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浙江大学硕士学位论文 管网素统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 摘要 水力管网系统中非定常流动特性的研究具有重要的理论意义与工程应用价 值。本文基于特征线数学理论，针对水力管网的非定常流动，通过局部阻力与粘 性修正的简化，专门推导了水力管网系统中粘性流体流动瞬态特性基本方程的特 征线方程、特征关系式和数值求解方法，以及求解水力管网系统特征线方程的边 界条件建立。 本文首次创造性设计了水力管网系统瞬变特 生研究的模拟实验装置，包括流 量传感器、压力传感器、快速电磁阀、高速数据采集系统、数据分析处理系统等 并进行了各种瞬态流动特性的实验研究，获得了一系列具有工程应用价值的实验 数据。 结合模拟实验装置的管网流体流动，运用本文推导的特征线方程模型，进行 了流体瞬态特性的大量数值计算，数值模拟的边界条件和初始状态参照实验中的 实际对应工况。 结果表明，本文推导的带修正的拟特征线数值计算方法的结果与我们的实验 数据基本吻合，本文的计算方法可以应用到水力管网系统中非定常流动特性的工 程分析与设计研究。 关键词：水力管网系统，流体网络理论，瞬态特性，数值计算，实验研究 苎鬯苎登婴堕兰笙堕翌王一 笪鬯墨竺垦垄塑堕量壁查堑堡塑墼堕生簦皇窭墼堑塞 a b s t r a c t t h e r ei sag r e a ts i g n i f i c a n c eo ft h e o r ya n dv a l u a b l ea p p l i c a t i o no fe n g i n e e r i n ga b o u tt h e r e s e a r c ho fu n s t e a d yf l o wc h a r a c t e ri nt h es y s t e mo fh y d r o d y n a m i cp i p i n gn e t w o r k t h i sp a p e r b a s e so nt h et h e o r yo f t y p i c a ll i n ea b o u tm a t h e m a t i c s ，a i m i n ga tt h eu n s t e a d yf l o wi nt h es y s t e mo f h y d r o d y n a m i cp i p i n gn e t w o r k t h r o u g ht h ep r e d i g e s t i o no f p a r tr e s i s t a n c ea n ds t i c k ym o d i f i c a t i o n ， i nt h i sp a p e r , t h ee q u a t i o no ft y p i c a ll i n e ，t h er e l a t i o n a le x p r e s s i o na b o u tt y p i c a l l i n e ，m a dt h e m e t h o do fs o l v i n ga b o u tn u m e r i c a lv a l u eo ff l o w i n gt r a n s i e n tc h a r a c t e r i s t i cw e r ed e d u c e di nt h e s y s t e mo f h y d r o d y n a m i cp i p i n gn e t w o r k i nt h i sp a p e r , t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa l s ow e r eb u i l tf o r s o l v i n gt h ee q u a t i o no f t y p i c a ll i n ei nt h es y s t e mo f h y d r o d y n a m i cp i p i n gn e t w o r k t h ee q u i p m e n to f e x p e r i m e n tf o rt h er e s e a r c ha b o u tc h a r a c t e ro f t r a n s i e n ts t a t ei nt h es y s t e m o fh y d r o d y n a m i cp i p i n gn e t w o r kw a sc r e a t i v e l yd e v i s e di nt h ef i r s tt i m e ，i n c l u d i n gf l o ws e n s o r s ， p r e s s u r et r a n s d u c e r s ，s o l e n o i dv a l v e ，t h es y s t e mo fh i g h - s p e e dd a t ac o l l e c t i o na n dt h es y s t e mo f d a t a