（工程力学专业论文）渐开线齿轮齿根应力的结构仿真研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 齿轮是现代机器设备的基础元件之一，广泛应用于机械传动，如飞机、汽车等。 精确描述齿轮传动中齿轮内部的应力应变状况，对优化齿轮结构，获得高性能的齿 轮传动机构具有重要意义。l ”7 、 本文详尽讨论了齿轮几何非线性引起的齿根应力分布问题。首先，本文介绍并 评述了一百多年来，有关渐开线齿轮齿根应力计算的研究方法和成果及近十年来以 有限元方法为代表的数字仿真技术在齿轮齿根应力计算中的应用。然后，通过分析 渐开线齿轮齿廓曲线、过渡曲线的生成原理、性质，论述了它们的参数方程的自由 曲线表达形式。在此基础上，运用弹性力学和有限元的理论，推导了齿轮齿根应力 的折截面法的计算公式，介绍了有限元方法处理齿轮一类几何非线性接触动力问题 的般方法。 在总结上述理论的基础上，本文做了如下工作： 1 ) 运用m a t l a b 6 0 ，编制了基于折截面法的计算齿轮齿根应力的结构化程序。 利用它可以计算各种型号齿轮齿根的弯曲应力。 2 ) 建立了基于自由曲面拟合的高精度的渐开线直齿轮的实体模型，并转换为 i g e s 文件导入a n s y s 5 7 中，建立起有限元静力分析模型，并获得与前人实验一致 的计算结果。这一模型导入u g s l 7 0 后，可以作为齿轮齿根曲线优化设计的模块。 3 ) 在a n s y s 5 7 中建立了两个齿轮啮合传动的动态结构仿真模型。直观展示了 齿轮传动过程中应力分布的变化规律。极大地方便了对齿轮啮合动态特性的研究。 4 ) 以格利森圆弧螺旋锥齿轮为例，论述了复杂齿轮副结构仿真模型的建立方 法，并在a n s y s 5 7 中建立起高精度的格利森圆弧螺旋锥齿轮的有限元仿真计算模 型，为进行更复杂的齿轮的结构仿真分析打下了基础。 本文的创新之处在于：用自由曲面直接拟合齿轮齿廓及其过渡曲面等一类复杂 的非线性几何结构，从而方便而高精度地获得有限元仿真模型。避免了人工逐点输 入带来的误差。 本文论述的齿轮结构的造型原理及由此得到的各类齿轮啮合的仿真模型可作为 齿轮传动动态仿真分析的平台。，“一 关键词：廷矽过渡曲线r 笾夥有限元法i rr i 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = 一 a b s t r a c t a so n eo ft h ef u n d a m e n t a lc o m p o n e n to f t h em o d e mm e c h a n i c a le q u i p m e n t ，g e a r s a r ew i d e l ye m p l o y e di nt h et r a n s m i s s i o no f m a c h i n e s ，s u c ha sp l a n e s ，m o t o r s ，e t c i t s v e r ys i g n i f i c a n ti nt h eo p t i m i z i n go fg e a rs t r u c t u r e s ，a c q u i r i n gh i g h p e r f o r m a n c eg e a r t r a n s m i s s i o ni f t h es t r a i n - s t r e s sr e l a t i o n s h i pf o rg e a r si se x a c t l yd e s c r i b e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h es t r a i n sa n ds t r e s s e s r e s p o n s e si nt h er o o t so fl o a d e dg e a r t e e t hc a u s e db yt h e g e o m e t r i c a ln o n l i n e a r i t y a r ep a r t i c u l a r l y d i s c u s s e d f i r s t l y ，t h e c o m p u t i n gm e t h o d sa n da c h i e v e m e n t si nr o o ts t r e s s e so fi n v o l u t es p u rg e a r sa r er e v i e w e d i nt h ep a s to n eh u n d r e d y e a r s ，a n dt h ea p p l i c a t i o no ff i n i t ee l e m e n tn u m e r i c a ls i m u l a t i o n i nc o m p u t i n gt h er o o ts t r e s s e si sp r e s e n t e di nt h er e c e n