（基础数学专业论文）关于框架的若干问题的研究.pdf

关于框架的若干问题的研究 姚喜妍 摘要小波分析中的框架通常是指由h i l b e r t 空间中的满足某种特性的一列 向量组成的集合框架具有正规正交基的一些性质，框架是正规正交基的一般推 广。本文的研究内容涉及h i l b e r t 空间中的框架、b a n a c h 空间中的框架与h i l b e r t g + 模中的框架三个方面的内容在h i l b e r t 空间中，系统研究了h i l b e r t 空间中 的广义框架、子空间框架及h i l b e r t 空间三2 ( r ) 和l 2 ( 静) 中一类特殊类型的广义 框架一正规窗口f o u r i e r 变换在b a n a c h 空间中，深入研究了b a n a e h 空间中的 广义框架的一系列性质最后，我们研究了h i l b e r tc 一模中框架的一些重要性 质全文共分五章： 第一章首先引入h i l b e r t 空间日中的b e s s e l 集、正规紧广义框架、独立广义框 架及对偶广义框架，给定b e s s e l 集h = k ) 。m 堡h ，利用算子t h ：h _ + l 2 ( 灿) ， 讨论了它们的等价性质，靠分别是有界算子、等距算子及可逆算子当且仅当h 分别是b e s s e l 集、正规紧广义框架及独立广义框架深入研究了广义框架的稳定 性，也就是设 。 。e f 是日中的广义框架、正规广义框架及正规紧广义框架， 探讨当算子y 满足什么性质时，k = v h 。) 。m 是日中的广义框架然后引 入了广义框架算子和等范数广义框架这两个新概念，得到了广义框架、正规紧广 义框架及广义框架算予的等价关系，给出了日中任一向量，都可以表示成形式 i 厂夕( m ) h m d u ( m ) 。证明了等范数广义框架的一些性质最后引入广义框架的非交 性、强非交性、保非交算子及强保非交算子这些新概念，给出了它们的一些重要 性质 第二章运用泛函分析中算子理论方法，研究了h i l b e r t 空间中的子空间b e s s e l 列和子空间框架通过引入有界线性算子7 k 。：( 洲o m ) f 2 _ h ，建立了h i l b e r t 空间中的b e s s e l 列、子空间框架与其算子空间日( ( i 。n o k ) 1 2 h ) 中相应算子之 间的关系，并且获得这些序列的完全刻厕以此作为工具，用h i l b e r t 空间日中 的范数和内积来度量“接近”，得到子空间框架的摄动性质，即设 m h o n 是日中 关于正权数列他 讵n 的一个子空间框架，且 i 砺e n 是日中接近于 磁) n 的 一列闭子空间。则 职) 坨l e , 也是日中关于正权数列 ) i 。n 的一个子空间框架 最后利用有限维逼近方法，给出了子空间框架算子的逆算子的逼近公式 第三章研究一类特殊类型的广义框架 耿，t ( ，t ) r 2 ) ，职，t ( 札) = 9 沁一 t ) e “，g l 2 ( r ) 引入并研究了h i l b e r t 空间二2 ( r ) 上正规窗口f o u r i e r 变换及 其部分逆变换，讨论了一个口( r ) 函数的正规窗口f o u r i e r 变换的连续性与有界 性，证明了正规窗口f o u r i e r 变换的等距性质，并且利用部分逆变换给出l 2 ( 豫) 中函数，的反演公式此外，我们将l 2 ( r ) 函数的正规窗口f o u r i e r 变换推广到 l 2 ( 辩) 空间上，系统研究了l 2 ( 渺) 函数的正规窗口f o u r i e r 变换的连续性与有 界性，给出了一个工2 ( 础) 函数在弱收敛意义下以及在强收敛意义下成立的反演 公式 第四章引入并研究了b a n a c h 空间x 中的b e s s e l 集、广义框架、广义r i e s z 基及广义框架算子对x 中的任一b e s s e l 集 ) 。m ，定义有界线性算予t ： l 2 ( p ) _ x ，利用算子t ，给出b e s s e l 集与广义框架的等价刻画利用b a n a c h 空间x 与其对偶空间x + 中的有界线性算子的性质，证明了b a n a c h 空间x 中 广义框架算子是线性同胚，并且讨论了b a n a c h 空间x 中b e s s e l 集和广义框架的 稳定性最后，以b a n a c h 空间x 中的范数作为度量工具。获得b a n a c h 空间x 中广义框架和广义r i e s z 基的摄动性质 第五章引入h i l b e r tc 一模咒中的b e s s e l 序列这一新概念利用一4 一值线性 算子t ：w - f 2 ( 4 ) ，刻画了w 中b e s s e l 序列、框架、正规紧框架及两个互为 对偶的框架讨论了4 一值线性、有界、可逆及正的框架算子s = t + t 的等价性 质，同时说明了模咒的框架及它的典型对偶框架是正规紧框架的充分必要条件 是框架算子s = i 本章还引入h i l b e r tc 模咒的弱b e s s e l 序列与弱框架的概 念，利用a 值线性算子t ：咒_ 1 2 ( 4 ) ，给出模咒的弱b e s s e l 序列、弱框架、 正规紧弱框架及两个互为对偶弱框架的等价刻画利用满足条件p u = i 的有 界4 值线性算子u ：咒_ 1 2 ( 4 ) 。