（基础数学专业论文）非阿基米德域和复数域上的亚纯函数值分布论.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：主刍型日期：论文作者签名：兰丝! !日期： 加3 ；形 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：蝉导师签名：避 期：堡! ! ；。讶 非阿基米德域和复数域上的亚纯函数值分布论 王新利 摘要 二十世纪二十年代，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 创立了复数域上的值分布论又称 n e v a n l i n n a 理论半个多世纪以来，n e v a n l i n n a 理论在不断发展，取得了许多令人瞩 目的成果同时人们自然想：能否把复数域上的这一优美的理论进行推广? 其中在 数论中占重要地位的非阿基米德域自然成为人们考虑的对象，h h k h 6 a i 4 2 】，h h k h 6 a i 和m v q u a n g 4 3 】，a b o u t a b b a 4 等都给出了非阿基米德域上的n e v a n l i n n a 第 一、第二基本定理，为这一理论的进一步发展奠定了坚实的基础2 0 0 0 年，pc h u 和c c y a n g “j 的专著“m e r o m o r p h i c f u n c t i o n so v e rn o n - a r c h i m e d e a nf i e l d s ”出 版，第一次系统的介绍了非阿基米德域上的值分布论，这标志着这一理论研究的日 渐成熟事实上在非阿基米德域和复数域上的值分布论不是孤立的，而是互相联系 的，因此把这两种不同域上的值分布问题放到一起来进行研究就很有意义，我们选 取了其中的几个问题来进行研究，有w a x i n g 问题，函数方程问题，唯一性问题等 本文主要介绍作者在扈培础教授和仪洪勋教授的精心指导下，所完成的一些研究工 作，全文共分五章 第一章，主要介绍非阿基米德域和复数域上的n e v a n l i n n a 基本理论以及一些基 本概念和结果，并对本文所用到的一些定义和常用记号作了介绍 我们用一表示一特征为0 的代数闭域，且关于非平凡非阿基米德绝对值1 i 完 备，称一为非阿基米德域用c 表示一般复数域，k 表示一或c ，以= k f o ) ， 膏= k u o 。) 用m ( k ) 和f 1 ( k ) 表示上的亚纯函数集和整函数集，g z 和k ( z ) 表示上的多项式集和有理函数集 1 7 7 0 年w a x i n g 在m e d i t a t i o n e sa l g e b r a i c a e 上提出如下猜想：任何正整数一定可 以表示为四个平方数之和，九个立方数之和，十九个四次方数之和等等这一猜想被 称为w a x i n g 猜想，或者w a x i n g 问题，把它归纳到某一函数族，上即：设n 是某一 个固定的自然数，如果 ( z ) “+ + ，m ( = ) “= 。，其中，1 1 一，m ，是非常数，m 是能使得上式成立的最小自然数，则m = g y ( n ) 满足什么条件? h a y m a n 2 9 】在1 9 8 4 年研究了这个问题并得到了一个定理，但是他的估计不精 确，近年来许多数学家都研究了这个问题，希望能得到更好的估计，但至今仍没有完 全解决在第二章我们在域一上研究了这一问题，主要利用非阿基米德域上的全纯 2 山东大学博士学位论文 曲线理论，改进了【2 9 】中的结果得到： 定理1 正整数9 7 ( n ) 满足如下估计： 。刖咖；十n + ；， 9 朋“n ) 、；币， ( 1 ) ( 2 ) 由定理1 可得：n 6 ( n 8 ) 时，不存在域一上的非常数整函数( 亚纯函数) 满足投+ 程+ = z 同时我们证明了费马型函数方程的一个相关定理 定理2 设m 和n 是两个正整数，满足m 2 ，n m 2 1 则下述结论等价： ( i ) 如果有一上的亚纯函数，1 ，2 ，t ，m 满足 ；+ 琏+ + | 麓= 1 则，p ，疗，。焉线性相关； ( i i ) 条件同，则 ( 1 兰i m ) 中至少有一个是常数 ( u i ) 假设，0 ，h 一，厶是t ；上的整函数，并且满足 铝+ l t + + | = 0 把指标集，= o ，1 ，- q 分成子集合厶，= u ：o 厶，当且仅当, j 是常数时 i 和j 属于同一子集合厶则我们有 = 0 ，o = 0 一 t l 由定理2 可得；n 6 ( n 8 ) 时，不存在域一上的非常数整函数( 亚纯函数) 灞足f n 十援+ | 2 = 1 7 在第三章，我们研究比第二章中的费马型函数方程更广泛的一类函数方程 p o t 口1 ， i = 1 给出了这类方程在k 上存在亚纯解的必要条件，所得结果改进了t o d a 【58 1 ，kw y u 和c c y a n g 7 3 的结果 3 山东大学博士学位论文 定理3 设，1 ，厶( p 2 ) 是c 上的p 个非常数亚纯函数，“1 j ，唧是正整数 a l ，n p 是c 上的不恒为零的亚纯函数，且满足 如果函数方程 成立，则 注1 由俐式得 t ( r ：q ) = o ( t ( r 1 五) ) ，i i s p 砉南南 因此定理3 改进了，吲的结果 耋去志 注2 如果用非阿基米德域一代替复数域c ，那么俐变成 妻南 南 ( 3 ) 注3 当p = 3 ，n 1 = n 2 = n 3 = n 9 时，不存在复数域上三个非常数亚纯函数满足 ，p + 劈十疗= 1 ，这是h a y m a n 2 9 的一个结论 此外还证明了如下推广定理： 定理4 设，l ，厶如2 ) 是一上的p 个非常数亚纯函数，n l ，一，n 。