tt e ny e a r s t h e nt h et h e o r ya n d p r o p e r t y f o r p r o f i l e a n dt r a n s i t i o nc l , n v e s f o r m i n gi n i n v o l u t e s p u rg e a r s a r ea l s o d e s c r i b e d ，i nt h ef o l l o w i n g ，t h em e t h o d so ff o l d e dc u t t i n gp l a n ec o m p u t i n gf o r m u l ai n s t r e s s e si nt h er o o t so fg e a ri si n d u c e db yt h et h e o r yo fe l a s t i cm e c h a n i c sa n df i n i t e e l e m e n t a n df u r t h e rt h e p a p e rp r e s e n t s t h e g e n e r a l m e t h o di n d e a l i n gw i t h t h e g e o m e t r i c a ln o n l i n e a rd y n a m i cc o n t a c t i n gp r o b l e m s i ng e a r sb yf i n i t ee 1 e m e n t b a s e do nt h ea b o v e t h e o r i e s ，t h i sp a p e ra c c o m p l i s h e st h ef o l l o w i n gt a s k s ： 1 as t r u c t u r a lm a t l a b p r o g r a m i sg i v e no u ti nt h em e t h o do ff o l d e d c u r i n gp l a n e ， w i t ht h er o o ts t r e s s e so f a l lk i n d s o f g e a r s c a l lb ec a l c u l a t e de f f o r t l e s s l y 2 a ne x a c tm o d e lo f i n v o l u t e s s h a p e dg e a ri sc o n s t r u c t e db y s o f t w a r eu g s17 0t o t h ea b o v ep r o b l e m ；t h em o d e ii sc o n v e r s e di n t oi g e sf o r m a t ，a n d i m p o r t e d i n t o a n s y s 5 7 c o m p a r i n gt h et w od i f f e r e n tm e t h o d s ，t h er e s u l t sc o m p u t e db ya n s y s i s a p p r o x i m a t et o t h em e t h o do ff o l d e d c u t t i n gp l a n e ，a n d t h em o d e lc o n s t r u c t e db y u g s17 0c a l la l s ob et h em o d e lo f o p t i m i z i n gd e s i g nf o rt h e r o o t so f g e a r 3 ad y n a m i cs t r u c t u r a l s i m u l a t i n gm o d e l i sc o n s t r u c t e df o r t h e e n g a g e n m e n t b e t w e e nt w o g e a r s ，a n d t h e d i v e r s i f y i n gp r i n c i p l e o fs t r e s sd i s t r i b u t i o ni n g e a r t r a n s m i s s i o ni si l l u s t r a t e d ，i tg r e a t l yf a c i l i t a t e st h ed y n a m i cr e s e a r c h e si nt h ee n g a g e m e n t o f g e a r s n 华中科技大学硕士学位论文 4 t os h o wt h ec o n s t r u c t i n gm e t h o do fc o m p l e xg e a rs t r u c t u r e s ，ag l e a s o ns p i r a l b e v e lg