sa n a l y s i sa n dd i s p o s a le t c f r o mt h ee x p e r i m e n t a lr e s e a r c ha b o u ta ! lk i n d so ft r a n s i e n tf l o w c h a r a c t e r i s t i c ，as e r i e so f e x p e r i m e n t a ld a t a , w h i c he a r lb eu s e di np r o j e c t ，w a sa c h i e v e d r e l a t i n gt h el i q u i df l o wi nt h ep i p i n gn e t w o r ko fa r t i f i c i a le x p e r i m e n t a ld e v i c e ，t h em o d e lo f t y p i c a ll i n ee q u a t i o n s ，w h i c hw a sd e d u c e di nt h i sp a p e r , w e r eu s e di nt h ec a l c u l a t i n go f n u m e r i c a l v a l u ea b o u tf l o wu a n s i e n tc h a r a c t e r i s t i c t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n di n i t i a ls t a t ei nt h e n u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e f e rt ot h ea c t u a lc o r r e s p o n d i n go p e r a t i n gm o d e ， i nt h i sp a p e r , t h ea n a l y s i si n d i c a t e dt h er e s u l ta b o u tm o d i f l c a t i v ea p p r o x i m a t ec a l c u l a t i n g m e t h o do ft y p i c a ll i n e ，d o v e t a i l i n gi n t ot h ee x p e r i m e n t a ld a t a t h ec a l c u l a t i o nm e t h o d ，i nt h i s p a p e r , c a na p p l ye n g i n e e r i n ga n a l y s i sa n dd e s i g ns t u d yo fu n s t e a d yf l o wi nt h es y s t e mo f h y d r o d y n a m i cp i p i n gn e t w o r k k e yw o r d s ：t h es y s t e mo fh y d r o d y n a m i cp i p i n gn e t w o r k ，f l u i dn e t w o r kt h e o r y , t r a n s i e n t c h a r a c t e r i s t i c ，n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，e x p e r i m e n t a ls t u d y 2 浙江大学硕士学位论文 管网系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 第一章绪论 1 1 概述 管内流体传输与瞬变的研究工作最早是从研究波在管路中的传播开始的。 1 8 0 8 年英国物理学家托马斯杨“从研究血液流动出发，提出了充满理想流体的 弹性管内波传播速度的公式。1 8 7 8 年，莫恩丝“3 对波的传播速度进行了实验，证 实了托马斯杨所提出的波速公式。1 9 0 3 年阿里维“1 开始应用图解分析方法去研 究水击现象。1 9 5 0 年伊伯勒”1 利用水击理论和不可压缩流体力学等方面的研究成 果，得出了管路中包含粘性摩擦和热传导两个因素下流体管路第一个完整的计算 模型，它表示成特性阻抗和传播常数的动态关系式。1 9 5 7 年由鲁尔曼和格罗根”1 对伊伯勒所提出模型的解直接和电气网络传输的结果相比拟，由于采用线性化的 分析方法，压力被模拟为电压，体积流量被模拟成电流，并引入相应于电阻、电 感和电容的等值流体参数。1 9 7 2 年古得逊和伦纳得“1 总结了圆形管路流体模型的 研究工作，并将它们归纳为无损管路模型，平均摩擦管路模型和分布摩擦管路模 型三种形式。1 9 7 4 年夏伊特尔“5 1 发表了“射流网络信号分析”一文，他在线性 化和电学比拟的条件下，完全从电气网络的观点和方法去研究流体传输和瞬变的 问题，他把不同的流体系统归纳为类似于电气网络中的直流回路，交流回路，传 输线等问题来研究。从而初步形成了流体网络理论这样一个新的学科分支。 