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三角范数的代数性质 摘要 三角范数可以分别从二元函数和代数角度进行研究，本文主要研究了三角范 数的基本代数性质，如阿基米德性，严格单调性和幂零性等，并给出了一些构造 三角范数的方法。 第一章我们介绍了三角范数的基础知识和相关记号。第二章讨论了三角范数 的连续性、严格单调性、消去律、条件消去律、阿基米德性和极限性质，并研究 了与三角范数相关的区间f o ，1 1 的若干子集之间的关系。第三章对含三角范数的狄 莫更三元组( z ，只) 进行了刻画。第四章引入t - - 角范数的几个例子，并给出了 一些构造三角范数的方法。第五章研究了三角范数与特殊可换半环的关系。 关键词：三角范数；差偏序集；狄莫更三元组；可换半环 t h ea l g e b r a i cp r o p e r t i e so ft r i a n g u l a r n o r m s a b s t r a c t t h et r i a n g u l a r - n o r mc a nb e t h o r o u g h l y , p a i n s t a k i n g l y a n d s y s t e m a t i c a l l y i n v e s t i g a t e df r o mt h ev i e wo ft h ef u n c t i o n ，w h i c hh 鸹t w ov a r i a b l e s ，a n da l g e b r a , r e s p e c t i v e l y i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w em a i n l ys t u d yt h eb a s i ca l g e b r a i cp r o p e r t i e so f t r i a n g u l a r1 1 0 1 1 1 1 8 , s u c ha sa r c h i m e d e a n , s t r i c tm o n o t o n ea n dn i l p o t e n tp r o p e n i e sa n d p r o v i d es o m em e t h o d sa b o u tc o n s t r u c t i o no ft - n o r m s i nc h a p t e ro u e ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g ea n dr e l a t e dn o t a t i o n sa b o u t t - n o r m s i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h eb a s i ca l g e b r a i cp r o p e r t i e ss u c ha st h e c o n t i n u i t y , s t r i c tm o n o t o u e , c a n c e l l a t i o nl a w , c o n d i t i o n a l c a n c e l l a t i o n l a w , a r c h i m e d e a na n dl i m i tp r o p e r t ya n di n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i pa m o n gt h es e t s a s s o c i a t e dt oat - n o r mo fe l e m e n t s i nc h a p t e rt h r e e , w eg i v es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so f t h ed em o r g a nt r i p l e ( t ，s ，) i nc h a p t e rf o u r , w ei n t r o d u c es o m ee x a m p l e sa b o u t t - n o r m sa n dp r o v i d es o m em e t h o d sa b o u tc o n s t r u c t i o no ft - n o r m s i nc h a p t e rf i v e , w e s t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt - n o r m sa n das p e c i a lc o m m u t a t i v es e m i r i n g k e yw o r d s ：t r i a n g u l a r - n o r m s ；d i f f e r e n c ep o s e t ；d em o r g a nt r i p l e ；c o m m u t a t i v e s e m i r i n g s l i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：堑皇丝指导教师签名： 7 年堋i | 日 。