给出构造模w 中弱框架 q j j 的对偶弱框 架 z ；) j j 的一个有效方法，从而得到弱框架的一个框架分解 关键词：h i l b e r t 空间；b a n a c h 空间；广义框架；等价性；稳定性；摄动； 子空间框架；逼近；正规窗口的f o u r i e r 变换；连续性；反演公式；h i l b e r tc 一模 框架 论文类型：理论研究 r e s e a r c h e so ns o m ep r o b l e m so ff r a m e s 拍0x i y a h a b s t r a c t ：f r a m e so fw a v e l e ta n a l y s i sm e a n su s u a l l yas e tc o n s i s t i n go fa f a m i l yo fe l e m e n t s t h a ts a t i s f i e ss o m ep r o p e r t i e si nah i l b e r ts p a c eh f r a m e s h a ss o m ep r o p e r t i e so fo r t h o n o r m a lb a s e s ，i tc a nb ev i e w e da sa “g e n e r a l i z e d o r t h o n o r m a lb a s e s ”t h er e s e a r c ho ft h i st h e s i si so ng e n e r a l i z e df r a m e si nh i l b e r t s p a c e s ，f r a m e si nb a n a c hs p a c e sx ，a n df l a m e si n ah i l b e r tc + m o d u l e7 - t h e r e s e a r c ho nf l a m e si nah i l b e r ts p a c ec o m e st h ef o l l o w i n gt o p i c s ：g e n e r a l i z e df l a m e s f o rh ，f r a m e so fs u b s p a c e sf o r 珂，a n dn o r m a l i z e dw i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r mo n l 2 ( r ) a n d 工2 ( 静) t h er e s e a r c ho nf l a m e si nab a n a c hs p a c es p a c ex i so nt h e s t u d yo fg e n e r a l i z e df r a m e sf o rx l a s t l y , i nl i g h to fh i l b e r tc + m o d u l e ，s o m e i m p o r t a n tp r o p e r t i e sa r ea l s od i s c u s s e d t h i sa r t i c l ei sd i v i d e di n t of i v e c h a p t e r s ：i nc h a p t e r1 ，b e s s e ls e t s ，n o r m a l i z e dt i g h tg e n e r a l i z e df r a m e s ，i n d e p e n d e n tg e n e r a l i z e df r a m e s ，a n dd u a lg e n e r a l i z e d f r a m e sa r ei n t r u d u c e df i r s t l y g i v e nb e s s e ls e th = k ) m e m 曼h ，u s i n gal i n e a r a n db o u n d e do p e r a t o rt h ：h _ l 2 ( p ) ，t h ee q u i v a l e n tp r o p e r t i e sb e t w e e n 死a n dh a r ed i s c u s s e d t h es t a b i l i t yo fg e n e r a l i z e df r a m e si ss t u d i e d t w on o t i o n so ff r a m e o p e r a t o