国内流体传输和瞬变的最新研究工作主要由复旦大学柳兆荣等人“1 所做。 他们比较详细研究了压力阶跃在理想流体管路中的瞬态特性，推导出当管路两端 阻抗为已知的情况下，管路中任一点的压力和流量的瞬态解析表示式，并成功应 用于人体动脉管系脉搏波传播的瞬态特性计算中。 目前文献查找尚未发现利用流体网络理论研究空调水力管网系统的瞬态粘 性流动。 1 2 论文背景及研究意义 一些工业发达国家由于大量使用空调系统，以致所耗能量约占总耗能量的1 3 ( 如美、日等国) ，有的甚至达到总能耗的4 5 ( 如瑞典) 。在我国民用建筑中， 暖通空调系统耗能占建筑总耗能的6 5 左右。由于能源危机和大量燃料燃烧过程 堑垩奎兰曼主兰堡丝苎 笪璺至竺垦苎! 篓鎏苎壁查董壁塑墼堡笪簦墨兰垦塑壅 排放物对大气的污染，在空调方面如何节约能源、减少污染日益引起世界各国的 重视。 空调系统的能源有效利用基本上有三条途径：一是回收热能；二是利用一些 不会引起大气污染的自然高效能源：三是提高设备和系统的效能，采用最优化的 运行规律和智能控制系统，使空调系统经济合理地利用能源。面对目前提倡的 “开源节流”问题，在没有开发出新的能源的前提下，以提高设备和系统的效能、 采用系统最优化运行的方法为主流。 空调水力管网系统中非定常流动特性的研究具有十分重要的理论意义与工 程应用价值。通过网络流体粘性流动瞬态特性的研究，为研究新的流体智能流动 及实时控制算法提供预测模型的数学基础，以利于空调管网系统的节能降噪，经 济效益十分明显。 按一幢2 0 0 0 0 m 2 大楼预测，约需空调负荷4 m w ，按最理想能效运行，需电负 荷1 m w ，运行能耗每下降1 ，则用电负荷节约i o k w 。 通过空调水力管网系统中菲定常流动特性的研究，可以对大空调管网系统的 负荷进行实时预测并始终处于高效率运行，不必要对大空调系统过于提前开机 ( 例如；在满足舒适性和环境要求的前提下，如果每天晚半小时开机、每天维持 运行十个小时的商业楼宇，还可以再节约能耗5 ) 。且水力系统始终能处于高低 噪声的运行状态。 水力管网系统中瞬态流动特性的研究，还可以发现传统空调管网设计时利用 定常流动模型预测瞬态流动的不合理性，完善设计规范；空调水力管网模型的数 值计算与实验研究成果可以推广到任何不可压缩粘性流体在管网中的非定常流 动，如城市水力管网。 1 3 本文的研究内容 本文基于特征线数学理论，针对水力管网系统中的非定常流动，通过局部阻 力与粘性修正的简化，专门推导了水力管网系统中粘性流体流动瞬态特性基本方 程的特征线方程、特征关系式和数值求解方法，以及求解水力管网系统特征线方 程的边界条件进行了专门的建立。 本论文专门设计了水力管网系统瞬变特性研究的模拟实验装置，包括流量传 感器、压力传感器、快速电磁阀、水力管网、高速数据采集系统、数据分析处理 6 兰塑星苎塑生蔓型童堕壅 笪塑墨竺! 里垄塑亟墨壁查量丝竺墼篁茎苎量壅竺竺茎 系统等，并进行了各种瞬态流动特性的实验研究，获得了一系列具有工程应用价 值的实验数据。 结合模拟实验装置的管网流体流动，运用本文推导的特征线方程模型，进行 了流体瞬态特性的大量数值计算，数值模拟的边界条件和初始状态参照实验中的 实际对应工况。 1 4 本文的特色与创新之处 本文的特色在于将理论分析、数值模拟、实验研究等三方面的工作进行有机 结合，研究成果具有十分重要的理论意义与工程应用价。通过局部阻力项与粘性 修正项的简化，为复杂水力管网系统中非定常流动特性的数值模拟提供了一套工 程设计计算的预测模型。 结果表明，本文推导的带修正的拟特征线数值计算方法的结果与我们的实验 数据基本吻合，本文的计算方法可以应用到水力管网系统中非定常流动特性的工 程分析与设计研究。 本论文的创新之处： ( 1 ) 本文通过对管网中弯头的局部压力损失进行了工程近似的简化处理，专门 推导了水力管网系统中粘性流体流动瞬态特性基本方程的拟特征线简化方程、特 征关系式和数值求解的计算方法。 ( 2 ) 首次专门创新设计了水力管网系统瞬变特性研究的模拟实验装置，包括流 量传感器、压力传感器、水力管网、快速电磁阀模拟扰动系统、高速数据采集系 统、数据分析处理系统等，并进行了各种瞬态流动特性的实验研究，获得了一系 列具有工程应用价值的实验数据。 ( 3 ) 首次采用简化的拟特征线方程计算模型，对水力管网系统的模拟实验装置 的瞬态流动特性进行了大量的数值计算，数值模拟的边界条件和初始状态参照实 验中的实际对应工况。 ( 4 ) 本论文的数值计算模型可以直接应用到中央空调系统水力管网瞬态流动的 工程预测分析。 7 浙江大学碗+ 学位论文 管网系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 第二章流体网络的理论分析 2 1 流体网络简介 2 1 1 流体网络的研究对象及工程应用 流体网络理论是由研究管内流体传输与瞬变而发展起来的一门应用科学。它 可以用来分析发生在工业动力装置，控制测量装置和生物医学工程等各种流体管 路系统中功率和信息的传输过程，以及由于扰动引起的各种流体瞬变现象。它主 要涉及两个学科的内容，一是流体力学，二是电气网络和传输线理论。由于流体 ( 气体和液体) 是自然界中最基本和最常见的一种介质，各种利用流体作为动力 或用流体作为控制和测量手段的流体装置在各个生产领域中是常见的。