（基础数学专业论文）有限群可补置换子群与可解性.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名；震茑 日期：力埠阴2 8 日 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：黑芳 导师签名 图书分类号：0 1 5 2 1 单位代号：1 0 2 8 0 学号：0 7 7 2 0 0 1 5 上海大学理学硕士学位论文 有限群可补置换子群与可解性 作者：晁芳 导师：郭秀云教授 专业：基础数学 2 0 1 0 年4 月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e d t os h a n g h a iu n i v e r s i t yf o rt h em a s t e r sd e g r e ei ns c i e n c e t h es s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p s a n dt h es o l v b l i t yo ff i n i t eg r o u p s m d c a n d i d a t e ： f a n gc h a o s u p e r v i s o r ：p r o f x i u y u ng u o m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s h a n g h a iu n i v e r s i t y s c h o o lo fs c i e n c e s a p r i l ，2 0 1 0 摘要 s y l o w 子群在揭示有限群的性质中扮演着非常重要的角色，所以通过s y l o w 子群的某些特殊子群在有限群的“嵌入性质”来研究有限群的结构是有限群论中 非常活跃的研究课题许多群论学者都参与了这一课题的研究，并且获得许多有 重要影响的结果特别地，在子群的某种正规性方面提出了许多有价值的概念， 例如：g 拟正规性，d 正规性，s s 一拟正规性等 本文正是利用某些子群的d 正规性和s g 拟正规性来研究有限群的结构， 获得一些有意义的结果具体是，在第三章我们利用幂指数等于s y l o wp - 子群的 幂指数的交换p 子群的s s 一拟正规性来研究有限群的p 幂零性、超可解性例 如我们证明了如下事实：设p 为有限群g 的阶的最小素因子，p 是g 的一个 s y l o wp - 子群且e x pp = p 8 ( e 1 ) 若厂= 日lh p h = 1 ，e x ph = p e 中 每一元都是g 的s g 拟正规子群，那么g 是p 幂零群在第四章我们利用某些 子群具有c 一正规性或s g 拟正规性给出了饱和群系的若干充要条件，推广了前 人的一些结论 关键词：s g 拟正规性；d 正规性；p - 幂零群；超可解群；饱和群系 a b s t r a c t s i n c es y l o ws u b g r o u p sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nr e v e a l i n gt h ep r o p e r t i e so f f i n i t eg r o u p s ，t h ei n v e s t i g a t i o no nt h ei n f l u e n c eo ft h ee m b e d d e dp r o p e r t yo fs o m e s u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p si sa na c t i v et o p i c a n dm a n yi m p o r t a n tr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d i np a r t i c u l a r ，m a n yc o n c e p t sa b o u t g e n e r a l i z e dn o r m a ls u b g r o u p sw e r ei n t r o d u c e d ，f o re x a m p l e ，s - q u a s i n o r m a l i t y , d n o r m a l i t ya n ds s - q u a s i n o r m a l i t y i nt h ep a p e r ，w ei n v e s t i g a t es t r u c t u r eo f f i n i t eg r o u p sw i t hs o m ec - n o r m a l o