（机械电子工程专业论文）机器人轨迹规划方法研究.pdf

机器人轨迹规划方法研究 摘要 轨迹规划对机器人高效、稳定的运行有重要影响，通过轨迹规划 使机器人运动平滑、平稳，减少冲击和振动，提高机器人的稳定性、 可靠性、工作效率有重要意义。本论文以实验室开发的三自由度机械 臂为研究对象，深入研究了基于关节空间的轨迹规划方法。 在本论文中，将组合曲线、非对称化以及连续i e r k 函数的概念引 入到轨迹规划中来，并通过分析和研究几种具体的组合曲线，指出了 关节空间轨迹规划的基本原则和衡量轨迹规划曲线特性的主要指标， 提出了轨迹规划曲线的高阶导数要连续，同时要保证使规划出的曲线 不仅要保证位移、速度、加速度连续，而且还能保证冲击连续。 本文使用p r o e n g i n e e r 软件对所在实验室开发的三自由度机械臂 进行了三维造型设计，使用m a t l a b 软件对轨迹规划好的机器人运动 进行仿真，用v i s u a lc + + 软件编写机器人控制软件，并结合三自由度 机械臂实验平台验证了轨迹规划得到的组合曲线是切实可行和有效 的。 关键词：机器人轨迹规划组合曲线非对称冲击 t h er e s e a r c ho fr o b o t st r a j e c t o r yp l a n n i n g a b s t r a c t t r a j e c t o r yp l a n n i n gh a sq u i t ei m p o r t a n te f f e c t sf o rr o b o t sh i g he f f i c i e n ta n d s t a b l em o t i o n t h o u g ht r a j e c t o r yp l a n n i n g ，r o b o tc a nn o to n l ym o t i o ns t a b l y , b u t a l s oa v o i dv i b r a t i o na n di m p a c t i ti sq u i t es i g n i f i c a n tt oi m p r o v et h er o b o t s s t a b i l i t y , r e l i a b i l i t ya n dw o r ke f f i c i e n c y t h er o b o ts t u d i e di nt h i st h e s i si sa3 - d o f m a n i p u l a t o rw h i c hi sd e v e l o p e db yo u r1 a b o r a t o r y t h em e t h o d so ft r a je c t o r y p l a n n i n gb a s e do njo i n ts p a c ea r ep r o f o u n d l y s t u d i e d i nt h i sp a p e r , c o m b i n e dc u r v e 、a s y m m e t r ya n dc o n t i n u o u sje r kc u r v ea r e f i r s ta d o p t e dt ot r a je c t o r yp l a n n i n g t h r o u g hr e s e a r c ha n da n a l y s i so fs e v e r a l c o m b i n e dc u r v e s ，p o i n t e do u tt h eb a s i cp r i n c i p l e so ft r a j e c t o r yp l a n n i n gi nj o i n t s p a c ea n dt h ek e yi n d i c a t o r st om e a s u r ec h a r a c t e r i s t i cc u r v eo ft r a je c t o r yp l a n n i n g a tt h es a m et i m e ，t h eh i g h e rd e r i v a t i v eo ft r a je c t o r yp l a n n i n gc u r v es h o u l db e c o n t i n u e d t h ed is p l a c e m e n t ，v e l o c i t ya n da c c e l e r a t i o no ft r a je c t o r yp l a n n i n g c u r v ea 】s os h o u l db ec o n t i n u e d 3 一d o fm a n i p u l a t o rh a db e e nd e v e l o p e d m a c h i n e r y , h a