在这些流 体系统中，各个元件之间的功率和信息都是通过管路来传递的。因而管内流体传 输与瞬变的问题在许多生产领域中经常发生，如流控技术和气动液压技术中的动 态过程分析；水电站设计和运行中的水击现象研究：天然气、石油和工业压缩机 管路中的压力波动和压力谐振以及他们的消除措施；柴油机迸排气管系的脉动分 析和利用等等。研究这些与各种实际问题有关的管内流体传输与瞬变问题，对于 正确设计和合理使用一个流体动力和流体控制系统显然是十分重要的。 2 1 - 2 流体网络的特点 流体网络理论是由研究管内流体传输与瞬变而发展起来的- - h 应用科学，流 体的传输和状态的变化都发生在特定形状和尺寸的元件与管路中，形成管路内部 的复杂流动。它具有如下一些特点： ( 1 ) 流体管路的轴向长度远大于横向长度，其轴向流动速度远大于其横向流动 速度。因而认为所有流动参数( 速度，压力等) 是沿管路横截面求平均值的a ( 2 ) 流体的流动参数( 压力、速度或流量) 不仅随位置变化而变化，而且还与 时间有关。这时的流动参数是轴向参数x 与时间t 的函数，称为一元不定常数流 动。 ( 3 ) 流源压力( 或扰动压力) 的波形可以是正弦波，矩形波，也可以是按一定 函数规律变化的规则或不规则波形。 ( 4 ) 流体传输与瞬变不仅在简单的单管路中进行，在许多情况下往往是在以网 络形式出现的管系中进行的。这个管系既包括有许多分布参数的主管路和分叉管 浙江大学硕士学位论文 管网系统中搓力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 路，又包含有许多集中参数的流体元件。 2 1 3 流体网络的研究方法 除了以上特点外，管内流动还受许多因素如流体惯性、粘性、压缩性等的影 响而变得十分复杂。即使对于最简单的单管路传输问题，其流体力学运动方程已 是非线性的，求解已十分困难。对于常见的带有若干分叉管路和不同流体部件的 流体管系，因其内部流动现象的许多机理还不十分清楚，要完整地建立起描述其 运动过程的流体力学方程式更是不易。在实际工程中，我们比较关心的只是管系 中各个管路连接点处的压力和流量的瞬态特性，这就使我们可以把一个流体管系 考虑为一个流体网络，从而避开了单纯从流体力学方法去解决时所遇到的一些困 难。由于在电气网络中已经有了比较成熟的理论和一套系统的分析计算方法，而 且从流体力学基本方程出发所导出的流体传输方程和等效线路与电气网络中相 应的传输方程和等效电路，在形式上是完全类同的。所以我们可以利用电气网络 理论中的许多概念和方法去解决流体网络中的传输和瞬变问题。 2 2 流体网络的基本参数n “1 2 2 1 简介 为了能够利用电气网络理论去研究流体网络问题，我们就要在这两种网络之 间建立模拟关系，使一些基本参数互相对应。通常在流体网络中我们把流阻、流 容、流感来比拟电学中的电阻、电容和电感，而把压力、流量分别比拟电学中的 电压和电流。从而建立起流体网络的一套分析方法。以下我们具体介绍流体网络 中基本参数的定义方法： ( 1 ) 流量 在电学中电流就是电子流的强度，它用单位时间内流过某截面的电荷量来衡 量，并用i 来表示。而在流体力学中，流体流动的强度用流量来衡量，并用q 来 表示。但流量通常有三种表示方式，我们通常用的是质量流量q k 。 ( 2 ) 压力 同样的，我们通常用压力( 或压力差) 比拟电压。表示为p 或p 。 ( 3 ) 流阻 和定义电阻相类似，把定常流动状态下某流体部件的流阻定义为该流体部件 两端的压力差p 与通过它的流量q 之比，即 9 浙江大学硕士学位论文管网系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 五：些 q 我们在后面的计算中采用质量流量锄作为流量，这时 2 筹 在层流型的圆形管道或矩形管道中，p 与q 成线性关系，此时确定的流阻称为 线性流阻。假设流体是不可压缩的，这时，可得层流型圆管线性流阻表达式为： 。；1 2 矛8 t i l ( 圆形管路) ( 4 ) 流容 流体是有压缩性的，而气体的压缩性表现的较为明显，而对于液体来说要在 较大的压力变下才能表现出来。液体流容可以定义为体积变化与引起它变化的压 力变化之比，即 q = 一万d v = 丢 其中k 是液体和容器壁的组合体积弹性模量。对于液体管路，体积弹性模量和小 扰动波的传播速度间的关系为口= 詈。因而液体管路的流容可以表示成 q = 等 ( 5 ) 流感 在任何发生高速瞬态流动的流体网络中，由于流体惯性使流体质量加速或减 速而引起压力变化。我们把流感定义为管段两端引起的压力变化与流量变化率之 比，即 k = 茜 西 它是代表流体惯性的一个物理量，它在数值上等于流量变化一单位时引起的压力 变化量。流感的计算公式为： ，l 2 一a l o 塑坚查堂堡主堂垡堡苎 笪空墨竺主垦垄塑鎏墨堕查堕丝塑墼堕盐簦皇窒堕堑塞 式中，为管路长度，是截面积为a 的单位长度管路的流感。 以 2 3 流体管路模型理论 2 3 1 介绍 反映流体管路动态特性的基本方程，称为流体管路基本传输方程“”1 ，可 以写成：_ a p = - - q ( x ) z 和挈：一尸( x ) y 。它对于理想流体与粘性流体两种情况都 c 是适用的。这个基本传输方程完全可以被两个复变量函数即传播常数r 和特性阻 抗z 所描述。而两个函数又都取决于流体管路单位长度的串联阻抗z 和并联导 纳y 。