rs s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p s ，a n dg e tm a n ym e a n i n g f u ln e wr e s u l t sw h i c he x t e n d s o m ek n o w nr e s u l t s i nc h a p t e r3s o m ec o n d i t i o n sf o raf i n i t eg r o u pt ob ep - n i l p o t e n t a n ds u p e r s o l v a b l ea r eg i v e nb yu s i n gs s q u a s i n o r m a l i t yo fs o m ea b e l i a ns u b g r o u p s w i t hp r i m ep o w e ro r d e r f o ri n s t a n c e ，t h ef o l l o w i n gr e s u l t si sp r o v e d l e tpb e t h es m a l l e s tp r i m en u m b e rd i v i d i n gt h eo r d e ro faf i n i t eg r o u pga n dl e tpb ea s y l o wp - s u b g r o u po fg w i t he x p o n e n t 矿，w h e r ee 1 s u p p o s et h a ta l lm e m b e r s o ft h ef a m i l y 日lh p h 7 = 1 ，e x p h = p e ) a r es s - q u a s i n o r m a li ng ，t h e n gi sp - n i l p o t e n t i nc h a p t e r4w es t u d yt h es t r c u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sw i t hs o m e c - n o r m a lo rs s q u a s i n o r m a ls u b g r o u p s o u rr e s u l t sg e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t s k e y w o r d s ：s s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p s ；c n o r m a ls u b g r o u p s ；p - n i l p o t e n tg r o u p s ； s u p e r s o l v b l eg r o u p s ；s a t u r a t e df o r m a t i o n s i i 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章：引言1 第二章：预备知识7 2 1 基本概念7 2 2预备引理9 第三章：子群的s s 拟正规性与有限群的结构1 1 3 1引理1 1 3 2 s s 拟正规性对有限群结构的刻画1 2 第四章：子群的s g 拟正规性或d 正规性与有限群的结构1 9 4 1 有限群p 幂零性的刻画1 9 4 2s s 拟正规性或d 正规性对饱和群系的判别准则2 1 参考文献2 5 攻读硕士学位期间完成及发表的论文3 0 致谢3 1 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 第一章引言 有限群论是代数学中一个重要的分支它不仅对代数学的其他分支有重要的 影响，而且在工程技术的许多领域，如理论物理、量子力学、通讯技术等学科也有 广泛的应用，因而有限群论已经成为现代科技的数学基础之一 如何确定群的结构是有限群理论建立后的一个重要发展方向二十世纪八十 年代，著名的有限单群分类定理完成之后，许多群论学者又转向了有限群的可解 性、超可解性、幂零性等方面的研究群系理论的建立为有限群研究提供了新的 研究内涵 一直以来，利用子群的性质来研究有限群的性质和结构是有限群论中的一个 重要课题许多群论学者都在从事这一领域的研究，并获得了非常丰硕的成果 特别的，对于有限幂零群，我们有如下重要的事实： 定理1 1 【2 1 ，i v 定理2 7 】有限群g 是幂零群当且仅当g 的每个极大子 群是g 的正规子群 而对于有限群的超可解性的刻画面，h u p p e r t 给出了下面非常著名的定理： 定理1 2 【2 4 ( h u p p e r t ) 有限群g 是超可解的充要条件是g 