r sa n de q u a l n o r mt i g h tg e n e r a l i z e df r a m e sa r ei n t r o d u c e d t h ee q u i v a l e n t r e a l t i o nb e t w e e ng e n e r a l i z e df r a m e s ( r e s p n o r m a l i z e dg e n e r a l i z e df r a m e s ) a n dg e n e r a l i z e df r a m eo p e r a t o r sa r ed i s c u s s e d s o m ep r o p e r t i e so ne q u a l n o r mg e n e r a l i z e d f r a m e sa r ep r o v e d f i n a l l y , s o m en o t i o n so f d i s j o i n t n e s s ，s t r o n gd i s j o i n t n e s so fg e n e r a l i z e df r a m e s ，d i s j o i n t - p r e s e r v i n go p e r a t o r s ，a n ds t r o n gd i s j o i n o p r e s e r v i n g o p e r a t o r s a r ei n t r o d u c e d s o m et h e i ri m p o r t a n tp r o p e r t i e sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c ean e w c o n c e p t b e s s e ls e q u e n c eo fs u b s p a c e s ，b e s s e l s e q u e n c eo f s u b s p a c e sa n d f r a m e s o f s u b s p a c e s f o r 日a r e i n v e s t i g a t e d b ya s s o c i a t i n g a no p e r a t o r 丁k ：( l no 嗽) z 2 - - h ，i ti so b t a i n e dt h a tac o r r e s p o n d e n tr e l a t i o n s h i pb e t w e e nb e s s e ls e q u e n c eo fs u b s p a c e s ( r e s p f r a m e so fs u b s p a c e si nh ，a n d o p e r a t o r si nb ( ( 删。眠) p ) ，日) f u r t h e r m o r e ，r e l a t e do p e r a t o r - t h e o r e t i cc h a r a c t e r i z a t i o n so ft h e s es e q u e n c e sa r ee s t a b l i s h e d a sau s e f u lt o o l ，u s i n gt h en o r ma n d i n n e rp r o d u c tt om e a s u r e “c l o s e n e s s ”s t a b i l i t yt h e o r e m so ff r a m e so f s u b s p a c e s i nha r eo b t a i n e d ，i e ，l e t 慨) 洲i saf l a m eo f s u b s p a c ew i t hr e s p e c tt oh ) i nf o r i i i ah i l b e r ts p a c eh a n d 磁) 讵n i sa s e q u e n c eo fs u b s p a c e si nh w h i c hi s “c l o s e ” t o 眦) l n ，t h e n 眦) l e ni sa l s oa f r a m eo fs u b s p a c e sw i t hr e s p e c tt o v i i e nf o rh l a s t l y ，a p p l y i n gf i n i t ed i m e n s i o na p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，a p p r o x i m a t i o nf o r m u l a o f t h ei n v e r s eo p e r a t o r so ff r a m e