（基础数学专业论文）四阶两点边值问题正解的存在性.pdf

at h e s i si i lf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s t h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n s f o r f o u r t h - o r d e rt w o - - p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m b yl ig u a n y i n g s u p e r v i s o r ：v i c e p r o f e s s o rs u n t a o n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 9 、 、 j 厶 t 乏 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的，论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 姆哭 日 期：2 哆石西 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年旷一年口- - q 泮r 7 。两年口 学位论文作者签名： 鸯锊荧 导师签名： 签字日期： 7 哆石7 r 签字日期： 公 酪誓 a 甲， 1 - o | ， 丸 l h u 一 鼍 一 氕 跏 弧 东北大学硕士学位论文 摘要 四阶两点边值问题正解的存在性 摘要 四阶两点边值问题用来描述工程中的梁方程，具有厂泛的应用背景本文主 要研究了二端固定，一端悬空的梁方程正解的存在性 首先对研究问题的现状进行了简要的概述然后在不要求非线性项 i ( x ，妒( x ) ) 存在常数型下界的条件下，利用不动点指数理论研究边值问题 j 缈p ( x ) = 兄( x ，缈( x ) ) ，o x 0 ，佃) 连续且办( x ) 不恒等于零，f 厅( x ) 出 a ，。 骠。哪黼 且 面1 ， 其中 是上述边值问题的第一特征值，m = 【h ( y ) d y ，则边值问题至少有一个正 解，推广并改进了相关的结果 关键词：四阶边值问题；正解；不动点指数；迭合度；半正 - i i - u 蠢 0 t h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o rf o u r t h - - o r d e r t w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m a bs t r a c t f o u r t h o r d e rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi su s e dt od e s c r i b et h eb e a m e q u a t i o ni ne n g i n e e r i n g ，i th a sa w i d ea p p l i c a t i o n t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e sac l a s so ft h e b e a me q u a t i o n s ，t h eo n ee n di sf i x e da n dt h eo t h e re n di sf r e e f i r s to fa l l ，t h ep r e s e n ts i t u a t i o na b o u tt h i sq u e s t i o ni se x p l a i n e d t h e n ，w i t h o u tt h e r e s t r i c t i o no ft h en o n l i n e a rt e r mo nl o w e rb o u n d a r yo ft h ec o n s t a n t ，t h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o rf o u r t h o r d e rt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m