（基础数学专业论文）带弱阻尼项的非线性schrodinger方程全离散fourier拟谱格式的动力性质.pdf

中文摘要 6 5 73 v 4 3 中文摘要 在本论文中，我们考虑带有弱阻尼的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程周期 初值问题 i 甓+ 塞州”埘也z e i , 1 ) 所生成的无穷维动力系统( 拥有整体吸引子a ) 的离散化有穷维动力系 统，它是由原系统的f o u r i e r 拟谱逼近：求札r 1 s n ，礼= 0 ，1 ，使得 i 篆- - 。e 一2 z “u “c ( z j ) + ；( e z 、t 。n 。+ 。l + e i t 盈。) ( z ，) + g 1 。 t u r m i ，i 。一 t u 艄堂笪生竺堡( q ) ：f ( x j ) ， j = o ，1 ，2 n u 0 ，：如u o 所生成其中配置点= j ，j = 0 ，1 ，2 n ，h = 2 ( 2 n + 1 ) ，s n = s p a n e 巧2 ；【j l 茎) 1 y ：c g 一s n 为在配置点出的插值算子对于非 线性光滑函数g ( s ) ：【0 ，+ o o ) _ r ，假设 l i m 掣：o ， s - + + s 。 j 鬻学 o 1 i m l l m 掣：o ，_ 2u ， g ( s ) 和9 ( s ) 在兄+ 上保号， 这里h ( s ) = 卵( s ) ，c ( 8 ) = 片g ( a ) d a a n dg + ( s ) = r n a z g ( s ) ，o ) 在上面的假设下，我们得到了 引理1 对于拟谱格式的解u ；，我们有如下的先验估计式 i l u 。 1 1 2 墨e - 1 “2 1 1 “? 1 1 2 + ，y 一2 e ， i f l l j ，( 1 一e - 7 ”) ，n = 0 ，1 ，2 另外，存在常数p o 7 - 1 e 出i l f l l ，使得闭球 b o = u s n ；l p o ) ： 一i 一 黑龙江大学硕士学位论文 在s n n l 2 ( j ) 上是离散系统的一个有界吸引集 引理2 在上述关于非线性函数9 ( ) 的假设下，存在与和t 都 无关的常数p 1 0 ，使得闭球 b ，= u s n ；i i v i l l p 1 ) 在s k n 上强，( ，) 上是离散系统的一个有界吸引集 定理1 在上述关于非线性函数g ( ) 的假设下，由全离散f o u r i e r 拟谱逼近所生成的有穷维离散动力系统在s n 硪。，( ，) 上拥有一个整体 界吸子山u ，且有 4 雌f nu ( 粕，t ) ”硝 n 0r n n 其中( s 出) ”为全离散f o u r i e r 拟谱逼近的解算子 定理2 在定理1 的条件下，当充分小时，全离散f o u r i e r 拟谱逼 近格式关于初值在有限的时间段内是稳定的 定理3 在定理1 的条件下，周期初边值问题的解u ( x ，t ) 满足 象，嘉州。，专蹦剐，u l o o ( o t ；) ，口 j 1 那么，全离散f o u r i e r 拟谱逼近格式的解让：有如下的误差估计 、 i i 札“一札引lsc ( t ) ( n - ”+ a t 2 ) ，n t t 上述结果是在非线性s c h r 6 d i n g e r 方程是自治方程的情况下得到的 下面我们假设方程是非自治的，即方程右端的函数，与时间变量t 有关 我们对做如下假设 s 酆u pl l f ( - 一幅+ 争州1 i t 叭o 础2 眺c 定理4 设定理1 的条件成立，并在上述关于，t ) 的假设下，当 充分小时，全离散f o u r i e r 拟谱逼近格式是长时间稳定的 定理5 设定理4 的条件成立，初边值问题的解q ( 。，t ) 满足 嘉职r + 1 珥e r ( 聊，器e l 2 ( r + ；碳邝) ) ) “五0 。( r + ；艰，( ，) ) n 三2 ( 兄+ ，- p o 。- ，( ) ) ，盯 j 1 中文摘要 那么，存在一个不依赖于和t 的常数g ，使得 u ”一u ? l l c ( n 一。十t 2 ) ，n = 0 ，1 关键词：非线性s c h r s d i n g e r 方程无穷维动力系统 f o u r i e r 拟谱逼近稳定性收敛性 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ed i s c r e t i z a t i o nf i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e mf o rt h ep e r i o d i ci n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h e n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o nw i t hw e a k l yd a m p e d 喾 象刊2 ) u + t u = 加吐 ( 1 1 ) w h i c hg e n e r a t eai n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m ( i tp o s s e s s e sa g l o b a la t t r a c t o r ) ，t h ed i s c r e t i z a t i o ns y s t e m i sg e n e r a t e db yf o u r i e r p s e u d o s p e c t r a la p p r o x i m a t i o ns c h e m e a sf o l l o w s ：f i n du 2 + 1 s ，竹= 0 ，1 ，一， s u c ht h a t i 1 “凸。e 。：! “z “e ( 小t u 学+ e 社“批，) + a i ret钆?+-i。，ie一au?l：】三二x?t竺旦n+l(z，)=，(z，) j = 0 ，1 ，一，2 n ， 让! = i n u o w h e r ec o l l o c a t i o np o i n t sq = 饥j = 0 ，l ，2 n ，h = 丽2 t ：，曲= s p a n e 0 。，j v ，a n di n ：c ( h - s ni s ai n t e r p o l a t i o no p e r a t o r o nt h ec o l l o c a t i o np o i n t sq ( o j 2 n ) f o rt h en o n l i n e a rs m o o t h f u n c t i o n9 ( ) ：【0 ，o 。) - - 4r ，w es u p p o s et h a t s - 4 i 掣= o+ s 。 l i m 唧鱼堕掣堕 o p + o 。8 0 ”l i r a 掣：o ，- = u ， g ( s ) a n d ( s ) d o n o tc h a n g es i g ni nr + w h e r eh ( s ) = s g ( s ) ，g ( s ) = 片g ( a ) d aa n dg + ( s ) = m o z g ( 5 ) ，o ) u n d e rt h ea b o v ea s s u m p t i o n so nt h en o n l i n e a rf u n c t i o n 口( ) ，w e o b t a j nt h a 土 i v 英文摘要 = ；= ；= ；i i j - i i i = ；i ；i ；= = ；= ；i ；= ；= = ；二= = l e m m a1 f o rt h es o l u t i o n u po ft h e f o u r i e rp s e u d o s p e c t r a t s c h e m e ，t h e r ei sp r i o r ie s t i m a s ea sf o l l o w s i f “：2 e - 1 “。| | “! f 1 2 + 7 - 2 矿ir i l l 奄( 1 一d - 7 n a t ) ，扎= 0 ，1 ，2 ，、 i na d d i t i o n ，t h e r ee x i s t sac o n s t a f i tp o 7 - 1 e 苦。i l ，s u c ht h a tt h e c l o s e db a l 础= u s n ；恻p 0 i sa a b s o r b i n g s e ti ns n n l 2 ( ，) u n d e rt h ed i s c r e t i z a t i o nf i n i t ed i m e n s i o n a l d y n a m i c a ls y s t e m l e m m a2 u n d e rt h ea b o v ea s s u m p t i o n so nt h en o n l i n e a rf u n c t i o n 9 ( ，) ，t h e r ee x i s t sap o s i t i v ec o n s t a n tp 1i n d e p e n d e n t o f n ，a t ，s u c ht h a t t h ec l o s e db a l l b ，= 。s t y ；i lsp 1 ) i saa b s o r b i n gs e ti ns n n 艰r ( ，) u n d e r t h ed i s c r e t i z a t i o nf i n i t ed i m e n 。 