e a ri sm o d e l e da sa r te x a m p l e ，a n dah i g h - p r e c i s i o nf i n i t e s i m u l a t i n gm o d e li s a c c o m p l i s h e di na n s y s 5 7 f o rg l e a s o n s p i r a lb e v e lg e a r o nt h eo t h e rh a n d ，t h em o d e l i sab a s et os i m u l a t em o r e c o m p l e xg e a r s t h ei n n o v a t i o n si nt h i sd i s s e r t a t i o ni n c l u d e ：t h ed i r e c t s i m u l a t i n g f o rn o n ，l i n e a r g e o m e t r i cc o m p l e xs t r u c t u r e s u c ha s g e a r s a n dt h e i rt r a n s i t i o ns u r f a c eb yf r e ef o r m s r u f a c e ，t h e no n ec a nc o n v e n i e n t l yo b t a i nh i g h p r e c i s i o nf i n i t ee l e m e n tm o d e l s ，a n d a b s t a i ne l t o r sf r o m i n p u t t i n g c o o r d i n a t e so n eb yo n e a l lt h es c u l p t i n gr u l e sf o rg e a rs t r u c t u r e sa n dt h es i m u l a t i n gm o d e l so f a l lk i n d so f g e a r s o b t a i n e di nt h i sp a p e rc a r lb er e g a r d e da st h ew o r kb a s ef o rt h ed y n a m i cs i m u l a t i n g o f g e a rt r a n s m i s s i o n k e yw o r d s ：g e a r s ，t r a n s i t i o nc a r v e ，s i m u l a t i n g ，f i n i t e e l e m e n tm e t h o d i i i 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = 墨= = = = = = 穹= = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = ： 1 1 课题来源 1序言 齿轮传动由于其恒功率传动的特点，具有其它传动不可替代的优势，其高质量、 高性能研究是我国能源、交通，化工、冶金领域重大共性关键技术问题。我国汽车、 摩托车、工程机械、火车机车的传动系统均广泛采用齿轮传动。我国齿轮行业近年 来有很大发展，年产值已达( 1 4 0 1 7 5 ) 亿元。该行业职工人数居世界第一，但劳动 生产率低，自主开发能力弱，产品动态性能差。我国齿轮行业8 2 个主要企业的全员 平均劳动生产率为2 2 5 万元年，仅为美国1 9 8 9 年行业平均水平的3 5 ，也大 大低于我国汽车、机械行业平均生产率4 5 6 万元侔的水平。特别突出的是，国产 齿轮精度等级比国际先进水平低l 2 级，噪声高1 0 d b j 。造成我园齿轮制造业水 平低的一个主要原因是设计理论和设计方法落后，具体体现为：f 1 ) 由于使用被动的 设计方法，不可能在设计阶段进行产品质量预报和控制；( 2 ) 静态的设计不能提供全 工况、高性能的产品；( 3 ) 学科分割的零部件分析设计无法实现整体目标。 随着计算机技术的发展和大型有限元分析软件的出现，基于c a d c a e 技术的 结构仿真分析方法给人们展示了在实际工况下，齿轮的应力应变分布情况，为齿轮 的设计和制造提供了有力的依据。本文就是基于成熟的c a d 软件u g s l 7 0 获得齿 轮的结构仿真模型，将其导入大型通用有限元分析软件a n s y s 5 7 中，在模拟真实 工况的条件下，获得齿轮的应力应变云图，为齿轮的设计和制造提供高质量的数值 依据。 1 2 国内外研究概况及预测 渐开线齿轮是应用最广泛的一种齿轮，人们对标准的渐开线齿轮有了一套比较 成熟的设计方法，强度计算方法和加工方法。然而，随着机械制造业的飞跃发展， 对渐开线齿轮传动提出了更高的要求，特别是在航空工业中所用的齿轮，要求在尺 寸、重量最小的情况下，可靠地传递高速、重载的运动，这就对齿轮强度的计算精 度提出了很高要求，因为只有在高精度的齿轮强度计算的基础上，才能对齿轮进行 华中科技大学硕士学位论文 优化设计，从而获得满足工程需要的齿形结构。