（应用数学专业论文）解析函数空间上的复合算子.pdf

五邑大学硕士学位论文 摘要 主要研究了复平面上单位圆盘d 上解析函数空间上的算子巴。我们 所涉及的空间是历和级空间，其中留是指单位圆盘d 上的解析 函数组成的空间满足条件 旷骝卟g 卉卜水； 绋是指由单位圆盘d 上的解析函数组成的空间满足条件 f 2 0 , = s u p 。f f ( z t 2 k c g ( z ，日脚( z ) - 我们主要研究了复合算子q 作用于不同函数空间上有界性和紧致性的充 分必要条件 关键词：复合算子q ；历；线；有界性；紧致性 五邑大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ei n v e s t i g a t ec o m p o s i t i o no p e r a t o r qf r o m 历t o 绋o nt h eu n i tdo ft h ec o m p l e xp l a n e t h es p a c e sw ec o n s i d e rh e r e c o n t a i n 历：ga n d 级t h es p a c e 留麓，w h i c hc o n s i s t s o fa l l a n a l y t i c f u n c t i o n sfo nds u c ht h a t 2 骝2 卜卉卜水叭 t h es p a c e sq k ，w h i c hc o n s i s to fa l la n a l y t i cf u n c t i o n so nds u c ht h a t 瞻2 泌( z l 2 k ( g ( z ，口脚( z ) ， w ew i l lg i v et h es u f f i c i e n ta n dn o n b o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fc 。 f r o m 国。l o g t oq x k e y w o r d s ：c o m p o s i t i o no p e r a t o rc , ；历。l o g ；o k ；b o u n d e d n e s s ； c o m p a c t n e s s i i 本人声明 我声明，本论文及其研究工作由本人在导师指导下独立完成，完成论文所用的 一切资料均已在参考文献中列出。 作者：孙文峰 签字：嫩啐 2 0 0 9 年3 月2 4 日 c o m p o s i t i o no p e r a t o rb e t w e e na n a l y t i cf u n c t i o n s i n t r o d u c t i o n r e c e n t l yy e a r s ，t h ep r o b l e mo f b o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fc h a s a t t r a c t e dt h em o s ta t t e n t i o n s e v e r a l a u t h o r ss o l v e dt h ec o m p a c t n e s sf o r c o m p o s i t i o no p e r a t o rc o nh a r d y s p a c eu s i n g t h en e v a n l i n n ac o u n t m g f u n c t i o n ( s e e 3 0 】 31 】) m a d i g a n ， m a t h e s o na n do f h e r a u t h o r s g a v e c h a r a c t e r i z a t i o no ft h ec o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h eb l o c hs p a c e ( s e er e f e r e n c e s 【5 【1 7 】【1 9 】 2 5 2 7 2 9 】) s o m e a u t h o r si n v e s t i g a t e dt h es a m e p r o b l e m o nb m o a ( s e e 6 ) i nt h i sp a p e r , w ew i l lc o n s i d e rt h ec o m p o s i t i o no p e r a t o rq ，w h l c h 1 s d e f t n e db y q ：。o n e o ft h ef o u n d m e n t a lp r o b l e m s a b o u tt h e c o m p o s i t i o no p e r a t o rqi s t ok n o wt h er e l a t i o n s h i po f f u n c t i o nt h e o r e t l c p r o p e r t i e so f 妒 w i t ho p e r a t o rt h e o r e t i cp r o p e r t i e s ( e g ， b o u n d e d n e s sa n d c o m p a c t n e s s ) o fqw h e nqm a p so n e s p a c et oa n o t h e rs p a c e h e r ew e w i l lm a i n l vc o n s i d e rt h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fq f r o m b 三g t o q 足 t h es p a c e 历口a n d 级w e r ei n t r 。