s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m t h e o r e m1 u n d e rt h ec o n d i t i o n so f l e m m a2 ，t h ed i s c r e t i z a t i o n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c ms y s t e mw h i c hi sg e n e r a t e d 眵t h ef o u r i e r p s e u d o s p e c t r a ts c h e m ep o s s e s s e s8g l o b a la t t r a c t o r4 ，a n d a ，t = nu ( 曲，t ) “b ， n 0 m ” w h e r e ( s t ) “i s t h es o l u t i o no p e r a t o ro ft h ef o u r i e rp s e u d o s p e c t r a l a p p r o x i m a t i o ns c h e m e ，t h e c l o s e dh u l li s * a k e di n 丑：e r ( n t h e o r e m2 s lu n d e rt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m1 ，w h e na ti s s m a l le d o u g h ，t h ef o u r i e rp s e u d o s p e c t r a la p p r o x i m a t i o n s c h e m ei ss t a b l e o nf i n i t et i m ei n t e r v a l t h e o r e m3 u n d e rt h e c o n d i t i o n so f t h e o r e m1 ，t h es o l u t i o nu ( z ，) o f p e r i o d i ci n i t i a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e ms a t i s f i e st h a t 嚣，嘉l 邓，丁；碳邝) ) 1 ：u 州咿；吆舢ma j 1 ， t h e n ，f o rt h es o l u t i o n “? o ft h ef o u r i e rp s e u d o s p e c t r a la p p r o x i m a t i o n s c h e m e w eh a v et h ee r r o re s t i m a t ea sf o l l o w s u “一“? i ls g ( r ) ( 一4 + a t 2 ) ，n a t t v 黑龙江大学硕士学位论文 t h ea b o v er e s u l t sa r eo b t a i n e dw h e nt h e n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o ni saa u t o n o m o u se q u a t i o n i nt h ef o l l o w i n g ，w es u p p o s et h a tt h e n o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o ni san o n a u t o n o m o u s e q u a t i o n ，n a m e l y ， t h er i g h ts i d et e r mf0 ft h en o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n d e p e n do n t i m ev a r i a b l et ，w em a k et h ea s s u m p t i o n so i l ，( z ，t ) t h a t 翟pj i ( ，驯i 奄。f i ：。l l + | | i ，t + z 。f f 警f f ：出g t h e o r e m4 s lt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m1 h o l d ，a n du n d e ra s s u m p t i o n s o nf ( x lz ) ，w h e na ti ss m a l le f l o u g h ，t h ef o u r i e rp s e u d o s p e c t r a la p p r o x i m a t i o ns c h e m ei s l o n g - t i m es t a b l eo ni n f i n i t et i m ei n t e r v a l 0 o 。