而在渐开线齿轮过渡曲线处，形体 发生突然变形，产生应力集中现象，会直接影响齿轮的寿命和承载能力，实验【4 j 表 明齿轮的工作寿命与最大弯曲应力值的六次方成反比，即最大弯曲应力略微减小， 齿轮工作寿命即会大大提高，而齿轮的最大弯曲应力往往出现在齿轮的齿根过渡曲 线处。因此，精确计算渐开线齿轮齿根过渡曲线处的应力进而合理设计过渡曲线， 对延长齿轮工作寿命、提高齿轮承载能力至关重要。 图1 t齿轮机构和齿廓曲线的组成 目前，关于齿轮的弯曲应力和变形计算大致有三种方法，即材料力学方法、弹 性力学方法和数值方法。 图i - 2 路易斯( l e w i s ) 的齿根应力计算模型 一 2 华中科技大学硕士学位论文 十九世纪末，随着近代工业的发展和渐开线齿轮在工业中的大量使用，齿轮齿 根应力的研究开始引起人们的关注。最先给出齿轮齿根应力计算公式的是法国工程 师w i l f r e dl e w i s ”l ，他于1 8 9 2 年1 0 月首次应用材料力学的方法，视轮齿为悬臂梁， 导出了齿轮弯曲的计算公式。它的特点是从材料力学的知识出发，据抛物线为一等 强度梁( 如图1 2 ) ，作齿廓的内切抛物线确定危险截面的位置：认为只有一对轮齿啮 合，把全部载荷作用在个轮齿的齿顶：只考虑危险截面上的弯曲应力。这种悬臂 梁模型显然比较粗糙，光弹试验早已证明把轮齿简化为悬臂梁是不恰当的。因为其 长宽比通常只有1 4 3 ，远小于材料力学中杆件齿宽比必须大于等于5 的假设。另外， 由于齿根存在过渡曲线，实际危险截面的确定是比较困难的。实际失效轮齿分析和 光弹试验表明抛物线法不够精确。 为此许多学者就如何确定危险截面的问题进行了研究，提出了各种不同的方 法，其中比较著名的方法是h o f e r ”】的3 0 切线法，即与轮齿的对称中线成3 0 角作 齿根曲线的切线，由两切点的连线m m 。确定危险截面，常称为3 0 切线法，光弹试 验表明此法比较符合实际。德国学者n i e m a n n ”j 据此导出了著名的尼曼( n i e m a r m ) 公式。德国的d i n 、美国的a g m a 、日本的j s m e 以及i s o 标准均采用此法。 毫黄 矗剪 图l ，3 尼曼州i e m a n n ) 的计算模型 此外，我国齿轮专家吴继泽、王统等根据大量试验认为：齿根弯曲疲劳裂纹 3 华中科技大学硕士学位论文 发生在局部应力最大的地方，且裂纹是沿着过渡曲线的法线方向，并据此导出了齿 根局部应力的计算公式。这就是所谓折截面法。它的特点是根据齿根弯曲疲劳裂纹 的方向来确定危险截面的位置，推导齿根应力的计算公式时同时考虑了几何因素对 应力的影响，并能算出齿根过渡曲线上各点的应力，从而能够了解齿根应力沿过渡 曲线的分布规律。用折截面法分析齿轮过渡曲线的应力分布表明齿根最大应力出现 的位置和大小与齿轮分度圆的压力角和过渡曲线的形：状有关。齿根最大应力值并非 出现在3 0 切线处，而是在2 3 切线附近。对同一算例进行试算，折截面法要比平截 面法更符合实验结果。但计算公式要复杂得多。 上述由材料力学获得的齿根应力的计算公式是对齿轮系统进行大量假设、大量 简化后得出的结果，因而互不吻合，有的相差很大，虽然它们有的已经被各国和国 际组织引用为设计标准，但并不说明它们是精确地反映了齿根的应力状况，而只说 明它们在一定条件下能够满足一般工程设计的需要。而要设计高性能、高精度的齿 轮装置，则必须提出更接近实际情况的力学模型，这洋齿轮轮齿变形的弹性力学模 型就被提了出来，首先提出这一模型的是日本的会田俊夫、寺内喜男【8 j 等人。它的 基本思想是把齿轮轮齿的受载变形问题简化为一个无限体的受载变形问题，利用保 角映射函数把轮齿的曲线边界映射为直边边界。这样可以应用弹性力学中平面问题 的复变函数解答求解集中力作用下的半无限体的位移场，再由此确定受载轮齿的位 移场。这样在弹性力学计算方法中可以把载荷看作h e r t z 应力分布，求得齿根过渡 曲面处真实应力的理论解，从而避免材料力学理论中对于齿廓形状和危险截面的各 种近似假设带来的误差。弹性力学模型能很好地计算确定的理想载荷下齿根的应力， 但是在分析实际齿轮模型时，它对复杂工况的简化却不能令人信服，而且实际齿宽 电不可能是无穷大。另外，它的推导过程和计算公式都相当复杂，应用起来并不方 便。 从上述评述可以看出：由于影响齿轮强度的因素很多，而齿轮的使用条件又是 多种多样的，因此，到目前为止，还没有任何一种理论模型均能精确反映齿轮系统 的真实应力状况。正如日本齿轮强度方面的专家仙波币庄博士在其专著齿轮强度 的计算【8 1 中所指出的：“本书介绍了迄今发表的具有代表性的齿轮强度计算方法， 但最后得到的结论是，不管采用哪种计算方法，只能得到极不准确的结果。关于更 4 华中科技大学硕士学位论文 f 确的计算齿轮强度的方法，今后一定会继续不断地研究下去，但是，我想这恐怕 是个不大好解决的困难问题吧。”可以预测今后还会出现进一步接近实际状况下的齿 轮力学模型，但也几乎可以断定这一模型在理论上将更加艰深，计算公式将更加复 杂，更不利于实际应用。 