so fs u b s p a c e so p e r a t o r sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 i ti si n t r o d u c e da n ds t u d i e dt h a tn o r m a l i z e dw i n d o w e df o u r i e r t r a n s f o r m ( n w f t ) a n di t sp a r t i a li n v e r s et r a n s f o r mi nl 2 ( r ) i ti se x p l o r e dt h a t c o n t i n u o u sa n db o u n d e dp r o p e r t i e so fn w f to fal 2 ( 哟f u n c t i o n i ti s p r o v e d t h a tt h ei s o m e t r i cp r o p e r t yo fn w f t ，u s i n g p a r t i a li n v e r s et r a n s f o r m ，t h ei n v e r s e f o r m u l ai sg i v e n t h er e s u l ti si m p r o v e m e n ta n d g e n e r a l i z a t i o no ff o r m e rr e s u l t i n a d d i t i o n ，n w f ti nl 2 ( 鼢) i sd e f i n e da n ds t u d i e d s o m ei t si m p o r t a n tp r o p e r t i e s a r ed i s c u s s e d t h er e c o n s t r u c t i o nf o r m u l a si nt h ew e a kt o p o l o g ya n do n ei nt h e s t r o n gt o p o l o g ya r eo b t a i n e d i nc h a p t e r4 ，b e s e e ls e t s ，g e n e r a l i z e df r a m e s ，a n dg e n e r a l i z e dr i e s zb a s e sf o r ab a n a c hs p a c exa r ed e f i n e d f o rab e s s e ls e t 跏 m mi nx ，u s i n gt h eo p e r a t o r t ：l 2 ( p ) _ x ，e q u i v a m e n tc h a r a c t e r i z a t i o n so fb e s s e ls e t sa n dg e n e r a l i z e df r a m e s a r eg i v e n a p p l y i n gt h ep r o p e r t i e so fb o u n d e da n dl i n e a ro p e r a t o r si nab a n a c h s p a c ex a n di t sd u a ls p a c ex ，i ti sp r o v e dt h a tg e n e r a l i z e df r a m eo p e r a t o r sf o r xi sal i n e a rh o m e o m o r p h i s m ，a n ds t a b i l i t yo fb e s s e ls e t sa n dg e n e r a l i z e df r a m e s a r ed i s c u s s e d f i n a l l y , u s i n gt h en o r mi nab a n a c hs p a c exa sam e a s u r et o o l ， p e r t u b a t i o no fg e n e r a l i z e df r a m e sa n dg e n e r a l i z e dr i e s zb a s e sa r ee s t a b l i s h e d i nc h a p t e r5 ，an e wc o n c e p t b e s e e ls e q u e n c e sf o rh i l b e r tc + - m o d u l ewi s d e f i n e d 。