（基础数学专业论文）算子代数上的jordan映射和jordan理想.pdf

摘要 算子代数上面的j o r d a n 映射和算子代数的j o r d a n 理想的结构近年来一 直是被研究的热点对于一类特殊的算子代数一一j o r d a n 代数b ( 日) 。，其上面 的j o r d a n 映射的可加性也是值得研究的设b ( 日) 。是日上所有有界线性自 伴算子构成的实线性空间，男( 日) 。中定义了j o r d a n 积o ，b 为任一j o r d a n 代 数本文第一部分的主要目标是研究从算子代数b ( 日) 。到b 上的j o r d a n 映 射利用特殊j o r d a n 代数口( 日) 。的对称结构和纯代数的p i e r c e 分解方法，证 明了如果痧是从b ( 日) 。到b 上的双射，且为j o r d a n 映射，则是可加的 对于一些重要算子代数中j o r d a n 理想和结合理想之间的关系，人们一直 进行着研究这是因为它对于全面揭示各种算子代数的结构具有重要的意义 基于，型超有限因子中三角代数的特殊结构，本文第二部分证明了其上的弱 算子拓扑闭j o r d a n 理想是结合理想 关键词：j o r d a n 代数；j o r d a n 映射；可加性；三角代数；j o r d a n 理想； 1 型超有限因子 a b s t r a c t r e c e n t l ym a n yp e o p l eh a v ei n v e s t i g a t e dt h es t r u c t u r eo fj o r d a nm a p sa n d j o r d a ni d e a l si no p e r a t o ra l g e b r a sv a s t l y w h e ni tr e f e r st oj o r d a na l g e b r a as p e c i a lo p e r a t o ra l g e b r a ，t h ea d d i t i v i t yo fj o r d a nm a p si sv a l u a b l et ob e c o n s i d e r e dt o o l e tb ( 日) sb et h er e a ll i n e a rs p e c i a lo fa l ll i n e a rb o u n d e ds e l f - a d j o i n to p e r a t o r so n ah i l b e r ts p a c eo fd i m e n s i o n 1w i t hj o r d a np r o d u c t 0a n d bb ea na r b i t r a r yj o r d a na l g e b r a t h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e ra i m st oi n v e s t i g a t e t h ej o r d a nm a p sf r o mb ( 日) 8t ob i ts h o w st h a ti fm a p f r o mb ( 日) so n t ob i sb i j e c t i v ea n di sj o r d a nm a p ，t h e n i sa d d i t i v e b o t ht h es t r u c t u r eo fj o r d a n a l g e b r aa n dp u r e l ya l g e b r am e t h o dc a l l e dp i e r c ed e c o m p o s i t i o na r eu s e di nt h e p r o o f m a n yp e o p l eh a v eb e e ns t u d y i n gt h ec o n n e c t i o n so fj o r d a ni d e a l sa n d a s s o c i a t i v ei d e a l sf o rs o m eo p e r a t o ra l g e b r a s ，b e c a u s ei ti sv e r yi m p o r tt or e v e a l t h es t r u c t u r eo fv a r i o u so p e r a t o ra l g e b r a s m a k i n gu s eo ft h es p e c i a ls t r u c t u r e f o rt r i a n g u l a ra l g e b r ai n 1t y p eh y p e r f i n t ef a c t o r ，t h es e c o n dp a r to ft h i s p a p e rs h o w se v e r yw e a k l yc l o s e dj o r d a ni d e a li nt r i a n g u l a ra l g e b r ai n1 1 1t y p e h y p e r f i n t ef a c t o ri sa na s s o c i a t i v ei d e a l k e yw o r d s ：j o r d a n4 a l g e b r a ；j o r d a nm a p s ；a d d i t i v i t y ；j o r d a ni d e a l ； t r i a n g u l a ra l g e b r a ；h it y p eh y p e r f i n t ef a c t o r 1 l 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果 论文作者签名：训启、燕 日期： 炒7 年 s - 月3 日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利 本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署 名单位仍然为青岛大学 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明 不保密睡 ( 请在以上方框内打 ) 论文作者签名：刘意、兹 日期： ：7 年【月? 。日 导师签名： 每乙多卜 日期： 细7 年 月 3 日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及个人不得擅自使用) 引言 己i古 - ，ic 了 算子代数指h i l b e r t 空间上有界线性算子构成的结合代数，如自伴线性代 数中的c 4 代数、y o nn e u m a n n 代数以及一些非自伴性代数如t u h f 代数、 n e s t 代数、j s l 代数等对算子代数中的j o r d a n 理想和j o r d a n 映射的保持 可加性的研究对进一步揭示各种算子代数结构具有重要意义因此一直是众多 数学工作者关注研究的热点从有限维到无限维，从自伴到非自伴等等，围绕 这一课题，人们取得了丰富的成果 所谓算子代数上的保持问题是指研究算子代数上保持算子或代数的某种性 质不变的映射的特征这种保持映射内容非常丰富代数同构是算子代数理论 中的一个重要的研究内容，其中j o r d a n 映射和三重j o r d a n 映射的可加性( 即 保持加法) 和可乘性( 即保持乘法) 之间的关系一直是人们关注的重点 套代数中的标准算子代数，定义在b a n a c h 空间x 上的标准算子代数， s p i n 因子及j o r d a n 标准算子代数作为特殊的j o r d a n 代数，其上的j o r d a n 映 射的可加性已经得到证明受这些问题的启发，本文主要考虑了j o r d a n 代数 代数b ( 日) 。上j o r d a n 映射的可加性，丰富了算子代数上j o r d a n 映射的研究 算子代数中j o r d a n 理想和结合理想之间存在着密切的联系，关于这方面 的研究是六十年代以来取得较多成果的领域之一从自伴算子代数到非自伴算 子代数，人们进行了大量的研究在本文中我们主要考虑了，型超有限因子 中三角代数的j o r d a n 理想 一、 j o r d a n 代数b ( 日) 。上j o r d a n 映射的可加性 可乘映射和可加映射之间的关系一直以来备受广大数学工作者的关注 可乘映射的可加性源于1 9 6 9 年m a r t i n d a l ews i 】的文章“可乘映射何时可 加? ”，在该文中作者证明了； 1 设环尺包含幂等元族e q ：q 人) ，若满足 1 ) 若x r = 0 ，则z = 0 2 ) 若对任意o l r ，e 口鼢= 0 ，则z = 0 ( 因此若r x = 0 则z = 0 ) 3 ) 若对任意q r ，e q z e q n ( 1 一e q ) = 0 ，则e c 。