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对称自对偶色李代数 对称自对偶色李代数 摘要 本文利用上同调方法研究了有限维对称自对偶色李代数的结构性质，主 要结果如下： ( 1 ) 我们把双扩张的概念推广到了有限维对称自对偶色李代数上，并且得 到了一些重要的基本性质； ( 2 ) 我们给出了有限维对称自对偶色李代数可以双扩张的充分条件，从而 在上同调意义下解决了这类色李代数的分类问题； ( 3 ) 我们把t 扩张推广到了对称自对偶色李代数上，并且给出了限维对 称自对偶色李代数可以p 扩张的一个充要条件 关键词：对称自对偶；色李代数；双扩张；r 扩张 作者：王松 指导老师：朱林生教授 s y m m e t r i cs e l f - d u a ll i ec o l o ra l g e b r a s - a b s t r a c t s y m m e t r i cs e l f - d u a ll i ec o l o ra l g e b r a s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a k eu s eo fc o h o m o l o g i c a lw a yt os t u d yf i n i t ed i m e n s i o n a ls y m - m e t r i cs e l f - d u a ll i ec o l o ra l g e b r a s t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) w eg e n e r a l i z et h en o t i o no fd o u b l ee x t e n s i o nt of i n i t ed i m e n s i o n a ls y m m e t r i c s e l f - d u a ll i ec o l o ra l g e b r a sa n do b t a i ns o m ei m p o r t a n tr e s u l t s ； ( 2 ) w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ra f i n i t ed i m e n s i o n a ls y m m e t r i cs e l f - d u a ll i e c o l o ra l g e b r a st ob ead o u b l ee x t e n s i o n ，t h u sw es o l v ei t sc l a s s i f i c a t i o ni nt h es e n s eo f c o h o m o l o g y ； ( 3 ) w eg e n e r a l i z et h en o t i o no ft + 一e x t e n s i o nt os y m m e t r i cs e l f - d u a ll i ec o l o ra l - g e b r a sa n dg i v e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ra f i n i t ed i m e n s i o n a ls y m m e t r i c s e l f - d u a ll i ec o l o ra l g e b r a st ob eat * - e x t e n s i o n k e y w o r d s ：s y m m e t r i cs e l f - d u a l ；l i ec o l o ra l g e b r a s ；d o u b l ee x t e n s i o n ；t + e x t e n s i o n i i w r i t t e nb ys o n gw a n g s u p e r v i s e db yp r o f l i n s h e n gz h u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：一一 e t 期：，一。