a sa na p p l i c a t i o no ft h eo p e r a t o r t ：h _ 1 2 ( a ) ，b e s s e ls e q u e n c e s ，f r a m e s ， n o r m a l i z e dt i g h tf r a m e s ，a n dt w od u a lf r a m e st oe a c ho t h e ra r ec h a r a c t e r i z e d i t i sp r o v e dt h a tf r a m e si n 饨o rc a n o n i c a ld u a lf r a m ei san o r m a l i z e dt i g h tf r a m ei f a n do n l yi ff r a m eo p e r a t o r ss = i r e g a r d i n gw e a kb e s s e ls e q u e n c e ，w e a kf r a m e s ， n o r m a l i z e dt i 【g h tw e a kf r a m e s ，a n dt h ed u a lw e a kf r a m e st oe a c ho t h e r ，u s i n ga - v a l u e dl i n e a rb o u n d e d o p e r a t o ru ：咒_ z 2 ( ) t h a ts a t i s f yv u = ，ad u a lw e a k f r a m e s 唠) j 印o f w e a kf r a m e s 勺) j j i n 咒i so b t a i n e d ap s e u d o g e n e r a l i z e df r a m e s r e p r e s e n t a t i o nf o r 饨i sg i v e n k e y w o r d s ：h i l b e r ts p a c e ；b a n a c hs p a c e ；g e n e r a l i z e df r a m e s ；e q u i v a l e n c e ； s t a b i l i t y ；p e r t u r b a t i o n ；f r a m eo fs u b s p a c e s ；a p p r o x i m a t i o nf o r m u l a ；n o r m a l i z e d w i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r m ；r e c o n s t r u c t i o nf o r m u l a ；h i l b e r tc + m o d u l e f r a m e s i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获锝陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签辄c 逃皇蝎 日期眨! 圭! 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质舨；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：星韭主鱼刍 1 日期： 前言 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是1 9 8 6 以来由y m e y e r ，s m a l l a t 与i d a u b e c h i e s 等众多数学家的奠基工作而迅速发展起来的一门应用数学学科，也是当前数 学家关注和研究的一个热点它是f o u r i e r 分析发展史上的一个里程碑一方面， 小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；另一方面，它 已经和将要被广泛应用于信号处理、图象处理、量子力学、地震勘探、语音识别 与合成、音乐、雷达、成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机器故 障诊断和监控、分形以及数字电视等科技领域总之，小波分析对当前的理论科 学、应用科学、尤其是信息科学产生了重要影响，对非线性科学、智能计算、网 络与信息安全研究有很好的推动作用，被誉为学科发展的w i n d o w s 平台，具有牵 一发而动全局的影响力，并在国际范围内形成研究热点，其发展方兴未艾 h i l b e r t 空间中框架理论是研究小波分析的一个重要工具它是由r j d u f f i n 与a g s c h a e f f e r 1 】在1 9 5 2 年研究非调和f o u i e r 级数时正式提出的，他们抽 取了d a b o r 在研究信号处理中的重要思想但是框架这个思想在当时并没有引 起广泛的兴趣直到1 9 8 6 年，i d a u b e c h i e s ，a g r a s s m a n n 与y m e y e r 【2 1 的 突破性研究，才使框架理论开始被广泛关注框架是正规正交基的一般推广给 定h i l b e r t 空间日中一组基f e 。) ，则盯中的任一向量z 可以写成o = c n e 。 