的每个极大子 群的指数是素数 著名群论专家d e s k i n s 于1 9 5 9 年引入了极大子群正规指数的定义设m 是 有限群g 的极大子群，如果存在g 的一个主因子k ，使得k m 且n 菇m ， 则的阶叫做m 在g 中的正规指数，记作叩( g ：m ) d e s k i n s 证明了， 定理1 3 【1 1 ( d e s k i n s ) 有限群g 是可解的当且仅当g 的每个极大子群具 有素数幂的正规指数 定理1 3 与定理1 2 在形式上非常类似，然而，正规指数仅仅对于有限群的极 大子群才有定义，对一般的子群没有定义为弥补这个不足，王燕鸣在1 9 9 6 年引 入了d 正规子群的概念 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 2 定义1 4 4 1 】 设日是有限群g 的子群，称日为g 的c 一正规子群，如果 存在g 的正规子群k 使得g = 日k 且日nk c o r e a ( h ) ，这里c o r e a ( h ) = n g g 日9 显然，正规子群也是d 正规子群，反之不然例如：令g = a 4 ，则g 的 s y l o w3 - 子群是g 的d 正规子群，但不是g 的正规子群所以c 一正规子群是 正规子群的真实推广利用子群的c 一正规性，人们获得了关于有限群可解性的新 刻画： 定理1 5 【4 1 ，定理3 1 】有限群g 是可解群的充要条件是g 的每一个极大 子群都是c 正规子群 由定理1 3 和定理1 5 即知，有限群g 的每一个极大子群m 在g 中g 正规 当且仅当m 在g 中有素数幂的指数从而利用d 正规子群可以很好的研究有 限群的结构，进一步我们有； 定理1 6 【4 1 】若有限群g 的每个s y l o w 子群的极大子群是g 的c 正规子 群，则g 是超可解群 定理1 7 【4 1 】若有限群g 的每个极小子群和4 阶循环子群是g 的c 一正规 子群，则g 是超可解群 实际上，人们利用子群的d 正规性进行了大量的研究，获得许多有价值的成 果，可见文献【2 2 ，2 7 - 2 8 ，3 1 ，4 0 4 1 ，4 3 4 5 ，4 9 】等 另一方面， 1 9 3 9 年o r e 在文献【3 2 】中引入了正规子群的另一种推广：拟正 规子群，即：有限群g 的子群日称为g 的拟正规子群，如果日与g 的每个子 群相乘可交换他证明了； 定理1 8 【3 2 ( o r e ) 有限群g 的拟正规子群是次正规子群 应用拟正规子群的概念，人们可以很好的刻画有限群的结构，如见【3 ，1 2 等 1 9 6 2 年，k e g e l 推广了拟正规子群的概念 定义1 9 【2 6 ( k e g e l ) 称有限群g 的子群日为g 的s 一拟正规子群，如果 日与g 的每一个s y l o w 子群相乘可以交换 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 3 k e g e l 提出g 拟正规概念后，a s a a d 【2 】，a s a a d 和h e l i e l 4 ，b a l l e s t e r - b o l i n c h e s 5 ， b a l l e s t e r - b o l i n c h e s 和p e d r a z a - a g u i l e r a 6 】等利用口拟正规性对有限群做了深入 的研究 1 9 8 0 年，s r i n i v a s a n 利用某些子群的g 正规性来刻画有限群的超可解性， 证明了： 定理1 1 0 3 8 ( s r i n i v a s a n ) 如果有限群g 的每个s y l o w 子群的极大子群都 是s 一拟正规子群。则g 为超可解群 后来，1 9 9 0 年，s h a a l a n 又通过特殊子群的口正规性证明了： 定理1 1 1 【3 7 ( s h a a l a n ) 设有限群g 的每个素数阶和4 阶子群都是s 一拟 正规子群，则g 为超可解群 b a l l e s t e r b o l i n c h e s 和p e d r a z a - a g u i l e r a 把s 一拟正规子群的概念推广为g 拟 正规嵌入子群： 定义1 1 2 【7 】称有限群g 的子群h 为s 一拟正规嵌入子群，若对日的每个 s y l o w 子群p ，在g 中存在一个s 一拟正规子群k ，使得p 也是k 的s y l o w 子群 他们利用g 拟正规嵌入子群的概念给出了如下的定理： 定理1 1 3 【7 】若有限群g 的每个s y l o w 子群的极大子群都是群g 的s - 拟 正规嵌入子群，则g 为超可解群 定理1 1 4 【7 1 设h 是有限可解群g 的正规子群且使得g h 是超可解的， 若群f ( c ) 的每个s y l o w 