r d w a r ea n ds o f t w a r e o f3 d o fm a n i p u l a t o rh a db e e nd e v e l o p e d m a t l a bw a su s e dt od os i m u l a t i o n a n a l y s i so ft h ec o m b i n e dc u r v e ，p r o e n g i n e e rw a su s e dt od om e c h a n i c a ld e s i g n ， a n dv i s u a lc + + w a su s e dt op r e p a r ep cc o n t r 0 1s o f t w a r e t h ee x p e r i m e n t a l p l a t f o r mw h i c hw a sc o m p o s e do f3 - d o fm a n i p u l a t o ra n dv i b r a t i o nt e a c h i n g s y s t e mu s e dt ov e r i f i c a t i o nc o m b i n e dc u r v e a t1 a s t t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o w t h a tt h em e a n sw h i c ha r ep r o p o s e di nt h i sp a p e ra r ef e a s i b l ea n de f f e c t i v e k e yw o r d s ：r o b o t ；t r a j e c t o r yp l a n n i n g ；c o m b i n e dc u r v e ；a s y m m e t r y ；j e r k 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 圜塑塑 日期：! 塑：! ：彤 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电人学。学校有权保留并向国家有关部 l j 或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查n , 币l l 借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 阁面岛 日期：! 堡：! ：丝 日期：丝班：2 ，碰 北京邮电大学硕十学位论文 1 1 引言 第一章绪论 随着2 0 世纪6 0 年代微处理器的出现，机器人进入了现代机器人时代，也让 机器人步入应用阶段，使机器人学得到迅速发展，当前机器人学发展成为一门侧 重于综合的工程科学，其涵盖了机械工程、计算机科学、控制理论、电子学、传 感技术、人工智能、模式识别等多个学科。机器人延伸和扩展了人的手脚和大脑 的功能，扩大了人的活动区域，具有许多人和普通机械所不可比拟的优良特性。 在制造业中采用机器人技术，可以将人类从繁重和单调的劳动中解放出来；缩短 生产周期，提高产品质量，改善生产条件，非常适应现代化生产发展的需要。 机器人最早应用的领域是汽车工业，其中应用最早最多的工种为焊接、喷漆 和上下料。焊接包括点焊、弧焊、压焊、激光焊等。人工焊接不但劳动强度大而 且质量不易保证，点焊机器人可编程，可调整空间点位，焊接质量高：喷漆工序 中雾状漆料对人体有危害，喷漆环境中照明、通风等条件很差，因此在这个领域 中大量使用了机器人，不仅改善了劳动条件，而且还可以提高产品的产量和质量， 降低成本。如今机器人的应用范围日益扩大，机器人广泛的应用于原子能工业、 宇宙开发、军事领域、农业畜牧业、建筑和工矿业、医疗服务等事业，如放射性 物质搬运、设备的检查与维修、星球探查、布雷、弹药装填、撒农药、开矿爆破、 盲人导行与假肢等。 在机器人的实际应用中，对机器人的工作精度和运动平稳度要求越来越高， 工作效率和质量是衡量机器人性能的重要指标，提高机器人的工作效率，减小实 际操作中的误差成为机器人应用需解决的关键性问题。因此对机器人机械系统必 须进行深入的研究，这是机器人设计开发的基础。而对机器人的轨迹规划研究则 是解决问题的前提和基础。 1 2 研究背景 机器人轨迹规划就是讨论计算轨迹方法的研究，轨迹描述了我们希望操作臂 在多维空间中的运动路线。机器人系统在运动过程中必须遵循一个原则，就是运 动过程中尽量平滑、平稳，也就是要避免位置、速度和加速度的突变，如果运动 不平稳会产生机械部件的磨损加剧，并导致机器人系统的振动和冲击。事实上， 突变的运动需要无穷大的动力实现，而电动机因受物理的限制不能提供上述动 北京邮电大学硕士学位论文 力。因此，我们就必须规划机器人的运动轨迹，可以用简单的技术规划机器人的 运动，使其运动平滑、平稳，减少冲击和振动，能够保证整个机器人系统长期、 高效、稳定的运行。