x e q = 0 1 青岛大学硕士学位论文 则环r 到任意环的可乘双射是可加的 基于此结果，近年来人们陆续验证了一些算子代数上满足某些等式的j o r - d a n 映射是可加的其中算子代数上j o r d a n 映射的可加性是我们主要研究的 课题 设t 和b 是有理数域q 上的结合代数，r 是一个有理数，咖是从j f l 到 b 上的双射，称西为r j o r d a n 映射，是指对任意a , b e t 都有 砂( r ( 0 6 + 6 0 ) ) = = r ( ( o ) ( 6 ) + ( 6 ) 咖( 口) ) 若对任意n ，6 t 都有 ( n + 6 ) = ( n ) + ( 6 ) 则称是可加的关于算子代数上j o r d a n 映射可加性的研究有大量文献 m a r t i n d a l ew s 于1 9 6 9 年首次证明了含有非平凡幂等元的素环到任意环 上的可乘双射是可加的，这为可加性的研究开辟了一条崭新的道路此后人们 对其论文的方法不断创新，证明了许多代数上的j o r d a n 映射在特定条件下的 可加性，如某些不含幂等元的代数及含有矩阵单位系的一些代数 本文利用j o r d a n 代数b ( 日) 。的对称结构和纯代数的p e r i c e 分解方法，探 讨了从b ( h ) 。到任一j o r d a n 代数b 上的j o r d a n 映射的可加性问题，从而更 进一步地研究了j o r d a n 代数的结构 关于j o r d a n 映射可加性问题的研究人们一直进行着，不仅因为它是研究 许多结构( 如j o r d a n 同构等) 的基础，还因为它对于揭示各种结构之间的关系 有着重要的意义下面介绍一下近年来许多数学工作者关于这一方面的研究成 果； 对于j o r d a n 映射可加性的研究始于1 9 6 9 年，m a r t i n d a l cw s 证明了如果 r 是素环且含有一个非平凡幂等元，则从r 到任意环的可乘双射是可加的 m o l n a rl 证明了标准算子代数之间的1 - j o r d a n 映射是可加的，随后他又 用分析的方法证明了标准算子代数之间的拟三重1 - j o r d a n 映射是可加的 h a k e d aj 和s a i t o 在1 9 8 6 年证明了v n 代数之间的1 - j o r d a n 映射的可 加性 2 0 0 2 年陆芳言用p e i r c e 分解法将代数进行分解并分别证明了维数大于1 2 的b a n a c h 空间上的标准算子代数到任意环上的j o r d a n 映射是可加的在同 年，他还证明了算子代数之间的j o r d a n 映射的可加性 2 0 0 3 年陆芳言证明了含单位元且含幂等元的素代数或含单位元且含矩阵 单位系的代数以及b a n a c h 空间上的标准算子代数到结合代数的j o r d a n 映射 都是可加的 2 0 0 4 年陆芳言和李鹏同再一次用p e i r c e 分解的方法证明了环上的初等映 射的可加性，并于2 0 0 5 年将此结果推广到了作用在h i b e r t 空间上的套代数的 标准算子代数中，证明了从作用在h i b e r t 空间上的套代数的标准算子代数到 任意代数上的j o r d a n 映射是可加的 2 0 0 7 年纪培胜证明了s p i n 因子上的j o r d a n 映射的可加性 本文通过特殊j o r d a n 代数b ( 日) 。的对称结构及p c i r c e 分解的方法证明 了从j o r d a n 代数日( 日) 。到任一j o r d a n 代数b 上j o r d a n 映射是可加的即； 2 设日是维数 1 的h i l b e r t 空间，b 是j o r d a n 代数，则每一个从 b ( 日) 。到b 的j o r d a n 映射是可加的 3 设a ，b 是j o r d a n 代数且含单位元1 ，是从a 到j e 7 的映射，则 是从a 到上b 的j o r d a n 映射当且仅当是满射且存在从b 到a 的满射妒 使得对任意ae a ，be b 有下式成立： ， ( o o 矽( z ) ) = ( o ) o z ， 、 妒( ( n ) o z ) = 口。妒( z ) ， 二，l 型超有限因子中三角代数的j o r d a n 理想 设a 是复数域上的结合代数，任给口，b a ，定义j o r d a n 积为： o ob = 音( 0 6 + b a ) 则a 是一个j o r d a n 代数设，是a 的一线性子空间，若对任意a a ，be j ， 有a ob j ，则称j 为a 的j o r d a n 理想 算子代数上的j o r d a n 理想和结合理想之间存在着密切的联系，许多数学 工作者关于这方面的研究也取得了丰硕的成果： c i v i n 和y o o db 首先在1 9 6 5 年证明了任意俨代数中的闭j o r d a n 理想 是结合理想 3 青岛大学硕士学位论文 f o n g ，m u r p h y 和s o u r o u r 在1 9 8 2 年证at 无限维h i l b e r t 空间日上的有 界算子的全体构成的代数b ( h ) 中的任意j o r d a n 理想( 未必闭) 是结合理想 f o n g 和m u r p h y 在1 9 8 7 年证明了如果一个c + 一代数a 中每个酉元可以 表示成几个对称的积，则4 的任意j o r d a n 理想( 未必闭) 是结合理想这种代 数包含所有的v n 代数 纪培胜在2 0 0 7 年证明了t a f 代数中的j o r d a n 闭理想是结合理想 本文证明了l 型超有限因子中三角代数的弱算子拓扑闭j o r d a n 理想是 结合理想 4 第一章j o r d a n 代数b ( 日) 。