子群的极大子群都是群g 的s 一拟正规嵌入子群，则g 为超可解群 后来a s a a d 和h e l i e l 又把上述定理1 1 4 推广到群系中，他们证明了： 定理1 1 5 【4 】设有限群g 莎当且仅当g 存在正规子群h ，使得g h 莎，且日的每个s y l o w 子群的极大子群都是群g 的s 一拟正规嵌入子群 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 4 由上述定理，我们知道利用拟正规性以及它的推广都可以很好的刻划有限群 的结构和性质，研究拟正规性以及它的推广都是有意义的2 0 0 8 年，李世荣又进 一步推广了拟正规子群的概念： 定义1 1 6 3 0 ，定义1 1 j 称有限群g 的子群日为g 的s s 一拟正规子 群，如果存在g 的子群b ，使得g = h b 且对b 的每一个s y l o w 子群q ，都有 日q = q h g 拟正规子群是s s 拟正规子群，也是s 拟正规嵌入子群但是，s s - 拟 正规子群，或者g 拟正规嵌入子群不一定是g 拟正规子群例如：岛是& 的 s s 拟正规子群，但不是岳拟正规嵌入子群a 5 的s y l o w3 一子群是a 的g 拟 正规嵌入子群，但不是s g 拟正规子群 规嵌入子群之间没有蕴含关系进一步， 这也说明了s 拟正规子群和s 一拟正 我们可以做如下的比较： 性质1 1 7 【3 0 ，命题1 1 ( i ) 】 若有限群g 的每一个s - 拟正规嵌入子群也是 群g 的s s 一拟正规子群。那么g 是可解群 因为群g 的每个s y l o w 子群都是正规嵌入子群，所以g 的每个s y l o w 子群都 是g 的g 拟正规嵌入子群，如果g p 是g 的一个s y l o wp - 子群，由假设，g p 是 群g 的s g 拟正规子群由定义，存在子群b 使得g = g p b 且g p x = x g p ，这 里x s y l ( b ) 那么b 的任一s y l o w p - 子群都包含在g p 中，进而包含在g p n b 中，最后我们知道b 有唯一s y l o wp - 子群记作gnb ，因此b 是p 闭的由 s c h u r z a s s e n h a u s 定理，b 有一个h a l l 矿子群k 当然也是g 的h a l l 子群 这样k 的每一个s y l o w 子群都是g 的g 拟正规嵌入子群，从而由假设知是s g 拟正规子群，易知也是k 的s g 拟正规子群最后由结论k 是可解的应用h a l l 定理k 有s y l o w - 基 g p ，g 加) ，这样 g p ，g p l i ，g p ，) 是g 的s y l o w - 基 再次利用h a l l 定理，g 是可解群 性质1 1 8 3 0 ，性质1 1 ( i i ) 】 若有限群g 的每一个s s 一拟正规子群也是群 g 的s 拟正规嵌入子群，那么g 不一定可解 由性质1 1 7 和性质1 1 8 可以看出利用9 9 拟正规性能够很好的刻画有限群 的结构，研究这一性质是有意义的2 0 0 8 年，李世荣利用s s 一拟正规性给出了有 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 5 限群超可解的条件 为了叙述方便，我们先给出如下定义： 定义1 1 9 【3 0 ，定义1 2 】 设d 是p 一群p 最小生成元的个数， j f 彩d ( p ) = 只，p d 是群p 的极大子群的集合且n 垒1 只= 垂( 尸) 定理1 2 0 【3 0 ，定理1 3 】设p 是有限群g 的任意- - 4 - s y l o w p 一子群假设 j 形d ( p ) 中的每一个元都是群g 的s s 一拟正规子群，则g 为超可解群 定理1 2 1 【2 9 ，定理3 4 】设有限群g 的每一个素数阶循环群和4 阶群都是 群g 的s s 拟正规子群，则g 为超可解群 定理1 2 2 【2 9 ，定理3 2 】设日是有限群g 的正规子群且使得g h 超可 解若f + ( 日) 的任一s y l o w 子群的极大子群都是群g 的s s - 拟正规子群，则g 为超可解群 接着，人们又成功地把s s 一拟正规子群的概念应用到群系中，取得了有意义 的结果 定理1 2 3 【2 9 ，定理3 3 】设饱和群系莎包含超可解群系彩，有限群g 莎 当且仅当h 是群g 的正规子群且使得g h 岁，f + ( 日) 的任一s y l o w 子群的 极大子群都是群g 的s s 拟正规子群 定理1 2 4 3 0 ，定理1 8 】设少是具有s y l o w - 塔型的超可解群系， 是g 的正规子群且使得g n 庐，若n 的任意一个s y l o wp 一子群p 的每一个2 极 大子群都是g 的s s 拟正规子群且g 是a 4 无关的，那么g 莎 