（基础数学专业论文）环面扩张映射的扩张因子与拓扑熵估计.pdf

摘要 本文首先给出紧流形自映射拓扑熵估计一般结论与结果，导出研究 对象环面扩张映射，然后改进算法，计算几类特定整数矩阵最大特征值 的下界，从而给出了环面上几类特定扩张映射扩张因子和拓扑熵的下界 ( 下确界) 估计和实现。 关键词：拓扑熵，环面扩张映射，扩张因子 a b s t r a c t t h i sp a p e rf i r s t l yg i v e sg e n e r a lt h e o r ya n dr e s u l t so fe s t i m a t eo ft o p l o g i c a le l l - t r o p yi ns e l fm a p so fc o m p a c tm a n i f o l d s ，w h i c hl e a d i n gt ot h em a i nt o p i c 。e x p a n s i v e m a p so nt o r u s ”s e c o n d l yw ei m p r o v ea l g o r i t h m si nc o m p u t i n gl o w e rb o u n do f m a x i m a la b s o l u tev a l u eo fe i g e n v a l u e so fs o m ec l a s s e so fm a t r i x f i n a l l y , u s i n gt h e r e s u l to fe i g e m , a l u 嘴w eg e ts o m ee s t i m a t eo fe x p a n s i v ef a c t o ra n d t o p l o g i c a le n t r o p y o fs o m et y p e so fe x p a n s i v em a p so nt o r u s k e y w o r d s ：t o p o l o g k a le n t r o p y , e x p a n s i v em a p so nt o r u s ，e x p a n s i v ef a c t o r 2 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 儡易丢 日期：m 多年岁月矽日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规 定 学位论文作者签名： 匈易蓼 日期：加方年乡月2 7 日 1前言 这一节，我们主要介绍问题的背景和一般结果 定义1 1 若，：x x 是紧度量空间伍矽上的连续映射，定义度量，n n ( z ，秽) 2 峭m 妒a xld ( f ( z ) ，( 矽) ) 我们记b s ( x ，扎) = y x l d q = ，s ，) e 如果xcu z e e b i ( x ，佗) ，我们 称集合ecx 是( n ，) 分离s a ( f ，n ) 是( n ，e ) 分离集的最小基数我们 定义： 拓扑熵定义为： h d ( f ，) ：一l i m1 l o g & ( ，e ，扎) n _ n h d ( f ) ：2 磐i m o h a y ，) 注： d ( ，) = ( ，) ，若( x ，d ) ，( x ，d ，) 同胚惨见【3 】夕 定义1 2 对拓扑空间x 连续映射f ：x - x 诱导日( ，) ：h ( x ；r ) _ h ( x ；r ) ，h ( x ；r ) 是上同调空间定义口( ，) 是h ( x ；r ) 的谱集，即所有 特征值a p ( f ) 是h + ( x ；r ) 的谱半径，即所有特征值模的最大值盯( ，) 和 印( ，) 是同伦不变量 在1 9 7 4 年，m i c h a e ls h u b 【6 】提出猜想：紧流形x 上的c 1 映射，：x x 的拓扑熵由圩( ，) 的谱半径估计，即 l o g s p ( f ) h ( f )( 1 ) 当，是c 映射时，1 9 8 7 年( 1 ) 由y o m d i n 8 】证明m i s i