（基础数学专业论文）调和映射的存在性和热流方程.pdf

黄飞调和映射的存在性和热流方程 中文摘要 调和映射是几何分析中一类重要的研究对象调和映射的存在性问题是几何 分析中有意义而又非常困难的问题研究两个流形之间的调和映射的存在性问题 是研究调和映射存在性问题最重要和最有意义的方面之一一般来讲，它分为两 大类：一类是有限维黎曼流形之间的调和映射存在性；另一类是无限维流形之间 的调和映射存在性而对于有限维黎曼流形之间的调和映射存在性，我们又分为两 种情况：一种是无边流形；另一种是带边流形对于带边流形，如果我们根据调和 映射的定义，直接运用交分的技巧来解决它们之间的调和映射的存在性是不行韵。 这种方法只能对些特殊的流形适用，比如s i 2 因为对于s 1 来说，它所对应的 调和映射是闭测地线测地线方程在t a r 上是一个线性的常微分方程系统，而对于 一般的调和映射方程来说，它是一个非线性的偏微分方程系统为了解决这个问 题，胁和s a m p s o n 在1 9 6 4 年引进了一种称为热流的方法 1 它被认为是调和 映射存在性理论中最基本的理论 本文主要阐述了e e s 和s a m p s o n 的思想，并根据自己的理解详细解释了凰 和s a m p s o n 在1 9 6 4 对他们的定理的证明过程文章要证明的定理如下： 定理4 1 ( e e l l s - s a m p s o n ) 设培) 和( ， ) 是两个紧的黎曼流形，假设 ( ，1 1 ) 的截面曲率置是非正的，则对任意m y c 。，) ，都存在一个调和映 射u o o ：m - - - h n ，使得，能连续形变到“。 文章主要分为两部分：第一部分，文章根据调和映射的定义推导出调和映射 的方程，并列举了两个特殊流形之间的调和映射；第二部分，文章首先根据前面 的两个例子提出了两个带边流形之间的调和映射的存在性问题，接着着重阐述了 胁和s a m p s o n 的思想热流法，即将调和映射的存在性问题转化成一个非线 性抛物微分方程系统的初值问题，并从解的存在性和收敛性两个方面来证明该初 值问题，然后，文章在假设解的存在性成立的条件下，利用w e i 拓e n b 5 c k 公式证明 扬州大学硕士学位论文 2 在证明存在性时，文章又分为两部分： 第一部分证明局部解的存在性：文章根据n a s h 嵌入定理 7 ，将研究一个抛 物型微分方程系统的初值闯题转化成向量值函数豹初值问题接着，运用b a n a c h 空间的逆函数定理证明了向量值函数的初值闯题，从而证明了局部解的存在性 第二部分证明整体解的存在性：文章在假设k ，茎0 的情况下，运用 w e i t z e n b g c k 公式，得到了关于调和映射方程的初值解“的估计，并运用线性抛物 型偏微分方程的解的$ c h a u d e r 估计 6 ，得到材的一致估计，从而证明整体解的 存在性 这样，我们就完整地证明了e e l l s 和s a m p s o n 的定理 类似地，我们可以研究两个复流形之间的解析映射特别地，当两个k i i h l e r 流 形之间的解析映射是调和映射时，我们可以利用调和映射的观点事实上，利用 e e l l s 和s a m p s o n 的定理和热流法，s i u 1 0 ， 1 1 在1 9 8 0 年证明关于负曲率k i i h l e r 流形上的复结构之间的刚性定理 黄飞调和映射的存在性和热流方程 3 a b s t r a c t h a r m o n i cm a p sa o n ek i n do fi m p o r t a n to b j e c t si ng e o m e t r ya n a l y s e s t h e e x i s t e n c ep r o b l e mo fh a r m o n i cm a p si sav e r yi n t e r e s t i n gb u tv e r yd i f f i c u l tp r o b l e m o n eo f t h em o s ti m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n ga s p e c t so f t h es t u d yo f t h ee x i s t e n c ep r o b l e m o fh a r m o n i cm a p si st h ee x i s t e n c ep r o b l e mb e w e 哺t w om a n i f o l d s ，i ng e n e r a l l y , w e o n l yc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gt w oc a s e s o n ec a s e i st h et