d u c e db ys o m ea u t h o r s ( j 31 【3 2 【3 3 】 【3 4 】 3 5 ) f 。r o p ，o s ，一2 g ，w e d e n n e t h e s p a c e s f ( p ，f o ( p ，w h e n w ec h o i c ed i f f e r e n tc e r t a i n v a l u e s 。ft h e p a r a m e t e r s ，t h es p a c e s r e d u c et 。m a n yw e l l - k n o w nf u n c t i 。ns p a c e s ( s e e r e f e r e n c e 【1 ) i nt h i sp a p e r , w eo n l y c o n s i d e rs p a c e s 历g o ka n d 级j 0 t h ep a p e ri sd i v i d e di n t 。f o u rc h a p t e r s w eb e g i nw i t ht h er e q u i r e dn o t a t i o n s , t e 肌i n o l o g ya n dd e f i n i t i o n s i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h eb o u n d e d n e s so f c o m p 。s i t i 。n 。p e r a t o r qf r o m 历口l o g t o q k ，a n da l s o s t u d i e dt h e c o m p a c t n e s so fc o m p o s i t i o no p e r a t o rqf r o m 历暑g t oq k i nc h a p e r 3 ， 五邑大学硕士学位论文 w ec o n s i d e rt h eb o u n d e d n e s so fc o m p o s i t i o no p e r a t o rqf r o m 秒t oq k ，a n d a l s os t u d i e dt h ec o m p a c t n e s so fc o m p o s i t i o no p e r a t o rc 。f r o mot o q k i n c h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h es p a c e sf n ( p ，g ，s ) a n d f o ( p ，g ，s ) ，a n dg i v er i s et o s o m ec h a r a c t e r i s t i c sa b o u tt h e m 2 五邑大学硕士学位论文 c h a p t e r 1n o t a t i o n sa n db a c k g r o u n d l e tb et h eu n i td i s ko ft h ec o m p l e xp l a n ec ，a di s b o u n d a r yo fd t h es y m b 0 1 日( d ) r e p r e s e n t st h ec o l l e c t i o no fa l l a n a l y t i cf u n c t i o n so n d f o r 口d ，l e tg ( z ，a ) b eg r e e n s f u n c t i o no fdw i t h l o g a r i t h m i c s i n g u l a r i t y a t 口i e g ( 邳) = l 。g 网1 ，w h e r e 川2 品q - - z i st h em 6 b i u s t r a n s f o r m a t i o no fd 1 1 c o m p o s i t i o no p e r a t o r w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o rc ：l e t 咖：d db e a h o l o m o r p h i cf u n c t i o n ，t h e nac o m p o s i t i o no p e r a t o r 巳：h ( d ) 寸h ( d ) d e f i n e d b yq 厂= f 。