u r e w i c z 和 p r z y t y c k i ( 参见【3 】) 对c 1 映射证明了l o gd e g ( f ) i ( ，) 3 1 9 7 7 年，m i s i u r e w i c z 和p r z y t y c k i 【5 】证明对环面俨的连续映射，估计 ( 1 ) 正确a k a t o k 4 】把以上结论推广到万有覆叠是舻的紧流形 定义1 3 环面邗( d 2 ) 的连续自映射页称为环面线性映射，如果存在一 个d d 阶矩阵a = ( ) ，a 玎z ，a o7 r = 7 ro _ ，其中7 r 是舻到邗的覆叠 映射 定义1 4 环面俨( d 2 ) 的连续自映射f 称为环面扩张映射，如果f 同伦 于环面线性映射才，且a 的所有特征值模都大于j 我们称0 = s u pi j a ， l i i z l l = l 为，扩张因子，易见0 印( a ) ，s p ( a ) 即a 所有特征值模的最大值。 对于环面上的映射，由w h i t e h e a d 定理，印( ，) 由它在一维同调群匕 导出同态的完全决定的，即，同伦于一个环面线性映射本文对环面l j l 类特定扩张映射，利用计算机讨论了扩张因子和拓扑熵的下界( 下确界) 估计和实现 4 2 问题和主要结果 本文的主要结果为： 定理2 1 对于环面邗( d 2 ) 任一扩张映射上，同伦于环面俨的线性映射 页，那么。 1 门，的扩张因子9 2 俐当d = 2 , 3 , 4 ，且a 的特征值全为正实数时，的扩张因子分2 ，且 当闰，a 分别等于d i a g 2 ，2 ，d i a g 2 2 ，2 ) ，d i a g 2 ，2 ，2 ，2 ) 时，f 的扩张因 子p = 2 俐d = 易且a 的特征值全为正实数时，h ( 1 ) l 0 9 4 ，当i - - - a ，a = d i a g 272 时，h ( f ) = l o q 4 。 5 3 主要结果的证明 定义3 1 对于正整数他，我们定义n 元数组矛： 秽( p 厚7 ) = ( n l ，a 2 ，) 多项式方程z n + a l x n 一1 + ，+ n 。= 0 有p 个正根，g 个负根，- 个虚根， 重根按重数计算 定义3 2 对于整数a ，a 2 ja 。我们定义 妒( n l ，a 2 a 。) = m a x i a l f ，f a 2 ，f a n f 其中九? i = 1 2 ，n 是根的模大于1 多项式方程扩+ a l x 扎1 + ，+ o 。= 0 的所有根 定义3 3 对于正整数- ，我们定义 厶= m i n p ( n l ， 1 2 ，a t l ) 其中n l ，a 2 a n ，取遍所有根的模大于1 多项式方程矿+ n l 矿。+ ，+ 口n = 0 的所有整数组 ( ( p ，口 7 ) = m i n t p ( a l ，a 2 ，a n ) 其中口。，n 2 ，a n ，取遍有p 个正根，q 个负根，r 个虚根，且所有根的 模大于1 的( p + q + r ) 次多项式方程矿+ 8 1 妒一1 + ，+ = 0 的所有整数 组 2 维情形 引理3 4 对于整系数2 次多项式方程z 2 + a x + b = 0 ，那么 门必( o ，o 2 ) = 以，且仅由以下方程实现： z 2 + 2 z + 2 = 0 = 入= - 1 士i 6 护一2 z + 2 = 0 净a = 1 士i z 2 + z + 2 = 0 专a = 1 2 ( 一14 - 、疡) z 2 一z + 2 = 0 = 入= 1 2 ( 1 士 钇) z 2 + 2 = 0 令入= 士妇 r 圳( ( 1 ，l ，o ) = 以，且仅由以下方程实现： z 2 2 = 0 令a = 士以 r 圳( ( 2 o o ) = 2 ，且仅由以下方程实现： ( z 一2 ) 2 = 0 a = 2 “必( o 2 o ) = 2 ，且仅由以下方程实现： ( z + 2 ) 2 = 0 号a = 一2 5 ) 1 兮i b l 2 ，( 2 、瓢扼 对( 1 ) ( 2 ) 有方程铲一2 = 0 和舻+ 2 = 0 ，我们首先考虑( 2 = ( o o ，2 ) = ( 1 o ) = 以的情况 