f 一歹 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： s - 枇 日期：! ：! ：兰 导师签名：丝日期：丝l 二蝉 对称自对偶色李代数引言 引言 李群及其李代数，通常称之为李理论，从其产生至今有了非常巨大的发 展，并日益显示出与理论物理，量子物理及统计力学等学科的深刻联系及广 泛应用因而，自二十世纪以来，已成为当代数学中不可或缺的重要分支之 _ - - 一 十九世纪末，挪威数学家s l i e 在研究微分方程解的对称性时引出了李 群的概念当时，受g a l o i s 理论的启发，数学家们将变换群的思想推广到几 何与分析领域，发现几何或分析领域的自同构变换群其本身通常也会具有自 然的几何或分析的结构，李群正是这样的一种结合体李群理论是随着微分 方程用积分求解的可能性问题以及连续变换群的研究而发展起来的由于李 群运算的可微性，使得可以考虑它在无穷小层面上的线性化，从而得到一种 无穷小群的结构，这种结构后来就被称为李代数李的基本定理告诉我们， 李代数完全决定了李群的局部性质由此出发，李群的局部结构问题就转化 成了纯粹且相对简单的代数问题 1 9 3 4 年，h w e y l 正式引进了李代数这一术语，并指出李代数具有独立的 研究价值，而随后数学的发展证实了这一点李代数的经典理论的重要性在 于它对李群的应用w k i l l i n g 和e c a r t a n 对于可解李代数，半单李代数等结 构的研究取得了丰富的成果经过e c a r 乞a n 的工作和h w e y l 等人的完善， 特征为零的域上的有限维单李代数的分类问题已经获得了圆满的解决随着 时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升到 2 0 世纪5 0 年代以后，李代数已不再仅仅作为研究李群的代数工具，它已经成 为个独立的数学分支并取得了很快发展 复单李代数之所以有很好的结构性质，很大程度上取决于其上的k i l l i n g 型，作为复单李代数的自然推广，是带有非退化、对称、不变双线性型的李代 数，由于它在量子场论中的特殊作用，物理学家通常称之为对称自对偶李代 数单李代数自然是对称自对偶李代数，但非单的对称自对偶李代数大量存 在，而且已经证明这类李代数对量子场论有很重要作用，4 维扩张h e i s e n b e r g 李代数是第一个这样的例子。但是，这类李代数的结构问题还远没有解决 1 9 8 5 年a m e d i n a 和p r e v o y 首次在李代数中使用了双扩张的概念，从而 使我们对李代数的结构有了更深刻的认识，1 9 8 7 年，g f a v r e ，和l j s a n - 对称自对偶色李代数引言 t h a r o u b a n e 两人把李代数的双扩张进行了完善并且给出了一些应用，到了1 9 9 7 年，m b o r d e m a n n 研究了更一般的情况，考虑非结合代数上的非退化不变双 线性型，更重要的是他引进了t 。扩张的概念，优于前人的是通过一次扩张 就可以得到相应的结果同年，h b e n a m o r 和s b e n a y a d i 把这些结果推广到 了李超代数本文研究对称自对偶色李代数的结构性质色李代数是李代数 和李超代数的自然推广，在量子理论和共形场论等领域有很重要的作用，我 们希望在色李代数上建立结构理论，解决有限维单色李代数的分类问题，本 文首先讨论对称自对偶色李代数的结构性质，希望对作为这类色李代数特例 的单色李代数的分类问题起作用 本文我们研究特征为零的代数闭域f 上的有限维色李代数我们用g 表 示色李代数 设a = o r a 是一个带有单位元的r 阶化的f 上的结合代数，即a c a 伽a ，p r ，因此1 a o 我们称单阶化的结合代数，如果a 无非平凡的r - 阶化理想我们用日( a ) 表示a 的所有的齐次元的集合如果我们在a 上定 义双线性色李括号【】： p ，引= x y e 仁，9 ) y x ，v z ，秒日( a ) ， 那么( a ，【，】) 就构成色李代数，其中色李代数的定义可见( 窿义1 1 】) a 的一个理想u 是指a 的_ 个r 阶化向量空间满足i a ，u 】cu ，有时也 称为( e ，r ) 理想a 的- 中心五( a ) 是指： 五= 五( a ) = o aik ，a l = o ) 很容易看出互( a ) 是r - 阶化的如果陋，a l = 0 ，那么我们就说a 是交换的 在这篇文章中，我们研究了带有非退化色对称不变双线性型的色李代数 也称对称自对偶色李代数最后我们还研究了色李代数的t 扩张，对于对 称自对偶李代数结构的其他研究我们可以参考( 【1 】) ，( 【4 1 ) ，( 【9 】) 对于对称自对 偶李超代数的相关结果我们可以看( 【2 】) 对于对称自对偶李代数的分类是由a m e d i n a 和p r e v o y 给出的，我们可 以参考( 【9 】) ，而且提出了双扩张的概念 在第二章，我们得到了对称自对偶色李代数的一些基本性质，从而在上 同调意义下解决了这类色李代数的分类问题 2 对称自对偶色李代数引言 在第三章，我们把双扩张的概念推广到了对称自对偶色李代数上，这个 概念是构造新的对称自对偶色李代数的一个工具，对于n 维的对称自对偶色 李代数，我们可以通过双扩张得到行+ 2 维的对称自对偶色李代数 在第四章，我们把t + 扩张的概念推广到了对称自对偶色李代数上，并 且给出了限维对称自对偶色李代数可以t 