7 “刖日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：噶? 擘 0 7 年占月f f 日 两北大学硕士学位论立 第一章绪论 1 1 引言 历史上，三角范数概念最先是由m e n g e r 于1 9 4 2 年在研究统计问题时提出的 1 3 ，后来，s c h w e i z e r 和s k l a r 在2 0 世纪6 0 年代研究概率度量空间时也涉及到 三角范数和三角余范数的概念 2 、 3 。近年来，e p k l e m e n t 和r m e s i a r 对三 角范数的概念进行了新的阐述，并对其作了较系统的研究 4 。三角范数是取值于 o ，1 】上的二元函数，因此三角范数理论在概率论、决策论、统计学、博弈论、函数 方程等领域都有着重要的应用价值 5 3 、 6 、 7 】。同时，三角范数理论在这些领 域的广泛应用也促进了三角范数理论的更快发展。近年来，许多专家学者从二元函 数角度分别研究了三角范数的加法和乘法生成因子问题，连续性和阿基米德性等 8 、 9 。从代数角度讲，三角范数是 0 ，1 】上的二元运算。本文一方面从代数角度 研究三角范数的一些代数性质，讨论了与三角范数相关的集合之间的一些关系，并 给出了三角范数的几个例子。另一方面，从函数角度进一步研究了三角范数的连续 性，同时说明了三角范数的连续性、消去律( c l ) 、阿基米德性( a p ) ，极限性质( l p ) 和严格单调性( s m ) 之间的关系，并给出了一些三角范数的构造方法，最后讨论了 它与可换半环的联系。 1 2 预备知识 下面我们介绍一些有关三角范数的基本概念及相关的结论。 定义1 2 1 【1 0 】设r ：【o ，1 r 一( o ，1 】是【o ，1 】上的二元函数，若对任意为y ，z 【o ，1 1 ， r 满足下列条件； 亿) r ( x ，y ) 一t ( y ，工) ， ( e ) r ( x ，r ( y ，z ) ) 一r ( r ( x ，y ) ，z ) ， ( e ) 当y s z 时，r 0 ，y ) f g ，z ) ， ( 1 = 1 ) r ( x ，1 ) 一z ， 则丁称为【0 ，1 】上的三角范数，记作t l l o r m 。 显然三角范数是【0 ，1 】上的二元运算，对任意工，y ，z e o , 1 ，则r ( 工，) ，) 也可以用 1 西北大学硕士学位论文 j y 来表示成： n ) i * y 一) ，+ 并， ( t 2 ) z 0 ，z ) 。o y ) z ， ( 忑) 当) ，z 时t ( t 4 ) x 1 _ x 。 x y 工z ， 在研究三角范数的连续性、函数方程、加法和乘法生成因子问题时，从函数角 度考虑三角范数有其重要性，从而本文也采用r 0 ，y ) 这种表示方法。 下面给出四个典型的三角范数毛，耳，瓦，毛： 极小三角范数： 乙o ，力- m i n ( x ，y ) ； 乘积三角范数： 昂o ，) ，) 一工_ ，； t u k a s i e w i c z 三角范数：瓦缸，y ) 一m 蔽x + y 一1 ，o ) ； 突变积三角范数： 酏加怯y ) “嚣巩 设夏，互是三角范数，若对任意( x ) 【o ，l 】2 ，有互 ，y ) s 瓦瓴y ) ，则称夏比疋 弱( 或五比五强) ，记作夏s 互。若五乏并存在瓴，y 。) 【0 ，l 】2 使 五( ，y o ) 会不会是布尔代数? 答案是否定的。下面我们给出详细的证明。 事实上，d em o r g a n 三元组( r ，s ，n ) 比双值的布尔逻辑复杂的多。既使( r ，s ，n ) 是d em o r g a n 三元组，我们不一定对所有的x t o a 有f k o ) ) - 0 和 s ( x ，扛) ) - 1 。