是正整数 如果至少有一* i j ，1 i ，j p 是超越的，且 耋去志 则对有理函数r l ( z ) ( 0 ) ， p f ( = ) ；r i ( z ) 口( z ) 有无穷多个零占、或极点或部分和恒等于0 4 l = f o ， 山东大学博士学位论文 注4 如果用复数域c 代替非阿基米德域一用 娄去 o ) ， e la ，k ) = ( p ，女( z ) ，z ) l z k 若e i ( a ) = 马( d ) ，万，( 口) = 耳( o ) ，则称为，( z ) 与9 ( ：) 的c m ( c o u n t i n gm u l t i p l i c i t y ) 与 i m ( i g n o r i n gm u l i t i p l i c i t y ) 公共值，或称f ( z ) 与g ( z ) c m 与i m 分担o 若研a ，) = 岛( o ，纠，则称n 为f ( z ) 与g ( z ) 的截断重级为k 的公共值，或称f ( z ) 与g ( z ) 以截断 重级k 分担n 定义2 s 是霞中的一非空子集，定义 g a s ) = u ( 膀( = ) ，z ) | z k ) = u 研( 。) a e 8 a q s 5 山东大学博士学位论文 g a s ) = u z 崂( z ) o ， a e s e s ( s ，) = u ( p 纠z ) ，z ) l z ) ， a e s 若研( s ) = e g ( s ) ( - g i ( s ) = e ( s ) ) ，则称s 为，( z ) 与g ( z ) 的c m ( i m ) 公共值集，或 称y ( z ) 与g ( z ) c m ( i m ) 分担s j 若毋( s ，k ) = 马( s ，) ，则称s 为，( z ) 与9 ( 。) 的截 断重级为的公共值集，或称f ( z ) 与g ( z ) 以截断重级k 分担s 非阿基米德域上当两个非常数亚纯函数分担三个c m 公共值时，它们必然恒等 但是复数域上两个非常数亚纯函数分担三个c m 公共值在没有其他条件下，它们之 间的关系难以确定，也正因为如此，复数域上的三值问题的研究至今仍为值分布论的 一大研究热点第四章，我们在考虑截断重级的情况下来研究三值问题，对i l a h i r i 的结果和一些相关结果作了较大改进主要定理有 定理6 设，与9 为非常数亚纯函数，毋( o ，2 ) = 岛( o ，2 ) ，e i ( 1 ) = e g ( 1 ) ，e l ( ) = 马( o 。) ，且，9 再设a 为一个有穷复数，且n 0 ，1 如果j 2 1 ( ；，) 0 ，d 1 ) ( o 。；，) 0 ， 则a 和1 一。分别为，和g 的p i c a r d 例外值，o 。也为，和g 的p i c a r d 例外值，并 且有( ，一口) ( 9 1 + a ) ! a ( 1 一o ) 具有公共值集的亚纯函数唯一性问题起源于g r o s s 2 5 】问题，在复数域中已有许 多深刻的结果第五章我们主要研究在域一上，两个亚纯函数在重值意义下分担两 个公共值集的唯一性问题主要定理有 定理7 设k 和f 两个正整数，和g 是k 上的非常数亚纯函数满足 研( ，k ) = 马( ， ) ，e l ( o 。，f ) = e g ( ，z ) 如果n 8 + 2 + 丽2 玎n ，则，i9 其中s 是f r a n k r e i n d e r s 1 8 】多项式 。( u ) = 生l 掣w n - - n ( n 一2 ) w n - i + 兰鱼i = 。堕w n - 2 + 6 ，b # o ，一1 的零点集 关键词：非阿基米德域，亚纯函数，w a f i n g 问题，唯一性 6 v a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo v e r n o n a r c h i m e d e a na n dc o m p l e x f i e l d s w a n gx i n l i a b s t r a c t i n1 9 2 0 s ，r n e v a n l i n n ae s t a b l i s h e dt h ef a m o u sv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo v e rt h e c o m p l e x f i e l dcw h i c hi sa l s oc a l l e dn e v a n l i n n at h e o r y t h i st h e o r yh a sb e e nw e l ld e v e l o p e d i na b o u th a l fa c e n t u r y 0 d e o fn a t u r a l q u e s t i o n si sh o w t oe x t e n dt h i st h e o r yt oo t h e rf i