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点可数覆盖与序列覆盖映射 林寿 ( 福建省宁德师范高等专科学校，宁德3 5 2 1 0 0 ，中国) 摘要 映射与覆盖的方法是研究一般拓扑学的基本工具作为对可度量性与紧性一 般化而形成的广义度量理论与覆盖性质理论中的许多问题涉及到对确定的点可数 覆盖的研究与点可数覆盖相关的广义度量问题的探讨导致k 网理论与度量空间 的映射理论的发展本文在综述了广义度量空间理论在9 0 年代的主要研究课题及 国内外学者的重要贡献后，分两个部分阐述了作者( 及其合作者) 近3 年在空间与映 射方面的一些工作第一部分( 本文第二、第三章) 讨论点可数覆盖、点有限覆盖列 与度量空间的s 映象、紧映象之间的关系第二部分( 本文第四章) 讨论著作广义 度量空间与映射中的正则分离性条件及几个有失误的论证 本文的第一部分围绕度量空间的几类序列覆盖映象中的一些问题开展研究， 引入了序列网、点星网、s n 覆盖和s o 覆盖等概念，利用了k 网、紧有限分解网、 c s 网和s n 网等集族性质主要的结果是证明了弱第一可数性与s ，s 。，之间的精 巧关系，建立了度量空间的序列商映象、紧覆盖映象、序列覆盖映象与1 序列覆 盖映象的特征其作用在于充实了序列覆盖映射的理论，深化了a r h a i l g e l s k i i ， m i c h a e l ，n o g u r a ，s h i b a j c o v s v e t l i c h n y , v e l i c h k o ，t a l l a k a 等的一些定理，尤其是肯定 地回答了下述问题， ( 1 ) a r h a i l g e l s k i i 的问题【1 0 8 ：是否每一具有权数r 的序列空间是某一具有权数r 的度量空间的商映象? 国家自然科学基金资助项目( 1 9 5 0 1 0 2 3 ，1 9 9 7 1 0 4 8 ) 。福建省自然科学基金资助项目( a 9 7 0 2 5 ) ， 福建省“百千万人才工程”人选培养基金资助项目( 1 9 9 9 ) 及宁德师范高等专科学校“学术带头人 专项金费”资助项目 ( 2 ) i k e d a l i u 和t a n a k a 的问题 8 9 】：借助度量空间的好的映象刻画具有点正则c s 嘲的序列空间 ( 3 ) l i u 和t a n a k a 的问题 1 4 9 ，2 1 8 ：若具有点可数k 网的k 空间x 不含有闭子空 间同胚于s ：和s 。，那么x 是否具有点可数基? ( 4 ) l i u 和t a n a k a 的问题 1 4 7 ：若具有盯点有限k 网的k 空间x 不含有闭子空间 同胚于s 。，那么x 是否是莎可数空间? ( 5 ) t a n a k a 的问题【2 1 8 】：若具有点可数c s 网的序列空间x 不含有闭子空间同胚于 s 。那么x 是否具有点可数弱基? 部分地回答了下述问题。 ( 6 ) m i c h a e l 和n a g a m i 的问题 1 5 8 ：度量空间的商8 映象是否也是度量空间的紧 覆盖商s 映象? ( 7 ) v e l i c h k o 的问题【2 3 1 】：寻求拓扑性质m 使得空间x 是具有性质中的度量空间 的商s 映象当且仅当x 既是西空间又是度量空间的商s 映象 本文的第二部分围绕著作广义度量空间与映射中的正则分离性公理及几 处论证有误的命题开展讨论，吸收了b u h a g i a r 等研究纤维丛一般拓扑学的思想主 要的结果是获得了一些t ：空间中的广义度量定理，拓展了对次仿紧性的研究例 如，证明了强空间是次仿紧空间，指出了次仿紧性是完备逆象不变的，构造了 不具有g 。+ 对角线的盯闭离散空间、不具有点可数c s 网但有局部可数且盯离散 k 网的空间和不具有p 序列的可展空间等几个有趣的例子其意义在于改进了 b u r k e ，g r u e n h a g e ，j u r m i l a ，m i c h a e l ，t a n a k a 等的一些结果，丰富了映射、覆盖性质 与广义度量空间的理论 综上所述，我们的工作对于发展广义度量空间理论具有显著的作用 关键词度量空间，点可数集族，序列覆盖映射，k 网，正则空间 2 0 0 0 美国数学评论主题分类号5 4 e 3 5 ，5 4 e 4 0 ，5 4 c 1 0 ，5 4 d 5 5 中国图书分类号0 1 8 9 1 p o i n t c o u n t a b l ec o v e r s a n d s e q u e n c e - c o v e r i n gm a p p i n g s l i ns h o u ( n i n g d et e a c h e r s c o l l e g e ，n i n g d e ，f u j i a n3 5 2 1 0 0 ，c h i n a ) a b s t r a c t t h em e t h o do f m a p p i n g sa n dc o v e