设a l = 屈籼，a 2 = 屈0 2 ，侈i ，如r ， ( z v - 2 e i 8 1 ) ( z 一、k 如) = z 2 一讵( e 谢1 + e 韬2 ) z + 2 e ( 8 l + 如) = 0 由2 e ( 巩+ 如z 净0 l + 口2 = 0 + 2 k t r 或7 r + 2 k t f ， k z ( a i ) 8 1 + 如= 0 + 2 k t r ( z 一扼e i 0 1 ) ( z 一扼e 2 ) = 一2 以c o s o l z + 2 = 0 则2 以c o s0 1 可能取值为士2 ，士1 ，0 ，将对应方程与根罗列如下： 7 z 2 + 2 z + 2 = 0 = e ea = 一l 圭i 护一2 z + 2 = 0 净a = 1 士i 护+ z + 2 = 0 令a = 1 2 ( 一1 士 毳) x 2 一x + 2 = 0 专a = 1 2 ( 1 - 4 - 行i ) z 2 + 2 = 0 号a = 士 泵 ( a 2 ) o x + 0 2 = 7 r + 2 七7 r ( z 一、互e 徊t ) ( z 一、7 k 如) = 矿一2 v 乞i s i n o x 一2 = 0 2 倔s i n9 z 辛s i n9 = 0 则方程化为 x 2 2 兮a = 士以 现讨论情况( 3 ) 已知( x 一2 ) 2 = 0 兮入l = a 2 = 2 ，妒( 一4 ，4 ) = 2 ，我们只需要考虑( ( 2 ，o ，o 2 的情况 1 n i i 入l i + i a 2 l 2 h 2 4 ，2 b = a l 入2 h ；4 a , b 需满足= a 2 4 b 0 分情况讨论如下t ( b 1 ) b = 4 ，a = 士4 铲+ 4 z + 4 = 0 兮a 1 = a 2 = 一2 z 2 一缸+ 4 = 0 辛a 1 = a 2 = 2 ( b 2 ) b = 3 ，a = 4 - 4 z 2 + 4 z + 3 = 0 号a l = - 3 ，入2 = - 1 z 2 4 x + 3 = 0 辛a i = 3 ，a 2 = 1 ( b 3 ) b = 2 ，a = - 4 - 4 ，a = 土3 妒十4 z + 2 = 0 兮a = 一2 士以 8 z 2 4 x + 2 = 0 = a = 2 士以 z 2 + 3 x + 2 = 0 冷入l = - 2 ，a 2 = 一1 z 2 3 x + 2 = 0 兮a l = 2 ，入2 = 1 通过以上分析，易知产o ，o ) = ( o ，2 ，o ) = 2 证毕 3 维情形 引理3 5 对于整系数3 次多项式方程护+ a e 2 + h + c = 0 ，那么 f ，j 必( 1 n 2 ) = 1 净i d l 2 ，白i a l a 2 a 3 a 4 1 1 4 2 1 4 ( 1 ) 由方程+ 2 = o ，z 4 2 = 0 ，易知幺= ( ( o o t 4 ) = ( ( 11 , 2 ) = 2 1 4 利用根 与系数的关系； i n i i a l + a 2 + a 3 + a 4 i 4 2 1 4 5 i b l i a i a 2 + a i a 3 +1 a 4 + a 2 a 3 + a 2 入4 + a 3 a 4 i 6 2 1 2 9 l c i l a i a 2 a 3 + a i a 2 a 4 + 入1 a 3 入4 + a 2 a 3 入4 i 4 2 3 4 7 f d l = l a l a 2 a 3 a 4 i = 2 利用程序( a 2 ) 将所有方程解出，得白= 2 t t ，结果如下： x 4 。