妒，w ec a l lqi st h ec o m p o s i t i o no p e r a t o ri n d u c e db y 妒o n eo f t h ec e n t r a lp r o b l e m sa b o u tc o m p o s i t i o no p e r a t o r si st ok n o wt h er e l a t i o no f f u n c t i o nt h e o r e t i cp r o p e r t i e so f w i t ho p e r a t o rt h e o r e t i cp r o p e r t i e s ( e g ， b o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s s ) o fc - w h e nc im a p so n es p a c et oa n o t h e r 1 2s e v e r a la n a l y t i cf u n c t i o ns p a c e s d e f i n i t i o n l 2 1f o r0 a o o ，w es a yt h a ta na n a l y t i cf u n c t i o nfi nd b e l o n g st ot h e 谚i ff 广咧厂诽w 广 t h es p a c e s 历“a r ec a l l e dw e i g h t e d b l o c hs p a c e s ，i fa = 1 ，w eg e tt h e c l a s s i c a lb l o c hs p a c e 伪 d e f i n i t i o n l 2 2f o r0 口 o o ，w es a yt h a ta na n a l y t i cf u n c t i o nfi nd b e l o n g st o 历毒g i f 五邑大学硕士学位论文 嘿= 骝2 1 0 9 卉卜b ； a na n a l y t i cf u n c t i o nb e l o n g st o 历oi f l i m 舢才户( 1 0 9 卉卜郴 d e f i n i t i o n l 2 3l e tk ( r ) b ean o n n e g a t i v ea n dn o n d e c r e a s i n gf u n c t i o no n 0 ，i ，af u n c t i o nf h ( d ) i ss a i dt ob e l o n g st oq k i f 峨f2 = s u pn i f k ( g ( 刎眦( z ) l ，t h e nq p = 历， f o r p = 1 ，t h e nq 1 = b m o a ，f o rp 1 ，r a u l a s k a r ih a v ep r o v e dt h e r ee x i s t s as m a r tc o n t a i n e dr e l a t i o n s h i po n q p ，i e q pcb m o ac 历 1 1 d e f i n i t i o n l 2 4f o r 0 p ，0 s ，一2 q o 。， w ed e f i n et h e s p a c e s f ( p ，q ，s ) a n df 0 ( p ，q ，j ) a s ： f ( p ，g ，5 ) = 厂j ，( 。) ：o 厂o ，( p ，。，) = s 。u 。p f 7 ( z ) l p ( 1 一i z l 2 ) 99 5 ( z ，口) a 啊( z ) 1 ，a n df ( 2 ，0 ，s ) = q ，f o ( 2 , 0 ，s ) = q 0 w h e ns = 1 ，t h e n f ( 2 ，0 ，1 ) = q = b m o a a n d f ( 2 ，1 ，0 ) = h 2 ，f ( p ，p ，0 ) = 鬈( 1 p ) 2 w h e n p = q = 2a n dj = 0 ，w ec a ng e tc l a s s i cd i r i c h l e ts p a c ed n a m e l y d = 厂日( d ) ：l 厂7 ( z ) 1 2 ( 1 - ) 2 d a ( z ) 。) d e f i n i t i o n1 2 5l e tfb ea na n a l y t i cf u n c t i o n ，0 p 0 0 ，一2 q ， 0 s a n d 疗n i f s u p a e d d d p m ) 一r p - - p + q q ( 。刺一n p - - p + q - 1x z 群乞 ， t h e nw es a yf f n ( p ，q ，j ) ；i f l i m 叩j ： d 一1dd p 啪t妒啪、 m ) t 叫2 ) t 叫 轷计乞“， t h e nw es a y 厂f o ( m ，j ) ；w h e ns = o ，w e d e f i n e 鬈( 朋，o ) = f n ( 朋，o ) c h a p t e r2c o m p o s i t i o no p e r a t o rf r o m b kt oq 。 