l 伊4 ( x ) = 兄厂( x ，缈( x ) ) ，o x l ， 【妒( o ) = 矿7 ( o ) = 缈”( 1 ) = 缈”( 1 ) = o a r ei n v e s t i g a t e db yu s i n gt h ef i x e d p o i n ti n d e xt h e o r y t w ot h e o r e m sa n dt h r e e c o r o l l a r y sa r eo b t a i n e d a n dt w oe x a m p l e so ft h ea p p l i c a t i o na r eg i v e n t h er e s u l t si n t h el i t e r a t u r ea r eg e n e r a l i z e da n di m p r o v e d f i n a l l y ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s f o rf o u r t h o r d e rt w o - - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m l 4 ( x ) = 矗( x ) 厂( 缈( x ) ，( x ) ，r , o ”( x ) ，缈”( x ) ) ， l 缈( o ) = 妒( o ) = 妒。( 1 ) = 缈”0 ) = 0 a r ei n v e s t i g a t e db yu s i n gc o i n c i d e n c ed e g r e e t h e o r yu n d e rs o m ec o n d i t i o n sc o n c e r n i n g t h ee i g e n v a l u eo fr e l e v a n tl i n e a ro p e r a t o r i ti sn o tr e q u i r e dt h a tf i ss u b l i n e r t h e c o n d i t i o n so ft h ea b o v e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma r ea sf o l l o w s ： ( q ) 办：【o ，1 】叫o ，佃) i s c 。n t i n u 。u sa n dd 。n 。ti d e n t i t y0 ，f 办( x 炒 以； 见 其中丑是线性算子的第一特征值 本论文主要包括两部分，一部分研究半正四阶边值问题解的存在性，另一部 分研究非线性项含导数的四阶边值问题正解的存在性 半正边值问题的发展现状及研究内容 y a oq i n g l i u 在文献 1 8 1 中主要利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，研究了边值问 题 lw n ( f ) + 五( ( f ) ) = o ，0 t 0 ，0 a t 1 非线性项厂存在常数型下界并且要求满足 超线性条件 马宇红，马如云在文献 1 9 1 q j 主要利用锥上的不动点定理，研究了边值问题 ( p ( ，) “) 7 + 2 f ( t ，) - - o ， t r a u ( r ) - b p ( r ) u ( ，) = o ， c “( 尺) + 印( 尺) “7 ( 尺) = 0 正解的存在性非线性项厂存在常数型下界并且要求满足次线性条件，即存在紧 3 一 盟矿 一 厂一 m 州 眦一 - j h 尹 = = 兀 六 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 区间p ，】c ( ，r ) ，使得 l i m 业，( ，材) = 佃， u - _ + a o i e 扣矧。、。7 l i ms u p 丛丝：o “”。，【，明 甜 马巧珍，杜睿娟在文献 2 0 】中，同样利用锥上的不动点定理，研究了边值问题 f “”( ，) + 五厂( ，“) = o ，0 ， 0 ，q 0 , i = 1 ，2 ，m - 2 ，0 毛 岛 气一2 1 该篇文献 中不要求非线性项厂满足超线性或次线性条件，但依然要求厂存在常数型下界 王健在文献 2 1 】中，研究了边值问题 y 。