（概率论与数理统计专业论文）多类型复发事件在间隔时间数据下的危险率模型.pdf

摘要 在医学，生物学，经济学等研究过程中，研究的个体有时会重复地经历某一事件或者多 次的失效，这种事件称为复发事件复发事件是广泛存在的，然而复发事件数据的结构往往 是很复杂的因为这些事件之间常常存在一定的相依性和有序性越来越多的学者正致力 于解决这方面的问题，并且获得了许多有意义的结果 复发事件数据根据研究对象的种类一般可以分为两种类型当只对一种可反复发生的 事件感兴趣时，这时得到的数据称为单类型复发事件数据然而，有时研究的个体可能会同 时经历多种不同类型的复发事件且类别之间存在相关性，这时我们必须同时研究各类事件， 这样得到的数据称为多类型复发事件数据 对于复发事件，我们常常感兴趣的是研究协变量对复发事件的影响程度历史上，许多 学者提出了各种不同的回归模型来研究协变量对单类型复发事件的影响本文主要讨论的 是多类型复发事件在间隔时问数据下的三种危险率回归模型首先介绍复发事件的一些背 景，综述了单类型复发事件在间隔时间数据下的比例危险率模型，可加危险率模型以及可 乘可加危险率模型；接着我们提出多类型复发事件的比例危险率模型，同时给出模型中参 数以及非参数函数的估计方法，建立这些估计的渐近性质并且进行模拟研究；其次我们提 出多类型复发事件的可加危险率模型，给出了模型中参数以及非参数函数的估计方法，研 究了这些估计的渐近性质；再次我们提出多类型复发事件的可乘可加危险率模型，给出了 模型中参数以及非参数函数的估计方法，讨论了这些估计的渐近性质 关键词：多类型复发事件；危险率模型；估计方程；经验过程；间隔时间；半参数估计 第1 页 上海师范大学硕十论文 a b s t r a c t i nm a n ya p p l i c a t i o na r e a s ，s u b j e c t sm a yu s u a l l ye x p e r i e n c em u l t i p l ee v e n t so rf a i l u r e o v e r t i r n e w h i c hh a v eb e e nt e 咖e dr e c u n e n te v e n t s i 沁c u n - e n te v e n td a t eo f t e na n s e s 1 nm a n ya p p l l c a t i o na r e a s ，s u c ha s ，m e d i c a js c i e n c e ，b i o l o g ya n de c o n o l i l i c s h 0 w e 、，e r t l l es t m c m r eo fr e c u m n t e v e n td a t e si su s u a l l yc o m p l e x b e c a u s et h e r ee x i s tc o 盯e l a t i o n 粕ds e q u e n c eb e t w e e nd i n e r e n t e v e n t s r e c e n t l v ，m o r ea n dm o r er e s e a r c h e r se x e r tt h e i re 筇d r t st os 0 1 v e t h e s ed i 珩c u l t i e sa i l dg a i n m a n ys i g n m c a n t r e s u l t s t h er e c u n e n te v e n td a t e sw h i c hr e c o r dt h er e c 硼r e n tt i m eo fe a c h e v e n to fi n t e r e s t ，l n c l u d e s t w o 田p e s t l l l ef i r s tt y p et e 珊e ds i n g l er e c u r r e n te v e n t si st h a to n l yo n e t ) ，p eo fr e c u n e n te v e n t s i so fc o n s i d e r e d h o w e v e r ，i nm a n ys e t t