另一方面，我们利用s g 拟正规子群也可以研究有限群的幂零性 定理1 - 2 5 【3 0 ，定理1 1 】设p 是整除有限群g 的阶的最小素因子，p 是群 g 的s y l o w p 一子群若j 形d ( p ) 中的每一个元都是群g 的s s 一拟正规子群，则g 是p 一幂零的，此处编( p ) 是所有s y l o w 子群的极大子群的集合 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 6 定理1 2 6 2 9 ，定理4 1 】设有限群g 的每一个素数阶子群都包含在瓦( g ) 中且每一个4 阶循环群都是g 的s s 拟正规子群或包含在瓦( g ) 中，则g 是幂 零群 以上事实表明，利用子群的s g 拟正规性质来研究有限群的结构是有意义 的作为以上研究的继续，本文也试图利用子群的s g 拟正规性质来研究有限群 的幂零性及超可解性 第三章我们利用幂指数等于s y l o wp - 子群的幂指数的交换p 子群的s g 拟 正规性来研究有限群的p 幂零性、超可解性例如我们获得如下定理：设p 为群 g 的阶的最小素因子，p 是群g 的一个s y l o wp - 子群且e x pp = 矿( e 1 ) 若 厂= 【日ih p ，h 7 = 1 ，e x ph = p e ) 中每一元都是g 的s g 拟正规子群，那么 g 是矿幂零群 第四章我们利用某些子群的c 正规性或s g 拟正规性来给出饱和群系的一 些充要条件，推广了前人的一些结论 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 7 第二章预备知识 本章作为全文的准备工作，主要介绍全文要用到的基本概念和基本引理下 文中所涉及的群都是有限群，所采用的符号都是标准的 2 1 基本概念 首先介绍超可解群，幂零群，群系等的一些基本概念： 定义2 1 1 【4 7 ，定义1 6 ，p 5 6 】如果有限群g 存在一个主群列 g = g o g 1 g l = 1 使得每一主因子岛一l g j = 1 ，2 ，z ) 为素数阶的循环群，则称g 为超可解群 定义2 1 2 【4 6 ，i v 定义2 1 】如果有限群g 有一个中心群列，即一个正规 群列， g = g o g 1 g t = 1 满足g i 一1 g i ( i = 0 ，1 ，2 ，z ) 含于g g 的中心，则称g 为幂零群 定义2 1 3 【4 6 ，i i 定义5 3 】设g 是有限群，p s y l p ( g ) ，如果g 有正规 子群，满足np = 1 ，p = g ，则称g 为p 一幂零群 定义2 1 4 【3 0 ，定义2 2 】 有限群g 的子群h 称为g 的s s 一拟正规子 群，如果存在g 的子群b ，使得g = h b 且对b 的每一个s y l o w 子群q ，都有 日q = q h 定义2 1 5 4 1 】有限群g 的子群h 称为g 的c - 正规子群，如果存在g 的正规子群k ，使得g = h k 且h n k c o r e g ( h ) ，这里c o r v c , ( h ) = n g g h a 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 8 定义2 1 6 【3 0 ，定义1 2 】设d 是有限p 一群p 最小生成元的个数，f d ( p ) = 只，p d ) 是群p 的极大子群的集合且使得n 垒1 只= 西( 尸) 定义2 1 7 【4 6 ，p 2 5 0 】设g 是有限群，l g l = p 口1 西，且p l g 。= 1 ( 木) 使得l g i l g “= 霄，l = 1 ，8 ，则称群列( 木) 为g 之一s y l o w 一塔而称g 具 有s y l o w 一塔的群 定义2 1 8 设庐是一个群类称箩为一个群系，如果满足s ( 1 ) 如果g 罗，日塑g ，那么g h 莎； ( 2 ) 设m 塑g ，n p 2 p - ，那么g 是超可解群当且仅当存在g 的超可解子群日和k ， 使得i g ：h l = p l ，i g ：k l = p n 引理2 2 8 【3 3 ，引理2 5 】设p 是有限群g 的一个正规s y l o wp - 子群且 e x pp = p e ( e 1 ) ，使得g p 是超可解群若丘 日ih 只h = 1 ，e x ph = p 8 ) 中每一元都是g 的s 拟正规子群，那么g 是超可解群 引理2 2 9 【4 1 】设k 为有限群g 的子群，n 是g 的正规子群，如果h 是 g 的d 正规子群，那么： ( 1 ) 如果h k ，则h 是k 的c - 正规子群； ( 2 ) h n n 是g n 的d 正规子群 引理2 2 1 0 4 7 ，i x 定理3 3 】设p 为有限群g 的s y l o w - 子群且是g 