二十世纪五、六十年代，随着宇航工业、能源工业和交通运输工业的大力发展， 对齿轮传动系统在性能和结构上提出了更高的要求，在齿轮设计和制造过程中，人 们迫切希望从全局上精确地了解齿轮在实际工况下的强度和变形情况，在这种情况 下，许多国家和组织不惜投入巨资，研究新的更可靠实用的齿轮强度和变形的数值 计算方法，在这方面比较典型的是德国和美国。 在德国的慕尼黑大学w i n t e r ”j 教授领导的齿轮及传动研究中一巴, f f z g 实验室) ， 在巨额资金的资助下，进行齿轮承载能力的实验研究，包括圆柱齿轮、锥齿轮、蜗 轮蜗杆等各种传动形式。他们强调进行各种强度实验和台架实验，以便更精确地确 定有关系数。在此基础上，再总结出表达式，上升为理论。同时采用数值方法修正 计算公式。该实验室拥有各种封闭回路的齿轮试验台，包括普通圆柱齿轮、内齿轮、 锥齿轮、准双衄线齿轮以及蜗轮蜗杆传动。每天有2 0 2 5 台这样的齿轮试验台连续 不断地运转，用以研究各种传动的承载能力、可靠性、效率、振动和噪声。此外实 验室还拥有齿轮误差测量仪、表面粗糙度检查仪、各种力学性能测试设备、实验应 力分析仪器、原子吸收光谱分析仪、电子扫描显微镜、摩擦磨损试验机、拉压疲劳 试验机等。凭借这些先进的仪器设备，他们大力进行试验研究，同时也很重视理论 分析工作。他们的工作在修正些理论模型，阐明齿轮传动系统某些复杂问题的作 用机理方面取得进展。但是他们发表的一些计算方法显得过繁、过细，并不受到同 行的欢迎。 在美国【3 6 】，齿轮研究以a g m a 和n a s a 为代表，他们的特点是理论分析先行， 结合开展实验研究，力求得到简明、实用、精确的计算方法。美国学者建议在齿轮 强度计算中，针对不同的用途和对象分别采用不同的方法，即简化法、数值计算方 法和精确法，并结合实验进行研究。 在数值计算方法中最引人注目的是有限元法。有限元法用于齿根应力分析大约 起始于二十世纪六十年代末、七十年代初，此后迅速发展，国外不少研究人员如 5 华中科技大学硕士学位论文 c h a b e r t 、w i l c o x 、户部、c h a n g 、b i b e l 等都进行过这方面的研究工作。w i l c o x 和 c o l e m a n l l 2 1 应用有限元法，对一个轮齿的弯曲应力作了分析，并跟光弹实验的结果 作了比较，十分吻合。当齿轮的轮缘较薄时，户部等建立了基于5 个齿的轮缘的 单齿模型，并用应变仪对其结果进行了验证。c h a n g 等用s a p 4 有限元程序，对 单个齿的二维平面问题作了分析计算，研究了轮齿圆角半径、轮缘以及约束状态对 齿根应力的影响。b i b l e i ”l 建立了5 个连续齿的模型，经过有限元分析后得出：当改 变齿轮轮缘厚度时，不但最大的弯曲应力值发生改变，而且其位置也相应发生变化。 h u s e y i nf i l i z 和e y e r c i o g l u ”j 采用有限元方法，对在集中、分布和模拟接触三种载 荷形式下的单个轮齿模型进行了应力分析。c h a b e r t 【17 j 根据圣维南原理，采用试算的 方法，确定了齿轮载荷的作用范围。上述研究中，都假设轮齿齿廓尺寸相对齿的宽 度要小得多，因此，在用有限元方法对直齿轮的齿根应力进行分析时，都把它简化 为力学中的平面应变问题，没有讨论当轮齿宽度和轮齿高度接近时，齿根应力的分 布，也没有对模型中的轮缘厚度、齿数如何选取，作出更明确的说明。 近十年来，随着计算机技术的发展和大型通用有限元软件的出现，建立在数值 模拟技术基础上的有限元结构仿真研究日趋活跃起来。它的特点是能更逼真地模拟 系统的复杂工况和复杂结构，强大的后处理系统展现生动直观的数值结果，数据成 本低，数值精度高，计算速度快，在许多研究领域，甚至可以替代实验结果。因此， 它成为各研究领域的人们用以分析复杂系统的重要工具。1 9 9 5 年土耳其的i h u s e y i n f i l i z ”】利用美国n a s a 开发的结构分析程序m s c n a s t r a n 和f e s a ，仿真分析 了齿轮在集中、分布和接触状态下的单齿平面模型，并用计算获得的数据修正了 c h a b e n 和t o b e 在1 9 7 4 年用有限元方法获得的齿根最大应力数值计算公式。在我国， 重庆大学机械传动国家重点实验室的李润方【5 j 等运用a n s y s 等大型有限元软件对 圆柱齿轮和锥齿轮的弹性接触应力应变、弹塑性接触应力应变、轮齿弹性变形和热 变形进行了分析。并试图用获得的数据指导齿面修形。由于结构仿真分析成本低， 精度高，现在正成为齿轮强度和变形研究的热门方向。当前，一方面是针对齿轮传 动系统的载荷、约束及齿轮结构特点对分析平台进行二次开发，使之更适合于齿轮 传动系统的分析研究，另一方面是运用成熟的有限元分析软件对齿轮传动系统进行 分析计算，使之成为齿轮设计的重要依据。 6 华中科技大学硕士学位论文 1 3 本文的研究方法、路线和创新 本文研究对象是采用齿条型刀具加工的渐开线齿轮齿根过渡曲线及其在真实 加载条件下的应力分布。 本文的研究方法主要是数值分析方法有限元法。