的形式，且系数岛是唯一的但对框架 。) 而言，日中的向量z 可以表示成 z = c n z 。，其系数岛一般不唯一这是一般框架和基的本质差异这样才可 以根据实际应用需要选择合适的系数，并且满足一些正规正交基不能满足的附加 条件比较而言，框架的条件较弱，所以它拥有许多正规正交基所不能拥有的重 要性质 泛函分析是数学的一个古老分支，是研究许多问题的一个有力的工具目 前，从泛函分析角度出发来研究小波分析方面的若干问题已引起了国内外许多科 学家的广泛兴趣算子理论和算子代数的许多有用工具用于框架的研究，使框架 的研究进入一个崭新阶段并取得令人注目的成果例如，1 9 9 5 年，a a l d r o u b if 3 1 研究了h i l b e r t 空间中框架的稳定性，o c h r i s t e n s e n 【4 - 5 】推广丁p a l e y - w i e n e r 定理2 0 0 0 年，h d e g u a n g 和d r l a r s o n 【6 】把算子理论运用到框架理论的研 究，使得框架理论的研究更上一个层次，得到h i l b e r t 空间中框架的膨胀性质， 框架是r i e s z 基的内直和，正规紧框架是正规正交基的内直和并系统研究了框 架的对偶框架、补框架及框架的非交性等重要理论问题此后，p g c a s a z z a 和 j e l e n ak o v a e v i d i7 相继研究了有限维h i l b e r t 空间上等范数紧框架，得到了在应 用上较为广泛的研究成果。 随着小波分析的兴起和发展，框架理论得到进一步完善1 9 9 5 年，g k a i s e r f 8 1 提出了h i l b e r t 空间中广义框架理论，研究了h i l b e r t 空间中广义框架的一系 列性质，得到了关于它的一些主要结果随后，许多文献致力于这方面的研究 例如：a a s k a r i h e m m a t ，m a d e h g h a n 与m r a d j a b l i p o u r 9 】给出了广义框 架冗余性的等价刻画 j e a n - p i e r r eg a b a r d o 与d e g u a n gh a n 1 0 】研究了广义框 架的膨胀性质、摄动性质等重要性质由于小波分析的迅速发展，框架在应用上 更为广泛，关于框架的一系列深刻结果和相关的推广不断被发现2 0 0 3 年，p g c a s a z z a 与g k u t y n i o k 【1 1 j 提出了h i l b e r t 空间中的子空间框架概念这一想 法是，首先构造局部子空间框架，然后把每个子空间的框架综合在一起获得整个 空间的框架这种思想方法的优点是：为了特殊应用的需要，使得研究者构造框 架更为方便“框架”是日中满足某种性质的“向量列”组成的集合；丽“子空 间框架”是日中满足某种性质的“子空间列”组成的集合一方面，一个集合里 的元素是“向量列”，而另一个集合里的元索是“子空间列“，这就决定了它们有 各自不同的性质，另一方面，子空闻框架概念是框架概念的一个推广文献 1 1 】 引入了子空间框架概念。深入研究了子空间框架的许多性质但是，对于子空问 框架的摄动性和子空间框架算子的逆算子的逼近性等性质，至今很少有人谈及， 这正是本文第二章的主旨和目的 b a n a c h 空间中的框架是由k g r o c h e n i n g 1 3 】于1 9 9 1 年提出的，他把框架的 概念一般化。且定义了b a n a c h 空间中的一般框架为b a n a e h 框架于是b a n a c h 空 间中的框架及原子分解作为框架理论的一个新的重要分支得到发展在文献f 1 4 】 中，a a l d r o u b i ，q s u n g 与w t a n g 定义b a n a c h 空间x 中的p 框架是其对偶 空间x 中的满足以下条件的序列协 侧o o ： ，兰、；1 a l l f l l x i 玑) 川b i i l l x ，v ，x ， 其中1 0 使得对任一有限序列 哦) 墨1 ，有 a ( 娄i 哦i 。) i j j 砉d t 玑fj b ( 喜f 也l 。) 5 ， 2 且证明；如果协 墨1c x 4 是x 的一个q - r i e s z 基，则存在x 的唯一一个p r i e s z 基 ，i ) 墨1cx 使得二三 ，= ：肌( ，) ，v f x ；g = ：伪( ) 甄，v g x + i 。= 一l i = l 这里0 p ，q o 。，且；1 + ；1 = 1 其它相关研究，参见文献 1 6 】与 1 7 】到了2 0 0 2 年，m f r a n k 和d 。r 。