1 t h e o r e m5 u n d e rt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m4 ，a n dt h es o l u t i o n 让缸，t ) o ft h ep e r i o d i ci n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ms a t i s f i e st h a t 嘉驴( r + ，雌) ) ) 0 丽2 4 l 2 ( r + ；黩r ( ，) ) 】 “l o o ( r 十；目要，( ，) ) n 三2 ( 月+ i 月品，( ，) ) ，盯 ； t h e n ，f o rt h es o l u t i o nu ：o ft h ef 0 u r i e rp s e u d o s p e c t r a la p p r o x i m a t i o n s c h e m e w eh a v et h ei o n g t i m ee r r o re s t i m a t ea s 如l l o w s u ”一u ? | | c ( n 一。+ t 2 ) ，n = 0 ，1 k e y w o r d s ：n o n l i n e a rs e h r s d i n g e re q u a t i o n i n f i n i t ed i m e n s i o n a l 曲n a m i c a ls y s t e m f o u r i e rp s e u d o s p e c t r a la p p r o x i m a t i o n s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e v i 第1 章综述 ；i ；i i i i i ；ii i i l i ；i i j ；i ； 第1 章综述 1 1 问题的背景及研究概况 动力系统的研究与自然科学中的一些重要问题( 如湍流问题，天体 问题等) 的研究密切相关，因而长期以来一直吸引着一大批科学家对此 进行研究但一般研究的内容仅限于有穷维的情形近二十年来，随着 科学技术的发展，特别是计算机技术的飞速发展，人们已经有可能通过 计算机来更多地了解无穷维动力系统的行为从上个世纪八十年代，人 们就对无穷维动力系统进行了多方面地研究，如o a l a d y z h e n s k o y a ，c f o i a s ，m i ，v i s h i k ，r t e m a m ，j k h a l e ，g s e l l ，g u ob o t i n g 等科学 家对一类具有耗散效应的非线性发展方程( 组) ( 如n a v i e r s t o k e s 方 程，非线性s c h r s d i n g e r 方程等) 生成的无穷维动力系统进行了系统地 研究，在一定的条件下证明了系统拥有一个整体的吸引子，对吸引子的 h a u s d o r f f 维数、f r a c t a l 维数的上、下界进行了估计吸引子是刻划系 统长时间性态的一个非常重要的概念，其系统的最终状态完全由吸引子 所决定此领域现已出版许多专著，如rt e m a m 9 ，j k h a l j 5 j jav b a b i n ，mi v i s h i k 1 3 ，g u ob o l i n g 1 4 】等 与此同时，数值模拟已成为研究无穷维动力系统的一个重要手段， 从中能更多地了解系统的状态，许多重要的成果就是通过具体的数值计 算得到的因此，如何选取适当的数值计算格式并通过其来研究系统的 重要性质，尤其是系统的长时间性态，就显得十分地必要数值计算格 式是否长时间稳定，收敛? 若系统是耗散的，那么，离散化的有穷维动 力系统是否也具有耗散性，其吸引子是否也存在? 这方面的研究自上个 世纪八十年代末就已展开，如r t e m a m 等人针对长时间的数值计算问 题提出了非线性g a l e r k i n 方法，j k h a l e ，c m e l l i o t tr t e m a m ，y i n y a n 等人就不同的方程研究了对应系统的离散化系统，讨论了离散化系 统的长时间稳定性和收敛性国内也有许多学者从事这一领域的研究， 黑龙江大学硕士学位论文 i ；ii i ii i 。i ii i ；i = = = = ；i ；二； 如郭柏灵，李荣华，向新民，常谦顺，张法勇等y i ny a h 1 0 1 利用有限 差分法研究了带有弱阻尼的非线性s c h r o d i n g e r 方程所生成的无穷维动 力系统的半离散化，证明了离散系统存在整体吸引子，且对其进行了维 数的估计f a y o n gz h a n g 1 1 1 也利用有限差分法对其进行了全离散化， 在一定的条件下，也得到了吸引子的存在性和系统的长时间的稳定性和 收敛性 数值求解偏微分方程的谱方法是上个世纪七十年代被提出来的一种 非常重要的数值解法，它的主要特点是具有“无穷阶”的收敛性，也就是 说，对于适当的谱方法，近似解的收敛阶与精确解的光滑性有直接的关 系，精确解越光滑，收敛阶就越高谱方法的另一个优点是在实际计算 中可应用快速f o u r i e r 变换( f f t ) 来减少计算量这方面的早期工作 ( 稳定性的研究) 总结在d g o t t l i e b ，s a o r s z a g 1 5 】的专著中从上个 世纪八十年代末以来，许多国内外的学者就谱方法的收敛性和误差估计 