上j o r d a n 映射的可加性 第一章j o r d a n 代数b ( 口) s 上j o r d a n 映射的可加性 在许多特殊j o r d a n 代数中j o r d a n 映射的可加性理论已经得到了很好的 证明定义了j o r d a n 积的b ( 日) 。作为一种特殊的。 o r d a n 代数其上j o r d a n 映 射的可加性也值得考虑围绕这个问题，本章利用p e r i c e 分解的方法证明了 b ( h ) 。代数上j o r d a n 映射的可加性 1 1引言及预备知识 首先给出j o r d a n 映射的定义 定义1 1 1 设a ，b 是, j o r d a n 代数，其j o r d a n 积记为( a ，b ) 一a ob ，令 是a 到b 上的映射，则称西是j o r d a n 映射，如果它满足： 1 ) 矽( zoy ) = ( z ) o ( 可) ，2 7 ，y 4 ； 2 ) 移是双射 定义1 1 2 设a 是任一结合代数，对任意x ，y a ，令zo y = - ；( x y + y x ) ， 则o 是a 上的j o r d a n 积称定义了j o r d a n 积o 的结合代数a 为特殊j o r d a n 代数 设日是维数 1 的h i l b e r t 空间，b ( 日) 。表示作用在日上的所有有界 线性自伴算子构成的实线性空间，1 为h 上的单位算子，对z ，ye b ( h ) 。，令 z 。y = l ( x v + 可。) ，则b ( 日) 。在此积作用下为j o r d a n 代数 ： 5 青岛大学硕士学位论文 1 2 主要引理及证明 取e l 为b ( h ) 。中一非平凡投影，令e 2 = 1 - e l ，记b ( 日) 爹= e i b ( h ) 。e i ，i = 1 ，2 b ( 日) ：2 = n + a 4 ：a e 1 曰( 日) e 2 ) ，则 b ( 日) 。= 曰( 日) ：1 + b ( 日) ：2 + b ( h ) 2 2 约定记号口瓠表示a i i b ( 日) 爹，a 1 2 + a ；2 表示a 1 2 e l b ( h ) e 2 ，且a 1 2 + a i 2 b ( 日) ：2 下面证明用到的主要技巧称为“标准证明” 设z ，y ，s b ( 日) 。使得( s ) = ( z ) + 曲( 可) ，将此等式两端乘以( ) 得到 ( s ) o 咖( ) = 咖( z ) o ( ) + 咖( 纱) o ( ) 所以 ( sot ) = ( zot ) + ( 秒o ) 进一步，如果西( z ot ) + ( 秒ot ) = ( z 。t + yo ) ，由的单性得 sot = ( z + y ) ot 引理1 2 1 ( 0 ) = 0 证明因为是满的，所以存在z b ( 日) 。使得矽( z ) = 0 所以 妒( 0 ) = ( zoo ) = 痧( z ) o ( o ) = 0o ( o ) = 0 引理1 2 2 【2 】 1 ) 设a l l e l b ( h ) e l ，如果任给t a 2 e l b ( h ) e 2 ，都有a l a t l 2 = 0 ，则 a l l = 0 ： 2 ) 设a 2 2 e 2 b ( h ) e 2 ，如果任给t a 2 e l b ( h ) e 2 ，都有1 2 0 2 2 = 0 ，则 a 2 2 = 0 引理1 2 3西( a l l + a 1 2 + o ；2 + a 2 2 ) = ( a 1 1 ) + 矽( 凸1 2 + 口；2 ) + 矽( 0 2 2 ) 6 第一章j o r d a n 代数b ( 日) 。上j o r d a n 映射的可加性 证明因为是满的，所以存在8 = 8 1 1 + 8 1 2 + s i 2 + 8 2 2 j e 7 ( 日) 。使得 ( 5 ) = ( a 1 1 ) 4 - ( a 1 2 + n 毳) + ( 口2 2 ) 对e 1 在( 1 1 ) 式中利用“标准证明”得 ( s 1 1 + 互1 ( s 1 2 + s i 2 ) ) ( 1 。1 ) 西( s06 1 ) ( 0 1 l06 1 ) + 妒( ( 0 1 2 + a 1 2 ) oe 1 ) + ( 0 2 2 06 1 ) 一( a 1 1 ) ( a 1 1 ) + 西 + 西 对6 2 在( 1 2 ) 式中利用“标准证明”得 ( 三( s t 。