对于流体管路来说，这两个参数都是未知的，它不仅取决于流体的性质， 而且取决于流动的类型、流体的信号水平、管路形状和热传导等因数。因而分布 参数理论用到流体管路来时，首先应从流体力学的基本方程如运动方程、连续方 程和能量方程等出发，找到不同流动条件下流体管路的串联阻抗和并联导纳，建 立起能反映实际流体在管路中流动的流体管路数学模型。有了这个流体管路数学 模型，才有可能将一个复杂的管内流体力学的问题，化成一个分布参数网络问题 来处理。由于管路模型所建立起的管路传输方程和电传输方程是完全一致的，只 要能求出管路模型参数，就可以利用比较成熟的电网络传输线理论去研究流体管 路的传输和瞬变问鼹。 2 3 2 圆形管路流体流动的基本假设和流体力学基本方程m “”3 为了推导流体管路模型及其参数，首先必须将流体力学的基本方程置于流体 传输方程中。将传输方程中的的串联阻抗和并联导纳表示成流体力学参数的形 式。这就要求以下六个基本假设： ( 1 ) 流体是层流流动。在圆形管路中的雷诺数应小于2 0 0 0 。 ( 2 ) 流体轴向对称，没有切向速度分量。 ( 3 ) 流体流动为小幅度信号( 小扰动) ，其马赫数很低，忽略直流的影响，即认 定流体本身流速远小于波的传播速度。和平均速度相比，密度变化很小，信号为 声学型的。 ( 4 ) 对于气体来说，由于流体的可压缩性，其牯性力比较小。其严格的假设为 旦芸1 ( 为圆频率，v 为流体动粘度，口为声速) 。由于这个假设，就从动量方 d 。 程和能量方程中消除了速度和温度的轴向梯度。 1 1 旦鬯型苎堑生兰兰竺塑 笪塑墨竺主堡垄塑些里竖查塑丝塑墼望盐竺皇塞堕堕塞 ( 5 ) 管路半径小于流体流动的波长，通常表示为旦墅1 ( 为圆形管路半径) 。 这个假设表明在管路横截面上压力是均匀的，因而径向速度为零。 ( 6 ) 相对管直径来说，管路必须充分长，使管路端点的影响可以忽略不计。 在上述假设下，流体力学基本方程即被线性化，使问题大大简化。这时： 连续方程： 詈+ p 罢_ o ( 2 _ 1 ) 动量方程： 昙专罢+ v 阻l r 旦a ，f k r 等 ( 2 - - 2 ) 西d 敏毋j i 能量方程： 詈= 詈+ 臣b 昙( r 詈 ( 2 - - 3 )百2 亩“j7 石r 石ji 状态方程： p = 邡g r ( 气体) 咖= 几害( 液体) _ 4 以上各式中，“为轴向速度；r 为时间；y 为运动粘性系数；p 为密度；p 为静 态压力；r 为半径；c ，为定压比热；t 为绝对温度：足为流体导热系数；几为 液体容积模量：r ；为气体常数。 从以上这些流体力学基本方程中，可以导出流体管路模型及其参数。 2 3 3 平均摩擦管路模型( 均匀绝热) “，”圳 假设流体为均匀祜性流动( y 0 ) ，流体与管道之间无热传导作用。即管壁 假设为绝热的，管内流体与外界无热交换。因而压力与温度( 以及密度) 沿管路 横截面是均匀分布的，即_ = a - t ：o 。此时基本方程的动量方程( 2 2 ) 为： 謇p 詈+ 等昙( ，警) o = 巾) c z s ， 教。国r 务毋， ” 对动量方程沿径向求积分 浙江大学硕士学位论文 管网系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 其中 r 罢z 砌= 一rp 詈z 砌+ r 等昙( r 詈 z 砌( 2 - - 6 ) i 0a p 2 胛d r ：尘 ”斑a x r 孝：砌= p 害 r 等昙( ，期2 刀打= 2 掣f o 昙( r 刳毋= ：掣( ，割i ：= z 碱陪) 。 为了计算在流体管路管壁处( ，：r o ) 的速度梯度罢，我们假设流体流动是 充分发展的哈根一泊肖流动，其速度删s 吨1 _ ( 捌，其中为平 均速度。由此可得管壁的梯度为： f 砒1 一 ( 2 7 ) _ - z - - 4 v m l 咖 r o 将上式带入( 2 - 6 ) 式中，可得： 彳c 缸q p 一百c 8 q + 2 碱c _ 等j p 鲁一等g 整理后可得： 望：一旦一a q 一8 z a 口 ( 2 8 ) 上式是平均摩擦模型的串联阻抗方程。由于在本模型中仍然没有考虑热传导过 程，因而并联导纳和无损管路模型印具有同一的形式，对它们取拉氏变换得到： o缸p=_f。8ztzz+ps)q-zqa a 。：吲 缸l 2 厂、 罢= 一( 粤p aj 1 p = 一阡 缸l 。 这时，平均摩擦模型的串联阻抗和并联导纳分别为： 浙江大学硕士学位论文 堂型堡竺! 些塑翌塑墨鳖堕垡堕鍪堕生墨皇茎壁竺塞 z ：苎兰堡+ f 旦1 。一足+ l s ，、t a j ( 拉氏域)( 2 1 0 ) l ，：f 二 ，：o ”“7 ；：麓越c 删( 2 - - 1 1 ， 或 这样，平均摩擦模型不同于无损管路模型习的只是串联阻抗的流阻部分。在无损 管路模型中丑= 。而在平均摩擦模型中r = 等，它相当于单位长度圆管层流流 阻。根据圆形管路流阻公式可知，r = 1 万2 j d 8 4 x = 8 4 r q ：x 。对于三、g 、c 等管路参数， 两种模型都持有完全相同的形式。显然，它们都与信号频率大小无关。这时，传 播常数与特性阻抗分别为： r = 厨= 厕硐= s 瓜雁 z c - 辱= 爵= 延氍 在频域中传播常数定义为f = 口+ j p ，其中 衰减常数 相位常数 a = 肝i 鹂 口= f 旦a j l v 田2 。