w om a n i f o i d sh a v en o b o u n d a r y ；t h eo t h e rc a s ei st h et w om a n i f o l d sh a v eab o u n d a r y a b o u tt h em a n i f o l d s h a v eab o u n d a r y , i f w eu s et h ed e f i n i t i o no f h a r m o n i cm a p s , i t sf a i lt oa p p l yt h ed i r e c t m e t h o di nv a r i a t i o nt e c h n i q u e st of i n do u tt h eq u e s t i o n t h i sm e t h o di so n l yo p e r a t e d i ns o l l l es p e c i a lm a n i f o l d s f o re x a m p l e 。i ns 1 ，w bc a l iu s et h i sm e t h o d 2 ，t h et c a q o n i st h a ta c c o r d i n gt os i t sh a r m o n i cm a p s 躺c l o s e dg e o d e s i c s t h ee q u a t i o nf o r h a r m o n i cm a p si se s s e n t i a l l yas y s t e mo fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a s o p p o s et o t h a tt h ed e f i n i n ge q u a t i o nf o rg e o d e s i c si sas y s t e mo fl i n e a ro r d i n a r y e q u a t i o ni nt h et a n g e n tb u n d l e 聊o f i no r d e rt of i n do u tt h i sq u e s t i o n , e e sa n d s a m p s o ni n t r o d u c e dat e c h n i q u ec a l l e dt h eh e a tf l o wm e t h o d 1 i ti sc o n s i d e r e dt ob e t h em o s tf u n d a m e n t a la m o n ge x i s t e n c et h e o r e m sf o rh a r m o n i cm a p s t h i sp a p e rp a y sa t t e n t i o nt od e s c r i p tt h ei d e a so fe e l l sa n ds a m p s o n ，a n de x p l a i n k l l sa n ds a m p s o n sw o o fi n1 9 6 4a b o u tt h e i rt h e o r e mi nd e t a i l sb ym y s e l f t h e t h e o r e mw h i c ht h ep a p e rw a n t st op r o o fi sa sf o l l o w s ： t h e o r e m 4 1 ( e e l l a - s a m p s o n ) l e t ，g ) a n d ( ，h ) h ec o m p a c t r i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，s u p p o s et h a tnh a sn o n p o s i t i v es c a ：t i o nc l l r v a l l l l - e t h e nf o r a n yf c 。