w ew i l lu s et h ef o l l o w i n gn o t a t i o n s ：t w o q u a n t i t i e sa 1a n d 以a r e s a i dt ob ee q u i v a l e n ti ft h e r ee x i s tt w of i n i t ep o s i t i v ec o n s t a n t s c i a n dc s u c ht h a t c 1 a l a 2 - os u c ht h a t | i r ( x ) l l y m i i i r f o ra l l f 石m o r e o v e r ：，：爿一y l ss a i dt ob ec o m p a c ti fi tt a k e sb o u n d e ds e t si n xt os e t si ny w h l c hh a v ec o m p a c tc l o s u r e f o rb a n a c hs p a c e s xa n dy c o n t a i n e di n t x 寸yi sc o m p a c ti fa n do n l yi ff o re a c hb o u n d e ds e q u e n c e k i nx ，t h e s e q u e n c e 巩 yc o n t a i n s a s u b s e q u e n c e c o n v e r g i n g t oaf u n c t i o n y 15 】t h r o u g h o u tt h i s p a p e r ， b a n a c hs p a c e ( x ，批) 1 e t 以d e n o t eau n i tb a l lo ft h eg i v e n i no r d e rt op r o v eo u rm a i n r e s u l t s ，w ea l s on e e df o l l o w i n g1 e m m a s ： l e m m a 2 1 1 ( 3 1 1 ) f o r o 口 0a n dc o m p l e xn u m b e r s 乙w e h a v e 五十乞+ + 乙i p c ( i 毛f p + i z ：j p + + j 乙厂) ， w h e r ec = ii f0 1 6 五邑大学硕士学位论文 2 1b o u n d e d n e s so fqf r o m 历t oo k t h e o r e m2 1 4l e t9b ea na n a l y t i cs e l f - m a po fd ，t h e n c 妒：留一q k i s b o u n d e di fa n do n l yi f s u p 口e d f 玎小妒 ( z 9 1 2 南j 2 k ( g ( z ，口粉( z ) = k ( 2 1 ) p r o o f ：l e t ( 2 1 ) h o l d a n d f ，t h e n 暖= s u pj f ( z 肌饼k ( g ( 钏脚( z ) 一z 型兰竺二竺盟堡2 k ， 镏百币一。k 毛 w h i c hs h o w st h a t c 妒：历暑g o k i sb o u n d e d c o n v e r s e l y , a s s u m et h a tc 。：历。l o g 专q ri sb o u n d e d ，t h e nt h e r e e x i s t sac s a t i s f y i n g l e tt h et e s tf u n c t i o n l c , f 恢c | j 厂| | 占岛 删懈寸崦 善2 t h e n 厶h ( d ) 7 0 0 ) a n dl ( 0 ) - - 0( 2 2 ) s i n c e w h e n 铲昂靴h a v e t = s u p u z e d 五邑大学硕士学位论文 鸳2 崦去 扩广 1 0 9 寺愕z 2 r 斗阿( 1 0 9 寺卜卜 h e n c e 厶i e 伽i o g s ow em u s th a v e c o n s t a n tc ，f o ra n yz da n d 0 l o g 忱。妒 ，t h a ti s ，t h e r ee x i s t sa ，w eh a v e b 无恢2 = 骝j g 叫2 杪( z 】2 k ( g ( z ，口) 灿( z ) c ( 2 3 ) ( 1 ) l e t 妒( z ) 0 w h e n = ( z ) ，w eh a v e ，t o g e t h e r ( 2 2 ) w i t h ( 2 3 ) ， 骝j 1 丘g 怖饼r ( g ( z ，口) 胁g ) 2 s u p 口e d 并小g 南 k ( g ( z ，口脚g ) = c 0 0 ( 2 ) l e t 妒( ；) = o b e c a u s ef o = z 历。i o g ，w eh a v e 0 f 。训纨k ，t h a t i s s u p 0 妒( z 】2 k ( g ( z ，口物( z ) k 口e d 。 