r si sab a s i ct o o lt os t u d yg e n e r a lt o p o l o g y t h e t h e o r y o f g e n e r a l i z e d m e m c p r o p e r t i e s a n d c o v e r i n gp r o p e r t i e s s t e m sf r o ma g e n e r a l i z a t i o n o fm e t r i z a b i l i t ya n dc o m p a c t n e s s ，i nw h i c hag r e a t m a n yp r o b l e m s i n v o l v ear e s e a r c hf o rc e r t a i np o i n t c o u n t a b l ec o v e r s ad e l i b e r a t i o no nq u e s t i o n s r e l a t e dt op o i n t c o u n t a b l ec o v e r sl e a d st oad e v e l o p m e n to ft h et h e o r i e so fk - n e t w o r k s a n d m a p p i n g so f m e t r i cs p a c e si ng e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s t h i sp a p e rs u m m a r i z e st h e e s s e n t i a lt a s k sa n dt h ei m p o r t a n tc o n t r i b u t i o nt ot h et h e o r yo f g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s i nt h ep a s tt e ny e a r s ，a n di nt w op a r t se x p o u n d ss o m er e s u l t so b t a i n e db ya u t h o ra n d c o o p e r a t o r sc o n c e r n i n gs p a c e sa n dm a p p i n g si nt h ep a s tt h r e ey e a r s i nt h ef i r s tp a r t ， w h i c hi sc o n t a i n e di nt h es e c o n da n dt h et h i r dc h a p t e r s ，w ed i s c u s st h er e l a t i o n sa m o n g p o i n t - c o u n t a b l ec o v e r s ，t h es e q u e n c e so fp o i n t f i n i t ec o v e r s ，a n ds - i m a g e sa n dc o m p a c t i m a g e so f m e t r i cs p a c e s i nt h es e c o n d p a r t ，w h i c hi sc o n t a i n e di nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w e c o n s i d e rar e g u l a rs e p a r a t e da x i o ma n ds o m eg a p si np r o o f sw i t hr e g a r dt ot h eb o o k g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sa n d m a p p i n g s ” i nt h ef i r s t p a r t o ft h i s p a p e r , w ec e n t r e o ns e v e r a lq u e s t i o n sw i t l l s e q u e n c e c o v e r i n gi m a g e so fm e t r i cs p a c e s t h ec o n c e p t so fs e q u e n t i a ln e t w o r k s ，p o i n t - s t a r n e t w o r k s ，s n c o v e r sa n ds o - c o v e r sa r ei n t r o d u c e d t h ep r o p e r t i e so ff a m i l i e sa b o u tk - n e t w o r k s ，c f