，) ，t h e r e i s a h a r m o n i c m a p ：肘一nf r e e - b o m o t o p i c t o f t h i sp a p e rh a st w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h ep a p e rc o n c l u d e st h ee q u a t i o nf o r h a r m o n i cm a p sb yt h ed e f i n i t i o no fh a r m o n i cm a p s , a n dt a k e st w oe x a m p l e so ft h e h a r m o n i cm a p sb e t w e e nt w os p e c i a lm a n i f o l d s ，；i nt h es e c o n dp a r t , 矗r s n y ，t h i sp a p e r i n t r o d u c e st h ee x i s t e n c ep r o b l e mo fh a r m o n i cm a p sb e w c c nt w om a n i f o l d sw h i c h 扬州大学硕士学位论文 4 h a v eab o u n d a r y s e c o n d l y , t h ep a p e rp a y sa t t e n t i o nt od e s e r i p tt h ei d e a so f e e l l sa n d s a m p s o r e - - t h eh e a tf l o wm e t h o d , n a m e l y , t h ee x i s t e n c ep r o b l e mo fh a r m o n cm a p s i s r e d u c c dt ot h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o nf o rb a r m o n i cf f a a p s , a n d p r o o f st h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mb yt w oa s p e c t sw h i c h a r et h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n sa n d t h ee o n v e 晒n go fs o l u t i o n s , t h i r d l y , t h ep a p e rs u p p o s e st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s , a n d p r o o f sh ec o n v e r g i n go fs o l u t i o n sb y w e i t z e n b s c kf o r m u l a , f i n a l l y , t h ep a p e rp r o o f s t h ee x i s t e n e eo f s o l l i t i o i l s d u r i a gt h ep r o o f o f t h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n s ，t h ep a p e r a l s oh a st w op a r t s t h ef i r s tp a r ti st h ee x i s t e n c eo f l o c a lt i m e d e p e n d e n ts o l u t i o n s ，t h ep a p e rr e d u c e s t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o nt ot h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo ft h e v e o t o rv a l u ef u n c t i o n sb yt h ei m b e d d i n gt h e o r e m 7 。t h e nt h ep a p e rp r o o f st h ei n i t i a l v a l u ep r o b l e mo f t h ev e c t o rv a l u ef u n c h o n sb yt h ei n v e r s ef u n c t i o nt h e o r e mi nb a n a c h s p a c e s ot h ep a p e rp r o o f st h ee x i s t e n c eo f l o c a lt i 鼬p e n d e o t s o l u t i o n s t h es e c o n dp a r ti st h ee x i s t e n c eo fg l o b a lt i m o e - d e p e n d e n ts o l u a i o n s t h ep a p e r s u p p o s e s nh a sn o n p o s i t i v es e c t i o nc u r v a t u r e ，a n dg e t st h ee s t i m a t eo f 甜b y w e i t z e n b i j c kf o r m u l a t h e n 。