e l d s ， s a y ，n o n a r c h i m e d e a n f i e l d sw h i c ha r es t u d i e dw e l li nn u m b e rt h e o r y h h k h 6 a i 【42 1 ，h h k h 6 a ia n d m v q u a n g 4 3 ，a b o u t a b b a 4 a n d s oo ne s t a b l i s h e dv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y o v e rn o n a r c h i m e d e a nf i e l d sb yp r o v i n gt w o “m a i nt h e o r e m s ”w h i c hi st h ef o u n d a t i o n f o rt h ef u r t h e rr e s e a r c h e s i n2 0 0 0 ab o o k “m e r o m o r p h i cf u n c t i o n so v e rn o n a r c h i m e d e a n f i e l d s ”b yp c h ua n dc c y a n g o “w a sp u b l i s h e d ，i nw h i c h n o n a r c h i m e d e a nv a l u e d i s t r i b u t i o nt h e o r yw a si n t r o d u c e ds y s t e m a t i c a l l y t h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo v e rt w o c l a s so ff i e l d sa b o v ea r en o ti s o l a t e db u tc o n n e c t e de a c ho t h e r i ti s v e r yi n t e r e s t i n gt o s t u d yt h e mt o g e t h e r i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ew i l li n t r o d u c es o m e r e s e a r c h e so ns o m eo p e n p r o b l e m ss u c ha st h ew a r i n gp r o b l e m ，f e r m a tt y p ef u n c t i o n a le q u a t i o n s ，a n du n i q u e n e s s t h e o r yu n d e rt h eg u i d a n c eo f p r o f e s s o rp c h ua n dp r o f e s s o rh x y i i nc h a p t e ro n e w ei n t r o d u c es o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t si nn e v a n l i n n at h e o r yo v e rn o n - a r c h i m e d e a na n dc o m p l e xf i e l d s ，a n da l s oi n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n sw h i c h a r e0 f t e nu s e di nt h ed i s s e r t a t i o n l e tkb ea na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o ，c o m p l e t ef o ran o n - t r i v i a l n o n - a r c h i m e d e a na b s o l u t ev a l u ei i w ew i l ld e n o t ean o n - a r c h i m e d e a r la n dc o m p l e xf i e l d b yka n dc ，r e s p e c t i v e l y l e tk d e n o t eko rca n ds e tk 。