i n g s ，s u b j e c t sm a ye x p e r i e n c es e v e r a lt y p e s0 fr e c u r r 伽i t e v e n t s ，粕dt h e s et y p e sa r ed e p e n d e n to ne a c ho m e r t h i sc a s ei sn a t u r a l l yc o n s i d e r e d ，i nw h i c h d a t e sh a v eb e e nc a l l e dn m l t i p l et y p er e c 唧r e n te v e n t f o rr a c u 玎e n te v e n t s ，w ea r ei n t e r e s t e di na s s e s s i n gt h ee 脏c t0 fc o v 撕a t e so nt 1 1 er e c u r r e n t e v e n t s t h e r eh a v eb e e nm a n yr e g r e s s i o nm o d e l st ob ep i 0 p o s e d i nt h i st h e s i s ，w em a i n l y d i s c u s s e dt h r e em o d e l sf o rm u l t i p l et y p er e c u r r e n tg a p t i m e s i l lc h 印t e r2 ，t l l ep m p o n i o n a lh a z a r d s m o d e lh a sb e e np u tf o r w 砌w l l i c hi st h eg e n e r a l i z e df 0 1 1 i lo fc o xm o d e l ，m e t h o d sa i l da s y m p t o t i cp r o p e r t i e sf o ri n f e r e n c e so nt h i sm o d e la r ee s t a b l i s h e da i l ds o m er e s u l t s 矗o m s l m u i a 乜0 na r e p r e s e n t e d i i lc h a p t e r3 ，w es m d y a d d i t i v eh a z a r d sm o d e lf b fm u l t i p l et y p e c u 玎e n tg a p l l i n e s a s y m p t o t i cp r o p e n i e sf o re s 咖a t o r s0 fp a r 锄e t e ra r ee s t a b l i s h e d i nc h a p t e r4 ，m e 砌帆 m u l t i p l i c a t i v eh a z 删sm o d e lf o rm u l t i p l e 妙p er e c u 圩e n tg 印t i m e s 批i n v e s t i g a t e d a s y m p t o n c p r o p e n i e s0 ft h ep r o p o s e dp 删t e re s t i 蝴a f e d e v e l o p e d m u l t i p l et ) ，p er e c u 仃e n tc v c n t s ；h a z 枷sm o d e l s ；e s t i m a t i n ge q u a t i o n ；e 唧i r i c a l p r o c e s s ；g a pt i n l e s ；s e i l l i p a r 锄e t r i ci n f 色r e n c e 第1 l 页 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名： 日期：兰乒_ 卫 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 