用 这一点简化证明。 综上所述，则得到( 5 2 ) 存在8 组互不相等的3 阶元素，命题不成立。 ( 2 ) 当b ：c - l a b c 时，即满足条件c b = a b c ，c a = b c 。( 5 2 ) 中有7 组子群元素。 我们为了推翻假设，观察另一组3 阶子群的3 阶元素： 口2 ，a 6 2 ，ba b ：，a 2 b c ：，磁，口a 协- 1 c a a 2 b c 2 bi c ，搿：唑ca b ，嘲a 2 b ) ：露c b ( 5 3 ) 7 口2 6 2 2 动2 2 6 1 c 口一2 口( 口6 ) 一1 2 ( 1 2 口2 w u7 我们先来比较后4 组元素的关系。 若b 1 西：a - 1 c a ，代入西= a b c ，c a = b c ，b - l a b c = a - l b c j 伽= a - i b c j a 一= b ，矛盾， 若b c b ：a - l c 2 a ，代a , c b = a b c ，c a = b c ，jb - l a b c = a - l c b cj a - t b - c ，矛盾。 若b c b ：口一1 6 c a b ，代入c b = a b c ，c a = b c ，j0 2 b c = c a b a = 6 ，矛盾。 若6 c b = a - t b 一1 c 2 a b ，代入c b = a b c ，c a = b c ，jc = a 一1 c 2 口a c = c b cja = c b ，矛盾。 若b c b ：a b 一1 c a b ，代入c b = a b c ，c a = b c ，c b = a c a 2 bjb c = c a 2 b a b - - e ，矛盾， 若b c b = a b 一1 c 2 a b ，代入c b = a b c ，删= b c ，jc = a c a 一1 b c = a c 2jb = a c ，矛盾。 若a - 1 c a ：口一1 6 c a b ，代入c 6 = a b c ，c a = b c ，jc a = b - l b c bja = b ，矛盾， 若口一l c a ：口一1 6 一m ca b ，代入c b = a b c ，c a = b c ，j 阳= b - l c 2 a b e = a c a b c = a b 2 ，矛盾。 大连理工大学硕士学位论文 若a - l e a ：a b 一1 c a b ，代入西= a b c ，c a = b c ，a a b c = a b 2 c c l 2 b j c b = 6 2 c a 2 b ， ：b 2 c = b c b = e ，矛盾。 若a c c l = a b 一1 c 2 a b ，代入c b = a b c ，c a = b c ，jb c = b 2 c 2jb c = e ，矛盾。 若a 一1 b c a b = a b 一1 c a b ，代, k c b = a b e ，c a = b c ，ja - l c a = a c a 。1jc a 一= a - i t ，矛盾， 若a - i b c a b = a b 一1 c 2 a b ，代入c b = a b c 。c a = b c ，jc l c a 一= c 2ja c = c a ，矛盾。 则它们是互相不相等的4 组3 阶元素，我们使用前面的方法，比较前5 组3 阶元素 和后4 组3 阶元素的关系。 若a = b - l c b ，代入c b = a b c ，a = b - l a b c c = e ，矛盾， 若a = b - l c 2 b ，代入c b = a b c ，ja 2 = b - l a b cja = c ，矛盾j 若a = ( a 6 ) 一c a b ，代a c a = b c ，a = a - l b 一1 b c b a = a - i c b c = a 2 b 2 ，矛盾， 若a = ( a b ) 一1 c 2 a b ，代3 , c a = b c ，j a 2 = 口一1 b 一1 b c b a 2 = a - i c b j c = 6 2 ，矛盾。 若a = ( 0 2 6 ) 一1 c a 2 6 ，代a c a = b c ，ja = a b 一1 c 口一1 bj a = a b 一1 b c a b c = a 2 b 2 ，矛盾。 若a ：( a 2 6 ) 一1 c 2 a 2 b ，代入c a = b c ，a 2 = a b 一1 c a 一1 b 口2 = a b 一1 b c a b j c = b 2 ，矛盾。 6 ，a b ，a 2 b 和后4 组的比较关系同理可证，互不相等。 ( 3 ) 当b ：c - l a 2 b c ，c 卅口2 b c 和c - l a b c 地位相同，同理可证。则在这样的条件下恰 好存在7 个3 阶子群的群是不存在的。 当a = c - l a b c 或口= c - l a 2 b c 时由于它们地位一样，证明过程相似，同理可证。 若口和后4 组均不相等时我们再来观察( 5 1 ) ，这时考虑6 和后4 组的比较关系。 ( 1 ) 当b = c - l a cjc b = a c 时，可成立。 若a b = c - l a 2 b c ，代入c b = a c ，j a = c - l a 2 b a c h j a = c - 1 b c b j a = c - l b a c = c - l a b c ，矛盾， 若口6 ：c 一1 a b 2 c ，代入c b = a c ，ja 2 b 2 ：c - l a 2 b c a 2 = c - i a 2 b c b a 2 = c - i b c ，矛盾。 