但是，不能保证不产生运动的突变和抖动，以及机器人刚体 的振动。所以，对机器人的轨迹规划进行深入的研究就非常重要，而且随着对机 器人要求的不断提高，如何保证机器人能够高速、平稳的到达指定位置，提高整 个机器人系统的稳定性和可靠性，轨迹规划就显得越来越重要。而拾取操作的轨 迹规划又是轨迹规划的基础和根本，是研究有路径约束和障碍约束的轨迹规划的 前提。 为了使机器人系统便于对机器人进行操作，能够高速、平稳的到达指定位置， 提高整个机器人系统的稳定性和可靠性，就要求我们必须研究出复杂的时间和空 间的函数才能完成指定的任务。但是，我们又希望控制系统通过简单的运算就能 够完成机器人的希望运动，实现实时的机器人运动控制，这就要求我们必须寻找 出合适的轨迹规划曲线，同时满足以上要求，而且还能够实现时问较短的要求。 在关节空间中进行轨迹规划是指将关节变量表示为时间的函数来描述操作臂预 期的运动，在关节空间直接进行轨迹规划具有很好的实时性。因此通过此方法进 行轨迹规划能够解决我们所面临的问题。 1 3 国内外研究现状 文献 1 8 研究的是基于3 次多项式的样条曲线关节轨迹规划方法。k a h n 和r o t h t l 】早在1 9 7 1 年就研究过机器人作p t p 运动时最优轨迹规划问题，但作了 不少假设和近似。k i mk e e w h a n t 2 】和l i n ch u n s h i n t 3 1 利用3 次多项式关节轨迹规 划方法需要解一个( n 2 ) x ( n 2 ) 的对角方程，其中n 为轨迹的中间点数，这种方法 的缺点是当n 较大时计算量大。b a z a z 和t o n d u t 4 】在3 次样条函数的基础上实现 了在线轨迹规划，并对轨迹进行了时间优化设计，但这种方法不能满足轨迹点之 间的加速度连续性。徐向荣 5 】等提出了采用3 5 3 样条函数法对机器人轨迹进行 规划。文献 6 对文献 5 进行了修正，并用仿真工具对新的样条轨迹函数进行了 验证。文献 9 1 0 中引入5 次多项式的样条曲线对机器人轨迹进行规划。文献【1 1 】 中采用分段多项式样条函数进行了机械手关节空间的轨迹规划，该方法不需要求 解逆运动学方程，但分段样条函数的各项系数的计算较为复杂。文献 1 2 】提出了 基于摆线运动规律的轨迹规划方式。文献 1 3 】采用3 阶贝塞尔曲线进行路径规划， 并给出了加速度约束条件下时间最优的轨迹规划方法。文献 1 4 基于螺旋理论和 空间样条曲线生成原理提出了一种笛卡儿空间的机械手轨迹规划方法；文献 1 5 】 针对机械手作两圆柱相贯线运动的特别运动轨迹，进行了有效的轨迹规划；文献 1 6 】和 1 7 则基于最小时间或最小能量的最优轨迹规划问题进行了研究，文献 1 7 】 2 北京邮电大学硕上学位论文 针对两机械手协调作业提出了一种最小时间的轨迹规划方法。文献【1 8 】采用双曲 线函数在关节空间进行了机械手轨迹规划，该方法算法简单，但是双曲线函数中 参数的确定需要大量经验。 文献 1 9 - - 3 0 研究的是基于b 样条曲线的轨迹规划方法。其中文献【1 9 _ _ 2 5 提出了b 样条曲线的轨迹规划方法，指出b 样条具有导数的连续性、分段处理 性、关节位移变化率小、局部支撑性等优点。文献 2 6 2 7 】是运用运动学方法 进行了机器人时间最短轨迹规划。文献 2 8 贝1 j 是在用关节加速度限制近似替代最 大关节转矩限制的情况下进行的时间最短轨迹规划，这样就使问题得以减化，而 所得的结果与实际情况则有出入。文献 2 1 - - 2 2 贝1 是综合考虑了关节角速度约 束、角加速度约束、角加加速度约束及力矩约束。 文献 3 1 - - 3 3 是通过增加轨迹规划曲线上所取的节点数，来提高路径跟踪的 精度，并把多项式和余弦函数进行组合寻找时间最优的轨迹规划方法。但这会导 致关节轨迹分段数和关节轨迹方程数量大大增加，在线计算时控制系统的运算量 大幅度增加。 通过上面表述可知，目前基于关节空间的轨迹规划的方法只是停留在矩形函 数加速度曲线，梯形函数加速度曲线，三次多项式插值，高阶多项式插值，抛物 线过渡线的性插值，摆线运动，贝塞尔曲线以及b 样条曲线这几种方法上。这几 种方法只是用一种特殊的曲线对机器人进行轨迹规划，虽然它们具有一些优点， 但是在运动轨迹、速度曲线、加速度曲线方面存在一些问题，没有充分发挥各种 曲线所独有的优点。 选用多项式函数为至少五个自由度的五次多项式作为轨迹函数，其加速度函 数则为三次函数，j e r k 函数也是连续的。这种情况是j e r k 函数是连续的，可以 减少振动和冲击。 采用加速度曲线为正弦函数的摆线运动轨迹虽然在起始位置冲击有最大值， 但有光滑连续的余弦函数，要比矩形函数和梯形函数的冲击函数好，只是其加速 度的理论最大值比矩形函数和梯形函数的都大。 由于矩形函数的加速度曲线不连续，在开始、中间和结束处都是间断的，不 符合加速度连续的轨迹规划基本要求。 梯形函数的加速度曲线为有一个很大的缺点就是冲击函数不连续，而且方向 不同、大小不同的冲击函数会使机器人系统受到冲击、产生振动，抛物线插值与 梯形函数相似。 