p - n e t w o r k s ，c s - n e t w o r k sa n ds n - n e t w o r k s a r em a d eu s eo f t h em a i nr e s u l t s a r et h a ts h o w ss o m ee x q u i s i t er e l a t i o n sa m o n gaw e a kf i r s t - c o u n t a b i l i t y , s 2 a n ds m ， 3 a n dt h a te s t a b l i s h e sc e r t a i n c h a r a c t e r i z a t i o n so f i m a g e s o fm e t r i c s p a c e s u n d e r s e q u e n t i a lq u o t i e n tm a p p i n g s ，c o m p a c t c o v e r i n gm a p p i n g s ，s e q u e n c e c o v e r i n g m a p p i n g sa n d1 一s e q u e n c e c o v e r i n gm a p p i n g s t h e i rr o l ei st or e p l e n i s ht h et h e o r yo f s e q u e n c e c o v e r i n g sm a p p i n g s ，a n d t od e e p e ns o m et h e o r e m so b t a i n e db ya r h a n g e l s k i i ， m i c h a e l ，n o g u r a ，s h i b a k o v ，s v e l i c h n y ，v e l i c h n o ，t a n a k aa n do t h e r s i np a r t i c u l a r ，t h e f o l l o w i n gq u e s t i o n s a r ea n s w e r e da f f i r m a t i v e l y , ( 1 ) a r h a n g e l s k i i sq u e s t i o n 2 0 8 ：i f xi sas e q u e n t i a ls p a c ew i t haw e i g h 盯，t h e n i sx aq u o t i e n ti m a g eo fam e t r i cs p a c ew i t ha w e i g h j f ? ( 2 ) i k e d a , l i ua n dt a n a k a sq u e s t i o n 8 9 ：f o ras e q u e n t i a ls p a c ex w i t ha p o i n t r e g u l a r c s n e t w o r k ，c h a r a c t e r i z exb ym e a n so f an i c ei m a g eo fam e t r i cs p a c e ( 3 ) l i ua n dt a n a k a sq u e s t i o n 1 4 9 ，2 1 8 ：l e tx b ea k - s p a c ew i t hap o i n t c o u n t a b l ek n e t w o r k i fxc o n t a i n sn oc l o s e dc o p yo fs 。，a n dn os 2 ，t h e nd o e sx h a v eap o i n t c o u n t a b l eb a s e ? ( 4 ) l i ua n dt a n a k a sq u e s t i o n 1 4 7 ：l e tx b eak - s p a c ew i t hao - 一p o i n t - f i n i t ek n e t w o r k i f xc o n t a i n sn oc l o s e dc o p yo f s 。，t h e ni sx ag f - c o u n t a b l es p a c e ? ( 5 ) t a n a k a sq u e s t i o n 2 1 8 ：l e tx b eas e q u e n t i a ls p a c ew h i c hc o n t a i n sn oc l o s e dc o p y o fs 。