雨丽2 波的传播速度 c 。2 万0 3 2 ( 2 一1 2 ) ( 2 一1 3 ) ( 2 一1 4 ) ( 2 1 5 ) 当r ：0 时，上述结果即可化成无损管路模型所对应的管路参数。 2 4 流体网络瞬变理论 在许多流体网络以及各种液压气动管系中，由于正常操作或其他事故，致使 流体元件发生切换或管路中阀门发生开闭，这时网络中的流体将从一种定常流动 状态变化到另一种定常流动状态。在流体发生瞬变的过渡过程中，流体流动是不 定常的。研究流体网络这种瞬变过渡过程，对各种流体管网系统的正确设计和调 整，以及保证流体系统正常工作和事故处理，都是十分重要的。研究这种不定常 1 4 浙江大学硕士学位论文 管嘲系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 管内流动时，一般仍然是根据分布参数管路的基本传输方程进行的。这个基本传 输方程和由流体力学基本方程所导出的流体管路模型有完全相同的形式。但在研 究流体网络瞬变问题时，直接应用上述传输方程及其传输矩阵形式的解时会遇到 如下困难： ( 1 ) 输矩阵中包含有许多双曲函数项，实际使用时十分不方便。 ( 2 ) 传输矩阵是在拉氏域中导出的，实际应用时还要经过拉氏反变换，变回时 间域的使用形式，而这种反变换一般都要经过复杂的运算。 ( 3 ) 以网络形式出现的复杂流体系统，往往包含有主管路，分支管路和若干集 中参数的流体元件，直接应用传输矩阵去计算复杂流体系统的瞬变问题要涉及一 系列矩阵相乘的数学问题，这将是十分麻烦和复杂的。 ( 4 ) 对于同时考虑流体粘性和管壁热传导的分布摩擦管路模型，由于管路模型 参数如特性阻抗互( j ) 和传播常数r ( s ) 都是随频率而变化的，要直接对每个元素 中包含这些变数的传输矩阵进行反变换或其它运算，将比无损管路模型和平均摩 擦管路模型困难的多。 对于上述这些困难，只有根据实际情况采取不同的简化和处理方法，使问题 得到不同程度的解决。由于流体网络瞬变问题的求解，实质上就是对管路基本传 输方程进行拉氏反变换的问题。对于简单的管路可以采用无损和平均摩擦两种管 路模型来进行计算。在两种模型下，我们可以用驻波法和行波法去解管路的基本 传输方程 5 1 。而至于复杂管路的瞬变问题，我们将主要采用特征线法去解决。 2 5 特征线理论简介及其数学原理哺1 2 5 1 简介 特征线法是研究流体系统瞬态特性的重要和有效方法。这个方法的实质是基 于描述流体管路瞬态特性的基本方程，具有满足一阶双曲型拟线性偏微分方程这 样一个特有的性质，若通过引进特征方向就可将偏微分方程归结为常微分方程的 求解方法。这样就把含有两个变量的拟线性双曲型偏微分方程，化为求解x ，t 平面上的两簇特征方向以及沿此特征方向成立的特征关系式的问题。 2 5 2 一个变量的一阶拟线性偏微分方程 研究如下所示的一个变量的一阶拟线性偏微分方程： 浙江大学硕士学位论文 管网系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 枷柚害舶( 蝴) 尝剐( 咖) ( 2 _ 1 6 ) 在此偏微分方程中，自变量是x 与t ，因变量是u 。而方程中的系数a ，b ，c 如仅与自变量x ，t 有关，则称为线性的，如还与因变量u 有关，则称为拟线性 的。如果我们能在x ，t 平面上找到一个方向，使得上述方程( 2 1 6 ) 仅包含沿 这个方向的导数，也就是说沿着这个方向使( 2 1 6 ) 式变为常微分方程，问题 就容易解决得多了。为此，我们将( 2 1 6 ) 写为： 丝+ 皇丝：旦( 2 1 7 ) 8 ta 苏口 若引进方向 皇兰：皇( 2- 18) d t 口 则方程( 2 1 7 ) 可写成： 塑+ 丝生：三( 2 1 9 ) 8 t0 xd t a 由于函数u 在此方向上的全微分为： 戥 将( 2 1 9 ) 代入，得： 咖：塑出+ 坐出 缸出 生：丝+ 塑查 d f越敏d t c l u ：三( 2 - - 2 0 ) d t口 这就是说，对于偏微分方程( 2 1 6 ) ，若引进方向( 2 1 8 ) 时，方程( 2 - - 1 6 ) 沿着( 2 - - 1 8 ) 方向将变为常微分方程( 2 - - 2 0 ) 。对于这个常微分方程可以直接 对它积分求解，从而解出u 沿着这个方向所决定的曲线上的变化情况。若要求的 方向为r ，则函数u 在此方向上的全微分为： d u ：a _ a u 出+ o u d t 觑 拼 为了判别在所求方向上函数及其偏导数所具有的特征，需要将此方程和方程( 2 1 6 ) 联立，即 塑出+ 丝出：幽 西巩 口丝+ 6 塑：。 aa x 1 6 塑兰查兰堕主兰堡丝毫= 笪旦墨竺燮塑堕墨竖查鲎壁堕塑笪盐竺皇壅堕堑窒 由于沿着r 方向罢与娑不能唯一确定，则上述联立方程的系数行列式为零，即 出 o t = 匕小础瑚= 。i 西凼卜础。6 拈。 故_ d x ：一b 这与方程( 2 1 8 ) 完全一致，称为特征方向，由此方向定出的雎线称为特征曲 线。在特征方向f 上，函数u 是唯一确定的，罢与罢是存在的，则 讲僦 1 三别二扣 即a d u 一础= 0 前坐：三 或 一d t2 i 这与方程( 2 - - 2 0 ) 式也完全一致，它是沿着特征线方向f 上应满足的关系式， 通常称为特征关系式。