通过对现有的各种轨迹规划方式的分析，我们可以知道，现有的各种轨迹规 划方式虽然能够满足一定的需要，但是也存在着一些问题，如何充分发挥它们的 优点，尽量减少它们不利的影响，设计出性能优越的、符合要求的轨迹规划曲线 北京邮电大学硕士学位论文 就是本文研究的重点和核心。 1 4 本文研究内容 本文针对关节空间的轨迹规划进行研究，力求发现新的满足快速性、准确性 和实时性要求的基于关节空间的轨迹规划的一般规律，以本实验室的三自由度机 械臂为基础，通过搭建试验平台来验证轨迹规划的准确性，以用来指导和应用于 实践。 本文的主要结构和具体工作如下： 第一章：绪论。对基于关节空间的轨迹规划进行简单的概述，介绍了本课题 的研究背景和国内外的研究现状、本论文研究内容。 第二章：对称化的机器人轨迹规划方法研究。本章主要分析了轨迹规划曲线 特性的几个指标，进行轨迹规划时应该注意的问题，并针对具体的组合曲线轨迹 规划方法进行公式推导，展开研究并进行分析和对比，分析不同曲线的几个特性 指标的优缺点。最后总结得出进行组合曲线的轨迹规划时的注意事项。 第三章：非对称化的机器人轨迹规划方法研究。在第二章研究的基础上开展 研究，第二章主要是针对对称曲线展丌的，而本章则是把对称曲线非对称化，在 加速与减速曲线2 ：3 的比例下这个特殊情况下进行公式推导，展丌研究并进行仿 真分析和对比，分析不同曲线的几个特性指标的优缺点。并指出进行组合曲线非 对称化的研究意义。 第四章：机器人机械结构三维造型建模设计。本章主要介绍实验室三自由度 机械臂三维造型建模设计过程中碰到的问题和注意事项。使用p r o e n g i n e e 进行 建模设计时需要注意的问题以及使用p r o e n g i n e e r 时预防再生失败的经验总结。 第五章：机器人控制系统及软件设计。本章主要介绍了实验室三自由度机械 臂控制系统的搭建、工作流程和软件设计。涵盖了控制系统中的p c 机、运动控 制卡、驱动器和伺服电机以及传感器等硬件和控制软件的实现以及使用说明。 第六章：搭建测试系统实验平台及实验验证。本章主要介绍了搭建测试实验 平台和使用本测试实验平台来对前面第二章和第三章的理论研究进行验证和分 析。 总结和展望。对本论文所研究的内容进行归纳总结，分析研究工作的不足， 并对下一步的研究工作作出了构想。 4 北京邮电大学硕士学位论文 第二章对称化的机器人轨迹规划方法研究 2 1 轨迹规划综述 通常将操作臂的运动看作是工具坐标系 t ) 相对于工作坐标系 s ) 的运动。这 种描述方法即适用于各种机械手，也适用于同一机械手上装夹的各种工具。对于 移动的工作台也适用，工作坐标系 s ) 的位姿随时间而变化。对拾放操作的机器 人，需要描述它的起始状态和目标状态，即工具坐标系的起始值 t 0 ) 和目标值 t 口) 。本文用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态，例如起始点和目标点 等。 在关节空间进行轨迹规划，机械手运动路径点一般用工具坐标系 t ) 相对于 工作坐标系 s ) 的位姿来表示。为了求得在关节空间形成所求轨迹，首先用运动 学反解将路径点转换成关节矢量角度值，然后对每个关节拟合一个光滑函数，使 之从起始点开始，依次通过所有路径点，最后到达目标点。对于每一段路径，各 个关节运动时间均相同，这样保证所有关节同时到达路径点和终止点，从而得到 工具坐标系f t 应有的位置和姿态。尽管每个关节在同一段路径中的运动时间相 同，但各个关节函数之间却是相互独立的。 在关节空间进行轨迹规划，需要给定机器人在起始点和终止点手臂的位形。 对关节进行插值时，应满足一系列的约束条件如：各个关节位移、速度、加速度 在整个时间间隔内的连续性要求等。在满足所要求的约束条件下，我们就可以选 择不同类型的插值函数，生成不同的轨迹。 关节空间中拾取操作的轨迹规划，只是限定轨迹函数的启动和终止两个极限 位置，对于函数曲线没有强制性，因此，我们也就有很大的自由度选择轨迹函数。 但要使执行拾取操作的机器人能够更快、更精确、更稳定的从起始位姿到达终止 位姿，就要求机器人在运行和停止时必须是平缓的，而不能猛然加速、骤然降速， 因此就需要最大速度、加速度、冲击要非常小，也就对运动轨迹、速度曲线、加 速度曲线提出了更高的要求，甚至对冲击( 加速度对时间的一阶导数) 曲线也要 加以限制，以减小振动。所以轨迹规划首先应该在轨迹函数、速度函数、加速度 函数连续的基础上，从加速度函数入手，选取适当的加速度曲线函数。 2 2 轨迹规划曲线的特性指标分析 通常在进行轨迹规划时，不仅要考虑机器人的运动学要求，同时还要综合考 北京邮电大学硕十学位论文 虑机器人的工作转速、质量以及载荷的大小等多种因素。因此深入了解反映轨迹 规划曲线特性的参数的含义，对于机器人系统的轨迹规划，以及分析这些参数对 机器人的运动及动力特性的影响分析，具有重要的意义。 1 最大速度：机器人运动的速度，其最大值是反映运动特性的一个重要指标。 对于具有一定质量的机器人，最大速度值越大，则机器人系统的动量也大。