i fxh a sap o i n t - c o u n t a b l ec s n e t w o r k ，t h e nd o e sxh a v eap o i n t - c o u n t a b l e w e a k ? a n d ，t h ef o l l o w i n gq u e s t i o n sa r ea n s w e r e dp a r t i a l l y , ( 6 ) m i c h a e la n dn a g a r n i sq u e s t i o n 1 5 8 ：i fx i saq u o t i e n ta n ds i m a g eo fam e t r i c s p a c e ，t h e ni sx aq u o t i e n t ，c o m p a c t - c o v e r i n ga n ds i m a g eo fam e t r i cs p a c e ? ( 7 ) v e l i c h k o sq u e s t i o n 2 3 1 ：f i n dao - p r o p e r t ys u c h t h a tas p a c exi saq u o t i e n ta n d s i m a g eo f a m e t r i ca n d 一s p a c ei f a n do n l yi f xi sa 中- s p a c ew h i c hi saq u o t i e n ta n d s - i m a g eo f a m e t r i cs p a c e i nt h es e c o n dp a r to f t h i sp a p e r , w ec o n c e n g a t eo u ra t t e n t i o n0 i 1ar e g u l a rs e p a r a t e d a x i o ma n daf e wg a p si np r o o f so f g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sa n dm a p p i n g s ” b u h a g i a r si d e as t u d y i n gf i b r e w i s eg e n e r a lt o p o l o g yi s a b s o r b e d t h em a i nr e s u l t sa r e 4 t h a to b t a i n ss e v e r a l g e n e r a l i z e dm e t r i ct h e o r e m si nt 2 一s p a c e s ，a n d t h a t o p e n su pa r e s e a r c hf o rs u b p a r a c o m p a c t n e s s f o re x a m p l e i ti sp r o v e dt h a ts t r o n g + s p a c e sa r e s u b p a r a c o m p a c t ，a n dt h a ts u b p a r a c o m p a c t n e s si s i n v a r i a n tu n d e rp e r f e op r e i m a g e s ， a n ds o m ei n t e r e s t i n g e x a m p l e s a r ec o n s t r u c t e dw h i c hs h o w st h a t ( 1 ) ae r c l o s e d d i s c r e t es p a c ew i t h o u ta n yg + d i a g o n a l ，( 2 ) as p a c ew i t ha l o c a l l yc o u n t a b l ea n d o - d i s c r e t ek - n e t w o r kw i t h o u ta n yp o i n t c o u n t a b l ec s + n e t w o r k ，a n d ( 3 ) ad e v e l o p a b l e s p a c ew i t h o u ta n yp - s e q u e n c e t h e i rs i g n i f i c a t i o ni st oi m p r o v es o m er e s u l t so b t a i n e d b yb u r k e ，g r u e n h a g e ，j u r m i l a , m i c h a e l ，t a n a k aa n do t h e r s ，a n dt oe n r i c ht h et h e o r yo f m a p p i n g s ，c o v e r i n gp r o p e r t i e sa n dg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s i na w o r d ，o u rw o r k t a k e san o t a b l er o