等进行了全面地研究，如h o k r e i s s ，j ，o l i g e r 1 2 】j ep a s c i a k 1 6 ，a q u a r t e r o n i ，c c a n u t o 1 ，y m a d a y 1 7 ，郭本瑜 2 1 】，向新民 2 2 1 等这 一时期的工作后来总结在c c a n u t o ，m y h a s s a i n i ，a q u a r t e r o n i ，t a z a n g 2 0 1 所著的专著中，国内也有谱方法的专著出版，如郭本瑜 1 8 ， 向新民f 1 9 1 因此，经过三十多年的研究，谱方法已经成功地应用到流体 力学，大气物理学等领域中在谱方法中，f o u r i e r 谱和拟谱方法是被研 究得很成熟的一种谱方法，它是针对求解周期问题而被提出来的，采用 三角多项式作为近似解 在本文中，我们考虑带有弱阻尼项的非线性s c h r s d i n g e r 方程的周 期初值问题 u ( 石，0 ) = u 0 ( x ) ，r ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 其中i = 二t ，= ( 0 ，2 7 r ) ，f 是一个以霄为周期的连续函数，u ( x ，t ) 是 一2 一 ， 蚝胪，t = r 灿 z 茁 +u lj训忙 a u 切卜塑舭 + 伽心 箱1 章练述 复值未知函数，y 是一个正的常数，使得方程( 1 1 ) 具有零阶耗散性。 非线性光滑函数9 ( ) ： 0 ，c o ) 一r ，满足 i i m g + 下c s ) ：0 ，( 14 ) 1 恕黑p 塑孑盟 0 ；t 5 t 争叶+ 。os 。 其中h ( 8 ) = 阳( s ) ，g ( s ) = 片9 ( 盯) 打a n dg 士( s ) = m a x g ( s ) ，o ) 在条件( 1 4 ) ( 1 5 ) 之下，j m g h i d a g l i a 3 首先证明了由问题 ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 生成的无穷维动力系统在中拥有一个紧的整体吸引子4 ，它 有有限的h a u s d o r f f 维数和f r a c t a i 维数与此同时，y i ny a n 1 0 1 讨论 了半离散的有限差分格式，证明了由此格式生成有限维动力系统拥有一 个整体的吸引子，并对它的h a u s d o r f f 维数和f r a c t a l 维数进行了估计， f a y o n gz h a n g 1 1 讨论了全离散的有限差分格式，也证明了由全离散格 式生成有限维动力系统拥有一个整体的吸引子 我们对非线性函数9 ( ) 再做如下假设 l i m 掣：0 ，( 1 6 ) 5 + + o o s 。 g ( 8 ) 和矿【s ) 在r + 上保号( 1 7 ) 在实际问题中，满足条件( 1 4 ) ( 1 7 ) 的函数有许多，例如g ( 8 ) = 一s 6 ( o 0 使得1 一掰t2y ，f o ra l ln 1 那么 旷矿e z p ( “。1 t 9 牡p ( t g f ) k = lk = 0 ( 2 1 ) n 一1 n ， n 、 + a t e h e 。p 。1 t 9 1 ) e z p ( t g f ) ，几= 1 ，2 ，( 2 2 ) 证明：利用不等式( 2 1 ) ，我们有 y ”g oi - i ( 1 - a t g ；) 一1i i ( 1 + t 9 ) k = l 七= o + a t i i ( 1 - a t 9 1 ) 1i i ( 1 十幻：) ( 2 3 ) z = o= i + l= ；+ l 既然一l n ( 1 一。) 南，v z 【0 ，1 ) ，和1 + z e 。，v 。r ，我们有 f l ( 1 一t 醴) ：。p ( 一妻n ( 1 - z x m ) ) e , p ( ；妻，! t ) ，均。 k = q k = q r 2 口 鲔2 章全离徽f o u r i e r 拟谱格式 = = ；= ；二i ；c llfl i ；i ；i ；= ；i ；i ；二；二 和 nnn n ( 1 + a r g o ) n 唧( t 鳍) = 唧( g 池) ，v q o = = q = 4 把上面的估计均代入到( 2 3 ) ，我们立刻得到不等式( 2 2 ) 引理得证 引理2 5 ( l e r a y s c h a u d e r 不动点定理) 2 4 1 设t 是b a n a c h 空间 8 到自身的紧映射，又设存在一个常数m ，使得l i x f l 口sm 对所有满足 z = a t x ，z 8 ，盯 0 ，l 】 的。成立则t 存在一个不动点 使得 2 2 全离散f o u r i e r 拟谱格式 我们构造如下全离散f o u r i e r 拟谱格式：求n + 1 乳，凡= 0 ，1 ， t 。塑兰垫羔! ( z ，) 十；( e t u n 。- t 。- i 十e 一 珏：。) ( ) + g 1 1 。；。嵯+ t p ，1 。