w h i c hs h o w st h a t ( 2 1 ) h o l d s 8 、，； 、i-， 七i ，u ，i h p ，l p d 叭非 2 卜 z 2 ，l u 叩 g z t h e o r e m i sb o u n d e 五邑大学硕士学位论文 2 1 5l e t 妒b ea na n a l y t i cs e l f - m a po fd ，t h e n di fa n do n l yi f l i m 口l _ l 2 一i 妒( z ) l 2 功嚣g 一驮，o x ( g ( z ，口胁( z ) = 0 ( 2 4 ) p r o o f ：l e t ( 2 4 ) h o l d t h e c o n d i t i o n ( 2 4 ) i m p l i e s t h a t s u p 口e d 玎小g 南 k ( g ( z ，口眦( z ) = c o o w en e e do n l yt op r o v et h a tf o re a c hf c o g t ，c p f q k ，o ，a n dt h i sf o l l o w s f r o mt h ei n e q u a l i t y 譬霉m 厂( z ) 怖( z l 2k b ( 那) m ( z ) 州南 k ( g ( z ，a ) ) d a ( z ) 一0 ( z ) w h i c hs h o w st h a t c 妒：历。i o g q k ，o i sb o u n d e d c o n v e r s e l y ，a s s u m e t h a t c 9 ：留。l o g 寸o k ，。i s b o u n d e d ，t h a t i s 鹄m 4 1 | 厂g 脚( z 】2k ( g ( z ，口脚( z ) = o f o ra n yf 历麓 c o n s i d e rt h et e s tf u n c t i o n 9 丫匕盘厂，l一 一： 口 一 一1月 u ， 一 一z 2 一 ，- 一i 月 一一掣 z 一 一一 ，、 一 一 一 州磊 纠一严 2 一 一 硝一 ，j、 - 缈 一 2 _鲨 m 卅 n h ： 厂 0 ，t h e r ei sar o ，r o ( o ，1 ) s u c ht h a t 叭确一麟，口删z 协jc o n v e r g et o0u n i f o r m l yo nt h ec o m p a c ts u b s e t so f ) l 妒( ：) i s 而 2 乙1 t h e r e f o r e ，m ”s u p 。f l ( c , 。删z ) l 2 k 她口) 胁g ) = s 舢u p ( 州f 咖+ 例 ) l ( c p ) ( z ) | 2k g ，口) ) 幽0 ) = ，+ 1 2 ( 2 9 ) 枷k溜磐 五邑大学硕士学位论文 w eh a v e ，w h e nn n 和s u pj ：, ( 一( c 一删z ) | 2k ( g ( 硼) 胁( z ) = s u p ；，。l 厂”( z 怖。( z 】2 k ( g ( z ，口) 协( z ) 嘉 z l 一1 r o - l 曰岛 7 ( 9 ( z ) ) 1 2 ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 2 。( 1 。g i 二t 翥开) 2 i 妒( z ) 1 2 s 0 ，t h e r ee x i s t ss o ( o ，1 ) s u c ht h a t s u p i ( c 9 l o ) ( 矿( c 训2k ( 舴，砌剃( 小三 t h e n ，b yt h ei n e q u a l i t y ( 口+ 6 ) 2 2 ( a 2 + 6 2 ) ，f o ra n y ，- ( o ，1 ) ，w eh a v e 五邑大学硕士学位论文 骝k d l 厂( 妒( 硝) 阳g ( z ，口) ) 幽( z ) 骝 2j 巳降，i ( c 矿工。) k ) 一( q 厂( z ) ) 1 2k ( g ( z ，日) ) 出( z ) + 2 p ，i ( c , l o ) ( z ) 1 2k ( g ( z ，口) ) 剐( z ) 乏+ 2 l 二凹k ，| 妒k 汗地亿砌幽， w h e r e 0 f s o 卜m a ，x l o ( w ) ( 2 1 2 ) s i n c e z ” i sn o r mb o u n d e di n 历：o g ，a n d i t c o n v e r g e st o 0h o nd ， h e n c ew eh a v e l 以一o ( 刀- o o ) b yt h eh y p o t h e s i s ，t h a ti s ，f o r g i v e n s 0 ，t h e r ee x i s t sa ni n t e g e rn 1 ，s u c ht h a t ，f o r 丹n 矿骝脚加。2 k 咖蚓 ，0 l t a k i n g r n ，w eg e t 攀m 删2 砘也啪g 卜 一dj ( 函；， 4 岐 ( 2 1 3 ) h e n c eb y ( 2 1 2 ) a n d ( 2 1 3 ) ，w eh a v ea l r e a d yp r o v e dt h a tf o ra n ys 0 a n df e 肠。i o g ，t h e r ee x i s t sa6 = 8 ( e ，厂) s u c ht h a t s u 洲pi ，枷f i f 。( ) m ( z ) 阳g ( 邵) ) 幽( z ) 占 w h e n e v e r6 ， 0a n df 历。