l ei nt h et h e o r yo f g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s k e y w o r d s m e t r i cs p a c e s ，p o i n t - c o u n t a b l ef a m i l i e s ，s e q u e n c e - c o v e r i n gm a p p i n g s ， k n e t w o r k s ，r e g u l a rs p a c e s 2 0 0 0m r s u b j e c t c l a s s i f i c a t i o n 5 4 e 3 5 ，5 4 e 4 0 ，5 4 c 1 0 ，5 4 d 5 5 c h i n e s e l i b r a r y c l a s s i f i c a t i o n0 1 8 9 1 5 第一章引言 拓扑学的中一t l , 课题是确定和研究拓扑不变量a r h a n g e l s k i i 1 2 1 指出：一般拓 扑学致力于拓扑空间及连续性的研究，有三个主要的“内在”任务，一是不同拓扑空 间类的比较，二是确定类的研究，三是为上述目的及应用的需要定义出新的概念 和空间类实现任务一的联结空间的映射的方法是特别地重要，该方法是直接建 立不同空间类之间的联系，任务二主要涉及空间类关于运算的性质，而覆盖的方 法对完成上述任务起重要的作用 由此可见，映射与覆盖的方法是一般拓扑学中通用的重要工具，通过对度量 化问题、空间与映射的相互分类原则和积空间的仿紧性等一般拓扑学的重要课题 的研究导致了广义度量空间理论的建立 2 5 】什么是广义度量空间? 粗略地说， 它们是这样的一些空间类 7 9 1 ，继承了度量空间所具有的较好的运算性质且度量空 间的某些理论或技巧能拓广到这些空间类，如是否关于完备映射或闭映射保持? 是否关于子空间或闭子空间遗传? 是否关于有限积或可数积封闭? 是否具有一定 的可和性? 是否具有某种的覆盖性质? 从6 0 年代起广义度量空间理论直是一般 拓扑学中活跃的研究方向，所涉及的与公理集合论、数理逻辑、组合数学、泛函 分析、拓扑群、动力系统等分支相互交融而形成的大量问题已列入专著( ( o p e n p r o b l e m si nt o p o l o g y ) ) 【1 5 9 过去的4 0 年间在不同时期内所取得的广义度量空间 理论的成就已先后总结在一些重要的论著中，如文献【5 ，2 5 ，7 9 ，8 0 ，1 1 3 ，1 6 9 1 1 1广义度量空间理论的新进展 什么是9 0 年代以来广义度量空间理论的主要研究课题? 这是一个作者难以 恰当回答的问题我们不妨来看一看1 9 9 0 年以来国际上出版的几部拓扑学论著及 最近两次布拉格国际拓扑学学术讨论会论文集中关于广义度量空间理论方面的论 题 1 9 9 0 年由v i l l im i l l 和r e e d 1 5 9 主编的o p e np r o b l e m si nt o p o l o g y ) ) 在所列 举的1 1 0 0 个问题中属于广义度量空间方面的问题大至有， ( 1 1 ) 度量化问题与正规m o o r e 空间问题( 问题3 6 至4 1 ，7 9 至8 4 ，9 8 ，2 9 8 至3 15 ，3 4 8 ， 3 7 6 ，1 0 4 9 ，1 0 5 6 ) ( 1 2 ) 点可数基空间及相关问题( 问题1 2 0 ，3 1 3 ，3 2 0 ，3 2 2 ，3 6 6 ，3 7 5 至3 8 0 ) ( 1 3 ) m 空间问题( 问题3 2 1 ) ( 1 4 ) c o s m i c 空间问题( 问题1 9 9 ) ( 15 ) m o b i 类问题( 问题3 6 2 至3 7 2 ) ( 1 6 ) 紧覆盖映射问题( 问题3 9 2 至3 9 4 ) ( 1 7 ) 单调正规空间问题( 问题3 8 1 ) 1 9 9 2 年在h u g e k 和v a i l _ m i l l l 8 8 主编的( ( r e c e n tp r o g r e s si ng e n e r a lt o p o l o g y ) ) ( 第7 次布拉格国际拓扑学学术讨论会论文集) 中由g r u e n h a g e 8 0 撰写的 “g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sa n d m e t r i z a t i o n ”总结了1 9 8 4 年以来在广义度量空间与度 量化方面的重要成果，主要论题有， ( 2 1 ) 对称度量空间 ( 2 2 ) 点可数基空间 ( 2 3 ) 单调正规空间与m ，空间 ( 2 4 ) m o o r e 空间、可展空间与严格p 空间 ( 2 5 ) m o b i 类 ( 2 6 ) l a i n e v 空间、c o s m i c 空间与k 网 ( 2 7 ) t y c h o n o f f 积与积的正规性 1 9 9 7 年a r h a n g e l s k i i 8 在纪念a l e x a n d r o f f 诞辰1 0 0 周年的报告“s o m er e c e n t a d v a n c e sa n do p e n p r o b l e m si ng e n e r a lt o p o l o g y ”中论述了在过去的5 至7 年来作者 感兴趣的度量化、映射理论和函数空问理论方面的成果与问题，所涉及的广义度 量空间方面的课题有， 臼1 ) 点可数基空间与度量化 ( 3 2 ) 具有g 。