在机 器人系统质量较大时，为减小动量，应选择最大速度值较小的轨迹规划曲线。若 机器人在工作中遇到需要紧急停车的情况，由于机器人系统动量过大，会出现操 控失灵，造成机构损坏等安全事故。因此希望机器人系统速度的最大值在满足要 求的情况下越小越好。 2 最大加速度：机器人运动加速度最大值的大小，是影响机器人动力特性的 主要因素。也是反映机器人运动特性的重要指标，最大加速度值的大小，会直接 影响机器人系统的惯性力的大小。因此希望机器人系统加速度的最大值越小越 好。 3 最大冲击：机器人冲击最大值的大小对机器人系统的动力特性有很大的影 响，会直接影响机器人系统的残余振动，影响机器人的动力学特性。因此希望机 器人系统冲击的最大值越小越好。 4 轨迹规划曲线的高阶导数：通常根据加速度曲线在运动过程中是否连续， 定义了该种轨迹规划曲线是否有刚性冲击、柔性冲击。而加速度的导数曲线一一 冲击曲线是否连续，或者其突变值的大小对机器人动力特性有很大的影响。连续 的冲击曲线或者冲击突变值较小的轨迹规划曲线，可以改善机器人系统的动力学 特性，减小系统的残余振动。因此，轨迹规划曲线高阶导数是否连续是衡量轨迹 规划曲线特性的主要指标。 高阶导数连续性好的轨迹规划曲线，其最大速度和最大加速度的值一般也比 较大。反之，具有较小的最大速度和最大加速度值的轨迹规划曲线，其高阶导数 往往是不连续的。可见轨迹规划曲线的选取和设计存在相互矛盾的制约因素，不 可能同时取得各指标参数的最佳值。因此，这就要求我们在进行轨迹规划时，要 根据需要，综合权衡各项特性指标的基础上做具体的分析。 2 3 轨迹规划方法研究 多项式类型和三角函数类型的轨迹规划曲线是机器人系统常用的最基本，最 普遍曲线。但是随着生产技术的发展，对机器运动特性的要求不断提高，对于轨 迹规划曲线的要求也就越来越严格。机器人系统在一些场合下，对其轨迹规划曲 线不仅要求高阶导数连续，同时也要求具有良好的综合特性指标，如要求具有较 小的速度、加速度、冲击等。单一型的轨迹规划曲线已经不能满足要求。因此， 6 北京邮电大学硕士学位论文 这就需要综合几种不同轨迹规划曲线的特点，把几种基本的轨迹规划曲线组合在 一起构成组合型轨迹规划曲线，设计出一种具有良好综合特性的轨迹规划曲线， 以便发扬各自的优点和克服其缺点。通过几种不同函数组合在一起而设计出的轨 迹规划曲线，就是组合型的轨迹规划曲线。组合型的轨迹规划曲线是由分段函数 组成的。在各段函数的连接点处，需要建立临界条件，以保证各分段函数在临界 点处具有相同的位移、速度、加速度( 甚至是冲击) 。构造这种组合函数的难点 在于：选取什么样的分段函数，才能使设计出的轨迹规划曲线具有良好的综合指 标。 2 3 1 加速度函数为连续分段函数的轨迹规划方法 由于矩形函数的加速度曲线不连续，在开始、中间和结束处都是问断的，不 符合加速度联系的轨迹规划基本要求。梯形函数的加速度曲线为有一个很大的缺 点就是冲击函数不连续，而且方向不同、大小不同的冲击函数会使机器人系统受 到冲击、产生振动，抛物线插值与梯形函数相似。采用加速度曲线为正弦函数。 虽然在起始位置冲击有最大值，但有光滑连续的余弦函数，要比矩形函数和梯形 函数的冲击函数好，只是其加速度的理论最大值比矩形函数和梯形函数都大。为 此提出了一种加速度函数为连续分段函数的轨迹规划方法，就是将梯形的斜边用 周期相同的1 4 周期的正弦函数代替，这样就能够融合梯形函数和正弦函数的优 点，使加速度最大值增加不多，而加速度曲线函数又能够平滑过渡，因此就可以 减小惯性力，使机器人的各关节能够快速、平稳、精确的到达指定位置。 我们在起始和终止位姿机器人位形的关节变量分别用矢量研和啡表示，以 时间t 为变量，从起始位姿开始，令t = 0 ，工作时间为t ，到达终止位姿时为t = t 。 为了保证机器人运动的平滑，可以有以下的起始条件 1 】： 0 ( 0 ) = 已，0 1 ( 0 ) = 0 ，0 ”( 0 ) = 0 ( 2 1 ) p ( d = o f ，0 。( d = 0 ，0 ”( d = 0 ( 2 2 ) 设关节运动轨迹插值函数为s ( f ) 且满足 0 s 10 f 1f = 二 ， r 将s ( f ) 作为自变量，则可以用机器人各个关节变量臼，在其值域范围内变化来描述 机器人的运动，从而有 o j ( t ) = 科+ ( 等一掣) s ( f ) ( 2 - 3 ) 7 北京邮电大学硕上学位论文 用纠和鳟表示第j 个关节变量的起始位姿和终止位姿。用矢量表示的形式为 秒( f ) = 岛+ ( 酢一岛) s ( f ) 眇( f ) = ( o f 一岛) s ( r ) f ，( t ) = ( 啡一岛) s ( r ) 0 ( f ) = 可1 ( 纬一w ( f ) ( f ) = 亍1 ( o f 一( f ) 所以由式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 带入式( 2 4 ) - - 一( 2 7 ) 可以得到s ( f ) 应该满足的条件 j ( o ) = 0 ，( o ) = 0 ，s ”( o ) = o s ( 1 ) = 1 ，( 1 ) = 0 ，j ( 1 ) = 0 上述公式引用于文献 3 5 1 0 0 。 