这种引进特征方向，将偏微分方程归结为常微分方程的求 解方法，称为特征线法。 2 5 3 两个变量的一阶拟线性偏微分方程组 若将上述概念推广到更为一般的情况，研究如下两个变量的一阶拟线性偏微 分方程组： q ，鲁+ q ：鲁峨鲁地豢= q 鲁+ 鲁+ 6 2 l 鲁+ 等鸡( 2 - - 2 1 ， 其中，q ( f ，j = l ，2 ) 都是x ，f ，地和“2 的函数。 采用和前面相同的处理方法，设r 。和f ：为所求的特征方向，则m 和屹沿这两 方向的全微分为： 砒：塑d t + 盟幽 1 o t ox(2-22) d u ，：盟函+ 塑出 拼融 由方程组( 2 2 2 ) 与( 2 2 1 ) 联立，得 1 7 浙江大学硕士学位论文 管网系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 q - 警鲁+ 6 l l 卺+ 6 1 2 警邓。q - 言+ q z i + 岛t 蔷+ 6 l z 素邓- 警+ 啦2 豢+ 6 2 ，祟+ 6 2 ：豢：c 2 ：2 1 云坞2 云+ 6 2 1 云+ 6 2 2 云一( 2 2 3 ) 旦生衍+ 旦堡出：幽 o to x 1 堕出+ 塑出：幽， o t缸 由于沿着特征方向r 。和r ：，偏导数o _ u i ，誓，o i u l 和等不能唯一确定，则这些偏 o t 讲础 盘 导数的系数行列式应为零，即 6 1 1 6 2 1 出 0 6 l ： 6 2 2 0 出 ( 2 2 4 ) 若将第一列乘出减去第三列乘d t 作为新的一列，再将第二歹u 乘出减去第四 列乘研作为新的第二列，则得 = l a l 。l d 出x 一- b 。l ：l 。d t a 2d t ( q 2 2 2 出d x ：6 b 2 荔d t l = 。 l 出一6 2 l一2 令特征方向场为： 掣= 九( x ，f ，“：) 则 = i d a ：l 。l 1 - 一b 呸n 。乏i ：乏l = 。 展开后，得 彳a 2 一曰丑+ c = 0 其中一= l ：乏i ，占= i 芝：a m ：i + l 吒b n 。口b n ：i ，c = i 乏：岛b 1 2 ：1 。 对于方程( 2 - - 2 5 ) ，显然可知： ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 当b 2 4 a c o 时，五有两实根，即存在两个特征方向，方程( 2 2 1 ) 为双 曲型的。 这就是说，对于一阶拟线性双曲型偏微分方程组( 2 - - 2 1 ) ，将存在两簇特征 方向： 面d x = 4 ( x ，“l ，“2 ) ( 卢l ，2 ) ( 2 2 7 ) 由于沿着特征方向，函数坼与“：可唯一确定，即与“：的偏导数实存在的， 因而有： a l = 2 = a ，= 4 = 0 其中，( r = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是由方程组( 2 - - 2 3 ) 右端自由项代替系数行列式中的第 r 列后所得的行列式。由于= 0 ，则这四个行列式是等价的。下面考虑 3 = o 若第一列乘幽。减去第二列乘幽2 加到第三列乘斫作为新的第一列，再以第二列 乘出减去第四列乘出作为新的第二列，得到： 妒陉麓：茏毖矧 展开后，得到第i 簇特征线上的特征关系式为： ( 五彳+ d ) 砒+ 砌2 + 肋+ 鼢：( 2 - - 2 8 ) 1 9 0 出 n 如挑胁 o 办吼西o 浙江大学硕士学位论文管网系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 其中 ( 2 2 9 ) 这样，就将求解含有两个变量的拟线性双曲型偏微分方程问题，归结为求( z ，f ) 平面上 的两簇特征方向冬= 五( f = l ，2 ) ，以及沿此特征方向成立的特征关系式 a t ( 丑4 + d ) d u l + e d u 2 + f d t + g d r = 0 ( f = l ，2 ) 的问题。 吼纠引 h k k k k k h 阮k k l l = = l l = a d e f g 浙江大学硕士学位论文 管网系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 第三章流体管网瞬变特性的数值模拟 3 1 流体管路特征方程和特征关系式及其数值求解方法 3 1 1 流体管路特征方程和特征关系式 由于在一般水力管网瞬变特性的研究中最常用到的是平均摩擦管路模型，因 此在以下章节的管网数值模拟研究都是基于平均摩擦的管路模型进行的。由上一 章中的“流体管路模型理论”和“流体网络瞬变理论”可知，描述流体管路瞬态 特性的基本方程可写成： 罢+ z ( s ) q ：0 挈+ y ( j ) 尸：0 在平均摩擦模型情况下，由于这时管路参数恒定，不随频率而变化。在时域中， 上述方程可以表示为： 卺枷g “詈_ o甜 研 鱼+ g 口+ c 堡：0 既 出 在这组偏微分方程中，自变量是x 和t ，因变量是p 和g ，将它们写成( 2 2 1 ) 方程组的形式； 旦里+ ! 