一 。醒1 。j 重兰皇望二：；：! ! 二三全生兰( ) = ，( z ，) ) ( 24 ) j = o ，1 ，一，2 n 。 “! = i n u 0 ( 25 ) 现在我们将利用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理来证明：对于任伺的n 1 ， 全离散f o u r i e r 拟谱格式的锯骘都存在对于任何的咖s ，定义 西s 如下 i 竺! 竺竺! ：i i ；- - 二& t 二至n ( z ，) + ；a 【e 。妒。十e 一 t 让麓。) ( z ，) + 入g 。 e 删。一 c 踯翌尘譬丝( 。，) ：) 、) ， - j = 0 ，1 ，- - ，2 n 黑龙江大学硕士学位论文 它定义了一个算子西= t ( 纠，它映s 到它自己显然，算子丁是连续 的为了证明全离散f o u r i e r 拟谱格式的解存在，我们只须证明算子at 的不动点a t 对a ( o a 1 ) 的一致有界性不动点西满足 i 旦兰兰皇生翌l 弓宅 ：! ：! 堡垒生+ ； ( 。 。圣。( ) + e - c 札。( q ) ) + a g 【l e ；n t 垂( z ，) l 。，i 。一 t u ? ( 。，) i z 兰! 竺：! ! 兰! ! _ ! 丢! 二：! 全：! ! ! 竺垃：a ，( 。，) ， 7 = 0 ，1 、一一，2 n 在上面的方程两边同乘以a t ( d 。毒( q ) + e - 霹( ) ) ，然后对j 从 。到2 n 求和，取虚部，有 e 考2 圣lj 2 = ( ，卜_ 1 ) e 一吾。r e ( 西，”) + e 一孚。lj “：| | 2 + a t m ( ，圣+ e 一7 。让：) 由c a u c h y 不等式和s 不等式，有 e 。 i 圣2 e 一专| i 西0 i l 妒“| l + e - 等。l l 噱u 2 + , a t ( 1 l f l n 圣 + e - 7 出l l f l l i k i ) 扣酽+ ；一“2 + e - 秘撇酽十j 酬m + 铷朋斋 + 纰1 “j e 出2 + 筹e 中川刍， 由此推出 1 1 圣2 3 e - z 5 t 咤 p 十2 a ：_ tw ，；， 这意味着i l 刚2 对于a ( os 1 ) 是一致有界的故全离散f o u r i e r 拟 谱格式的解是存在的，其唯一性可由下面的定理4 1 得到 2 3 本章小结 本章给出了与本文内容极其相关的一些记号和一些必要的引理，构 造了全离散f o u r i e r 拟谱格式，利用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明了 全离散f o u r i e r 拟谱格式解的存在性，其唯一性可由下面的定理4 1 得 到 一8 一 鲭3 章离散系统的长时间行为 第3 章离散系统的长时间行为 在这一节中，我们将全离散f o u r i e r 拟谱格式( 2 4 ) 放到耗散的动力 系统的框架内对于固定的猖，我们来定义算子s 。：s 。s 如下 1 , ：= s m f 记， 因此，由下一节的定理4 1 ，对于每个n 0 ，全离散f o u r i e r 拟谱格式 ( 2 4 ) 的解算子族 ( s ，t p ) 。o 在s 上形成了一个连续半群 3 1 离散系统在s nl 2 ( ，) 中吸引集的存在- 陛 现在我们来证踢崮全离散f o u r i e r 拟谱格式所生成的离散动力系统 在蹄nl 2 ( ，) 中存在一个吸引子一 5l 理3 1 对于拟谱格式酌解咤，我们有如下的先验估计式 u ? 1 1 2 e - 叮“l i u ! | | 2 + 7 - 2 e t 。1 1 1 1 1 知( 1 一e - 1 “) ，凡= 0 ，1 ，2 ，( 3 1 ) 特别地 ， s u pi i u ：1 1 2 m a x ( 0 u o 。，2 ，一2 e 7 。| l ，9 奄) = c o ( 3 , 2 ) n 之u 另外，存在常数p o ，y _ 1 e j 出i i 1 1 ，使得闭球 b = s ；i i v l lsp o ) 在s nl 2 ( i ) 上是离教系统的一个有界吸引集 证明：在( 2 4 ) 式两边同乘以t ( e 。霹+ 1 + e - 。霹) ( ) ，然后对 j 从0 到2 n 求和，取虚部得 r e ( e ? + 1 一e - 吾。u ：，e 哥。u ? + 1 + e - 吾乱：) + ；a t o m ( e 壬。u 搿 + e 一壬让盈，e 差。u ：+ 1 + e 一吾u ：) = t j - m ( ，e 苦：+ 1 + e 一 “：) 3 ) 易见 r e ( e z | 2 “? + 1 一e 一号仳：，e 毒让? + i + e 一吾让? ) _ = l l e 善札? + 1 f 1 2 i f 8 一号札：f 2 黑龙江犬学硕士学位论文 由引理2 1 m ( e 壬6 u 铡n + 。l + e 一 u 乙z ，e 吾u ? + 1 + e - 壬。“。n ) j v = 0 因此，( 33 ) 式又变为 由此 e 。