2 x 2 + 2 = 0 z 4 + 2 x 2 + 2 = 0 z 4 一z 2 + 2 = 0 z 4 + x 2 + 2 = 0 z 4 + 2 = 0 x 4 2 = 0 以上方程的根中都有虚根 ( 2 ) 有方程p 一2 ) 4 = 0 号a l = a 2 = a 3 = a 4 = 2 ，我们只需讨论( 4 2 的 情况，利用根与系数关系： - 8 a = 一( 入l + 入2 + 入3 + 入4 ) - 4 6 b = a l a 2 + 入l a 3 + a 1 a 4 + a 2 a 3 + a 2 a 4 + a 3 a 4 2 4 - 3 2 c = 一( 入l a 2 入3 + 入l a 2 a 4 + a l a 3 a 4 十a 2 a 3 a 4 ) - 4 1 d = a l a 2 a 3 a 4 1 6 利用程序( a 3 ) 将所有方程解出，得e ( 4 o ，o ) = 2 ，结果如下； ( z 一2 ) 4 = z 4 8 x 3 + 2 4 x 2 3 2 x + 1 6 = 0 利用对称关系，易知 ( o 4 ，o ) = 2 ，结果为： ( z + 2 ) 4 = x 4 + 8 x 3 + 2 4 x 2 + 3 2 x 十1 6 = 0 ( 3 ) 有方程( 3 7 2 ) 3 ( z + 2 ) = 0 冷入l = a 2 = a 3 = 2 ，a 4 = 一2 我们只需讨 论( ( 3 ，l 0 2 的情况，利用根与系数关系： - - 5 n = 一( a l + 入2 + 入3 + 入4 ) - 1 - 9 b = a l 入2 + 入l a 3 + 入l 知+ a 2 a 3 + a 2 a 4 + a 3 a 4 9 5 c = 一( a l a 2 a 3 + a i a 2 入4 + a l 抛a 4 + a 2 入3 a 4 ) 2 3 - - 1 6 d = a l a 2 a 3 a 4 - 1 利用程序( a 4 ) 将所有方程解出，得( ( 3 l o ) = 2 ，结果如下： ( z 一2 ) 3 ( z + 2 ) = z 4 4 + 1 6 x 一1 6 = 0 ( z 一2 ) 2 ( ，一2 ) = z 4 4 x 3 + 2 x 2 + 8 x 一8 = 0 ( z 一2 ) 2 ( z 2 3 ) = z 4 4 x 3 + z 2 + 1 2 x 一1 2 = 0 利用对称关系，易知( ( 1 f 3 o ) = 2 ，结果如下： ( z + 2 ) 3 ( z 一2 ) = z 4 + 4 x 3 1 6 x 一1 6 = 0 ( z + 2 ) 2 ( z 2 2 ) = z 4 + 4 2 3 + 2 2 2 8 z 一8 = 0 ( z + 2 ) 2 ( z 2 3 ) = 一十4 2 3 + z 2 1 2 x 一1 2 = 0 ( 3 ) 有方程( z 2 2 ) 2 = 0 兮a l = a 2 = 以，a 3 = a 4 = 一以，我们只需讨论 ( ( 2 2 ，o 以的情况，利用根与系数关系： l n i = l 入l 十入2 + a 3 + 入4 l 4 娩 6 i b | = f a l a 2 + a l a 3 十a l a 4 + a 2 a 3 + a 2 a 4 + a 3 a 4 f 6 2 = 1 2 l c i = i a l 入2 a 3 + a l 入2 入4 + a l a 3 入4 + a 2 a 3 a 4 i 8 、互 1 2 i d = a l a 2 a 3 a 4 l = 4 利用程序( a 5 ) 将所有方程解出，得( ( 2 ，2 o ) = 以，结果如下： ( 护一2 ) 2 = z 4 4 2 2 + 4 = 0 证毕 定理2 1 的证明 由引理( 3 4 ) ，( 3 5 ) ( 3 6 ) 可知( 1 ) ( 2 ) 显然需要说明一点，任一整系数 多项式f ( a ) = z ”+ a l x ”1 + j + 存在有理标准型矩阵a 使得，( z ) 为其 特征多项式( 参见( 2 1 ) a= oo l0 ol ： o ( 3 ) 由引理( 3 4 ) j ( ( 2 0 0 ) = 2 ，则d e t ( a ) = a l a 2 3 假如入l a 2 = 3 ，则不妨设1 a l 2 ，2 a 2 3j3 a l + 入2 5 今 a l + 入2 = 4 特征方程为z 2 4 x + 3 ，显然与题设矛盾 所以d e t ( a ) = a l a 2 4 号h ( f ) 之l 0 9 4 设b = d i a g 2 ，2 ) ，由前言中估计t o g s p ( 1 ) s ( ，) ，h ( - b ) | o g s p ( - b ) = l 0 9 4 ， 根据拓扑熵定义，易证h ( - b ) 茎l 0 9 4 ，得出结论h ( - b ) = l 0 9 4 证毕 1 4 、ililliiliii， ； 现 m 一一 吧 一 一 0 o 0 o 1 4 算法描述 以程序( a 4 ) 为例做算法描述： 算法4 1 输入lp = ( q ，b c ，d ) l ( n ，b ，c ，d ) z z zxz ，一8 n 一4 ，6 b 2 4 ，一3 2 c - 4 ，2 d 1 6 输出：1 = ( n ，b ，c ，d 。