工作平台是当今通用的有限 元分析软件- a n s y s 5 7 及具有强大实体造型功能的c a d 软件u g s l 7 0 。本文取这 两个软件的所长，即在u g s l 7 0 中完成渐开线齿轮齿廓的实体造型，将其图形数据 转化为i g e s 文件格式，经过特定的数据通道导入a n s y s 5 7 中，在a n s y s 5 7 中 对输入的图形从面到点进行一系列加工处理，使之成为a n s y s 能够识别的，由点、 线、面、体各层次图元依次组成的有限元分析模型。在此基础上模拟现实中齿轮工 作的承载情形和约束条件，确定边界条件，进行有限元分析计算，生成应力等值线 图形与齿轮齿根静强度实验的光弹性应力云图照片对照，以确定有限元分析模型的 正确性。再提取齿根过渡曲线上的应力值，拟合出其沿过渡曲线的变化曲线。运用 齿轮齿根应力分析的成熟理论折截面法，应用m a t l a b 语言编程，对同一算例进行 计算，并得到其沿过渡曲线的应力变化曲线，这样就对同一算例分别获得了实验、 解析、数值三方面的数据，对这些数据进行研究分析和讨论。 然后，将在u g s l 7 0 中按实际安装条件装配好的两个啮合齿轮模型导入 a n s y s 5 7 ，经过前述处理后，建立接触载荷下的有限元分析模型，将得到的计算 结果与理论模型及实验数据对照，证明模型正确后，将这一建模方法应用于圆弧螺 旋锥齿轮的有限元建模，得到圆弧螺旋锥齿轮的有限元仿真模型，为进一步进行复 杂齿轮的齿根应力分析的仿真研究打下基础。 本文的创新之处在于：用自由曲面直接拟合齿轮齿廓及其过渡曲面等一类复杂 的非线性几何结构，从而方便而高精度地获得有限元仿真模型。避免了人工逐点输 入带来的误差。 7 华中科技大学硕士学位论文 = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= 一= 2 齿根过渡曲线的生成原理和参数方程 渐开线齿轮的齿根过渡曲线有多种形式，过渡曲线对于轮齿弯曲强度具有重要 意义，本文研究的是用一种双圆角齿条刀具加工成的渐开线齿轮齿根的过渡曲线( 如 图2 l 所示) 。 、 图2 - l齿根过渡曲线生成示意图圈2 - 2 渐开线的形成示意图 2 1渐开线的形成及其特性 一、渐开线的形成 如图2 2 所示，当一直线b k 沿一圆周作纯滚动时，直线上任意点k 的轨迹a k ， 就是该圆的渐开线。这个圆称为渐开线的基圆，它的半径用表示；直线b k 叫做 渐开线的发生线；角谚叫做渐开线a k 段的展角。 二、渐开线的特性 根据渐开线形成的过程，可知渐开线具有t n 的特性： ，、一 一l 一 一 华中科技大学硕士学位论文 1 ) 发生线沿基圆滚过的长度，等于摹圆上被滚过的圆弧长度，即 b k = a b ( 2 - 1 ) 2 ) 因为发生线b k 沿基圆作纯滚动，故它与基圆的切点b 即为其速度瞬心，所 以发生线b k 即为渐开线在点k 的法线。又因发生线恒切于基圆，故可得出结论： 渐开线上任意点的法线恒为基圆的切线。 3 ) 发生线与基圆的切点b 也是渐开线在点k 的曲率中心，而线段b k 是渐开线 在k 点的曲率半径。又由图2 2 可见渐开线愈接近于其基圆部分，其曲率半径愈小， 即曲率愈大。 4 ) 同一基圆上任意两条渐开线( 不论是同向的还是反向的) 上各点之间的距离 相等。如图2 3 所示的g 、a 为同一基圆上的两条反向渐开线，4 尽与4 垦为c i 、q 间任意的两条法线，根据渐开线特性l 、2 可知： 足 穗 迤 佚 l 弋 图2 - 3 同一基圆上的渐开线的关系图2 - 4 渐开线的曲率与基圆半径 a i b , = a 2 岛= a b ( 2 - 2 ) 5 1 渐开线的形状取决于基圆的大小，在展角相同的情况下，基圆的大小不同， 渐开线的曲率也不同。如图2 4 所示， 设c 1 、c 2 是从半径不同的两基圆上展开的渐开线，由图可见，当展角口相同时， 基圆半径愈小，其渐开线的曲率半径也愈小：基圆半径愈大，其渐开线的曲率也愈 大；当基圆半径为无穷大时，其渐开线就变成一条直线。齿条的齿廓曲线就是变成 直线的渐开线。 9 华中科技大学硕士学位论文 6 ) 基圆内无渐开线。 三、渐开线方程式 如图2 2 所示，a 为渐开线在基圆上的起点，k 为渐开线上的任意点，它的向 径用c 表示，渐开a k 段的展角用e 表示。又当以此渐开线作为齿轮的齿廓并且与 共轭齿廓在点k 啮合时，则此齿廓在点k 啮合时，则此齿廓在点k 所受正压力的 方向( 即逝廓曲线在该点的法线) 与点k 速度方向线( 沿k a 方向) 之间所夹的锐角，称 为渐开线在点k 的压力角，以c t t 表示。 由p b k 可见： f = ，上一( 2 3 ) c o s 口 又靴，：些：丝：幽：瞄+ 只 义增q 一= 上_ = q + 彰 靠0 故 只= t g a ，- - c t i ( 2 - 4 ) 综上所述，可得渐开线的极坐标参数方程为： 一2 去l陋；， e t = t g a t 一位： 又如图2 5 所示，当用直角坐标来表示渐开线时，其方程式为 图2 - 5 渐开线直角坐标方程 1 0 华中科技大学硕士学位论文 x y 篓r ec o n s r b “c us黝ill = “+“i 2 2 双圆角齿条刀具结构 双圆角齿条刀具具有如图2 - 6 的结构，其某些参数间具有以下关系 c l = f m + c ，”一0 b = 竺+ f , m g a + 0 c o s a 4 ， c m 。