扩张的一个充要条件 3 对称自对偶色李代数 第一章基本概念与主要结果 第一章基本概念与主要结果 定义1 1 设r 是加法群r 上的反对称不变双特征是一个映射e ：fxr p 满足： e ( a ，p ) = ( p ，a ) 一1 ，e ( a ，p + 功= ( a ，p ) e ( 入，功，v a ，p ，p r 很明显，e ( a ，0 ) = 1 ，对于任意的a f 设l = o a r l 是一个r 阶化的f 上 的向量空间对于一个非零的齐次元a ，我们记a l a ，其中a f ，称a 为a 的 色f 上的双线性映射称为l 上的色李括号，如果满足下面的条件： 【口，6 j = 一e ( a ，5 ) 陋，口】，( 反对称) b ，【b ，c 】= 【口，6 】，c 】+ e ( a ，一) 【6 ，【口，c 】，( 雅可比等式) 其中对于所有的d l a ，b 玩，c l ( l ，【】) 就称为( e ，r ) 色李代数或者简称 为色李代数如果r = z 2 z ，e 0 ，j i ) = ( 一1 ) 嵇，i ，j z 2 z ，那么( e ，r ) 色李代数就 是李超代数 定义1 2 设g 是色李代数，它的阶化线性子空间j 称为是g 的理想( 子 代数) ，如果满足： 扛，0 1 ，( 【d ，6 1 j ) ，比g ，a ，b f 定义1 3 设g ，g l 为色李代数，g 到g 。的一个线性映射妒称为是同态， 如果满足： 妒( ，y 】) = 【妒( x ) ，妒( y ) 】，畎仍，y 田 定义1 4 设g 是色李代数，g 到g 的一个次为a 的线性映射d 称为是g 的导子，如果满足： d ( i x ，y 】) = 【d x ，y 】+ e ( 西孟) f x ，d y 】，x 夕孟，y g 定义1 5 设g 是色李代数，( 伊( 夕) ) ， o 称为是g 的降中心序列，如果满 足： ( 9 ) ：= g ，c 件1 ( g ) ：= b ，c ( 9 ) 】 定义1 6 设g 是色李代数，( g ( 夕) ) ， o 称为是g 的升中心序列，如果满 足： 岛( 9 ) ：= 0 ，g + t ( 夕) ：= c ( g ( 9 ) ) 4 对称自对偶色李代数第一章基本概念与主要结果 其中c ( v ) ：= f x gjb ，x 】y ) ，v 是g 的线性子空间 定义1 7 设g 是色李代数，( 夕( 。) ) 七 0 称为是g 的导序列，如果满足： ：= 9 ，9 ( 七+ 1 ) ：= 【夕( 舢，】 如果存在正整数七使得9 ( 七) = 0 ，那么我们就说g 是可解的 定义1 8 设9 是色李代数，g 上的双线性型b 称为是色对称的，如果满 足： b ( x ，y ) = e ，雪) 召( v x ) ，x 鳜，y 绚 b 称为夕不变的，如果满足： b ( p y 】，z ) = b ( x ，瞰z 1 ) ，x g ，y g ，z g 定义1 9设g 是带有双线性型b 的色李代数( g ，b ) 称为是对称自对 偶的，如果b 是色对称，非退化且矿不变的在这种情况下，我们就称b 是 g 上的不变常量积 定义1 1 0 我们称对称自对偶色李代数是不可约的，如果g 不包含非退 化的非平凡的阶化理想 本文中若还有一些概念没有提到，而这些概念的定义均和李代数很类似， 可以参考( 【5 1 ) 下面是本文的主要结果 定理1设( g l ，b - ) 是对称自对偶( e ，r ) 一色李代数，9 2 是( r ) 一色李代 数，而且妒：鲰_ d ( 9 1 ) cd e r ( 9 1 ) 是色李代数的同态 设妒是g l g l 到虻上的映射，满足： 妒( ) y ) ( 刁= e ( 孟+ 雪，牙) b i ( 妒( z ) ( x ) ，y ) ，v x ( 夕1 ) 孟，y ( 9 1 ) 雪，z ( 卯) i 设丌是夕2 的余伴随表示，若满足李括号： 阮+ 墨+ ，蚝+ k + 胡= 【，m 】舶+ i x , ，m 】9 。+ 妒( ) ( m ) 一e ，雪) 妒( 蚝) ( x ) + 7 r ( j ，2 ) ( 夕) 一e ( 孟，雪) 7 r ( m ) ( ，) + ( p ( x l ，m ) 其中咒+ 五+ ，m + m + 9 ) 分别是次为孟或者雪的g 的齐次元，则g 是一个 色李代数 5 对称自对偶色李代数第一章基本概念与主要结果 而且，如果，y 是仂上的色对称不变双线性型，若定义在夕上的双线性型 b 满足： b ( + 五+ ， k + m + 夕) = b i ( x l ，m ) + r c x 2 ，k ) + ，( 蚝) + e ，# ) g c x 2 ) 其中+ 墨+ ，啦，y 2 + k + g 绚，则b 是夕上的不变常量积 这样的色李代数就称为( 夕l ，b t ) 利用砂通过仍的双扩张 定理2 设( 9 ，b ) 是b 不可约的色李代数，如果- 1 