即双值的布尔逻辑中的重要的排中律不一定成立 例如，如果d e m o r g a n 三元组( r ，s ，) 中的三角范数r 没零因子( 只要工，o 和 y ，o 就有r ( 茗，y 卜0 ) ，那么排中律永远不成立a 定义3 3 1 7 设r 是三角范数，s 是三角余范数，如果对所有的石，) ，z 【0 ，1 】有 t ( x ，s ( y ，z ) ) - s ( r ( 工，y ) ，t ( x ，z ) ) ，那么称r 在s 上是可分配的；如果对所有的 x , y ，z 【o ，1 】有s ( 工，r ( y ，z ) ) - r ( s ( x ，y ) ，s ( x ，z ) ) ，那么称s 在r 上是可分配的。如 果r 在s 上是可分配的，i 面b s 在r 上是可分配的，那么称( r ，s ) 是三角范数和三 角余范数可分配对。 定理3 4设r 是三角范数，s 是三角余范数，则有下面的结论： ( f ) s 在r 上是可分配的当且仅当r ；巧； ) r 在s 上是可分配的当且仅当s - s u ； ( i i i ) ( r ，s ) 是可分配对当且仅当r 一乙且s 一。 证明： ( f ) 充分性我们只需证明对任意的工，) ，【0 ，1 】，只要x y ，就有r y ) - 工。 注意到s 和z 的单调性并结合s 在f 上是可分配的定义式 s ( x ，r ( y ，z ) ) - t ( s ( x , y ) ，s ( x ，z ) ) ，容易证明r ( x ，y ) - 工一m i n ( x ，y ) 。 必要性 证明t 一瓦时s 在r 上是可分配的。若r 一( x , y ) 一m j n ( 工，y ) ，我 们要充分注意到m i n ( x ，y ) 的特殊性，以x , y ，z 的大小关系分六种情况进行分析，即： 1 2 西北大学硕士学位论文 x y z ，x z y ，y x z ，y z x ，z x s y ，z s y x 。( 我竹】只对第 一种情况证明，其余情况类似可证。) 对任意的x ，y ，z o ，1 】，当z y s z 时， s ( x ，r ( y ，2 ) ) - s ( x ，m i n ( y ，z ) ) 一s ( x ，y ) ，又由s 的单调性，有s ( y ) s k z ) ， r ( s ( x ，y ) ，s ( x ，z ) ) 一m i n ( s ( x ，) ，) ，s ( x ，z ) ) - s ( x ，) ，) ，所以 s ( x ，r ( y ，z ) ) - r ( s ( x ，y ) ，s ( x ，z ) ) ，s 在t 上是可分配的。 同理可证( i ) ，而何) 由定义3 3 和( f ) ， 直接可得。 由此定理我们可以得到结论：给定d em o r g a n 三元组( t , s ，) ，多元组 ( 【o l 】；r ，s ，n ，o 1 不是布尔代数。这是因为为了满足分配律，我们必须要求r 一乙且 s 1 & ，但是由n 是“非”的定义和布尔代数的补运算性要求( 对任意的口曰， 有口v 口一1 且口 口- 0 ) ，对所有的工【o ，1 】不可能有r ( x ，o ) ) 一0 和 s ( x ，l q x ) ) 一1 都成立，所以多元组( 【o ，1 】；r ，s ，n ，o ，1 ) 不会是布尔代数。 西北大学硕士学位论文 第四章三角范数的构造 本章我们先介绍三角子范数的定义，并给出了由三角子范数构造三角范数的相 关结论。受突变积三角范数毛和l u k a s i e w i c z 三角范数的启发，我们构造出三角 范数族( 乏) 日叫，进而构造出三角范数族五满足：对任意的c ，d e ( o , 1 ) ，c s d 当且 仅当乃s 互。我们还借助半群中一个重要结论，给出了由已知的一族三角范数构 造出新的三角范数的方法。 引理4 1 1 8 设t 是三角范数，f ：1 0 , 1 1 - - 1 0 , 1 1 是严格递增的双射，则算子 弓：i o 1 】2 - - o ，1 】，弓o ，) ，) 一厂1 ( r ( ，扛) ，( y ) ) ) 是三角范数，且弓与r 是同构的( 设 工- o , 1 1 ，五，五是x 上的两个三角范数，若半群( x ；五) 与半群( x ；z d 同构，则称三 角范数夏与乏同构) 。 定义4 2 设f 是二元运算f ：【o ，1 】2 一【o 1 】，对任意x , y ，z 【o ，1 】，f 满足 ) 一( t d 并r f ( x ，y ) s m i n ( x ，y ) ，则f 称为三角子范数 显然，每个三角范数是三角子范数，反之不真。例如零函数是三角子范数但不 是三角范数。每个三角子范数可以通过重新定义其在单位正方形右上边界上的值， 使其成为三角范数。下面给出由三角子范数构造三角范数的简单结论。 定理4 3 若，：【0 1 】2 - - - o ，1 】是三角子范数，在 o ，1 上定义二元运算r 如下： 删i 鬻x 罂郫珍， 则r 是三角范数。 