9 l s i n 口 图2 - 6 双圆角齿条刀具构图 在以上刀具参数的关系式中 d 刀顶圆角圆i i , c 。距中线的距离； b 一刀顶圆角圆心c 。距刀具齿槽中心线的距离： r 一一刀顶圆角半径； f 齿高系数； c 一径向间隙系数； 口分度圆上的压力角： m _ 齿轮或齿轮刀具的标准模数。 c ，靠 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 _ 8 ) ( 2 9 ) 1 1 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = ；一一 2 3 过渡曲线的形成及其方程推导 如图2 - 7 所示，用齿条型刀具加工齿轮，相当于齿条齿轮的啮合。被加工齿轮 齿廓的渐开线部分由刀具的直线部分切出，过渡曲线部分由刀具的圆角韶分切出， 过渡曲线部分由刀具的圆角部分切出。加工过程中，刀具的加工节线与齿轮的加工 节圆相切纯滚，显然，刀具圆角的圆心c 将描出延伸渐开线，于是，可得到齿轮的 p 过渡曲线是延伸渐开线的等距曲线。 一 吣丫f 难岭 。 图2 7 过渡曲线参数方程推导 用齿条型刀具加工齿轮，就是刀具的加工节线与齿轮的加工节圆( 分圆) 相切纯 滚。如图2 7 所示，p 是节点，r u l 是刀具圆角与过渡曲线接触点的公法线，口是i l i l 与刀具加工节线间的夹角。若选取o q 2 坐标系如图所示，则不难写出延伸渐开线等 距曲线的参数方程式 华中科技大学硕士学位论文 玎= rs i n 妒一( j l l 十o ) c o s ( a 妒) s l n 口 = ，c o s 妒一( _ ? l + o ) s i n ( 口伊) s i n 口 方程式( 2 1 0 ) r p ，妒与口。的关系式为 ( 2 - 1 0 ) 妒= 二( d l c t g a + b ) ( 2 一1 1 ) 在参数方程式( 2 1 0 ) 中，口角是变参数，口1 在口9 0 范围内变化。对应于不同 的口角，利用式( 2 1 0 ) 及式( 2 1 1 ) ，分别代入两种过渡曲线刀具的参数，即可求得过 渡曲线上不同点的坐标。 另外，由图2 7 运用欧拉沙伐尔公式可以求得过渡啦线上任意点的蓝率半径： 口：j k ”一垡! 錾( 2 一1 2 ) p 。孟+ 名一i 蕊 “一圳 1 3 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 3 渐开线齿轮齿根应力的分析方法 3 1 齿根局部应力的计算方法一折截面法 自从路易丝在1 8 9 2 年提出第一个齿根应力的计算模型后，人们又提出了各种不 同的齿根应力的计算模型，得到了各种各样不同的齿根应力的计算公式，但归纳起 来，这些齿根应力的计算模型之所以互相不同，主要因为它们在建立计算模型的过程 中，在如下四个问题上不同的简化模拟方法：危险截面的位置和形式、齿根应力集 中的处理、齿根的最大应力所包含的内容( 采用什么强度理论) 以及载荷在齿廓上的 作用位置和方式。本文介绍一种完全反映几何因素引起齿根应力集中的齿根应力计 算公式。它采用如图3 1 所示的齿根应力计算模型。这一模型有如下特点： 1 ) 危险截面的位置按照齿根弯曲疲劳裂纹的方向来确定，比较接近实际情况： 2 ) 几何因素引起的应力集中已同时反映在齿根局部应力系数y 的计算中，这就 突出反映了齿根过渡曲线几何非线性对齿根应力的影响。 3 ) 可以求出齿根过渡曲线上各点的应力，从而能够全面了解齿根应力沿过渡曲 线的分布规律。 4 ) 与平截面法等其它方法比较，计算公式要复杂些，但精度要高。 基于以上特点，本文引用这一齿根应力计算方法作为研究齿根过渡曲线几何非 线性引起的齿根应力分布规律的理论方法。下面就介绍这一理论的主要内容。 如图3 1 表示一个轮齿，其齿宽为单位长度。a 、b 两点对称于坐标，a d 表 示过渡曲线a 点的法线方向，b d 表示过渡曲线b 点的法线方向。把截面a d b 作 为危险截面，着重研究它上面的应力变化规律。轮齿在f 力的作用下产生变形，a d b 截面转过j 妒角，转至a d b 位置，但假设a d 、b d 仍然保持为平面。由图3 1 有距 d 点u 处的应力为 吒“嚣钉鼎( 3 - 1 ) 距d 点u 处内力对d 点的力矩为 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = ；= = ；= = = = = = = = = = = ；= = = = = = 一： 洲= 吒“砌= e 舅意， p z ， 图3 - 1 折截面齿根应力的计算模型图 根据轮齿的平衡条件，对d 点取矩 2 e 空c 堕；而c 0 s j d o 南p + f 一甜 积分得 1 5 华中科技大学硕士学位论文 e 塑： d o f g d c o s 6 ( 3 3 ) 将( 3 1 ) 代入( 3 - 3 ) 并使“= ，再以，= r c o s y 代入，可求得过渡曲线上a 点的 弯曲应力 吒= 竽 ( 3 4 ) 式中 h = 一c o s y ( 3 5 ) 另外，由于a d b 截面上压缩应力o p 较小，可假设它在a d b 截面上均匀分布， 故 f s i n 万 。