t h ep a p e rg e t st h eu n i f o r m l ye s t i m a t eo f 甜b yt h e s c h a u d e re s t i m a t ef o rl i n e a rp a r a b o l i cp a r t i c a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , s o 讹c a l lp r o o f s t h ee x i s t e n c eo f g l o b a lt i m e - d e p e n d e n ts o l u t i o n s h e r e ，w ec o m p l e t e l yp r o o f e e l l sa n ds a m p s o n st h e o r e m s m i l a d y , w ec a ns t u d yt h ee x i s t e n c ep r o b l e mo f a n a l y t i cm a p sb e “嘴nc o m p l e x m a n i f o l d s e s p 妇l l ys i n c ea n a l y t i cm a p sb e t w e e nk i i h l e rm a n i f o l d sa t eh a r m o n i c n 豫p s i n d e e d , 髂a l la p p l i c a t i o no f t h et h e o r e mo f e e sa n ds a m p s o n 。研 1 d 。1 1 1 p r o v e das t r o n gr i 萄d i t yt h e o r e mr e g a r d i n gc o m p l e xs t r u c t u r ei n k i i h e rm a t f i f o i d so f n e g a t i v ec u r v a t u r ei n1 9 8 0 黄飞调和映射的存在性和热流方程 0 引言 调和映射的存在性问题是研究调和映射最重要和最有意义的方面之一一般 来讲，它分为两大类：一类是有限维黎曼流形之间的调和映射；另一类是无限维 流形之间的调和映射对于无限维的情况，要利用上世纪七十年代发现的 如雌e 理论【1 2 】而对于有限维黎曼流形之间的调和映射又分为两种情况： ( 1 ) 当m 是无边流形，我们考虑在每个映射的同伦类中找调和映射，即在 c ( m ，1 的每个连通分支内一般来说，这种问题是没有解的例如：在从环面r 2 到球面s 2 上的所有度为1 或一1 的映射组成的同伦类中，无论取什么样的度量g 和 h ，都找不到调和映射 3 ( 2 ) 当m 是带边流形时，我们考虑下列d i r i c h l e t 问题：给定一个光滑映射 妒：m _ ，我们想要找到一个与有相同边界值的调和映射“，即“i 。= 引。， 并且“在q ( m ，n ) 中的一个给定的同伦类中这里q ( m ，n ) 表示所有与有相 同边界值的连续函数组成的空间这种问题也没有解例如，如果( m ，g ) 是单位球 b ”( 聆2 ) ，并且矿是将所有的a m 映到上的一个单点的映射，我们可以证明在 q ( m ，n ) 中的调和映射只有常值映射也就是说，在q ( m ，n ) 中有且仅有一个同 伦类包含调和映射 一般来讲，关于调和映射的存在性的结论很少第一个做出存在性问题的基 础性工作的，是e e l l j 和s a m p s o n 他们在1 9 6 4 年引进了热流法来证明情况( 1 ) ： 如果截面曲率局，是非正的，则对c 。( m ，) 中任意的光滑函数都能形变到调和映 射 1 h a m i l t o n 利用热流法将这一方法推广到d i r i c h l e t 情况 1 3 本文首先着重阐述了e e l l s 和s a m p s o n 的思想：将c ”( 肘，) 看成是一个流形， 这样就将调和映射的存在性问题转化成一个非线性抛物微分方程系统的初值问 题 扬州大学硕士学位论文 6 其次，本文从两个方面来证明这个初值问题 文章首先证明了第二个方面在证明第二个方面时，本文主要运用 w e i t z e n b 6 c k 公式证明了e ( m ) 是一个单调非增函数，从而证明了当卜0 0 时，“，收 敛到甜。c 。