变论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 导师签名： 日期： 第一章前言 1 1 复发事件数据 在长期追踪调查研究中，考虑的个体有时会重复地经历某一事件或者多次的失效，这种 事件称为复发事件【1 】例如，膀胱肿瘤在治疗过程中的多次复发【2 】，白血病患者在骨髓移 植后重复的感染【3 】以及柴油机底阀的多次替换【4 】等等复发事件数据根据研究对象的种 类一般可以分为两种类型当只对一种可反复发生的事件感兴趣时，这时得到的数据称为 单类型复发事件数据例如，这种事件可以是某种肿瘤的重复出现，机器故障的重复发生， 以及某种商品的重复购买等然而，有时研究的个体可能会同时经历多种不同类型的复发 事件且这些类别之间存在相关性，这时我们应该同时研究各类事件，这样得到的数据称为 多类型复发事件数据例如，在研究骨髓移植后的感染问题时，研究者可能得同时考虑病 毒，真菌以及细菌的感染情况【3 】在研究硒元素对预防皮肤癌的有效性时，可以同时考虑几 种不同的皮肤癌【5 】又如，为了寻找引发学龄儿童哮喘病的危险因素，在研究中，感兴趣的 有两个复发事件过程：一是由于哮喘病到内科就诊次数，二是由于哮喘病而住院治疗次数 这是两类型复发事件这两类事件都与哮喘病有关。但能暗示哮喘病的严重程度和治疗费 用【6 】 复发事件是广泛存在的但是，复发事件的数据却往往是很复杂的其结构特点为： 一、事件重复发生的时间是有次序的历史研究中复发事件数据可看成特殊的多维生存数 据，可用多元生存分析的方法来研究二、数据是删失的【l 】在实际情况下不可能也不需要 对复发事件的全过程都完整的记录下来，从而产生了删失数据三、事件本身存在相依性 每次事件的复发与前面已经发生的事件是存在一定联系的四、删失时间可能与事件发生 的时问具有相依性五、不同类型事件之间存在相依性此时，不同类型的复发事件数据一 般不能分开来独立研究，因为它们之间一般相互有一定的影响和制约因此，对复发事件的 统计建模以及推断足有难度的 对于复发事件数据的分析，常常关心的是协变量对复发事件均值函数或者危险率函数 的影响许多学者对单类型复发事件数据进行了研究，提出了很多有效的回归模型其中包 括：条件强度模型【3 】，【7 】【l o 】和边际模型【l l 】【1 3 】这些模型都足基于强度函数或危险率 函数来进行统计建模的事件发生的平均个数即均值函数是一个很好的评价指标，一些学 者已经提出了均值比率模型，如【4 】，【1 3 】【1 5 】对于多类型复发事件，2 0 0 4 年c a i 和s c h a u b e l 【1 6 】讨论了边际比例均值模型 在生存分析中，与均值一样，危险率函数入( t ) 【1 7 】，【3 9 】一【4 2 】是度量总体寿命的一个重要 指标， 琊) = 器 第l 页 上海师范大学硕士论文 这里，( t ) 是寿命丁的密度函数，s ( t ) 是生存函数当密度函数不存在时，a ( t ) 的一般定义见 陈家鼎【4 l 】自从1 9 7 2 年c o x 提出了著名的比例危险率模型【1 8 】以来，许多学者在这方面进 行了研究下面我们米考虑单类型复发事件下危险率的三类边际回归模型 1 2 比例危险率模型 1 2 1 单一型事件的比例危险率模型 对n 个个体的寿命进行观察，磊表示个体i 的寿命，c ：f 表示个体i 的删失时间变量，五表示 个体i 的协变量且与观察时间无关，假设观测数据是右删欠数据( 即寿命大于或等于观察的 数据) 我们得到的观察数据为( 互，瓯，五) ，其中 正= 雹八g m ( ) = j 仍亡) 魂= j ( 正q ) m ( 亡) = ，( 置t ) ，g ) ( 1 - 1 ) ( 1 2 ) ( 1 - 3 ) ( 1 4 ) 为了研究协变量对该寿命的影响程度，1 9 7 2 年c o x 提出了著名比例危险率模型【1 8 】，该 模型表示为下面形式： a ( ti 五) = 入o ( 亡) e x p ( 解磊) ， ( 1 5 ) 其中入o ( t ) ，岛都是未知的磊，t = 1 ，2 ，死都足p 维的协变量，a o ( t ) 称为基准危险函数， 岛称为回归系数，是p 木1 的列向量该模型是一个半参数模型 注意：实质上，观察数据( 正，反，五) 可以看着一特殊的复发事件，即事件最多只复发一 次，故我们这里称该事件为单一型事件注意与单类型复发事件的区别 令人( ) = 后a ( s ) d s ，a ( t ) 称为累积危险率函数记 必( t ，岛) = m ( 亡) 一k ( s ) 知( s i 五) 幽 = m ( 亡) 一( s ) e x p ( 藤磊) d 人o ( s ) 容易知对任何的t ，e 【舰( ，风) 】= o ，于是人o ( t ) 的估计a o ( ，肺) 是如下方程的解： ；呻) 一z 善琊) e x p ( 雕互) d a o ( s ) _ 。