所以由加速度函数入手令j ”( f ) 为 s ”( f ) = ks i n ( 4 x r ) ks i n ( 4 7 r r 一万1 一后 o f 1 8 1 3 一f 一 88 ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 3 5 ：r = ( 2 9 ) 88 三f 三 88 一七s i n ( 4 x r - 3 ；r ) 詈f 1 所以积分可得j p ) 和s ( r ) 分别为 i 一k c o s ( 4 7 r r ) + k o f ! i 韧4 x8 i 打+ k 一一k 一1 f 一3 l 4 ；r 888 荆= 争酬切刮t 每专 协 i 一打+ 2 尼+ 土 一5 s _ 一7 l 84 x 88 b + c o s ( 4 万r 捌， 8 北京邮电人学硕上学位论文 j 南叫铡 陟 ) r 斗l k 8 一面k s ( 刊石k r + 等一南s 试4 而一力一话k i 脬+ 扣笔+ 志一篙 【笔+ 刍蛳4 而- 3 x ) + 专 因此由( 2 - 8 ) x - s ( 1 ) = l 可得 尼= 墨 所以可以很容易求出j ( f ) 的最大值。( f ) 为 j 二( 垆“三) = 2 即由式( 2 5 ) 可得第j 个关节的最大速度为 ( g ) 。= ( 砟一b ) n 样g n s 7 ( 丁) 的最大值。( f ) 为 妇垆肛墨 即由式( 2 6 ) 可得第j 个关节的最大加速度为 ( 巧) 。2 石车乞f ( 绵一谚) 另外可得s - - ) 的最大值j ：为 ，”，、 3 2 x z s 一( f ) _ 而 即由式( 2 - 7 ) 可得第j 个关节的最大j e 伙为 ( 吼。，2 两3 2 而7 r 2 ( 啡一岛) 如果我们限定电机的最大转速，可由式( 2 1 3 ) 求出第j 个关节完成给定的操作的最短时间z 为 9 57 一f 一 88 7 二f 1 8 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 1 8 3 8 1一、e 。8 3 。8 58 f r 一 v i 晒 。电8 38 北京邮电大学硕士学位论文 z ：掣( 2 - 1 8 ) 1 厂( 口：) 。 轨迹规划曲线的位移、速度、加速度、冲击图形如图2 1 所示： 图2 - 1 加速度函数为连续分段函数的曲线 这种曲线既保留了梯形加速度曲线最大加速度值较小的优点，又克服了其不 连续的缺点。 2 3 2 组合正弦函数的轨迹规划方法 组合正弦函数的轨迹规划方法，加速度曲线是由两种不同频率的正弦曲线组 合而成。运用公式( 2 1 ) ( 2 8 ) 推理得到本曲线的式( 2 1 9 ) ( 2 2 1 ) 。 j ”( f ) = k s i n ( 4 z r ) s 了4 x r 一詈) k s i n ( 4 x r 2 x ) 所以积分可得s 7 ( f ) 和j ( r ) 分别为 1 0 、j9t l - 2k l 一8 7 8 1 一 r f 一 一 一 0 1 8 7 8 北京邮电人学硕上学位论文 f 石k 【l - 删 = 去叶3 晦专， l 去一蝴一冽 i 每掣， 刮乏p 峙专，钥 i 争弓堂， o 1 一 8 2 8 1 一 8 7 - - q ( 2 - 2 0 ) o l o f ! 芍 17 ：f i ( 2 2 1 ) 88 一7 7 f 1 因此由( 2 8 ) 式s ( 1 ) ：l 可得七：! 笔，由式( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，( 2 7 ) 可求出 石十斗 机器人的最大速度、加速度、冲击。由式( 2 1 8 ) 可以求出第i 个关节完成给定 的操作的最短时问。 轨迹规划曲线的位移、速度、加速度、冲击图形如图2 2 所示： 加速度由线图谏序盥线图 5 0 徊 曼 0 - 5 0 0 5 时间 图2 - 2 组合正弦函数曲线 组合正弦函数的轨迹规划曲线既保持了余弦加速度曲线最大速度、加速度两 者都比较小的特点，又克服了其两端加速度不连续的缺点。该曲线的优点是最大 速度、加速度两者都比较小，最大冲击也不太大，综合性能好。 北京邮电大学硕士学位论文 2 3 3 优化等速的轨迹规划方法 优化等速的轨迹规划方法就是在速度函数为梯形函数的基础上，将速度函数 中梯形的斜边用两个频率为1 ：3 的余弦函数进行拟合得到的轨迹规划曲线。运 用公式( 2 1 ) ( 2 8 ) 推理得到本曲线的式( 2 2 2 ) ( 2 2 5 ) 。 j ”( f ) = s ，( r ) s 7 ( f ) = 8 z kc o s ( 8 z r ) 詈万尼c 。s c 詈万r + 詈， 0 一；万尼c 。