( m ，) 其次，文章证明了第一个方面在证明第一个方面时，文章又 从局部解和整体解两方面来证明 首先证明局部解的存在性本文利用线性椭圆偏微分方程的解的微分性质 6 将证明c 4 映射的存在性转化成c 2 型解的存在性。其次，文章根据 嵌入定理， 将研究一个抛物型微分方程系统的初值问题转化成向量值函数的初值问题接着， 利用分析的手法，构造解空间并运用b a n a c h 空间的逆函数定理证明了向量值函 数的初值问题，从而证明了抛物型微分方程系统的初值问题的局部解的存在性 最后证明整体解的存在性在证明整体解的存在性时，本文在假设x 。0 的情 况下，运用热方程的基本解的性质 9 ，得到了关于调和映射方程的初值解u 的估 计，并运用椭圆型偏微分方程的解的s c h a u d e r 估计 6 ，证明了函数列 “( ，f ) 和 a 一( ，f ) 是函数空间c 2 ”( m ，群) 和c 4 ( m ，r 9 ) 上一致有界并且连续的子集，从 而将“延拓到整个m x o , 0 0 1 上 这样，本文就完整地证明了e e l s 和s a m p s o n 的定理 类似地，我们可以研究两个复流形之间的解析映射特别地，当两个k a h l e r 流 形之间的解析映射是调和映射时，我们可以利用调和映射的观点事实上，利用 艮胁和s a m p s o n 的定理和热流法，觑 1 0 ， 1 1 在1 9 8 0 年证明了关于负曲率 k i j h l e r 流形上的复结构之间的剐性定理 黄飞调和映射的存在性和热流方程 1 准备知识 我们记肘是黎曼流形似，g ) 在点z 处的切空间，t m 是它的对偶空间则 我们定义以下两个映射： b ：t ，m 一m ，群：t , m 一疋m 以6 ( r a = g ，( z ，e )g x ( & r ，e ) = n k ( e ) 这里置，e t 膨，q t , m 。 糊令以= 扣l = 1g ( 言 ，一艺i = 1 q 泓k ，则 以6 = 艺t = l 喀j = l 勋g 虹j 鳓卜l ，吼# = 兰i = 1 噍g 如鲫) ( 言) 。“- ， k，户i 、“n 我们令t m 上的内积g x 是l m 上的内积既的对偶，对给定q ，色正肘， 定义g ，( 畋，见) = g ，h 。，以。) ，则 由1 1 式得： & 陋t x ，伍，) r ) = 慨1 i 。，k ，m & 怯) r 4 ，协，1 4 ) = g ，( 即g n 的逆矩阵矿( x ) 是t m 上的内积g ，的分量的矩阵表示 我们设( ，_ 2 ) 是一个甩维的黎曼流形，u ：m 一是光滑映射 7 设( ) ，1 ，少) 是上的开子集矿上的局部坐标系，即任取y 矿，y = 8o ，目) 一三( d ，v 口) 如果我们令v 足( y z ) = v 尺( z ，y ，z ) ，v x 工0 ，e ) = v l ( x ，r e , e ) ，则我们有： v g ( y z ) = v 。g ( x ，r , z ) = x g ( r , z ) - g ( v ，y ，z ) - g ( r ，v ，z ) = o ， v x g ( ，e ) = x g ( ，o ) - g + ( v ；功，e ) - g ( ，v 二p ) = o 写成局部坐标的形式为： v ，卧= 审。g 皓，专，舌 一o ，v 矿= 魄( 嘉) 一o 下面我们定义1 , l + t i c 上的联络v 因为u t n 的局部坐标系可以写成： ( 寺斗卜一，皓。“) c 力) ，又因为对于每个z 毗，都射刚的纤维， 所以我们可以定义v 满足： v 考争2 v 勘旁， 这里v ”是t i c 上的联络 下面我们定义张量积t mo “t i c 上的联络v ： 我们取r 留m l 矽r 0 + z ) ，利用v 和v 我们定义： v 。0 矽) = 勺伽) 圆形+ 缈o ( 。v 。) ，x r ( r m ) ， 所以，我们有： v ，：r c r 肘圆甜+ 聊) 一r p m o u z ) ， v ：r p m o u + 7 ) 一r p m t 。m p u 。7 ) 我们设：m _ ，由上面的知识我们知道幽e r ( r m u z ) 则我们可 扬州大学硕士学位论文 以对如进行协变微分 v y r ( t m ) ，我们定义： z o 【) 兰v d u ( x ，y ) 2 【v z 缸) 【y ) = v x ( ( m ) y ) 一d u ( v x y ) = v 赫( 咖) l ，一幽( v 聱y ) ， 这里v ”，v ”分别是n ，膨上的l e v i - c i v i t a 联络见 4 p 3 5 则扣) r ( “刚+ ) 我们把口。0 ) 称为“的第二基本形式 定理2 ：! ! 0 ) = b 。0 ) ，( 2 ) v 2 c 。( f ) 反。f 0 ) = 0 ) 证明：首先我们证明f 砂在证明之前我们先证明下面的引理 业v 一肚筹一善r ：等+ 熹。