l o g ，t h e r ei s a 七，1 k ，s a t i s f y i n g 骝妙( ) 一( ) m ( z ) 阳g ( 那) ) 出( z ) s ( 2 1 4 ) o nt h eo t h e rh a n d ，i fw ec h o i c e p = m a x 6 ( e ， ) ，w eh a v e ，f r o mt h ep r e v i o u s 1 5 出s 月 o b s e r v a t i o nt h a tf o ra l lk = 1 ，2 ，3 ，刀， s u p ( 枷i 六( 妒( z ) ) m ( z ) 1 2 k ( g ( z ，口) ) 幽( z ) ( 2 1 5 ) t h ei n e q u a l i t y ( 口+ 6 ) 2 2 ( a 2 + 6 2 ) ，t o g e t h e rw i t h ( 2 14 ) a n d ( 2 15 ) ，g i v e s s u 洲pi ，巾，i l f ( ) m ( z ) 阳g ( 邳) ) 幽( z ) 2 s f o ra n y f 历。l o g w h e n e v e rp ，- 1 l e tt h et e s tf u n c t i o n 删= 惜2 卜g k 2 t h e n 厶h ( d ) s i n c 斜 口 m e n 铲静眦h a v e o o 卅 卟g 寺愕z 2 i 口 l o g 0 0 ) a n di o ( o ) = 0 2 1 - 讲， ( 2 16 ) 五邑大学硕士学位论文 = 磐卟g 卉灿 o o ， t h a ti s f o 历：g t h u ss e n d s o ( z ) t o ( 2 16 ) ，w h i c hi m p l i e s ( 2 7 ) t h e p r o o fi sc o m p l e t e d t h e o r e m2 2 7l e t 9 b ea n a n a l y t i cs e l f - m a p o fd ，t h e n c 。： 历：g q 舢i sc o m p a c t i f a n do n l yi f 妒q 舢a n d k ( g ( z ，口) 协( z ) = 0 p r o o f ：b e c a u s et h ep r o o fo ft h e o r e m2 2 7i ss i m i l a rw i t ht h e o r e m2 2 6 ， w eo m i tt h ed e t a i lh e r e ，a n dn o t i c eo n l yt h a ti f c 妒：历一线，o b ec o m p a c t ， t h e n ，c 妒f o 即w h e n e v e rf 历，i ti s c l e a r t h a t 妒o 舢i fw e l e t ( z ) - - z 留：。 b 丽荫 五邑大学硕士学位论文 c h a p t e r3c o m p o s i t i o no p e r a t o rf r o m 秒t o 纵 t h e o r e m 3 1l e tk ( r ) b ean o n n e g a t i v e ，n o n d e c r e a s i n gf u n c t i o no n 【o ，0 0 ) ， a n d 妒b ea na n a l y t i cs e l f - m a po f d ，t h e nc 口：秒斗o i sb o u n d e di fa n d o n l yi ff o ra n yf 矽， s u pi l ( c 9 厂) 7 ( z ) 1 2k ( g ( z ，a ) ) d a ( z ) 0 ，t h e r ei sar 0 ：0 c 一砘2 s u p 。j ( c of , ) 饼k ( g m o ) = s 舢u p ( 州 弗，。+ s ，。 ) l ( q ) 。( z ) 1 2k ( g ( 卅) 胁( z ) 骝k 白忙 ) g ) | 2 k 她口脚( z ) + 兰 = s u p ；而( z 叫2 陟( z t2 k ( g ( 2 ，口眦( z ) + 兰 t h u s ， c , x l = 0 ，w h i c hs h o w st h a t 巴：d 一鲰i sc o m p a c t c o n v e r s e l y , s u p p o s et h a tc 口：d q x i sc o m p a c t ，t h e nt h e r ei sac l 0 s u c ht h a t f 。