对角线的空间与可展空间 ( 3 3 ) c o s m i c 空间与k o 空间 f 3 4 ) 一对一映射与次可度量空间 ( 3 5 ) 紧覆盖映射与诱导完备映射 1 9 9 7 年在a u l l 和l o w e n 1 3 主编的( ( h a n d b o o ko ft h eh i s t o r yo fg e n e r a l t o p o l o g y 、v 1 中由n a g a t a 1 7 1 1 撰写的“t h ef l o w e r i n go f g e n e r a lt o p o l o g yi nj a p a n ” 和n a g a t a 17 2 】近来撰写的“r e c e n tp r o g r e s so fg e n e r a lt o p o l o g yi nj a p a n ”中自9 0 年 代以来日本在广义度量空间方面的主要工作涉及， ( 4 1 ) 度量空间的分解空间及其度量化 ( 4 2 ) l a n e v 空间与k 网理论， ( 4 3 ) 具有广义度量因子积的正规性 ( 4 4 ) 广义度量空间的万有( u n i v e r s a l ) 空间 1 9 9 8 年由h u g e k 8 7 编辑的第8 次布拉格国际拓扑学学术讨论会论文集中在 所发表的2 5 篇特邀报告中有6 篇是广义度量空间方面的内容，主要工作涉及， ( 5 1 ) 确定度量空间的闭映象与几乎开映象 f 5 2 ) 单调正规空间 f 5 3 ) 具有广义度量因子有限积的正规性 在莫斯科大学数学力学通报1 9 9 9 年第3 期上发表的纪念u r y s o h n 诞辰1 0 0 周年的论文集中发表的1 l 篇报告中有3 篇是广义度量空间方面的内容，主要工作 涉及， ( 6 1 ) 度量化问题 ( 6 2 ) 度量空间与映射 ( 6 3 ) 弱第一可数性 从以上所列的课题可见度量化问题依然是一般拓扑学的核心问题，广义度量 空间研究的主要对象是具有点可数基的空间、m o o r e 空间、m ，空间、单调正规空 间、c o s m i c 空间、l a g n e v 空间和m o b i 类等，主要工具是点可数覆盖、展开歹、 基、网、k 网、紧覆盖映射和紧映射等一些重要结果有， 关于度量化问题 定理1 1 1 ( 1 ) ( z f ) 第二可数的正则空间是可度量化空间 7 7 ( 回答1 9 6 3 年 l iu c h l i 1 0 3 提出的问题) ( 2 ) ( z f + d c ) s t o n e 定理不成立：存在非仿紧的度量空间 l 7 8 j 定理1 1 2 ( z f c ) 存在不具有拟g 。对角线的遗传仿紧完正规的q 集空间【1 6 】；存 在非仿紧的正规可遮空 n j 1 7 ( 回答文 1 5 9 】的问题5 7 ，1 1 9 ) 定理1 1 3 具有一致( g ) 和点g 。性质的空间是具有o - 离散网的半层空间 5 9 ，1 6 8 定理1 1 4 存在具有。离散丌基的m o o r e 空间不能稠密地嵌入任何具有b a i r e 性 质的m o o r e 空间 5 0 】，( 回答文 1 5 9 的问题3 0 3 ，及1 9 7 4 年r e e d 1 8 3 提出的问题) 关于紧覆盖映射及映射的相关论题 定理1 1 5 可分度量空间到可数度量空间的可数紧覆盖映射是诱导完备映射 1 0 0 ( 回答文 1 5 9 的问题3 9 3 ) 定理1 1 6 可分度量空间到度量空间的可数紧覆盖的紧映射是诱导完备映射 1 0 0 ( 回答文 1 5 9 的问题3 9 2 ) 定理1 1 7 对于w ( x ) = k ，x 是解析( a n a l y t i c ) 度量空间当且仅当x 是b a i r e 空间 r 国的闭子空间的几乎开s 映象 8 4 】 定理1 1 8m o o r e 空间的第一可数的妒扩张是可展空f b 1 6 5 定理1 1 9 存在l i n d e l i 5f 的正则空间x 使得闭映射f _ x 寸y 不是诱导不可约映 射【8 1 ( 回答p o n o m a r e v 的问题，见文 4 4 ，第1 6 2 页 ) 关于积空间 定理1 1 1 0 存在遗传正规，盯相对离散，基数c 的d o w k e r 空间 1 s 1 定理1 1 1 1 设是半层空间的积，若的每一有限子积是仿紧空间，那么是 正规空间当且仅当它是可数仿紧空f 司 1 0 1 1 定理1 1 1 2 ( c h ) l a i n e v 空间s 。