- - 2 c o s y ：型呈至型兰 ( 3 6 ) 。厂一2 1 f p 。 c o s y 因为a d b 截面与齿根自由边界垂直，所以a d b 截面上的a 点、b 点处没有剪 应力。故过渡曲线上a 点的局部应力 盯= 巩一卸c 竽肛驾产， b 过渡曲线上b 点的局部应力 仃= 以+ _ f ( ( 丁g - - 五c o s 8 h + 芝产) ( 3 8 ) 这样就由( 3 5 ) 、( 3 7 ) 、( 3 8 ) 三式可计算轮齿两侧过渡曲线上的任意一点的局部 应力。 当然，还要进一步推导出面线段、6 角及y 角的计算公式。这些几何量的计 算公式均可由渐开线的性质及齿根过渡曲线的方程推得。这里不再推导，直接列出 如下 - 6 - - d ：生：一a + q t g y ( 3 - 9 ) 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一： 占2 q 一万s + ( 加v q i r i v 口) y = a 一妒 以上各式中诸字符的意义如下 ，一分度圆半径； 口- 分度圆压力角； e 齿廓上某点的压力角； m 一模数； r l - - 过渡曲线上某点的横坐标； 过渡曲线上某点的纵坐标； j 一，分度圆上的齿厚； p 一过渡曲线上某点的曲率； 3 2 有限元法动力及接触分析 ( 3 1o ) ( 3 - 1 1 ) 对齿轮这类几何非线性结构，从理论上分析得到精确解是相当艰难的，有必要 通过数值分析的方法一有限元法对几何非线性结构进行离散分析，得到能应用于工 程设计的数值解。随着计算技术的发展和电子计算机的广泛应用，有限元法日益成 为对齿轮齿根应力分析的重要方法。本节介绍齿轮齿根应力分析的有限元法的基本 原理、方法和计算步骤。 、正确的齿根应力方程的有限元模型的建立 对直齿轮进行齿报应力分析对，为了减小工作量，有必要根据齿轮的结构和加 载后的应力分布情况对齿轮的结构进行简化，理论和实验证明这不会影响齿根应力 的计算精度。但却可以减少计算机内存耗用，加快计算速度。 首先，若选取一个完整的齿轮作为分析计算的对象，是不适宜的。因为这毫无 必要地加大了计算量，消耗计算机的大量内存，甚至引起计算发散。计算和实验表 明载荷在轮体上所能影响的范围，周向的影响范围约为三个齿，径向的影响范围大 致为一个齿高即2 3 m ( m 为轮齿的模数) ，在超出这个范围后，应力就变得很小。 其次，要考虑齿轮的横断面尺寸( 齿高h 与齿厚s ) 与轴向尺寸b 的比值。若b 华中科技大学硕士学位论文 的值远比h 或8 要大，则原模型可简化为平面应变模型：若b 的值远比h 或s 要小， 则原模型可简化为平面应力模型。实验证明这样的简化引起的齿根应力的相对误差 不超过i 。 二、几何非线性有限元方程的建立 质量守恒、能量守恒和动量守恒是力学的三大基本原理和定律，是固体力学有 限元方法的基础对于小位移和小应变问题，研究对象的构形变化和体积变化很小， 对应力分布影响可以忽略不计，用欧拉描述和拉格朗日描述得到的结果在忽略了高 阶小量后没有区别。但是，当物体变形和转动为有限值时，两种描述方法结果将产 生较大不同。对于固体物质，由于离散物体的网格间没有物质流动，如果用空间固 定坐标系描述，则会出现由于物体有限运动而导致不同时刻的固定网格中的物质质 量不同，破坏单元质量守恒定律数学表达式的一致性，从而能量原理的应用也存在 困难。出于拉格朗臼描述跟踪固定质量元，在表示质量、动量和能量守恒方程时没 有因质量流动而引起的运输项，数学表达式统一，程序在概念上比欧拉描述简单明 了，计算量也较少，消耗计算机的内存少，因此，在齿轮齿根应力的有限元动力分 析中，以拉格朗日描述方法来建立基本控制方程是合理的。 作为有限元理论物理基础的质量守恒、动量守恒和能量守恒方程可以用拉格朗 同描述写为 ( 1 ) 质量守厘 鲁十p 詈- o ( 3 - 1 2 ) ( 2 ) 动蓟随 鲁铂去等 ( 3 _ 1 3 ) ( 3 1 能量守恒 尝吼+ 万1 百0 ( c r , y , ) 式中各参数意义如下： p 材料密度； c r i 一单元应力： p 一总能量密度；p = = l _ + e ；e 为内能密度。 v一速度：s ，一单位质量上的体力： f 3 1 4 ) 8 华中科技大学硕士学位论文 材料的力学行为通常决定于状态方程及本构关系，它们通常具有以下形式： p = p ( p ，e ) ( 3 - 1 5 ) = ，( 勺，岛，e ，足) ( 3 一1 6 ) 其中 气一应变； 乞一应变率； 足一表征破坏程度的量； 三、变分原理 连续介质问题中，经常存在着和微分方程及边界条件不同的但却等价的表达形 式。变分原理是另一种表达连续介质问题的积分表达形式。在用微分方式表达时， 问题的求解是对具有已知边界条件的微分方程或微分方程组进行积分。在经典的变 分原理表达中，问题的求解是寻求具有已知边