r 嚣( “) 等堂o x 这里1 f ，j m ，1 口蔓一 证明：因为如r ( t m 圆u t n ) ，v d u r p m 圆t 。肘固u t n ) ，所以 咖= 善m 萎n 寺a 出。舌。“， c z - ， =荟ra善nvdu v m v d xp d x 。嘉。材， ( 2 2 ) = v 。夕4 o 嘉。材， ( 2 2 ) i ，- i 目v 从而有 v 石ad u 2 荟m 萎nv ，v ，圹凼7 。旁嘣 ( 2 3 ) 耐 iji口i。y 另一方面， v 舌a u = v 刍陲等嘉咄)耐j ；i 口一lo 佴。y = 委耋 等出。舌万0 7 , l 。tv + 刍出j 。参o 以u t ，d i d 固, v 虿。哕0 一。 ， 黄飞调和映射的存在性和热流方程 1 3 矿立= 一r ：出。， 所以上式可写成： 姜耋 筹一薹r ：等+ 熹。r 踟) 百o u a 万o u r 尸 。舌 与( 2 3 ) 进行比较，我们就得到结论 口 根据引理2 2 ，我们知道： v l v j 4 = v v ，“4 因此 b 。( u ) = v d u ( x ，y ) = v a u ( r ，z ) = b 掰0 ) 下面我们证明秒 因为 鼠硝) ，0 ) = v 。( ) y ) 一d h 。y ) = 胛。( 胁) y ) - a d u ( v 。】，) ， 所以 反。，g ) = 五0 ) 即例式成立 口 由b 。0 ) 我们可以定义： r ( ”) = 驴瓣口( “) = ( “) = 9 9 哆旦三( 甜) ， 我们称f 0 ) 为张量场 假设，g ) 是一个紧的m 维黎曼流形，( ，h ) 是一个紧的万维黎曼流 形1 = ( - e ，占) 给定一个光滑函数“c 。似，n ) ，我们有一个光滑映射 f ：膨，哼叫做一个光滑变分，如果f g ，o ) = “g ) ，x m 我们令，g ) = f g ，t ) x 膨，f e ，则坼：m 是光滑映射且= “ 定义： 扬州大学硕士学位论文 y g ) = 丢伽( f ) 叫做映射“的变分向量场 对于给定一个光滑变分，我们考虑该变分的能量泛函： e ( ) = 三l m 哌 丢协( 坼) = 一l ( ( 跏以 证明：因为e ) = i 1l 1 2 d = 主l ；( ( 也) ，( 批) p 丢e ( q ) = 莓l 慨( ( 也) 气) ，( ( 如) ) ) 嘎， 定义肘上的向量= ( 等，慨，k 口) 印，任取p m ，取正规标架场瓴， ，则 在，点处计算： v 气e j ，2 。，v 妄2 。= v 气昙= v 曼o t 昙-a 一一 咖( 咿( v 彤) = ( v ( o ，f c ”，) 同样地，我们假设甜g ，f ) 在肘【o r ) 上是连续的，在 m x ( o ，r ) 上是光滑的即 c o f o ，n ) n c 4 ( 0 ，n ) 如果“满足上述( 4 4 ) 式，则u 叫做( 4 4 ) 式的初值问题的解 因此，为了证明定理4 1 ，我们只要证明调和映射的抛物型方程的初值问题 下面，我们从两个方面来证明： ( i ) 对于任意的初值厂，( 4 4 ) 式总存在一个解“：m x o ，m ) 一n ( i i ) 4 u 。g ) = “g ，f x ，寸，则q 收敛到一个调和映射，9 + 1 ：1 1 1f = u o 与 u m 是互相自由同伦的 我们先假设结论( i ) 成立我们证明结论( i i ) 我们令b ) 和( y 4 ) 分别表示m 和上的局部坐标系如果“仁f ) 是方程( 4 4 ) 的解，那么我们设吩g ) = u ( x ，f ) 则我们有： 妒扣=丢1芝,1。1at扣蚺)ft丝ox1jtf型ox1,1。1，肛i e “) = l e ( u , ) d u , 七( 地) = 互1 0 u , 2 = 蕊k ( 珥) 等等 足( 珥) = l 七( 坼) 嗷 这里k 0 ，) a q 鼬u ，决定的形变动能，七0 ，) 叫做动能密度 对于p 0 ，) 和j j 0 ，) ，我们有下列公式； 佥壁垒：2 ：( w e i t z e n b s c k 公式) 我们设“e c o 【o ，r ) ，) n c ”似x ( o ，r ) ) 是方程( 4 4 ) 的一个解，我们令坼d = “k ，) ，则在肘( o ，r ) 上我们有： 扬州大学硕士学位论文 ( 1 ) 掣蛳卜叫2 一喜，皓觥h j 础力 + 窆( 震w ，心) ，幽，( e j ) ) a u ，( 勺) ，幽，心) ) ( 4 5 ) ( 2 ) 掣= 址一卜割2 + 砉( r ”b x 垫o t1 ) 笪o t 以c 铂) c t 这里a 是m 上的l a p l a c e 算子，r w ”和r ”分别表示m 的置f c 讲张量和n 的曲率 张量，知， 表示在x m 点处的切空间的正交基 在证明这个性质之前，我们先介绍一下r i c c i 恒等式： 对于给定m 上的任意的两个光滑向量场j ，y ，以及肘上的任意一个( ，j ) 型张量场f 3 ：( 新) ，我们令( 【，一) 是m 上的局部坐标系，则f 在( u ，一) 下的表 达式为： r i 。