证明：由于，：【o 砰一【0 1 】是三角子范数，三角子范数本身和m i n ( x ，y ) 都满足 n ) 一亿) ，从而只需要证明t 满足条件( 1 ：) 即可。对任意的工【o ，1 1 ，显然有 r ( x ，1 ) 一m i a ( x ，1 ) 一m i n ( 1 , x ) ；r n 工) 一工，从而r 是三角范数。 特别地，取二元函数，( 工，y ) 一0 ，显然f 是一个三角子范数。再结合定理4 3 1 4 西北人学硕士学位论文 可以得到突变积三角范数瓦。 例如；设t 是二元运算丁：【0 ，l 】2 一【o ，1 】，对任意的( x ，) ，) 【o 1 】2 咖) 。，o 韶山2 ， 我们将三角范数：瓦与三角范数毛加以调整组装可以定义如下的三角范数族 伍k 叫， 稚y ) l 唑赢吐o 能川2 霉的幂等元集和零因子集都等于( o c ) 。将易和三角范数族互这两个例子加以 综合归纳，可以得到下面重要定理： 定理4 4 设二元运算r ：【o ，l 】2 一【0 ，1 】，对任意的( z ，) ，) 【o ，i 】2 ，c 【o ，1 ) 咖，。 幽o 絮订2 ， 则t 是三角范数族，并且对任意的c ，d ( o ，1 ) ，c 主d 当且仅当乃互。 证明 显然互( 工，y ) s m i n ( x ，y ) ，且( 瓦) ，( t 4 ) 成立。下面证明i 满足条件( t ) ， ( 弓) 。 设】【y ，z 【o ，i i ，我们证明( t 2 ) r ( 工，r ( y ，z ) ) 一r ( 丁( 毒，) ，) ，z ) 。如果1 x ，y ，z ) ， 结果显然，因此设1 盛 x ，) ，z ) ，我们分四种情况( 根据i ( 石，y ) ，( ) ，z ) 中是零的个 数) 进行分析证明： ( 1 ) 设t ( 而y ) - o - r , ( y ，z ) ，那么瓦( 瓦( ) ，) ，z ) = o - t , ( 五疋( y ，z ) ) 。 ( 2 ) 设 i ( j ，) ，) - 0 c ，那么 i ( m i n ( 工，y ) ，z ) 。m i n ( m i n ( ) ，) ，z ) 且互( j ，m i n ( y ，z ) ) - m i nx , m i n ( y ，z ) ) ，即 ( e ) 成立。 设x ，y ，z 【o ，1 1 ，y o 且d 1 ，用反证法证明。 假设c d ，分两种情况： ( 1 ) 若c - 1 ，因五( c ，c ) 譬( c ，c ) ，而c z d 时乃( c ，c ) - m i n ( c ，c ) ， 瓦( c ，c ) 一o ，则c s o ，这与c ，o 产生矛盾。 ( 2 ) 若c 1 1 ，可取f 【o ，1 f f d f 卢 那么g - ( x ；) 是半群。特别地，g 是交换半群当且仅当对每个a e a ，q 是可换 半群。 。 将此结论应用到三角范数上，对每个三角范数r ，g 1 ( 【0 ，1 j ；r ) 是有单位元1 和零元0 的可交换序半群；反之也成立。 令( 【吒，乞】) 。是彼此不相交的单位闭区间【o 1 】的子闭区问族，是全序的指标 集，那么有u 。【口。，e o c o , l l ；令瓯一( k 。，气】，。) ( c , e a ，) 是有单位元气和零 元气的可交换序半群，那么由( 吃l 构成的g - ( 【o ，1 】，) 是有单位元1 和零元0 的可交换序半群。因此，令丁( 工，y ) - x * y ，而y 【o ，1 】，我们就得到了三角范数7 。 结合引理4 1 ，4 4 和定理4 3 ，我们有以下的命题。 定理4 5 设( ) 。是一族不同于= m i n ( x ，y ) 的三角范数，( ( 巳，乞) ) 。是单 位闭区间【0 ，1 】的不相交的开子区间族，a 是至多可数的指标集，对任意五y f 0 ，1 】定 义 删州r a i n ( 乏x ，y 姚意焉y 乞1 具。匕- 其中 ) i ! 玉，口【口。，】， 那么f 是三角范数 证明： 首先说明吼 ) 。导二竺皇，“【吒，巳】显然是【，巳】上的严格递增双射。下面 c 口一a 。 证明t 满足条件q ) ， ) ，g ) ，仉) 。 1 7 两北大学硕1 ：学位论文 对任意石，y e o , 1 i ，若南y 属于同一闭区间，即存在口爿使石，y 4 - a 。，乞】， 则r 似) ，) 一贬1 ( 乏( 扛) ，( ) ，) ) ) - 嫒1 ( 瓦( ( y ) ，扛) ) ) 。f ( y ，工) ，若五y 不属于 同一闭区间，从而r _ ) ，) 一m i n ( x ，y ) - m i n t y ，工) - r ( y ，工) 。 由瓦和m i n ( x ，y ) 的结合性，易证明化) 成立。 