+ a f ( t ，y ) = o ，o - m ( x ) ； ( 2 ) ，1 i m 。f ( x v , y ) = o o 在紧区间【口，】c 【。，1 】几乎一致成立则对充分小的允 。，上 述边值问题存在正解 本文研究半正四阶两点边值问题 j r p ( 4 ) ( x ) = 五( x ，伊( x ) ) ，o 0 满足条件如下： 厂：【o ，1 x r x r x r 专r 连续，存在非负函数口，b ，a d e 1 1 【o ，1 】使得下列不等式成立 i 厂( 埘，v ，w ) 怿口( f ) | 甜i + 6 ( ，) l v l + c ( ，) i 叫+ w ( ，) ，o t 1 f 口( o a t + f 6 ( f ) 衍+ f c ( t ) d t 1 任锁全等在文献 2 3 中利用上下解方法，研究了边值问题 f 甜( 4 ( f ) + 厂( f ，托，甜) = 0 ，o t l ， p ( o ) = 材”( o ) = 7 ( 1 ) = u w ( 1 ) = o 解的存在性，给出了所获结果的一个应用满足如下条件： f e c ( 0 ，1 】r 2 , r ) 存在两个正实数4 ，五，0 - u 2 ，m 屹，有 厂( ，材。，m ) 一厂( t ，u ：，屹) 一五( 甜。一材：) - 4 ( m - v 2 ) 姚庆六在文献【2 4 】中利用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，研究了边值问题 i u r ( f ) + ( 埘( f ) ，“( f ) ) = o ，o t 1 ， l 甜( o ) = 万，u ( 1 ) - a , u ( r ) = ， 正解的存在性，其中0 r 1 ，0 c r r 1 1 ( 伊) ( x ) = 办( x ) 厂( 妒( x ) ，驴( x ) ) ，0 x o ，( 0 x 0 ，( 0 w 钳= o 本文通过构造适当的f r e d h o l m 算子，利用在迭合度理论研究非线性项含导数 的四阶边值问题 j 妒p ( x ) = 办( x ) 厂( 妒( x ) ，缈7 ( x ) ，伊( x ) ，缈”( x ) ) ， 【缈( o ) = 伊( o ) = 缈。( 1 ) = 缈”( 1 ) = o 正解的存在性 - 6 一1 、 ，、 ， 东北大学硕士学位论文第2 章一类半正四阶两点边值问题正解的存在性 第2 章一类半正四阶两点边值问题正解的 存在性 2 1 引言 本节研究半正四阶两点边值问题 j 缈4 ( x ) = 见厂( x ，伊( 工) ) ，o x 1( 2 1 ) 【矽( o ) = 伊( o ) = 矿”( 1 ) = 缈”( 1 ) = o 、 - 正解的存在性以往很多文献【1 8 - 2 2 l 对半正问题都有研究y a oq i n g l i u 在文献 18 】 中主要利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，研究了边值问题 fw ”( ，) + 五( ，w ( ，) ) = o ，0 t 0 ，0 口7 7 1 非线性项厂存在常数型下界并且要求满足 超线性条件马宇红，马如云在文献 1 9 d p 矛l j 用范数形式的不动点定理，研究了边 值问颢 ( p ( f ) 甜) + 2 f ( t ，材) = o ， f 尼 口甜( ，) 一助( ，) 甜7 ( ，) = 0 ， c “( 月) + 咖( r ) “( r ) = o 正解的存在性非线性项存在常数型下界并且要求满足次线性条件马巧珍， 杜睿娟在文献【2 0 】中，利用锥上的不动点定理，研究了边值问题 f 甜”( ，) + 名厂( 厶“) = o ，0 f o ，0 , i = 1 , 2 ，m - 2 ，0 而 占2 占m 一2 1 在该 文献中不要求非线性项厂满足超线性或次线性条件，但依然要求存在常数型下 界本文在文献【2 6 】的启发下，分别从( x ，9 ( x ) ) 满足超线性或次线性条件两方面 考虑，一是减弱了超线性条件；二是非线性项厂满足次线性条件不要求存在常数 东北大学硕士学位论文 第2 章一类半正四阶两点边值问题正解的存在性 型下界利用不动点指数理论研究边值问题得出( 2 1 ) 正解的存在 2 2 预备知识 设= 【o ，1 】，b a n a c h 空间e = 【，r 】的范数定义为m l 二r 学i 妒( x ) f ，z ( o ，1 ) 的 范数为恻i 。