是9 的一个极大阶化 理想，满足： 夕= 0 y 其中y 是夕的子代数，那么夕是( 1 1 上，雪) 通过y 的双扩张，其中亩是满足 如下的一个双线性型： 秀( 贾，矿) = b ( x ，y ) ，v x , y ，+ j 上 定理3 设夕，是个色李代数，夕= to 贫设叫是9 - 上的取值在薪的 色对称的2 上循环，即有 1 锄( x ，y ) = 一( 孟，雪) t t ( m x ) 2 ( 乏，牙灿( x ，别) + ( 孟，雪) t t ，旧x 1 ) + ( 雪，孑) t t ，( 互i x , y 】) + e g ，丞) 7 r ( x ) t t ，( kz ) + ，雪f i r ( y ) w ( z , x ) + ( 雪，乏) 7 r ( z ) ( x ，y ) = 0 其中x 9 孟，y 鲔，z 班 此外，设x + ，啦，y4 - | l 9 雪，而且有 + ，y + 1 ：= 阮y 1 ，。+ w ( x ，y ) + 7 r ( x ) ( ) 一e ( 孟，雪) 7 r ( y ) ( ，) b ( x + 只y + ) ：= ( y ) 4 - e ( 孟，雪) h ( x ) 其中丌是吠的余伴随表示 那么( 9 ，b ) 成为对称自对偶色李代数的充要条件是叫是色循环的，即 伽( x ，y ) ( z ) = e ，雪+ 乏) t l ，( v z ) ( x ) ，x 玩，y 约，z 啦 我们把( g ，b ) 是由夕- 和色循环的2 上循环凹构造成的对称自对偶色李代数 称为夕。的t + 扩张 6 对称自对偶色李代数 第二章色李代数的一些基本性质 第二章对称自对偶色李代数的基本性质 引理2 1 1 设( g ，b ) 是对称自对偶色李代数，是g 的个阶化理想，那 么 ( 1 ) p 是夕的个阶化理想； ( 2 ) 如果j 是g 的一个非退化的阶化理想，那么g = jo ，上，而且p 是一 个非退化的阶化理想 证明：( 1 ) 很明显j 上是g 的阶化向量空间，因此我们只需要说明j 上是g 的理想由于 b ( p lk 1 ，z ) = b ( x ，n 乞z 1 ) = 0 ，v x ，上，y g ，2 j 。 因此j 上是g 的一个阶化理想 ( 2 ) 由于j 是非退化的，利用线性代数的知识我们就可以得到g = jop ， 接下来我们考虑p 是非退化的令 s = x j 上ib ( x ，y ) = 0 ，v y i x ) 由于g = jop ，所以日( 五g ) = 0 由g 的非退化性知x = 0 ，从而我们就得到 了j 上是个非退化的阶化理想 定理2 1 2 设( g ，b ) 是对称自对偶色李代数，那么存在g i 满足： g = 0 ：l g i 使得对于所有的i i r ， ( 1 ) g i 是一个非退化的阶化理想； ( 2 ) 鲰不包含9 的非退化的非平凡的阶化理想； ( 3 ) 对于所有的i 歹，吼和缈是正交的 证明：分情况讨论 1 如果g 不包含非退化的非平凡的阶化理想，此定理自然成立 2 如果g 包含非退化的非平凡的阶化理想，那么就存在g 的非退化的非 平凡的阶化理想j 使得 g = iei l 7 对称自对偶色李代数第二章 色李代数的一些基本性质 由于b 限制到，上是非退化的，如果，包含一个非退化非平凡的阶化理 想t ，因为【j ，上】c ，np = 0 ，我们就可以得到j 是g 的非退化的非平凡的阶 化理想，同时它的正交补也是g 的非退化的阶化理想，因此g 就可以分解为 非退化的非平凡的理想直和jo 弘e i j - 依次下去，由于g 是有限维的，从而 经过有限步，g 就可以分解为不可约的非退化的非平凡的理想直和，从而定 理得证 定理2 1 3 设( g ，b ) 是对称自对偶色李代数，那么 ( 1 ) 对于所有的整数r 0 ，伊( 夕) 上= g ( 9 ) ( 2 ) g 的一个阶化子空间e 是一个理想当且仅当e 在g 中的中心化子 名( e ) 包含e 上 证明：( 1 ) 我们对，运用数学归纳法当r = 0 时，由于g 是对称自对偶 色李代数，则等式显然成立假如( 1 ) 式对r 成立，我们考虑r + 1 韵情况 设y q + 1 ( 9 ) 雪，t 伊+ 1 ( 夕) ，那么 t = 阢，z , l ，k 鲺，五( g ) 而 i b ( 正y ) = 一e ( 磊，磊) ( 【历，砥】，y 】) = 一e ( 磊，磊) ( 五，【五，y d ii 另一方面， 阮，y 】囟，g + l ( 夕) jc 口( 夕) 由归纳假设知，g ( 夕) = 伊( 夕) 上因此 b ( 五，陇，y 】) = 0 ，从而有g + l ( 9 ) c 伊+ 1 ( 力上 反过来，设xe ( 伊+ 1 ( 夕) 上) 孟，y 跏，z c 7 ( 夕) 那么由于i v , z 】伊+ 1 ( 夕) ， 则有 b ( ，y j ，z ) = 刀( 五【刁) = 0 所以，y j 伊( 