叱c 1 w h e n e v e rf 勿b e c a u s em ) = 2 e 勿，w eg e t 妒q r t ov e r i f y ( 3 2 ) ，l e t f 乃a n d 五( z ) = f ( s z ) f o rs ( 0 , 1 ) a n d z d n o t e t h a t f s fu n i f o r m l yo nc o m p a c ts u b s e t so fda ss 一1 s i n c ec i s c o m p a c t 0 c , l q i i i 既一o a ss 一1 t h a ti sf o rg i v e ns 0 ，t h e r ee x i s t s 知( o ，1 ) s u c ht h a t s 一2 + 鲸 p ， 三圮 s 一 一 五邑大学硕士学位论文 s i n c e s u pi ) l ( c 9 六0 ) ，( z ) - ( c 妒( 圳2k ( 酢，口) ) 幽( z ) 三 s u p l r p ( z ) 1 2k ( 比口) ) 幽( z ) ， t h e r ee x i s t sa6 ：0 6 ，i 叭圳2 以比膨( z ) 斑 w h e n e v e r 6 ， 1 ，w h e r e 慨k = m a ，xl o ( w ) 1 t h e n ，b yt h ei n e q u a l i t y ( 口+ 6 ) 2 2 ( a 2 + b2 ) ，f o r6 ， 1 ，w eh a v e 骝k ，i i 厂( ) m ( z ) 阳g ( 础) ) 拟( z ) 骝 2 p ，i ( c 9 l o ) k ) 一( q 厂( 砌7 1 2 k ( g ( z ，口) ) 幽( z ) + 2 ( 刮，l ( q 厶) ( z ) 1 2k ( g ( z ，口) ) 幽( z ) 三+ 2 ：泌k 妒7 ( z ) | 2k ( 酢，砌幽( z ) ， oa n d f 勿t h e r ee x i s t sa 6 = 6 ( s ，f ) s u c ht h a t s u pi ，i l 厂。( ) m ( z ) 阳g ( 础) ) 幽( z ) s w h e n e v e r6 ， 0a n d f 移，t h e r ei sak ，1 k ”，s a t i s f y i n g s u pi vf 。( ) 一( ) m ( z ) 阳g ( 邵) ) 幽( z ) s ( 3 4 ) o nt h eo t h e rh a n d ，i f p = m a x l k n 6 ( s ，六) ， l ，w eh a v ef r o mt h ep r e v i o u s o b s e r v a t i o nt h a tf o ra l lk = 1 ，2 ，3 ，刀， 五邑大学硕士学位论文 s u p ( 枷l ( 妒( z ) ) m 7 ( z ) 1 2k ( 比口) ) 幽( z ) s t h ei n e q u a l i t y ( 口+ 6 ) 2 2 ( a 2 + 62 ) ，t o g e t h e rw i t h ( 3 4 ) a n d ( 3 5 ) ，g i v e s s u pi 。( ：) ，df ( 州) m ( z ) 1 2k ( g ( 础) ) 洲( z ) 2 f o ra n yf 勿w h e n e v e rp ， 1 t h ep r o o fi sc o m p l e t e d ( 3 5 ) ( 3 6 ) t h e o r e m 3 3 l e t k ( r ) b en o n n e g a t i v e ，n o n d e c r e a s i n go n 【o ，o o ) a n dl e t 妒 b ea na n a l y t i cs e l f - m a po fd ，t h e n c 9 ：d 寸q ，o i sc o m p a c ti fa n do n l yi f l i m 儿s u p 。l o ( j 。帆) 阳g ( 圳幽( z ) = o ( 3 7 ) p r o o f ：f i r s t s u p p o s e t h a t c 口：口jq 石，o i s c o m p a c t t h e n a = c l c 妒( ) ：d 0 ，s i n c eac o m p a c ts e ti nm e t r i c s p a c ei sc o m p l e t e l y b o u n d e d ，t h e r ee x i s tz ，厶，六 力s u c ht h a te a c hf u n c t i o nf 。砂i na l i e sa t m 。s t 三d i s t a n tf r o m b = 石。妒，五。妒，厶。驴 t h a ti s ，t h e r ee x i s t sa j j = 1 , 2 ，n ) s u c ht h a t 川一乃。小三 ( 3 8 ) o nt h eo t h e rh a n d ，s i n c e 乃。，- ，) c 改”t h e r ee x i s t sa6 ：o 6 1s u c h t h a tf o ra l lj ja n d6 | ai 1 ， i ) 修北) 阳g ( 圳幽( z ) 三 ( 3 9 ) t h e r e f o r eb y ( 3 8 ) a n d ( 3 9 ) ，w eo b t a i nt h a tf o re a c h 厂乃w i t h 。 1 ， t h e r ee x i s t sj js u c ht h a t ，w h e n6q 口i 1 i ) 陋纵z ) 阳g ( z ，口) ) 幽( z ) 1 9 五邑大学硕士学位论文 2 i ) 陋一。) ( z ) 2 k ( g ( 刎)