l l 螳+ 1 l i 2 = e 孚6 。l 1 1 2 + t 矗n ( ，珏n 。+ 1 + e - r , s t 8 2 i | u r l 胪_ e - v l f “川2 + a t i ( ，u 。n + 1 ) _ i + e 一，t i ( ，乱? ) _ 0 ，使得 g ( s ) ise 8 3 + q sf o r8 0 ，( 3 4 ) h ( s ) ( u + 1 ) c s 3 + 仅5 f o rs 0 ( 3 5 ) 引理3 2 在条件( 1 6 ) 下，对于给定的 0 和妒s n , 我们有 ( g ( i e 删妒n ，1 ) f5 心( 8 4 慨| f 2 + 嘉6 ) + e 2 f l t c d l l p 忾 其中三苎任意实数，仅是仅依赖于e 和9 ( s ) 的常数 证明：由( 3 , 4 7 一不等式和下面的s o b 。l e 、，不等三 毛刘帅蚓；+ 剖i 吡v 。h ； 有 删8 9 。地71 ) j s ( s 渺 + q 俨北i ) s e 6 4 删钏郴+ e 2 口出圳妒| 2 s 5 e 印锄删2 ( 2 j l 曲z i i + 如彬1 1 2 - be 2 肚t 刚妒圹 6 e 8 4 ( s h 妒1 1 4 2 + 丽1 怕+ e 。口a 。刮卅 引理3 , 2 得证 6 h 生裂苎、：! ，在条件( 1 5 ) 一( 1 j 7 ) 下，对于拟谱格式的解。l t ，我们有如下 的先验估计式 “” 2 s e 哪( 2 伊十( 弭2 驯。 + 2 ( q 渤) + ( 3 十2 7 _ ，y _ 1 1 。b i , a t i f l j i , o - e ，蚴7 + 2 1 1 f l t 知( 37 ) s 。u p 。敝腿m 衄2 e 。+ ( 3 + 2 g 。7 i 淝2 k ( c o ，。) + ( 3 + 2 g n l 。7 t 2 ) + 2 冤：e l -( 38 ) 誊慧兰席在常灿t 姗2 耳斌+ ( 南+ 2 ) + 4 p o l t 州) 使得闭球 “ b ，= ( 蚝s e e ；1sp l 在曲n 艰r ( ，) 上是离散系统的一个有界吸引集其中 旬2 枷科赢8 专出，硫1 p “l 烹龙江大学硕士学位论文 驴嘲( 赤e 一弘，而1 p “ e o = l u 1 2 一e 一壬( g ( j e 一每。罐 2 ，1 ) 十2 r e ( ，记) 球= 挣t 譬掣+ z ， 证明：在( 2 4 ) 式两边同乘以( e 霹“一e - 2 霹) ( z ，) ，然后对j 从0 到2 n 求和，取实部得 或者 e 1 | | 让譬1 | | 2 一( c ( i d u ? + 1 1 2 ) ，1 ) n 十2 已考。n e f f ，u ? + 1 ) = e - 1 。i l u s i l 2 一( g ( i e 一三6 ：1 2 ) ，1 ) v + 2 e 一号。r e ( ，钍：) _ ， e 考i 让誉1 | 1 2 一e 一号( g ( 【e 让：+ 1 1 2 ) ，1 ) + 2 r e ( ，u ：+ 1 ) = e 一1 ( e 一吾i i u 乏j4 2 一e 吾。( g ( f e 一号。弘：f 2 ) ，1 ) _ + 2 r e ( f ，u ? ) v ) ( 3 9 ) 取 e “= l l u 盈i 1 2 一e 一 。( g ( i e i u ? 2 ) ，1 ) n + 2 n j ( ，u ：) _ 在g ( s ) 0 的情形，由( 3 9 ) ，得 e “+ 1 + a t l l 5 * 1 1 1 2 冬e 一7 e “+ e - 吾2 ( g ( 1 e 吾2 “? + 1 1 2 ) 一g ( i e 一暑u 。n + 1 1 2 ) ，1 ) ( 3 1 0 ) 由( 1 7 ) ，g ( s ) 在兄十上是一个单调函数当9 ( s ) 在r + 上是增函数时， 由( 3 5 ) ，s o b o l e v 不等式( 3 6 ) 和不等式1 + z e 。，忱r ，我们导出 ( a ( i s i 乜：+ 1 1 2 ) 一a ( 1 e 一 犍+ 1 尸) ，1 ) n s ( g ( e 吾。u ：+ 1j 2 ) ( e 1 一矿7 ) l 让? + 1 1 2 ，1 ) 曼2 1 t ( g ( 滢t r 1 e 耻谴+ 1 1 2 ，1 ) 2 7 ( p + 1 ) e 旧手2 i i c 8 + 1 f 6 + g e ；“孑+ 1 f 2 ，i j 一1 2 第3 章离散系统的长时间行为 i i i i ；i i ；i ；i i i | i if i i jn l l li ；# 2 7 a t ( u + 1 ) e 3 7 2 l l u ：+ 1 1 1 4 。1 | u n 。+ 1 1 1 2 + 2 7 t e t 。c l u n 。+ 1 1 1 2( 31 1 ) 2 7 t ( u + 1 ) e 3 7 a t e ( s t l “：+ 1 f 1 4 f “譬1 f 2 + l f 让? + 1 f 6 ) + 2 7 & 、t e 7 。q f “：+