， 第2 页 易解得： a 以= z 。矗鬻 ( 1 6 ) 未知参数岛的估计方程为u ) = o 【7 】，其解设为p ，其中 叩) = 喜z 下邵呻) 吲她咿t 五凰别 =礼z。pt五坑甜c正亡，一专筹等暑主耋勰稚t，c正z，盈，c-一7， 表示礼个体间的经验平均，如窖( m ( 亡) ) ：妻m ( t ) 加积分上限7 - ( o a ， j = lj = 1 从上式可以看出：坛一1 即为第z 个体能被完全观测到的间隔时间的个数这样我们能完全 观测到的数据可记为： 正1 ，正，尬一- ，g ，五) 注意在这过程中数据存在删失情况，对于 第3 页 上海师范大学硕+ 论文 间为曩k ，其中 = g 一 根据上面得到的数据以及考虑删失情况的存在，令i = ，( 舰 1 ) ，嵋= m a x ( 坛一 粕甓= ， = 1 ，n ；歹= 1 ，蚜于是，观察数据可以重新整理为： 五1 ，五慨一l ，磊，g ) ，i = 1 ，2 ，礼 ( 1 - 9 ) 利用上述估计方程的思想，未知参数伪的估计方程为u ( 卢) = 0 ，其解作为阮的估 计【2 4 】，其中 u ( p ) = q ( t ) i 岛 t 五以( t ) ) 一锷篆嬲哦m 砀圳， m t 岛 ，( 鼍，t ) e x p ( 伊五) ) 。、一”一“j j 这里岛= 磊易，磊和易分别表示关于i = 1 ，2 ，讫和歹= 1 ，2 ，蛑的经验平均q ( t ) 是 一加权过程积分上限7 - ( o 1 ) ，慨= m a x ( 必知一1 ，1 ) 以及 咒巧2 筹豢 其中歹= 1 ，蛾， 瑰。= g 七一正幻 假设 五幻，歹= 1 ，2 ，峨，撕五七) ， = 1 ，2 ，礼是礼个独立同分布变量我们将在 数据 x 幻，歹= 1 ，2 ，慨，m 磊七，) ，后= 1 ，2 ，k ， = 1 ，2 ，礼 的基础上对参数阮以及累积危险率函数人肽( t ) 进行估计以及有关性质地探究 第9 页 南g 巧 正 芦 g o ；岛。= 磊易。，磊表示关于个体i = l ，2 ，佗的经验平均，气表示第七类事件关于歹= 1 ，2 ，蛾的经验平均；q ( t ) 是一个 加权过程 如果我们仅仅只考虑每类事件的第一次发生数据 k 溉五后) ，i = 1 ，2 ，礼， 七= l ，2 ，k 我们也可得到岛另一个估计，其估计方程为阢( p ) = o ，其解厦作为岛的估 计，其中 ) 。蚤z 唰磊怆溉以( 纠) 一端篙蒙嬲磁( 圳 陆3 ， 邑 ，( k 后1 t ) e x p ( 伊瓦) ) “、一”j 、 很容易想象到，这种方法得到的阮估计比第一种方法的效果要差，即其方差会比第一种估 计中的方差大 类似地，我们很容易给出第七类复发事件的累积危险率函数人。七( 亡) = 入毗( s ) 如的b r e s l o w - a a l e n 型估计 a “蛔= z 。蒜喾燃， c 2 4 ， 其中后= 1 ，2 ，k 在只考虑每类事件的第一次发生数据 五妣互七) ，i = 1 ，2 ，佗，七= 1 ，2 ， 情况下，a o 南( t ) 的估计可表示为 a 黼，= z 蒜紫畿， 倍5 ， 其中后= 1 ，2 ，托 这样，我们给出了未知参数阮以及累积基准危险率函数人。七( ) 的估计特别的，当 取k = 1 时，上面的估计方程以及所得到的估计就与第一章中h u a i l g 和c h e n 【2 4 】所给出方 程和估计完全一样 第1 0 页 2 2 渐近性质 记 l 忌( t ) = 弛j ( 咒幻亡) ) ， 0 0 七( t ，p ) = 乞。 ，( 咒幻亡) e x p ( 矿五七) ) 和 0 1 七( ，p ) = 岛。 ，( 五巧舌) e x p ( p t 磊) 磊凫) 由一致强大数定理【3 4 】知，它们的极限分别存在，记作 以( 亡) = e ( 七j ( x 七1 t ) ) ， g o 七( t ，p ) = e ，( 拖1 ) e x p ( 矿玩) ) 和 g l 七( ，p ) = e ，( 瓦1 亡) e x p ( 丁么) 玩) 记p 为估计方程u ( p ) = o 的解，麂为估计方程阢( p ) = o 的解这两估计方程一般不能 直接得出卢以及岛的显性表达式，在实际应用中我们可以用n e w t o n r a p h s o n 数值法【3 9 】给 出p 或胁的数值解 为了研究p 的渐近性，一般要先研究礼u ( 阮) 的渐近性在满足一定正则条件性下，第 四节定理2 1 证实了死1 2 u ( 阮) 渐近于均值为o 的多元正态分布，其方差矩阵的一致相合估 计是 奎= 龟 ( 易。 圣( 五幻，涵磊凫) 】i ) 圆2 ， 其中口0 2 = o n t ，口为列向量，且 毗舭溉剐= 7 州耻黜) ( 觚州x 幻纠 一垫宅铲蝴) ( 2 - 6 ) g 帆( ，卢) “ 、 在第四节定理2 2 中证明了礼1 2 ( p 一风) 渐近于均值为。的正态分布，其方差矩阵q 的一 致相合估计为 q = a - 1 奎a 一1 其中 a = 酎酬幽等案乎避 第ll 页 上海师范大学硕十论文 一甏筹脚啦 仁7 ， 扁的渐近性结果与矽完全相似和想象中一样，在第四节定理2 3 中说明了声比p 1 更有效， 即声的渐近方差比岛的渐近方差更小 第四节定理2 4 证明了n 1 2 ( a 眦( 亡；p ) 一a o 七( 亡) ) 弱收敛于均值是。的高斯过程，其协方差函 数n ，南。( s ，亡) 在( s ，亡) 处的一致相合估计为 r 岛。岛。( s ，亡) = 邑 易。， 皿七，( s ，五忌，j ， 七。，五虹) ) 易。： 皿乜( 亡，k 詹。歹，t 如，磊乜) ) ， 其中后1 ，如 l ，2 ，k ) ， + z 。等 一z 塾掣器盟 仁8 ， 以及 吼) = z 瓣龇) a 凛( 亡，厦) 渐近性质同样可以给出，且可以类似证明a o 七( t ，p ) 比a 凛( 亡，厦) 更有效 2 3 模拟研究 2 3 1 模拟方案 这部分我们对上一节提出的统计结果进行模拟，从中可以看出这些估计有限样 本性质简便起见，只考虑二类型复发事件，其它情况类似，同时假设基准间隔时间服 从豫j ，七= 1 ，2 服从标准指数分布，其可以通过非齐次混合更新过程产生( h u a n g 和c h e n 【2 4 】，s u nlq 等【2 9 】) 于是，可以令基准问隔时问服从 壤j = 一l n ( 1 一西( a 七+ 鼠幻) ) ， 其中a 溉鼠幻分别独立的服从零均值方差为p 和1 一p 的正态分布，p 表示事件之间的关联程 度西( ) 为标准正态分布的分布函数庇，i = l ，2 表示第i 类复发事件在删失下的平均发生 第1 2 页 ” 磊伽 磁 圣 岛 k a 篚 一 i i 砖 乙治 幻 硷 “ 皿 次数在模型( 2 1 ) 中，利用基准间隔时间可以计算出一般间隔时间 正幻= 喘木e ) ( p ( 一藤五七) 在模拟过程中，假设协变量五七是一维的且服从标准均匀分布u ( o ，1 ) ；岛分别取o ，o 5 ，l ： 样本n 分别取几= 5 0 或1 0 0 ；j d = 0 2 5 ，o 5 或o 7 5 ；口= q e 印( 1 ) 或u ( 0 ，2 ) 在这几种情 况下，我们通过重复l ，0 0 0 次抽样来观察如下指标的合理性： ( 1 ) p 平均值与真值的偏差程度( b 队s ) ，这里 b i a s = 茂一风； t = l ( 2 ) p 样本标准方差( s s e ) 与p 的渐近标准方差的平均值( s e e ) 的偏差程度，这里 s s e = ( 3 ) 验证在l ，o o o 重复中是否具有接近9 5 经验覆盖率( c p ) ，c p 为厦，i = 1 ，落在区 间 b 一。s ( 晓加) 1 2 ，风+ 。