对任意而y ，z e o , 1 ，若而y ，z 属于同一闭区间，即存在口4 使而y ，z e , 4 0 - 【a a 气】，由0 ) 的定义知是严格递增函数，结合引理4 1 和乏的单调性易证， 若工苫y ，则r ( x ，z ) t r y ，：) ；若x , y ，z 不属于同一闭区间且石之y ，对任意：有 m i n ( x ，z ) m i n ( y ，z ) 仍成立。从而代) 成立。 对任意x ，若墨1 属于同一闭区间，即存在口4 使善，1 4 - a 。，1 】，贝l j t ( x ，1 ) 一 虻1 乏铭扛) ，( 1 ) ) ) 一兹1 ( 互( 讫扛) ，1 ) ) 一蔹( 钇厶) ) 工，从而代) 成立，故f 是 三角范数。 差偏序集是一个重要的概念，我们可以在其上构造三角范数。 定义4 6 2 0 ( d ；句是非空偏序集，部分二元运算。称作d 上的差是指当6 口 时，b a 有定义且对任意a , b ，c d 满足： p 1 ) b a a b ； a d 2 ) 6 0 ( 6 0 n ) 一口； ( 1 ) 3 ) 若露主6 s c ，贝l j c o b s c o 口且( c o g ) o ( c e 缈- b e a ， 并称( d ；墨，。) 是带有差运算的偏序集。若d 有最大元1 ，则称( d ；，0 ，1 ) 是差偏序集。 引理4 7 2 1 设( d ；皇，o ) 是带有差运算的偏序集，对任意a , b ，c d 有： o ) 若4 6 c ，贝q 6 0 4s c 0 口且( c o 口) 0 ( 6 0 口) - c o b ； ( f f ) 若b s c ，4s c 0 6 ，贝0 6 s c 0 4 目( c e b ) e a 一( c o 口) 0 6 ； 似) 若aa b s c ，贝l j a c o p o 口) 且( c o p o n ) ) 0 口- c b 。 例如取d 一【o 1 】，序取自然偏序，对任意a ，6 【0 1 】，a s 6 ，定义b o d - b a ，那 l 西北大学硕j ：学位论文 么( o a i ；- ，0 ) 是差偏序集。更一般的有下面定理： 定理4 8 设d - o , l l ，序取自然偏序，若( 【0 ，1 1 ；量，1 0 ) 是差偏序集，二元运算r ， s 定义如下： m 川。田x 黧鼬。留搀冷办嚣 则丁是三角范数，且任意口( q 1 ) ，a 是幂零元，s 是对偶的三角余范数。 证明：由差偏序集定义和引理4 7 容易证明命题成立。 1 9 西北大学硕 j 学位论文 第五章半环与三角范数 半环( 足。，o ) 是指非空集合r 上装有两个二元运算加法“o ”和乘法“0 ” 的代数，其中( r ；o ) 和 露；o ) 均是半群r 且乘法对加法具有分配律。近来，许多作 者在半环方面取得很好的结果 2 2 。 定义5 1 2 3 2 4 可换半环( r ；。 o ) 是指在非空集合r 上定义了两个二元运算 。和0 ，并且满足下面条件： o ) ( r ；o ) 是具有单位元b o 的可换半群； ) ( r ；o ) 是具有单位元气- e o 的可换半群； 似) 对任意的口，b ，c r 满足分配律，即4 0 ( 6 0 c ) 一( a o b ) o ( a o c ) ； 对任意的口露，e o o a e 0 。 取r - 【o ，1 】，o v m a x ( x ，y ) ， - m i n ( x , y ) ， j l i a j q ：( 0 , 1 1 ； - v ，0 ，e o - o e 1 ) 的分配律就等价于。的单调性，并且若( 【0 1 】；o - v ，0 ，e o 一0 ，q ) 是可换半环，则。 是三角范数( 即e l 一1 ) 。类似的，( 【o ，1 】；o 一 ，o , e o - 1 ，q ) 是可换半环，那么。是 三角余范数( 即岛一0 ) 。不存在二元运算。使( 【o ，1 】；v ，0 ) 和( 【o 1 】； ，0 ) 都是可换半 环，但对于每个可换半环( 【o ，1 】；v ，o ) ，定义0 的对偶运算。为 x o y - 1 一( 1 一x ) o ( 1 一y ) ，那么( 【o ，1 】； ，0 ) 是可换半环。我们介绍下面的定义， 并得到关于可换半环和三角范数关系的定理。 ， 定义5 2 1 2 5 设矿：【0 1 】2 一【0 1 】是可换的、结合的、非减的有单位元e ( 对任 意的工【0 ，1 1 ，y ( 工，e ) 一v ( e ，石) - 工) 的二元运算，那么 ( f ) 若e - 1 ，则矿称为三角范数t - n o r m ( 记v - t ) ； ( f f ) 若e 一0 ，则y 称为三角余范数t - c o n o r m ( 记v s ) ； ( f ；f f ) 在其它情况下，即若e ( o ，1 ) 时，则y 称为三角统一范数u n i n o r m ( 记 v 。