= f i ：盘砉。p 专圆出“。p 瘢 v r l 。= 兢。言固固昙。出n 圆出 。彬 v ( v r ) 卜= 吒乏刍p 。昙。出 固p 出 。出圆凼7 如果我们令j = 专，y = 嘉，则我们得到： 吒j 奠声略：麓皿= 一窆锨。1 0 1 1 - , ，, 以i t _ i l l 一+ r + 窆孵如r 鼻毫，幽。仉 ( 4 7 ) 我们把( 4 。7 ) 式称为r i c c i 恒等式。详见参考文献 5 p 2 5 3 - p 2 5 7 由第二部分我们知道： d u r ( r m o u t n ) ，v d uf ( t m + o t m p u * t n ) 黄飞调和映射的存在性和热流方程 幽= 喜耋等凼。参。跏= 荟m 蚤nv 只“吲固出固孛叫智舞叙勿。篇篇。勿8 同样地，v v d u = ，乏l 萎v v j v k h a 出。固凼圆出固寺叫 i ， l40l， ，专 专= 喜磷刍( 毒，专) 参= 薹磷旁 由r i c c i 恒等式我们知道： v ，v ；v k u - v j v 。v k u = 童1 = 1 磷等+ ，妻。碳等等等 ” 口，l u 下面我们来证明命题4 2 证明：x c 于给定- - + u ，g ) = 砧g ，f ) 满足方程( 4 4 ) ，我们考虑m ( o ，r ) 上的 切从r ( 肘( o ，r ) ) 。z 上且与自然纤维度量相容的联络v 利用这个联络，我 们将互川( o ，r ) ) 在。，o ) 方向上的协变微分记为v ，即v = v ( 绉o ) ，在 【o ，绉) 方向上的协变微分记为v ，即v ，= v c o ) 令g 0 c y 。) 分别是m 和上的局部坐标系，岛，分别表示m 和上的黎 曼度量g 和h 的分量因为v 与纤维度量相容，由第二部分的知识我们得到： v 。g 扛矗叩0 ，) = ov , g 业 妒0 ，) = o 这里l f ，_ ，k m ；1 口，行 掣观c 圭善磬“) ( 等 ( 矧， = 丕a l 掣n 讹妒，( 笙o x y 人堂o r = g 。“妒j 生i 生i i - l 口t l 扬州大学硕士学位论文 v 础( c 扣) 啪( c o ，辨椰哆c 昙， ) ， 而睇，畴聊卜眦 v ，万a u 7 巩等缸钟 所以我们得到公式( 4 5 ) 左边： 掣= 荟m 丕nf ”。舰f 竖a tv j k 型副1 j = 善( v 。鲁以如) ) c t 另一方面，公式( 4 5 ) 右边： 缸( 坼) 皇g 。v 。v 尸( q ) k j - i 见 4 p 3 7 = 耄g “v 以哼1 毒m 丕n 芦”“ ( 等 ( 等) ) = g “v 。v ，( 二乙g ”“1 告i 告 i p ij j = l 口。，l“八u = 舌mg “v 。c 荟m 互n ，“k g ，一“? ( 等 )t j = if t l 口芦；l聃， 由定理2 1 知： v f v j 扩= v f v 圹 所以 缸“) = k 芝g 材v 。( 至窆g ”“) v 。e 砰f 等1 ) , l = l t , j = l a , f f - i“ ：宝宝g ，g “) v 。v ，e 妒f 第1 + 妻乏ng ，g “扔 罗只矿v k v j u ， “, k j = l u , # - t从 l o k d = l o r - l 又 黄飞调和映射的存在性和热流方程 所以 i 眦| 2 - l m 蚤n j , = lv 只虬唰删。舌叫il pl。yi = ( 善耋v 只坼4 别。圆参喵丕m 荟nv 珥，舻p 副。舌。) = g v g “罗，v ，砰v 。v ，妒 l 。i k j - i a 。8 t 、 嘶扣窆n t如“蚺阳m f 等卜酬2 , j , k j = l a , p - i v ， 又由r i c c i 恒等式知： v v ，u 7 = v , v 。v s 够一喜群等+ 熹。罐等等等 所以 意肛。g u g u 坼) v k v , v , 砰( 等卜蠹。e 窆f l * l 幽m ) v , v k v , a f 1 1( 等l ，j 乒t i d ，卢t l仉f ，j j 扣io 所以 一j , j 艺，j - t 磬旭c 嵋，倭r = l 磷纠i m a , ( 等)口- llj + 。羲a 窆, ，- l 如“( 坼) ( ，嘉，赡等等等) ( 警)u h埔f iv ”“ = 善蕾n ”砭g hva，【百outpt,1ij l 口，l -e“静龇，倭c兰gidmri,j-i r = lk j = t 纠( 等 g ”( 心) ( g 等) l 詈i 口伊ll”j +。