望 ：一r ( 3 1 ) go tq 缸 c 印 p a t + 上塑：一g p 斑 这是一组含有两个变量的一阶拟线性双曲线偏微分方程，可以按上章所介绍的数 学原理求其特征方程和特征关系。首先，由公式( 2 - - 2 7 ) 可知，特征方向满足 的特征方程为： 冬= m g ) ( f - 1 ，2 ) “l 其中， 满足方程( 2 - - 2 5 ) 式爿彳一口五十c = 0 。 2 l 浙江大学硕士学位论文管网系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 比较( 3 1 ) 式和( 2 - - 2 1 ) 式可得： 。：0 ，口1 2 ：三，6 ，：三，6 。：0 ，c 。：一r gg 口：。= 暑，c 2 2 = 0 j b 21 = o j 6 n = 三，c 2 = - g pp 将这些带入( 2 - - 2 6 ) 式中，的： 1 1 c 啦蹴 l c p g |i+ 特征方程为4 髫一b + c = 0 ，代入系数4 ，b ，c 得 旦j 由此解得 一丝刀+ 上：0 p qp q 驾= 去 = 丽1 ：i=o ( 3 2 ) 因而，求得基本方程( 3 - - i ) 的两个特征方向分别为： ，生：1 _ ( 3 - - 3 ) r l ： i 2 丽 d x1 d t 4 t c ( 3 4 ) = l g 0 o c p = 姑 控 口 口 l ， 口 甜 = 4 o o = 岛吒 + 2 2q 也 q 如 = 口 上胛 = o ，一p 浙江大学硕士学位论文 管网系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 接着再求沿特征方向f i5 f 1 1 f 2 上满足的特征关系式，由( 2 2 9 ) 可知： e = 隆 f = 睦 城 q l 三 0 p q ? l ：一旦 p i p 只ig m 一 一g l g 将这些系数代入特征关系式( 2 - 2 8 ) 甲，得： 丑( 一筹卜( 一珈+ 西+ ( 一等) 当进一步将特征方程( 3 - 2 ) 代入上式后，得： 一( 剖酱咖一- 寺q a q 万r 西一等 或厕+ 三由+ r q d t + l g p & = 0 可化成 印+ j 昙由+ 了等g 西+ j 言黜= 。 或咖+ z 。由r q d x + 忍印出= 0 最后可得咖z 。由+ ( r q 土乙6 p 协= 0 ( 3 5 ) | 天| 而，流体管路瞬态特性基本方程的特征方程和特征关系式分别为； 丝朋 一 0 = 一一 一g o o c o c p o 一p | | = 2 2 1 2 险 = = d d m 匕旧卜r l l = 叱吲叫 = g 浙江大学硕士学位论文 管网系统中压力和流量瞬态特性的数值计算与实验研究 r r 2 出1 d t l 4 z - 6( 3 6 ) 咖+ z 。由+ 伍g + z 。印协= 0 鱼：一l d t 瓜 咖一z 。由+ ( r q z c q p k 酤= 0 ( 3 7 ) 由上面两式可以看到，如已知 ，f ) 点的解p ( x ，) 和q ( x ，f ) ，则( 3 - 6 ) 和( 3 7 ) 两式中的第一式就变成了两个不同的一阶常微分方程，由他们可以得 到在x ，f 平面上的两条特征曲线，它们分别为r l 和r 2 。由上一章特征线图解法 所提到的概念，r l 滢= 击) 和啦= 一去 分别是“前行”和“后伊的 特征曲线。而( 3 6 ) 和( 3 7 ) 两式中的第二式是只包含两个因变量( p ，g ) ， 即两个未知函数对x 的导数，也是常微分方程。显然，这两个常微分方程只对所 给的特征线( 或特征方向) 才成立的。可见，特征线法只是将偏微分方程组( 3 - 1 ) 的求解问题归结为求解( 3 6 ) ( 3 - 7 ) 两组常微分方程的问题，下面将讨论它们 的数值求解方法。 为了对上述特征方程和特征关系式进行数值求解，首先应用正交网格来离散 这两个方程。按照适当的精度要求，选取空间位置步长血，显然止选得越小， 计算精度越高，花费得计算时间越长。当空间位置步长血选取后，时间步长f 得选取就不能随意了。因为特征线法求解的条件是稳定的，在位置步长缸选定 后，时间步长的选取必须保证解的稳定性。也就是说，必须根据稳定性准则来选 取时间步长出。 3 1 2 流体管路特征方程和特征关系式的求解方法 在x t 平面上任一点p 的状态是由该点的“依赖区域”内的扰动所决定的。 所谓依赖区域是过p 点作前行和反行特征线r 。和r 2 所围成的区域( 见图3 - - 1 的 阴影区域) 。这就是说，依赖区域内任一点扰动沿特征线可以影响到p 点，而区 域之外的任一点扰动无论时间经过多长，都不会影响到p 点。 童鬯兰型塑翌苎塑型笙! 一 筻旦至竺! 堡查塑鎏量壁查堑堡塑塑堡盐兰皇塞竺里塞 图3 1 x t 平面上的依赖区域 当用矩形网格离散特征方程时，对于确定的空间步长缸，时间步长的选取 应满足如下的稳定性准则： 一a t 1 ( u 为波速) xu 或者说，当缸选定后，肿的选取应满足 ，三厶 u 只有这样，所得的解才能保证是稳定的。 关于上述稳定性准则的力学含义可作如下解释。当我们在z 一，平面上所划分 的矩形网络中，取( f 一1 ) ，( ，+ 1 ) 三个网格点，并过p 点作r 1 和r ，两条特征线。 由于波速。是恒定不变的，根据特征方程等