= k 一 o ) ，k = k u 。) ，l e t l 4 ( k ) ( r e s p 4 ( k ) ) b et h es e to fm e r o m o r p h i c ( r e s p e n t i r e ) f u n c t i o n sa n dl e tg z 】( r e s p k ( z ) ) b e t h es e to fp o l y n o m i a l s ( r e s p r a t i o n a lf u n c t i o n s ) o v e rk i n1 7 7 0 ，w a x i n gp o s e dac o j e c t u r ei nm e d i t a t i o n e sa l g e b r a i c a ew h i c hi su s u a l l yc a l l e d t h ew a r i n gc o n j e t u r eo rw a r i n gp r o b l e m l a t e l y ，t h i sf a m o u sc o n j e c t u r ei se x t e n d e dt oa c e r t a i nf u n c t i o nc l a s s ，a sf o l l o w i n g ：l e tnb eap o s i t i v ei n t e g e ra n dl e tm = g y ( n 1b et h e 7 山东大学博士学位论文 s m a l l e s ti n t e g e rs u c ht h a tt h e r ee x i s tn o n c o n s t a n tf u n c t i o n s ，1 ，一，f m ，s a t i s f y i n g ，l ( z ) “十+ ，m ( z ) “= z t h e nw h a tc o n d i t i o n sw i l lg ，( n ) s a t i s f y ? i 1 9 8 4 h a y m a n 2 9 a n s w e r e dt h eq u e s t i o n ，b u th i sr e s u l t sw e r en o ts h a r p a f t e r t h eh a y m a n l sw o r km a n ym a t h e m a t i c i a n ss t u d i e dw a r i n gp r o b l e ma n dh o p e d t og e tb e t t e r e s t i m a t i o n s h o w e v e r ，u p t on o wt h e r ei sn oe s s e n t i a li m p r o v e m e n t s i nc h a p t e rt w o ，w ew i l l s t u d yt h ew a r i n gp r o b l e m o v e rac e r t a i nf u n c t i o nf i e l db yu s i n gt h et h e o r yo fh o l o m o r p h i c c u r v e s i np a r t i c u l a r w ei m p r o v e dt h er e s u l td u et oh a y m a n 2 9 a sf o l l o w s ： t h e o r e m1 t h en u m b e r9 ，( n ) s a t i s f i e s 礼 3 一 礼 3 ( 6 ) ( 7 ) t h e o r e mli m p l i e sd i r e c t l yt h a tf o rn 6 ( r e s p n 8 ) ，t h e r ed on o te x i s ta n yn o n c o n - s t a n te n t i r el r e s p m e r o m o r p h i c 、f u n c t i o n so v e rks u c ht h a tf n + l 绣= z w ea l s op r o v eat h e o r e mo nf e r m a tf u n c t i o n a le q u a t i o n s ： t h e o r e m2 t a k ep o s i t i v ei n t e g e r sma n dnw i t hm22 ，n m 2 1 t h e 如l l o w i n gt h r e e s t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) 可m e r o m o r p h i c 扣n c t i o n s ，l ，2 ，mo nks a t i s f y j ；+ 锓十+ | 翟= 1 t h e n 埒 蜷1 ，f m a r el i n e a r l yd e p e n d e n t , ( i i ) u n d e r 抽es a m ea s s u m p t i o na si n 俐，t h e na tl e a s to n eo ft h e ， 0i s c o n s t a n t ( i i i ) a s s u m et h a te n t i r e 扛n c t i o n s ，0 ，l ，一，厶o nks a t i s f y l b 十j 十- + f 鼍= 0 p a r t i o nt h ei n d e xs e tj = 0 ，l ，m ) i n t os u b s e t s 厶，j = u ：o 厶，p u t t i n gt w oi n d i c e s ia n dji nt h es a m es u b s e ti t ia n do n l yqa l ji sc o n s t a n t t h e ny j eh a v e = 0 ，o t = 0 ，k l l 磐 n n