入l ，入2 a 31a 4 ，m i n ，m a x ) z z z z c c c c r r a l ，入21 如，是方程z 4 + n z 3 + b x 2 + c x + d = 0 的名个根 7 l l c l t , = m a x j h l l ，l a 2 | 1 入3 i ，i a 4 i ) r a i n = m i n a 1 i ，i 入2 1 i a 3 ，i a 4 i 操作：对一个p = ( n 6 ，f ，d ? ) ，令，( z ) = x 4 + a 护+ b x 2 + c x + d ， ( 1 ) 若厂( 1 ) f n l + l c i + f d f + 1 或 | c l l a l + t b + i d l + 1 ( 说明，( z ) = 0 有根的模小于1 ) ，输入下一个p ，否则进 行( 3 ) ( 3 ) 解方程，( z ) = 0 ，计算m a x 和r a i n 若。4 根中有虚数，或m a x 2 ， 或m i n o 0 5 ) + ( a b s ( i m a g ( h ( 6 ，i ) ) ) o 0 5 ) ) = l c o n t i n u e e n d j z l ( ：，b j1 ) = h ( ：，i ) ； 巧l - - b j l + l ； e n d 程序a 2 ： j 萨口方村订虚根情况 b j = l x = l f o ra m - - 5 ：5 考虑所有根的情况 f o rb = - 9 ：9 f o re = - 7 ：7 f o r ( t = - 2 ：2 i fa b s ( d ) ( a b s ( b ) + a b s ( c ) + a b s ( d ) + 1 ) ) = 1 利用复变函数中儒歇定理 c o n t i n u e e n d i f ( a b s ( b ) ( a b s ( a ) + a b s ( c ) + a b s ( d ) + 1 ) ) = l c o n t i n u e e n d i f ( a b s ( c ) ( a b s ( b ) + a b s ( a ) + a b s ( d ) + 1 ) ) _ l c o n t i n u e e n d j z ( 1 ：4 ，b j 产【a b c d 】； j z ( 5 ：8 ，b j 户r o o t s ( 1abcd 】) ； b j = b j + l ； e n d e n d e n d e n d ， b = j z ( 5 ：8 ，：) ；计算最人最小模 a l = a b s ( b ) ； a 3 - - m i n ( a1 ) ； h _ j z ； h ( 9 ，：户a 3 ； a 4 - - m a x ( a1 ) ； h ( 1 0 ，：) = a 4 ； j z l _ 口小t - l ，人于1 3 的根去掉 场l = l t = s i z e ( h ) ； f o r i = l ：t ( 1 ，2 ) i f ( ( h ( 9 ，i f o 9 5 卜( h ( 1 0 ，i ) 1 3 ) ) - - - 1 c o n t i n u e e n d j z i ( ：，b j l 产h ( ：，i ) ； b j l = b j l + l ； e n d 程序a 3 ： 方拌所有根是1 e 根情况 j z = 口 场= l x = 1 4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 0 9 5 f o ra = 8 ：- 4 f o r b = 6 ：2 4 