l a r s o n 1 8 】引入了h i l b e r tg - 模中的框架概念，推广可 分的h i i h e r t 空间中众所周知的框架理论到有限或可数h i l b e r tc 模上用一个 非常有效的方法，回避“g + 线性无关”这个模棱两可的概念，强调几何膨胀结 果和算子的性质用g 模理论推广h i l b e r t 框架的一些重要理论结果，例如：框 架变换的存在性及其它的性质和标准正规紧框架的重构公式还研究了几何膨胀 问题和框架相似问题，讨论了框架的标准对偶框架和其它对偶框架的存在性及其 性质，最后证明了标准框架的重构公式 f o u r i e r 变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号的 f o u r i e r 变换表示信号的频谱正是f o u r i e r 变换的这种重要韵物理意义，决定了 f o u r i e r 变换在信号分析和信号处理中的独特地位，特别是作为平稳信号分析的最 熏要的工具但是，在实际应用中，所遇到的信号大多数并不是平稳的，至少在 观测的全部时间段内它不是平稳的，所以，随着应用范围的逐步扩大和理论分析 的不断深入，f o u r i e r 变换的局限性就渐渐展示出来了首先，从理论上说，为了 用f o u r i e r 变换研究一个时域信号的频谱特性，必须获得信号在时域中的全部信 息，以致于包括将来的信息；其次。从应用的角度来说，如果一个信号只在某一时 刻的一个小的范围内发生了变化，那么信号的整个频谱都要受到影响，而频谱的 变化从根本上来说又无法标定发生变化的时间位疑和发生变化的剧烈程度，也就 是说，f o u r i e r 变换对信号的局部畸变没有标定和度量能力为了克服f o u r i e r 变 换只熊反映信号的整体特征丽对信号的局部特征没有任何分析能力的缺陷，t 9 4 6 年，d g a b o r 1 2 】提出了窗口f o u r i e r 变换，它继承了f o u r i e r 变换所具有的“信 号频谱”这样的物理解释，同时，大大地改进了f o u r i e r 变换的分析能力，为信号 处理提供了一种新的分析和处理工具，即信号的时一频分析 总之。小波分析中的框架有着精细而丰富的结构和性质，还有许多问题有待 我们进一步来研究在本文中，我们应用算子理论这个强有力的工具，同时结合已 有的框架理论结果，将围绕框架理论问题展开深入系统的研究具体内容如下： 第一章首先引入h i l b e r t r 空间中的b e s s e l 集、正规紧广义框架、独立广义框 架与对偶广义框架，给定b e s s e l 集h = 。) 。m 日，利用算子靠：_ + l 2 ( 口) ， 讨论了它们的等价性质，n 分别是有界算子、等距算子及可逆算子当且仅当h 3 分别是b e s s e l 集、正规紧广义框架、独立广义框架深入研究了广义框架的稳定 性，也就是设 。) 。m 是日的广义框架、正规广义框架及正规紧广义框架，探 讨算子y 满足什么性质时，k = ( 矿 。 。e m 是日中的广义框架然后引入了广 义框架算子和等范数广义框架这两个新概念，得到了广义框架、正规紧广义框架 与广义框架算子之间的等价关系，证明了等范数广义框架的一些性质最后引入 广义框架的非交性、强非交性、保非交算子及强保非交算子这些新概念，给出了 它们的一些重要性质 第二章运用泛函分析中算子理论方法，研究了h i l b e r t 空间中子空间b e s s e l 列和子空问框架通过引入有界线性算子t w , 。，建立了h i l b e r t 空间中的b e s s e l 列、子空间框架与其算子空间b ( ( 。no 磁) 1 2 ，h ) 中相应算子之间的关系，并且 获得这些序列的完全刻画以此作为工具，进而获得子空间框架的摄动定理最 后，证明了子空间框架算子的逆算子的逼近定理 第三章研究一类特殊类型的广义框架 嚣，t ：心0 及2 ，袅，t ( 铿) = p 一t ) e x p ( 2 r i u ) ，g l 2 ( r ) 引入并研究了h i l b e r t 空间驴( r ) 上正规窗口f o u r i e r 变换及 其部分逆变换，讨论了一个驴( r ) 函数的正规窗口f o u r i e r 变换的连续性与有界 性，证明了正规窗i ：1f o u r i e r 变换的等距性质，并且利用部分逆变换给出工2 ( 鳓 中函数，的反演公式此外，我f | t 丁将铲( r ) 函数的正规窗口f o u r i e r 变换推广到 l 2 ( 孵) 空间上，系统研究了l 2 ( 哟函数的正规窗1 ：3f o u r i e r 变换的连续性和有界 性，给出了个l 2 ( 黔) 函数在弱收敛意义下及在强收敛意义下成立的反演公式 第四章引入并研究了b a n a c h 空闯中的b e s s e l 集，广义框架、广义r i e s z 基及广 义框架算子对x 中任一b e s s e l 集 孙) 。