+ s 圳 三a 1 2 + a 1 2 ) ) + ( o ) 三( 2 1 2 “1 2 ) ) ：咖( ( s 。+ 昙( s ，。+ s 1 。) ) 。e 2 ) 1 = ( a l lo6 2 ) + ( 言( 口1 2 + o ：2 ) oe 2 ) 1 = = ( o ) + ( 去( 口1 2 + a 1 2 ) oe 2 ) 1 = 妒( 主( 她+ 。1 z ) ) 因为西是单的，所以s 1 2 十s ：2 = a 1 2 + o ：2 对t 1 2 + t i 2 在( 1 2 ) 式中利用“标准证明”得 ( 1 2 ) 矽( 圭s j 。t - 2 + 互1t 1 2 s u + 石1 ( s t 2 z 一1 2 t 1 2 8 。1 2 ) + i 1 ( s i 2 t 1 2 + t ：2 占t 2 ) ) = 州s 。+ 丢( s 。2 + 晚) 。( t 1 2 + t + 1 2 ) ) = 砂( a l lo ( t 1 2 + 糊) + ( ( 互1 ( 口1 2 + 。i 2 ) 。( t 1 2 - - t + 1 2 ) ) = 矽( 互1 一t - z + 石1 。1 。- - ) + ( 三( 口- z z 1 2 + 右- z 口1 。) + 三( 。：。t 2 + t 1 。口z 2 ) 1 3 ) 对6 1 在( 1 3 ) 式中利用“标准证明”得 ( 扣血2 + 亡：2 s ，) + 石1 ( s 。1 2 + t 1 2 s 4 1 2 ) ) = ( 互1 一t t z + 丢：。s t - + i 1 ( s 。t 1 2 t 1 2 8 + 1 。) + 石1 ( s ；2 t - 。+ t & s ，z ) ) 。e - ) = ( 三( 。t 。z + 亡：。t ，) 。e ) + ( ( 主( a - z t ：2 + t 1 2 a + 1 2 ) + 丢( 口：2 t 1 2 + t + 1 ：口- z ) ) 。e ，l ( 1 4 l、l ，、，2事l 口 2h + 2 哆， g 地 0 ，j、 1 4 ，击r + 、j、l ， l1 0 2绣 + 2l b 11 0 ，- i 、 l 一4 ，l 、 = 青岛大学硕士学位论文 对e 2 在( 1 4 ) 式中利用“标准证明”得 ( 丢( s 水，z + 吃s 1 1 ) ) 11 = 咖( ( 主( s 1 1 t 1 2 + t ；2 s 1 1 ) + 主( s 1 2 亡；2 + t 1 2 s 4 1 2 ) ) 。e 2 ) = 妒( 去( a ，。2 + 亡i 2 8 ，。) 。e 2 ) + ( 丢( 口，2 亡+ 1 2 + 亡，z a + 1 2 ) 。e 2 ) = 矽( 丢( 口水t 2 + 名) ) 因为单，所以有 8 1 1 t 1 2 + t 1 2 8 1 1 = a l lt 1 2 + ；2 a l l ， 从而对任意t 1 2 e l b ( h ) e 2 有8 1 1 t 1 2 = a l l t l 2 成立，由引理1 2 2 ( 1 ) 得8 1 1 = a 1 1 同理可证8 2 2 = a 2 2 ，所以s = a l l + a 1 2 + 口i 2 + a 2 2 从而证明了 成立 砂( n 1 1 + a 1 2 + a 4 1 2 + a 2 2 ) = 矽( a l i ) + ( 0 1 2 + o i 2 ) + ( a 2 2 ) 引理1 2 4 ( ( n 1 2 + a 1 2 ) + ( b 1 2 + 6 ；2 ) ) = ( a 1 2 + a 1 2 ) + ( b 1 2 + 嵋2 ) 证明因为有下式成立， ( 2 e l + 2 ( a 1 2 + a 1 2 ) ) o ( b 1 2 + 6 ：2 + e 2 ) = ( a 1 2 b ；2 + b 1 2 a ；2 ) + ( a 1 2 b 1 2 + 6 ；2 a 1 2 ) + ( a 1 2 + b 1 2 ) + ( a 1 2 + b 1 2 ) ) 所以由引理1 2 3 得 ( a 1 2 b ；2 + b 1 2 a ；2 ) + ( 口；2 b 1 2 + 6 ；2 a 1 2 ) + ( ( 口1 2 + b 1 2 ) + ( a 1 2 + b 1 2 ) + ) = ( ( 2 e 1 + 2 ( a 1 2 + a 1 2 ) ) o ( b 1 2 + 6 ；2 + e 2 ) ) = ( ( 2 e 1 ) + ( 2 ( a 1 2 + a 。