，的积不是正规空间 4 7 】( 回答1 9 8 5 年k o d a m a 的问题) 定理1 1 1 3 彻a - hc h ) 存在正规，可分，局部紧的m o o r e 空间x 使得x 2 不是 正规空间 3 6 ，1 6 0 ( 回答文 1 5 9 的问题2 9 9 ，3 0 0 ) 关于单调正规空间 定理1 1 1 4 存在非k 。的循环( c y c l i c ) 单调正规空间【1 8 4 ( 回答文【1 5 9 】的问题3 8 1 ) 定理1 1 1 5 完备映射未必保持弹性( e l a s t i c ) 空间 3 5 ，7 2 ( 回答1 9 7 1 年t a r n a n o 和 v a u g h a n 2 1 0 提出的i nj n ) 关于基、k 网与网 定理1 1 1 6 存在完全正则的具一致基的空间不具有点可数闭k 网【5 3 ( 回答1 9 8 4 年g r u e n h a g e ，m i c h a e l 和t a n a k a 8 2 提出的问题) 定理1 1 1 7 空间x 是局部可分度量空间的闭映象当且仅当x 是具有由可分子集 组成的点可数k 网的f r 6 c h e t 空间 1 8 6 定理1 1 1 8 ( c h ) 存在c o s m i c 空间x 使得d i m ( x ) = 1 且i n d ( x ) = i n d ( x ) = 2 8 ，4 3 ( 回 答1 9 6 6 年a r h a n g e l s k i i 5 提出的问题) 定理1 1 1 9 存在连通的c o s m i c 空间x 使得x 不是连通的可分度量空间的映象 【2 2 9 下面我们介绍国内学者关于广义度量空间理论的贡献国内较早并长期从事 广义度量空间理论研究的学者当属高国士教授和高智民教授在7 0 年代末至8 0 年代我国学者就已在广义度量空间理论中作出不少值得称赞的成果 1 5 0 ，1 5 1 如 1 9 8 1 年王戍堂得到了直线上有理点集能够拓扑分划任一自稠密的度量空间的有趣 结果，1 9 8 2 年周浩旋回答了h u e k 提出的具有小对角线空间的度量化问题，1 9 8 3 年 高国士论述了至今最好的m ，空间的闭映射定理，1 9 8 4 年周浩旋探讨了度量空间的 控制族及c w 复形的闭殃象的积空间性质，1 9 8 5 年孙叔豪证明了具有拟弱g 。对 角线的可数紧空间是紧空间，1 9 8 6 年江守礼解决了“严格p 空间问题”，1 9 8 7 年高智 民引入了至今仍在广义度量空间理论中广泛使用、具有特别意义的“c s * 网”的概念 并与h a t t o f i 获得了平行于“h a n a i m o r i t a - s t o n e 定理”的k 空间的闭映射定理，1 9 8 9 年吴利生利用s o u l i n 性质阐明了m o r i t a 的p ( ) 空间的结构 进入9 0 年代我国学者每年在广义度量空间理论方面都有不少优秀的成果涌 现，这首先得益于国家自然科学基金加大对基础研究的投入力度，其次得益于国 内学者与日本、美国、加拿大、新西兰、芬兰等国学者的较为广泛的合作据不 完全统计，从1 9 9 0 年以来四川大学( 3 ) 、山东大学( 2 ) 、西北大学( 2 ) 、首都师范大 学( 2 ) 、苏州大学( 1 ) 、广西大学( 1 ) 、宁德师范高等专科学校( 4 ) 等校至少主持过】5 项与广义度量空间理论相关的国家自然科学基金资助项目的研究工作，国家自然 o 科学基金还资助了1 9 9 3 年的苏州国际一般拓扑学学术会议、1 9 9 7 年的金华国际 拓扑学学术会议、1 9 9 8 年的北京国际一般拓扑学学术会议以及部分学者的“国际 合作与交流项目”、“资助出国参加国际学术会议项目”这也从另一角度说明了国 内关于广义度量空间理论的研究成果是极为丰富和具有相当的影响力 我们简略报告国内学者9 0 年代在广义度量空间理论方面一些具有一定影响 和较多引用的工作1 9 9 0 年至1 9 9 1 年滕辉 2 2 6 - 2 2 8 1 系统地探讨了广义度量空间 的积和盯积，解决了c h i b a 和y a j i m a 提出的几个问题，如证明了半层空间族的 积是集态次正规空间1 9 9 0 年至1 9 9 3 年恽自求 9 9 ，2 5 8 2 6 0 获得了k 空间的系 列结果，如他与j u n n i l a 证明了k 空间等价于不含有闭子空间问胚于s 。的具有盯 遗传闭包保持k 网的空间1 9 9 2 年王尚志与m i l n e r 1 6 1 建立了广义序空间的嵌入 定理与度量化定理并解决了1 9 7 1 年l u t z e r 1 5 2 提出的困难问题被国际拓扑学界 称为是度量化方面最有趣的结果之一钟宁 2 6 4 2 6 5 1 在困难的m ，空间上取得了 一些进展，如1 9 9 2 年关于具有m ，因子的乘积空间定理及1 9 9 4 年关于“小m ，空 间是m ，空间”的工作1 9 9 3 年王延庚和王戍堂 2 3 s 研究了判断b 空间的一般性 方法1 9 9 2 年至1 9 9 7 年刘川与戴牧民 3 8 ，1 3 5 1 4 1 关于遗传闭包保持集族、弱基 及度量空间的紧覆盖s 映象的工作，尤其是证明了g 可度量空间等价于不含有闭 子空间同胚于s 。