夕) 上= 辞( g ) 现在我们设丌r 是9 到9 c r ( g ) 的自然同态，则 0 = 珥( 阢卅) = 丌r ( x ) ，丌r ( y ) 】 从而丌r ( x ) z ( 9 口( 9 ) ) ，即有x g + l ( 9 ) ，定理得证 ( 2 ) 设e 是g 的一个阶化理想，x ( e 上) 孟，y 岛，z 啦，则有 b ( 互瞰x 】) = b ( 互y 1 ，x ) = 0 由于b 是非退化的，从而得到瞰圈= 0 ，则有x 乙( e ) ，即e 上c 忍( e ) 8 对称自对偶色李代数 第二章色李代数的一些基本性质 反过来，设x 岛，z 鲰，y e 上cz g ( e ) 则由 0 = 日( 互【x ，y 】) = b ( 【五x 】 y ) 因此我们得到【z ，x l ( 霹上) 上= e ，即e 是g 的理想，定理得证 9 对称自对偶色李代数第三章色李代数的双扩张 第三章对称自对偶色李代数的双扩张 3 1 对称自对偶色李代数双扩张的构造 本节我们把一个死维的对称自对偶色李代数通过两次扩张得到维数为n + 2 维 的对称自对偶色李代数 定义3 1 1 设9 1 和9 2 是两个色李代数，一个色李代数g 称为9 2 通过9 1 的扩张，如果存在色李代数的正合列 0 一饥二g 与仍一0 即每个映射都是色李代数的同态映射，且前一映射的像恰是后一映射的核， 其中a 是9 1 到g 的同态，p 是g 到9 2 的同态p 的核n 称为扩张核 引理3 1 2 两个可解色李代数的扩张是可解的 证明t 设g 是9 2 通过g i 的扩张，根据定义( 3 1 1 ) ，且眈，g l 可解很显然， 9 肛e r ( p ) 垡9 2 ，而且入( 9 1 ) = 七e r ( p ) 这样由自然同态丌：g _ g a ( 9 1 ) ，我们就得到 7 r ( 夕( n ) ) = 0 或者夕c 入( 夕1 ) = k e r t r 从而我们很容易得到g 是可解的 定义3 1 3 设g 是9 2 通过g l 的扩张 0 _ 9 1 - - a - - 4g - - p - - - b 仂一0 称为是平凡扩张，如果存在g 的一个阶化理想在g 中j 补于n ，即g = jo n 如果n z ( g ) ，那么称此扩张为中心扩张 定义3 1 4 设g 是一个色李代数，b 是g 上的双线性型d 是g 的次 为a 的齐次导子的集合d 称为是反色对称的，如果满足： b ( d ( x ) ，y ) = 一e ( 反2 ) b ( x ，d ( y ) ) ，v x 踟，y g 我们把g 的所有反色对称齐次导子张成的d e r ( g ) 的子空间记作d e r 。( 9 ) 定义3 1 5 域f 上的g g 的个双线性型铷称为是g 上的2 上循环， 如果满足： ( 乏，孟) 叫( x ，瞰z 1 ) - f ，雪) 叫( v 【互x 1 ) + s ，丢) 铷( 互【x ，y 1 ) = 0 其中x 啦，y 卯，z 驻 i o 对称自对偶色李代数第三章色李代数的双扩张 引理3 1 6 设( g ，b ) 是对称自对偶色李代数 ( 1 ) 如果d 是g 的次为a 的反色对称的齐次导子，那么 t 0 按下面定义 伽( 墨y ) = j e i ( d ( x ) ，y ) ，v x g ，y g 成为次为a 的g 上的反色对称的2 上循环 ( 2 ) 反过来：如果叫是次为j 的白上的反色对称的2 上循环，那么存在唯 一的9 的次为矗的反色对称的齐次导子d ，满足： w ( x ，y ) = b ( d ( x ) ，】，) ，v x g ，y g 证明：( 1 ) 如果d 是g 的次为孑的反色对称的齐次导子，x 如，y g az 虫 那么 t i j ( ，y 】，z ) = b ( d ( 【x ，y 】) ，z ) 三b ( d x ，y 】+ e ( d ，孟) ，d y ，z ) = b ( d x ，z 】) 一e ( d ，孟) e ，d 4 f 1 ) b ( d y , 【五z 】) = 一e ( 孟，哥+ 三) t t ( 瞰矧，x ) + e ，牙) 训( 阢矧，y ) 由于w ( x ，y ) = b ( d ( x ) ，y ) ，则叫( 五y ) = 一e ( 孟，雪) 伽x ) 因此上面的等式 就等于 一e ( 孟+ 雪，三) 伽( 互【x ，y 】) ：e p ，雪+ 习e + 五牙) 伽( 五i f 刁) 一( 雪，牙) e ( 牙+ 乏雪) 锄( y ：i x , 勿) 从而 e ，孟) 伽( x ，z 】) + e ( 孟，雪) 伽( k 【z ，x 】) + e ，三) 伽( z ，【x ，y 】) = 0 因此 t o 是次为五的g 上的反色对称的2 上循环 ( 2 ) 反过来：考虑定义在g 上的取值在g + 上的映射垆： 妒( x ) ( y ) = b ( 置聊v x , y g 设铷是次为孑的g 上的反色对称的2 一上循环，设x g ，叫x 是g 上的映射满 足： t 坛( y ) = t ( 五y ) w g 对称自对偶色李代数 第三章色李代数的双扩张 那么存在唯一的z g 使得鳅= 妒( z ) 则 w ( x ，y ) 一b ( z ，y ) w g 取d ( x ) = z 由z 的唯一性，知d 是良定义的，而且d 是次为牙的线性映 射。