1 2 ) ) ) o ( 咖( b 1 2 + 6 i 2 ) + 毋( e 2 ) ) = 矽( 2 e 1 ) o ( b 1 2 + 6 ；2 ) + ( 2 e 1 ) o ( e 2 ) + ( 2 ( 0 1 2 + a 1 2 ) ) o ( b 1 2 + 瑶2 ) + ( 2 ( a 1 2 + a 4 1 2 ) ) o 矽( e 2 ) = ( 2 e lo ( b 1 2 + w 2 ) ) + ( 2 e 1 oe 2 ) + ( 2 ( a 1 2 + a 1 2 ) o ( b 1 2 + 6 ：2 ) ) + ( 2 ( a 1 2 + a 1 2 ) oe 2 = ( b 1 2 + 蝣2 ) + ( ( 0 1 2 6 i 2 + b 1 2 a ；2 ) + ( a 1 2 b 1 2 + 6 ；2 a 1 2 ) ) + ( a 1 2 + o ；2 ) = ( b 1 2 + 6 ；2 ) + ( a 1 2 b ；2 + b 1 2 a ；2 ) + ( o ；2 b 1 2 + 6 ；2 a 1 2 ) + ( a 1 2 + a 1 2 ) 8 第一章j o r d a n 代数b ( 日) 。上j o r d a n 映射的可加柱 = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 2 = = = = = = = 从而有 成立 痧( ( 口1 2 + a 1 2 ) + ( b 1 2 + 继2 ) ) 0 1 2 十口2 ) + ( 6 1 2 + 瑶2 ) 弓l 理1 2 5 矽( 口l l + b 1 1 ) = 矽( 口1 1 ) + 移( 6 1 1 ) 证明找s = 8 1 1 + s 1 2 + 8 1 2 + s 2 2 口( ) 5 使得 妒( 5 ) = ( 口1 1 ) + ( 6 1 1 ) 对e 2 在( 1 5 ) 式中利用。标准证明* 得 ( 主( 趾+ 如) + 彻) ) ( s o e 2 ) ( a l loe 2 ) + 妒( 6 1 loe 2 ) 2 西0 1 嚣0 所以( 8 1 l + 8 一i 2 ) + 吻= 0 ，所以s l l + s ；2 麓o ，s 2 2 = 0 ，从而s ：8 1 1 下证8 1 1 = a n + b i l 对t l l + t ；2 b ( h ) i 2 再次利用式子( 1 5 ) 得 ( 1 5 ) 妒( 云( s l l 亡1 2 + t ；2 s 1 1 ) )= ( s 1 1o ( 亡1 1 + ：2 ) ) = 砂( a i io ( t 1 2 + z ；2 ) ) + ( 6 1 lo ( t 1 2 + ；2 ) ) = 矽( 专 1 1 t 1 2 + t ：2 n 1 1 ) ) + 砂( 丢( h l t l 2 + t ；2 b 1 1 ) ) 因为；( 0 1 1 1 2 + t ：2 a 1 1 ) 和；( 6 l l 亡1 2 + t ：2 b 1 1 ) 都属于b ( h ) t m ，所以由引理1 2 4 得 三( s l i t i 2 + t ：2 s 1 1 ) = l ( a n t i 2 + t 。1 2 n 1 1 ) + l ( b n t i 2 + t ；：6 1 1 ) 所以对任意t 1 2 e i b ( h ) e z 有s l i t l 2 = ( 口l l + b 1 1 ) t 1 2 ，由引理1 2 2 ( 1 ) 得s l l = a l l + b n 从而s = a l l + b l i ，这样即证明了( a l l + b i l ) = ( a 1 1 ) + 咖( 6 1 1 ) 同理可证引理1 2 6 立 引理1 2 6 ( a 2 2 + 6 2 2 ) = ( n 2 2 ) + ( 6 2 2 ) 下面证明过程中与妒的定义和引言中3 中的相同 引理1 2 7 和妒都是双射 证明由题设知。只需证明与妒是单射即可 9 青岛大学硕士学位论文 首先证明西是单的 设o ，b a ，( 口) = 矽( 6 ) ，因为妒是满的，所以存在z b 使得妒( z ) = 1 由引言中3 中的式子得 n = aol = 口。妒( z ) = 妒( 咖( 口) ) oz = 妒( 矽( 6 ) ) oz = 6o 妒( z ) = b o1 = b 所以矽是单射 下证妒单。 设z ，y b ，使得妒( z ) = 妒( y ) ，因为妒也是满的，所以存在s a 使 砂( s ) = 1 由引言中3 中的式子式得 矽一1 ( z ) = 一1 ( z ) o1 = - 1 ( z ) o 妒( s ) = 妒( 西一1 ( z ) o ( s ) ) = 矽( zo ( s ) ) = 妒( 雾) os = 妒 ) o s = 妒( yo ( s ) ) = 砂( 一1 ( y ) o 砂( s ) ) = - 1 ( 耖) o 矽( s ) = - 1 ( ) o1 = - 1 ( ! ，) 所以z = y ，由此知矽单 引理证毕 引理1 2 8 妒- 1 ：a _ b 和一1 ：b a 满足下式： 筹二毪三。公踹三竺：弘蕊 ( 1 6 ) i 矽一1 ( 妒一1 ( 口) oz ) = 口。