f o rc = 3 2 4 f o rd 芦2 ：1 6 i f ( ( 1 6 + 8 a + 4 b + 2 串c + d ) = 1 在2 处取值 c o n t i n u e e n d i f ( ( 1 + a + b + c + d ) = 1 在l 处取值 c o n t i n u e e n d j z ( 1 ：4 ，b j ) = 【a b cd 】； j z ( 5 ：8 ，b j i ) = r o o t s ( 1abcd 】) ； b j = b j + l ； e n d e n d e n d e n d 计算最人最小模 b = j z ( 5 ：8 ，：) ； a l = a b s ( b ) ； a 3 - - m i n ( a1 ) ； h = j z ； h ( 9 ，：户a 3 ； a 4 - - m a x ( a1 ) ； h ( 1 0 ，：户a 4 ； 将复根情况去除 j z l = 【】 场1 = 1 t - = s i z e ( h ) ； f o ri = l ：t ( 1 ，2 ) i f ( ( h ( 9 ，i ) 0 0 5 ) + ( a b s ( i m a g ( h ( 7 ，i ) ) ) 0 0 5 ) + ( a b s ( i m a g ( h ( 8 ，i ) ) ) 0 0 5 ) ) 。l c o n t i n u e e n d j z i ( ：, b jl 户h ( ：，i ) ； b j l _ b j l + l ； e n d 程序a 4 ： j z = 【】方f v 仃3 个i i ：根，一个负根情况 b j = l f o ra = 5 ：1 f o rb = 9 ：9 f o rc = 5 ：2 3 f o rd 1 6 ：- 2 i f ( ( 1 6 8 奉a + 4 2 牛c + d ) = l 在一2 处取值 c o n t i n u e e n d i f ( ( 1 6 + 8 木a + 4 b + 2 + c + d ) = i 在2 处取值 c o n t i n u e e n d i f ( a b s ( a ) ( a b s ( b ) + a b s ( c ) + a b s ( d ) + 1 ) ) = 1 利川复变函数中儒歇定理 c o n t i n u e e n d i f ( a b s ( b ) ( a b s ( a ) + a b s ( c ) + a b s ( d ) + 1 ) ) = l c o n t i n u e e n d i f ( a b s ( c ) ( a b s ( b ) + a b s ( a ) + a b s ( d ) + 1 ) ) - l c o n t i n u e e n d j z ( 1 ：4 ，b j 产【a b c d 】； j z ( 5 ：8 ，b j ) = r o o t s ( 1abcd 】) ； b j = b j + l ； e n d e n d e n d e n d b = j z ( 5 ：8 ，：) ；计算最人最小模 a l = a b s ( b ) ； a 3 = m i n ( a 1 ) ； h 勺z ； h ( 9 ，：户a 3 ； a 4 - - m a x ( a1 ) ； h ( 1 0 ，：) = a 4 ； j z l = 【】将复根情况去除 b j l = 1 t - = s i z e ( h ) ； f o r i - - i ：t o ，2 ) i f ( ( h ( 9 ，i f o 9 5 ) + ( a b s ( i m a g ( h ( 5 ，i ) ) ) 0 0 5 ) + ( a b s ( i m a g ( h ( 6 ，i ) ) ) o 0 5 卜( a b s ( i m a g ( h ( 7 ，i ) ) ) o 0 5 ) + ( a b s ( i m a g ( h ( 8 ，i ) ) ) o 0 5 ) ) l c o n t i n u e 2 0 e n d j zi ( ，b j1 ) = h ( ：，i ) ； b i l = b j l +