s ( 晓佗) 班 的可能性，9 5 足标准正态分布o 9 5 的下分为点 2 3 2 模拟结果 在以上各种情况下，我们得到如下模拟结果： 表2 3 1 ：删失时间a e 印( 1 ) ，q e 印( 1 ) ，阮= o 第1 3 页 v “：、肛 k 何 汹 = ees 上海师范大学硕十论文 表2 3 2 ：删失时间g u ( o ，2 ) ，岛一( o ，2 ) ，扁= 0 表2 3 3 ：删失时间q e 印( 1 ) ，q e 印( 1 ) ，扁= o 5 第1 4 页 表2 3 4 ：删失时间a u ( 0 ，2 ) ，q u ( o ，2 ) ，岛= o 5 表2 3 5 ：删失时间a e 印( 1 ) ，g e 印( 1 ) ，岛= 1 第1 5 页 上海师范大学硕士论文 表2 3 6 ：删失时间a u ( o ，2 ) ，岛一u ( o ，2 ) ，阮= l 通过上面模拟结果我们看到：上节所提的估计在有限样本情况下与真值的接近程度非 常好还可以看到，口与真值的程度偏差( b 队s ) ，口的样本标准方差( s s e ) 与s e e 的偏差程度 以及经验覆盖率( c p ) 都是非常合理的和想象中一样，p 的渐近方差比岛的渐近方差要小 当p 接近于1 时，p 的渐近方差与岛的渐近方差相差较小些另外，我们还可以看到随着样本 量的增加上述估计的方差在减小 2 4 渐近性证明 本节我们来给出第二节中提到的估计量的渐近性的严格数学证明 假设下列正则条件成立： ( c 1 ) 对固定的七， k 幻，歹= l ，2 ，蛾，磊七，t = 1 ，2 ，佗) 是n 个独立同分布的随机 向量 ( c 2 ) q ( 亡) 是有界变差函数，且在亡【o ，叫上几乎处处一致收敛于一非随机函数g ( t ) ( c 3 ) 任意的i 和歹，i i 磊七l i m ，m 为非随机的常数 ( c 4 ) a 是非奇异矩阵，其中 a = 静m ， 墅鼍铲 第1 6 页 一辫胁班g 眦( ，风) 2 r r 为了研究p 的渐进性一般要先研究n u ( 阮) 的渐近性 定理2 1 在条件( c 1 ) ( c 3 ) 下，礼；u ( 阮) 渐近服从均值为零且协方差矩阵为 其中0 0 2 = o 矿，o 为任意p 维向量 以及 圣( 五幻，镰，磊知) = z rg ( t ) ( 五七一吕蓑篆舞) ( 确d ，( 五幻亡) ( 2 9 ) 坚锱舞魁础) ) ( 2 1 0 ) 垂( k 幻，幽磊知) 的相合估计为 毗驰忍) = 小睢一踹) ( 制( x 拶) 注意 一塾宅鬻塑玩) ( 2 - 1 1 ) g o 知( 亡，p ) 一 证明：由泰勒展式，我们有 却( 舻死；喜小b 她刎咒删) ) _ 粼以 一黜蚴) + 掣掣酬 ) + 们) i = 1 ，2 ，竹是佗个独立同分布的向量，并且其均值为零根据多元中心极限定理知， 礼u ( 风) 依分布收敛于一均值为零的正态向量，其方差矩阵为，且它的相合估计为 耳 宝= 磊 ( 易。【$ ( 五幻，五知) ) ) 。2 ) 口 缸= l 第1 7 页 现， p 、， 磊七 姐 x圣 岛 k 树 n e = 动 2 d 唧 + 、， 砖磊塘 幻 墨 垂 r j l岛 k 脚n ：l l 一2 一 n = 、，砖 磊浓 幻 磁 圣 r ，i岛 胤 上海师范大学硕十论文 下面给出p 的渐近性质 定理2 2 假设条件( c 1 ) ( c 4 ) 成立，则( p ) = o 的根声在风的某一领域存在唯一且 为风的相合估计，同时n 1 2 ( p 一岛) 渐近服从均值为零且协方差矩阵为a 一1 a 一1 的正态分 布，a 一1 a 一1 的相合估计a 一1 宝五，其中 a = 静酬塑譬鬻学盛 以及 燃脚幻 ( g o 七( 亡，p ) ) 2 j 7 ( 2 1 3 ) 证明：在岛处矽( p ) 的泰勒式为 扎( p 一岛) ： 一等) - 1 加( 胁 其中矿在风和p 之间的连线上由定理2 1 知，如果p _ p 岛和一a u ( 岛) 卵t pa 成立，那 么礼；( p 一岛) _ 工( o ，a 一1 a 一1 ) 故我们只需证明p _ p 岛和一a u ( 风) a 矿_ pa 首先证明一a u ( 岛) a 一pa 显然有 一等= 静酬地等舞乎避 一粤烨似( 亡) ( 2 “) g o 七( ，岛) 2 j “ 、 根据一致强大数定理【3 4 】知，一a u ( 岛) 酽收敛于a 易知一u ( p ) 在岛是连续可微的 在假设( c 4 ) 成立的条件下，应用g o 胁锄【3 5 】的定理4 1 和4 2 可知，存在两正数e 1 ，西，使 得一u ( p ) 是一个从半径为魂，球心为岛的球o ( 风；6 1 ) 到一u ( d ( 风；6 1 ) ) 的一个一一映射， 而一u ( p ( 