妒一1 ( z ) ， 工o j 其中a a ，b b 证明首先证明第个式子 妒( 矽一1 ( n ) oz )= 妒( 妒一1 ( b ) o 妒咖一1 ( z ) ) 之妒( 妒一1 ( 口) ) o - 1 ) = go 妒- 1 ( z ) = 矽( 砂一1 ( 口o - 1 ( z ) ) ) 1 0 第一章j o r d a n 代数b ( 日) 。上j o r d a n 映射的可加性 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= ：= = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= = = = = = = = = = = = = = = 因为矽单，所以 砂。( oo 矽- 1 ( z ) ) = 砂_ 1 ( n ) ox 成立 同理可证第二个式子成立 1 1 青岛大学硕士学位论文 1 3定理的叙述与证明 定理1 3 1 设日是维数 1 的h i l b e r t 空间，b 是j o r d a n 代数，则每 一个从b ( h ) 。到口的j o r d a n 映射是可加的 证明设口= a l l + a 1 2 + n ：2 + a 2 2 ，b = b l l + b 1 2 + m 2 + 6 2 2 a ，由引理 1 2 1 1 2 6 得 ( o + 6 ) = ( ( 0 1 1 + b 1 1 ) + ( a 1 2 + b 1 2 ) + ( a 1 2 + b 1 2 ) 。+ ( a 2 2 + 6 2 2 ) ) = 妒( a l l + b i l ) + ( ( 0 1 2 + b 1 2 ) + ( a 1 2 + b 1 2 ) ) + ( a 2 2 + 6 2 2 ) 一( a 1 1 ) + ( b 1 1 ) + ( a 1 2 + a 1 2 ) + 妒( b 1 2 + 6 ；2 ) + ( 0 2 2 + ) ( 6 2 2 ) = ( a l l + a 1 2 + o ；2 + 吻) + 咖( b l l + b 1 2 + 坑2 + b 2 2 ) = 矽( o ) + 砂( 6 ) 所以在b ( h ) 。上是可加的 定理1 3 2 设a ，b 是j o r d a n 代数且含单位元1 ，是从a 到b 的映 射，则是从a 到b 上的j o r d a n 映射当且仅当是满射且存在从b 到a 的 满射妒使得对任意ac a ，be b 有下式成立 搬搿鲤；三端豸： ( 1 7 ) l妒( ( o ) oz ) = 口。妒( z ) ， 卜“7 证明必要性的证明 设是从a 到b 上的j o r d a n 映射，令砂= ，则和砂是满射且满 足( 1 7 ) 式 充分性的证明 设是满射且存在从b 到a 上的满射妒满足( 1 7 ) 式，要证是从a 到 b 上的j o r d a n 映射，由引理1 2 7 知只需证 ( 口0b ) = ( 口) 0 ( 6 ) 1 2 第一章j o r d a n 代数b ( 日) 。上j o r d a n 映射的可加性 对a a 由( 1 6 ) 式和( 1 7 ) 式得 ( 口) = ( a o1 ) = ( 矽妒一1 ( 口) o1 ) = 矽一1 ( o ) o0 ( 1 ) = 矽一1 ( 口o0 - 1 砂( 1 ) ) = 妒_ 1 ( a ) 对o ，b a 有 0 ( aob ) = 移( oo 砂砂一1 ( 6 ) ) = 0 ( a ) o 砂一1 ( 6 ) = 痧( 口) o0 ( b ) 所以是从4 到上b 的j o r d a n 映射 定理证毕 1 3 青岛大学硕士学位论文 第二章l 型超有限因子中的三角代数的j o r d a n 理想 算子代数中j o r d a n 理想和结合理想之间的关系一直是人们研究的热点问 题，且取得了丰富的研究成果在此基础上本章证明了l 型超有限因子中的 三角代数的弱算子拓扑闭j o r d a n 理想是结合理想 2 1 引言及预备知识 一，基本概念 定义2 1 1 设a 是复数域上的结合代数，任给a ，b a ，定义j o r d a n 积 为： 1 口ob = - 言( a b + 6 0 ) ， _ 则a 是一个j o r d a n 代数 定义2 1 2 设a 是j o r d a n 代数，为a 的一线性子空间，若对任意 口a ，b j ，有口ob j ，则，称为a 的j o r d a n 理想 本章中的结合理想是指原乘法意义下的双边理想 设日是复数域上的h i l b e r t 空间，b ( h ) 表示日上的所有有界线性算子 构成的代数 定义2 1 3b ( h ) 中强算子拓扑闭的木一子代数，称为月上的v o nn e u - m a n n 代数 定义2 1 4h i l b e r t 空间日上的因子，指日上的v o nn e u m a n n 代数m ， 满足mnm = c 其中m i 指m 中元素换位子的全体 定义2 1 5 设m 是h i l b e r t 空间h 中的v o nn e u m a n n 代数，m 的投 影p 称为有限的，指若m 的投影p q ，且p 一口，则q = p m 的投影p 称为 纯无限的，指它不包含任何非0 有限投影若m 的单位元是有限的。