u ) 。 西北大学硕士学位论立 对每个u n i n o l 移，u ( o ，1 ) t u 仕o ) o 1 ) 。若u ( 1 ，o ) - o ，则u 称为合取 u n i n o r m ，若u o , 0 1 1 ，则u 称为析取u n i n o r m 。 定理5 3 设r 是二元运算r ： o ，1 】2 一【o ，1 】，( 0 , 1 ；m a x ，t ，e o o ，巳) 是可交换半 环当且仅当r 是三角范数( 即当e l - 1 ) ，或是合取u n i n o f n l ( 即当与- e ( o ，1 ) ) 。 同理，( 0 , 1 ；m i n ，t ，e o - 1 ，q ) 是可交换半环当且仅当r 是三角余范数( 即当q 一0 ) ， 或是析取u n i n o r m ( 1 l p 当毛一e ( o ，1 ) ) 。 证明：充分性 若( 【o ，1 ；m a x ，t ，e o - o q ) 是可交换半环，由5 1 1 6 中可换半环 定义何) 知( 【o ，1 】；r ) 是有单位元气的可换半群( 当e l - 1 时，证明t 是三角范数；当 e a - e ( o 1 ) 时，证明r 是u n i n o r m ) ，这已经说明t 满足条件q ) ， ) ，亿) ， 我们只需要证明r 满足条件代) 。对任意的x ，舻【0 ，1 1 ，若y s z ，由半环的分配 律似) ，有r ( x ，m a x 嘲) - m 勰p ( 石，y ) ，r ( x ，z ) ) ，而当y = z 时m a x y ，刁- z ，所 以r ( x ，m a x y ，z ) ) ? ( j ，z ) ，从而r ( x ，z ) = m a x t ( x , y ) ，丁( 囊，：) ) ， 即 r ( x ，y ) sr ( x ，z ) 。 必要性 显然( 【o ，1 ；m 戤) 是有单位元一。的可换半群，由可换半环的定义知 醇) 成立。若r 是三角范数( 即当气一1 ) ，或是合取u n i n o r m ( 即当毛一p ( 0 ，1 ) ) ， 由三角范数定义显然( 【o ，1 ；r ) 是有单位元毛一的可换半群，由可换半环的定义知 ) 成立；对任意的x ，y ，z 【0 ，1 】，若y 墨z ，有r ( x ，y ) r ( 工，z ) ( 三角范数性质妈) ) ， 从而m a x r ( x ，) ，) ，r ( x ，z ) ) - t ( x ，z ) - r ( x ，m 戕 y ，z ) ) ；若y ) z ，有z ( x ，y ) 2 z ( z ) 炯m a x t ( x ，y ) ，r ( x ，z ) ) - t ( x ，y ) - r ( 五m 强 ) ，刁) 。总之，对任意的x ，y # f o ，1 1 ， 有丁( x ，m a x y , z ) - m a x t ( x ，y ) ，r ( x ，z ) ) ，由可换半环的定义知何) 分配律成立。 由三角范数的定义，对任意的工【0 ，1 】，有r 0 ，0 ) 一f ( o ，名) sr g o ) 一0 ，即( f v ) 成立。 西北大学硕七学位论文 参考文献 【1 】k m e n g e f ，s t a t i s t i c a l m e t r i c s ，p r o c n a t a c a d s c i u s a 8 ( 1 9 4 2 ) 5 3 5 - 5 3 7 【2 】b s c h w e i z e r , a s k l a r , s t a t i s t i c a l m e t r i c s s p a c e s p a c i f kj m a t h 1 0 ( 1 9 6 0 ) 3 1 3 3 3 4 【3 j b s c h w e i z e r , a s l d a t , p r o b a b i l 强t i c m e t r i c s s p a c e s 。