由于叫是反色对称的，从而d 也是接下来我们说明d 是色导子 设x 夕孟，y 的，y 鲰由叫是2 - 上循环： e ，牙) 伽( x ，【mz 】) + e ，雪) 伽( k 【z ，x 】) + e ，三) 删( z ，【x ，) = 0 这也等价于 b ( d ( x ) ，【y ；z 】) = j e 7 ( d ( ，y 】，z ) + e ，f t ) b ( d y , 【x ，刁) 由于b 非退化的，从而 d ( ) = d x , 卅+ e ( d ，孟) i x , d y 命题得证! 定理3 1 7 设( g l ，口，) 是对称自对偶色李代数，仍是色李代数，矽：仍_ d e r 。( 夕，) cd e r ( 9 1 ) 是色李代数的同态 设妒是定义在g - g - 上取值在菸上的映射，满足 垆( x ，y ) ( z ) = e + 雪，孑) b l ( 妒( z ) ( x ) ，y ) ，v x ( 9 1 ) 孟，y ( 夕1 ) 驴，z ( 仍) i 则有 ( 1 ) 向量空间g to 踮满足色李括号 【x + 尹，y + 翊= f x ，v i i + 妒( x ，y ) ，y x g l ，y 贝，j f 鲢，g 蝣 是一个色李代数，而且是g l 通过鳞的中心扩张 ( 2 ) 同态映射1 ；f i 可以扩充到g z 到d e r ( g - o 虻) 的色李代数同态巧，满足 妒( x + ，) = 妒( z ) ( x ) + 7 r ( z ) ( ，) ，v x 9 l ，z 9 2 ，鲢 其中万是坊的余伴随表示。 证明：( 1 ) 我们说明满足( 1 ) 式色李括号的mo 虻是一个色李代数我们 选择阶化： ( g lo 窈) & ：= ( 9 1 ) 丘o ( 菇) a ，a r 12 对称自对偶色李代数 第三章色李代数的双扩张 设x + ，渤。虻) i ，y + 9 0 1o 虻) 雪我们很容易得到： 妒( 五y ) = 一e ( 孟，雪) 妒( y ：x ) 而且 + ，y + 别= 一e ( 孟，雪) 【y + g ，x + ，】 设z + h ( g to 蝣) i 贝4 e g ，孟) 【x + ， 【y + 夕，z + 纠l + e ( 孟，雪) 【y + 夕，【z + h ，x + ，】+ e ( 雪，0 z + h ，i x + ，y + 9 】 = e ( 乞，孟) 【x ，瞰刁l 】l + ( 牙，孟) 妒( x ，瞰z 】1 ) + e ( 孟，雪) k 陇x h l x + e ( 孟，雪) 妒( v 【z ，x h ) + e ( 雷，乏) 【z ，【x ，y n , + e 悖，乏) 妒( z ，【x ，y i ) = e ( 互，孟如( 五瞰刁1 ) + e 仁，雪) 妒( k 旧x 1 1 ) + ，乏) 妒( 互i x ，y 1 1 ) 设t ( 仂) f ，我们定义g t g l 到f 上的映射0 - 1 7 ，满足 “扫( x ，y ) = b l ( t ) ( x ) ，y ) = e ( - 孟+ 雪) 妒( x ，y ) ( t ) 由引理( 3 1 6 ) ，t o t 是一个2 上循环满足雅可比等式从而满足( 1 ) 式的g lo 虻 是一个色李代数 此外，g ，0 虻是g - 通过坊的中心扩张，因为我们可以得到正合列，g to 鲂 是g l 通过蝣的扩张，其中p 僻+ ，) = x ，x 9 1 ，虻则有虻= k e r # 入是 单同态 ( 2 ) 设z 仍则妒( z ) 是g l 的反色对称的导子，我们可以把它扩充到 g t o 虻， 妒( z ) ( x + ，) = 砂( z ) ( x ) + 7 r ( z ) ( ，) 其中丌是卯的余伴随表示 断言：而是g 。0 劣的导子 此断言的证明：如果x + ，和y + 夕是g - 0 虻的齐次元，则有 妒( z ) ( 1 xi ，y + 9 】) = 妒( z ) ( 【x ，y 】l + 妒( x ，y ) ) = 【妒( z ) ( x ) ，y i + e ( 乏，孟) 【x ，妒( z ) ( y ) 】1 + 7 r ( z ) ( 妒( x ，y ) ) 另一方面， 眇( 刁( x + ，) ，y + 鲥= 【妒( z ) ( x ) ，y h + 妒( 妒( z ) ( x ) ，y ) 1 3 对称自对偶色李代数 第三章色李代数的双扩张 + 妒( 刁( y + 9 ) 】= i x ，妒( z ) 卅l + 妒( x ，妒( z ) ( y ) ) 