k k 卧 山东大学博士学位论文 b y ( i ) i nt h e o r e m2 ，w eo b t a i nt h a t ：f o rn 6 ( r e s pn 8 ) ，t h e r ed on o te x i s ta n y n o n c o n s t a n te n t i r el r e s p m e r o m o r p h i c 、f u n c t i o n sh 1f 2 th o v e rks u c ht h a t | 2 + 绣十j 2 = l ， i nc h a p t e rt h r e e ，w ed e a lw i t hac e r t a i nf u n c t i o n a le q u a t i o n s p 。i 圩。= 1 w h i c hi sm o r ee x t e n t i v et h a nf e r m a tf u n c t i o n a le q u a t i o nd i s c u s s e di nc h a p t e rt w o ，a n d g i v es o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c eo fm e r o m o r p h i cs o l u t i o n si nk s o m er e s u l t s d u et ot o d a 5 8 1 k wy ua n dc c y a n g 7 3 a r ei m p r o v e da sf o l l o w s t h e o r e m3 l e t ，1 ，一，厶022 ) b epn o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n so nc ，a n d l e tu l ，一，a pb en o n - z e r om e r o m o r p h i c so ncs u c ht h a tt ( r ，a i ) = o ( t ( r ， ) ) ，1 i p i i t h e 沁n c t i o n a le q u a t i o n n 。劈一1 2 = l h o l d sf o rs o m ep o s i t i v ei n t e g e r sn l ，。一，n p ，t h e n 三 11 萎a - , = n i p 南2 ( p 1 仁1 一+ 1 一 一) r e m a r k1 t h ei n e q u a l i t y ( 8 ) i m p l i e s s ot h e o r e m3i m p r o v e sar e s u l tt n 秘3 j 1 4 0 , 一1 ) ( 8 ) r e m a r k2 i | rr e p l a c e sci nt h e o r e m3a n d k e e p i n go t h e ra s s u m p t i o n s tw ec a np r o v et h e f o l l o w i n gs z r o n g e ri n e q u a l i t y ： p i = 1i 而 瓦i 可 r e m a r k3 盯p = 3 ，? 2 1 = “2 = n 3 = n 9 ，t h e r ed 0n o te x i s tt h r e en o n c o n s t a n t m e r o m o r p h i c 知n c t i o n so v e rcs a t i s f y i n g1 2 + 绣+ 驽= 1 ( s e ea l s o 2 瞄 9 一 一啦 ，沮 山东大学博士学位论文 w ea l s op r o v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m4 l e tf 1 ，一，厶( p 2 ) b epn o n c o n s t a n tt r a n s c e n d e n t a lm e r o m o r p h i c 如n e t i o n so nk ，a n d l e t n i ，- ，n pb ep o s i t i v ei n t e g e r sa n da tl e a s to n ed ，争丁i j ，1 i ，j p ，n t i st r a n s c e n d e n t a ls u c ht h a t 妻去s2 如一1 ) t h e n 加rr a t i o n a l 如n c t i o n s 兄( z ) ( 0 ) ，1 ispt h es m p f ( z ) i r 。( z ) f 。n 。