的具有盯遗传闭包保持k 网的k 空间从1 9 9 6 年至1 9 9 8 年刘川 与t a n a k a 1 4 5 1 4 9 1 在星可数k 网及相关的紧可数k 网、盯点有限k 网、局部可分 度量空间的映象等方面完成了一系列系统的工作，如证明了空间x 是局部可分度 量空间的闭映象当且仅当它是具有星可数k 网的f r e c h e t 空间1 9 9 7 年冯秀凤与 t a m a n o 5 1 h ! 明了可数多个l a g n e v 空间积的可数扇密度子空间是可度量空间，解 决了a r h a n g e l s k i i 提出的问题 此外，高智民 6 5 1 关于广义度量空间的g 函数刻画，戴牧民等 3 7 ，3 9 1 关于d 空间的工作，1 9 9 1 年朱建平 2 7 0 关于弱第一可数空间的工作，1 9 9 3 年高智民 6 7 关 于g 可度量空间的工作，1 9 9 4 年周浩旋与f i t z p a t r i c k 5 2 关于度量空间的拓扑完各 化的工作，1 9 9 5 年陈怀鹏 3 0 】关于乘积空间的k 空间性质的工作，1 9 9 6 年高印珠 5 9 关于c o l l i n s r e e d r o s c o e r u d i n 度量化定理的工作，1 9 9 7 年燕鹏飞 2 4 2 ，2 4 4 关于 度量空间紧映象的工作，1 9 9 8 年曹继岭等 2 7 】关于拟一致结构和拟可度量空间的工 作和周浩旋等 2 3 6 关于单调正规空间的工作，1 9 9 9 年屈志斌与高智民 1 8 2 关于具 有紧可数k 网空间的工作等都是国内关于广义度量空间理论的较好工作，限于篇 幅，我们不在此一一叙述 1 2约定与术语 我们将围绕覆盖与映射相关的一些问题进行工作，主要涉及点可数覆盖、点 正则覆盖与度量空间的紧覆盖映象、序列覆盖映象及1 序列覆盖映象与点可数 覆盖和点正则覆盖相关的映射是s 映射与紧映射从m o b i 类的研究【18 ，3 4 可见 作为对开s 映象与开紧映象探讨深化的度量空间的商s 映象与度量空间的商紧映 象是两类重要的广义度量空间类，与m i e h a e l - n a g a m i 问题【1 5 8 】相关而涉及的这些 映射是否是紧覆盖映射的问题是耐人寻味的进步的研究导致k 网理论及序列 覆盖映射理论的发展，它们在刻画确定的广义度量空间上所显示的独特作用可见 文献【l1 3 ，1 3 3 ，2 1 8 ，2 2 2 1 我们约定：本文所论空间均是满足t ：分离性公理的拓扑空间，映射指连续的 满函数n 表示自然数集对于集合x 的子集族岛x e x 和a c x ，记( 功；= p 尹： x e p ，s t ( x ，功= u ( 功。，s t ( a ，功= u p ：p n a s o ，“= 罗c 声：罗是有限的) 若x 。( n n ) 是x 中的一列点， 表示x 的子集 x 。：h e n ；( x 。) 表示笛卡儿积 x 。中的第n 个坐标为x 。的点；象通常一样， x 。) 表示x 中的第n 项为x 。的序列 对于空间x ，f ( 均( 在不引起混淆时记f ) 表示x 上的拓扑以符号i 表示命题论 证结束或命题是不证自明的 未定义的术语以文 4 9 ，1 1 3 】为准为叙述的方便起见，在引用文献时一些在文 【1 1 3 q b 论证过的命题有时以文【1 1 3 代替原始文献，请这些命题的作者谅解先回 忆一些重要的映射类及覆盖族 1 2 定义1 2 1 4 9 】设映射x 斗y ( 1 ) f 称为s 映射，若每一f - 1 ( y ) 是x 的可分子集 ( 2 ) f 称为紧映射，若每一f “( y ) 是x 的紧子集 ( 3 ) f 称为商映射，若一( u ) 是x 的开子集( u c y ) ，则u 是y 的开子集 ( 4 ) f 称为伪开映射，若v 是x 的开子集且f 。1 ( y ) cv ，则f ( v ) 是y 在y 中的邻域 ( 5 ) f 称为几乎开映射，若对于y y ，存在x e 一( y ) 使得如果u 是点x 在x 中的邻 域，则f ( u ) 是点y 在y 中的邻域 ( 6 ) f 称为开映射，若v 是x 的开子集，则f l y ) 是y 的开子集 ( 7 ) f 称为闭映射，若f 是x 的闭子集，则坟f ) 是y 的闭子集 ( 8 ) f 称为完备映射，若f 是闭且紧的映射 易验证， 开映射等几乎开映射 u 完备映射j 闭映射j 伪开映射= 亭商映射 定义1 2 2 设映射f ：x _ y ( 1 ) f 称为紧覆盖映射 1 5 4 ，若y 的任一紧子集是x 中某紧子集在f 下的象 ( 2 ) f 称为序列商映射 1 9 1 ，若y 中的序列 y 。) 收敛于y ，那么存在 y