则称m 是有限的；m 的单位元是纯无限的，则称m 是纯无限的 1 4 第二章1 型超有限因子中的三角代数的j o r d a n 理想 定义2 1 6v o nn e u m a n n 代数m 称为连续的指m 不包含任何非0 交 换投影 定义2 1 7v o nn e u m a n n 代数m 称为半有限的指m 的任何中心投影 都不能是纯无限的 定义2 1 8 半有限且连续的v o nn e u m a n n 代数称为( ) 型的。有限的 ( ) 型v o nn e u m a n n 代数称为( i ) 型的 定义2 1 9v o nn c u m a n n 代数m 称为超有限的，指存在正整数列， 及l 鸠。c c c cm ，其中是m 的的k 型子因子， 对任意n 使得u 警。坞。在m 中是口( 肛版) 稠的 二，弱算子拓扑闭j o r d a n 理想 关于弱算子拓扑闭的相关概念和记号； 定义2 1 1 0 一个含单位元的伊一代数b 称为u h f 代数指b 中存在一 个单的含b 的单位元的有限维驴一子代数升链 层。】使得u 甚1b 。稠于b 因为每个上乙是单的驴一代数，所以同构于一个全矩阵代数 ，其中 是个正整数 定义2 1 1 1 设b 为u h f 代数，d 是b 的m a s a ，且任给礼，岛nd ( 记 为d n ) 是风的m a s a ，且d = u 甚1d n ，则称d 是b 的一个典型m a s a 给定b 这样一个典型的m a s ad 及相应的单的有限维伊一子代数升链 风) ，存在b 的一个子集 露：1 i ，歹陬，7 l = 1 ，2 ，) ，满足任给n ， 甥： 1 i ，j p n ，n = l ，2 ，) 为玩的一个标准意义下的矩阵单位系，【霸：1 i m ) d ，并且每个埒是 甥：i ，歹 中某些元素的和任给n ，令咒为集 合【露：1 i j 肌 的线性扩张令t = u 墨1 瓦，则t 为b 中对角为d 的强极大三角代数( 事实上，b 中对角为d 的强极大三角代数都具有这种 形式) 定义2 1 1 2v o nn e u m a n n 代数m 的c a r t a n 子代数d 是指b 的个正 则的极大的交换子代数，且存在从m 到d 的正常的忠实的条件期望p ：b _ d 令。为b 上的唯一迹态， 。，皿 为由。诱导的b 的忠实表示令m 记 。( b ) 在b ( 鼠) 中的弱算子拓扑闭包，则m 是1 型超有限因子令c 记，( d ) 在b ( 风) 中的弱算子拓扑闭包，令a 记；( 丁) 在b ( 鼠) 中的弱算子拓扑闭包 任给i ，j ，n ，令e ：，= ；( e z ，) 是v o nn e u m a n n 代数，则c 是v o nn e u m a n n 代 1 5 青岛大学硕士学位论文 数m 的标准c a r t a n 子代数，a 是弱算子拓扑闭的对角为c 的三角代数，显然 是c 一双模( 即c a c a ) 可以证明a 是 e 3 ：1 i j p n ，佗= 1 ，2 ，) 的弱算子拓扑闭线性扩张，这个结果可由文献 3 】中定理2 6 的方法证明 1 6 第二章1 型超有限因子中的三角代数的j o r d a n 理想 2 2 主要引理与证明 约定；设x 是m 的个子集，用翘| i 表示x 在m 中的l i 0 2 一闭包， 用：r 表示x 在m 中的弱算子拓扑闭包，用x c 表示x 在m 中的换位子 任给n ，用c ( n ) 表示u 嚣n 俄n d “ 引理2 2 1 【4 】设x 是m 的一个。一子代数，则冠。l i = 了严进一步，任 给z - - 2 i t ”，x 中存在序列 使得s u p nl f x ”l l o o ，并且z = | | - 8 2 一l i i 引理2 2 2 【4 1 设z m ， ) 是肘中的序列，则z = s l i kz 仃当且仅 当z = ”1 1 2 一l i n kz 。并且s u p nl i 留n i i o o 引理2 2 3 1 3 j 任给正整数1 n k ，令g l ，9 2 ，卯为磁nd 奄中的全 体极小投影对z m 定义映射咖柏：m 啐m 如下： 则下面结论成立。 1 ) 任给z m ，有i l 九知( z ) 0 恻i 和i i - k ( z ) 1 1 2 l i x l l 2 成立 2 ) 任给z m ，则极限九( z ) = | i 1 1 2 一l i m 知孤九知( z ) 存在，并且可以写成 p n 加(