若口6 = c _ 1 b c j b c = c a b 可成立，( 5 1 ) 中有7 组子群元素了。则再观察验证子群元素 组( 5 3 ) ，条件是a 不等于( 5 1 ) 中的后4 组3 阶元素，而且b c = c a b ，c b = a c 。 同样可以验证满足上述关系( 5 3 ) 的后4 组元素组也互不相等。 前后比较：一 西罗定理的一个推广 若a = b - i c b ，代入c b = a c ，j a = b - 1 a c j b = c ，矛盾， 若a = b - l c 2 b ，代入曲= a c ，ja 2 = b - 1 a c a b = c ，矛盾。 若a = ( a b ) 一c a b ，代入b c = c a b ，j a = a 一1 b c a b = 口一1 6 1 b e j a = c ，矛盾， 若a = ( a b ) 一1 c 2 a b ，代入抛= c a b ，a 2 = 口一1 6 c a b = 口一1 6 1 b cj p = c ，矛盾。 若口= ( 口2 6 ) 一1 c g 2 b ，代a b c = c a b ，ja = a b 一1 c a b a e = 6 1 b c ajc = a 2 ，矛盾， 若a = 似2 6 ) 一1 c 2 a 2 b ，代入b c = c a b ，口2 = a b 一1 c a b aj a = 6 1 b c a c = e ，矛盾。 6 ，a b ，a 2 b 也同理不等于后3 组元素。 7 ( 2 ) b = c - 1 a b c 或b = c - 1 0 2 b c 时都有类似的证明。 当b 不等于( 5 1 ) 的后4 组元素组时考虑a b ，a 2 b 和后4 组的关系也可类似证明， 假设是不成立的。 5 2 当c 与口，b ，a b ，口2 b 其中任意2 个元素交换的情况 观察3 阶元素组： 竺：，6，竺堂：，：，三：，筅：，鬟，62cb2 b 2 b a 2 b c ： ( 5 4 ) 口2 口22 口 c 2 c 2 口2 c 6 2 c 2 2 、u 7 经过简单比较，9 组3 阶元素互不相等，在这种情况下，假设是不成立的。 5 。3当c 只与口，b ，a b ，a ：b 其中的任意一个元素交换的情况 设c 与口交换，= 钟。观察子群元素组 口 ba b 口2 b c a c 口2 cc - 1 b cc - 1 a b cc - l a 2 b c r 式瓦、 a 2 b 2 a 2 b 2 口b 2 c 2 口2 c 2 口c 2 c 一1 6 2 c c 一1 口2 b 2 c c 一1 口6 2 c u u ， 显而易见，前7 组互不相同。a 一定不等于后3 组子群元素；观察b ，b 可能等于 的元素有c - 1 a b c 和c - l a 2 b c ( 以及它们的逆) 。 。 若b = c a b c j c b = a b c ， 根据幻二a b c 得到 ja b = c - 1 c a b a b = c - l o t j 动：c 一1 口动c c 一1 口2 幻 大连理工大学硕士学位论文 而且 = ，c 一1 6 c = 口一1 口c 一1 b c = ，a 一1 c 一1 a b c j c b c = a 一1 c c b = a 2 b ( 5 5 ) 中恰有7 组子群元素，这时，我们利用上面证明的方法，试着找出其他的3 阶 元素： 6 1 c 6 ：b - i a b c ：a c ，a 一1 b 一1 c a b = b 一1 c b ，a b 一1 c a 一1 b = b - i c b + 利用这种方法再也找不出另外的3 阶元素了，推翻不了假设，则由于没有构造出具 体的群，用这种方法不能证明假设是正确的。这样的问题尚需讨论。 但是我们利用这种办法至少知道t 1 若存在群恰好有7 个3 阶子群，那么这些不同子群的3 阶元素一定不都交换。 2 若存在群恰好有7 个3 阶子群，有4 个子群的3 阶元素互相交换，而且没有另 外的3 阶元素与它们交换，这样的群是不存在的。 西罗定理的一个推广 6 关于可解群的推广的s y l o w 定理 有限群的s y l o w 子群具有这样的性质，它的阶m = p 。和它的指数”互素。p 赫尔证 明了推广到可解群的以子群表出的s y l o w 定理，这些子群的阶m 与它们的指数刀互素， 但是并不要求m 是素数的方幂。 定理：设g 是m r t 阶的可解群，这里( 所，丹) = l ，那么 1g 具有至少一个m 阶的子群。 2 任意两个m 阶子群是共轭的。 3 阶m 整除m 的任何子群包含在一个m 阶子群内。 4m 阶子群的个数丸可以分解因子，使得每个因子( a ) 取m 的某个素因子为模而与1 同余，和( b ) 是素数的方幂而且整除g 的一个主因子。 大连理工大学硕士学位论文 7 织积，对称群的s y l o w 子群 设g 和日分别是在集合么和b 上的置换群。我们以下列方式定义g 乘h 的织积， 记做g 矽h ：g 矽日( 由于m a t h t y p e 中没有找到织积的符号，故用矽代替) 是在a x b 上的全 体下列类型的置换秒的群： ( 口，b ) o = ( 口儿，“) ，a a ，b b 这里对于每个b b ，心是g 在彳上的一个置换，但是对于不同的b ，置换托的选取是 独章的。置换矽是h 在b 上的置换。r l = 1 时的置换秒组成一个正规子群g ，它同构于n 个g 的直积，这里聍是集合b 中文字的个数。商群g g 同