s c 詈万f ，3、3 8 7 r kc o s ( 8 x r ) k s i n ( 8 z r ) 酬兰所+ ；， o 一露s i n ( 8 x r ) ks i n ( 8 z r ) kc o s ( 8 x r ) 上k 七 + 8 x8 x 后 2 x 3 七c o s ( 了8 x r ) 后 _ 8 i t8 x kc o s ( 8 x r ) + k 8 7 r8 万 1 2 o f 土 16 土f 1 16 4 f 了3 ( 2 - 2 2 ) 44 三f 堕 4 16 堕f 1 l6 0 f 一1 1 6 土f ! 1 6 4 乙1 f 五3 ( 2 2 5 ) 4 4 lz 。， 三f 堕 41 6 堕_ 1 1 6 o f 一1 1 6 三f 1 1 64 1 f 三( 2 2 4 ) 44 三f 堕 41 6 堕f l 1 6 北京邮电大学硕士学位论文 s p ) = ! r 一三i ( 8 x r ) s i n r 一_ 8 x ( 8 x ) 2 9 k ，8 x r 万、 kk 一丽s i n ( 了+ 了) + 一8 x 什萨 k r k3 k 2 x8 x 23 2 x 9 k ，8 册、 k k 3 k 一( 8 x ) 2s i n ( 了) + 1 8 x + 一8 x 2 + 面 生f一志siill(8n8x 砷嘉+ 堕1 6 x f 一i1 6 刀7j + 了+ ( 8 万) 2 、 4 万4 o f 一1 1 6 l1 一f 一 1 64 1 f 三( 2 一- 2 5 )一f 一() 44 31 5 一f 41 6 1 5 f 1 因此由( 2 - 8 ) 式s ( 1 ) = l 可求得尼= 黑，由式( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ，( 2 - 7 ) 可求 、口j - 4 出机器人的最大速度、加速度、冲击。由式( 2 1 8 ) 可以求出第j 个关节完成给 定的操作的最短时间。 轨迹规划曲线的位移、速度、加速度、冲击图形如图2 - 3 所示： 加速度曲线图 速度曲线图 醚 到 声i i i i 图2 - 3 优化等速曲线 这种轨迹规划曲线既保留了等速曲线最大速度值小的优点，又克服了两端速 度不连续的缺点。 2 4 轨迹规划方法比较 摆线运动曲线、3 4 5 插值曲线、4 5 6 7 插值曲线图形如图2 - 4 ，图2 5 ， 图2 6 所示。 北京邮电大学硕士学位论文 甘 壬 加速度曲线田 时同 冲击曲线匣 澎 2 16 簧， 0 5 速度曲线田 、 7 jr r 一 卜 ， 图2 - 4 摆线运动曲线 加速度曲线圈 时可 冲击曲线图 速度曲线圈 时间 位移曲线图 图2 - 53 - 4 - 5 插值曲线 加速度曲线图 时间 冲击曲线图 3 2 0 速度曲线图 丁y 夕一 00 5 时间 位移曲线图 图2 - 64 - 5 - 6 - 7 插值曲线 1 4 螂聊翼 相爱 潍掣 醚剃 醚蝌最 潍攀 北京邮电大学硕上学位论文 把摆线运动曲线、3 4 5 插值曲线、4 - 5 - 6 7 插值曲线、加速度函数为连续 分段函数、组合正弦、优化等速这六种轨迹规划曲线进行对比可以得到图2 7 ， 图2 8 ，图2 9 ，图2 1 0 。 图2 - 7j e r k 比较 图2 - 8加速度比较 北京邮电大学硕士学位论文 图2 - 9 速度比较 图2 - 1 0位移比较 等速运动曲线从运动线图以及运动方程的形式来看，这种运动规律是最简 单，它的最大速度最小。在行程的起始和终止位置由于速度发生突变，所以加速 度在理论上趋向无穷大，从而导致从动件产生非常大的冲击惯性力，这种惯性力 能够使机器人系统产生强烈的冲击和振动。通常称这种冲击为刚性冲击。虽然实 1 6 北京邮电大学硕士学位论文 际上，机器人系统有一定的弹性，机器人不会产生理论上无穷大的惯性力，但对 于机器人系统来说，仍会产生很大的冲击和振动。当载荷较大，速度较高时，很 容易使机器人系统的工作性能变差，使用寿命降低。 等加速度曲线的起始和终止位置速度不再发生突变，因而加速度也不是无穷 大，而是一个有限值，这时从动件仍会产生冲击，只是这种惯性力的有限变化所 产生的冲击和振动对机器人系统造成的影响，要比等速运动曲线的刚性冲击的影 响小的多，一般称为柔性冲击。其最大特点是：加速度的最大值在所有规划曲线 中最小的。 梯形加速度曲线是由具有一定加速度的加速曲线、等速曲线，具有一定加速 度的减速曲线等连接而成，该曲线的加速时间等于减速时间。 3 4 5 插值曲线、4 5 6 7 插值曲线的加速度与速度曲线均连续，不产生刚 性和柔性冲击。它们都是一条完整连续平滑的曲线，但随着多项式运动规律次数 的增加，最大速度和最大加速度的值也有所增加。 余弦加速度运动规律的特点是其加速度与位移成正比而反向。虽然其曲线是 光滑的，但在起始点不连续，在开始与结束的瞬间，理论上存在加速度的有限突 变，会引起两个柔性冲击。 摆线运动的加速度与速度曲线均连续，不产生刚性和柔性冲击，按正弦曲线 变化的加速度在机器人的起始位置和终止位置都为零，因此加速度不会发生突 变。