因此 妒( z ) ( + ，y + 纠) = 眇( z ) ( x + ，) ，y + 纠+ f 忙，牙) i x ，妒( z ) ( y + 夕) 】+ 7 r ( z ) ( 妒( x ，y ) ) 一妒( 妒( z ) ( x ) ，y ) 一e ( 乏，孟) 妒( x ，妒( z ) ( y ) ) 通过很简单的计算，我们就可以得到 7 r ( z ) ( 妒( x ，y ) ) = 妒( 妒( z ) ( x ) ，功+ e ( 乏，孟) 妒( x ，妒( z ) ( y ) ) 从而而是g l0 蝣的导子我们定义参： 巧：9 2 一d e r ( g - 0 鲸) zho ( z ) = 妒( z ) 则巧是色李代数的同态，定理得证! 定理3 1 8 假设和定理( 3 1 7 ) 一样则满足下面括号的向量空间g = 9 2 0 9 1 0 虻： i x , + x a + ，k + k + 鲥= 阢，蚝】船+ x l ，m 】9 。+ 妒( ) ( m ) 一e ，雪) 妒( 蚝) ( 墨) + 7 r ( 恐) ( 夕) 一e ( 孟，功7 r ( 蚝) ( ，) + 妒( x l ，h ) 其中局+ 噩+ ，船，k + k + 夕绚 是一个色李代数 证明：由定理( 3 1 7 ) ，西是色李代数同态则满足上面括号的g 是由9 2 和 g l0 虻的半直积构成的相对于巧的一个色李代数( 参见【1 4 ，p 2 3 3 1 ) ，我们也 可以根据定理( 3 1 7 ) 直接验证 定理3 1 9设g 是定理( 3 1 8 ) 中所定义的色李代数，y 是9 2 上的色对 称的不变双线性型则如下定义的9 上的双线性型b b ( 尥+ 五+ ，k + k + 们= b 1 ( 五，m ) + 7 ( 磁，蚝) + ，( k ) + e ( 孟，雪) 9 ( 恐) 其中t 恐+ 五+ ，昵，蚝+ m + 9 ) 乃，是g 上的不变常量积 证明：i 很明显b 是色对称的 2 要说明b 是非退化的，取恐+ 墨+ ，( 夕上) 孟 1 4 对称自对偶色李代数第三章 色李代数的双扩张 0 = b ( + x + 六m ) = b 1 ( x l ，y 1 ) ，m g l ，因此五= o ； 0 = b ( x 2 + ，g ) = e ( 孟，雪) 夕( 托) ，g 虻，因此x 2 = o ； 0 = b ( ly 2 ) = f ( y 2 ) ，蚝卯，因此，= 0 3 最后就是要说明b 是矿不变的设x = 恐+ x 1 + ，啦，y = k + m + 夕 鲰，z = 7 , 2 + 五+ h 啦 b ( 【x ，y 1 ，z ) = b ( x 2 + 而+ m + k + 9 1 ，z 2 + 五+ h ) = b ( x 2 ，y 2 卯+ x i ，m 1 9 。+ 妒( 咒) ( m ) 一e ( 孟，雪) 妒( k ) 蜀 + 7 r ( 尥) ( g ) 一e ( 孟，雪) 7 r ( k ) ( ，) + 妒( x i ，m ) ，历+ 五十h ) = b ( 阻，k 1 ，历) + b i ( 妒( x 2 ) ( k ) ，磊) 一( 厉，0 ) b i ( o ( y 2 ) ( x i ) ，历) 竹( f 恐，k 】，z 2 ) + 霄( 恐) ( g ) ( 磊) 一e ( 孟，雪) 丌( k ) ( ，) ( 汤) + 妒( 噩，k ) ( z 2 ) + + 雪，乏) ( ，蚝1 ) 另一方面， b ( 五瞰矧) = b ( x ，陬+ k + g ，z 2 + 五+ h i ) = b ( x 2 + x 1 + ， 阢，z 2 j + y 1 ，7 , 1 】+ 砂( 蚝) ( 五) 一( 雪，牙) 妒( 易) ( m ) + 丌( k ) ( 妨e ( 雪，互) 7 r ( 易) ( g ) + 妒( m ，7 , 1 ) ) = b i ( x l ，陬，历1 ) + b i ( x 1 ，妒m ) ( z 1 ) ) 一( 多，z ) b l ( x l ，妒( 易) m ) ) + 7 ( ，瞰，z 2 1 ) + ，( 阢，忍1 ) + e ( 至，雪+ 乏) 霄m ) ( 砷( ) + e ( 孟，雪+ 互) ( 一e ( 甄牙) ) 7 r ( 易) ( g ) ( 托) + e ( 孟，雪+ 互) 妒( k ，历) ( 局) 由于b 。