= f 眵( x ) 陋 引理2 2 1 f | 6 】边值问题( 2 1 ) 的非齐次方程 的g r e e n 函数为 并且有 j 4 ( x ) = 0 ，0 x l ， 【伊( o ) = f o ( o ) = 。矿( 1 ) = f o 脚( 1 ) = 0 g ( x ，y ) = 【y x 2 ：( ( 3 3 y x 一- y x ) ) , ，：三；至：茎：； c t ( x ) g ( y ) g ( x ，j ，) g ( 少) 其中口( x ) ：弘g ( y ) ：要1y ：其中口( x ) = 詈x 2 ，) = i y 2 jz 引理2 2 2 设缈( x ) c 4 【o ，1 】满足 缈( 4 ( x ) = m ( x ) ，0 x l ， 【缈( o ) = f o ( o ) = f a ”( 1 ) = r p ( 1 ) = 0 其中m _ ( o ，1 ) ，m 0 ，则缈( x ) 口( x ) 0 妒0 证明由引理2 1 1 知 因此， 缈( x ) = cg ( x ，y ) m ( y ) d y fg ( y ) m ( y ) d y i i ( o l l - f g ( y ) m ( y 矽 8 - r ， 由此可证 缈( x ) = f g ( x ，y ) m ( y ) d y c 口( x ) g ( y ) m ( y ) d y = 口( x ) f g ( j ，) m ( 少炒 妒( x ) 口( x ) l i 矽8 引理2 2 3 设缈( x ) c 4 【o ，l 】满足 j 4 ( x ) = m ( x ) ，0 x 品( x ) 其中 。 石( x ，妒) = 2 ：耋苫；： 二；： ；三吕： 设 k = 缈e l 缈( x ) 口( x ) i 妒i i ，p x 1 一p ， 由引理1 3 易证k 是e 中的锥显然，边值问题( 2 2 ) 等价于 缈( x ) = f g ( w ) 疬( 卯( x ) 一i ( x ) 陟 1 0 东北大学硕士学位论文 第2 章一类半正四阶两点边值问题正解的存在性 么：k - - + k ，( 彳伊) ( x ) = f g ( 圳) 疬( 聊( x ) 一品( x ) 涉 下面证明a ：k 专k 的全连续算子 首先证明彳( k ) ck ，对任意缈k ，xe ( o ，1 ) ，有 ( 却) ( x ) = f g ( 埘) 丽( 聊( x ) 一石( x ) 涉 f g ( j ，) 疬( 聊( x ) 一i ( x ) 陟 因此。 i i a o l - 0 使得任意 c , o c d ，俐怿b 往证彳( d ) 是列紧的 肛缈) ( x ) l l = f g ( 训) 疬( 卯( x ) 一面( x ) 涉 f g ( 夕) 兄( 尸+ m ( j ，) 陟 脚叫= f i 掣陪叫矿砷) 陟 f 见( 尸+ m ( y ) 涉 其中尸：。娜s ，u ，4 p 纠；b z ( 墨伊( x ) ) ，则彳( d ) 一致有界且等度连续，即彳( d ) 是列紧的 最后证明a 在k 上连续，任意k ，任取一个序列 纯( z ) k ，使得 纯( x ) 在i 上一致收敛于( z ) ，此时，有 东北大学硕士学位论文 第2 章一类半正四阶两点边值问题正解的存在性 ( 觎) ( x ) = f g ( 圳) 疬( x ，纸( x ) 一面( x ) ) ， 上式中令刀j o o ，可得 l i m ：a 口o ) ( x ) = 舰f g ( 训) 疬( x ，纯( x ) 一面( x ) ) = f g ( 训) 五如( x ) 一面( x ) ) = ( 彳) ( x ) 这表明a 在k 处连续，由c o o 的任意性可知，a 在整个k 上是连续的 综上所证，证明了a 是定义在k 上的全连续算子 定理2 3 1 如果 o j c ( 石+ m ( y ) ) d y 万无 0 ，使得 j ( x ，妒) ( 厶+ s ) 妒，o 钐，x o ，1 】 设q ，= 缈k l l o l l - ，) ，则对任意x ，缈孢， 伊( x ) 一w ( x ) = 妒( x ) 一兄w ( x ) 2 酬i 缈i i 一华口( x ) 0 伊( x ) 一w ( x ) 伊( x ) 0 缈= ， 因此， p 8 缈( x ) 一面( x ) 1 1 - ， 、 对任意x i ，矽讹， - 1 2 r p ( 却) ( x ) = f g ( x ，y ) 2 - h ( y ，伊( y ) ) 妙 = f g ( x ，y ) 兄 ( y ，缈( y ) 一面( y ) ) + m ( y ) i , v 民五f ( 五+ 占) ，十m ( y ) d y k 加f ( 厶+ s + 肘( y ) 陟 ， = 因此，任意伊kn o n ，l i a ( p l i 。