羔喜。gogj2j-t“( 虬) ( ，妻磁等等等) ( 等) + “( 虬) i 磁詈斋专i l 罱l 口，肛1，。f 。i。 扬州大学硕士学位论文 酬= 艺扫讹肌e g v , v , “, ( - g ：- t , j - l a , ，= l k d - tk ， 一善a 知, p 1 讹) t 芝r - ic k 扫j - i 船刳kl-l聃jo + 。艺窆如“( q ) ( 未姥等等等 ( 等) + i 讹。2 l , j 上j l a , o = l ， v “v 八id-i e - i # 艺窆机”。嚷 m ) 警_ 】= ；( v 胁如) ) = 掣, j = l a , f l = ll lo 佴， f - l u 而另一方面： 一艺喜g“(诺c善磁蒡，)(等=喜(如(芝ricu(e,ej)ejl,j=l p - ir - i j - i ，砒地心i 口， 【i 问“八“- l ， ，砉。a 窆, 6 1 幽“( 汀k r , 窆t , r i 姥等等等 ( 等 i ”j dw “八”， = 一善轵”( 丸( 吼丸( 勺) ) 幽q ) 幽( q ) ) 所以 训= 掣+ 善( 啦 争咆巳b ) 砒) ) 恤，1 2 一窆 ”协， ) ，出。o ，) 协，( 巳) ，幽，( q ) ) t , j - i 即公式( 4 5 ) 成立 同样地，对于公式( 4 6 ) ，我q n 要令彭是一维欧式空间。则 r i c u = o 。也= 鲁 公式( 4 5 ) 就变成公式( 4 6 ) 口 黄飞调和映射的存在性和热流方程 撞迨垒：墨：我们设“c o ( m 【o ，t k n ) n c 。似( o ，r l ) 是方程( 4 4 ) 的 一个解，我们令虬g ) = “g ，f ) ，则在m ( o r ) 内我们有下列结论成立： ( 1 ) 如果是非正曲率流形，即j 0 0 ，并且如果存在一个常数c 使得 r c ”一c 窖，则 掣& o 。) + 2 q 讲 ( 2 ) 如果是非正曲率流形，则 掣龇o ，) 西 证：( 1 ) 由( 4 5 ) 式，因为k , v 0 ，所以 艺( r ”瓴，( e ，) ，d u ，o ，) 如，( e 幽，( e ，) ) o 1 , j f f i l 又因为r i c ”一c 富，所以 因此 以陲h 小馘 ，l ，一i 孝笋缸。，) + 喜( c 妣( e 。) ，砒g 。) ) 血。，) + 2 “) ( 2 ) 由( 4 6 ) 式我们直接得到结论 口 从推论4 3 我们得到： 金屡垒生我们设“c o ( m o ，r x ) n c ”似x ( o ，丁x ) 是方程( 4 4 ) 的 一个解，我们令= “g ，f ) ，则在肘( o 丁) 内我们有下列结论成立： ( 1 ) e “) 是一个单调非增函数即 扬州大学硕士学位论文丝 丢e g 。) = - 2 k ( u ) 虬 ( 2 ) 如果n 是非正曲率流形，则 事e o ，) = - 2 旦础k o ，) 乩 也就是说e 0 ，) 是一个凸函数，而x 0 ，) 也是一个单调非增函数 引伊。知f ) _ 一l ( 警以牡。= 一l 譬，鲁) 卟之删 所以结论成立 ( 2 ) 由推论4 3 和格林定理，我们得到： 丢足o 。) = 丢l 七o 。五。= 翌掣幽。j f 从o ，协。= 。 口 如果方程( 4 4 ) 有一个解“：膨【o ，o o ) - - n 即结论( i ) 成立，则由性质( 4 4 ) 和e o ，) o 知，当卜o 时，置g ，) 一o 因此，当卜o 时，鲁一o 但是“是方 程( 4 4 ) 式的解所以，当f 一0 时，r 0 ，) 专o 因此，当t _ 时，甜，收敛到 c 4 似，) 所以如果r 0 ，) j f 0 。) ，则r g 。) = o 换句话说甜，一定收敛到调和映射“。 这样结论( ) 就证明完成了 黄飞调和映射的存在性和热流方程 5 局部解的存在性 我们将分两部分来证明结论( i ) 我们首先证明局部解的存在性： 定理5 1 如果“：m 一是一个c 2 可微的映射，且满足f ( “) = 0 ，则“一 定是一个光滑可微的映射 证明：我们取一个关于x 的局部坐标矿和一个关于“( x ) 的局部坐标，使得 “( 矿) c 矿并且 一 和 _ ) ，4 ) 分别表示矿和矿的局部坐标系则，对每个矿都有 8 = y 4o u ，且 r ( “) - o 铮肌一艺豁r 嚣( 甜) 等等(51)id=l 口一l u 这里是膨上的l a p l a c e 算予，r 嚣0 ) 是上的l e v l - c l v s t a 联络 假设“是满足方程( 5 1 ) 的c 2 可微的映射因此，方程右边是一个c 1 可微的 函数特别地，方程右边是一个盯一h i j l d e r 连续的函数( 对于0 o ，霄= ( x ，v ) 卜r ( ) ，v ( ) 1