m ，定义有界线性算子t ：l 2 ( p ) - 义， 用算子t ，给出b e s s e l 集与广义框架的等价刻画，证明了广义框架算子是线性 同胚，并且讨论了b e s s e l 集和广义框架的稳定性与广义框架和广义r i e s z 基的摄 动、 第五章引入h i l b e r tc + 一模w 中的b e s s e l 序列这一新概念，利用a 值线性 算子t ：咒甘f 2 ( 4 ) ，刻画了w 中b e s s e l 序列、框架、正规紧框架及两个互为 对偶的框架，讨论了a 值线性、有界、可逆以及正框架算子s = 丁丁的等价性 质，同时证明了模饨的框架及它的典型对偶框架是正规紧框架的充分必要条件 是框架算子s = i 本章还引入h i l b e r tc + 一模饨的弱b e s s e l 序列与弱框架的概 念，利用一4 一值线性算子丁：w - f 2 ) ，给出模就的弱b e s s e l 序列、弱框架、 正规紧弱框架及两个互为对偶的弱框架的等价刻画和厢满足条件y u ：，的有 界a 。值线性算子u ：觎叶1 2 ( 4 ) ，给出构造模丸中弱框架 ) i 印的对偶弱框 架 巧b 印的一个有效方法，从而得到弱框架的一个框架分解 4 第一章h i l b e r t 空间中的广义框架 由 置 框架理论是研究小波分析的一个主要工具，框架理论是由r j d u f l l n 和a g s c h a e f f e r 【1 】于1 9 5 2 年在研究非调和f o u r i e r 分析时提出来的，它在小波分析 的发展中起到了非常重要的作用设 e 。 是h i l b e r t 空间日的一组正规正交基， 日中任一向量，都可以唯一表示成，= c n e 。的形式，其中c n 是一组数对于 h i l b e r t 空间h 中的框架 z 。) 而言，对任一向量，有 a i i f l l 2 i ( f ，z 。) 1 2s b i i f l l 2 ，v f h h e n 成立，这里b ，a 两个正数分别称为框架 z 。) 。e n 的上、下界并且日中任一向 量，都可以表示成，= c n x 。的形式，但c ，l 这组数不是唯一的框架具有正规 正交基的一些性质，因此说“框架是正规正交基的一般推广” 随着小波分析的兴起和发展，框架理论也得到进一步发展1 9 9 5 年，g k a i s e rf 8 1 提出了h i l b e r t 空间h 中的广义框架理论，讨论了广义框架的一系列性 质，得到了关于它的一些主要结果本章将进一步讨论h i l b e r t 空间日中的广义 框架理论，安排如下：第二节引入b e s s e l 集、广义框架、紧广义框架、正规紧广 义框架、独立广义框架及对偶广义框架，给定b e s s e l 集h = ) 。m ，利用算子 t h ：h l 2 ( 肛) ，讨论了它们的等价性质证明了靠分别是有界算子、下有界算 子、数乘一个等距算子、等距算子及可逆算子当且仅当h 分别是b e s s e l 集、广义 框架、紧广义框架、正规紧广义框架及独立广义框架深入研究了广义框架的稳定 性，也就是设 k ) 。m 是日中的广义框架，定义k = y h 。 。m ，v b ( h ) ， 则k 是日中的广义框架的充要条件是p 下有界；设( 。 。m 是日中正规广 义框架，若y 是可逆的，则k 是日中广义框架；若y 是部分等距算子，则k 为 r ( v ) 中正规紧广义框架；若y 是余等距算子，则k 是日中正规紧广义框架第 三节引入日中的广义框架算子s ，利用算子s ，讨论了广义框架与广义框架算 子的等价关系以及广义框架算子s = i 与正规紧广义框架、正规紧广义框架的对 偶广义框架的等价关系作为框架表示式，= c n 的一般推广，我们给出了 口中任一向量，都可以表示成，= fg ( m ) h 。舢( m ) ，其中 。m 是中一个 5 广义框架，g 是一函数此外，引入日中等范数广义框架的概念，给出：( 1 ) 若 f 。m 与一个等范数紧广义框架相似，则 s 一 k ) 。m 是h 中的等范数正规 紧广义框架；( 2 ) 口中等范数广义框架是日中正规紧广义框架的充分条件在 第四节中，我们给出对偶广义框架的刻画，证明了正规紧广义框架的对偶广义框 架是唯一的，并且等于它本身设 。) 。 f 是h 中广义框架，p 是中正交 射影，我们还得到了r ( p ) 中广义框架( p h 。) 。m 与广义框架( t h 。) 。e m ( 这里 t 是可逆算子) 的典型对偶广义框架的构造方法在第五节中，引入广义框架的 非交性、强非交性，讨论了它们的一些性质，并且引入保非交算子、强保非交算 子，证明了酉算子、可逆算子是强保非交算子；下有界线性算子、余等距算子是 保非交算子 1 2 广义框架的基本性质 为了方便起见，先给出本节中要用到的记号日表示无限维可分的复h i l b e r t 空间，c 表示复数域，( m ，s ，p ) 表示测度空间，m 表示指标集，表示单位算 子，工2 ( 功表示上平方可积复值函数全体所构成的b a n a c h 空闯，b ( h 。l 2 ( 芦) ) 表示从日到驴( 肛) 的有界线性算子全体所构成的b a n a c h 空间 定义1 2 1 设h = 。h ：m m ) 为中的一族向量如果它满足： ( 1 ) 函