的正规子群使得pnn 圣( p ) ，那么是p 一幂零群 引理2 2 1 1 4 6 ，i i 命题4 6 】 设p 为有限群g 的阶的最小素因子，若子 群m 在g 中的指数为p ，那么m 塑g 引理2 2 1 2 【4 6 ，i v 定理3 4 】设g 是一个有限群， n 塑g ，h g ，若 n 垂( 日) ，贝，in 西( g ) 引理2 2 1 3 【2 6 1 ( k e g e l ) 若日和k 都是有限群g 的g 拟正规子群，那么 日nk 也是g 的g 拟正规子群 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 1 第三章子群的s s 一拟正规性与有限群的结构 利用子群的某些性质来研究群的结构是许多群论学者感兴趣的课题自1 9 6 2 年k e g e l 引入g 拟正规子群概念以来2 6 ，有许多作者应用这一概念来研究有限 群的结构，获得了许多的结果近来李世荣等【3 0 】又引进一个新的概念一s g 拟 正规子群李世荣等运用s y l o w 子群的极大与极小子群的s g 拟正规性研究了有 限群的结构，获得了许多有意义的结果( 见【2 9 3 0 1 ) 本文利用幂指数等于s y l o wp - 子群的幂指数的交换p 子群的s s 拟正规性来研究有限群的p 幂零性和超可解 性，所得结果推广和改进了一些已有的结果 我们先证明下面的引理： 3 1 引理 引理3 1 1 设p 为群g 的阶的最小素因子，p 是群g 的一个交换正规s y l o w p - 子群且e x pp = p 8 ( e 1 ) 若p 中每一个幂指数是矿的子群都是g 的s g 拟正 规子群，那么g = p k ，其中k 是群g 的h a l l 矿子群 证明：因为p 是群g 的正规s y l o wp - 子群，所以由s c h u r - z a s s e n h a u s 定理知 存在g 的h a l l - 子群k ，使得g = p k 且尸nk = 1 设日是幂指数为p 。的p 的子群由引理2 2 1 知日是g 的g 拟正规子 群再根据引理2 2 5 可得o p ( g ) n g ( 日) 由于h 璺p ，则p n g ( 日) ，从而 g = p o p ( g ) g a ( 日) ，所以日里g 因为p 为交换p 群，所以p 可由p 中最高阶元素生成，设p = ( a l ，a 2 ，a s ) ， 其中o ( a i ) = p e ，i = 1 ，8 由上段证明( a i ) 笪g ，于是( a i ) k g 根据引理2 2 3 知k 翼( a i ) k ，从而( a i ) k = ( a t ) k ，故g = p k = p k r - 1 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 2 3 2 s 毋拟正规性对有限群结构的刻画 本节主要利用幂指数等于s y l o wp - 子群的幂指数的交换p 子群的s g 拟正 规性来研究有限群的p 幂零性和超可解性，得到了一些有意义的结果 定理3 2 1 设p 为群g 的阶的最小素因子，p 是群g 的一个s y l o wp 子群 且e x pp = p 6 ( e 1 ) 若尸= 日1 日只日7 = 1 ，e x ph = p e ) 中每一元都是g 的s s 一拟正规子群，那么g 是p 幂零群 证明：设g 不是p 幂零群且g 是一个极小阶反例，则 ( 1 ) o v ( a ) = 1 如果c ( g ) 1 ，考虑- 0 = g 0 分( g ) 则一p = p o e ( g ) q ，( g ) 为召的 s y l o wp - 子群且e x pp = p e 下面我们令 = 百l 百一p ，- f f = 1 ，e x p 百= 矿) 任取五中一个元亍，则存在t p ，使亍= t ( a ) o v ( g ) 由于 t = 【t o p ，( g ) o p ，( g ) ，t o e ( g ) o p ，c a ) = t o g ( g ) o v ( g ) = 1 ， 显然r d 矿( g ) 又t 为p 群，从而r = 1 注意到e x pt = e x pt = p e 即 t 歹由定理假设条件可知t 是g 的s g 拟正规子群再由引理2 2 1 知t 是 g 的s g 拟正规子群g 的选择隐含着g d p ，( g ) 是p 幂零群，从而g 是p 幂零群，矛盾 ( 2 ) 任取厂中的一元日，则0 p ( g ) c a ( h ) 令q 是g 的任意s y l o wg 子群( g p ) 由定理假设条件可知日是g 的 s g 拟正规子群，利用引理2 2 4 得h q = q h ，即h q 是群g 的一个子群又 日是交换p 子群，则日可由日中最高阶元素生成，设日= ( 6 1 ，6 2 ，a s ) ，其中 o ( a i ) = p e ，i = 1 ，8 由假设及引理2 2 4 知( 0 1 ) q = q ( 毗) 再根据引理2 2 3 可 得( 砚) q = ( a i ) kq ，从而h q = 日kq 下面我们令 l = n( n ( g ( q g ) ) ) =n( n a ( q ) ) g ， 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 3 显然l 里g 且三nq 里l ，注意到三nq 吩( l ) ( g ) = 1 ，故三为p 群另 一方面显然有h l ，从而hsl o p ( g ) 由引理2 2 2 知日是g 的拟正规 子群，故日次正规于h q ，从而h q = h q ，故o p ( g ) c a ( h ) ( 3 ) 最后的矛盾 由( 2 ) 知我们取芦中阶最大的一元日，有o p ( g ) c a ( h ) 假设c a ( h ) g ，由于p 1 = p n c a ( h ) 为c a ( h ) 的s y l o wp - 子群且e x p 只= p 8 ， 下面我们令 五= 研ih i p 1 ，叫= 1 ，e x ph i = p 。) 由假设及引理2 2 1 知五中每一元都是c a ( h ) 的s s 拟正规子群所以 c a ( h ) 满足定理假设，g 的选择隐含着c c ( h ) 为p 幂零群，从而o p ( g ) 为p 幂零群，由此即得g 是p 幂零群，矛盾 现在假设c a ( h ) = g ，这时h z ( g ) ，由日的选择隐含着p5z ( g ) ，故 n a ( p ) = c a ( p ) 由引理2 2 3 知g 为p 幂零群，矛盾i - 7 推论3 2 2 设p 为群g 的阶的最小素因子，鱼g ，p 是群的一个 s y l o wp 一子群且e x pp = 矿( e 1 ) ，g n 为p 一幂零群若芦= 【日ih p h 7 = 1 ，e x ph = p e ) 中每一元都是g 的s s - 拟正规子群，那么g 是p 一幂零群 证明：假设定理不真且g 是一个极小阶反例由定理3 2 1 知是p 幂零 群，从而由定义知存在正规p 补子群k 假设k 1 ，考虑g = g k ，则 一p = p k k 为召的s y l o wp - 子群且e x p p = p e g k n k 竺g n 为p 幂零 群下面我们令 五= 【再i h 一p ，_ ，= 1 ，e x p h = p 8 ) 任取五中一个元亍，则存在t p ，使亍= t k k 由于 1 = 7 = 【t k k ，t k k 】= t 7 9 g ， 显然r k 又t 为p 群，从而f = 1 注意到e x p 亍= e x pt = 矿即t 厂 由定理假设条件可知丁是g 的s s 一拟正规子群再由引理2 2 1 知亍是否的s g 拟正规子群g 的选择隐含着a g 是p 幂零群，从而g 是p - 幂零群，矛盾 那么k = 1 ，此时p = n 即为p 群，若为g 的s y l o wp - 子群，根据 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 4 定理3 2 1 知，g 为p 幂零群，矛盾若不为g 的s y l o wp - 子群，设m n 为 g n 的正规p 补由归纳假设，m 为p 幂零群令m 1 为m 的正规p 补，从 而m 1 也为g 的正规p 补，即g 为p 幂零群，最后的矛盾 口 推论3 2 3 设g 是有限群，7 r ( g ) = p 1 ，p 2 ，) ，其中p l p 2 p n 只为群g 的一个s y l o wp i 一子群且e x p 只= 矿t ，t = 2 ，n 若五= ( 日ih 只，h 7 = 1 ，e x ph = 慨) 包) ( 其中i = 2 ，3 ，扎) 中每一元都是g 的s s 一拟正规 子群，那么g 是s y l o w - 塔群 证明：由定理3 2 1 知g 是一幂零群设k 是r 在群g 中的正规加一补 由归纳法知k 是s y l o w - 塔群，因此g 是s y l o w - 塔群 口 定理3 2 4 设p 是群g 的一个正规p 子群且e x pp = p 8 ( e 1 ) ，使得g p 是超可解群若厂= 日lh p ，h 7 = 1 ，e x ph = p 。) 