肺；6 1 ) ) 包含了o ( 一( 岛) ；1 ) 因为一u ( 阮) _ po ，o ( 一u ( 阮) ；e 1 ) 在n 充分的时候， 包含了o 所以，p 在p ( 阮；6 1 ) 上是唯一存在的，并且p _ p 岛协方差矩阵a - 1 a - 1 的一致 相合估计为q = a 一竞a 口 定理2 3 假设每一类复发事件是不相关的，则p 比向有效 证明：在正则条件( c 1 ) ( c 4 ) 的条件下，类似于矽，我们可以给出向的渐近方差 、， 0 d磊伽 研 x圣 ，t易 k 脚 ，l & i i a 钔 p 玩七， 页 卜 8知可口 磁 第 垂 脚 ea 若每一类复发事件是不相关的，注意有下面的分解式 k k e 【颤 ( 圣( 五幻，渤五七) 一气 圣( 咒巧，涵瓦) ) ) 固2 ) 】， 知= l七= 1 从而证明了p 的渐近方差比岛的渐近方差小，即口比向有效口 下面给出死，2 ( a o 七( 亡，p ) 一a 船( ) ) 的渐近性质的证明a 按( ，厦) 的渐近性有类似地证明， 所以我们略去考虑 令y ( n ( 亡) = ( w 川，磅川，堙) 丁，其中竹) = 礼 ( 入叽( 亡，声) 一a o 知( t ) ) ，忌= l ，2 ，k 在k 维左连续右极限存在的函数空间上定义如下距离：p 白，g ) = l 墨。：器】im ( 。) 一吼( 。) i ，对任意的p ( 亡) ，q ( 2 ) d f 0 ，7 - j 耳( s p l e h a n 和l n 【3 6 】) 定理2 4 如果条件( c 1 ) 一( c 4 ) 成立，则a o 七( t ，p ) 关于t 【o ，7 - 】几乎处处一致收敛于a o 七( t ) ， 且n 1 2 ( a o 七( t ，口) 一人帆( t ) ) 弱收敛于零均值的高斯过程，其在( s ，亡) 处的协方差函数为 n ，知。( s ，t ) = e ( 易。， 皿七。( s ，五七。j ，让。，磊七，) ) 岛。： 皿南。( t ，五乜j ，渤，五七。) ，】， 其中后1 ， 1 ，2 ，k ) ， 皿七( t ，五柳，强，磊七) = + z 笔豁 一z 垫宅舞产， 倍哟 仉( t ) 是一列向量 吼) = z 。蒜搿吲钆) r 七。七。( s ，亡) 的一致相合估计为 。南。( s ，亡) = 邑 邑。 每七，( s ，k 州，慨，磊七。) ) 易。： 每知。( t ，咒七。j ，i 乜，磊七。) ) ) ， 其中尼1 ，_ f 1 ，2 ，k ， 第1 9 页 却 o d 乙塘 n砭 西 脚 八 e i i ” 磊 彬 船 磁 圣 岛 k o a 暖 一 ” 磊塘 磁 圣 易 耳 一 a 篚 一 = 砖 邑派 巧 磁 皿 上海师范大学硕十论文 + z 2 等 一z 。垫器盟 仁坳 以及 吼) = z 。蒜等辄) 证明：在多类型可乘模型下 蝴川= z 。蒜， 陪 ou u 七u ，u ， 根据一致强大数定理天。知( 亡，声) 在亡【0 ，1 - 】几乎一致收敛于a o 七( t ) 由泰勒展式，我们可以得 到 矗n ( ) ：n ( a o 七( t ，声) 一人n k ( t ，阮) ) = n ( a o 七( 亡，p ) 一天。知( t ，岛) ) + n ( a o 知( ，风) 一a o 七( ，岛) ) ： 一 2 嬲d l 知( u ) t 佗吾( p 一岛)l og o 后( 乱，岛) 2 ”一甩、”7 j “、尸 尸u 7 埘( z 。踽一z 2 篙端笋) 州1 ， = n 一 易。 霍七( t ，x 幻，涵五七) ) + d p ( 1 ) ( 2 - 1 8 ) t = 1 根据中心极限定理可知砭n ( ) 收敛于正态分布由g r 锄e r - w b l d 定理【3 7 】知y ( “) ( 亡) 有限维收 敛于多元正态分布又由i m 和w ，e l l n e r 【3 8 】中的例2 1 1 1 6 可知，y ( 住) ( 亡) 是胎紧的故y ( n ) ( 亡) 弱收敛于一个高斯过程，其均值为零，其协方差函数n 。圯( s ，亡) 在( s ，t ) 处为 r 南。南。( s ，t ) = 驯黾， 皿七。( s ，五h j ，t 七。，五詹。) ) 易。 皿如( 亡，五七：j ，i 乜，五乜) h ， 后1 ，如 1 ，2 ，k ) ，其