，存在，1 使得 f ( x ，伊) ( 丘一s ) 驴，驴，x 【o ，l 】 跏m a x p 华，卦卟删物i 脚 ，对腻“妒啦删有 出) _ - ( 啦出) 一华小) 缈( x ) 一丢t , 毛i i m i i , 缈( x ) 丢科 对任意x 秒，1 一目】，有 小) 司啦丢小) 掣m ) 8 2 r 扎 ( 却) ( x ) = fg ( x ，y ) 2 h ( y ，9 ( y ) ) 妙 = f g ( x ，y ) a f ( y ，伊( y ) 一i ( 少) ) + m ( y ) 咖 a n 六一s ) ( 伊( x ) 一i ( x ) ) + m ( y ) a y 吾名f ( 兀一s ) 缈( 少涉 弓1k 。( 厶一g ) 五衲伊i 陟 = i i q , i i 。 1 7 1 1 此，任意伊k n 讹r ，0 彳9 0 0 矿0 ，f ( 彳，q 尺，k ) = o - 1 3 - 东北大学硕士学位论文 第2 章一类半正四阶两点边值问题正解的存在性 f ( 彳，q q ，k ) = - 1 故算子a 有一不动点缈kn ( n r q ，) ，且，蚓i r 显然，任意x ，历( x ) i ( x ) 故伊( x ) = 历( x ) 一面( x ) 是边值问题( 2 i ) i 拘_ i - e f o = 0 ，正= 0 0 ， y 任意见( 0 南卜边值问脚m 至少有一正解； 厶= 0 ，0 兀 o o ， 对任意见( 去，南卜边值问脚m 至少有一正解； 无= o o ，0 兰 缈 名万( 1 2 0 ) 7 1 4 r p 东北大学硕士学位论文第2 章一类半正四阶两点边值问题正解的存在生 伊 譬， ，x 【。，】，( x ，缈) j 历丽r 设q ，= 伊k 渺0 ，) ，则对任意x j ，伊孢， 卅) - _ ( 啦小) 一华m ) 妒( x ) 丢t x lm i i , 妒( x ) 丢斛 对任意x 【p ，1 - 0 ，有 出) 一i 如) 掣m ) 譬 ( 却) ( x ) = f g ( x ，y ) 2 h ( y ，驴( y ) ) 咖 = f g ( ) a 厂( y ，伊( y ) 一面( y ) ) + m ( y ) 咖 旯f一8(7cx，y，妒一i。警m，in，y。，一f，f(、y,fo(y)-w(y)+a彳c，c6， 五j i - + 矿一。【了m ，i j n 胙卜q f ( 弘妒( y ) 一面( y ) ) 咖 k 0 2 妒石。l m 警，i ，n j ，。【。，。】f ( x ，呼，( x ) ) = r 因此，任意矿g f l o 弛， 由此可证 a 矽i - + l l ，i ( a ，q ，k ) = o f ( 彳，g ，k ) = 0 设7 ( 缈) 2 黝厂( x ，伊) ，由无= o 知， 1 i m 弛：l i mm a ) 【丛型观 p - m 伊 妒_ j e 【o ，1 1 尹 - 1 5 ， 东北大学硕士学位论文 第2 章一类半正四阶两点边值问题正解的存在性 存在日 0 ，任意s o ，使得对缈 日，( 缈) m a x r ，h ，1 ，使得7 ( 妒) 7 ( 尺) ，o r p r ，x o ，1 】设 q 尺= 妒k 修i i r ，则对任意x ， 因此， 对任意x ，妒铀尼， 伊( x ) 一w ( x ) = 妒( x ) 一兄w ( x ) 口( x ) i f 伊8 一3 , z i 石m i 口( x ) 0 伊( x ) 一w ( x ) 伊( x ) 0 妒0 = r 愀x ) 一面( x ) i i - r ( 却) ( x ) = c g ( x ，y ) 2 h ( y ，伊( j ，) ) 咖 = f g ( x ，y ) i f ( y ，缈( y ) 一i ( j ，) ) + m ( y ) d y 旯f 厂( y ，只) + m ( y ) a y 五f ( s r + m ( y ) 陟 ， 见r f ( f + m ( y ) p 因此，任意缈k n 孢r ，l i a 4 l - 1 1 4 ，( 彳，q 只，k ) = 1 由此可证 i ( a ，q 月q ，k ) = 1 故算子么有一不动点历k n ( t a q ，) ，j l r - 1 1 4 - r 显然，任意x ，缈( x ) w ( 石) 故伊( x ) = 缈( x ) 一w ( x ) 是边值问题( 2 1 ) 的正解 2 4 应用举例 例题2 4 1 考虑如下边值问题 1 6 东北大学硕士学位论文 第2 章一类半正四阶两点边值问题正解的存在性 则 厂( x ，伊( x ) ) = 9 ( x ) a r c t a n ( 。