( z ) ， t = l h a si n f i n i t e l ym a n yz e r o so rp o l e s o r8 0 m eo ft h ep a r t i a ls “m so fa r ee q u a lt oz e r o i d e n t i c a l l y r e m a r k4 i fki sr e p l a c e db yc ，a n dr e p l a c i n g 5 ) b y t h ec o n c l u s i o no ft h e o r e m # i st r u e b y t h e o r e m 4 w eh a v e 娄去 o ) ， e l ( a ，k ) = ( 芦，k ( 。) ，z ) i - 耳) 可毋( o ) = e g ( a ) ，耳( o ) = 耳( n ) t h e n ，( 。) a n d9 ( z ) a r es a i dt os h a r eoc m ( c o u n t i n g m u l t i p l i c i t yja n di m ( i g n o r i n gm u l t i p l i c i t y ) w ec a l l ( z ) a n dg ( z ) s h a r eaw i t ht r u n c a t e d m u l t i p l i c i t yki ，e i ( n ，k ) = 岛a ，k ) d e f i n i t i o n2 l e tsb enn o n e m p t ys e to n 立d e f i n e 毋( s ) = u ( p ，( z ) ，z ) i x ) = u 毋( 。) a e s a e s 吾，( s ) = uz 峙( z ) o ) ， a 6 s 毋 七) = u 0 ， a x ) ( o o ；，) 0 ，t h e naa n dl aa r ep i c a r de x c e p t i o n a lv a l u e so f ，a n dgr e s p e c t i v e l ya n d a l s oo 。i ss oa n d ( ，一。) ( 9 1 + a ) 辜a ( 1 一a ) h o l d 8 g r o s sf i r s t l ys t u d i e du n i q u e n e s sp r o b l e m so ft w o m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n gs e t s a l o n g t h i sd i r e c t i o n ，t h e r ea r em a n y e l e g a n tr e s u l t s i nc h a p t e rf i v e ，w ew i l li n t r o d u c eo u r r e s e a r c h e so nt h i sp r o b l e m f o re x a m p l e ，w eo b t a i n e d ： t h e o r e m7 l e tka n dlb ep o s i t i v ei n t e g e r s l e t | a n d 9b et w on o n ，c o n s t a n tm e r o m o r p h i c 血n c t i o no nks u c ht h a t e i ( s ，) = e g ( s ，k ) ，毋旧，f ) = 岛( o 。，f ) 1 1 山东大学博士学位论文 盯n 8 + + 而2 n ，t h e n ，三g h e r es d e n 。t e s t h ez e r os e 吖f r a n 七一r e i n d e r a 1 8 p o l y n o m i a l q c w ) = ! ! 掣w n n ( n - 2 ) ”nl + 掣w n - 2 + 。，b # o ，一， k e yw o r d s ：n o n - a r c h i m e d e a nf i e l d ，m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，w a r i n gp r o b l e m ， u n i c i t y 前言 二十世纪二十年代，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 创立了复数域上的值分布论又称 n e v a n l i n n a 理论半个多世纪以来，n e v a n l i n n a 理论在不断发展，取得了许多令人瞩 目的成果同时人们自然想：能否在其他域上建立n e v a n l i n n a 理论? 其中在数论中 占重要地位的非阿基米德域自然成为人们考虑的对象，h h k h 6 a i 4 2 】，h h k h 6 a i 和m v q u a n g 4n 1 ，a b o u t a b b a 【4 等人给出了建立了非阿基米德域上的n e v a n l i n n a 第一、第二基本定理，为这一理论的进一步发展奠定了坚实的基础2 0 0 0 年，p c h u 和c c y a n g 3 2 1 的专著“m e r o m o r p h i ef u n c t i o n so v e rn o n - a r c h i m e d e a nf i e l d s ” 出版，第一次系统的介绍了非阿基米德域上的值分布论，这标志着这一理论研究的 日渐成熟事实上在非阿基米德域和复数域上的值分布论不是孤立的，而是互相联 系的，因此把这两种不同域上的值分布问题放到一起来进行研究就很有意义 非阿基米德域上的值分布论和数论中的问题密切相连，比如a b c 猜想m 】【曲】， w a r i n g 问题，f