是g l 一不变的，我们可以得到b 是g 一不变的因此( g ，b ) 是对 称自对偶色李代数，从而定理得证1 3 2对称自对偶色李代数在双扩张意义下的同构 在这一节，我们假设( g ，b ) 是b 不可约的对称自对偶色李代数，而且1 是g 的一个极大理想，使得 g = 0 y 其中y 是g 的子代数 这样的对称自对偶色李代数我们可以找到一个对称自对偶色李代数通过 双扩张在同构意义下一样 1 5 对称自对偶色李代数 第三章色李代数的双扩张 引理3 , 2 1如果( g ，b ) 个对称自对偶色李代数，是g 的一个阶化理 想，则色李代数( ，+ j 上) jnp ，满足下面定义的双线性型唐、 雪( 贾，p ) = b ( x ，y ) ，v x , y ，+ j 上 是对称自对偶的 证明：很明显，雪定义是有意义的 接下来我们要说明秀是非退化的设牙( j + j 上) jnj 上使得 b ( x ，功= 0 ，v 多( i + ，上) in j 上 设z = 歹+ 一歹，而且歹i l ，孟的个代表元那么， b ( 孟，a ) = 0 ，比， 又雪( 孟，动= j e i d + j ，口) = s c j ，a ) 则歹jnp 用同样的方法 豆博前= 0 。8 i 工 从而歹，np 我们可以得到z jnj 上，所有孟= 0 定理3 2 2如果a = 1 上0y ，那么限制到a 上的b 是非退化的，而且 g = - 1 上oa 上0 矿 证明：由于1 是极大的，我们就得到1 上c - 1 是9 的极小阶化理想接下 来我们就是要说明b 限制到以上是非退化的 设a = 歹+ t ，ai 1 小，其中歹1 上，口v 对于所有的b = 歹+ 秒a b ( i + t ，j 7 + t ，) = b ( 歹，口7 ) + b ( v ，歹7 ) + b p ，口) 取b = j 1 上，则有b ( j + 钐，歹) = b ( t ，j ) = 0 ，我们就可得到作为1ny 中的元 t ，= 0 另一方面，由于歹1 上，从而b ( 口，1 ) = b ( j ，1 ) = 0 ，即有s ( j ，1ov ) = 0 又b 是非退化的，则歹= 0 这样我们就得到b 限制到a 上是非退化的由引 理( 2 1 1 ) ，我们就得到g = a 0a 上= 1 上o y 0 小，从而定理得证 为了下面使用的方便，相应的我们也得到一些有用的结果b 限制到a 上 和 上xv 上也是非退化的，b 限制到1 上a 上和a 上xv 上是恒等于零的， 1 6 对称自对偶色李代数 第三章色李代数的双扩张 这些都是很容易推出来的因此我们就得到a tc1 ，而且有小+ 1 上c1 又 ( 1 上0 小) 的维数是等于9 的维数减去y 的维数，即为1 的维数，从而就可 以得到1 = 小0 1 上 记1 1 上= w 由引理( 3 2 ，1 ) ，( 彬雪) 是对称自对偶色李代数 定理3 2 3在小上，存在对称自对偶色李代数的结构同构于( 彬雪) 证明：1 【v , a 上】ca - t 事实上，如果口是y 的齐次元，z 是小的齐次元，则有 p ，叫= j + 口1 = 1 上目兮a 上 其中歹- 1 上，d a 上 设t ，v ，则有 b ( j ，口) = b ( p ，叫一a l t ，) = b ( p ，z j t ，) = 一p ，孟) j e 7 ，p ，t ，】) 从而歹v 上，且p 歹夕上= 0 因此【v , a 上1ca 上 2 设z ，可a 上，则有陋，u l = o t ( x ，秒) + p ( z ，可) ，其中a ( x ，可) 1 上，而且p ( z ，掣) 小从而我们很容易看出卢是小上色李代数的结构，我们记作【，k 3 b 限制到a 上上的是不变的，因此j e 7 是小上的不变常量积 4 考虑小限制到上的线性映射0 定义如下； o c x ) = 叉，v x a 上， 很容易验证0 是同构的而且0 是色李代数的同构：如果x ，y a a ，那么 口( 卅a 上) = ( ky ) = 口( x ，y ) + 3 ( 五y ) = 阢明= ，y l w = 臼僻) ，o ( r ) 1 w 定理3 2 4 对称自对偶色李代数9 = 1 上0 a 上0 v 同构于( 彬雪) 通过y 的双扩张 证明：我们考虑1 上到矿的映射定义如下： 扩：1 叫y + x h ( x ) = b ( x ，) 17 对称自对偶色李代数 第三章色李代数的双扩张 由于j e 7 是非退化的，则可知p 单的对于下面的映射也一样： 占：v 一( 1 上) + x h 6 ( x ) = j e 7 ( x ) 因此，d i m l 上= d i m v + ，而且口是r - 阶化向量空间的同构在1 上和矿上，有 弘模结构定义如下s 1 t ，j = p ，j 】，v ”va n d 1 上 2 扣，) ) = ( - e ( o ，力) ，( p ，钉1 ) ，秽碥，锄瞻a n d ，( 妒) ， 设妒是y 到d e r ( w ) 的线性映射： 妒( t ，) ( 贾) = i 诵，va n d 蚜w 则有砂是色李代数的同构 设垆是w w 到p 的映射，定义如下： 垆( 贾，p ) ( 口) = e + 雪，面) 雪( 妒( t ) ( 支) ，p ) ，呀睨，孵，讹。 则有( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) 知，色李代数( y o o y + ，) 是( 彬百)