1 + 缈( x ) ) 一面x 2 兀= 妒l i m 。m 。，a s x 。f ( x 矽 ( p ) = 。1 7 5 无= l 矿i m 。m 。立a ；x 。f ( x 缈 q 殄) ，= 三 ( 卿( x ) ) ：缈( x ) a r c 蚀( 。“缈( x ) ) 一盖一盖= 一m ( x ) 令红1 4 _ 0 2 0 _ 9 ，则 经计算 ko=ra。in，口(x)=o0192ox ，y s l - 0 、7 k = m a x o ( 训) = 丢 艿无= 0 0 0 4 8 ( 2 3 ) 2 kf ( 五+ m ( y ) ) a y = 0 0 0 4 0 o 2 f ( 五+ m ( y ) ) 砂 _ - x 2 = _ m ( x ) = 吣m a x 。g ( 、训) = 三 1 8 ( 2 5 ) 华 嘴 删 厶 l 1 l 一 = = 一ii眦 一i h 毗阻l k k 、l 厂叩八少邛一i 州w ，一圩吣 d p 吵 科 够 r 、 b 东北大学硕士堂堡笙查釜! 主二耋兰垩里堕望：墨塾堡望壑垩壁竺查奎：堡 - - _ - - _ - _ - - _ _ _ - _ - - _ _ _ _ - _ _ - - _ _ - _ - _ _ - _ _ _ - - - _ 一一 o m o 。= f m ( y ) 方= f 少2 砂= 三 经计算 j c o l l m i 。= 吉 南娟 i 丢l l l t ，由定理2 3 2 知五( o ，6 ) ，边值问题( 2 5 ) 有解 1 9 东北大学硕士学位论文第3 章一类非线性项含导数的四阶边值问题正解的存在性 第3 章一类非线性项含导数的四阶边值问 题正解的存在性 3 1 引言 非线性四阶两点边值问题来源于工程中的梁方程，具有广泛的应用背景【引 本文研究一端固定，一端悬空的弯曲弹性梁平衡状态下的方程 j 妒4 ( x ) = 办( x ) 厂( 伊( x ) ，缈( x ) ，矿”( x ) ，缈”( x ) ) ，( 3 1 ) 【缈( o ) = c o ( o ) = c o ( 1 ) = 矿( 1 ) = o 、。 正解的存在性近年来，对于非线性项厂含导数的边值问题研究很多f 2 2 。2 5 】，在文献 【2 2 q b ，许也平在非线性项满足线性增长的限制条件下，利用l e r a y s c h a u d e r 非 线性抉择定理证明了边值问题 f 甜”( f ) + 厂( ，甜( f ) ，甜( ，) ) = o ， 【口“( o ) - p u ( o ) = 0 ，u o ) = o ，“( 1 ) = o 的可解性其中口，是非负常数且满足口+ 0 任锁全等在文献 2 3 中利用上 下解方法，研究了边值问题 j 4 ( 4 ) ( f ) + 厂( r ，“7 ，“”) = o ，o t s l ， k ( o ) = 甜”( o ) = 甜( 1 ) = 甜”( 1 ) = o 解的存在性，给出了所获结果的一个应用姚庆六在文献 2 4 】中利用 l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，研究了边值问题 p ( ，) + ( 埘( f ) ，“( 纠= o ，o t l ， lz ，( o ) = 万，z ，( 1 ) 一口甜( 7 7 ) = n 正解的存在性，其中0 r 1 ，0 口7 7 1 张国伟在文献 2 5 】中，有关相应线性算 子特征值的条件下，利用迭合度理论，研究了边值问题 ( 伊) ( x ) = 厅( x ) ( 伊( x ) ，伊( x ) ) ，o x 0 ，( o x o ，( o 0 ，悯) 连续且办( x ) 不恒等于零， f 办( x ) 出 佃，厂：r 4 专 o ，+ ) 连续 引理3 2 1 1 16 】齐次方程 j 伊p ( x ) = o ， 【