e r m a t 问题等，在本文的第二章和第三章我们研究了非阿基米德域上 的w a r i n g 问题和f e r m a t 问题极其推广形式，并且和复数域上的相关研究刚】作了 比较 复数域上的亚纯函数唯一性理论是r n e v a n l i n n a 亚纯函数值分布论的重要组成 部分，它的研究开始于上世纪二十年代末，以得到著名的四值定理和五值定理【泌】 为标志非阿基米德域上的亚纯函数值分布论的研究开始较晚，但成果丰富【l 】( b 】 7 1 1 3 1 3 2 1 3 3 4 0 ，同时其多数结论也非常完美，例如在非阿基米德域上当两个非常数 亚纯函数分担三个公共值时，它们必然恒等但是复数域上两个非常数亚纯函数分 担三个公共值在没有其他条件下，它们之间的关系难以确定复数域上的三值问题 的研究至今仍为值分布论的一大研究热点本文在第四章研究了复数域上的三值问 题 1 9 9 3 年仪洪勋 7 2 j 完全解决了著名的g r o s s 问题咄】，开创了具有公共值集的亚 纯函数唯一性问题研究的新局面复数域上这一问题的研究目前已有许多深刻的结 果在非阿基米德域一上，类似的研究工作也有许多，方法与复数域相似，但往往结 果更佳第五章我们主要研究在非阿基米德域一上，两个亚纯函数在重值意义下分 担两个公共值集的唯一性问题 1 3 第一章预备知识 1 9 2 5 年，r n e v a n l i n n a 创立了复数域上的亚纯函数值分布理论，经过几十年的 不断发展和完善，取得了许多另人注目的成果近几年来，非阿基米德域上的亚纯函 数值分布理论的研究也引起了人们广泛的兴趣在本章我们将介绍在这两种不同域 上该理论的一些常用记号和一些基本结果，并对亚纯函数唯一性理论的基本概念和 经典结果作简单介绍 1 1非阿基米德域和复数域上的值分布理论概要 定义1 1 1 如果数域kcr 上的绝对值函数川? k - - - - 4r + = 0 ，+ o 。】，对所有z ，y k ， 满足下列条件： ( 1 ) = 0当且仅当z = o ； ( 2 ) i x y i = y l ； ( 3 ) i z + 引m a x h ，) ，则称卜| 为非阿基米德绝对值；如果代替r 别为俐l z + y l 曼 + ，则称其为阿基米德绝对值 若h 是域一上的绝对值，满足 h = 。1 ：三。0 ； 则称其为平凡的 本文中，我们用一表示一特征为0 的代数闭域，且关于非平凡非阿基米德绝对 值| 1 完备称一为非阿基米德域我们用c 表示一般复数域，用k 表示一或c ， 记风= k 一 o ) ，膏= k u 。) 用m ( k ) 和一4 ( k ) 表示k 上的亚纯函数集和整函数 集，g z 】和g ( z ) 表示上的多项式集和有理函数集 定义1 1 2 对于z 0 ，定义。的正对数 ，+f l o g x ，z 1 ； 1 0 9 吁2i o ，o z l 对于一上的非常数整函数 化) = 吣” n = 0 1 4 定义，( z ) 的最大项： 芦( r ，) = m 。，a x 。l 。n ；“， 若9 和h 是。上无公因子的整函数域一上的亚纯函数，定义为两个k 上无公 因子的整函数的商，则定义( 参见 4 ，【3 2 ) ： ，、p ( r ，g ) “( 7 ，j 。而：而 定义l 1 3 设，( z ) o 。为定义于k 上的亚纯函数，对于o r 十。，定义 m ( 删= 1 ：8 + 磐，n ，m ( “) ， m ( r ，) = 去j ( 1 0 9 + ”神) l 硼刨( c ) ( ，) ：】：兰i ! 二! 掣出+ n ( o ，) 1 。g r ， 丙( r 1 ，) ：韭掣d t + _ ( 0 ，) l o 叭 其中的n ( ，) 表示，( z ) 在h t 上的极点个数，且重级极点按重数计算，“( o j ，) 表 示f f ：1 左0 k 处极占、的重级，当，( o ) 。时，则n ( o ，) = o 瓦( t ，) 表示重级极 点只。v 计- i 一, 次时，( 。) 在h t 上的极点个数，我们称m ( r ，) 为，( z ) 的均值函数并 分别称州r ，) 和丙( n ，) 为，( z ) 的密指量和精简密指量，称t ( r ，) 为，( z ) 的特征 进一步有如下定义：设，( z ) 为k 上的非常数亚纯函数，n 霞，定义 p ；c z ，= 了i ；。z 。) ，- - a 。重级为“， 则 m 才 删= 雠才 1 5 a k a k 山东大学博士学位论文 设女是个正整数，定义 膀，k ( z ) = m i n # j ( z ) ，” 则相应的截断形式的记数函数和密指量函数定义为： * 击) 2 三螗出， 帆( r ，击) = 心万1 ) 了d t ， 其中p o 是k 上某一个固定的常数 定义1 _ 1 4 设f ( z ) 为复平面c 上的亚纯函数，定义 - ，= n m + s 。u p 警，p ，= - i ，m + 。i n r 学， 分别称a ，和p ，为f ( z ) 的级与下级 在复数域和非阿基米德域上的n e v a n l i n n a 第一基本定理可以统一成下面的形式 ( 见 3 0 】，f 5 2 j ，( 7 2 】，( 4 j ， 3 2 】， 1 6 】) ： 定理1 1 1 设，( z ) 在i z i r ( 茎。) 内亚纯( z k ) 对任意的。k ，( z ) o ，那么 对0 r r ，有 t f ，土1 ，一o 在n e v a n l