即这种运动曲线即没有刚性冲击，也没有柔性冲击，而且在中问部分的加速 度变化也比较平滑，故运动比较平稳。 在相同的技术条件下，摆线运动的最大加速度约为加速度函数为连续分段函 数的曲线的1 3 倍，而两者的最大速度是相同的，但加速度函数为连续分段函数 的曲线的冲击曲线高低不平，有较大的波动，不如摆线运动的冲击曲线平滑。 3 4 5 插值曲线的最大速度比其它几种曲线较小，只是其冲击曲线不太好，峰值 较大。这几种函数的位移曲线几乎相同，差别不大。 组合正弦函数的最大加速度和最大速度都是最小的，具有好的加速度曲线， 但其冲击曲线高低不平，有较大的波动，峰值最大，不如摆线运动的冲击曲线平 滑，这四种函数的位移曲线几乎相同，差别不大。如果限定电机的最大转速，则 组合正弦函数完成给定的操作所用的时问最短，也是时间最优轨迹。机器人的时 间最优轨迹规划是指以时间最短作为性能。同时组合正弦函数完成给定的操作所 用的时间最短，可以提高机器人的工作效率。 前面的几种基本运动规律虽然都有各自的优点，但同时在上面也提到某些不 足，甚至严重的缺点。根据各种具体的设计要求，组合型轨迹规划曲线是由几种 不同的、简单的、基本的轨迹规划曲线拼接而成，从而得到运动特性值优良的一 1 7 北京邮电大学硕二b 学位论文 系列曲线，因而避免在运动的始、末位置发生刚性冲击或柔性冲击。通过对具体 的组合曲线轨迹规划方法的分析和研究，可以得出进行组合曲线轨迹规划时必须 遵循的几个原则： ( 1 ) 选择一种基本的轨迹规划曲线作为主体轨迹规划曲线，然后在用其他 类型的基本轨迹规划曲线与之组合，达到避免冲击，改善动力性能的目的。 ( 2 ) 在轨迹规划曲线的起始点有较好的边界条件。在各段不同的轨迹规划 曲线的连接点上，要满足位移、速度、加速度甚至是冲击的连续，即其运动曲线 应平滑过渡。 ( 3 ) 各段不同的轨迹规划曲线要有较好的动力性能。当然，我们不仅可以 使用简单的、基本的曲线进行组合，还可以使用复杂的、特性值优良的已有曲线 进行组合。如前一部分使用摆线曲线，而后一部分使用组合正弦曲线等等，这样 我们就可以根据不同运动要求规划我们需要的曲线。因此，就可以完全释放出每 种曲线的优点，也为我们进行轨迹规划找到一种便捷和稳定可靠的途径。 通过对以上九种曲线的分析和对比可以得到选择关节轨迹曲线的基本原则 应该是： ( 1 ) 速度和加速度的曲线一定要连续。 ( 2 ) 对于速度低质量大的机器人速度的最大值应该小。 ( 3 ) 对于速度大质量小的机器人其加速度的最大值应该小。 2 5 轨迹规划注意的问题 分析机器人常用轨迹规划曲线的特点和应用场合是进行机器人运动控制设 计的基础。通常在轨迹规划曲线的选取或设计中，不仅要考虑满足运动学的要求， 同时还要综合考虑机器人的工作转速、质量以及载荷的大小等多种因素，进行具 体的分析。 1 根据工作要求选择或设计轨迹规划曲线 当工作场合对机器人轨迹规划有特殊要求，且机器人转速不太高时，机器人 轨迹规划曲线的选择或设计，应在满足工作要求的基础上，考虑动力特性等其他 因素。如避免刚性冲击，改善系统的动力特性等。 2 兼顾运动学和动力特性两方面要求 当工作场合对机器人轨迹规划有特殊要求，且机器人转速比较高时，应兼顾 运动学和动力特性两方面要求。 3 综合考虑轨迹规划曲线的各项特性指标 在满足机器人系统工作要求的前提下，还应在仔细权衡轨迹规划曲线的各项 特性指标优劣的基础上，选择或设计合理的机器人的轨迹规划曲线。对于高速运 北京邮电大学硕士学位论文 动的机器人系统，为了获得较好的动力学特性和控制系统的的残余振动，应选取 冲击连续或冲击突变值较小的轨迹规划曲线；但同时必须兼顾最大速度值、最大 加速度值不易过大。对于转速不太高的机器人系统，应选取加速度最大值较小的 轨迹规划曲线，但同时要兼顾最大速度等相关指标不易过大。 总之，在实际的工作中需要针对具体的问题，在综合考虑运动学、动力学等 多方面因素的基础上来选择或设计机器人系统的轨迹规划曲线。 2 6 本章小结 本章丌展轨迹规划的理论研究，进行曲线的公式推导、对比、分析。主要分 析了轨迹规划曲线特性的几个指标，进行轨迹规划时应该注意的问题，并针对具 体的组合曲线轨迹规划方法进行公式推导，展开研究并进行仿真分析和对比，分 析不同曲线的几个特性指标的优缺点。最后总结得出进行组合曲线的轨迹规划时 的注意事项。本章的所有研究都是针对对称曲线展开的。 1 9 北京邮电火学硕士学位论文 第三章非对称化的机器人轨迹规划方法研究 由于机器人比较长，而且机器人末端要快速的实现某个动作。但是由于机器 人关节具有比较低的共振频率，要实现动作而又要不引起冲击，不产生残留振动， 为此对轨迹曲线进行非对称化。对轨迹规划曲线非对称化的目的：控制输入停止 后的振动，控制残留振动，即快速运动，缓慢停止，把曲线后半部分进行平缓扩 大，后半部分的加速度最大值得到大大的降低。因此它们的各项数据介于对称化 的曲线之间，能够很好降低振动，但是曲线特别复杂，算法实现比较繁琐。 非对称化的轨迹规划曲线有多种非对称化的比例可以选择，但大都比较复 杂，加速与减速曲线2 ：3 的比例具有一定的代