n o r t h - h o l l a n d ，n e w y o r k , 1 9 8 3 【4 】4p , h a j e k ，m e t a m a t h e m a t i c s o f f u z z y l o g i c k l u w e r a c a d e m i c p u b l i s h e r s 【m 】，d o r d r s c h t , 1 9 9 8 【5 1j c f o d o r , m r o u b e n s , f u z z y p r e f e r e n c em o d e l i n ga n d m u l t i c r i t e r l ad e c i s i o ns u p p o r t k i n w e r a c a d e m i cp u b l i s h e r s ，d o r d r h t , 1 9 9 4 【6 】d b u m a r i u , e ek l e m e n t ，t r i a n g u l a rn o r m - b a s e dm e a $ 1 1 1 $ a n dg a m e sw i t h 血珂c o a l i t k ，u s k l u w e r a c a d e m i cp u b l i s h e r s , d o r d r h t , 1 9 9 3 7 1m j f r a n k , o nt h es i m u l t a n e o u sa s s o c i a t i v i yo ff 鼢la n dx + y - f ( x , y ) , e q u a t i o n e s m a t h 19 ( 1 9 7 9 ) 1 9 4 - 2 2 6 嘲e r k l e m e n t , r m e s i a r , e p a p , o nt h er e l a t i o n s h i po fa s s o c i a t i v ec o m p e n s a t o r yo p e r a t o r s 幻 t r i a n g u l a rn o r ma n dc o h o r m gp 】i n t e m a tju n c e r t a i m y , f u z z i n e s sk n o w l e d g e - b a s e ds y s k r a s , 1 9 9 6 , 4 ：1 2 9 - 1 4 4 【9 】b s c h w e i z e r , a s k l a r , p r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s 嗍n o r t h - h o l h n d , n 州y o r k , 1 9 8 8 ，6 7 - 8 0 【1 0 1e r k l e m e n t , r m e s i a r , e p a p , o p e r a t i o n so n 扭珂s e t sa n df u = yn l l m b e r sr e l a t e dt o t r i a n g u l a rn o t w , i n ：蜀z e o e 1 1 di n t e r n a t s y r u p o nm u l t i p l e - v a l u e dl o g i c , n o r m a n , i e e e p r e s s , n e w y o r k , 1 9 8 1 ，p p 2 1 8 - 2 2 5 【1 1 】e p e m y , b r o y , h e 脚巧皿掣o u w a n k i n gr e l a t i o n s 加p r e f e r e n c em o d e l i n g 【j 】f u z z ys e t s a n ds y s t e m s 4 9 ( 1 9 9 2 ) 3 3 - 5 3 【1 2 j c f o d o r , c o n t r a p o s i t i v es y m m e t r yo f 血珂i m p l i c a t i o n s f u z z ys e t sa n ds y s t e m s6 9 ( 1 9 9 5 ) 1 4 1 1 5 6 【1 3 】j o n a t h a ns o o i n n , s e m i r i n g sa n da l f l n ee q u a t i o n so v e rt h e m ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s f m 】k l u w e r a c a d e m i cp u b l i s h e r s , d o r d r s c h t , 2 0 0 0 ，2 3 4 【1 4 1m g r a b i s c h , h t n g u y e n ，e aw a k e r , f u n d a m e n t a l so fu n e e r t a i n t yc a l c u l iw i t ha p p l i c a t i o n s t o f u