中每一元都是g 的s s 一 拟正规子群，那么g 是超可解群 证明：我们对群g 的阶使用归纳法设只是群g 的s y l o wp - 子群，分两种 情况讨论： ( 1 ) 当p 为群g 的s y l o wp - 子群，即有p = 只任取歹中一元日，显然有 h p f ( g ) 且日是g 的s g 拟正规子群由引理2 2 2 知日是g 的s 一拟 正规子群，再由引理2 2 8 知g 是超可解群 ( 2 ) 下面假设p ，其中p l p 2 p n 因为g p 是超可解群，由引理2 2 7 知存在g p 的超可解子群t p 和k p ，使 得i g p ：t p l = p x ，i g p ：k p l = p n 再利用引理2 2 1 知t ，k 满足定理假 设，由归纳法可知t ，k 为超可解群因为i g ：t i = l g p ：t p i = p l ，l g ：k i = i g p ：驯p i = ，最后由引理2 2 7 知g 是超可解群 口 定理3 2 5 设k 是群g 的一个正规子群且g k 是超可解群设丌( k ) = p l ，仡，p n ，其中p l p 2 p n 只为群k 的一个s y l o wp i 子群且 e x p 只= ( 鼽) 厶若五= 日ih 只，h = 1 ，e x ph = t ) 龟 ( 其中i = 2 ，3 ，礼) 中每一元都是g 的s s 一拟正规子群，那么g 是超可解群 证明：我们对群g 的阶使用归纳法显然k 满足推论3 2 3 的条件，所以 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 5 是s y l o w - 塔群设只s y g 。( k ) ，则1 1 望k ，从而只c h a rk ，于是我们有只塑g 进而可知( g p 1 ) i ( k i p l ) 竺a k 是超可解群 这时7 r ( k p 1 ) = 耽，) ，只p l r s y l p ；( k p 1 ) 且e x p ( 只b p 1 ) = 慨) 厶，t = 2 ，佗 下面我们令 瓦= 百i 万p , p , l p , ，胃= 1 ，e x p h = 慨) 。t ) ，i = 2 ，n 任取元中一元亍，则存在t 只，使得亍= t p l p 1 由于 f = t p x p 1 ，t p x p 1 】- t 7 p , p , = 1 ， 显然有r p 1 另一方面t 为硝一群，从而r = 1 e x pt = e x pt = 慨) “，l = 2 ，佗，即t 五由定理的假设条件知t 是群g 的s g 拟正规子群利用引理 2 2 1 可得亍是群g _ p l 的s g 拟正规子群，从而g p l 满足定理假设，由归纳法 知g p 1 是超可解群根据定理3 2 4 知g 是超可解群 口 下面考虑另一种情况，设尸为p 群，记 一侄昌耄三主 这里q i ( 尸) = ( z plo ( x ) i ) 定理3 2 6 设p 为群g 的阶的最小素因子，p 是群g 的一个s y l o wp 一子群 且e x pf l ( p ) = p 。( e 1 ) 若厂= 日ih f l ( p ) ，h 7 = 1 ，e x ph = p e ) 中每一元 都是g 的s s 一拟正规子群，那么g 是p 一幂零群 证明：假设g 不是p 幂零群且g 是一个极小阶反例，则 ( 1 ) o v ( a ) = 1 如果c ( g ) 1 ，我们考虑一g = g c _ ( g ) 显然一p = p o v , ( g ) d p ，( g ) 为召 的s y l o w p - 子群且e x pf l ( p ) = e x pf l ( p ) = p 8 下面我们令 五= 日ih q ( 尸) ，日= 1 ，e x ph = p e 任取五中一个元亍，则存在t f l ( p ) ，使亍= t 吩( g ) ( g ) 由于 t = ( 丁( g ) ( g ) ，t o , ，( g ) 吩( g ) | - ，0 p ，( g ) 吩( g ) = 1 ， 显然r 0 ( g ) 另一方面t 为p 群，故t 7 = 1 注意到e x pt = e x pt = p e ， 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 6 从而t 厂由定理假设条件t 是g 的s g 拟正规子群由引理2 2 1 知t 是g 的s g 拟正规子群g 的选择隐含着g d 口，( g ) 是p 幂零群，从而g 是p 幂零 群，矛盾 ( 2 ) 任取厂中一元日，有o p ( g ) n g ( h ) 令q 是g 的任意s y l o wg - 子群( 口p ) 由定理假设日是g 的s g 拟正规 子群，根据引理2 2 4 可得h q = q h ，从而h q 是群g 的子群 又日是交换p 子群，则日可由日中最高阶元素生成，设h = ( a l ，a 2 ，o 。) ， 其中d ( 啦) = p e ，i = 1 ，8 由假设及引理2 2 4 知( 口t ) q = q 又设只为群g 的一个s y l o wp i 子群且e x pq ( 只) = 0 i ) 出，i = 2 ，n 若 兀= 日lh q ( 只) ，h 7 = 1 ，e x ph = ( 轨) 8 t ) ( 其中i = 2 ，3 ，n ) 中每一元都是